trabajo final abp1
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8/7/2019 Trabajo Final ABP1
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEINGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERIAINDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
PRIMER ABP“MUSICO SIDERALES”
CURSO: FÍSICA MODERNA
CÓDIGO Y SECCIÓN: CB-313 “U”
ALUMNOS:
ESPINOZA RODRIGUEZ CRISTHIAN MANUEL20094051H
MERINO SUASNABAR NOHELIA MILAGROS20094127D
ZEGARRA CRISPIN RAQUEL BEATRIZ20090133J
PROFESOR:
LIC. CAÑOTE FAJARDO PERCY VICTOR
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FECHA DE ENTREGA:
28 DE ENERO DEL2011
INDICE
I.-Objetivos-------------------------------------------------------------------------------------3
II.- MúsicosSiderales-------------------------------------------------------------------------3
III.- Explicación delproblema---------------------------------------------------------------6
IV.-Marco Teórico-----------------------------------------------------------------------------7
1. ¿QUÉ ES EL ABP?-------------------------------------------------------------------------7
2. TEORÍA DE LA RELATIVIDAD
ESPECIAL----------------------------------------------112.1.Historia--------------------------------------------------------------------
------------12
2.2.Postulados----------------------------------------------------------------------------13
2.3. Transformaciones deLorentz---------------------------------------------------14
2.4.Simultaneidad-----------------------------------------------------------------------16
2.5.Dilatación del tiempo y contracción de lalongitud------------------------17
2.6.Cantidadesrelativistas------------------------------------------------------------19
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2.6.1. Composición deVelocidades--------------------------------------------20
2.6.2. Masa, momento y EnergíaRelativista--------------------------------20
2.6.3. Cantidad deMovimiento-------------------------------------------------21
2.6.4. Equivalencia de Masa yEnergía----------------------------------------22
2.6.5. Fuerza-------------------------------------------------------------------------23
2.7. Causalidad e imposibilidad de movimientos más rápidos
que la luz-24
V.-Preguntasgenerales---------------------------------------------------------------------24
VI.- Hipótesis yconjeturas-----------------------------------------------------------------25
VII.- Solución de la Paradoja-------------------------------------------------------------26
VIII.- Posibles soluciones------------------------------------------------------------------27
IX.- Soluciones para laparadoja----------------------------------------------------------27
X.-Supuestos que se te tienen para elproblema------------------------------------34
XI.-Preguntas
adicionales------------------------------------------------------------------34XII.-Conclusiones----------------------------------------------------------------------------47
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XIII.-Bibliografía------------------------------------------------------------------------------48
I.- OBJETIVOS:
• Comprender los postulados de la Relatividad Especial de
Albert Einstein respecto a la indetectabilidad del
Movimiento Absoluto Uniforme y la constancia de la
Velocidad de la Luz.
• Comparar las medidas realizadas en diferentes sistemas
de referencia inerciales que se mueven con velocidad
constante unos respecto de otros.
• Evaluar las consecuencias de la aplicación de la Teoría
de la Relatividad en la medición de los intervalos de
tiempo y espacio, así como en la frecuencia de la luz
cuando la fuente se desplaza con una velocidad
comparable al de la luz.
II.- MÚSICOS SIDERALES:
Marlon y Rocío son dos hermanos que forman un dúo de
músicos muy talentosos que tienen muchas cosas en común,
entre otras, haber nacido el mismo día y el mismo año. Existe
entre ellos un sentimiento fraternal que les ha permitidoalcanzar un buen nivel de comprensión, tanto en el plano
familiar como profesional.
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El día en que ambos cumplen 20 años, Marlon recibe la noticia
de haber sido contratado en excelentes condiciones
económicas para tocar en una importante banda de rock
universal. El detalle del contrato consiste en que el lugar detrabajo está ubicado en un planeta que se encuentra a 8 años
luz de la tierra, motivo por el cual se produce una obligada
separación entre los dos.
Rocío, que además de la música muestra mucho interés por
temas referidos a la Física, ha conseguido la información de
que la compañía de viajes interestelares “APOCALIPSIS”, quellevará de viaje a Marlon, atravesará el espacio a una
velocidad de crucero igual a 0,8c (“c” es la velocidad de la luz
en el vacío) y que además el viaje durará 6 años.
Esto ha llamado poderosamente la atención de Rocío, pues
sus conocimientos de Mecánica Clásica le han permitido
calcular que este viaje debería durar 10 años.
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Al despedirse, Marlon le propone a Rocío enviarse
mutuamente señales de luz cuando cumplan años. Si al llegar
al lejano planeta Marlon decide emprender el retorno deforma inmediata, el número de señales recibidas por ambos
hasta el instante del reencuentro. ¿Será exactamente el
mismo?
1.¿De qué tratan los Postulados de Einstein?.¿Tienen estos
postulados alguna conexión con el problema planteado?
2.¿Cómo deducir las relaciones de espacio contraído y
tiempo dilatado a partir de las Transformaciones de
Lorentz?
3.Valiéndose sólo de los Postulados de Einstein, ¿qué otro
método podrían aplicar para deducir la misma relación
de tiempo dilatado?
4.Elaboren un análisis relativístico del problema planteado
y formulen una hipótesis de trabajo para resolver la
posible incongruencia de resultados de Rocío.
5.Comparar los resultados acerca del tiempo de viaje
eligiendo como sistema de referencia:
a. La tierra.
b. La nave en que viaja Marlon.
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Utilizar las relaciones de mecánica clásica y las
obtenidas para espacio contraído y tiempo dilatado
según corresponda.
6.Elaboren un juicio de valor acerca de los resultados
obtenidos en la pregunta anterior.
7.En base a uno de los Postulados de Einstein se puede
elegir como sistema en reposo a la nave en que se
encuentra Marlon, entonces ¿cuánto tiempo demoraría
Rocío en volver de su viaje con la tierra? Despreciar el
arranque y el frenado de la nave.
8.Analicen los pasos seguidos hasta aquí y comparando
ahora los resultados de la pregunta (5) con los de la
pregunta (7), ¿cuántos años han pasado realmente para
los dos protagonistas de esta historia?
9.¿Qué le ocurre al valor de la frecuencia de la luz cuandoel observador o la fuente experimentan un movimiento?
10. Explica la conocida expresión: “Corrimiento al rojo”.
11. El conteo de las señales de luz que se enviaron los
protagonistas, ¿permitirá determinar los añostranscurridos para los dos?. Analicen y elaboren una
síntesis del estudio de este fenómeno.
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12. Evalúen otras posibles consecuencias de viajar a
grandes velocidades y el eventual uso práctico de la
dilatación del tiempo en los viajes espaciales.
III.- EXPLICACIÓN DEL PROBLEMA:
• Roció y Marlon son 2 hermanos gemelos, ambos músicos
y tienen 20años.
• Marlon viaja a un planeta X, que se encuentra a 8 años
luz de
la tierra.
• Para que Marlon llegue al planeta X el viaja con una
velocidad 0.8c (“c” es la velocidad de la luz en el vacío)
y según la información de la compañía de viajes
interestelares “APOCALIPSIS”, se sabe que su viaje
demorara 6 años.• Roció utilizando la Mecánica Clásica logró calcular que el
viaje debería durar 10 años.
• Marlon le propone a Rocio enviarse señales mutuamente
cuando cumplan años, pero al final no reciben la misma
cantidad de señales.
• El regreso de Brandon al llegar al planeta “x “se realiza
de
forma inmediata.
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IV.-MARCO TEÓRICO:
1. ¿QUÉ ES EL ABP?
El Aprendizaje Basado en Problemas (PBL-en inglés) es una
alternativa interesante al aprendizaje en el aula tradicional.
Con el ABP, su profesor le presenta un problema, sin clase o
tarea o ejercicios. Dado que no le es impartido “contenido”, su
aprendizaje se activa en el sentido que Ud. descubre y trabajacon el contenido que Ud. determina necesario para resolver el
problema.
El Aprendizaje Basado en Problemas le brindará las
oportunidades para
• evaluar e intentar lo que usted conoce
• descubrir lo que Ud. necesita aprender
• desarrollar sus habilidades inter-personales para lograr
un desempeño más alto en equipos.
• mejorar sus habilidades de comunicación
• establecer y defender posiciones con evidencia yargumento sólido
• volverse más flexible en el procesamiento de información
y enfrentar obligaciones
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• practicar habilidades que necesitara para su educación
Un resumen del Aprendizaje Basado en Problemas:
Este es un modelo simplificado – modelos más detallados sonreferidos debajo.
Los pasos pueden ser repetidos y reciclados.
Los pasos del dos al cinco deberán ser repetidos y revisados a
medida que nueva información esté disponible y redefine elproblema.
El paso seis puede ocurrir más de una vez –especialmente
cuando el profesor pone énfasis en ir “más allá del primer
borrador”.
1. Explore los temas:
Discuta el planteo del problema y enliste las partes
significantes.
Quizás sienta que no sabe lo suficiente para resolver el
problema pero ¡Ese es el desafío! Ud. deberá reunir
información y aprender nuevos conceptos, principios o
habilidades a medida que avanza en el proceso de
resolución del problema.
2. Haga una lista "¿Qué sabemos?”
¿Qué sabe Ud. para resolver el problema?
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Esto incluye tanto lo que Ud. sabe en realidad y que fortalezas
y capacidades cada miembro del equipo tiene.
Considere o apunte los aportes de todos, no importa cuán
extraño pueda parecer: ¡Es una posibilidad!
3. Desarrolle, y escriba, el planteo del problema en suspropias palabras:
Un planteo del problema debería salir del análisis de lo que el
grupo ó Ud. saben y necesitan para resolverlo. Necesitará:
• un planteo escrito
• el acuerdo de su grupo sobre el planteo
• feedback acerca de este planteo de su instructor.
(Esto puede ser opcional, pero es una buena idea)
Nota: El planteo del problema es a menudo revisado y
editado a medida que se descubre nueva información, o se
descarta información “vieja”.
4. Haga una lista de las posibles soluciones
Haga una lista de todas, luego ordénelas de las más factible a
la menos.
Elija la mejor, o la que es más factible que triunfe
5. Haga una lista de las acciones a ser tomadas con unalínea del tiempo
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• ¿Qué tenemos que saber y hacer para resolver el
problema?
• ¿Cómo ordenamos estas posibilidades?
• ¿Cómo se relaciona esto con nuestra lista de soluciones?
• ¿Estamos de acuerdo?
6. Haga una lista "¿Qué necesitamos saber?"
Investigue el conocimiento y la data que respalda su solución.
Necesitará esta información para llenar los espacios faltantes.
• Discuta posibles fuentes: Expertos, libros, sitios web, etc.• Asigne y agende tareas de investigación, especialmente
fechas límite
Si su investigación respalda su solución, y si hayacuerdo general, vaya a (7) Si no, vaya a (4)
7. Escriba su solución con su documentación que larespalda, y entréguela.
Quizás necesite presentar sus hallazgos y /o recomendacionesa un grupo de sus compañeros. Estos deberían incluir el
planteo del problema, preguntas, datos reunidos, análisis de
datos, y respaldo para las soluciones o recomendaciones
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basadas en el análisis de datos: en breve, el proceso y los
resultados.
Presentando y defendiendo sus conclusiones:
La meta es presentar no solo sus conclusiones, sino también
los fundamentos en los cuales descansan. Prepárese para
• Establecer claramente tanto el problema como su
conclusión
• Resuma el proceso que utilizo, las opciones consideradas
y las dificultades que encontró
• Convenza, no agobie. Ponga a otros de su lado, o que
consideren sin prejuicio su documentación de respaldo y
razón.
• Ayude a otros a aprender, como Ud. ha aprendido
• Si es desafiado y tiene una respuesta, preséntela
claramente y si no tiene una respuesta, reconózcalo y
remítala a mayor consideración
Compartir sus hallazgos con profesores y compañeros es una
oportunidad para demostrar lo que ha aprendido. Si conoce
bien el tema, será evidente. Si se suscita una cuestión a lacual Ud. no puede responder, acéptela como una oportunidad
para ser explorada. Sin embargo, tome en serio su atención a
la calidad cuando presente.
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8. Valorice su desempeño.
Este ejercicio de interrogación sirve tanto para el trabajo
individual como para el grupo. Siéntase orgulloso por lo que
ha hecho bien; aprenda de lo que no ha hecho bien. ¡Thomas
Edison se sintió orgulloso de los experimentos fallidos como
parte de su viaje a resultados exitosos!
9. Celebre su trabajo!
2. TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL
La teoría especial de la relatividad, también llamada teoría dela relatividad restringida, es una teoría física publicada en
1905 por Albert Einstein. Surge de la observación de que la
velocidad de la luz en el vacío es igual en todos los sistemas
de referencia inerciales y de sacar todas las consecuencias
del principio de relatividad de Galileo, según el cual cualquier
experiencia hecha en un sistema de referencia inercial sedesarrollará de manera idéntica en cualquier otro sistema
inercial.
La teoría especial de la relatividad estableció nuevas
ecuaciones que permitían pasar de un sistema de referencia
inercial a otro. Las ecuaciones correspondientes conducen a
fenómenos que chocan con el sentido común, siendo uno delos más asombrosos y más famosos la llamada paradoja de
los gemelos.
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La relatividad especial tuvo también un impacto en la filosofía,
eliminando toda posibilidad de existencia de un tiempo y de
un espacio absoluto en el conjunto del universo.
2.1. Historia:
A finales del siglo XIX los físicos pensaban que la mecánica
clásica de Newton, basada en la llamada relatividad de Galileo
(origen de las ecuaciones matemáticas conocidas como
transformaciones de Galileo), describía los conceptos de
velocidad y fuerza para todos los observadores (o sistemas de
referencia). Sin embargo, Hendrik Lorentz y otros habían
comprobado que las ecuaciones de Maxwell, que gobiernan el
electromagnetismo, no se comportaban de acuerdo a las
leyes de Newton cuando el sistema de referencia varía (por
ejemplo, cuando se considera el mismo problema físico desde
el punto de vista de dos observadores que se mueven uno
respecto del otro). El experimento de Michelson y Morley sirvió para confirmar que la velocidad de la luz permanecía
constante, independientemente del sistema de referencia en
el cual se medía, contrariamente a lo esperado de aplicar las
transformaciones de Galileo.
En 1905 un desconocido físico alemán publicó un artículo que
cambió radicalmente la percepción del espacio y el tiempo
que se tenía en ese entonces. Albert Einstein revolucionó al
mundo al postular lo que ahora conocemos como Teoría de la
Relatividad Especial. Esta teoría se basaba en el Principio de
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relatividad y en la constancia de la velocidad de la luz en
cualquier sistema de referencia inercial. De ello Einstein
dedujo las ecuaciones de Lorentz. También reescribió las
relaciones del momento y de la energía cinética para queéstas también se mantuvieran invariantes.
La teoría permitió establecer la equivalencia entre masa y
energía y una nueva definición del espacio-tiempo. De ella se
derivaron predicciones y surgieron curiosidades. Como
ejemplos, un observador atribuye a un cuerpo en movimiento
una longitud más corta que la que tiene el cuerpo en reposo yla duración de los eventos que afecten al cuerpo en
movimiento son más largos con respecto al mismo evento
medido por un observador en el sistema de referencia del
cuerpo en reposo.
En 1912, Wilhelm Wien, premio Nobel de Física de 1911,
propuso a Lorentz y a Einstein para este galardón por la teoría
de la relatividad, expresando que
Lorentz debe ser considerado como el primero en encontrar la
expresión matemática del principio de la relatividad, Einstein
consiguió reducirlo desde un principio simple. Debemos pues
considerar el mérito de los dos investigadores como
comparable.
Einstein no recibió el premio Nobel por la relatividad especial
pues el comité, en principio, no otorgaba el premio a teorías
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puras. El Nobel no llegó hasta 1921, y fue por su trabajo sobre
el efecto fotoeléctrico.
2.1. Postulados:
• Primer postulado - Principio especial de relatividad - Las
leyes de la física son las mismas en todos los sistemas
de referencia inerciales. En otras palabras, no existe un
sistema inercial de referencia privilegiado, que se pueda
considerar como absoluto.
•
Segundo postulado - Invariancia de c - La velocidad de la luz en el vacío es una constante universal, c, que es
independiente del movimiento de la fuente de luz.
El poder del argumento de Einstein está en la manera como
deriva en resultados sorprendentes y plausibles a partir de
dos simples hipótesis y como estas predicciones fueron
confirmadas por las observaciones experimentales.
2.3. Transformaciones de Lorentz
Como hemos mencionado, los físicos de la época habían
encontrado una inconsistencia entre la completa descripción
del electromagnetismo realizada por Maxwell y la mecánica
clásica. Para ellos, la luz era una onda electromagnética
transversal que se movía por un sistema de referencia
privilegiado, al cual lo denominaban éter.
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Hendrik Antoon Lorentz trabajó en resolver este problema yfue desarrollando unas transformaciones para las cuales las
ecuaciones de Maxwell quedaban invariantes y sin necesidad
de utilizar ese hipotético éter. La propuesta de Lorentz de
1899, conocida como la Teoría electrónica de Lorentz, no
excluía —sin embargo— al éter. En la misma, Lorentz
proponía que la interacción eléctrica entre dos cuerpos
cargados se realizaba por medio de unos corpúsculos a los
que llamaba electrones y que se encontraban adheridos a la
masa en cada uno de los cuerpos. Estos electrones
interactuaban entre sí mediante el éter, el cual era contraído
por los electrones acorde a transformaciones específicas,
mientras estos se encontraban en movimiento relativo al
mismo. Estas transformaciones se las conoce ahora como
transformaciones de Lorentz. La formulación actual fue
trabajo de Poincaré, el cual las presentó de una manera más
consistente en 1905.
Se tiene un sistema S de coordenadas y un sistema S'
de coordenadas , de aquí las ecuaciones quedescriben la transformación de un sistema a otro son:
, , ,
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Donde es el llamado factor de Lorentz y es la
velocidad de la luz en el vacío.
Contrario a nuestro conocimiento actual, en aquel momento
esto era una completa revolución, debido a que se planteaba
una ecuación para transformar al tiempo, cosa que para la
época era imposible. En la mecánica clásica, el tiempo era un
invariante. Y para que las mismas leyes se puedan aplicar en
cualquier sistema de referencia se obtiene otro tipo de
invariante a grandes velocidades (ahora llamadas
relativistas), la velocidad de la luz.
2.4. Simultaneidad:
Directamente de los postulados expuestos arriba, y por
supuesto de las transformaciones de Lorentz, se deduce el
hecho de que no se puede decir con sentido absoluto que dosacontecimientos hayan ocurrido al mismo tiempo en
diferentes lugares. Si dos sucesos ocurren simultáneamente
en lugares separados espacialmente desde el punto de vista
de un observador, cualquier otro observador inercial que se
mueva respecto al primero los presencia en instantes
distintos.
Matemáticamente, esto puede comprobarse en la primera
ecuación de las transformaciones de Lorentz:
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Dos eventos simultáneos verifican , pero si sucedieronen lugares distintos (con ), otro observador conmovimiento relativo obtiene . Sólo en el caso y
(sucesos simultáneos en el mismo punto) no ocurreesto.
El concepto de simultaneidad puede definirse como sigue.
Dados dos eventos puntuales E1 y E2, que ocurre
respectivamente en instantes de tiempo t1 y t2, y en puntos
del espacio P1 = (x1, y1, z1) y P2 = (x2, y2, z2), todas lasteorías físicas admiten que estos sólo pueden darse una, de
tres posibilidades mutuamente excluyentes:
1. Es posible para un observador estar presente en el
evento E1 y luego estar en el evento E2, y en ese caso
se afirma que E1 es un evento anterior a E2. Además si
eso sucede no puede existir otro observador queverifique 2.
2. Es posible para un observador estar presente en el
evento E2 y luego estar en el evento E1, y en ese caso
se afirma que E1 es un evento posterior a E2. Además si
eso sucede no puede existir otro observador que
verifique 1.
3. Es imposible para algún observador puntual, estar
presente simultáneamente en los eventos E1 y E2.
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Dado un evento cualquiera, el conjunto de eventos puede
dividirse según esas tres categorías anteriores. Es decir, todas
las teorías físicas permiten fijado un evento, clasificar a los
demás eventos: en (1) pasado, (2) futuro y (3) resto deeventos (ni pasados ni futuros). En mecánica clásica esta
última categoría está formada por los sucesos llamados
simultáneos, y en mecánica relativista eventos no
relacionados causalmente con el primer evento. Sin embargo,
la mecánica clásica y la mecánica relativista difieren en el
modo concreto en que esa división entre pasado, futuro yotros puede hacerse y en si dicho carácter es absoluto o
relativo de dicha partición.
2.5. Dilatación del tiempo y contracción de la longitud:
Como se dijo previamente, el tiempo en esta teoría deja de
ser absoluto como se proponía en la mecánica clásica. O sea,
el tiempo para todos los observadores del fenómeno deja de
ser el mismo. Si tenemos un observador inmóvil haciendo una
medición del tiempo de un acontecimiento y otro que se
mueva a velocidades relativistas, los dos relojes no tendrán la
misma medición de tiempo.
Mediante la transformación de Lorentz nuevamente llegamos
a comprobar esto. Se coloca un reloj ligado al sistema S y otro
al S', lo que nos indica que x = 0. Se tiene las
transformaciones y sus inversas en términos de la diferencia
de coordenadas:
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y
Si despejamos las primeras ecuaciones obtenemos
Para sucesos que satisfagan
De lo que obtenemos que los eventos que se realicen en el
sistema en movimiento S' serán más largos que los del S. La
relación entre ambos es esa γ. Este fenómeno se lo conoce
como dilatación del tiempo.
Si se dice que el tiempo varía a velocidades relativistas, lalongitud también lo hace. Un ejemplo sería si tenemos a dosobservadores inicialmente inmóviles, éstos miden un vehículoen el cual solo uno de ellos "viajará" a grandes velocidades,ambos obtendrán el mismo resultado. Uno de ellos entra alvehículo y cuando adquiera la suficiente velocidad mide el
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vehículo obteniendo el resultado esperado, pero si el que estainmóvil lo vuelve a medir, obtendrá un valor menor. Esto sedebe a que la longitud también se contrae.
Volviendo a las ecuaciones de Lorentz, despejando ahora a x ycondicionando a se obtiene:
De lo cual podemos ver que existirá una disminución debido alcociente. Estos efectos solo pueden verse a grandesvelocidades, por lo que en nuestra vida cotidiana lasconclusiones obtenidas a partir de estos cálculos no tienen
mucho sentido.Un buen ejemplo de estas contracciones y dilataciones fuepropuesto por Einstein en su paradoja de los gemelos.
2.6. Cantidades relativistas:
El pájaro se mueve con velocidad respecto al sistema . Sinembargo, desde el punto de vista del piloto del avión, elpájaro se aleja de él a una velocidad mayor, dada por las
fórmulas del texto.
2.6.1. Composición de velocidades
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La composición de velocidades es el cambio en la velocidadde un cuerpo al ser medida en diferentes sistemas dereferencia inerciales. En la física pre-relativista se calculabamediante
Donde es la velocidad del cuerpo con respecto al sistema ,la velocidad con la que este sistema se aleja del sistema "en
reposo" , y es la velocidad del cuerpo medida en .
Sin embargo, debido a las modificaciones del espacio y eltiempo, esta relación no es válida en Relatividad Especial.Mediante las transformadas de Lorentz puede obtenerse la
fórmula correcta:
Al observar con cuidado esta fórmula se nota que si tomamospara el cuerpo una velocidad en el sistema igual a la de laluz (el caso de un fotón, por ejemplo), su velocidad en siguesiendo , como se espera debido al segundo postulado.Además, si las velocidades son muy pequeñas en
comparación con la luz, se obtiene que esta fórmula seaproxima a la anterior dada por Galileo.
2.6.2 Masa, momento y Energía Relativista:
El concepto de masa en la teoría de la relatividad especialtiene dos bifurcaciones: la masa invariante y la masarelativista aparente. La masa relativista aparente es la masaaparente que va a depender del observador y se puedeincrementar dependiendo de su velocidad, mientras que lainvariante es independiente del observador e invariante.
Matemáticamente tenemos que: donde es la masarelativista aparente, es la invariante y es el factor de Lorentz. Notemos que si la velocidad relativa del factor deLorentz es muy baja, la masa relativa tiene el mismo valorque la masa invariante pero si ésta es comparable con la
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velocidad de la luz existe una variación entre ambas.Conforme la velocidad se vaya aproximando a la velocidad dela luz, la masa relativista tenderá a infinito.
2.6.3 Cantidad de movimiento:
Al existir una variación en la masa relativista aparente, lacantidad de movimiento de un cuerpo también debe serredefinida. Según Newton, la cantidad de movimiento estádefinida por donde era la masa del cuerpo. Comoesta masa ya no es invariante, nuestra nueva "cantidad demovimiento relativista" tiene el factor de Lorentz incluido así:
Sus consecuencias las veremos con más detenimiento en lasección posterior de fuerza.
2.6.4 Equivalencia de Masa y Energía:
Equivalencia masa y energía.
La relatividad especial postula una ecuación para la energía,la cual inexplicablemente llegó a ser la ecuación más famosadel planeta, E=mc2. A esta ecuación también se la conocecomo la equivalencia entre masa y energía.
En la relatividad, la energía y el momento de una partículaestán relacionados mediante la ecuación:
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Esta relación de energía-momento formulada en la relatividadnos permite observar la independencia del observador tantode la energía como de la cantidad de momento. Paravelocidades no relativistas, la energía puede ser aproximadamediante una expansión de una serie de Taylor así
Encontrando así la energía cinética de la mecánica deNewton. Lo que nos indica que esa mecánica no era más queun caso particular de la actual relatividad. El primer términode esta aproximación es lo que se conoce como la energía en reposo (energía potencial), ésta es la cantidad de energía que
puede medir un observador en reposo de acuerdo con lopostulado por Einstein. Esta energía en reposo no causabaconflicto con lo establecido anteriormente por Newton, porqueésta es constante y además persiste la energía enmovimiento. Einstein lo describió de esta manera:
Bajo esta teoría, la masa ya no es una magnitud inalterablepero sí una magnitud dependiente de (y asimismo, idénticacon) la cantidad de energía.
2.6.5 Fuerza:
En mecánica newtoniana la fuerza no relativista puedeobtenerse simplemente como la derivada temporal delmomento lineal:
,
Pero contrariamente postula la mecánica newtoniana, aquí el
momento no es simplemente la masa en reposo por lavelocidad. Por lo que la ecuación ya no es válida enrelatividad. Si introducimos la definición correcta delmomento lineal, usando la masa aparente relativista entoncesobtenemos la expresión relativista correcta:
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Donde es la masa relativista aparente. Calculando la fuerzaanterior se observa el hecho que la fuerza podría no tenernecesariamente la dirección de la aceleración, como sededuce desarrollando la ecuación anterior:
Introduciendo las aceleraciones normal y tangencial:
Existen dos casos particulares de movimiento de una partículadonde la fuerza es siempre paralela a la aceleración, que sonel movimiento rectilíneo uniformemente acelerado y elmovimiento circular uniforme; en el primer caso el factor deproporcionalidad es y el en segundo .
2.7 Causalidad e imposibilidad de movimientos más rápidos quela luz:
Previo a esta teoría, el concepto de causalidad estabadeterminado: para una causa existe un efecto. Anteriormente,gracias a los postulados de Laplace, se creía que para todoacontecimiento se debía obtener un resultado que podíapredecirse. La revolución en este concepto es que se "crea"un cono de luz de posibilidades (Véase gráfico adjunto).
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Se observa este cono de luz y ahora un acontecimiento en elcono de luz del pasado no necesariamente nos conduce a unsolo efecto en el cono de luz futuro. Desligando así la causa yel efecto. El observador que se sitúa en el vértice del cono yano puede indicar qué causa del cono del pasado provocará elefecto en el cono del futuro.
Asumiendo el principio de causalidad obtenemos que ningunapartícula de masa positiva pueda viajar más rápido que la luz.A pesar que este concepto no es tan claro para la relatividad general.
Pero no solo el principio de causalidad imposibilita elmovimiento más rápido que el de la luz. Imagínese un cuerpo
que experimenta una fuerza durante una cantidad infinita de
tiempo. Tenemos entonces que: (donde dp es eldiferencial de la cantidad de movimiento y dt el del tiempo).Sabemos que la cantidad de movimiento relativista presentala ecuación: y mientras más esta cantidad demovimiento se acerca al infinito, V se acerca a c. Lo que paraun observador inmóvil determinaría que la inercia del cuerpoestaría aumentando indefinidamente.
En el modelo estándar existen unas partículas aún teóricasque podrían viajar más rápido que la luz, los taquiones,aunque éstas siguen siendo aún hipotéticas.
V.-PREGUNTAS GENERALES:
.Como se explica que este viaje emplee menos tiempode lo que le corresponde?
La explicación se basa en la dilatación del tiempo predichapor la teoría especial de la relatividad. Esta postula que lamedida del tiempo no es absoluta y que dados dosobservadores, el tiempo medido entre dos eventos por estosobservadores, no coincide; la diferente medida de tiemposdepende del estado de movimiento relativo entre ellos. Así enla teoría de la relatividad las medidas tanto del tiempo como
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del espacio son relativas y no absolutas, ya que dependen delestado de movimiento del observador.
En caso Marlon decida emprender el retorno de formainmediata. La cantidad de señales entre ambos hastael momento del reencuentro serán los mismos?
No, la cantidad de señales que envían cada uno va a serdiferente.
Puesto que una de las consecuencias de la TER de Einstein esque los eventos en diferentes posiciones que ocurren demanera Simultánea en un marco no son simultáneos en otromarco que se Mueve de manera uniforme respecto al primero,a pesar de que la Velocidad de las señales de luz es la mismaen ambos marcos de referencia (por el segundo postulado deEinstein) las frecuencias cambiaran por consecuencia de la
dilatación del tiempo, esto lo explica por el efecto Dopplerrelativista.
VI.- HIPÓTESIS Y CONJETURAS:
• La medida del tiempo no es absoluta, y que dados dosobservadores el tiempo medido por estos observadores,en general, no coincide sino que la diferente medida de
tiempos depende del estado de movimiento relativoentre ellos.
Es decir:
Si Rocío fuera el observador O y su hermano, que viajaen la nave de “APOCALIPSIS”, el observador O’, entonces
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los intervalos de tiempo que cada uno experimentaráserán diferentes , para Marlon el tiempo pasa másdespacio que para Rocío.
Y si Marlon fuera el observador O y su hermana, queesta en la tierra ,el observador O’, entonces losintervalos de tiempo que cada uno experimentará serándiferentes , para Rocío el tiempo pasa más despacio quepara Marlon , esto debido a que, ahora Marlon estaestacionario.
VII.- SOLUCIÓN DE LA PARADOJA:
Para Rocío han pasado 20 años mientras que para Marlon solo12 años. Desde el marco de referencia de Rocio, ella estabaen reposo mientras su hermano viajó a gran velocidad. Deacuerdo a la perspectiva de Marlon, él era el que seencontraba en reposo mientras Rocío efectuaba un recorridoespacial de alta velocidad. Según Marlon, Rocío y la tierrafueron los que se embarcaron en un viaje de 6 años y despuésvolvieron en otros 6 años. Pero esto es una contradicción yaque para ella han pasado 20 años. Es decir, ambos esperan
ver a su otro hermano más joven que él o ella mismo. Ylógicamente, esto no puede ocurrir. O tienen la misma edad, ouno es más joven que el otro, pero no puede ser que ambossean más jóvenes que el otro simultáneamente. He aquí quese encuentra la paradoja.
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La teoría de la Relatividad trata con marcos de referenciainerciales que se mueven unos con respecto de otros avelocidad uniforme. Sin embargo, la situación que se da en elviaje no es simétrica. Marlon, el viajero espacial, debe sufriruna serie de aceleraciones durante su trayectoria. Comoconsecuencia, su velocidad no siempre es uniforme y por elloMarlon no se encuentra en un marco inercial. Él no puedeconsiderarse como si siempre estuviera en reposo y con siRocío estuviera en movimiento uniforme. Ya que hacerlo así sería una aplicación incorrecta de la teoría especial de laRelatividad. La conclusión de que Marlon está en un marco noinercial es ineludible. El tiempo requerido para acelerar ydesacelerar la nave de Marlon puede hacerse muy pequeñoempleando grandes cohetes, por lo que Marlon puede afirmar
que él gasto más tiempo viajando al planeta X a 0.8c en unmarco inercial. Sin embargo Marlon, debe frenar, invertir sumovimiento y regresar a Tierra en un marco inercial porcompleto diferente. En el mejor de los casos, Marlon seencuentra en dos marcos inerciales diferentes durante suviaje. Únicamente Rocío, quien está en un solo marco inercial,puede aplicar la fórmula simple de la dilatación del tiempo alrecorrido de Marlon. De esta manera, Rocío descubre que envez de envejecer 20 años, Marlon envejece sólo
( ( )añoscv 201
22
− = 12 años. Por otra parte Marlon tarda 6 añosen viajar al planeta X y 6 años en regresar, para un tiempo deviaje total de 12 años.
VIII.- POSIBLES SOLUCIONES:
Sol 01: El tiempo transcurrido será menor para el viajero sisu velocidad es muy cercana a la velocidad de la luz, pues de
este modo el tiempo transcurre más lentamente en ella.
Sol02: El tiempo puede ser calculado tomando a la navecomo un sistema de reposo y a la tierra y Roció enmovimiento, en cuyo caso su valor debe ser igual al queanuncia la compañía de vuelos para el viaje de Marlon. Aquí es de esperar la existencia de una asimetría.
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Sol03: El número de señales deben ser diferentes, rociórecibe menos señales luminosas que Marlon, pues este seencuentra en movimiento y esto afecta a la frecuencia de laluz.
IX.- SOLUCIONES PARA LA PARADOJA:
Solución 1: CONSIDERANDO LA DISTANCIA QUE RECORRENLOS DESTELLOS QUE SE ENVÍAN
Incluso idealizando el viaje de Marlon, éste consta demovimiento en dos sistemas de referencia inerciales distintosy un salto mientras pasa de la nave espacial al transbordador
de regreso a la Tierra. Solamente Rocío permanece en unsistema de referencia inercial simple, de modo que solo ellapuede aplicar correctamente la fórmula de dilatación deltiempo de la relatividad especial al viaje de Marlon. Así Rocíoencuentra que en vez de envejecer 20 años (16 años-c/0.8c),
Marlon solo envejeció . Resulta
evidente que Marlon dedicó 6 años para ir al planeta X, y 6años para volver a la Tierra, en concordancia con el
planteamiento inicial.Esto puede confirmarse desde el sistema de referencia deMarlon si se usa la teoría de la relatividad especial, perotomando en cuenta el hecho de que el viaje idealizado deMarlon se realiza en dos sistemas de referencia inercialesdistintos.
Ahora, supongamos que Rocío celebra su cumpleaños cadaaño, enviando un poderoso pulso láser para informar a Marlon
que ha cumplido otro año. Debido a que Marlon está en unsistema de referencia inercial en el viaje espacial en el que elmovimiento de recesión de la Tierra parece ser de 0.8c, losdestellos ocurren a una razón de uno cada
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Lo anterior ocurre porque los relojes en movimiento avanzanmás despacio. También, debido al movimiento de recesión dela Tierra, cada destello consecutivo debe recorrer unadistancia adicional de (0.8c)(1.666666667años) entredestellos. En consecuencia, Marlon observa que para él losdestellos llegan con un tiempo total de 1.666666667 años +(0.8c)(1.666666667años)/c=3 años. Así, el número total dedestellos observados por Marlon en su viaje es (1 destello/3años) (6 años)= 2 destellos. Esto significa que Marlon observaque el reloj en la Tierra avanza con más lentitud que el suyoen el viaje espacial debido a que para él han pasado 6 años,mientras que en la Tierra sólo han transcurrido 2 años.
En el viaje de vuelta, debido a que la Tierra se dirige haciaMarlon a una velocidad de 0.8c, los destellos consecutivostienen menos distancia que recorrer, y el tiempo total queMarlon observa entre la llegada de los destellos se acortadrásticamente: 1. 666666667años – (0.8)(1.666666667años)=0.3333333333 años/destello. Así,
durante el viaje de regreso, Marlon observa (1destello/0.3333333333 años) (6 años)=18 destellos.
En suma durante sus 12 años de viaje, Marlon recibe (2+18)destellos, lo cual indica que Rocío ha envejecido 20 años.
La relatividad especial no falla en cuanto al análisis de lasituación de Marlon en la medida en que se tomen en cuentaestos dos sistemas de referencia inerciales y se supongantiempos de aceleración y desaceleración despreciables. Ensus viajes de ida y vuelta, Marlon considera correctamenteque los relojes en la Tierra avanzan más despacio que el suyo,aunque en el viaje de regreso su rápido desplazamiento hacialos destellos de luz compensa la tasa de destellos más lenta.
Solución 2: LÍNEAS UNIVERSO
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Por la relatividad especial tenemos que el tiempo de quien se
mueve se "frena" en un factor y así
=0.6, o sea que relativamente hablando Marlon solo tardará 6
años de tiempo propio en ir y volver, volviendo más joven queRocío.
La visión del fenómeno se puede representar en un gráficoespacio-tiempo (e-cti) poniendo en el eje Y un supuestoespacio complejo cti. La línea que recorre cada persona es su"línea de universo". Evidentemente la máxima inclinación deuna línea respecto al eje Y será de 45 grados pues lavelocidad de la luz es la máxima. Así desde el punto de vistade Rocío, tenemos el siguiente diagrama e-t (cada puntorepresenta un año).
Podemos ver que cuando Marlon llega a X, para Marlon hanpasado 6 años mientras para Rocío han pasado 10 años, ycuando Marlon vuelva la Tierra habrán pasado 12 años paraMarlon y 20 para Rocío.
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Pero según el punto de vista de Marlon durante el trayecto deida (y de una partícula acompañante a Marlon que siguiera enlínea recta después de llegar a X) el diagrama e-t es diferente:
Para empezar, para Marlon y su partícula acompañante la
Tierra es la que se aleja a velocidad 0,8c (y “X” se acerca aMarlon a velocidad 0,8c) y la distancia entre la Tierra (O) y (X)ha encogido en un factor de 0,6 (siendo ahora de 8x0.6=4.8años luz) ya que podemos considerar una regla que una losdos planetas y que se mueva con velocidad 0.8c contraída porefecto relativista.
Así al final de la ida cuando Marlon llega a X, para Marlon y supartícula acompañante han pasado 6 años (4.8/0.8=6)mientras que para X y para la Tierra sólo han pasado
6x0.6=3.6 años (trazar una horizontal en X y ver donde cortaa la línea Rocío).
Una vez llegado a X, Marlon ha girado 180 grados y el gráficoes sólo válido desde el punto de vista de la partículaacompañante ya que Marlon se aleja ahora de dicha partícula
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a una velocidad según el teorema de adición de velocidades,que es
0.975609756c, o sea a ¡casi la
velocidad de la luz!
Para la partícula viajera resulta que ahora Marlon tiene un
tiempo "frenado" en un factor de
=0.219512195, aún más lento que Rocío que lo tiene en 0.6(esto hace que los puntos azules estén muy distanciados(gran enlentecimiento temporal)).
El cálculo del tiempo que tarda Marlon en volver a la Tierrasegún la partícula viajera puede resultar lioso, pues el sistema Tierra-X se mueve y la velocidad de Marlon es relativa, salvosi usamos un truco para hacerlo de modo correcto y rápido. Esa partir del tiempo de 6 años que sabemos que Marloncronometrará en la vuelta.
De este modo los seis años que Marlon cronometra que tardaen volver a la Tierra son para la partícula viajera más:
6/0.219512195 = 27.33332 años. O sea que según lapartícula viajera Marlon tarda 27.33332 años en volver a la Tierra, pero por su cambio temporal Marlon tarda sólo 6 añosen volver en tiempo propio.
Y este tiempo transcurrido para Rocío, al tener el tiempo máslento que la partícula viajera en 0.6, será 0.6*27,33332=16.4años.
Así que desde el inicio de la aventura Marlon tarda 6+6= 12años de tiempo propio en ir y volver y Rosa vive en eseperiodo 3.6 + 16.4 = 20 años.
Justo lo mismo que cuando supusimos que el reposo estabaen la Tierra. Justo lo que ocurre en realidad.
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La RE da el mismo resultado para esta experiencia tomemosel sistema de referencia que tomemos como en reposo. NOhay paradoja.
Solución 3: Usando el Efecto Doopler
En el ámbito del problema, si se considerase las señales deluz, las frecuencias cambiarán por consecuencia de ladilatación del tiempo, como lo explica el efecto DopplerRelativista ,lo primero que deberíamos buscar es a que razónocurren las señales de luz.
( ) ( )( )añosaños
cccv 6
10
8.01
1
1
1
2222=
−=
−
Esto es debido a que los relojes en movimiento (el efecto senota más a velocidades cercanas a la luz) avanzan másdespacio. También considerando el movimiento de recesiónde la Tierra, cada destello consecutivo debe recorrer unadistancia adicional de (0.8c)(10/6años) entre las señales deluz. En consecuencia Marlon observa que los destellos llegancon un total de tiempo de:
(10/6años)+(0.8c)(10/6años)/c=3años.
Así el número de señales de luz observados por Marlon en suviaje de ida es:
(1señal/3años)(6años)=2señales.
Esto quiere decir que Marlon observa que el reloj de la Tierraavanza con más lentitud que el suyo en su viaje espacialdebido a que para él han pasado 6 años, mientras que en la
tierra han transcurrido solamente 2 años.
En el viaje de vuelta a la Tierra, debido a que la Tierra sedirige hacia Marlon a una velocidad de 0.8c, las señalesconsecutivas tienen menos distancia que recorrer y el total detiempo q Marlon observa se acorta drásticamente:
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(10/6años)-(0.8c)(10/6años)/c=1/3 años.
De esta manera Marlon observa:
[1señal/(1/3años)](6años)=18señales.
En suma durante los 12 años de viaje de Marlon, Rocío haenvejecido 20 años. Observar que la relatividad especial nofalla en cuanto a la situación de Marlon en la medida en quese tomen en cuenta dos sistemas de referencia inerciales y sesupongan tiempos de aceleración y desaceleracióndespreciables. Y con esto queda demostrado que el numerode señales que ambos hermanos son diferentes.
Marlon recibe 2 señales en su viaje de ida :
f= fo ((1+0.8)/(1-0.8))1/2
f= fo (3) ,f/fo =3
,pues observa que los destellos llegan con un total de tiempode 3 años. (1señal/3años)(6años)=2señales.
Y recibe 18 señales en su viaje de vuelta:
f= fo ((1-0.8)/(1+0.8))1/2
f= fo (1/3) ,f/fo =1/3
,pues observa que los destellos llegan con un total de tiempode 1/3 años. (1señal/1/3años)(6años)=18señales.
Rocío recibe 6 señales en 2 años en su viaje de ida :
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f= fo ((1-0.8)/(1+0.8))1/2
f= fo (1/3) ,f/fo =1/3
[1señal/(1/3años)](2años)=6señales.
y recibe en 18 años 6 señales en su viaje de vuelta
f= fo ((1+0.8)/(1-0.8))1/2
f= fo (3) ,f/fo =3
[1señal/(3años)](18años)=6señales.
X.-SUPUESTOS QUE SE TE TIENEN PARA ELPROBLEMA:
• Despreciamos la velocidad de rotación y traslación de latierra.
• Despreciamos el efecto de atracción de los planetas y dela tierra hacia la nave.
XI.-PREGUNTAS ADICIONALES:
1. ¿De qué tratan los Postulados de Einstein? ¿Tienen estos postulados
alguna conexión con el problema planteado?
POSTULADOS DE EINSTEIN
• Las leyes de la física son las mismas en cualquier marcode referencia inercial (principio de relatividad).
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• La velocidad de la luz en el vacío tiene el mismo valorC=3x en cualquier marco de referencia inercial(principio de la constancia de la velocidad de la luz).
El primer postulado, este implica que el movimiento en línearecta y a velocidad constante sólo se puede observar si existeun marco de referencia contra el cual comparar. Por lo tantono existe un marco de referencia absoluto con respecto alcual se pueden comparar todos los movimientos. Entoncescualquier sistema de referencia inercial está apto para
describir un fenómeno físico.
El segundo postulado contradice las transformaciones deGalileo y confirma los resultados del experimento deMichelson y Morley: si la velocidad de la luz es constante nohay diferencia de tiempo entre dos recorridos de la luz y porconsiguiente no puede haber corrimiento de las franjas de
interferencia al girar el interferómetro. Además, también nosdice que la velocidad de la luz es independiente delmovimiento del observador o de la fuente.
Estos postulados tienen relación con el problema, ya que elprimer postulado se relaciona en cualquier marco dereferencia, en el problema se relaciona a la tierra donde estaRocío, así como también otros dos sistemas de referenciainercial serían la nave donde Marlon viaja en la ida y el“transbordador” que utiliza para el retorno (en realidad el
regresa en la misma nave, pero necesitamos asumir queMarlon hará sus movimientos en 2 sistemas inercialesdistintos).
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2. ¿Cómo deducir las relaciones de espacio contraído y tiempo dilatado a
partir de las Transformaciones de Lorentz?
DILATACIÓN DEL TIEMPO:
Para hallar el tiempo dilatado se quiere de la siguienteexpresión:
′
+′=2
c
xvt t γ
A partir de ésta, tomaremos un tiempo t1 y t2 donde x’ será la
misma en ambos casos:
( )
t t
t t t t
c
xvt t
c
xvt t
′∆=∆
′−′=−
′+′=
′
+′=
γ
γ
γ
γ
2121
222
211
Con respecto al supuesto planteado inicialmente secomprueba la dilatación del tiempo a partir de las ecuacionesde Lorentz, donde 1>γ
CONTRACCIÓN DE LA LONGITUD:
Asimismo, se desarrolla respecto al espacio contraído, setomará en cuenta la transformación de Lorentz que contieneal desplazamiento en X y X’.
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( )vt x x −=′ γ
A partir de la última ecuación:
( )
( )
( )
γ
γ
γ
γ
γ
p
p
L L
L L
x x x x
vt x x
vt x x
=
=
−=′−′
−=′
−=′
2121
22
11
3. Valiéndose sólo de los Postulados de Einstein, ¿qué otro método
podrían aplicar para deducir la misma relación de tiempo dilatado?
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Teniendo en cuenta que la velocidad de la luz es constante sinimportar el sistema de referencia inercial y que las leyes de lafísica son las mismas sin importar el sistema de referenciainercial.
Por tanto consideremos la siguiente situación en la cual seencuentran dos observadores, uno en el suelo y otro en unvagón a velocidad v; el que está en el vagón lanza un haz deluz hacia el techo (que posee un espejo) de forma vertical, elespejo lo refleja y regresa al emisor. El tiempo recorrido total
por el haz de luz es de
Pero el observador en el suelo ha visto una trayectoriainclinada, la luz debe haber recorrido dos componentes, unavertical propia del observador en el vagón y una horizontaldebido al movimiento del vagón.
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El teorema de Pitágoras establece que:
4. Elaboren un análisis relativístico del problema planteado y formulen
una hipótesis de trabajo para resolver la posible incongruencia de
resultados de Rocío.
Lo que sucede en el problema es que los dos observadoresestán en distintos sistemas de referencia, tanto Rocío comoMarlon.
Rocío se encuentra en la tierra y su sistema de referencia esesta, todo lo que percibe es respecto a la tierra, ella no ve nipercibe la contracción de longitudes ni la dilatación deltiempo.
El problema se centra en los postulado de Einstein en el cualpara cualquier sistema las leyes físicas se cumplen, y lavelocidad de la luz es la misma para cualquiera que sea elobservador, en el momento en que Marlon comienza a
mandar las luces, este recorre una distancia, que en unsistema puede ser la distancia menor, y en el otro sistema dereferencia puede verse mayor y en esto es que ven que susrelojes se diferencian, y cada uno se ven más jóvenes.
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Como ya hemos comentado antes, el problema de la paradojareside en que dependiendo del sistema inercial en queobservemos los sucesos, tanto Marlon como Rocío se ven más jóvenes, pero no podemos tomar como sistema inercial elcaso de Marlon debido a que su sistema sufre aceleraciones loque rompe su estado de observador inercial, pero esta partese puede solucionar colocando un reloj que se encuentresincronizado con la tierra en ese caso Marlon al llegar alplaneta va observar que este se encuentra adelantado al suyo(6.4 años) más el tiempo que le ha tomado en llegar que seríade 3.6 años calcularía el mismo tiempo de 10 años que tieneRocío, el mismo caso sucedería cuando Marlon realice el viajede regreso.
5. Comparar los resultados acerca del tiempo de viaje eligiendo como
sistema de referencia: La tierra y la nave en que viaja Marlon.
a) La tierra:
Tenemos:
Distancia al planeta “X” = 8años-luz
Siendo la tierra nuestro sistema de referencia tenemos queRocío calcula en el instante en que Marlon ha recorrido 8años luz el reloj de Rocío registra (Según la mecánica clásica):
t =
Los dos sucesos el momento en que sincronizan Rocío yMarlon sus relojes y el recorrido de Marlon de 8 a-c no están
en el mismo punto en este marco de referencia, por lo que t=10 años. El reloj de Marlon está en reposo en relación con él,y su reloj mide un tiempo transcurrido igual a to.
……………………….. (1)
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Donde γ
γ = _______1_______ = 5/3
De (1):
En este sistema de referencia (tierra) el tiempo propio será eltiempo medido por Marlon. (to).
añost
t 63/5
10' ==
∆=∆
γ
b) Para la nave en que viaja Marlon:
Debido a la contracción de longitud para Marlon el recorridoque realiza lo realiza en solamente 6 años. Sin embargopodemos indicar que para Marlon el que sufre la contraccióndel tiempo es Rocío por encontrarse en un sistema que semueve respecto a él. Siendo el T de Marlon igual a 6 años.Para este sistema de referencia el tiempo propio será eltiempo en el reloj de Rocío.
Por lo tanto el tiempo de movimiento de Rocío según Marlonserá:
TRocio = 3/5 TMarlon es igual a 3.6 años
Para detectar los 3.6 años que demora Rocío, Marlon usa en“X” un reloj que solo es sincrónico para Rocío, entonces elreloj en “X” (perseguidor) adelanta con respecto a Rocío una
cantidad igual a:
Luego lo que debería ver Marlon será 3.6+ = 3.6+6.4años =
10 años que vendría ser el verdadero tiempo.
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6. Elaboren un juicio de valor acerca de los resultados obtenidos en la
pregunta anterior.
Ciertamente tenemos que Marlon bajo las especificaciones
anteriores ha recorrido la trayectoria del viaje en solamente12 años en comparación de lo experimentado por Rocío parala cual el trayecto es de 20 años, esto es normal dentro de losparámetros de la teoría de la relatividad especial. Debido a lacontracción de la longitud y la dilatación del tiempo.
Pero debemos tener en cuenta que la medición de Rocío serealiza por que se encuentra en un sistema referencialinercial, a diferencia de Marlon que no podría obtener lamisma medición debido a que se encuentra en un sistemareferencial no inercial. Indicamos que se encuentra en unsistema referencial no inercial debido a que la nave podríasufrir aceleración a lo largo de su trayectoria y por lo tanto lavelocidad no sería uniforme.
En caso se considerara la aceleración de la nave entonces setendría que trabajar con los conceptos de la teoría derelatividad general.
Entonces finalmente:1.Tanto según los cálculos y predicciones del sistema inercialdel gemelo terrestre como los cálculos según el sistema delgemelo viajero, ambos concluirán que el gemelo terrestre esquien envejecerá más, ya que el tiempo medido durante eltranscurso del viaje es mayor para él.
2.La paradoja puede ser resuelta dentro de la propia teoría dela relatividad especial, aunque se requiere el uso de sistemas
inerciales y tener precauciones especiales para asegurar lacontinuidad de la métrica.
7.En base a uno de los Postulados de Einstein se puede elegir como
sistema en reposo a la nave en que se encuentra Marlon, entonces
47Marlon
Rocío
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¿cuánto tiempo demoraría Rocío en volver de su viaje con la tierra?
Despreciar el arranque y el frenado de la nave.
Marlon se moverá 6 años en volver según él.
Él erróneamente aplicará la siguiente fórmula de dilatación:
Ya que la velocidad será
Marlon cree que Rocío demorará tan solo 3,6 años en volver
(Él cree que Rocío se mueve)
8.Analicen los pasos seguidos hasta aquí y comparando ahora los
resultados de la pregunta (5) con los de la pregunta (7), ¿cuántos años
han pasado realmente para los dos protagonistas de esta historia?
Se tiene:Rocío en (5): 10 años
Rocío en (7): 3,6 años
Realmente hay un error, como dijimos en (7) Marlon aplicómal la fórmula debido a que Marlon y su nave son los
sistemas en movimiento y no Rocío. Si quería saber realmenteel tiempo debió haber aplicado la fórmula que describimos alinicio.
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¡¡¡ Esto es absurdo!!! (Tiempo de ida)
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9.¿Qué le ocurre al valor de la frecuencia de la luz cuando el observador ola fuente experimentan un movimiento?
Si el objeto se acerca, la luz tendrá una longitud de onda máscorta, desplazándose hacia el azul. (Corrimiento al azul)
Lo que en ecuaciones lo tenemos como:
fuenteobs
vc
vcν ν
−
+=
Y si el objeto se aleja, la luz tendrá una longitud de onda máslarga, desplazándose hacia el rojo. (corrimiento al rojo)
Lo que traducido a ecuaciones es:
fuenteobs
vc
vcν ν
+
−=
10.Explica la conocida expresión: “Corrimiento al rojo”.
El corrimiento al rojo es definido como un incremento en lalongitud de onda de radiación electromagnética recibidas porun detector comparado con la longitud de onda emitida por lafuente. Este incremento en la longitud de onda se
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corresponde con un decremento en la frecuencia de laradiación electromagnética.
El corrimiento gravitacional hacia el rojo, el efecto Doppler dela luz y el corrimiento cosmológico al rojo por la expansión deluniverso forman el conjunto de tres corrimientos hacia el rojodistintos que se confunden a menudo por producir cambiossimilares en la frecuencia de las ondas electromagnéticas.
Los tipos de corrimiento al rojo:
Un simple fotón propagado a través del vacío puededesplazarse hacia el rojo de varias maneras distintas.
Cada una de estas maneras produce un desplazamiento detipo Doppler, que son descritos mediante transformacionesgalileanas, lorentzianas o relativistas entre un sistema dereferencia y otro.
11.El conteo de las señales de luz que se enviaron los protagonistas,
¿permitirá determinar los años transcurridos para los dos?. Analicen y
elaboren una síntesis del estudio de este fenómeno.
Si, pues las señales viajarán a la velocidad de la luz, la cual esuna invariante, y serán recibida un cierto tiempo dependiendode la velocidad de la fuente emisora. Esto se vio en la tercerasolución presentada al problema usando el concepto delefecto Doppler.
12.Evalúen otras posibles consecuencias de viajar a grandes
velocidades y el eventual uso práctico de la dilatación del tiempo en los
viajes espaciales.
En cuanto a viajar a grandes velocidades a estrellas lejanas, lacontracción relativista del tiempo puede beneficiar a lostripulantes de la nave espacial, acortando el tiempo de untrayecto; pero el transcurrido en la Tierra puede ser de sigloso milenios.
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Por todo lo anterior, la imposibilidad de rebasar la velocidadde la luz parece que nos condena a permanecer eternamenteen nuestro pequeño rincón de la Galaxia, separados porenormes distancias de otros astros —salvo unos cuantos muycercanos— y, quizás, de civilizaciones extraterrestres. Por eso,la posibilidad de viajar, o al menos comunicarse, a unavelocidad superior a la luz es una ilusión muy cara; sinembargo, las dificultades no son simplemente técnicas, sinoque están relacionadas con la misma geometría del espaciotiempo.
En primer lugar, si bien es cierto que se necesita una energíainfinita para alcanzar la velocidad de la luz, cabe preguntarsesi no existe algún mecanismo desconocido, quizás relacionado
con efectos cuánticos, que permita rebasar esa barrera enalguna forma no prevista por la física actual. Además podríanexistir partículas que, desde que nació el Universo, poseanuna velocidad superior a la luminosa; a tales hipotéticaspartículas incluso se les ha dado un nombre: taquiones (delgriego tachys: velocidad). Si existieran, los taquionesresolverían el problema de las comunicaciones interestelares,al permitir enviar mensajes más veloces que las señalesluminosas. Por otra parte, en algunos libros o películas de
ciencia ficción los personajes se "teletransportan", o viajan através de un supuesto "hiper espacio", o cualquier cosa queimplique su desaparición en un punto y su aparición en otromuy lejano. Pero veremos a continuación que la posibilidad deviajar o enviar señales más rápidamente que la luz equivale aun viaje aparentemente muy distinto, pero más difícil deconcebir: ¡un viaje al pasado!
El tiempo transcurrido entre dos sucesos depende de lavelocidad de quien lo mide. Supongamos que en algún lugar
se produce el suceso A, consistente en la emisión de unapartícula material, o de una señal luminosa; tal partícula oseñal es recibida en otro punto en algún momento: llamemossuceso B a esa recepción distante. El tiempo transcurridoentre los sucesos A y B depende del sistema de referencia enel que se observan esos dos sucesos y varía, por lo tanto, deacuerdo con la velocidad del observador. Sin embargo, se
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puede denostar que, debido a la estructura geométrica delespacio tiempo, el tiempo transcurrido entre A y B no puedenunca invertirse: no existe ningún observador para quien larecepción de la señal (suceso B) preceda su emisión (sucesoB). Éste es, el principio de causalidad, fundamental en lafísica: si el suceso A es la causa de suceso B, entonces Asucede antes que B en cualquier sistema de referencia: elorden causa-efecto es invariante.
Sin embargo, para que los dos sucesos considerados tenganuna relación causal, es decir que A pueda influir sobre B, esnecesario que la acción de A viaje a una velocidad menor oigual que la velocidad de la luz. Por ejemplo, lo que ocurre enla Tierra a la 1 P.M. puede ser un suceso conectado
causalmente con el suceso que ocurre en la Luna a las 2 P.M.ya que una hora es suficiente para ir o mandar una señal a laLuna, incluso a velocidades menores a la de la luz. Por otraparte, lo que sucede en este instante en la estrella AlfaCentauri no puede tener relación causal con ningún sucesopresente en la Tierra; si Alfa Centauri explotara en estemomento, tendríamos que esperar al menos cuatro años paraenterarnos de ello.
Ahora bien, el principio de causalidad no se aplica a laspartículas que se mueven más rápidamente que la luz. Si elsuceso A es la emisión de un taquión y el suceso B larecepción de ese taquión, entonces puede existir un sistemade referencia en el cual B antecede a A , es decir, el receptorparece emitir al taquión y el emisor recibirlo: se puededemostrar que eso ocurre en cualquier sistema de referenciaque se mueva con respecto al emisor y al detector con unavelocidad superior a c2/vT, donde vT es la velocidad deltaquión (la velocidad del sistema de referencia mencionado es
menor que c porque vT es mayor que c). Dicho de otro modo,el concepto de pasado y futuro para un taquión es relativo. Untaquión "viaja" hacia el futuro o hacia el pasado, según lavelocidad de quien lo observa.
Así, de existir los taquiones, o cualquier posibilidad dedesplazarse más rápidamente que la luz, sería posible, viajar
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al pasado. Por ejemplo, se podría utilizar un dispositivoconsistente en dos emisores-receptores de taquiones que sealejan uno de otro a velocidad lo suficientemente grande. Elprimer aparato emite una señal taquiónica, que el segundoaparato recibe y contesta inmediatamente con otra emisiónde taquiones. ¡La respuesta llegaría al primer aparato antesde que haya emitido su primera señal!
Un sistema de emisores y detectoresde taquiones podría permitir que unaseñal taquiónica regrese antes desalir.
O bien, imaginémonos que en elfuturo se inventara un "teletransportador" tal que permitiera aun viajero espacial desaparecer en la Tierra y materializarseen algún lugar lejano, implicando un desplazamiento a mayorvelocidad que la luz. Nuestro viajero podría llevarse unteletransportador consigo para poder regresar a la Tierra.Pero, en ese caso, cabe la posibilidad de que el viajero iniciesu retorno desde un planeta en movimiento tal que ¡regrese
antes de haber salido!¿Es posible viajar al pasado? Independientemente decualquier restricción impuesta por las leyes de la física, elhecho de regresar en el tiempo implica una situaciónsumamente contradictoria. En efecto, si una señal taquiónicapuede regresar antes de ser emitida, ¿qué pasaría si en ellapso de tiempo entre su recepción y su misión se decidedestruir el emisor de taquiones? Más aún, si una personapudiera regresar al pasado ¿qué ocurriría si se encontrara
consigo mismo de niño... y decidiera "asesinarse”?
Invertir el sentido del tiempo no parece ser factible, más porrazones lógicas que por motivos físicos. Lo que, no es tanevidente, y queremos subrayarlo, es que, debido a la peculiargeometría del espacio tiempo, un viaje en el espacio a mayorvelocidad que la luz es enteramente equivalente a un viaje
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