trabajo final matematica 2
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MATEMÁTICA II
TRABAJO FORMATIVO MATEMATICO
PROFESOR : SONIA ESCALANTE
CARLOS BRAVO
INTEGRANTES : ACOSTA ALARCÓN, JUAN
CIGARAN RICALDI, GUILLERMO
ESPINOZA BRAVO, JACK
FLORES PUSTELNYKOVA, DIANA
HUAMÁN ESCOBAR, KARINA
JESUSI MIRANDA, IVELISE
PAREDES LENCI, KEYLA
VALDERRAMA SORIANO, LUIS
LIMA – 2014
TFM – Matemática II
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E-mail: [email protected]
Contraseña: matematica2
PROBLEMAS
INTEGRANTES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Acosta Alarcón, Juan x
Cigaran Ricaldi, Guillermo x x
Espinoza Bravo, Jack x x
Flores Pustelnykova, Diana x x
Huamán Escobar, Karina x x
Jesusi Miranda, Ivelise x x
Paredes Lenci, Keyla x x
Valderrama Soriano, Luis x x
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EJERCICIO 1
Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta.
a. Si y = entonces el valor de cuando x = 9 y es 2.
-> …. (*)
Luego sea y= f(x) =
-> f´(x)= 2x+2
Datos: x=9,
En (*): dy
dy = (2*9+2) (0,1)
dy = (20) (0,1) = 2
Es verdadero
b. Si y = entonces y’ =
f(x) =
f´(x) =
f´(x) =
Es verdadero.
c. Si y = (2,5)10,5, entonces
Falso pues Si f(x) = K, donde k es constante.
f´(x)= 0.
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d. Si f(x) = entonces f´´´(x) =
Sea f(x) = = (2x-5)-1
f´(x)= -2 (2 x -5)-2 (2) = - 2 (2X -5)-2
f´´(x) = 4 (2 x -5)-3 (2) = 8 (2x - 5)-3
f´´´(x) = -24 (2 x -5)-4(2) = -48 (2 x -5)-4 =
Es falso.
EJERCICIO 2
Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta
a. Si y = , luego siempre se cumple que
Falso, pues si y = x2+ 2x
dy = (2x + 2) dx
b. Si y = (2,5)10,5,
Falso pues Si f(x) = K, donde k es constante.
f´(x)= 0.
c. Si y = f (sen x), entonces
Falso, pues y = f (sen x)
y´= f´ (sen x) cos x
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d. Siempre es cierto que
Sabemos que:
Para nuestro caso g(x) = x
En (*) se obtiene:
o
Verdadera
EJERCICIO 3
En cada uno de los ejercicios siguientes, determine la derivada y’
a.
b.
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c.
EJERCICIO 4
Los ingenieros de marketing de la empresa SUR S.A. han establecido la demanda
que relaciona la cantidad (q) demandada de luminarias, al precio p
nuevos soles por luminaria.
a. Los agentes de venta han indicado “…cuando q = 900 luminarias, una disminución en
el precio produce un aumento en el ingreso”. ¿Está usted de acuerdo con esta
afirmación? Justifique.
Sea
1º hallaremos:
Sabemos que: = , cuando p = g(q)
Con ello:
Luego si q =900 (dato)
p = 60
La elasticidad de la demanda para g = 900 es
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La demanda es elástica.
Ahora del Ingreso Marginal :
= 60
Tenemos que la demanda es elástica
n= -2 < 1 y
La función ingreso es Creciente.
Ahora, los agentes de venta indicaron cuando q = 900, una disminución en el precio
produce un aumento en el ingreso.
Esto es verdadero, vimos que la demanda es elástica, entonces si disminuimos
precio aumenta la cantidad y vimos que el ingreso marginal
b. Modele la expresión que permita calcular la elasticidad de la demanda en función de
“q”
Ed= , q: cantidad p: precio.
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EJERCICIO 5
Considere la curva definida por la ecuación
a. Modele las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva dada que sean paralelas a la
recta
Sea la recta 3x – 2y + 13 = 0
y = 19x + 13/2
Dónde: m = 19 (pendiente de la recta)
Luego de la curva:
y = 2x3 - 5x + 1
= 6x2 -5 (pendiente de la recta tangente a la curva)
Luego sea (a, b) 6 el punto de tangencia.
= 6a2- 5 = 19
Luego como la recta tangente a la curva es paralela
A la recta y = 19 x +
Luego hallamos b para cada valor de a.
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Reemplazamos en la curva:
(2,7) y (-2,-5) son los puntos de tangencia de la curva.
Finalmente de la ecuación de la recta: y – yo = m(x- xo)
Se obtiene, m = 19
Ecuaciones de las rectas tangentes a la curva dada y que son paralelas a y = 19x + 13/2
b. Determine los valores de x para los cuales la recta tangente a la curva dada sea
normal a la recta
Sabemos:
= 6x2 – 5 (Por el ejercicio anterior)
(Pendiente de la recta tangente de la curva dada)
Además debemos recordar: si solo si m1.m2 = -1
Si L2: x + y = 3 --> y = -x + 3
m1 = 1
m1 = 1, m1 es la pendiente de la recta tangente a la curva.
6 x2 – 5 = 1
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EJERCICIO 6
El costo total C (en nuevos soles) por fabricar q unidades de un producto, está dado por
a. Determine la variación real del costo cuando el nivel de producción aumenta de 10 a
11 unidades. Interprete su resultado.
C (10) = 10 (10)2 + 30 (10) + 150
= 1000 + 300 + 150 = 1450
C (11) = 10 (11)2 + 30 (11) + 150 = 1690
Esto quiere decir que el costo exacto de producir la unidad 11 es 240.
b. Determine la razón de cambio promedio del ingreso cuando el nivel de producción
disminuye de 15 a 10 unidades.
R.C.P =
R.C.P =
La R.C.P. del costo, cuando el nivel de producción disminuya de 15 a 10 es de 280.
c. Modele la fórmula que permita calcular el costo marginal para cualquier valor de q
CM = C´(q)
CM = 20q + 30
Significa que el costo aproximado de producir una unidad adicional a q es 20q + 30.
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d. Modele la fórmula que permita calcular la razón de cambio relativa del costo para
cualquier nivel de producción.
Razón cambio relativo
(R.C.R) =
R.C.R =
R.C.R =
EJERCICIO 7
TR SRL es una empresa que cuenta dos tipos de unidades de transporte, camiones y
camionetas. El departamento de mantenimiento determina que cuando los camiones
trabajan Q1 horas diarias, y las camionetas trabajan Q2 horas diarias, entonces se puede
generar utilidades definidas por dólares diarios. En la
actualidad, los camiones trabajan L horas diarias y las camionetas N horas diarias.
U (L, N) = 3L2 – 2 N2
a. Modele la fórmula que permita obtener la utilidad marginal con respecto a la
cantidad de horas trabajadas por los camiones.
UM (L) =
b. Modele la expresión que permita calcular la variación aproximada de la utilidad al
aumentar el número de horas de trabajo de las camionetas, en y disminuir el
número de horas de trabajo de los camiones, en .
Recordar:
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En nuestro caso: L1 = L, L2 = L -
= L -
= - (Cumple porque los camiones disminuyeron sus horas de trabajo)
Luego: N1 = N, N2: N +
= N + = (Se incrementa a las camionetas)
Luego: ,
Entonces reemplazando en (*)
dU= (6L) (-
dU= -6L(
c. Modele la expresión que permita calcular la variación real de la utilidad al disminuir
una hora de trabajo de las camionetas, y aumentar dos horas de trabajo de los
camiones.
N: Nº de horas de las camionetas, L: Nº de horas de los camiones
L1 = L
L2 = L + 2
= 2
N1 = N
N2 = N – 1
Luego la variación real de la utilidad es:
U (
= 3
=
=
=
= 12L – 4N + 14
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EJERCICIO 8
Elija
convenientemente
una de las
expresiones
contenidas en la
primera columna y
complete las
proposiciones
presentadas en la
segunda columna,
de modo que sean
verdaderas.
COLUMNA I
COLUMNA II (PROPOSICIONES)
I.
II.
III. 3 *
IV.
a) Luego de derivar la función definida por , se
obtiene
I. 1 II. 2 III. 3 IV. 4
b) Si entonces la variación real de f al
pasar de (1;2) a (2;1) es: __________________
I. positivo
II. negativo
III. cero
IV. no existe
c) Consideremos que la variable q, representa a cantidad de cierto
artículo medido en toneladas, la función ingreso, por las ventas de
dicho artículo (en cientos de dólares) es definida en términos de la
cantidad mediante , luego el ingreso marginal
para cuando la cantidad sea de 4 toneladas, nos resulta un valor:
a. Luego de derivar la función definida por , se obtiene
f (x) = 23x
f’ (x) = Ln(2) 23x (3)
Rpta. III
b. Si entonces la variación real de f al pasar de (1;2) a (2;1) es:
si f (x,y), (x1, y1) = (1, 2)
(x2, y2) = (2, 1)
Z = f (x2, y2) – f (x1, y1)
= f (2, 1) - f (1, 2)
= 22 – 2(2)(1) + 1 – [12 – 3(1) (2) + 1]
= -1 – [-4] = -1 + 4 = 3
Rpta. III
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c. Consideremos que la variable q, representa a cantidad de cierto artículo medido en
toneladas, la función ingreso, por las ventas de dicho artículo (en cientos de dólares) es
definida en términos de la cantidad mediante , luego el ingreso
marginal para cuando la cantidad sea de 4 toneladas, nos resulta un valor :
I(x) = I’(x)
= 20 –
Luego piden: IM (4):
IM (4) = 20 –
Es positivo Rpta : I
EJERCICIO 9
Las proyecciones del número de postulantes que tiene cada año la USIL, es una función
de los gastos que se hace en publicidad por radio y televisión. La función que expresa
esta función viene dada por:
Considere que la variable Q representa el número de postulantes, x es la variable que
representa la cantidad de dinero destinado a la publicidad en televisión e y es la variable
que representa la cantidad que se gasta en publicidad por radio (x e se expresa en miles
de nuevos soles). Este año la universidad ha destinado S/.60 000 a la publicidad por
televisión y S/. 30 000 a la publicidad por radio.
Q: # de postulantes
x : cantidad de dinero para publicidad en tv.
y : cantidad de dinero para publicidad en radio
x,y se expresa en miles de soles
Este año se ha destinado S/. 60,000 para la publicidad en TV
S/. 30,000 para la publicidad en radio
x = 60, y = 30
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a. Estime en cuanto varía aproximadamente el número de postulantes, si se hubieran
asignado S/. 2000 más a la publicidad por televisión, manteniéndose en S/. 30 000
para la publicidad en radio.
Solución:
El incremento de S/2000 sería x2 = 62
Recordar:
dQ = (400 – 4x – 5y) + (600 – 2y – 5y)
dQ = (400 – 4(60) – 5(30)) (2)
dQ= 20
Varía aprox. en 20 postulantes.
b. Estime en cuanto varía aproximadamente el número de postulantes, si se hubieran
asignado S/. 3000 menos a la publicidad por radio, manteniéndose en S/. 60 000 a la
publicidad por televisión.
, dado que se le asigna a y2 tres mil soles menos
Sabemos que x= 60, y = 30
Por lo anterior:
dQ= , como
dQ= … (*)
De lo anterior:
= 600 – 2y – 5x
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Luego reemplazamos: x = 60, y = 30, en (*)
dQ = 600 – 2(30) – 5 (60)) (-3) = -720
Varía aprox. en 720 personas.
c. Si para el próximo año se asignan S/. 63 000 a la publicidad por televisión y S/.32 000
a la publicidad por radio. Estime el efecto aproximado sobre el número de
postulantes que tendría la universidad para el próximo año.
Sea X1= 60
Y1= 30
Dato: X2 = 63
Y2 = 32
Luego de:
dQ =
dQ = (400 – 4x – 5y) ….(*)
Luego reemplazamos: x = 60, y =30;
En (*):
dQ = (400 – 4(60) – 5(30))3 + (600 – 2(30) – 5(60))2
= 30 + 480 = 510
Varía aprox. en 510 personas respecto a la actualidad.
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EJERCICIO 10
Se tiene la siguiente función de producción P (K; L) = 20 K1/2L3/4, en donde L representa la
fuerza laboral y K al capital invertido.
a. Simplifique la siguiente expresión
Sea P (K, L) = 20 K1/2 L3/4
Luego reemplazando en la expresión:
E= 10 K ½ L3/4 + 15 K1/2 L3/4
E= 25 K1/2 L3/4
b. En caso L = 4 y K = 1. Calcule la expresión
Se tiene la función de producción
P (K, L) = 20 K1/2 L3/4, L: La fuerza laboral
K: Capital invertido
Hallar usando las derivadas parciales del ejercicio anterior
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EJERCICIO 11
Considere que q1 y q2 representan el número de unidades vendidas de los productos A y
B (respectivamente) de una compañía. Se sabe que los ingresos semanales (en dólares),
se definen por:
I (q1; q2) = - 20q12 – 25q2
2 – 20q1q2 + 20 000q1 + 16 000q2,
a. Calcule (200; 150) y 2 (200; 150)
Luego:
b. Interprete los resultados obtenidos en (a)
i) significa que el ingreso aumentara en $9000 semanales si la venta del producto A
aumenta en unidad y la venta del producto B permanece constante.
ii) significa que el ingreso aumentara en $ 4 500 semanales, si la venta del producto B
aumenta en unidad y la venta del producto A permanece cte.
c. Considerando los resultados del ítem (a), el gerente de producción afirme “...a la
compañía, le conviene aumentar la producción de A, sin alterar la producción de B”
¿Está usted de acuerdo con la afirmación? Justifique.
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Sí, porque esas unidades vendidas general mayor ingreso
EJERCICIO 12
Determine el valor de verdad de las siguientes preposiciones. Justifique.
a. Es cierto que el determinante de la matriz
Verdadero
b. El único punto crítico de la función f(x; y) = x3 – 3x + y2 - 2 es (1; 1)
= 3x2 – 3 = 0
=2y = 0
3x2 – 3 = 0 2y = 0
X2 = 1 y =0
X = ± 1
(1,0) Y (-1,0) son los puntos críticos. Falso
c. Si f(x; y) = e2y-x entonces siempre se cumple que fxy (x; y) = 2e2y-x
Falso
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EJERCICIO 13
Sea f una función definida por f(x; y) = x2 + y3. Modele la matriz Hessiana de f.
Si
Modele la matriz BA, si es posible.
Se cumple x = zey - ez. Modele una expresión para la derivada parcial
a. Modele la matriz Hessiana de f
Hf =
b. Modele la matriz BA
c. Modele
X = ZeY - ez
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0 = zey - ez – x = f(x1 y1 z) y z = f(x, y)
Podemos aplicar que
Hallaremos
i) y
ii) = ey - ez
En (y):
= …… y z
EJERCICIO 14
Sea f una función de dos variables definida por
f (x; y) = 12x – x3- 4y2.
a. Verifique que los puntos críticos de función son (2; 0) y (-2; 0). Solo se considerará el
procedimiento de justificación.
fx = 12 – 3x2 = 0
= fy = -8y = 0
Desarrollamos el sistema formado
12 – 3x2= 0 // - 8y = 0
12 = 3x2
X = ± 2 // y = 0
Los puntos críticos son
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(2,0) ^ (-2,0)
b. Clasifíquelos los puntos críticos, como máximos, mínimos o puntos sillas.
fxx = -6x
fyy = - 8
fxy = fyx = 0
= (-6x) (-8) = 48 x
Entonces evaluando en (2,0)
= 48 (2) = 96 >0
Y fxx (2,0) es un max. Relativo
Ahora en (-2, 0)
= 48 (-2) = -96 < 0
No es un extremo relativo, es un punto silla.
EJERCICIO 15
JR S.A. es una empresa de confecciones textiles y tiene cautivo el mercado, con dos
modelos de camisas.
Modelo de camisa tipo clásico, su costo de fabricación es S/.30 por unidad.
Modelo de camisa tipo moderno, su costo de fabricación es de S/. 40 por unidad.
El departamento de marketing indica que, si modelo clásico de camisa se vende a “Y”
nuevos soles por unidad y si el modelo se vende a “X” nuevos soles por unidad,
entonces el impacto diario será:
Ventas diarias del modelo de camisa clásico es (70 - 5y + 4y) unidades y
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Ventas diarias por el modelo de camisa moderno es (80 + 6y – 7x) unidades x
Costo Modelo clásico se vende a : y
Y el modelo moderno se vende a: x
Las ventas serían diarias:
Tipo clásico: (70 – 5y + 4x)
Tipo moderno (80 + 6y – 7x)
a) Determine el precio de cada modelo para obtener la máxima utilidad determina la
máxima utilidad:
U = U Tipo Clásico + Utipo Moderno
U Tipo Clásico = Itipo Clásico – Ctipo clásico
= (70 – 5y + 4x) y –(30) y
= 70 y – 5y2 + 4xy – 30y
Utipo Clásico = -5y2 + 4xy + 40 y ….(*)
Utipo Moderno = Itipo Moderno - Ctipo Moderno
= (80 + 6y – 7x) x – 40Xx
= 80 x + 6 xy – 7x2 – 40x
Utipo moderno = -7x2 + 6xy + 40 x…. (**)
Luego de U = Utipo clásico + Utipo moderno
U = -5y + 4xy+ 40y – 7x2 + 6xy + 40x
Ahora hallamos los puntos críticos de la función U
UX= 4y – 14x + 6y + 40 = 0
UY = -0y + 4x + 40 + 6x = 0
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i) 4y – 14x + 6Y + 40 = 0
10y + 40 – 14 x = 0
5y = 7x - 20
……. (1)
ii) -10 y + 4x + 6x = 0
10 x + 40 – 10 y = 0
x + y = y….(2)
De (1) y (2) :
= x + 4
7x – 20 = 5x + 20
2x = 40
x = 20
y = 24
Punto crítico (20,24)
Luego lo clasificaremos:
UXX (20, 24) = -14
UYY (20, 24) = -10
UXY (20, 24) = UYX (20, 24) = 10
Hf (20, 24) =
HF (20, 24) = (-14) (-10) – 102
= 140 – 100 = 40 >0
Y vemos q Uxy (20, 24) < 0
Por lo tanto alcanza un máximo relativo en (20, 24)
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b) Hallar la utilidad máxima
U (x, y) = - 5y2 + 4 xy + 40 y – 7x2 + 6xy + 40 x
U(X, Y) = -5Y2 – 7X2 + 10 xy + 40 y + 40 x
Reemplazamos el punto crítico (x, y) = (20, 24) en nuestra función U
U (20, 24) = S/. 880.00