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7/25/2019 TPICOS ESPECIAIS DE GEOMETRIA PLANA.pdf

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Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.

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TPICOS ESPECIAIS DE GEOMETRIA PLANA

1. ORTOCENTRO

As trs alturas de um tringulo (ou seus prolongamentos) concorrem em um nico ponto denominadoortocentro.

Demonstrao:

Sejam BE e CF duas alturas do ABC que se cortam no ponto H , e seja AD a ceviana passando porH .

#AFHE inscritvel FAH FEH BFC BEC 90 # BFEC inscritvel FEH FCB

CHD AHF 90 CDH 180 CHD DCH 180 90 90 Logo, AD BC , ou seja, AD tambm uma altura do ABC , o que implica que as trs alturas dotringulo encontram-se em um nico ponto.

Outra forma de provar a concorrncia das trs alturas traar pelos vrtices A , B e C retas paralelasaos lados opostos. Assim, #ABCJ e #ACBK so paralelogramos, o que implica BC AJ AK e

BC AJ AK , logo A ponto mdio de KJ e, como 1AH BC , ento 1AH KJ . Assim, conclui-se

que 1AH a mediatriz do lado KJ do IJK .

Analogamente 2BH e 3CH tambm so mediatrizes de KI e IJ , respectivamente.

O ponto de encontro das trs mediatrizes de um tringulo o circuncentro do tringulo. fcil garantir a

sua existncia e unicidade, pois ele o ponto que eqidista dos trs vrtices.


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Como 1AH , 2BH e 3CH so as trs mediatrizes do IJK , eles se encontram no ponto H circuncentrodo IJK e, consequentemente, ortocentro do ABC .

Se o tringulo acutngulo, o ortocentro est no interior do tringulo.Se o tringulo retngulo, o ortocentro coincide com o vrtice do ngulo reto.Se o tringulo obtusngulo, o ortocentro est no exterior do tringulo.

Nas figuras seguintes, H o ortocentro dos tringulos.


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O simtrico do ortocentro de um tringulo em relao a um de seus lados est sobre o crculocircunscrito ao tringulo.

Demonstrao:

H 'C CAH' CBH'

2

CBH 90 BHD 90 AHE CAH' CBH CBH ' DH DH '

Logo, a interseo H ' do prolongamento de AD com o crculo circunscrito o simtrico de H emrelao ao lado BC , o que demonstra a proposio inicial.


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2. TRINGULO RTICO

O tringulo rtico o tringulo formado pelos ps das alturas de um tringulo.

No tringulo retngulo o tringulo rtico no est definido.

Em qualquer tringulo acutngulo, o ortocentro o incentro do tringulo rtico, e seus vrtices so ex-incentros do tringulo rtico.

Demonstrao:

BFH BDH 90 # BDHF inscritvel FBH FDH CEH CDH 90 # CDHE inscritvel ECH EDH

FBH ECH 90 A FDH EDH

Logo,DH

bissetriz do nguloFDE

. Analogamente,EH

eFH

so bissetrizes dos ngulosDEF

eDFE , respectivamente, o que implica que H o incentro do DEF .


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Observando ainda que os lados AB , BC e AC so perpendiculares s bissetrizes internas do DEF ,ento eles so bissetrizes externas do DEF e, consequentemente, os vrtices A , B e C so ex-incentros do DEF .

Em qualquer tringulo obtusngulo, o ortocentro um dos ex-incentros do tringulo rtico, o vrtice dongulo obtuso o incentro do tringulo rtico, e os outros dois vrtices so os outros dois ex-incentrosdo tringulo rtico.

Demonstrao: Basta considerar o tringulo DEF como tringulo rtico do tringulo obtusnguloBCH .

3.RETA DE SIMSON

Os ps das trs perpendiculares traadas de um ponto do crculo circunscrito a um tringulo aos lados do

tringulo so colineares, sendo a reta que contm esses trs pontos chamada reta de simson do ponto P.

Demonstrao:

1 1 1 1 1 1 BC P BA P 90 BC P BA P 180 # BA PC inscritvel 1 1 1BPC BA C

1 1 1 1 PA C PB C 90 # PA B C inscritvel 1 1 1 CA B CPB

1 1 1 1 1 1 AC P AB P 90 AC P AB P 180 # AB PC inscritvel 1 1 B PC 180 A

P est no crculo circunscrito ao ABC #ABPC inscritvel BPC 180 A

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B PC BPC B PB BPC BPB B PC BPC B PC BA C CA B


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Logo, os pontos 1C , 1A e 1B so colineares.

4. CRCULO DOS NOVE PONTOS

A distncia do circuncentro de um tringulo a um dos lados metade da distncia do ortocentro aovrtice oposto.

Demonstrao:Sejam 1AH e 2BH duas alturas do ABC que se cruzam no ortocentro H .Sejam OM e ON segmentos pertencentes s mediatrizes dos lados BC e AC , que se cruzam nocircuncentro O .

AH OMAH BH

BH ON OM ON2 2

AB MN MN 2 AB

Em um tringulo no equiltero, o ortocentro, o baricentro e o circuncentro esto alinhados, sendo a retaque contm esses trs pontos denominada reta de Eulerdo tringulo.


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O baricentro de um tringulo no equiltero divide o segmento que une o ortocentro ao circuncentro narazo 2 :1.

Demonstrao:

Na figura, sejam a mediana AM , o segmento HO que une o ortocentro e o circucentro, e o ponto G interseo desses dois segmentos.

AG HG AHAHG ~ MOG 2

GM GO OM

Como G divide a mediana AM na razo 2 :1, ento G o baricentro do ABC .


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O crculo dos nove pontosde um tringulo tem raio igual metade do raio do crculo circunscrito; temcentro no ponto mdio do segmento que une o ortocentro ao circuncentro; contm os trs pontos mdiosdos lados; contm os trs ps das alturas; e contm os trs pontos mdios dos segmentos que unem oortocentro aos vrtices.

Demonstrao:

Seja A ' ponto mdio de AH , ento AA ' A 'H OM , entoA ' HE MOE A ' E EM HE EO

Como HA ' A ' A e HE EO , o segmento A 'E base mdia do AHO , entoOA R

A ' E2 2

, onde

R o raio do crculo circunscrito ao ABC .


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No tringulo retngulo 1A 'H M , a ceviana 1H E a mediana relativa hipotenusa, ento

1R

H E A ' E EM2

.

Adotando procedimento anlogo em relao aos vrtices B e C , conclui-se que 2R

H E B' E EN2

e 3R

H E C 'E EP2

.

Assim, sabemos que os pontos M , N e P ; 1H , 2H e 3H ; A ' , B' e C ' todos distamR

2do ponto E

mdio de HO , donde esses 9 pontos pertencem a um mesmo crculo de centro E e raioR

2.

Os tringulos ABC , BCH , CAH e ABH possuem o mesmo crculo dos nove pontos.

Demonstrao: Analisemos o BCH . Os ps das alturas so os mesmos do ABC . Os pontos M , B' eC ' so os pontos mdios dos lados. O ponto A o ortocentro do BCH , logo os pontos A ' , N e P so os pontos mdios dos segmentos que unem o ortocentro aos vrtices. Donde se conclui que os doistringulos possuem o mesmo crculo dos nove pontos e, inclusive, os nove pontos so os mesmos,apenas com papis diferentes.

EXERCCIOS

QUESTO 1

Sabendo-se que dois ngulos internos do tringulo formado pelos ps das alturas do tringulo ABCacutngulo so 22 e 78 , pode-se afirmar que a medida do maior ngulo externo do tringulo ABCpode ser:a) 130 b) 128 c) 170 d) 139 e) 141

RESPOSTA: a


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RESOLUO:

Adotando uma medida qualquer para KJ , podemos construir o KJI com os ngulos definidos noenunciado, conforme a figura acima, que o tringulo rtico do tringulo ABC .Traando as bissetrizes do KJI , obtemos o ponto H incentro do tringulo rtico e ortocentro do

ABC . Assim, traando perpendiculares s bissetrizes passando pelos vrtices do KJI , obtemos oslados do ABC .#AKHJ inscritvel KAH KJH 39 JAH JKH 11 A KAH JAH 39 11 50

#BKHI inscritvel KBH KIH 40 HBI IKH 11 B KBH HBI 40 11 51

C 180 A B 180 50 51 79 Assim, o maior ngulo externo do ABC 180 50 130 .Note que os quatro tringulos ABC , ABH , BCH e ACH possuem o KJI como tringulo rtico, masdesses, somente o ABC acutngulo.


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QUESTO 2(CN 2011) Em um tringulo acutngulo no equiltero, os trs pontos notveis (ortocentro, circuncentroe baricentro) esto alinhados. Dado que a distncia entre o ortocentro e o circuncentro ' k ' , pode-seconcluir que a distncia entre o circuncentro e o baricentro ser

a)5k

2

b)4k

3

c)4k

5

d)k

2

e)k

3

RESPOSTA: e

RESOLUO:

Como o ABC acutngulo no equiltero, o ortocentro, o circuncentro e o baricentro so distintos einteriores ao tringulo.Sejam os pontos O e H , respectivamente, o circuncentro e o ortocentro do tringulo acutngulo ABC ,e seja G o ponto de interseo da mediana AM com o segmento HO .

O segmento MN base mdia do ABC , logo MN AB e ABMN2

.


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Como MN AB , ON BH e OM AH , os tringulos OMN e HAB so semelhantes e comoAB

MN2

, entoAH

OM2

.

Como OM AH , os tringulos GAH e GMO so semelhantes e, comoAH

OM2

, entoAG

GM2

eGH

GO2

.

Mas, sabemos que o ponto que divide a mediana na razo 2 :1 o baricentro, portanto G o baricentro

do tringulo ABC eOH k

GO3 3

.

Note que, demonstramos que o circuncentro, o ortocentro e o baricentro esto sempre alinhados (ou socoincidentes) e a reta que os contm chamada reta de Euler.

QUESTO 3

(CN 2014) Seja ABC um tringulo acutngulo e "L"a circunferncia circunscrita ao tringulo. DE umponto Q (diferente de A e de C ) sobre o menor arco AC de "L"so traadas perpendiculares s retassuportes dos lados do tringulo. Considere M , N e P os ps das perpendiculares sobre os lados AB ,AC e BC,respectivamente. Tomando MN 12 e PN 16 , qual a razo entre as reas dos tringulosBMN e BNP ?

a)3

4

b)9

16

c) 89

d)25

36

e)36

49

RESPOSTA: a

RESOLUO:Inicialmente, observemos que os pontos M , N e P so colineares (esses pontos esto sobre a reta

simson do ponto Q em relao ao ABC ).


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Como os pontos M , N e P so colineares, ento os tringulos BMN e BNP tm bases sobre a mesmareta suporte (a simson de Q ), o que implica que os tringulos possuem altura comum no vrtice B .Sabemos que, para tringulos que possuem altura comum, a razo entre suas reas igual razo entresuas bases. Assim, temos:

BMN

BNP

S MN 12 3

S PN 16 4 .

QUESTO 4

ABCD um quadriltero inscritvel no qual AB 3 , BC 5 , CD 6 , e AD 10 . M , I e T so osps das perpendiculares a partir de D at as retas AB, AC e BC, respectivamente. Determine o valor deMI

IT.

a)5

3

b)10

3

c)6

5

d) 3625


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e)25

9

RESPOSTA: e

RESOLUO:

Os pontos M , I e T so colineares, pois esto sobre a simson de D em relao ao ABC .

Aplicando o teorema de Menelaus no MTB e secante ICA , temos:MI TC BA

1IT CB AM

.

#ABCD inscritvel DAM DCT .AM AD

DMA DTC 90 DAM DCT DAM ~ DTCCT CD

MI BC AM BC AD 5 10 25

IT CT AB AB CD 3 6 9

REFERNCIA: 10th Annual Harvard-MIT Mathematics Tournament - February 2007 - Guts Round.

QUESTO 5Seja um tringulo no degenerado ABC , com circuncentro O , ortocentro H e raio do crculocircunscrito R, prove que OH 3R .


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RESOLUO:

Traando DF AC , DE AB e EF BC , obtemos o DEF semelhante ao primeiro e a razo de

semelhana 2.1 1BH AC AC DF BH DF

Como 1BH DF e B mdio de DF , ento 1BH a mediatriz de DF . Analogamente, 3CH mediatriz de DE . Logo, H o circuncentro do DEF e FH o raio do crculo circunscrito ao DEF .Como a razo de semelhana entre o DEF e o ABC 2, ento FH 2R .Considerando a desigualdade triangular no BOH , temos: OH BH BO .Como FBH retngulo, temos BH FH 2R . Alm disso, BO R .Logo, C.Q.D.OH BH BO 2R R OH 3R

REFERNCIA: Asian Pacific Mathematics Olympiad 1994.

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