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TOPICOS

DE

ANALISE MATEMATICA

Vıtor Neves

Departamento de Matematica

Universidade de Aveiro

PrefacioAlgures entre Agosto e Dezembro de 1981 – iniciava entao quatro anos como es-tudante graduado na University of Iowa, em Iowa City, Iowa EUA – tive a sortede assistir a uma palestra de Marc Kac sobre Atractores Estranhos, assunto aotempo muito na moda; tera seguramente sido interessantıssima cientificamente, masas impressoes que me ficaram sao literalmente de outra natureza. Foram cinquentaminutos de optima disposicao pois Kac mostrou um humor apurado; vim a perceberser esta uma forma muito frequente de apresentacao, tao mais perfeita quanto mel-hor cientista e o conferencista; nao e regra terem sido todas as palestras significativasassim, mas as excepcoes nao foram muitas. Gravei tambem a frase seguinte:

Quando pretendemos publicar uma demonstracao, devemos procurar umarevista de Matematica e para uma prova uma revista de Fısica; se que-remos mostrar um resultado, e mais adequada uma revista de Sociologia.

Outra citacao, suponho que do meu orientador de doutoramento, Keith Stroyan:

Como docentes [de Matematica, mas nao so] devemos sempre falar ver-dade, mas nao necessariamente dizer toda a verdade!

Por essa altura eram tambem muito bem considerados livros de J. E. Marsden, sobrediversos nıveis de Analise Matematica e suas aplicacoes, nos quais as demonstracoeseram quase sempre relegadas para o fim dos capıtulos, ainda considero ser esta umoptima forma de exposicao.

Tentei redigir de acordo com estas tres ideias; de facto o ponto de vista de Marsden somuito dificilmente se pode ver aplicado, mas sinto-me constantemente a estabelecerum compromisso entre ele e os habitos dos nossos alunos (e nao poucos colegas),nomeadamente varias proposicoes nao sao demonstradas, ou porque a demonstracaoe demasiadamente fina para um texto deste ambito ou por a acharmos simples ouainda digna de exercıcio, enunciado ou nao. Encontrar-se-a porventura influenciade [16].

Este e um conjunto de notas resultante de um texto com o qual se tem recente-mente apoiado a disciplina de Analise Matematica II da Universidade de Aveiro.Dirige-se a disciplina nao so a estudantes de Matematica mas tambem a alunos deEngenharia pelo que nao me parece despiciendo referir funcoes de varias variaveis,ainda que de forma muito pragmatica: tratar trajectorias ortogonais, equacoes difer-enciais exactas e eventuais factores integrantes e importante bem como me pareceser tambem util a terminologia ”campo escalar”ou ”campo vectorial”; claro que aderivacao de uma composicao de curvas com campos escalares e uma dificuldadeseria, mas a Regra da Cadeia parece-me facil de aceitar pelos alunos e nao espe-cialmente difıcil de expor pelo docente; a este proposito estimo particularmente ostextos do professor Dias Agudo [8] e [9], muito em particular o segundo, nao porque

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os considere especialmente acessıveis – o segundo e – antes pelo contrario, mas porserem muito completos e bem escritos; e tambem interessante notar terem algunsalunos encontrado apoio no livro do professor Guerreiro [12].

O capıtulo sobre Series de Fourier e uma forma de forcar a utilizacao da AlgebraLinear e evitar calculos, digamos ”a la Zygmund”, a meu ver inapropriados para osalunos actuais de uma disciplina do segundo semestre do I ano do I Ciclo (segundoo acordo de Bolonha).

Os primeiros capıtulos devem na verdade ser considerados revisoes: constituem umaincursao, de certo modo dirigida e rapida ao que se poderia designar por Fundamen-tos da Analise Real, apenas com o fim de tornar o texto auto-suficiente; exemplosdesta economia de meios sao a seccao sobre numeros naturais e a seccao sobrenumeros complexos, onde se refere o que temos por verdadeiramente essencial acompreensao das notas. De facto so a partir do Capıtulo 5 inclusive, se apresenta oque podera ser considerado Analise Matematica mais avancada.

A ultima seccao e um exemplo, inesperado para mim, de aplicacao do Lema de Gron-wall conjuntamente com o Teorema de Peano para equacoes diferenciais ordinarias.

Nao reputo os exercıcios de particularmente bons, de facto sao uma parte ainda aser construıda.

Conta-se que o leitor se sinta minimamente a vontade com rudimentos de AlgebraLinear bem como que tenha alguma familiaridade com o formalismo da Logica en-quanto estenografia da linguagem matematica por meio da quantificacao e dos conec-tivos.

OBSERVACOES e AGRADECIMENTOS

1. Nos fins dos anos 1980 dizia na Covilha o professor Dias Agudo, entao lec-cionando tambem na Universidade da Beira Interior, que os seus livros eramescritos para ”estudantes com professor”, por oposicao a autodidactas (menoscapazes, acrescentamos nos); uma leitura superficial do Indice destas notas esuficiente para se perceber a importancia de um, por assim dizer, orientadorde leitura, de modo algum por serem de nıvel comparavel a obra do professorDias Agudo, mas sim porque nao seguem a ordem usual e nao sao, nem sepretende que sejam, realmente completas.

2. log(ex) = x (x ∈ R)

3. Ao Antonio Caetano agradeco ter verificado algumas demonstracoes – nao amaioria inteiramente de minha responsabilidade – a minha esposa, Ana HelenaRoque, o fornecimento de alguns exercıcios, a ambos as variadas formas depaciencia e apoio que me dispensaram.

4. E muito importante eliminar qualquer erro tipografico ou qualquer duvidaconceptual, susceptıveis de ocorrer como consequencia de uma elaboracao porvezes demasiadamente apressada, pelo que agradeco comentarios, sugestoes ecorreccoes, enviadas para

[email protected]

de modo a poder ir adaptando.

Setembro de 2011

Vıtor Neves

Prefacio (2010/2011)

Mantem-se no essencial o prefacio de 2005/06. Houve algumas modificacoes depaginacao e reagrupamento, em particular no capıtulo sobre equacoes diferenciais,no entanto nao se alterou o aspecto introdutorio fortemente elementar, aqui e aliabri pistas para tratamento profundo.

A seccao sobre series de Fourier deu lugar a um capıtulo, ainda em construcao, emcuja seccao final se trata o tema sob um ponto de vista mais Funcional.

21 de Fevereiro de 2011

Vıtor Neves

Prefacio (2005/2006)

Este e um texto de apoio a disciplina Analise Matematica II que ira sendo aper-feicoado a medida que a disciplina for decorrendo no semestre — veja-se a propositoa observacao abaixo — pelo que muitos comentarios de ındole menos formal e exem-plos, bem como algumas demonstracoes, serao apresentados nas aulas teoricas ounas aulas teorico-praticas e nao aparecerao sistematicamente no texto podendo, noentanto, vir a ser acrescentados a medida que o semestre decorre. As demonstracoesapresentadas basear-se-ao apenas em resultados supostos de conhecimento geral ououtros apresentados no texto.

Perante a necessidade de elaborar estas notas com alguma rapidez (caso contrario,teriam necessariamente utilidade reduzida) e de manter um discurso nao demasiada-mente codificado por vezes utilizamos linguagem formal de forma informal.

O sımbolo 2 termina as demonstracoes.

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OBSERVACAO: E muito importante eliminar qualquer erro tipografico ou qual-quer duvida conceptual, susceptıveis de ocorrer como consequencia de uma elaboracaopor vezes demasiadamente apressada, pelo que agradecemos comentarios, sugestoese correccoes, enviadas para

[email protected]

de modo a que o texto possa ir sendo adaptado e corrigido.

2006

Vıtor Neves

Indice

1 Fundamentos 101

1.0 Numeros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

1.0.1 Axiomatica de corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

1.0.2 Axiomas de ordenacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

1.0.3 Outras propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

1.0.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

1.0.5 Numeros racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

1.0.6 Subconjuntos de R. Parte I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

1.0.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

1.0.8 Subconjuntos de R. Parte II. Completude . . . . . . . . . . . 115

1.1 Numeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

1.1.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

1.1.2 Algumas particularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

1.1.3 Teorema fundamental da Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . 118

1.2 Continuidade e diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

1.2.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

1.2.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

1.2.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

1.3 Integracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

1.3.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

2 Teoremas da Funcao Composta e da Funcao Inversa 201

2.1 Teoremas da Funcao Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

2.2 Teoremas da Funcao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

2.2.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

3 Teorema de Taylor 301

3.1 Formula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

3.1.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

3.2 Funcoes Analıticas I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

3.2.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

7

8 INDICE

4 Sucessoes e Series numericas 401

4.1 Sucessoes numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

4.1.1 Sucessoes monotonas. Sucessoes limitadas . . . . . . . . . . . 401

4.1.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

4.2 Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

4.2.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

4.2.2 Sucessoes nao limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

4.2.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

4.3 Series numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

4.3.1 Generalidades sobre convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . 416

4.3.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

4.3.3 Series de termos nao negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

4.3.4 Convergencia absoluta e convergencia simples . . . . . . . . . 422

4.3.5 Convergencia absoluta II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

4.3.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

5 Sucessoes de funcoes reais 501

5.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

5.1.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505

5.2 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

5.2.1 Aspectos gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

5.2.2 Funcoes analıticas II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

5.2.3 As funcoes transcendentes elementares . . . . . . . . . . . . . 511

5.2.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

5.3 O raio de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

5.3.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

6 Series de Fourier 601

6.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601

6.2 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603

6.3 Convergencia I. Media quadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605

6.3.1 Topicos sobre espacos (quase-)euclidianos . . . . . . . . . . . . 607

6.3.2 Desigualdades de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610

6.3.3 Equacao de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610

6.4 Convergencia II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612

6.5 Funcoes nao periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616

6.6 Convergencia III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617

6.6.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617

7 Integrais Improprios 701

7.1 Integrais de primeira especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701

INDICE 9

7.2 Integrais de segunda especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705

7.3 Integrais mistos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707

7.3.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707

7.4 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709

7.4.1 Inversao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713

7.4.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714

8 Equacoes Diferenciais Ordinarias 801

8.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801

8.2 Equacoes de variaveis separaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801

8.2.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802

8.3 Equacoes exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804

8.3.1 Factor integrante para equacoes nao exactas . . . . . . . . . . 805

8.3.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806

8.3.3 Brevıssima incursao informal a curvas em R2 . . . . . . . . . . 806

8.4 Forma normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807

8.4.1 Exercıcios (trajectorias ortogonais) . . . . . . . . . . . . . . . 808

8.4.2 Equacoes lineares de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . 809

8.4.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809

8.4.4 Equacoes lineares de segunda ordem e coeficientes constantes . 810

8.4.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 810

8.4.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812

8.4.7 Equacoes lineares de segunda ordem e coeficientes analıticos . 812

8.4.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813

8.5 Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813

8.5.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813

8.6 Equacoes lineares de ordem n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814

8.6.1 Teoria geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814

8.6.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816

8.6.3 Equacoes lineares de coeficientes constantes . . . . . . . . . . 816

9 Sistemas lineares (forma normal) 901

9.1 A primeira ordem e suficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901

9.2 Sistemas de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902

9.2.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902

9.2.2 Matriz A constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904

9.2.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906

9.3 Sistema lineares de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907

9.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908

10 Existencia e unicidade 1001

10 INDICE

10.1 Continuidade (muito) elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001

10.1.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002

10.2 Existencia e unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002

10.3 O Lema de Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006

10.3.1 Funcoes implıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008

Capıtulo 1

Fundamentos

1.0 Numeros reais

1.0.1 Axiomatica de corpo

C1. A soma e associativa:

∀ x, y, z ∈ R (x + y) + z = x + (y + z).

C2. A soma tem elemento neutro, designado por 0, i.e.

∀ x ∈ R x + 0 = 0 + x = x.

C3. Qualquer numero real tem simetrico i.e.

∀x ∈ R ∃y ∈ R x + y = y + x = 0.

O simetrico do numero real x designar-se-a −x.

C4. A soma e comutativa:

∀ x, y ∈ R x + y = y + x.

C5. O produto e associativo:

∀ x, y, z ∈ R (x · y) · z = x · (y · z).

C6. O produto tem elemento neutro, designado por 1, i.e.

∀ x ∈ R x · 1 = 1 · x = x.

Como e habitual, omitir-se-a · entre letras ou entre letras e numeros.

C7. O produto e comutativo:

∀ x, y ∈ R xy = yx.

101

102 CAPITULO 1. FUNDAMENTOS

C8. Qualquer numero real nao nulo tem inverso i.e.

∀x ∈ R\0 ∃y ∈ R xy = yx = 1.

O inverso do numero real x designar-se-a x−1 ou 1x.

C9. O produto e distributivo relativamente a adicao, i.e.,

∀ x, y, z ∈ R [x(y + z) = xy + xz ∧ (y + z)x = yx + zx].

1.0.2 Axiomas de ordenacao

01. < e uma relacao de ordem total em R i.e. goza das propriedades seguintes.

1. < e anti-reflexiva:

∀x ∈ R x 6< x.

2. < e transitiva:

∀x, y, z ∈ R [[x < y ∧ y < z] ⇒ x < z] .

3. < e tricotomica i.e. para quaisquer x, y ∈ R, se x 6= y da-se uma e souma das condicoes seguintes: x < y ou y < x.

O2. Monotonia da soma

∀x, y, z ∈ R [y < z ⇒ x + y < x + z].

O3. Semi-monotonia do produto

∀x, y, z ∈ R [[y < z ∧ 0 < x] ⇒ xy < xz] .

Por verificar os axiomas Ci, R diz-se um corpo; por verificar tambem os axiomasOi, R diz-se que um corpo ordenado.

O x ∈ R| 0 < x designar-se-a por R+ e os seus elementos chamam-se numerospositivos. Por definicao, os numeros negativos sao os elementos de R\(R+∪0).Repare-se que a relacao < e necessariamente anti-simetrica i.e. dados quaisquerx, y ∈ R, se x < y entao y 6< x, pois se se pudesse ter simultaneamente x < y ey < x, pela transitividade, concluir-se-ia x < x, o que nao se verifica, em face daanti-reflexividade.

Notacao: Como e habitual, x > y e uma formula equivalente a y < x;x ≥ y ou, equivalentemente y ≤ x, exprime que alguma das condicoesx > y ou x = y e satisfeita.

1.0. NUMEROS REAIS 103

1.0.3 Outras propriedades

Quaisquer dos resultados seguintes se podem deduzir dos axiomas descritos acima,por isso os apresentamos como teoremas, se bem que nao demonstrados. Nao sepressupoe que cada resultado se demonstra utilizando apenas os que o precedem.

Teorema 1.0.1 Um numero real nao nulo e o seu inverso tem o mesmo sinal i.e.sao ambos positivos ou ambos negativos.

Teorema 1.0.2

∀x, y ∈ R [xy = 0 ⇔ [x = 0 ∨ y = 0]].

Teorema 1.0.3 Qualquer quadrado de um numero real nao nulo e positivo. Emparticular

1 = 12 > 0. (1.1)

Define-se uma funcao valor absoluto | · | : R→ R por

|x| =

x se x ≥ 0

−x se x < 0.(1.2)

Teorema 1.0.4 A funcao | · | goza das propriedades seguintes

1. ∀x ∈ R |x| = | − x|.

2. ∀x ∈ R |x| = 0 se e apenas se x = 0.

3. ∀x, y ∈ R |xy| = |x||y|.

4. ∀x, y ∈ R |x + y| ≤ |x|+ |y|.

5. ∀x, y ∈ R ||x| − |y|| ≤ |x− y|.

6. ∀x, y, z ∈ R |x− z| ≤ |x− y|+ |y − z|.

Eis uma importante propriedade da relacao <:

Teorema 1.0.5 Para quaisquer numeros reais a, b as seguintes condicoes sao equiv-alentes

1. a ≤ b

2. ∀ε ∈ R+ a < b + ε

3. ∀ε ∈ R+ a− ε < b.


Dem. Verificar que 2 e 3 sao equivalentes e um simples exercıcio de aplicacao damonotonia da soma (O2.): para qualquer ε > 0,

a < b + ε ⇒ a− ε < b + ε− ε = b

e

a− ε < b ⇒ a = a− ε + ε < b + ε.

Passamos a provar que 1 e 2 tambem sao equivalentes.

Admitamos entao que vale 1. Dado ε ∈ R+, como a ≤ b < b + ε tambem a < b + εi.e. vale 2.

Suponha-se agora que nao vale 1 i.e. a 6≤ b; como < e tricotomica, necessariamentese tem b < a; mas entao, se tomassemos ε = a − b, ε seria positivo e valeria acondicao impossıvel a = b + ε 6< b + ε (porque < e anti-reflexiva); portanto se naose verifica 1 tambem nao se verifica 2.

1 e 2 sao assim condicoes equivalentes. 2

1.0.4 Exercıcios

Resolva as seguintes equacoes e inequacoes.

1. x(x + 3) = 1

2. 4x2−3x−1x2+1

= 0

3. 1x(| x | −3) = 2

4. | 1− x | = 2 | x |5. x+3

x−1− 1

x= 0

6. (x3 − 4x2 + 7x− 4)(2− x) = 0

7. x2−1x

> −x

8. x3−x3x+1

≤ 0

9. 13x+1

≤ 1x

10. |x|+13−x2 < 0

11.√

x2

1−x≤ 0

12. | x + 1 | + | x + 3 |> 2

13.√

2x + 6 ≥ 2x

14. | x2 − 3x |> x− 2

15. | 2x− 1 | −x ≥ 2

16. x− 2 ≥ (| x | −1)2

17. x+3√x−1

< 0

18. 2x−1x+1

< 0

19. x2x−3

≤ 3

20. 2x2 − 7x + 3 > 0

21. xx2+x+1

≥ 0

22. | x− 3 |< 4

23. | x + 1 |<| 2x− 1 |24. | 3− x−1 |< 1

25. | xx2−3

|< 2

26. x1+|x| ≤ 2


1.0.5 Numeros racionais

Um conjunto C de numeros reais diz-se indutivo se satisfaz as condicoes seguintes

1. 1 ∈ C.

2. ∀x ∈ C x + 1 ∈ C.

O maior subconjunto indutivo de R e o proprio R, o menor e o conjunto dosnumeros naturais, que designaremos por N; este conjunto verifica o Princıpiode Inducao em qualquer das versoes seguintes (teorema 1.0.6).

Notacao: O sımbolo ⊆ designa, como e habito, inclusao entre conjuntosi.e. A ⊆ B quando e so quando todos os elementos de A sao elementosde B, podendo acontecer A = B. O sımbolo ⊂ designa inclusao estritai.e. A ⊂ B quando e so quando A ⊆ B e A 6= B.

Teorema 1.0.6 (Princıpio de Inducao)

1. Se X ⊆ N, 1 ∈ X e x + 1 ∈ X sempre que x ∈ X, entao X = N. Numaexpressao:

[X ⊆ N ∧ 1 ∈ X ∧ ∀x ∈ N [x ∈ X ⇒ x + 1 ∈ X]] ⇒ X = N

2. Se P (x) e uma propriedade verificada por 1 — i.e., vale P (1) — e k+1 verificaP (x) sempre que o numero natural k verifica P (x) — i.e.,∀k ∈ N[P (k) ⇒ P (k + 1)] — entao a propriedade P (x) vale para todo onumero natural — i.e., ∀k ∈ N P (k). Numa unica expressao:

[P (1) ∧ ∀k ∈ N[P (k) ⇒ P (k + 1)]] ⇒ ∀k ∈ N P (k).

3. Se X ⊆ N e para qualquer numero natural n , quando x ∈ N| x < n ⊆ Xtambem n ∈ X, entao X = N. De novo tornando mais preciso:

[X ⊆ N ∧ ∀n ∈ N[x ∈ N| x < n ⊆ X ⇒ n ∈ X]] ⇒ X = N

A formulacao 3 no teorema anterior costuma designar-se por Princıpio de InducaoCompleta ou Transfinita.

Teorema 1.0.7 1 e o menor numero natural.

Dem. Provamos que vale

∀n ∈ N 1 ≤ n (1.3)

de duas maneiras.


I. Utilizando o teorema 1.0.6.1

Defina-seX = n ∈ N| n ≥ 1

1 ∈ X porque 1 ≤ 1. Por outro lado, se n ∈ X, por definicao de X, n ≥ 1 en + 1 ≥ 1 + 1 > 1 + 0 = 1, pela monotonia da soma e porque 1 > 0 (teorema 1.0.3);entao, por transitividade de <, n + 1 ≥ 1 e, de novo por definicao de X, n + 1 ∈ X,mostramos que n + 1 ∈ X sempre que n ∈ X; assim, pelo Princıpio de Inducao(teorema 1.0.6), X = N ou seja vale (1.3) como querıamos provar.

II. Utilizando o teorema 1.0.6.2

Defina-seP (n) := 1 ≤ n

Queremos mostrar que P (n) vale para qualquer n ∈ N.

Como 1 ≤ 1 (pq ≤ e reflexiva), vale P (1).

Suponha-se que vale P (n) isto e que 1 ≤ n. Segue-se que 1 + 1 ≤ n + 1 (pormonotonia da soma); como ja sabemos que 0 < 1, podemos concluir

1 = 0 + 1 < 1 + 1 ≤ n + 1

e, portanto, que 1 < n + 1; em particular de 1 ≤ n podemos deduzir 1 ≤ n + 1, ouseja, de P (n) conclui-se P (n + 1).

Pela segunda forma do Princıpio de Inducao, P (n) vale para todo o n ∈ N. Etermina a primeira demonstracao.

2

Notacao: A expressao α := β significa que a expressao designada porα e definida pela designada por β.

Continuando a apresentar aplicacoes do Princıpio de Inducao: uma razao pela qualn + 1 e chamado o sucessor de n (n ∈ N)

Lema 1.0.1 Seja qual for n ∈ N, nao ha numeros naturais entre n e n + 1, i.e,

∀m ∈ N ∀n ∈ N m < n + 1 ⇔ m ≤ n. (1.4)

Dem. O sentido ⇐ e consequencia imediata da transitividade de < e da reflexivi-dade de =.

(⇒) Este pode ser um exemplo de demonstracao por dupla inducao que abreviaremosum pouco em prol da clareza de argumentacao

1. Pelo teorema 1.0.7, ∀n ∈ N 1 ≤ n e a condicao (1.4) verifica-se com m = 1.

2. Suponha-se que se verifica condicao (1.4) com ⇒ em vez de ⇔ se verifica param ∈ N, i.e.,

∀n ∈ N m < n + 1 ⇒ m ≤ n. (1.5)


Admita-se entao que n ∈ N & m+1 < n+1; pretendemos concluir m+1 ≤ n;ora m, p, 1 ∈ R pelo que pela condicao (1.5) vem

m < (n− 1) + 1 & m ≤ n− 1

logo m + 1 ≤ n,

admitindo que tambem n − 1 ∈ N (eis um dos aspectos da abreviacao acimareferida). 2

Teorema 1.0.8 Se a funcao f : N→ N e estritamente crescente entao

∀n ∈ N n ≤ f(n).

Dem. Vamos utilizar o teorema 1.0.6.3.

SejaX := n ∈ N| n ≤ f(n).

Queremos mostrar que X = N, para o que basta mostrar para todos os n ∈ N avalidade da implicacao

x ∈ N| x < n ⊆ X ⇒ n ∈ X. (1.6)

Comecemos por ver o que se passa se n = 1.

Acontece que x ∈ N| x < 1 = ∅ ⊆ X, portanto deveremos verificar se 1 ∈ X.

Ora, todos os f(n) sao numeros naturais, porque f : N→ N e, como vimos acima,todos os numeros naturais sao maiores ou iguais a 1; assim 1 ≤ f(1) i. e. 1 ∈ X ea condicao (1.6) vale para 1.

Tome-se agora n arbitrario e suponha-se que x ∈ N| x < n ⊆ X; como n− 1 < n,tambem n− 1 ∈ X, portanto n− 1 ≤ f(n− 1); mas entao

n = (n− 1) + 1 ≤ f(n− 1) + 1 < f(n) + 1

porque f tambem e estritamente crescente; segue-se que n < f(n) + 1; pelo lema1.0.1

∀x, y ∈ N [x < y + 1 ⇔ x ≤ y] (1.7)

portanto n ≤ f(n) e n ∈ X como pretendıamos concluir. A propriedade (1.6) ficademonstrada e pela formulacao 3. do Princıpio de Inducao, X = N. 2

Exemplo 1.0.1 A formulan∑

i=1

(2i− 1) = n2 (1.8)

vale para todos os numeros naturais n.

Dem. Vamos utilizar a formulacao 1 no Teorema 1.0.6. Seja

X := n ∈ N|n∑

i=1

(2i− 1) = n2.


1 ∈ X porque 12 = 1 = 2× 1− 1 =∑1

i=1(2i− 1); suponha-se que x ∈ X: tem-se

x+1∑i=1

(2i− 1) =x∑

i=1

(2i− 1) + (2(x + 1)− 1) = x2 + (2x + 1) = (x + 1)2,

portanto tambem x + 1 ∈ X. Pela primeira forma do Princıpio de Inducao X = Ne a formula (1.8) vale para qualquer n ∈ N. 2

Defina-se seccao inicial de N, como sendo um conjunto In dado por

In := k ∈ N| 1 ≤ k ≤ n (n ∈ N).

Teorema 1.0.9 (Princıpio de Boa Ordenacao) Qualquer subconjunto nao vaziode N tem primeiro — ou menor — elemento.

Dem. Suponha-se que∅ 6= X ⊆ N. (1.9)

Vimos acima 1 e o menor elemento do proprio N, portanto o caso X = N estatratado; em geral, se 1 ∈ X, entao 1 = min X e nada mais ha a provar, portantobasta tratar o caso

1 6∈ X ⊂ N. (1.10)

Interessa ter presenteC ⊆ N\X ⊂ N, (1.11)

pois para qualquer n ∈ N, n ∈ In e X 6= ∅ por (1.9).

1 ∈ C porque 1 ∈ N\X — (1.10) — e I1 = 1; se para qualquer n ∈ N, n + 1 ∈ Cquando n ∈ C, pelo Princıpio de Inducao, pode concluir-se C = N, o que nao e ocaso pois, por (1.11), C ⊂ N. Segue-se que

para algum m ∈ N m ∈ C, mas m + 1 6∈ C.

Tome-se entao m ∈ C tal que m + 1 6∈ C; podemos retirar duas conclusoes, a saber:

• m+1 ∈ X pois, caso contrario ter-se-ia m+1 ∈ C, ja que Im+1 = Im∪m+1;• todos os elementos de X sao maiores que m, pois se n ≤ m, entao n 6∈ X, por

definicao de C.

Como nao ha numeros naturais entre m e m + 1 (recorde-se a condicao (1.7)),concluimos que os elementos de X sao todos maiores ou iguais a m + 1 i.e. m + 1 =min X e X tem mınimo. 2

O conjunto dos numeros inteiros, designado por Z, e a uniao de N com o conjuntodos simetricos dos numeros naturais e com 0 i.e.

Z = N ∪ 0 ∪ −n| n ∈ N. (1.12)

O conjunto dos numeros racionais, designado por Q, e a reuniao de 0 com oconjunto dos quocientes de numeros inteiros, mais precisamente:

Q =m

n| m ∈ Z ∧ n ∈ N

. (1.13)


Teorema 1.0.10 O conjunto Q e um corpo ordenado para as operacoes de soma eproduto e para a relacao < restringidas de R.

Por outras palavras (de facto muito reduzidas, mas suficientes): a soma e o produto(bem como a diferenca e o quociente) de numeros racionais e um numero racional.

A existencia de numeros reais nao racionais, ou seja, numeros irracionais seradiscutida mais adiante na pagina 115.

1.0.6 Subconjuntos de R. Parte I

Dados numeros reais a e b, os conjuntos definidos de seguida chamam-se intervalosde extremos a e b:

[a, b] := x ∈ R| a ≤ x ≤ b (1.14)

]a, b[ := x ∈ R| a < x < b (1.15)

[a, b[ := x ∈ R| a ≤ x < b (1.16)

]a, b] := x ∈ R| a < x ≤ b (1.17)

Em (1.14) o intervalo diz-se fechado, em (1.15) diz-se aberto, em (1.16) diz-sesemi-fechado a esquerda ou semi-aberto a direita, em (1.17) diz-se semi-fechadoa direita ou semi-aberto a esquerda.

Parece-nos claro que, se b < a, todos os intervalos acima sao vazios, i.e. sao oconjunto vazio; se b = a, o primeiro (em (1.14))e o conjunto singular a e todosos outros sao vazios; se a < b nenhum dos intervalos e vazio nem singular, pois a+b

2

e 3a+b4

estao em todos eles e sao distintos.

Todos os intervalos acima sao limitados; mas definem-se ainda intervalos ilimita-dos, a saber: considerando que a ∈ R poe-se

[a, +∞[ := x ∈ R| a ≤ x (1.18)

]−∞, a] := x ∈ R| a ≥ x (1.19)

]a, +∞[ := x ∈ R| a < x (1.20)

]−∞, a[ := x ∈ R| a > x (1.21)

Em (1.18) e (1.19) os intervalos dizem-se tambem fechados, nos outros dois casosdizem-se abertos.

Para alem do intervalo ]−∞, +∞[, que designa o proprio conjunto R, nao ha maisintervalos que os ja definidos.


Definicao 1.0.1 Designemos por C um subconjunto nao vazio de R e seja m umnumero real.

1. m e um majorante de C se

∀x ∈ C x ≤ m.

C diz-se majorado ou limitado superiormente se tem um majorante.

2. m e um minorante de C se

∀x ∈ C x ≥ m.

C diz-se minorado ou limitado inferiormente se tem um minorante.

3. C diz-se limitado se for majorado e minorado, caso contrario diz-se ilimi-tado.

Teorema 1.0.11 Seja C um subconjunto nao vazio de R.

1. As condicoes seguintes sao equivalentes

(a) C e majorado

(b) ∃a ∈ R C ⊆ ]−∞, a]

(c) ∃a ∈ R C ⊆ ]−∞, a[


(a) C e minorado

(b) ∃a ∈ R C ⊆ [a, +∞[

(c) ∃a ∈ R C ⊆ ]a, +∞[


(a) C e limitado

(b) Existem a, b ∈ R tais que C esta contido em algum intervalo de extremosa e b.

(c) C esta contido em algum intervalo limitado.

4. Todos os intervalos limitados sao conjuntos limitados.


Formas muito uteis de decidir se um conjunto e ou nao limitado descrevem-se noteorema seguinte.

Teorema 1.0.12 Seja C um subconjunto nao vazio de R. As condicoes seguintessao equivalentes.

1. C e limitado

2. ∃m ∈ R+ ∀x ∈ C |x| < m

3. ∃m ∈ R+ C ⊆ ]−m,m[

4. ∃m ∈ R+ ∀x ∈ C |x| ≤ m

5. ∃m ∈ R+ C ⊆ [−m,m]

Dem. (1 ⇒ 3 ⇒ 2) Como C e limitado por hipotese, podemos tomar a, b ∈ Rtais que

∀x ∈ C a ≤ x ≤ b.

Sejam m1 o maximo dos dois valores |a|, |b|, i.e. m1 = max|a|, |b|, e m = m1 + 1.Repare-se que m > 0. Como b ≤ |b| ≤ m1 < m, concluımos

∀x ∈ C a ≤ x < m.

Por outro lado −|a| ≤ a; seja m2 o mınimo dos dois valores −|a|,−|b|; e facil verificarque m2 = −m1 e que

−m = −(m1 + 1) = −m1 − 1 = m2 − 1 < m2 ≤ a.

Segue-se que

∀x ∈ C −m < x < m.

isto e, vale 3. Mas esta mesma expressao e equivalente a

∀x ∈ C |x| < m,

portanto, em particular (3 ⇒ 2). E claro que se x < y tambem x ≤ y, pelo que(2 ⇒ 4). Mas |x| ≤ m e equivalente a x ∈ [−m,m], portanto 4 e 5 sao equivalentes,em particular (4 ⇒ 5). Acontece que [−m,m] ⊆ ]− (m + 1),m + 1[ e portanto(5 ⇒ 1).

Provamos a seguinte cadeia de implicacoes

1 ⇒ 3 ⇒ 2 ⇒ 4 ⇒ 5 ⇒ 1.

Podemos concluir que todas as condicoes sao equivalentes. 2


Teorema 1.0.13 Sejam A e B subconjuntos de R.

1. Se B e limitado e A ⊆ B, tambem A e limitado.

2. Se A e B sao limitados.

(a) O conjunto definido por A + B := a + b| a ∈ A ∧ b ∈ B e limitado.

(b) O conjunto definido por A ·B := ab| a ∈ A ∧ b ∈ B e limitado.

(c) O conjunto definido por A−B := a− b| a ∈ A ∧ b ∈ B e limitado.

(d) Para cada c ∈ R, o conjunto definido por cA := ca| a ∈ A e limitado.

Certos majorantes e minorantes sao especiais:

Definicao 1.0.2 Seja C um subconjunto nao vazio de R.

1. Se C e limitado superiormente, o supremo de C e o menor majorante de Ce designa-se sup C. Se o supremo de C e elemento de C, diz-se maximo deC e designa-se por maxC.

2. Se C e limitado inferiormente, o ınfimo de C e o maior minorante de C edesigna-se inf C. Se o ınfimo de C e elemento de C diz-se mınimo de C edesigna-se por min C.

O maximo ou o mınimo de um conjunto podem nao existir mesmo quando existemrespectivamente o supremo ou o ınfimo; no entanto se existirem, sao respectivamenteo maior ou o menor elemento dele.

Lema 1.0.2 Todo o conjunto finito e nao vazio de numeros reais tem maximo emınimo, sendo em particular limitado.

Dem. Deixa-se como exercıcio de aplicacao do Princıpio de Inducao ao numero deelementos do conjunto. 2

O supremo e o ınfimo gozam das propriedades da maior importancia que se refor-mulam de seguida.

Teorema 1.0.14 Sejam C um subconjunto nao vazio de R e m um numero real.

1. As seguintes condicoes sao equivalentes

(a) m = sup C

(b) m e majorante de C e

∀ε ∈ R+ ∃c ∈ C m− ε < c ≤ m. (1.22)

2. As seguintes condicoes sao equivalentes

(a) m = inf C

(b) m e minorante de C e

∀ε ∈ R+ ∃c ∈ C m ≤ c < m + ε. (1.23)


Dem. Demonstramos apenas a segunda parte. Uma demonstracao da primeirapode fazer-se a partir desta trocando respectivamente inf por sup, minorante pormajorante, maior por menor, < por >, ≥ por ≤ e + por −.

Suponhamos entao que vale 2.(a) i.e. m = inf C. Queremos concluir que vale acondicao 2.(b). Por definicao m e ja minorante de C, de facto o maior minorante;portanto se ε > 0, como m < m + ε, m + ε nao e minorante de C; daı existe algumelemento c de C tal que c < m+ε e, como m minora C, tambem m ≤ c e concluımosm ≤ c < m + ε.

Finalmente suponhamos que vale 2.(b). Como, por hipotese, m ja e minorante deC, resta-nos provar que e o maior. Suponhamos que m′ e um minorante de C eutilizemos o teorema 1.0.5 para mostrar que m′ ≤ m: para qualquer ε > 0, porhipotese, existe c ∈ C tal que c < m + ε; como m′ e minorante de C tem-sem′ ≤ c < m + ε; por transitividade de <

∀ε ∈ R+ m′ < m + ε,

portanto, pelo teorema 1.0.5, m′ ≤ m. 2

1.0.7 Exercıcios

Observacao: Nos exercıcios que se seguem as propriedades enunciadas do ınfimoou do supremo pressupoem a existencia de cada um deles.

1. Mostre que, para quaisquer numeros reais a, b,

(a) (a+b)−|a−b|2

= mina, b(b) (a+b)+|a−b|

2= maxa, b

2. Seja A um conjunto nao vazio de numeros reais e −A := −x : x ∈ A.Verifique que:

(a) b e majorante de A ⇔ −b e minorante de −A

(b) b e supremo de A ⇔ −b e ınfimo de −A

(c) b e maximo de A ⇔ −b e mınimo de −A

3. Determine, caso seja possıvel, o ınfimo, mınimo, supremo e maximo de cadaum dos seguintes subconjuntos de R:

(a) x ∈ R :| x |< 2(b) x ∈ R : 1 <| 1− x |≤ 2(c) x ∈ R : x2 < 2(d) x ∈ R : x2 ≤ x

(e) x ∈ R : x <| x |(f) x ∈ R : ∃n ∈ N x = 1−n

n

(g) Q ∩ ]− 1, 2]

(h) k2n , k ∈ Z, n ∈ N ∩ [1, 3[

4. Indique se sao majorados, minorados ou limitados os seguintes subconjuntosde R:

A = x ∈ R : | x− 3 |= 2 | x | B =

x ∈ R :

x

x−1<

x−1

x


Indique ainda, se existirem, o supremo, o ınfimo, o maximo e o mınimo decada um desses conjuntos.

5. Sejam A = −3,−2∪ (Q∩ [0, 1] ) e B =]−4, 2] ∪ ([0, 1]∩ (R\Q)). Indique,caso existam, os supremos e os ınfimos dos conjuntos A, B, A ∪B e A ∩B.

6. Sejam A e B conjuntos nao vazios e limitados de numeros reais tais que A ⊆ B.Prove que inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B.

7. Suponha que A e B sao subconjuntos de R nao vazios e limitados. Prove que:

(a) A + B e limitado

(b) sup(A + B) = sup A + sup B

(c) inf(A + B) = inf A + inf B

8. Suponha que ∅ 6= A ⊆ R. Dado c ∈ R, seja cA := c a : a ∈ A.(a) Prove que, quando c 6= 0, cA e limitado se e apenas se A e limitado.

(b) Sendo c > 0, prove que:i. sup(cA) = c sup A ii. inf(cA) = c inf A

(c) Enuncie e demonstre resultados analogos aos da alınea anterior para ocaso c < 0.

(d) Mostre que a afirmacao em (a) nao e verdadeira se c = 0.

9. A e B designam duas partes nao vazias e majoradas de R. Diga, justificando,se sao verdadeiras ou falsas as seguintes proposicoes:

(a) E condicao necessaria para A ⊆ B que sup A ≤ sup B

(b) E condicao suficiente para A ⊆ B que sup A ≤ sup B

(c) sup(A ∪B) = sup A + sup B

(d) sup(A ∪B) = max sup A, sup B(e) sup(A ∩B) = min sup A, sup B

10. Sejam A e B conjuntos nao vazios e limitados de numeros reais tais que B ⊆ A.Suponha que, para cada x ∈ A, existe y ∈ B tal que x ≤ y. Prove que nestascondicoes se tem sup B = sup A.

11. Sejam A e B conjuntos nao vazios e limitados de numeros reais tais que paratodo o x ∈ A e todo o y ∈ B se tem x ≤ y. Prove que sup A ≤ inf B. Proveainda que sup A = inf B se e so se para todo o ε > 0 existem x ∈ A e y ∈ Btais que y − x < ε.

12. Sejam c um numero real positivo e A um subconjunto nao vazio de R, satis-fazendo a seguinte condicao:

x, y ∈ A ⇒| x− y |< c

(a) Mostre que sup A− inf A ≤ c.

(b) Mostre que em (a) pode acontecer (sup A− inf A) = c.


1.0.8 Subconjuntos de R. Parte II. Completude

Axioma de Completude

AC Todo o subconjunto nao vazio e majorado de R tem supremo.

Por verificar este axioma , diz-se que R e um corpo ordenado completo. O termo”completo”pode tambem ter outro significado explicitado no teorema 4.2.7.

Teorema 1.0.15 O conjunto dos numeros naturais nao e limitado superiormente.

Dem. Ja vimos que N e limitado inferiormente (teorema 1.0.7). Nao sendo vazio— pois 1 ∈ N — se fosse limitado teria supremo, de acordo com o Axioma deCompletude. Suponhamos entao que N e limitado e digamos que supN = s ∈ R; snao e concerteza maximo, porque, s < s+1 e s+1 ∈ N se s ∈ N; pelo teorema 1.0.14,existe m ∈ N tal que s− 1

2< m < s; mas entao tambem s− 1

2< m < m + 1 < s e

pode concluir-se 1 = (m + 1)−m < s− (s− 12) = 1

2ou 1 < 1

2, o que nao e verdade.

Assim N nao e limitado superiormente, logo tambem nao e limitado. 2

Uma forma equivalente deste teorema (1.0.15) e

Teorema 1.0.16 (Propriedade Arquimediana) O corpo R e arquimedianoi.e.

∀a, b ∈ R+ ∃n ∈ N b < na (1.24)

Dem. Suponhamos que a, b ∈ R e que 0 < a < b; existe n ∈ N verificando 1n

< ab,

pelo teorema anterior (4.2.4); mas entao b < na, porque a, b > 0 e o produto esemi-monotono. 2

Pode garantir-se a existencia de numeros irracionais utilizando o Axioma de Com-pletude. Um exemplo classico e

s := supx ∈ R| x2 < 2.

Este supremo existe porque o conjunto em questao, chamemos-lhe R, nao e vazio —1 ∈ R — e e concerteza majorado, por exemplo por 4 (ou mesmo apenas por 2, oupor 1, 5). Sendo facil provar que s2 = 2 e que 0 < s isto e que s =

√2, e provando-se

de seguida que 2 nao tem raiz quadrada em Q, conclui-se que√

2 6∈ Q e obtem-seuma demonstracao de que existem numeros irracionais.

Na verdade, ha infinitos numeros irracionais e poderıamos ja provar, utilizando ofacto de

√2 ser irracional, mas nao so, o seguinte:

Teorema 1.0.17 (de Densidade) Estritamente entre quaisquer dois numeros reaisdistintos existem um numero racional e um numero irracional.

Dem. Suponha-se que a, b ∈ R e que a < b; tome-se n ∈ N tal que 1n

< b−a√2; o que

e possıvel em virtude de N nao ser limitado superiormente (teorema 1.0.15 ).


1. Se a ∈ Q, entao

(a) a < a + 1n

< a + (b− a) < b e a + 1n∈ Q

(b) a < a + 1n

√2 < a + (b− a) < b e a + 1

n

√2 6∈ Q.

2. Se a 6∈ Q, entao

(a) a < a + 1n

< a + (b− a) < b e a + 1n6∈ Q.

(b) Suponha-se que 0 < a e seja

k := minm ∈ N| na ≤ m · 1 = m;

tal k existe pela propriedade arquimediana e por N ser bem ordenado.Tem-se

k − 1

n< a ≤ k

n< a +

1

n< b &

k

n∈ Q.

(c) Se a ≤ 0, aplique-se o que acabamos de ver tomando −b em vez de a e−a em vez de b; − k

ne o numero racional pretendido. 2

1.1 Numeros complexos

1.1.1 Preliminares

Esta e de certo modo uma revisao de Algebra Linear pelo que seremos parcos emdemonstracoes.

Definicao 1.1.1 O conjunto C dos numeros complexos e o menor corpo queprolonga propriamente R.

De modo a evitar trivialidades de notacao, em face da definicao anterior, continuemosa designar a soma e o produto respectivamente por + e · (omitido este sımboloquando conveniente)

1.1. NUMEROS COMPLEXOS 117

Teorema 1.1.1 C e o conjunto dos numeros z da forma

z = a + bi (a, b ∈ R) (1.25)

i2 = −1 (1.26)

e verifica-se o seguinte

1. A soma e o produto sao operacoes binarias comutativas, associativas, com ele-mentos neutros – 0 para a soma e 1 para o produto – e o produto e distributivorelativamente a soma.

2. Sejam quais forem a, b, c, d ∈ R,

(a + bi) + (c + di) = (a + b) + (c + d)i (1.27)

(a + bi) · (c + di) = (ac− bd) + (ad + bc)i (1.28)

−(a + bi) = −a− bi (1.29)

a + bi = 0 ⇔ a = 0 ∧ b = 0 (1.30)

a + bi = c + di ⇔ a = c ∧ b = d (1.31)

(a + bi)−1 =a

a2 + b2− b

a2 + b2i (a 6= 0 ∨ b 6= 0) (1.32)

i2n = (−1)n (n ∈ N0) (1.33)

i2n+1 = (−1n)i (n ∈ N0) (1.34)

Definicao 1.1.2 Seja z = a + bi ∈ C (a, b ∈ R)

1. A parte real e a parte imaginaria de z sao respectivamente <(z) = a e=(z) = b.

2. O conjugado de z designa-se z e define-se por

z = a− bi

3. O valor absoluto ou modulo de z, designa-se por |z| e define-se por

|z| =√

a2 + b2

Teorema 1.1.2

1. Tome z ∈ C.

<(z) =z + z

2(1.35)

=(z) =z − z

2i(1.36)

z = z ⇔ z ∈ R (1.37)

|z|2 = zz (1.38)

z−1 =z

|z|2 (z 6= 0) (1.39)

2. Qualquer das operacoes acima definida, para C prolonga a correspondenteoperacao em R em particular o valor absoluto de um numero real e o seuvalor absoluto como numero complexo; alem disso

|i| = 1. (1.40)


1.1.2 Algumas particularidades

As funcoes exponencial, seno e co-seno, respectivamente exp, sen, cos : C → Cprolongam as correspondentes funcoes reais de variavel real quando definidas doseguinte modo

exp(z) = ez = ea(cos b + isen b

) ((a, b ∈ R)

)(1.41)

cos(z) =eiz + e−iz

2(z ∈ C) (1.42)

sen(z) =eiz − e−iz

2i(z ∈ C) (1.43)

Teorema 1.1.3

ez+w = ez · ew (z, w ∈ C) (1.44)

sen2 z + cos2 z = 1 (z ∈ C) (1.45)

eit = cos t + isen t (t ∈ R) (1.46)

|eit| = 1 (t ∈ R) (1.47)

(eit)−1 = e−it = eit (t ∈ R) (1.48)

Teorema 1.1.4 (de Euler)eiπ + 1 = 0.

1.1.3 Teorema fundamental da Algebra

Teorema 1.1.5 Qualquer polinomio

p(z) = a0 +n∑

k=1

anzn (ai, z ∈ C; 0 ≤ i ≤ n) (1.49)

de grau n ≥ 1 (an 6= 0) tem pelo menos uma raiz em C, isto e, existe w ∈ C tal quep(w) = 0; em particular existem zi, (1 ≤ i ≤ n) tais que

p(z) = an

n∏i=1

(z − zi) (1.50)

1.1. NUMEROS COMPLEXOS 119

Mais especıficamente ainda

Teorema 1.1.6 Quando todos os coeficientes ai em (1.49) sao reais

1. ∀u ∈ C [p(u) = 0 ⇒ p(u) = 0]

2. Se p em (1.49) so tem raızes imaginarias distintas

αj ± βji (αj, βj ∈ R, βj 6= 0; 1 ≤ j ≤ k ∈ N)

com multiplicidades respectivas mj (∑k

j=1 mj = n), entao

p(z) = an

k∏j=1

((z − αj)

2 + β2j

)mj

3. Se p em (1.49) so tem raızes reais distintas αj (1 ≤ j ≤ k) de multiplicidades

respectivas mj (∑k

j=1 mj = n), entao

p(z) = an

k∏j=1

(z − αj)mj .

4. Se p em (1.49) tem k raızes reais distintas rj e m raızes imaginarias distintasnunca conjugadas α` + β`i com multiplicidades respectivas mj e n`, sendo

k∑j=1

mj + 2m∑

`=1

n` = n,

entao

p(z) = an

k∏j=1

(z − rj)mj

k∏

`=1

((z − α`)

2 + β2`

)m`


1.2 Continuidade e diferenciabilidade

Sejam a e b numeros reais tais que a < b e f :]a, b[→ R uma funcao (real de variavelreal); suponha-se ainda que β ∈ R.

Definicao 1.2.1 Para c ∈ [a, b],

β := limite de f(x) quando x tende para c

:= limx→c

f(x)

significa

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈]a, b[ [0 < |x− c| < δ ⇒ |f(x)− β| < ε].

Se c ∈]a, b[,

f diz − se contınua em c

quando

limx→c

f(x) = f(c)

ou seja

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈]a, b[ [|x− c| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ε]

f diz-se contınua se for contınua em todos os elementos do seu domınio.

Para harmonizarmos conceitos,

Definicao 1.2.1 uma funcao f : [α, β] ⊆ R→R dir-se-a contınua quando existemum intervalo ]a, b[ e uma funcao contınua f :]a, b[→ R tais que [α, β] ⊂]a, b[ e arestricao f : [α, β] → R e precisamente f .

1.2.1 Exercıcios

Suponha que f : [a, b] ⊆ R → R, que a < c < b, quelimx→c f(x) = ` ∈ R; prove que

1. Se ` < k ∈ R, entao existe ε > 0. tal que

]c− ε, c + ε[ ⊆ [a, b] (1.51)

∀x ∈]c− ε, c + ε[ f(x) < k. (1.52)

2. Se ` > k ∈ R, entao existe ε > 0. tal que

]c− ε, c + ε[ ⊆ [a, b] (1.53)

∀x ∈]c− ε, c + ε[ f(x) > k. (1.54)

3. Interprete a frase ”desigualdade em ponto de continuidade estende-se a umavizinhanca do ponto”.

1.2. CONTINUIDADE E DIFERENCIABILIDADE 121

4. Demonstre o teorema 1.2.1.

Teorema 1.2.1 Suponha-se que f, g : [a, b] ⊆ R → R, que α ∈ R, que c ∈]a, b[ eque

limx→c

f(x) = ` limx→c

g(x) = β.

1. limx→c(αf + g)(x) = α` + β

2. limx→c(f · g)(x) = ` · β

3. Se β 6= 0, entao limx→c

(fg

)(x) = `

β

em particular combinacoes lineares (de coeficientes reais) de funcoes contınuas saocontınuas, e quocientes de funcoes contınuas sao contınuos em todos os pontos ondeo denominador se nao anula.

Teorema 1.2.2 Suponha que as funcoes f : [a, b] ⊆ R→ R e g : [c, d] ⊆ R→ [a, b]sao contınuas, entao f g : [c, d] → R tambem e contınua.

Dem. (muito esquematica)

limx→y

(f g)(x) = limg(x)→g(y)

f(g(x))

= f(g(y))

2

Teorema 1.2.3 (de Bolzano) Se a funcao f : [a, b] ⊆ R → R e continua ef(a) < 0 < f(b), entao existe c ∈]a, b[ tal que f(c) = 0.

Dem. c = supx ∈]a, b[∣∣ ∀t ∈ [a, x] f(t) < 0. 2

1.2.2 Exercıcios

Suponha que f : [a, b] ⊆ R→ R e continua e prove

1. Se f(a) < k < f(b), existe c ∈]a, b[ tal que f(c) = k.

2. Se f(a) > k > f(b), existe c ∈]a, b[ tal que f(c) = k.

3. Se f(a) < a e f(b) > b, existe c ∈]a, b[ tal que f(c) = c.

4. Se f(a) > a e f(b) < b, existe c ∈]a, b[ tal que f(c) = c.


Teorema 1.2.4 Suponha que f : [a, b] ⊆ R→ R e continua. Entao f e uniforme-mente contınua, isto e

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ [a, b][|x− y| < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < ε

]. (1.55)

Dem. Suponha-se que f nao e uniformemente contınua, ou seja, para certo ε > 0

∀δ > 0 ∃x, y ∈ [a, b][0 < x− y < δ ∧ |f(x)− f(y)| > ε

]. (1.56)

Escolham-se para cada n ∈ N, xn, yn ∈ [a, b] tais que

xn, yn ∈ [a, b] ∧ 0 < xn − yn <1

n∧ |f(xn)− f(yn)| > ε (n ∈ N) (1.57)

e seja

c = supxn| n ∈ N.

Ora c ∈ [a, b] onde f e contınua, pelo que existe δ > 0 tal que

∀x ∈ [a, b] |c− x| < δ ⇒ |f(x)− f(c)| < ε

2

Alem disto,

para cada τ > 0, o m ∈ N| 0 ≤ c− xm < τ e infinito (exercıcio 7),

pelo que podemos escolher m,n ∈ N e xm tais que

1

n<

δ

4(1.58)

m > n (1.59)

0 ≤ c− xm < 1n

<δ

4< δ (1.60)

Tem-se entao

|c− ym| < c− xm + (xm − ym) <1

n+

1

m<

δ

2< δ

|f(xm)− f(ym)| ≤ |f(xm)− f(c)|+ |f(c)− f(ym)| < ε

|f(xm)− f(ym)| < ε ∧ xm − ym ≤ 1

m

o que claramente contradiz a condicao (1.57), assim a hipotese de nao continuidadeuniforme (condicao (1.56)) e contraditoria, logo inaceitavel. 2


Definicao 1.2.2 Uma funcao f : [a, b] ⊆ R→ R diz-se

1. Limitada superiormente quando existe M ∈ R tal que

∀x ∈ [a, b] f(x) ≤ M

2. Limitada inferiormente quando existe m ∈ R tal que

∀x ∈ [a, b] m ≤ f(x)

3. Limitada quando for limitada superior e inferiormente.

Exercıcio

Mostre que qualquer combinacao linear (de coeficientes reais) de funcoes igualmentelimitadas e uma funcao limitada do mesmo modo.

Teorema 1.2.5 Uma funcao f : [a, b] ⊆ R → R e limitada se e apenas se existeK > O tal que

∀x ∈ [a, b] |f(x)| ≤ K

Dem. Basta observar que, seja qual for C ⊆ R,

C ⊆ [m,M ] ⇒ ∀c ∈ C |c| ≤ max|m|, |M |∀K > 0 [∀c ∈ C |c| ≤ K] ⇔ C ⊆ [−K,K]

2

Teorema 1.2.6 (de Weierstrass) Uma funcao contınua f : [a, b] ⊆ R→ R e

1. Limitada

2. Tem maximo e tem mınimo, isto e existem

maxf(x)| a ≤ x ≤ bminf(x)| a ≤ x ≤ b

Dem. Quanto a 1. basta demonstrar que vale a condicao de limitacao superiore aplica-la de seguida a a −f . Suponha-se entao que f : [a, b] → R e contınuamas os seus valores nao tem majorante, por outras palavras f nao e majorada; emparticular f nao e majorada em algum dos intervalos [a, a+b

2] ou [a+b

2, b]; seja qual

for o caso, existem entao

Um intervalo I1 := [a1, b1] ⊆ I0 := [a, b] de amplitude b1 − a1 ≤ b−a2

,

um ponto x1 ∈ I1 tal que, por exemplo, f(x1) > 1.

f nao e majorada em algum dos intervalos [a1,a1+b1

2] ou [a1+b1

2, b1];

segue-se que


existe um intervalo I2 := [a2, b2] ⊆ I1 de amplitude b2 − a2 ≤ b−a22

e existe um ponto x2 ∈ I2 tal que f(x2) > 1 + f(x1) > 2.

Por este processo poderia obter-se um xn| n ∈ N ⊆ [a, b] tal que, para qualquern ∈ N,

0 < |xn+1 − xn| ≤ b− a

2n

|f (xn+1)− f (xn)| > 1.

Tal contradiz a continuidade uniforme de f , pois b−a2n pode tornar-se arbitrariamente

pequeno (teoremas 1.0.15 e 1.0.8), portanto f tem de ser majorada.

Para demonstrar 2. tenha-se em conta que

i. R e completo para <

ii. supf(x)| a ≤ x ≤ b = maxf(x)| a ≤ x ≤ b, por f ser contınua. 2

Definicao 1.2.2 Para c ∈]a, b[,

f diz − se diferenciavel em c com derivada f ′(c)

se

f ′(c) := limx→c

f(x)− f(c)

x− c

f diz-se diferenciavel se for diferenciavel em todos os elementos do seu domınio.

Teorema 1.2.7 A funcao f :]a, b[⊆ R → R e diferenciavel em c ∈]a, b[ se eapenas se existirem um numero real f ′(c) e funcoes ε :]a, b[→ R e ε :]a−c, b−c[→ Rtais que

∀x ∈]a, b[ f(x) = f(c) + f ′(c)(x− c) + ε(x)(x− c) & limx→c

ε(x) = 0 (1.61)

ou

∀h ∈]a− c, b− c[ f(c + h) = f(c) + f ′(c)h + ε(h)h & limh→0

ε(h) = 0 (1.62)

i.e.

limx→c

f(x)− f(c)− f ′(c)(x− c)

x− c= 0. (1.63)

ou ainda

limh→0

f(c + h)− f(c)− f ′(c)hh

= 0. (1.64)


Dem. A equivalencia entre as condicoes (1.61) e (1.63) resulta de se poder tomar

ε(x) :=f(x)− f(c)− f ′(c)(x− c)

x− c=

f(x)− f(c)

x− c− f ′(c);

observe-se entao que

limx→c

ε(x) = 0 ⇔ limx→c

[f(x)− f(c)

x− c− f ′(c)

]= 0 ⇔ f ′(c) = lim

x→c

f(x)− f(c)

x− c

e aqui estao tres formas de definir f ′(c). Analogamente, a equivalencia entre ascondicoes (1.62) e (1.64) resulta de se poder tomar

ε(h) :=f(c + h)− f(c)− f ′(c)h

h=

f(c + h)− f(c)

h− f ′(c),

observando-se de seguida que

limh→0

ε(h) = 0 ⇔ limh→0

[f(c + h)− f(c)

h− f ′(c)

]= 0

⇔ f ′(c) = limh→0

f(c + h)− f(c)

h

que sao mais tres formas de definir f ′. 2

Observacao 1.2.1 Quando c = a ou c = b, f diz-se diferenciavel em c se tem umprolongamento f : [α, β] → R com [a, b] ⊂ [α, β] ⊆ R diferenciavel em c.

E facil demonstrar que

Teorema 1.2.8 Se uma funcao e diferenciavel (resp. em algum ponto do seu domı-nio) e contınua (resp. nesse mesmo ponto).

Teorema 1.2.9 Suponha que f, g :]a, b[→ R sao diferenciaveis em c ∈]a, b[ eα ∈ R, entao

(αf + g)′(c) = αf ′(c) + g′(c)

(fg)′(c) = f ′(c)g(c) + f(c)g′(c)(f

g

)′(c) =

f ′(c)g(c)− f(c)g′(c)g2(c)

(g(c) 6= 0

)


Definicao 1.2.3

Um extremante relativo da funcao f : [a, b] ⊆ R→ R e um ponto x0 ∈ [a, b] parao qual existe ε > 0 tal que pelo menos uma das duas condicoes seguintes se verifica

1. Para qualquer x ∈]x0 − ε, x0 + ε[⊆ [a, b], f(x) ≤ f(x0), caso em que x0 se dizmaximizante e f(x0) se diz maximo (ambos locais)

2. Para qualquer x ∈]x0 − ε, x0 + ε[⊆ [a, b], f(x) ≥ f(x0),caso em que x0 se dizminimizante e f(x0) se diz mınimo (ambos locais)

3. Para qualquer x ∈ [a, b], f(x) ≤ f(x0), caso em que x0 se diz maximizantee f(x0) se diz maximo (ambos absolutos)

4. Para qualquer x ∈ [a, b], f(x) ≥ f(x0),caso em que x0 se diz minimizante ef(x0) se diz mınimo (ambos absolutos)

5. Quando as condicoes se dao com desigualdades estritas em pontos diferentesde x0, o extremante diz-se estrito.

Teorema 1.2.10 (de Fermat)

Se f(x0) e extremante local de f : [a, b] ⊆ R → R e f e diferenciavel em x0 entaof ′(x0) = 0.

Dem. Para simplificar ideias, suponhamos que

]x0 − ε, x0 + ε[⊂ [a, b] & ∀x ∈]x0 − ε, x0 + ε[ f(x) ≤ f(x0).

Tem-se, para qualquer x ∈]x0 − ε, x0 + ε[,

x < x0 ⇒ f(x)− f(x0)

x− x0

≥ 0 (1.65)

x > x0 ⇒ f(x)− f(x0)

x− x0

≤ 0 (1.66)

f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

≥ 0 ≥ limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

= f ′(x0) (1.67)

f ′(x0) = 0 (1.68)

2

Teorema 1.2.11 (de Rolle)

Se a funcao f : [a, b] ⊆ R → R e contınua, e diferenciavel em ]a, b[ e f(a) = f(b),existe c ∈]a, b[ tal que f ′(c) = 0


Dem. Sendo contınua, f tem extremos absolutos (teorema 1.2.6)

Se f(a) e um desses extremos, entao

1. Ou e simultaneamente maximo e mınimo absolutos, f e constante e f ′ ≡ 0em ]a, b[

2. Ou e apenas de qualquer dos outros tipos, o outro extremo ocorre emalgum c ∈]a, b[ e f ′(c) = 0, pelo teorema 1.2.10

Se f(a) nao e extremo qualquer dos extremos ocorre em ]a, b[ e aplica-se de novoaı o teorema de Fermat 1.2.10, como em 2. 2

O teorema seguinte costuma designar-se por teorema de Lagrange, dos AcrescimosFinitos, da Media ou do Valor Medio.

Teorema 1.2.12 Se a funcao f : [a, b] ⊆ R → R e contınua e e diferenciavel em]a, b[, entao existe c ∈]a, b[ tal que

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a. (1.69)

Dem. Considere-se a funcao auxiliar h : [a, b] → R dada por

h(x) = [f(x)− f(a)](b− a)− [f(b)− f(a)](x− a.)

h e contınua e e diferenciavel em ]a, b[ e ainda h(a) = h(b) = 0; pelo teorema deRolle, existe c ∈]a, b[ tal que h′(c) = 0; como assim

0 = h′(c) = f ′(c)(b− a)− [f(b)− f(a)],

o teorema fica demonstrado resolvendo a equacao em ordem a f ′(c). 2

Um corolario importante

Teorema 1.2.13 Se a funcao a funcao f :]a, b[→ R e diferenciavel ef ′(x) > 0 (a < x < b) (resp. f ′(x) < 0 (a < x < b)) entao e estritamentecrescente (resp. decrescente).

Dem. Na primeira hipotese f(y)− f(x) tem o mesmo sinal que y − x; na segundatem sinal contrario. 2


Teorema 1.2.14 (de Cauchy-l’Hopital) Sejam f, g funcoes reais de variavel realdiferenciaveis em algum intervalo ]a, b[ e c um elemento de ∈]a, b[ tal que

limx→c

f(x) = limx→c

g(x) = 0

ou tal quelimx→c

f(x) = limx→c

g(x) = ∞.

Tem-se

limx→c

f ′(x)

g′(x)= L ∈ R ∪ −∞, +∞ ⇒ lim

x→c

f(x)

g(x)= L

Dem. Vejamos o caso em que L ∈ R, f(c) = g(c) = 0, f e g sao de classe C1 eg′(c) 6= 0, pelo que

L = limx→c

f ′(x)

g′(x)=

f ′(c)g′(c)

.

limx→c

f(x)

g(x)= lim

x→c

f(x)− f(c)

g(x)− g(c)

= limx→c

f(x)−f(c)x−c

g(x)−g(c)x−c

=f ′(c)g′(c)

= L.

Um estudo completo deste teorema pode encontrar-se em [2, Sec. 7.12 ff]. 2

1.2.3 Exercıcios

1. Mostre que, se limx→c f(x) = α ∈ R e limx→c[f(x) + g(x)] = β ∈ R, entaolimx→c g(x) = β − α.

2. Calcule os seguintes limites:

(a) limx→0senx

x.

(b) limx→0ex−1

x.

(c) limx→0log x+1

x.

(d) limx→0x−arctanx

x3 .

(e) limx→0cosx−e−

x2

2

x4 .

3. Suponha que f(x) := ex2−e2 − x2 (x ∈ R)

(a) Mostre que 0, e e −e sao extremantes locais de f , calcule os extremoslocais de f e classifique-os.

(b) Mostre que a equacao f(x) = 0 tem quatro solucoes simetricas duas aduas e designe-as por α, −α, β, −β, sendo 0 < α < β.


(c) Qual o domınio da funcao xg7→ log[f(x)]?

(d) Decida se o grafico de g tem ou nao assımptotas (OBS: Repare que g epar).

4. Suponha que f(x) := ex2−1 para qualquer x ∈ R.

(a) Mostre que a recta r de equacao y = x2

e tangente ao grafico de f noponto (2, 1).

(b) Determine a area da regiao plana limitada pelo grafico de f , pela recta rda alınea anterior e pelo eixo dos yy.

5. (a) Suponha que f e g sao funcoes diferenciaveis no intervalo I e que f(x) > 0para todo o x ∈ I. Prove que se

h(x) = f(x)g(x) := eg(x)log(f(x)),

entao h′(x) = g(x) · f(x)g(x)−1 · f ′(x) + f(x)g(x) · log(f(x)) · g′(x).

(b) Calcule f ′(x), sendo f(x) = (x2 + 1)2x−1.

6. Calcule

(a) limx→0

4x − 3x

x(b) lim

x→+∞(e3−xlog x)

(c) limx→+∞

ex − 1

x3 + 4x(d) lim

x→0+(2x2 + x)x

(e) limx→+∞

(3x + 9)1x

(f) limx→1

1− x

log (2− x)

(g) limx→+∞

log x

xpcom p ∈ R+

7. Prove que, na demonstracao do teorema 1.2.4,

para cada τ > 0, o m ∈ N| 0 ≤ c− xm < τ e infinito.


9. Prove que qualquer combinacao linear, com coeficientes reais, de funcoes uni-formemente contınuas e uniformemente contınua.

10. Prove a condicao (1.67).


1.3 Integracao

Nesta seccao f : [a, b] ⊆ R→ R designa uma funcao limitada e

∀x ∈ [a, b] m ≤ f(x) ≤ M (1.70)

Definicao 1.3.1 Sejam n ∈ N e P = a = x0 < x1 < · · · < xn = b uma particaode [a, b].

1. A soma superior de f para a particao P e dada por

S(f,P) =n−1∑i=0

supx∈[xi,xi+1]

f(x)(xi+1 − xi)

2. A soma inferior de f para a particao P e dada por

I(f,P) =n−1∑i=0

infx∈[xi,xi+1]

f(x)(xi+1 − xi)

3. f diz-se integravel (em [a, b]) quando

supI(f,P)| P e particao de [a, b] = inf

S(f,P)| P e particao de [a, b]

Este supremo (ou ınfimo) diz-se o integral de f (em [a, b]) e nota-se∫ b

af(x)dx

Observacao 1.3.1 Com esta definicao de integral e aparente que

Quando f e integravel e f(x) ≥ 0 (a ≤ x ≤ b),∫ b

af(x)dx pode

entender-se como medida da area da regiao de R2 delimitada pelo graficode f e o eixo dos xx entre as rectas de equacoes x = a & x = b.

Teorema 1.3.1

1. Quando f e integravel, sejam quais forem as particoes P , Q de [a, b]

m(b− a) ≤ I(f,P) ≤∫ b

a

f(x)dx ≤ S(f,Q) ≤ M(b− a) (1.71)

2. f e integravel sse para qualquer ε > 0, existe uma particao P tal que

S(f,P)− I(f,P) < ε.

3. Se f e contınua, entao

(a) f e integravel.

(b) Existe c ∈]a, b[, tal que∫ b

af(x)dx = f(c)(b− a).

1.3. INTEGRACAO 131

Dem. A unica parte eventualmente difıcil e a numero 2 (exercıcio 7). Quanto asoutras partes:

1. As duas desigualdades centrais resultam da propria de definicao de integral; aprimeira desigualdade obtem-se de

m ≤ infx∈[xi,xi+1]

f(x) (1 ≤ i < n);

a ultima desigualdade obtem-se de

supx∈[xi,xi+1]

f(x) ≤ M (1 ≤ i < n).

3(a) Resulta de 2. e do facto de f ser uniformemente contınua (teorema 1.2.4).

3(b) Pode deduzir-se de 1 e dos teorema de Bolzano e de Weierstrass pois

minf(x)| x ∈ [a, b] ≤ 1

b− a

∫ b

a

f(x)dx ≤ maxf(x)| x ∈ [a, b]

2

Teorema 1.3.2 Suponha-se que as funcoes f, g : [a, b] → R sao integraveis e queα ∈ R. Entao

1. αf + g : [a, b] → R e integravel e

∫ b

a

αf(x) + g(x)dx = α

∫ b

a

f(x)dx +

∫ b

a

g(x)dx (1.72)

2. Se para qualquer x ∈ [a, b] f(x) ≤ g(x), entao

∫ b

a

f(x)dx ≤∫ b

a

g(x)dx

3. |f | : [a, b] → R e integravel e

∣∣∣∣∫ b

a

f(x)dx

∣∣∣∣ ≤∫ b

a

|f(x)|dx (1.73)

4. maxf, g : [a, b] → R e integravel.

5. minf, g : [a, b] → R e integravel.

6. f 2 : [a, b → R e integravel.

7. f · g : [a, b] → R e integravel.

Dem. Exercıcio 2.


Definicao 1.3.1 Quando α > β define-se

∫ β

α

f(x)dx = −∫ α

β

f(x)dx.

Com esta definicao tem-se

Teorema 1.3.3 Quando estao definidos os integrais,

∣∣∣∣∫ b

a

f(x)dx

∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∫ b

a

|f(x)|dx

∣∣∣∣ .

Dem. Exercıcio 3.

Teorema 1.3.4 (Teorema Fundamental) Seja f : [a, b] ⊆ R → R uma funcaocontınua, fixe-se c ∈ [a, b] e defina-se F (x) :=

∫ x

cf(t)dt (a ≤ x ≤ b). Nestas

condicoes

∀x ∈]a, b[ F ′(x) = f(x) (1.74)

Dem. Fixe-se x ∈]a, b[ ,e para fixar ideias, a < x < x + h < b, temos

F (x + h)− F (x)

h=

∫ x+h

cf(t)dt− ∫ x

cf(t)dt

h

=

∫ x+h

xf(t)dt

h

= f(x(h))

para algum x(h) entre x e x + h pelo teorema 3b. Vamos ver que

limh→0

f(x(h)) = f(x).

Tome-se ε > 0, como f e contınua em c, existe δ > 0 tal que, se |t − x| < δentao |f(t) − f(x)| < ε; mas entao, se |h| < δ, como x(h) esta entre x e x + h,|x(h)− x| < |h| < δ e daı |f(x(h))− f(x)| < ε, i.e.,

∀ε > 0 ∃δ > 0 [|h| < δ ⇒ |f(x(h))− f(x)| < ε]

ou seja limh→0 f(x(h)) = f(x). 2

Teorema 1.3.5 (Formula de Barrow) Se F e f sao funcoes reais de variavelreal tais que ∀x ∈]c, d[ F ′(x) = f(x) e f e contınua, entao

∀a, b ∈]c, d[ [a ≤ b ⇒∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a)]. (1.75)

1.3. INTEGRACAO 133

Dem. Defina-se

G(x) :=

∫ x

a

f(t)dt & H(x) := F (x)−G(x) (x ∈ [a, b]).

Pelo teorema Fundamental,

H ′(x) = G′(x)− F ′(x) = f(x)− f(x) = 0 (x ∈]a, b[),

portanto H e constante, i.e., para certo k ∈ R

H(x) = k (x ∈ [a, b]);

ora H(a) = F (a)−G(a) = F (a)− 0 = F (a) donde k = F (a); mas entao

H(x) = F (a) (x ∈ [a, b])

e, em particular,

∫ b

a

f(t)dt = G(b) = F (b)−H(b) = F (b)− F (a).

2

Teorema 1.3.6 (Integracao por Partes) Dadas funcoes diferenciaveisf, g :]a, b[→ R com derivadas contınuas, tem-se

∀α, β ∈]a, b[

∫ β

α

f(x)g′(x)dx = f(x)g(x)]βα −∫ β

α

f ′(x)g(x)dx. (1.76)

Dem. Basta observar que (fg)′ = f ′g + fg′ ou, o que e o mesmo, fg′ = (fg)′ − f ′ge portanto, pela formula de Barrow,

∫ b

a

f(x)g′(x)dx =

∫ b

a

(fg)′(x)− f ′(x)g(x)dx = f(x)g(x)]βα −∫ b

a

f ′(x)g(x)dx.

2

RedesignandoF (b)− F (a) := F (x)]ba , (1.77)

a equacao em (1.75) tambem costuma escrever-se

∫ b

a

f(x)dx = F (x)]ba . (1.78)

Teorema 1.3.7 (de Mudanca de Variaveis) Se [a, b] ⊆]α, β[⊆ R, a funcaoφ :]α, β[→ [c, d] e diferenciavel, φ′ e contınua e f : [c, d] → R e contınua, entao

∫ φ(b)

φ(a)

f(x)dx =

∫ b

a

f(φ(t))φ′(t)dt. (1.79)


Dem. Seja

F (x) :=

∫ x

a

f(t)dt (t ∈ [a, b]).

Pelo teorema da Fundamental, F ′(x) = f(x), portanto

d

dt(F φ)(t) = f(φ(t))φ′(t)

e, pela Formula de Barrow,∫ b

a

f(φ(t))φ′(t)dt = (F φ)(b)− (F φ)(a) = F (φ(b))−F (φ(a)) =

∫ φ(b)

φ(a)

f(x)dx.

2

Teorema 1.3.8 (Teoremas da Media para integrais)

1. Se f : [a, b] ⊆ R→ R e contınua entao

∃θ ∈ ]a, b[

∫ b

a

f(x)dx = f(θ)(b− a). (1.80)

2. Se f, g : [a, b] → R sao contınuas e g tem sinal constante, entao

∃θ ∈ ]a, b[

∫ b

a

f(x)g(x)dx = f(θ)

∫ b

a

g(x)dx (1.81)

Dem. A demonstracao de 1. pode ser feita utilizando o teorema Fundamental e oteorema da Media para derivadas ou o teorema de Bolzano do modo seguinte.

Sejam m := min f([a, b]) := f(α) e M := maxf([a, b]) := f(β). Se m = M , f econstante e

∀θ ∈ [a, b]

∫ b

a

f(x)dx = M(b− a) = f(θ)(b− a).

Se m < M , observe-se que

m(b− a) ≤∫ b

a

f(x)dx ≤ M(b− a),

o que tambem pode ser visto como

f(α) ≤∫ b

af(x)dx

b− a≤ f(β).

De facto os ≤ sao <, porque

m(b− a) = I(f, a, b; a, b) <

∫ b

a

f(x)dx < S(f, a, b; a, b)(b− a) = M(b− a)

e podemos utilizar agora o teorema do Valor Intermedio para garantir a existenciade θ ∈]a, b[ (de facto entre α e β) tal que

f(θ) =

∫ b

af(x)dx

b− a.

2

1.3. INTEGRACAO 135

1.3.1 Exercıcios

1. Mostre que uma funcao integravel tem mesmo de ser limitada, isto e, a hipotesede cobertura desta seccao e de facto necessaria para a definicao de integrabi-lidade num intervalo fechado.

2. Demonstre o teorema 1.3.2. Esquema:

1. Por exemplo siga o plano seguinte.

i.∫ b

a0dx = 0

ii. Prove que∫ b

a

αf(x)dx = α

∫ b

a

f(x)dx (α ≥ 0).

iii. Prove que ∫ b

a

−f(x)dx = −∫ b

a

f(x)d

iv. Conclua

∀α ∈ R∫ b

a

αf(x)d = α

∫ b

a

f(x)d

v. Use as propriedadas do ınfimo e do supremo para provar que o integralda soma de funcoes integraveis e a soma dos integrais de cada funcao.

vi. Conclua.

2. Siga por exemplo plano seguinte.

i. Se f(x) ≥ 0 (a ≤ x ≤ b), entao∫ b

af(x)dx ≥ 0.

ii. Observe que f(x) ≤ g(x) e o mesmo que 0 ≤ f(x)− g(x).

3. Siga por exemplo o plano seguinte.

i. Defina as partes positiva, f+, e negativa, f−, de f Para a ≤ x ≤ b,

f+(x) =

f(x) se f(x) > 0

0 se f(x) ≤ 0(1.82)

f−(x) = (−f)+(x) =

−f(x) se f(x) < 0

0 se f(x) ≥ 0(1.83)

ii. Prove que f+ e integravel, conclua que f− tambem e, observe que

|f | = f+ + f−

−|f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)|iii. Conclua.

4. e 5. Observe que para quaisquer numeros reais t, τ (recorde o exercıcio1.0.7.1)

maxt, τ =t + τ + |t− τ |

2(1.84)

mint, τ =t + τ − |t− τ |

2(1.85)


6. Repare que f 2 ≡ |f |2 e discuta o comportamento da expressao

S(f 2,P)− I(f 2,P)

quando f(x) ≥ 0 (a ≤ x ≤ b) para simplificar.

7. Observe que

f(x)g(x) =

(f(x) + g(x)

)2 − (f(x)− g(x)

)2

2(1.86)


4. Determine a area das regioes planas delimitadas pelos graficos das funcoesdadas por

(a) f(x) = 1x2−4

, g(x) = x2 − 4

(b) f(x) = e2x, g(x) = e−x, h(x) = e2−e3

4(x − 1) + e2 (Sug.: Avalie as

funcoes em 1 e em −3).

(c) f(x) = log(x), g(x) = log(n2n)n2−1

(x− n) + log(n) (avalie as funcoes em n eem 1/n).

5. Calcule∫ 1

0F (x) dx, onde F (x) =

∫ x

1e−t2 dt

(Sugestao: integre por partes)

6. Calcule ddx

(∫ x3

x2 e−t2dt)

(x ∈ R)

7. Suponha que f : [a, b] ⊆ R → R e limitada como na condicao (1.70) e queP , Q sao particoes de [a, b] . Mostre que

(a) Quando P ⊆ Q se tem

I(f,P) ≤ I(f,Q) ≤ S(f,Q) ≤ S(f,P)

(b) Utilize P ∪Q para provar que

I(f,P) ≤ S(f,Q)

(c) Prove a parte 2 do teorema 1.3.1.

(SUG.: Recorde os exercıcios 10, 11 e 12, na pag. 114 da seccao 1.0.6.)

Capıtulo 2

Teoremas da Funcao Composta eda Funcao Inversa

2.1 Teoremas da Funcao Composta

Teorema 2.1.1 (da Funcao Composta para funcoes contınuas) Sejam f, gfuncoes reais de variavel real. Se c ∈ dom(f g), g e contınua em c e f e contınuaem g(c), entao f g e contınua em c. De um modo geral, a composicao de funcoescontınuas e uma funcao contınua.

Dem. Basta tomar em conta a seguinte sequencia de equacoes

limx→c

(f g)(x) := limx→c

(f(g(x))

= f(limx→c

g(x)) (porque f e contınua em limx→c

g(x))

= f(g(c)) (porque g e contınua em c)

:= (f g)(c)).

2

Teorema 2.1.2 (da Funcao Composta para funcoes diferenciaveis; regrada Cadeia) Suponha-se que as funcoes f :]c, d[→ R e g :]a, b[→]c, d[ sao difer-enciaveis respectivamente em g(x) ∈]c, d[ e em x ∈]a, b[, entao f g e diferenciavelem x e

(f g)′(x) = f ′(g(x))g′(x). (2.1)

Dem. Vamos utilizar o teorema 1.2.7. Comecemos por escever

f(g(x) + k) = f(g(x)) + f ′(g(x))k + εf (k)k & limk→0

εf (k) = 0 (2.2)

g(x + h) = g(x) + g′(x)h + εg(h)h & limh→0

εg(h) = 0. (2.3)

Considere-se agora a sequencia de equacoes seguinte:

(f g)(x + h) := f(g(x + h))

= f(g(x) + g′(x)h + εg(h)h)

= f(g(x) + (g′(x) + εg(h))h),

201

202CAPITULO 2. TEOREMAS DA FUNCAO COMPOSTA E DA FUNCAO INVERSA

tendo-se

limh→0

εg(h) = 0; (2.4)

tomando

k(h) := (g′(x) + εg(h))h,

observamos que, nestas condicoes

(f g)(x + h) = f(g(x)) + f ′(g(x))k(h) + εf (k(h))k(h)

= f(g(x)) + f ′(g(x))g′(x)h + f ′(g(x))εg(h)h + εf (k(h))(g′(x) + εg(h))h

= f(g(x)) + f ′(g(x))g′(x)h + [f ′(g(x))εg(h) + εf (k(h))(g′(x) + εg(h))]h.

Ora

limh→0

k(h) = 0, (2.5)

Consequentemente, pela condicao (2.2),

limh→0

εf (k(h)) = 0; (2.6)

pela condicao (2.3),

limh→0

f ′(g(x))εg(h) = f ′g(x) · 0 = 0

e, retomando a condicao (2.6),

limh→0

[f ′(g(x))εg(h) + εf (k(h))(g′(x) + εg(h))] = 0 + 0(g′(x) + 0) = 0;

fazendo

δ(h) := f ′(g(x))εg(h) + εf (k(h))(g′(x) + εg(h)),

temos finalmente

(f g)(x + h) = (f g)(x) + f ′(g(x))g′(x)h + δ(h)h & limh→0

δ(h) = 0,

o que nos diz (f g)′(x) = f ′(g(x))g′(x), pelo teorema 1.2.7. 2

2.2. TEOREMAS DA FUNCAO INVERSA 203

2.2 Teoremas da Funcao Inversa

Teorema 2.2.1 (da Funcao Inversa para funcoes contınuas) Sejam a, b, ce d numeros reais tais que a < b e c < d e f :]a, b[→]c, d[ uma funcao contınuabijectiva.

1. f e estritamente monotona

2. f−1 e da mesma natureza que f , i.e., f e f−1 sao ambas crescentes ou ambasdecrescentes

3. f−1 :]c, d[→]a, b[ e contınua

Teorema 2.2.2 (da Funcao Inversa para funcoes diferenciaveis) Sejama, b, c e d numeros reais tais que a < b e c < d e f :]a, b[→]c, d[ uma funcaobijectiva diferenciavel que verifica o seguinte

f ′ e contınua (2.7)

∀t ∈]a, b[ f ′(t) 6= 0. (2.8)

Nestas condicoes, f−1 :]c, d[→]a, b[ e tambem diferenciavel e

∀x ∈]c, d[ (f−1)′(x) =1

f ′(f−1(x))(2.9)

Demonstracoes completas destes teoremas encontram-se em [15, pag. 309ss]; de mo-mento pretendemos apenas ter presente uma justificacao, importante em si mesma,de alguns calculos que apresentaremos mais adiante. Fazemos no entanto notar oseguinte:

Observacao 2.2.1 (ao teorema 2.2.1)

1. O facto de R ser corpo ordenado e fundamental para o enunciado: sem ordemnao se pode falar de monotonia.

2. A continuidade de f−1 esta muito relacionada com o facto de todos as sucessoesnumericas limitadas terem subsucessoes convergentes.

Observacao 2.2.2 (ao teorema 2.2.2)

1. A injectividade de f e na verdade consequencia de f ′ ser contınua (condicao(2.7)) e nao ter zeros (condicao (2.8)), tendo portanto sinal constante (peloTeorema do Valor Intermedio), isto e, f e estritamente crescente, se f ′ forsempre positiva, ou estritamente decrescente, se for f ′ for sempre negativa;assim o teorema mantem-se valido substituindo bijectiva por sobrejectiva.

2. Admitindo demonstrado que f ′ e necessariamente diferenciavel, a Regra daCadeia (teorema 2.1.2), permite obter a formula (2.9): como f e f ′ ficam

204CAPITULO 2. TEOREMAS DA FUNCAO COMPOSTA E DA FUNCAO INVERSA

diferenciaveis por hipotese, entao a composicao f f−1 resulta tambem difer-enciavel; mas

x = (f f−1)(x) (x ∈]c, d[)

e portanto

1 = (f f−1)′(x) = f ′(f−1(x))(f−1)′(x) (x ∈]c, d[)

obtendo-se (2.8) por resolucao em ordem a (f−1)′(x).

2.2.1 Exercıcios

1. As funcoes x 7→ n√

x : R+ =]0, +∞[→ R+ (n ∈ N) sao as inversas daspotencias de expoente n restringidas a R+. Verifique que

d n√

x

dx=

1

nn√

xn−1

2. Admita que as funcoes trigonometricas elementares estao bem definidas. Asfuncoes arcsen, arcos, arctan sao respectivamente as funcoes inversas desen :] − π

2, π

2[→] − 1, 1[, cos :]0, π[→] − 1, 1[, tan :] − π

2, π

2[→ R. Verifique

que

arctan′(x) =1

1 + x2arcsen′(x) =

1√1− x2

arcos′(x) =1

−√1− x2.

Capıtulo 3

Teorema de Taylor

3.1 Formula de Taylor

As derivadas de ordem n (n ∈ N), designadas f (n), de uma funcao f :]a, b[⊆ R→ Rdefinem-se do seguinte modo

f (0) = f (3.1)

f (n+1) = (f (n))′ (3.2)

Uma funcao com k derivadas contınuas diz-se de classe Ck. Quando uma funcaof :]a, b[⊆ R → R tem n derivadas, para cada c ∈]a, b[, chama-se polinomio deTaylor de grau n em torno de c a

T nc f(x) := f(c) +

n∑i=1

1

i!f (i)(c)(x− c)i.

O resto de ordem n em torno de c da formula de Taylor sera designado por Rnc f(x)

e define-se por:Rn

c f(x) := f(x)− T nc f(x). (3.3)

Teorema 3.1.1 (de Taylor) Suponha-se que, para algum n ∈ N, a (n + 1)-esimaderivada da funcao f :]a, b[⊆ R → R e contınua e que c ∈]a, b[. Vale a seguinteformula

∀x ∈]a, b[ f(x) = f(c) +n∑

i=1

1

i!f (i)(c)(x− c)i +

1

n!

∫ x

c

f (n+1)(t)(x− t)ndt (3.4)

Dem. E vantajoso considerar aqui que 0 ∈ N. Comecemos entao com n = 0. Nestacaso a formula toma a forma

f(x) = f(c) +

∫ x

c

f ′(t)dt

que e valida por ser uma instancia da formula de Barrow. Suponhamos agora que aformula de Taylor vale para n ∈ N e que f e de classe C(n+1)+1. Tem-se

f(x) = f(c) +n∑

i=1

1

i!f (i)(c)(x− c)i +

1

n!

∫ x

c

f (n+1)(t)(x− t)ndt. (3.5)

301

302 CAPITULO 3. TEOREMA DE TAYLOR

Comod

dt

(x− t)n+1

n + 1= −(x− t)n,

pelo teorema de Integracao por Partes, tem-se tambem

∫ x

c

f (n+1)(t)(x− t)ndt =

[−(x− t)n+1

n + 1f (n+1)(t)

]x

c

+1

n + 1

∫ x

c

f (n+1)+1(t)(x− t)n+1dt

=1

n + 1f (n+1)(c)(x− c)n+1

+1

n + 1

∫ x

c

f (n+1)+1(t)(x− t)n+1dt

Substituindo adequadamente em (3.5), obtem-se

f(x) = f(c) +n+1∑i=1

1

i!f (i)(c)(x− c)i +

1

(n + 1)!

∫ x

c

f ((n+1)+1)(t)(x− t)n+1dt.

Pelo Princıpio de Inducao, a formula de Taylor vale para qualquer n ∈ N 2

Corolario 3.1.1 Nas condicoes da hipotese do teorema anterior (3.1.1), o resto deordem n pode tomar tres formas:

Rnc f(x) =

1

n!

∫ x

c

f (n+1)(t)(x− t)ndt

=1

n!

∫ 1

0

(1− s)nf (n+1)(c + s(x− c))(x− c)n+1ds (integral)

Rnc f(x) =

1

n!f (n+1)(θ)(x− θ)n(x− c), para algum θ entre c e x (de Cauchy)

Rnc f(x) =

1

(n + 1)!f (n+1)(θ)(x− c)n+1, para algum θ entre c e x (de Lagrange)

Dem. O resto integral e a forma que utilizamos na demonstracao do proprio teo-rema; a segunda equacao resulta do teorema de substituicao quando se fazt := c + s(x− c).

O resto de Cauchy resulta de uma simples aplicacao do primeiro teorema da Mediapara integrais (equacao (1.80)) ao resto integral, considerando que os extremos dointervalo de integracao sao precisamente c e x e que t 7→ f (n+1)(t)(x− t)n e contınua:a sua avaliacao em algum θ entre c e x e precisamente f (n+1)(θ)(x− θ)n .

O resto de Lagrange obtem-se por aplicacao do segundo teorema da media (equacao(1.81)) tambem ao resto integral, observando que t 7→ (x − t)n nao muda de sinal

3.1. FORMULA DE TAYLOR 303

nem em [c, x], se c ≤ x, nem em [x, c], se x ≤ c, portanto, existe θ entre c e x, talque

1

n!

∫ x

c

f (n+1)(t)(x− t)ndt = f (n+1)(θ)1

n!

∫ x

c

(x− t)ndt

=1

(n + 1)!f (n+1)(θ)(x− c)n+1.

2

Note-se que o resto de Lagrange vale ainda so sob a hipotese de existencia de fn+1;na verdade, e por vezes util conhecer uma outra forma integral do resto que, tal comoo resto integral, vale mesmo quando f (n+1) e integravel, mas nao necessariamentecontınua:

Corolario 3.1.2 Nas condicoes da hipotese do teorema anterior (3.1.1), o resto de

ordem n + 1 pode ainda tomar a forma seguinte

Rn+1c f(x) =

1

n!

∫ x

c

(x− t)n[f (n+1)(t)− f (n+1)(c)

]dt

=1

n!

∫ 1

0

(1− s)n[f (n+1)(c + s(x− c))− f (n+1)(c)

](x− c)n+1ds

Dem. Para demonstrar a primeira forma basta ter em conta a primeira formado resto integral e observar que f (n+1)(c) e constante relativamente a variavel deintegracao; para a segunda forma use-se de novo o teorema de mudanca de variaveiscom t = c + s(x− c) (s ∈ [0, 1]) . 2

Corolario 3.1.3 Se f :]a, b[⊆ R → R e de classe Cn, o resto de ordem n podetomar a forma seguinte

Rnc f(x) =

1

(n− 1)!

∫ x

c

(x− t)(n−1)[f (n)(t)− f (n)(c)

]dt

=1

(n− 1)!

∫ 1

0

(1− s)(n−1)[f (n)(c + s(x− c))− f (n)(c)

](x− c)nds

Dem. De facto este e um corolario do corolario anterior (corolario 3.1.2) que seobtem substituindo n + 1 adequadamente por n, i.e., substituindo n por n− 1. 2

O resto de Taylor e um instrumento muito importante na avaliacao de erros deaproximacao:

Teorema 3.1.2 Suponha-se que para algum n ∈ N a (n + 1)−esima derivada dafuncao f :]a, b[→ R e contınua e que c ∈]a, b[. Nestas condicoes existe δ > 0 talque, se x e valor aproximado de c com erro inferior a δ, entao T n

c f(x) aproximaf(x) com erro inferior a (x − c)n; mais precisamente: se [c − δ, c + δ] ⊆]a, b[ eM = max|f (n+1)(t)| : |t− c| ≤ δ, entao

∀x ∈ [c− δ, c + δ] |Rnc f(x)| ≤ M

(n + 1)!|x− c|n+1. (3.6)


Dem. Nas condicoes da hipotese podemos utilizar o resto de Lagrange (teorema3.1.1) tendo-se, para algum θ para algum θ entre c e x,

|Rnc f(x)| =

∣∣∣∣1

(n + 1)!f (n+1)(θ)(x− c)n+1

∣∣∣∣ ,

=1

(n + 1)!

∣∣f (n+1)(θ)∣∣ ∣∣(x− c)n+1

∣∣ ,

≤ 1

(n + 1)!M |x− c|n+1

2

O polinomio de Taylor e uma forma extremamente eficaz de aproximacao da funcao:

Teorema 3.1.3 Suponha-se que, para algum n ∈ N, a n-esima derivada da funcaof :]a, b[⊆ R→ R e contınua e que c ∈]a, b[. Entao

limx→c

Rnc f(x)

(x− c)n= lim

x→c

f(x)− T nc f(x)

(x− c)n= 0. (3.7)

De facto, T nc f(x) e o unico polinomio P (x) de grau n em potencias de x− c tal que

limx→c

f(x)− P (x)

(x− c)n= 0.

Dem. Comecemos por demonstrar (3.7). Recorde-se que f(x)− T nc f(x) = Rn

c f(x).

(Primeira demonstracao)

De acordo com o teorema 3.1.2, valem as desigualdades seguintes, quando [c− δ, c+δ] ⊆]a, b[ e M = max|f (n+1)(t)| : |t− c| ≤ δ,

0 ≤ |Rnc f(x)| ≤ 1

(n + 1)!M |x− c|n+1

portanto

0 ≤ |Rnc f(x)|

|x− c|n ≤ 1

(n + 1)!M |x− c|;

como limx→c |x− c| = 0, tambem limx→c1

(n+1)!M |x− c| = 0 e daı limx→c

|Rnc f(x)||x−c|n = 0,

como pretendıamos demonstrar.


(Segunda demonstracao) Neste caso interessa evidenciar a afirmacao constanteda equacao (3.8) adiante.

Diferencie-se para verificar que, se n ≥ 1,

d

dxT n

c f(x) =d

dx

(f(c) + f ′(c)(x− c) +

n∑i=2

1

i!f (i)(c)(x− c)i

)

= f ′(c) +n∑

i=2

1

(i− 1)!f (i)(c)(x− c)i−1

= f ′(c) +n−1∑i=1

1

i!(f ′)(i)(c)(x− c)i

= T nc f ′(x);

resumindod

dxT n

c f(x) = T n−1c f ′(x) (n ≥ 1). (3.8)

De seguida verifiquemos que o teorema vale para n = 1: por (1.63)

limx→c

f(x)− T 1c f(x)

(x− c)= lim

x→c

f(x)− f(c)− f ′(c)(x− c)

x− c= 0.

Suponhamos que o teorema vale para n ∈ N, i.e., a hipotese de inducao podeformular-se

seja qual for a funcao F de classe Cn, limx→cF (x)−T n

c F (x)(x−c)n = 0

Suponha-se que f e de classe Cn+1 e observe-se que

limx→c

f(x)− T n+1c f(x)

(x− c)n+1

e uma indeterminacao a qual se pode aplicar a regra de Cauchy-l’Hopital vindo

limx→c

f(x)− T n+1c f(x)

(x− c)n+1= lim

x→c

f ′(x)− T nc f ′(x)

(n + 1)(x− c)n(por (3.8))

=1

n + 1limx→c

f ′(x)− T nc f ′(x)

(x− c)n

=1

n + 1· 0 = 0

valendo a penultima equacao por hipotese de inducao aplicada a f ′. Pelo Princıpiode Inducao, vale (3.7) para qualquer n ∈ N, como querıamos provar.

A demonstracao da unicidade sera materia de exercıcio (3.1.1.7). 2


3.1.1 Exercıcios

1. Indique o polinomio de Taylor, T 3a f(x), de grau 3 para f em a para as seguintes

funcoes.

(a) f(x) = arctanx; a = 0.

(b) f(x) = arcsenx; a = 0.

(c) f(x) = arcosx; a = 12.

(d) f(x) = log x; a = 1.

(e) f(x) = x3 + 3x2 − x + 1;

i. a = 0 ii. a = 1

(f) f(x) = x4 + 2x2 − x− 1; a = 0;

(g) f(x) = xcos(x− 1); a = 1.

(h) f(x) = log xx+1

+ log 2; a = 1.

2. Para cada umas das seguintes funcoes indique o polinomio de Taylor de graun para f em a, T n

a f(x), e determine a forma integral, a forma de Cauchy e aforma de Lagrange para o resto Rn

af(x).

(a) f(x) = senx; a = 0.

(b) f(x) = cosx; a = 0.

(c) f(x) = exp x; a = 0.

(d) f(x) = log x; a = 1.

(e) f(x) = arctanx; a = 0.Sugestao: Comece por mostrar que

1

1 + t2= 1− t2 + t4 − t6 + · · ·+ (−1)nt2n +

(−1)n+1t2n+2

1 + t2.

(f) f(x) =

exp−

1x2 x 6= 0

0 x = 0.

3. Utilizando os resultados convenientes do exercıcio anterior calcule os valoresindicados com erro inferior a 10−4.

(a) sin 2 .

(b) sin 1 .

(c) arctan1.

(d) e .

4. Determine o polinomio de Taylor de grau 2, T 24 f(x), da funcao f(x) = x2

x−1.

Mostre que o erro cometido ao aproximar f(x) por T 24 f(x) e inferior a 1

24 , paratodo x ∈]3, 5[.


5. Determine os polinomios de Taylor (de grau indicado e em torno do pontoindicado) para as seguintes funcoes:

(a) f(x) = log x, grau n, em 2

(b) f(x) = x5 + x3 + x, grau 4, em 0

(c) f(x) =√

x, grau n em 1.

(d) f(x) = xr (r ∈ Q), grau n, em a > 0.

6. Suponha que f(x) :=√

x para qualquer x > 0.

(a) Determine o polinomio de Taylor T 32 f(x).

(b) Indique um majorante do erro da aproximacao de√

2, 1 por T 22 f(2, 1).

7. Demonstre a segunda parte do teorema 3.1.3, por exemplo de acordo com oplano seguinte.

(a) Duas funcoes f e g em dizem-se iguais ate a ordem n em c se

limx→c

f(x)− g(x)

(x− c)n= 0.

Mostre que dois polinomios em x − c de grau ≤ n que sao iguais ate aordem n em c, sao de facto iguais.

(b) Recorde o exercıcio 1.2.3.1, observe que, para qualquer funcao P ,

f(x)− T nc f(x)

(x− c)n=

f(x)− P (x) + [P (x)− T nc f(x)]

(x− c)n

e conclua a demonstracao do teorema 3.1.3.

8. Determine um polinomio de Taylor que lhe permita calcular e10−71com erro

inferior a 10−20.

9. Suponha que

α ∈ R \ 0 & ∀x ∈]− 1, +∞[ f(x) := (1 + x)α

(a) Verifique que T 30 f(x) = 1 + αx + α(α−1)

2x2 + α(α−1)(α−2)

6x3

(b) Utilize T 20 f para mostrar que 10

√1 + 10−9 ≈ 1+ 1

1010− 451021 com erro inferior

a 10−28.

OBS: O numero no 2o membro e 1, 000000000099999999955 e a sua expressao1, 000000000099999999955000000 tem todas as casas decimais exactas.

10. Suponha que f(x) := ex2−e2 − x2 (x ∈ R). Considerando que e ≈ 2, 7182com todas as casas decimais exactas, indique um majorante do erro que secomete ao aproximar f(0), que vale exactamente e−e2

, por 1 +∑10

n=12,72n

n!

(OBS: 2, 72n = (2, 72)n).


3.2 Funcoes Analıticas I

Definicao 3.2.1 Seja I um intervalo aberto de R — possivelmente nao limitado —e f : I → R uma funcao de classe C∞. Diz-se que f e analıtica em I quando, paracada c ∈ I, existe um numero real positivo ε tal que

]c− ε, c + ε[⊆ I

e

∀δ > 0 ∃p ∈ N ∀n ≥ p ∀x ∈]c− ε, c + ε[ |Rnc f(x)| < δ

Teorema 3.2.1 Os polinomios e as funcoes exp, sen, e cos sao analıticas em R; a

funcao xf7→ log(1 + x) e analıtica em ]− 1, 1[.

Dem. (Polinomios) Suponha-se que, para certo k ∈ N,

f(x) = a0 +k∑

i=1

aixi (x ∈ R).

Seja qual for c ∈ R, as derivadas f (m)(c) sao nulas sempre que m > k, consequente-mente, se n ≥ k o resto de Lagrange e nulo pois entao, sejam quais forem c e x, paraalgum θ entre c e x, vem

Rnc f(x) =

1

(n + 1)!f (n+1)(θ)(x− c)n+1 =

1

(n + 1)!× 0(x− c)n+1 = 0,

pelo que, seja qual for δ > 0,

∀n ≥ k |Rnc f(x)| < δ

e podemos tomar qualquer ε na definicao de analiticidade para f . De facto

∀n ≥ k f(x) = T nc f(x).

(exp) Seja entaof(x) = ex (x ∈ R).

Como todas as derivadas de f sao iguais a f , de novo utilizando a forma de Lagrangepara o resto, sejam quais forem c e n, e qualquer x por exemplo em ]c − 1, c + 1[,para algum θ entre c e x, vem

|Rnc f(x)| =

eθ

(n + 1)!|x− c|n+1 ≤ ec+1

(n + 1)!1n+1 =

ec+1

(n + 1)!<

ec+1

n;

mas entao, dado δ positivo, tomando p ≥[

ec+1

δ

],

∀x ∈]c− 1, c + 1[ ∀n ≥ p |Rnc f(x)| < δ

3.2. FUNCOES ANALITICAS I 309

e podemos tomar ε = 1 na definicao de analiticidade para exp.

(sen e cos) As sucessivas derivadas de sen ou de cos sao da forma ±cos ou ±sen,pelo que f (n+1)(θ), em quaisquer dos restos de Lagrange, tem sempre valor absoluto≤ 1; analogamente ao que fizemos para a funcao exponencial, podemos tomar ε = 1e concluir que, se p ≥ [

1δ

]

∀x ∈]c− ε, c + ε[ ∀n ≥ p |Rnc f(x)| < δ.

(log) Em primeiro lugar observe-se que

∀s 6= −1 ∀n ∈ N 1

1 + s= 1 +

n−1∑i=1

(−1)isi +(−1)n+1sn

1 + s(3.9)

e que

∀c, t 6= −11

1 + t=

1

1 + c

(1

1 + t−c1+c

). (3.10)

Tenha-se tambem em conta que

∀x ∈]− 1, +∞[ log (1 + x) =

∫ x

0

1

1 + tdt (3.11)

= log(1 + c) +

∫ x

c

1

1 + tdt (3.12)

e ainda que, se f(x) = log(1 + x), entao

f (i)(c) =(−1)i−1(i− 1)!

(1 + c)i(i ∈ N)

e portanto

f (i)(c)

i!=

(−1)i−1

i(1 + c)i(i ∈ N) (3.13)

Para nao sobrecarregar a argumentacao, suponha-se daqui em diante que, paraalgum τ ∈]0, 1[

−1 < c & c− τ |1 + c| < x < c + τ |1 + c| (3.14)

ou, de outro modo,

−1 < c &|x− c|1 + c

< τ < 1. (3.15)


Considere-se agora a sequencia de equacoes seguinte

log(1 + x) = log(1 + c) +1

1 + c

∫ x

c

(1

1 + t−c1+c

)dt (por (3.10) e (3.12))

= log(1 + c) +1

1 + c

∫ x

c

[1 +

n−1∑i=1

(−1)i

(t− c

1 + c

)i

+(−1)n+1

(t−c1+c

)n

1 +(

t−c1+c

)]

dt (por (3.9))

= log(1 + c) +1

1 + c

[(x− c) +

n−1∑i=1

(−1)i

(1 + c)i

∫ x

c

(t− c)idt

+(−1)n+1

(1 + c)n−1

∫ x

c

(t− c)n

1 + tdt

]

= log(1 + c) +1

1 + c

[(x− c) +

n∑i=1

(−1)i

(i + 1)(1 + c)i(x− c)i+1

+(−1)n

(1 + c)n−1

∫ x

c

(t− c)n

1 + tdt

]

= log(1 + c) +1

1 + c(x− c) +

n∑i=1

(−1)i

(i + 1)(1 + c)i+1(x− c)i+1

+(−1)n

(1 + c)n

∫ x

c

(t− c)n

1 + tdt

= log(1 + c) +n∑

i=1

(−1)i−1

i(1 + c)i(x− c)i +

(−1)n

(1 + c)n

∫ x

c

(t− c)n

1 + tdt

Recordando a formula (3.13) concluımos

f(x) = log(1 + x) = T nc f(x) +

(−1)n

(1 + c)n

∫ x

c

(t− c)n

1 + tdt

ou seja, que

Rnc f(x) =

(−1)n

(1 + c)n

∫ x

c

(t− c)n

1 + tdt = (−1)n

∫ x

c

(t−c1+c

)n

1 + tdt

Repare-se que assim, se θ esta entre c e x, entao |θ − c| < |x − c| < τ |1 + c| por(3.15) ou seja

0 < Θ :=

∣∣∣∣θ − c

1 + c

∣∣∣∣ < τ < 1 (3.16)

3.2. FUNCOES ANALITICAS I 311

e precisamente para algum θ nestas condicoes, pelo primeiro Teorema da Media(teorema 1.3.8), com Θ definido como em (3.16), e tomando

ε := τ(1 + c) > 0. (3.17)

∀x ∈]c− ε, c + ε[ |Rnc f(x)| =

Θn

|1 + θ| <τn

(1− τ)(c + 1). (3.18)

Ora, dado δ > 0, para ter |Rnc f(x)| < δ, para qualquer x ∈]c− ε, c + ε[ (ε como em

(3.17)) basta entao terτn

(1− τ)(c + 1)< δ;

ainda por (3.16),

τn

(1− τ)(c + 1)< δ ⇔ log

(τn

(1− τ)(c + 1)

)< log δ (3.19)

⇔ n >log[(1− τ)(1 + c)δ]

log τ. (3.20)

Em suma, se δ > 0 e o numero natural p ≥ log[(1−τ)(1+c)δ]log τ

, com ε dado por (3.17),

∀x ∈]c− ε, c + ε[ ∀n ≥ p |Rnc f(x)| < δ.

2

Teorema 3.2.2 (Princıpio dos Zeros Isolados I) Sejam I um intervalo abertode R e f : I → R uma funcao analıtica. Se, para algum c ∈ I, f(c) = 0 e todasas derivadas f (n)(c) (n ≥ 1) sao nulas, entao f e identicamente nula em algumintervalo ]c− ε, c + ε[ com ε > 0 .

Dem. Observe primeiro que todos os polinomios de Taylor centrados em c sao

nulos, porque sao nulos os seus coreficientes f (i)(c)i!

, pelo que, para algum ε > 0

∀x ∈]c− ε, c + ε[∀n ∈ N |f(x)| = |Rnc f(x)|.

Como f e analıtica, esse ε pode ser tomado de acordo com a definicao 3.2.1; masentao

∀δ > 0 ∃p ∈ N ∀n ≥ p ∀x ∈]c− ε, c + ε[ |f(x)| < δ

e daı∀δ > 0 ∀x ∈]c− ε, c + ε[ |f(x)| < δ

ou seja f(x) = 0 para qualquer x ∈]c− ε, c + ε[. 2

Ha func~oes de classe C∞ que n~ao s~ao analıticas, por exemplo a definida por

f(x) =

exp−

1x2 x 6= 0

0 x = 0.

(Recorde o exercıcio 3.1.1.2f)


De facto valem dois teoremas aparentemente mais fortes que este e equivalentes entresi, a saber:

Teorema 3.2.3 (Princıpio dos Zeros Isolados II) Sejam I um intervalo abertode R e f : I → R uma funcao analıtica. Se, para algum c ∈ I, f(c) = 0 e todas asderivadas f (n)(c) (n ≥ 1) sao nulas, entao f e identicamente nula em I.

Teorema 3.2.4 (Princıpio do Prolongamento Analıtico) Duas funcoes ana-lıticas num mesmo intervalo aberto que coincidam em algum sub-intervalo dele,coincidem de facto na totalidade do intervalo.

Mas nao faremos a sua demonstracao.

3.2.1 Exercıcios

1. Demonstre a condicao (3.9).

2. Prove a desigualdade em (3.17).

3. Prove as equivalencias (3.19) e (3.20).

4. Mostre que as funcoes definidas de seguida sao analıticas (no seu domınio)

(a) f(x) := 11−x

(b) f(x) := x1−x

(c) f(x) := 11−x2

(d) f(x) := 11−x3

(e) f(x) := 1+x+x2

(1+x−x2−x3)

(f) f(x) := log x

5. Mostre que se duas funcoes analıticas tem as mesmas derivadas de todas asordens num certo ponto c do seu domınio, entao coincidem em algum intervalonao trivial centrado em c.

Capıtulo 4

Sucessoes e Series numericas

4.1 Sucessoes numericas

Uma sucessao numerica ou sucessao de numeros reais e uma aplicacaou : N→ R. Para cada n ∈ N, a imagem u(n) diz-se termo de ordem n da sucessaoe pode designar-se por un; se nao ha especificacao do valor de n, un tambem se diztermo geral.

Notacao: Uma sucessao u : N → R pode tambem ser designada (un),(un)n∈N ou simplesmente pelo seu termo geral.

4.1.1 Sucessoes monotonas. Sucessoes limitadas

Veja-se tambem a seccao 5.3.

Uma sucessao un diz-se crescente se verificar

∀n ∈ N un ≤ un+1

ou seja se for uma funcao crescente; estritamente crescente se verificar

∀n ∈ N un < un+1

i.e. se for uma funcao estritamente crescente; decrescente se verificar

∀n ∈ N un ≥ un+1

ou seja se for uma funcao decrescente; estritamente decrescente se verificar

∀n ∈ N un > un+1

i.e. se for uma funcao estritamente decrescente.

Definicao 4.1.1 Uma sucessao diz-se monotona se for crescente ou se for decres-cente; dir-se-a estritamente monotona se for estritamente crescente ou estrita-mente decrescente. Uma sucessao que nao e monotona diz-se oscilante.

401

402 CAPITULO 4. SUCESSOES E SERIES NUMERICAS

Exemplo 4.1.1 1. As sucessoes constantes i.e. sucessoes definidas por un =a (n ∈ N), sendo a um numero real fixo, sao monotonas, mas nao estritamente.

2. As progressoes aritmeticas i.e. definidas por un = a + (n − 1)r (n ∈ N),com a e r numeros reais fixos — dos quais r se designa por razao — saomonotonas; de facto estritamente monotonas se r 6= 0.

3. As progressoes geometricas i.e. definidas por un = a · rn−1 (n ∈ N), coma e r numeros reais fixos — dos quais r se designa tambem por razao — saomonotonas se r ≥ 0; de facto estritamente monotonas se 1 6= r > 0 e o primeirotermo nao e nulo.

4. As progressoes geometricas de razao negativa e primeiro termo nao nulo saooscilantes.

Ha no entanto sucessoes monotonas e sucessoes oscilantes que nao se classificam emquaisquer dos exemplos atras descritos. Na verdade, qualquer sucessao ”inclui” decerto modo uma sucessao monotona como vamos ver.

Definicao 4.1.2 A sucessao vn diz-se subsucessao da sucessao un se existir umafuncao estritamente crescente k : N→ N tal que

∀n ∈ N vn = uk(n).

Em termos mais formais: v = u k.

Notacao: ukn := uk(n).

Teorema 4.1.1 Toda a sucessao de numeros reais tem uma subsucessao monotona.

Dem. Tome-se uma sucessao un. Um termo up dir-se-a um cume se

∀n ≥ p up ≥ un. (4.1)

Se todos os termo da sucessao sao cumes, esta e decrescente pois, em particular, valesempre un ≥ un+1.

I. A partir de um certo ındice p nao ha cumes e a sucessao tem uma subsucessaocrescente.

Para tornar o discurso mais claro, defina-se

Vp := n ∈ N| n > p ∧ up < un (p ∈ N).

Vp+1 6= ∅, porque up+1 nao e cume por hipotese e min Vp+1 existe pelo teorema 1.0.9.Defina-se

k(1) := p + 1

k(2) := min Vp+1 = Vk(1)

4.1. SUCESSOES NUMERICAS 403

e observe-se quep < k(1) < k(2) ∧ uk(1) < uk(2) (4.2)

por definicao de Vk(1). Mas entao, por hipotese, uk(2) tambem nao e cume e Vk(2) 6= ∅pelo que min Vk(2) existe, podemos toma-lo como k(3) e

p < k(2) < k(3) ∧ uk(2) < uk(3).

De um modo geral, com ajuda do Princıpio de Inducao, pode provar-se que

k(1) := p + 1 (4.3)

k(n + 1) := min Vk(n) (4.4)

define uma funcao k : N→ N verificando

∀n ∈ N [k(n) < k(n + 1) ∧ Vk(n) 6= ∅ ∧ uk(n) < uk(n+1)]. (4.5)

ukn e a subsucessao crescente procurada.

II. A sucessao tem cumes de ordem arbitrariamente grande e a sucessao tem umasubsucessao decrescente.

Suponha-se entao que

∀p ∈ N ∃n ∈ N [n > p ∧ un e cume].

Defina-seCp := n ∈ N| n > p ∧ un e cume (p ∈ N).

Estes conjuntos nao sao vazios por hipotese e portanto todos tem mınimo. De modoanalogo ao que vimos no caso anterior, podemos definir

k(1) := min C1

k(n + 1) := min Ck(n) (n ∈ N).

Deixamos a cargo do leitor mostrar que ukn e subsucessao decrescente.

Em qualquer caso un tem subsucessoes monotonas. 2

Definicao 4.1.3 Uma sucessao un diz-se limitada se o conjunto dos seus termosun| n ∈ N for limitado.

Repare-se que o conjunto dos termos de uma sucessao crescente e limitado inferi-ormente e o conjunto dos termos de uma sucessao decrescente e limitado superior-mente: u1 e respectivamente mınimo ou maximo; assim, por exemplo, para que umasucessao crescente seja limitada, basta verificar que o conjunto dos seus termos elimitado superiormente.

Experimentacao com sucessoes crescente limitadas, faz suspeitar que os termosaproximam o supremo com erro cada vez menor, a medida que a ordem cresce;em casos simples e mesmo possıvel demonstrar que a aproximacao e tao boa quanto


se queira. Nao descrevemos ainda propriedades de R suficientes para garantir que,de facto, tal nao acontece por acaso.

De momento enunciamos algumas propriedades das sucessoes limitadas.

A soma, o produto, a diferenca e o quociente de sucessoes numericas un e vn,definem-se respectivamente por:

(u + v)n := un + vn

(u · v)n := unvn

(u− v)n := un − vn(u

v

)n

:=un

vn

O proximo teorema e simples consequencia do teorema 1.0.13

Teorema 4.1.2 A soma, o produto e a diferenca de sucessoes limitadas e umasucessao limitada.

O quociente de sucessoes limitadas pode nao ser limitado.

4.1.2 Exercıcios

1. Estude quanto a monotonia as sucessoes de termos gerais:

(a) an = n+(−1)n

2+n

(b) bn = 1 + 11!

+ 12!

+ · · ·+ 1n!

(c) cn =( 3

2)n

n!

(d) dn = 2 +n∑

k=1

2

3k

2. Verifique que cada uma das sucessoes cujos termos de ordem n se definema seguir e limitada e determine o supremo e o ınfimo do conjunto dos seustermos.

(a) un := n+(−1)n

n(b) un := 1 + 1

2+ 1

22 + · · ·+ 12n

(c) As sucessoes seguintes sao definidas por recorrencia:

i. u1 = 0 ∧ u2 = 1 ∧ un+2 = un+un+1

2, para cada n ∈ N.

ii. v1 = 1 ∧ vn+1 =√

2 + vn, para cada n ∈ N.

3. Seja (xn) a sucessao de numeros reais definida por

x1 = 1

xn+1 =xn + 2

2(n ∈ N)

(a) Prove, que

∀n ∈ N xn < 2

(b) Mostre que (xn) e uma sucessao crescente.

4.2. CONVERGENCIA 405

4. Considere a sucessao definida por

x1 = 1

xn+1 =xn

n + 1(n ∈ N)

(a) Mostre que (xn) e decrescente e minorada.

(b) Mostre que xn = 1n!

, para todo o n ∈ N.

5. Suponha que (un) e uma sucessao numerica. Prove que

(a) un e progressao aritmetica se e apenas se a diferenca un+1−un e constante.

(b) un e progressao geometrica nao nula e de razao nao nula se e apenas se oquociente un+1

unesta definido para todo o n ∈ N e e constante.

6. Considere a sucessao (un) definida por

u1 =3

5

un+1 =un − 3

6(n ∈ N)

e a sucessao (vn) tal que vn = 5un + 3 (n ∈ N).

(a) Mostre que (vn) e uma progressao geometrica.

(b) Estude (vn) quanto a limitacao.

(c) Determine expressoes para (vn) e (un) em termos de n.

7. Seja un uma sucessao numerica. Mostre que

(a) un e limitada se e apenas se todas as suas subsucessoes sao limitadas.

(b) un e monotona se e apenas se todas as suas subsucessoes sao monotonas.

4.2 Convergencia

Definicao 4.2.1 A sucessao (un) converge para o numero real a se para qualquerε > 0, existe uma ordem a partir da qual un e valor aproximado de a a menos de ε;mais formalmente

∀ε > 0 ∃p ∈ N ∀n ∈ N[n ≥ p ⇒ |un − a| < ε]. (4.6)

Se a sucessao un converge para a, escreve-se un → a ou a = lim un oua = limn→+∞ un. Uma sucessao diz-se convergente se tiver limite, caso contrariodiz-se divergente.


Teorema 4.2.1

1. Toda a sucessao constante e convergente; mais precisamente: se para alguma ∈ R e para qualquer n ∈ N, un = a, entao un → a.

2. O valor absoluto de uma sucessao convergente e convergente; mais precisa-mente: se para algum a ∈ R, un → a, entao |un| → |a|.

3. Toda a sucessao convergente e limitada.

Dem. 1. Se un ≡ a ∈ R, entao un → a porque ∀n ∈ N|un − a| = 0 e 0 < ε, sejaqual for ε > 0. A definicao vale para qualquer ε > 0 com p = 1.

2. Se un → a ∈ R, entao |un| → |a| porque

||un| − |a|| ≤ |un − a|.

Assim, se a partir de alguma ordem |un − a| < ε, a partir da mesma ordem ||un| −|a|| < ε.

3. Este resultado depende ainda do lema 1.0.2. Vejamos entao. Se un → a ∈ R, emparticular se ε = 1, existe uma ordem p ∈ N tal que un| n ≥ p ⊆ ]a− 1, a + 1[. Se

m = minun| n ≤ p & M = maxun| n ≤ p,

entao, tomando

c = minm, a− 1 & d = maxM, a + 1

vem

un| n ∈ N ⊆ ]c, d[.

E un| n ∈ N e limitado. 2

Teorema 4.2.2 Seja un uma sucessao numerica convergente; digamos un → a ∈ R.Se a 6= 0, existe uma ordem a partir da qual o sinal de un e o mesmo que o de a i.e.

un → a < 0 ⇒ ∃p ∈ N ∀n ∈ N [n ≥ p ⇒ un < 0.] (4.7)

un → a > 0 ⇒ ∃p ∈ N ∀n ∈ N [n ≥ p ⇒ un > 0.] (4.8)

Dem. Trataremos apenas o caso a < 0.

Suponha-se entao que un → a < 0 e tome-se ε = |a|. Existe p ∈ N tal que, sep ≤ n ∈ N, entao |un − a| < ε = |a|; mas entao

∀n ∈ N [n ≥ p ⇒ un < a + |a| = a− a = 0],

portanto un < 0 quando n ≥ p. 2


Teorema 4.2.3 (das sucessoes encaixadas) Se un, vn, wn sao sucessoes nume-ricas tais que un → a ∈ R, vn → b ∈ R, wn → c ∈ R.

1. (∃p ∈ N ∀n ≥ p un ≤ vn) ⇒ a ≤ b

2. [∃p ∈ N ∀n ≥ p (un ≤ vn ≤ wn) & a = c] ⇒ a = b = c

Dem. (1) Se b < a, pelo teorema 4.2.2, existiria uma ordem q, tal que, se n ≥ q,entao vn < un; mas assim, se n ≥ maxp, q ter-se-ia simultaneamente un ≤ vn < un,o que e impossıvel, portanto b 6< a, ou seja a ≤ b.

(2) Pela alınea anterior a ≤ b ≤ c = a, donde a = b = c. 2

Observacao 4.2.1 Veja-se tambem o exercıcio 4.2.1.2

Teorema 4.2.4 A sucessao ( 1n) tem limite zero.

Dem. Como 1n

> 0 para qualquer n ∈ N (condicoes 1.3, 1.3 e [O3.]102), o quepretendemos provar pode escrever-se

∀ε > 0 ∃p ∈ N ∀n ∈ N[n ≥ p ⇒ 1

n< ε]

ou

∀ε > 0 ∃p ∈ N ∀n ∈ N[n ≥ p ⇒ 1

ε< n]

o que vale, por 1ε

nao ser majorante de N, pelo teorema anterior (1.0.15). Em sumaverifica-se o que pretendemos provar. 2

De um modo geral, uma sucessao que tenha limite zero diz-se um infinitesimo.

Teorema 4.2.5 Toda a sucessao numerica monotona e limitada e convergente.

Dem. (I. Sucessoes crescentes.) Seja un uma sucessao crescente limitada. Comoun| n ∈ N 6= ∅ e e limitado, tem supremo digamos

s = supun| n ∈ N.

Vamos ver queun −→ s. (4.9)

Tome-se ε ∈ R+. Pelo teorema 10.13, existe p ∈ N tal que se n ≥ p, entao s − ε <up ≤ s. Como un e suposta crescente, n ≥ p ⇒ up ≤ un, pelo que

∀n ≥ p s− ε < up ≤ un ≤ s,

portanto∀n ≥ p 0 ≤ s− un < ε.


como tambem s− un = |s− un| e ε foi tomado arbitrariamente em R+,

∀ε > 0 ∃p ∈ N ∀n ≥ p 0 ≤ |s− un| < ε.

e fica provado (4.9).

(II. Sucessoes decrescentes.) Poderia reformular-se a demonstracao que acabamosde fazer trocando sup por inf, > por >, ≤ por ≥, + por − e vice-versa, mas talvezseja melhor observar que: se un e decrescente e limitada, entao −un e crescente elimitada, pelo que tem limite, digamos a = lim−un; segue-se que un → −a ((4) noteorema 4.2.9). 2

Associada a qualquer sucessao un estao funcoes f : [0, +∞[R tais que nao so f(n) =un (n ∈ N) mas tambem lim un = a se e apenas se limx→+∞ f(x) = a. Em certoscasos uma associacao e imediata — por exemplo se un = 1

1+n, uma possibilidade

e tomar f(x) := 11+x

— noutros nao tao imediata — como escolher f se un =

(−1)n 11+n

? De um modo geral pode sempre definir-se f do seguinte modo

f(x) :=

un x = n

(un+1 − un)(x− n) + un n < x < n + 1.(n ∈ N) (4.10)

Veja-se a este proposito o exercıcio 4.2.1.1

Teorema 4.2.6 (de Heine-Borel) Toda a sucessao limitada tem subsucessoes con-vergentes.

Dem. Suponhamos que un e sucessao limitada; pelo teorema 4.1.1, tem uma sub-sucessao monotona, que e tambem limitada e consequentemente convergente (teo-rema 4.2.5). 2

Definicao 4.2.2 Uma sucessao (un) diz-se de Cauchy se verifica a condicao seguinte

∀ε > 0 ∃p ∈ N ∀m,n ∈ N[m, n ≥ p ⇒ |um − un| < ε] (4.11)

Teorema 4.2.7 Uma sucessao de numeros reais e convergente se e apenas se e deCauchy.

Tambem por esta razao se diz que R e completo.

Para demonstrarmos este teorema vamos utilizar os dois lemas seguintes 4.2.1 e 4.2.2

Lema 4.2.1 Toda a sucessao numerica de Cauchy e limitada.

Lema 4.2.2 Se uma sucessao de Cauchy tem uma subsucessao convergente, entaoe ela mesma convergente.


Dem. (do lema 4.2.1) Seja un uma sucessao de Cauchy e tomemos ε = 1; peladefinicao 4.2.2, existe uma ordem p ∈ N tal que

∀m, n ≥ p |um − un| < ε,

em particular∀n ≥ p |up − un| < ε

ou ainda∀n ≥ p up − ε < un < up + ε; (4.12)

seja agora

M := maxun| 1 ≤ n < p & µ := minun| 1 ≤ n < p.Seja qual for n ∈ N, ou n < p, e nesse caso, por (4.12), µ ≤ un ≤ M , ou p ≤ n, enesse caso up − ε < un < up + ε; mas entao

∀n ∈ N minm, up − ε ≤ un ≤ maxM, up + εe portanto un e limitada. 2

Dem. (do lema 4.2.2) Seja un uma sucessao de Cauchy e suponha-se que asubsucessao ukn e convergente, digamos que

ukn → a ∈ R.

Vamos ver queun → a. (4.13)

Tome-se entao ε > 0 como ukn → a, existe uma ordem p1 ∈ N tal que

∀n ≥ p1 |ukn − a| < ε

2. (4.14)

Como un e de Cauchy, existe uma ordem p2 ∈ N tal que

∀m,n ≥ p2 |um − un| < ε

2. (4.15)

Suponha-se entao quen ≥ p := maxp1, p2,

por um lado, por (4.14),

n ≥ p1 & |ukn − a| < ε

2,

por outro lado, pelo teorema 1.0.8,

n ≤ kn & kn, n ≥ p ≥ p2, donde |un − ukn| <ε

2

e segue-se que

∀n ≥ p |un − a| ≤ |un − ukn |+ |ukn − a| <ε

2+

ε

2= ε.


A condicao (4.13) fica provada. 2

Passemos entao a demonstrar teorema 4.2.7

Dem. (do teorema 4.2.7) Comecemos por ver que toda a sucessao convergente ede Cauchy. Suponhamos que un → a e seja ε > 0 qualquer; tome-se p ∈ N tal que

∀n ≥ p |un − a| < ε

2;

assim

m,n ≥ p ⇒[|um − un| ≤ |um − a|+ |a− un| <

ε

2+

ε

2= ε

]

e, como ε foi tomado arbitrariamente em ]0, +∞[, un e de Cauchy.

Vamos agora ver que toda sucessao de Cauchy e convergente Suponhamos que un e deCauchy. Pelo lema 4.2.1, un e limitada; pelo teorema 4.1.1, un tem uma subsucessaomonotona que e tambem limitada e consequentemente convergente (teorema 4.2.5);mas entao pelo lema 4.2.2, un converge. 2

Teorema 4.2.8

1. A soma, a diferenca e o produto de sucessoes convergentes e convergente;

2. O quociente de sucessoes convergentes em que o denominador tem limite naonulo e convergente.

Para enunciarmos e demonstrarmos uma forma muito mais precisa deste teoremaconvem ter presente o teorema 4.2.2.

Teorema 4.2.9 Sejam un e vn sucessoes numericas convergentes; digamos un →a ∈ R e vn → b ∈ R.

1. (u + v)n → a + b

2. (u− v)n → a− b

3. (uv)n → ab

4. Se c ∈ R, lim cun = ca

5. Se b 6= 0, entao(

uv

)n→ a

b

Teorema 4.2.10 A funcao f :]a, b[⊆ R → R e contınua no ponto c ∈]a, b[ se e sose para qualquer sucessao xn de termos em ]a, b[, quando xn → c, f(xn) → f(c).

Dem. Comecemos por supor que c ∈]a, b[, que f :]a, b[→ R e contınua, que xn ∈]a, b[para qualquer n ∈ N e que xn → c. Tome-se ε > 0 e um δ correspondente de modoa que

∀x ∈]a, b[ |x− c| < δ ⇒ |f(x)− f(c)| < ε. (4.16)


Como xn → c, existe p ∈ N tal que

∀n ≥ p |xn − c| < δ,

mas entao, por (4.16),

∀n ≥ p |f(xn)− f(c)| < ε,

ou seja,

∀ε > 0 ∃p ∈ N ∀n ≥ p |f(xn)− f(c)| < ε,

e f(xn) → f(c), como pretendıamos mostrar.

Suponhamos agora que c ∈]a, b[, que para qualquer sucessao xn de termos em ]a, b[,quando xn → c, f(xn) → f(c), mas que f nao e contınua em c. Tem-se entao, paracerto ε > 0

∀δ > 0 ∃x(δ) ∈]a, b[ [|x(δ)− c| < δ & |f(x(δ))− f(c)| ≥ ε] ,

em particular

∀n ∈ N ∃x(

1

n

)∈]a, b[

[∣∣∣∣x(

1

n

)− c

∣∣∣∣ <1

n&

∣∣∣∣f(

x

(1

n

))− f(c)

∣∣∣∣ ≥ ε

];

(4.17)mas assim, definindo

xn := x

(1

n

),

tem-se que xn → c porque |xn − c| < 1n

e f(xn) 6→ f(c), por (4.17), o que contradiza suposicao inicial de que f(xn) teria limite f(c); portanto f tem de ser contınuaem c. 2

4.2.1 Exercıcios

1. (a) Mostre que a funcao definida em (4.10) verifica limx→+∞ f(x) = a se eapenas se un → a, seja qual for a ∈ R.

(b) Mostre que, para qualquer a ∈ R, se limx→+∞ f(x) = a, entao f(n) → a.

(c) De exemplo de uma funcao f : [0, +∞[→ R tal que nao existe limx→+∞ f(x),mas f(n) → 0.

2. Prove o seguinte Teorema:

Se un, vn, wn sao sucessoes numericas tais que

un, wn → a ∈ R & [∃p ∈ N ∀n ≥ p un ≤ vn ≤ wn] ,

entao vn → a.


4.2.2 Sucessoes nao limitadas

Uma sucessao ilimitada nao pode ser convergente (teorema 4.2.1), mas pode mesmoassim ter comportamentos regulares que passamos a descrever:

Definicao 4.2.3 Uma sucessao numerica un diz-se

1. um infinitamente grande positivo se verificar

∀M > 0 ∃p ∈ N ∀n ≥ p un > M

e nota-se un → +∞ ou lim un = +∞;

2. um infinitamente grande negativo se verificar

∀M < 0 ∃p ∈ N ∀n ≥ p un < M

e nota-se un → −∞ ou lim un = −∞;

3. um infinitamente grande se verificar

∀M > 0 ∃p ∈ N ∀n ≥ p |un| > M,

e nota-se un →∞ ou lim un = ∞.

E tem lugar os resultados seguintes:

Teorema 4.2.11 Sejam un e vn sucessoes de numeros reais tais que

∃p ∈ N ∀n ∈ N [n ≥ p ⇒ un ≤ vn].

1. Se un e infinitamente grande positivo, o mesmo acontece com vn.

2. Se vn e infinitamente grande negativo, o mesmo acontece com un.

Dem. Como a sucessao simetrica de um infinitamente grande positivo e um infini-tamente grande negativo, basta demonstrar 2. Suponhamos entao que, para certop ∈ N se n ≥ p, entao un ≤ vn e que vn e infinitamente grande negativo.

Seja M um numero negativo qualquer. seja q uma ordem tal que n ≥ q ⇒ vn < M ;se n ≥ maxp, q, entao un ≤ vn < M e em particular n ≥ maxp, q ⇒ un < M .Como M foi tomado arbitrariamente, un e infinitamente grande negativo. 2

E ainda, designando(

1un

)a sucessao inversa da sucessao un:

Teorema 4.2.12 A sucessao inversa de um infinitamente grande de termos naonulos e um infinitesimo e a sucessao inversa de um infinitesimo de termos nao nulose um infinitamente grande.

Dem. Basta observar que, em R, 0 < a < b sse 0 < 1b

< 1a. Em face desta observacao

espera-se que o leitor termine. 2


Um infinitamente grande da maior importancia

Teorema 4.2.13 Se c ∈ R e c > 1, entao (cn) e um infinitamente grande positivo.

Dem. Suponha-se que c > 1 e ponha-se c = 1 + t, pelo que t = c− 1 > 0. Segue-se

cn = (1 + t)n = 1 + nt +n∑

i=2

n!

i!(n− i)!ti > 1 + nt.

Donde cn > 1 + nt e, pelo teorema 4.2.11, cn e infinitamente grande positivo. 2

Segue-se um infinitesimo tambem particularmente importante:

Teorema 4.2.14 Se c ∈ R e |c| < 1, entao (cn) e um infinitesimo.

Dem. Se |c| = 0, entao c = 0 e cn ≡ 0 → 0.

Se 1 > |c| > 0 entao 1|c| > 1; como 1

|c|n =(

1|c|

)n

, pelo teorema 4.2.13,1|c|n e infinitamente grande positivo; mas entao, pelo teorema 4.2.12, |c|n → 0, i.e.cn → 0.

2

4.2.3 Exercıcios

1. De um exemplo de uma sucessao que tenha subsucessoes crescentes limitadase subsucessoes crescentes ilimitadas.

2. Suponha que (un) e (vn) sao sucessoes de numeros reais tais que

u1 = α α fixo em R\4un+1 = −1

2un + 6 (n ∈ N)

& ∀n ∈ N vn = un − 4.

Mostre que

(a) (vn) e uma progressao geometrica convergente.

(b) lim un = 4.

3. Suponha que 0 < r < 1 e que (un) e (vn) sao sucessoes de numeros reais taisque

∀n ∈ N [0 ≤ un ≤ rn ∧ vn =n∑

i=1

ui].

Mostre que (vn) e convergente e lim vn ≤ r1−r

.


4. Mostre que

(a) Se para algum r ∈ [0, 1[ a sucessao un verifica ∀n ∈ N |un+1−un| ≤ rn−1,entao e convergente (SUG: prove que un e de Cauchy).

(b) Mostre que se a sucessao de numeros reais un verifica as relacoes derecorrencia

u1 = 1

un+1 = un

(1 +

1

nn

),

entao e convergente.

5. Seja (un) uma sucessao de numeros reais nao negativos.

(a) Mostre que n√

b → 1 quando b > 0.

(b) Mostre que se ∀n ∈ N un > 0, entao

limun+1

un

= b ∈ R ⇒ lim n√

un = b.

(c) Utilize a sucessao (un) definida por

u2p =1

2p,

u2p−1 =1

2p(p ∈ N),

para mostrar que o recıproco da alınea (a) nao se verifica.

(d) Determine lim n√

n.

(e) Determine lim n√

an + 3bn, com a, b ∈ R+.

(f) Mostre que se lim un = b, entao lim n√

u1u2 · · · un = b (se uma sucessao denumeros reais positivos converge para b, entao a media geometrica dosseus n primeiros termos converge tambem para b).

6. Determine os limites das sucessoes com os termos gerais un:

(a) un = n!nn

(b) un =√

n2+n+1n

(c) un = (n−p)!n!

(p ∈ N)

(d) un =√

3n4−n2+3n2−1

(e) un = an

n!(a ∈ R)

(f) un =(

an

)n(a ∈ R)


7. Considere a sucessao (un) definida por

un =n∑

i=1

1

(n + i)2

(a) Calcule os termos u1, u2 e u3.

(b) Mostre que (un) e decrescente.

(c) Mostre que un → 0 (Sugestao: utilize o teorema das sucessoes enquadradas).

8. Determine o limite das seguintes sucessoes

vn =1

nn

√n!

n + 1fn =

n

√1

n3en =

2nn√

(2n + 1)!

9. Calcule os limites das sucessoes cujos termos de ordem n sao

gn =n√

2− 1

n− 1bn = (

√n + 1−√n)

√n + 3 dn = 3

√n + 1− 3

√n

hn =1

n

(1

2+

2

3+ · · ·+ n

n + 1

)wn =

n∑

k=1

1√n2 + k

un =

∑mi=0 ain

i

∑ki=0 bini

(k,m ∈ N; bk 6= 0 6= am).

10. Calcule de duas maneiras distintas lim n!+√

n(n+1)!

.

(a) Directamente, por meio de manipulacoes algebricas.

(b) Observando primeiro que ∀n ∈ N √n ≤ n!.

11. Estude quanto a convergencia as sucessoes cujos termos de ordem n sao

un = 5n−αn

3n+7n , α ∈ R+

vn = 3n+(−2)n

3n+1+(−2)n+1

wn = 2n+12n−n

zn = 4+5−n

2+n−2n

12. Considere as sucessoes de termos gerais:

an =nn+1(n + 1)−n

n + 2, bn =

(53

)n

n!

(a) Prove que

∀n ∈ N 0 < bn ≤ 5

3

(b) Calcule lim an.

(c) Mostre que a sucessao (an − bn) e convergente, indicando o respectivolimite.


4.3 Series numericas

Utilizaremos o termo serie sem definicao formal.

4.3.1 Generalidades sobre convergencia

Dada uma sucessao (an), designa-se por soma parcial de ordem n a soma sn dadapor

sn := a1 + · · ·+ an =n∑

i=1

ai. (4.18)

Se a sucessao das somas parciais sn converge, digamos que para o numero real a,diz-se que a serie a1 + a2 + · · · e convergente e tem soma a. Uma serie que naoseja convergente diz-se divergente. Designa-se tambem an por termo geral daserie. A serie a1 + a2 + · · · tambem se pode designar por

∑∞n=1 an ou simplesmente∑

an.

Uma serie diz-se geometrica ou aritmetica se o seu termo geral for uma progressaorespectivamente geometrica ou aritmetica; a razao do termo geral e tambem a razaoda serie.

Teorema 4.3.1

1. As series aritmeticas so convergem se tiverem razao nula, caso em que a somae o primeiro termo. Se a razao e negativa ou positiva a sucessao de somasparciais e infinitamente grande respectivamente negativo ou positivo.

2. Uma serie geometrica de razao r converge se e apenas se |r| < 1.

∞∑n=1

arn−1 =a

1− r(a ∈ R; |r| < 1). (4.19)

Dem. Exercıcio 4.3.2.1 2

Designa-se por resto de ordem p da serie∑

an a serie∑∞

n=p+1 an

Teorema 4.3.2 (Criterio de Cauchy) Seja an uma sucessao numerica. As condicoesseguintes sao equivalentes

1. A serie de termo geral an e convergente.

2. ∀ε > 0 ∃p ∈ N ∀m ≥ p ∀k ∈ N |∑ki=1 am+i| < ε.

3. ∀ε > 0 ∃p ∈ N ∀m, r ∈ N [p ≤ m ≤ r ⇒ |∑ri=m ai| < ε].

4. Alguma serie resto converge.

5. Todas as series resto convergem.

4.3. SERIES NUMERICAS 417

Dem. Ponha-se sn :=∑n

k=1 ak e s := lim sn caso exista.

(1⇔2) sn convergir e o mesmo que ser de Cauchy portanto o mesmo que

∀ε > 0 ∃p ∈ N ∀m,n ≥ p |sm − sn| < ε

O que tambem pode escrever-se

∀ε > 0 ∃p ∈ N ∀m ≥ p ∀n > m |sn − sm| < ε.

Como∀m ∈ N m + k| k ∈ N = n ∈ N| n > m,

vale a expressao equivalente

∀ε > 0 ∃p ∈ N ∀m ≥ p ∀k ∈ N |sm+k − sm| < ε.

Acontece que sm+k − sm =∑k

i=1 am+i e vale 2.

(2⇔3) Basta observar que

r∑i=m

ai =r−m+1∑

i=1

am−1+i

e concluir a partir disso.

(1⇒4) Deixamos ao cuidado do leitor provar que se sn → s converge, em particularo resto de ordem 2 converge para s− a1.

(4⇒1) Suponhamos que por exemplo∑∞

n=p+1 an = rp. Fica a cargo do leitor mostrarque sn → a1 + · · ·+ ap−1 + rp.

(5⇒1) Se todas as series resto convergem, com a notacao do paragrafo anteriorsn → a1 + r1.

(1⇒5) Com a notacao dos paragrafos anteriores rp = s−∑pi=1 ai ∈ R. 2

Em particular

Teorema 4.3.3 O termo geral de uma serie convergente e um infinitesimo.

Dem. Observe-se que an+1 = sn+1 − sn e utilize-se a alınea 3 do teorema anterior.2

Duas series dir-se-ao da mesma natureza se forem ambas convergentes ou ambasdivergentes.

Teorema 4.3.4

1. A natureza de uma serie mantem-se quando se altera um numero finito determos.

2. Duas series cujos termos gerais coincidam a partir de alguma ordem sao damesma natureza.


Dem. Se p for o maximo dos ındices para os quais an pode ser diferente de bn, asseries resto de ordem p sao iguais e pode aplicar-se o teorema 4.3.2. 2

A algebrizacao de series e mais subtil que a das sucessoes, no entanto podem definir-se soma, diferenca e produto por uma constante.

Definicao 4.3.1 Sejam S :=∑

an e T :=∑

bn duas series e c um numero real.

1. A soma de S com T e a serie S + T :=∑

(an + bn), de termo geral an + bn.

2. O produto de S pelo escalar c e a serie cS :=∑

can, de termo geral can.

Teorema 4.3.5 Sejam S :=∑

an e T :=∑

bn duas series e c um numero real.

1. Se S tem soma s ∈ R e T tem soma t ∈ R, entao S + T tem soma s + t.

2. Se S tem soma s ∈ R, entao cS tem soma cS.

4.3.2 Exercıcios

1. Suponha que 1 6= r ∈ R\0 e a ∈ R.

(a) Prove quen∑

i=0

ri =1− rn+1

1− r

(b) Suponha que un = arn−1 (n ∈ N). Mostre que

n∑i=1

ui = a× 1− rn

1− r=

u1 − un+1

1− r

(c) Defina sn :=∑n

i=1 ui. Prove que sn → a1−r

se |r| < 1.

Esta propriedade tambem costuma descrever-se como

a + ar + ar2 + ar3 + · · ·+ arn + · · · =a

1− r

(d) Suponha que 1 < p ∈ N. Mostre que

p− 1

p+

p− 1

p2+

p− 1

p3+ · · ·+ p− 1

pn+ · · · = 1

4.3.3 Series de termos nao negativos

Teorema 4.3.6 Se an ≥ 0 para qualquer n ∈ N, a serie∑

an converge se e apenasse a sucessao de somas parciais e majorada.

Dem. Recorde-se que sn+1 = sn + an+1 portanto, nas condicoes da hipotese, sn ecrescente sendo limitada sse for convergente. 2


Exemplo 4.3.1 A serie harmonica∑

1n

e divergente pois

2p∑n=1

1

n= 1 +

p∑i=1

2i∑

n=2i−1+1

1

n≥ p + 2

2.

Teorema 4.3.7 (Criterio geral de comparacao) Sejam S :=∑

an e T :=∑

bn

duas series tais que, para certo p ∈ N, 0 ≤ an ≤ bn para qualquer ordem n ≥ p.

1. Se T converge, tambem S converge.

2. Se S diverge, tambem T diverge.

Dem. Para n > p tem-se

0 ≤ Sn :=

p∑i=1

ai +n∑

i=p+1

ai

≤p∑

i=1

ai +n∑

i=p+1

bi

=

p∑i=1

bi +n∑

i=p+1

bi +

p∑i=1

(ai − bi)

:= Tn +

p∑i=1

(ai − bi).

Como∑p

i=1(ai− bi) e constante podemos aplicar o teoremas 4.2.11 e 4.3.6 pois esteultimo afiram que as series de termos positivos sao convergentes ou infinitamentegrandes. 2

Corolario 4.3.1 Sejam S :=∑

an e T :=∑

bn duas series tais que 0 ≤ an e0 < bn para qualquer ordem n ∈ N.

1. Se a sucessao an

bne majorada

(a) Se T converge, tambem S converge.

(b) Se S diverge, tambem T diverge.

2. Se an

bn→ l ∈ R\0, entao S e T sao da mesma natureza.

3. Se 0 < an e an+1

an≤ bn+1

bnpara qualquer n ∈ N,

(a) Se T converge, tambem S converge.

(b) Se S diverge, tambem T diverge.


Dem. 1. Se an

bn< c entao an ≤ cbn. Ora e muito facil verificar que cT e T — porque

c > o (justifique!) — sao da mesma natureza e aplicar o teorema 1.3.8.

2. Observe que, a partir de alguma ordem (l − l2) bn < an < (l + l

2)bn (porque?) e

conclua.

3. Deixa-se como exercıcio para o leitor. 2

Teorema 4.3.8 (Criterio da razao) Seja S :=∑

an uma serie de termos posi-tivos.

1. Se existem r ∈ R e p ∈ N tais que

∀n ≥ pan+1

an

≤ r < 1, (4.20)

entao S e convergente.

2. Se existe p ∈ N tal que

∀n ≥ pan+1

an

≥ 1, (4.21)

entao S e divergente.

Dem. 1. Repare que nas condicoes (4.20), para n > p se tem 0 ≤ an ≤ aprn−p e

use o que conhece sobre series geometricas e o teorema 4.3.2 sobre series resto.

2. Nestas condicoes an+1 ≥ an a partir da ordem p e an nao pode tender para zero,pois passa a ser crescente e positiva. Utilize agora o teorema 4.3.3 2

Corolario 4.3.2 (Criterio de D’Alembert) Seja S :=∑

an uma serie de termospositivos e suponha-se que

liman+1

an

= l ∈ R (4.22)

1. Se l < 1, S converge.

2. Se l > 1, S diverge.

Dem. 1. Repare-se que nas condicoes da hipotese, para n suficientemente grandese tem an+1

an< l+1

2< 1 e aplique-se o n. 1 do corolario anterior.

2. Neste caso l+12

> 1 e podemos aplicar o n. 2 do corolario anterior. 2


Teorema 4.3.9 (Criterio da raiz) Seja S :=∑

an uma serie de termos naonegativos.

1. Se para algum numero real r

∃p ∈ N ∀n ≥ p n√

an < r < 1, (4.23)

S converge.

2. Sen ∈ N| n

√an ≥ 1 e infinito (4.24)

S diverge.

Dem. 1. Neste caso, para n ≥ p, 0 ≤ an < rn e como r < 1 a serie resto deordem p converge — e de termos nao negativos e majorada por uma serie geometricaconvergente — portanto o mesmo acontece com a serie propriamente dita.

2. Nestas condicoes an 6→ 0, pelo que a serie nao pode convergir. 2

Corolario 4.3.3 (Criterio de Cauchy) Seja S :=∑

an uma serie de termos naonegativos e suponha-se que

n√

an → r ∈ R.

1. Se r < 1, S converge.

2. Se r > 1, S diverge.

Dem. Nas condicoes da hipotese, existe uma ordem p para a qual

∀n ≥ p n√

an < r +1− r

2=

r + 1

2< 1,

e daı

∀n ≥ p an <

(r +

1− r

2

)n

=

(r + 1

2

)n

.

Ora o ultimo termo das inequacoes e o termo geral de uma serie geometrica conver-gente, pelo teorema 4.3.7 a serie de termo geral an converge. . 2

Teorema 4.3.10 Se an e uma sucessao decrescente de termos positivos e ∀n ∈N bn := 2nan, as series

∑an e

∑bn sao da mesma natureza.

Para α ∈ R, as series da forma∑

1nα sao chamadas series de Dirichlet com expoente

α.

Corolario 4.3.4 Uma serie de Dirichlet com expoente α converge se e apenas seα > 1.


Uma permutacao de N e uma aplicacao bijectiva ψ : N→ N.

Teorema 4.3.11 Sejam S :=∑

an uma serie de termos nao negativos e ψ umapermutacao de N. S e da mesma natureza que

∑aψ(n).

Dados um conjunto nao vazio de numeros naturais, K, e uma sucessao de termosnao negativos an, a expressao

∑k∈K ak representa a soma dos termos ak cujo ındice

k ∈ K; em virtude do teorema anterior (4.3.11), esta definicao e adequada pois, seK e finito, a soma e um simples somatorio usual e se K e infinito, entende-se comoserie nao sendo relevante a ordenacao dos termos em que a soma e considerada.

Uma particao numeravel de N e um conjunto Ki| i ∈ N de subconjuntos de Ndisjuntos dois a dois tal que ∪i∈NK i = N.

Teorema 4.3.12 Sejam K i| i ∈ N uma particao numeravel de N e∑

an umaserie de termos nao negativos. As series

∑∞i=1

∑n∈Ki an e

∑an sao da mesma

natureza.

Quando, para qualquer particao numeravel K i| i ∈ N, ∑∞i=1

∑n∈Ki an e conver-

gente diz-se que a serie e somavel por blocos.

4.3.4 Convergencia absoluta e convergencia simples

Se bem que, como vimos no exemplo 4.3.1,∑

1n

diverge, nao e muito difıcil mostrarque

∑(−1)n 1

nconverge. Na verdade vale o seguinte.

Teorema 4.3.13 (Criterio de Leibniz) Se a sucessao an e decrescente e temlimite zero, entao

∑(−1)nan converge.

Designando por alternada uma serie da forma∑

(−1)nan em que todos os an > 0sao positivos, o teorema anterior tambem costuma enunciar-se na forma seguinte.

Teorema 4.3.13’ Qualquer serie alternada cujo termo geral tende para zero a de-crescer e convergente

Quando an → 0+, mas an nao e decrescente, a serie alternada correspondente podeou nao convergir.

Exemplo 4.3.2

1.∑

(−1)n 1(3+(−1)n)n converge. 2.

∑ (−1)n−1n+1

+ (−1)n+12n diverge.

Quando o termos de uma serie nao tem sinal determinado, mas a serie e convergente,ha lugar a duas possibilidades descritas na definicao seguinte.

Definicao 4.3.2 Uma serie∑

an diz-se absolutamente convergente se∑ |an|

converge e diz-se simplesmente convergente se∑∞

n=1 |an| diverge mas∑

an con-verge.

O teorema seguinte esclarece parte da afirmacao anterior.


Teorema 4.3.14 Qualquer serie absolutamente convergente e convergente

Dem. Suponhamos que∑

an converge absolutamente. Vamos verificar que asucessao de somas parciais e de Cauchy e utilizar o teorema 4.2.7. Sejam entaosn :=

∑nk=1 uk e Sn :=

∑nk=1 |an| (n ∈ N). Tome-se ε > 0; por hipotese Sn con-

verge, consequentemente e de Cauchy (teorema 4.2.7) assim, podemos tomar p ∈ Ntal que

∀m,n ∈ N [m,n ≥ p ⇒ |Sm − Sn| < ε];

entao vale a seguinte sequencia de condicoes onde vamos supor que m > n ≥ p

|sm − sn| = |sn+1 + · · ·+ sm|≤ |sn+1|+ · · ·+ |sm|= Sm − Sn = |Sm − Sm|< ε.

Como ε foi tomado arbitrariamente, podemos concluir que sn e de Cauchy e conse-quentemente converge. 2

Ja vimos que o recıproco deste teorema nao se verifica. De facto pode provar-se oseguinte (veja-se [15]):

Teorema 4.3.15 (de Riemann) Se uma serie e simplesmente convergente, podemreordenar-se os seus termos de modo a que a sucessao resultante de somas parciaisconvirja para qualquer numero previamente fixado.

Este teorema resulta do facto de o termo geral de uma serie convergente ter limitezero e do teorema seguinte. Dada uma sucessao numerica an define-se

a+n =

an se an > 0

0 caso contrarioa−n =

−an se an < 0

0 caso contrario.

Teorema 4.3.16 Se a serie∑

an e simplesmente convergente entao∑

a+n e

∑a−n

divergem, ou seja ,∑

a+n = +∞ =

∑a−n .

4.3.5 Convergencia absoluta II

Voltando ao estudo da convergencia absoluta, os criterios de convergencia de seriesde termos nao negativos dao agora lugar a criterios de convergencia absoluta.


Teorema 4.3.17 (Criterio da razao) Seja S :=∑

an uma serie de termos naonulos.

1. Se existem r ∈ R e p ∈ N tais que

∀n ≥ p|an+1||an| ≤ r < 1, (4.25)

entao S e absolutamente convergente.

2. Se existe p ∈ N tal que

∀n ≥ p|an+1||an| ≥ 1, (4.26)

entao S e divergente.

Corolario 4.3.5 (Criterio de D’Alembert) Seja S :=∑

an uma serie de termosnao nulos e suponha-se que

lim|an+1||an| = l ∈ R (4.27)

1. Se l < 1, S converge absolutamente.

2. Se l > 1, S diverge.

Teorema 4.3.18 (Criterio da raiz) Seja S :=∑

an uma serie de termos naonulos.

1. Se para algum numero real r

∃p ∈ N ∀n ≥ p n√|an| < r < 1, (4.28)

S converge absolutamente.

2. Se

n ∈ N| n√|an| ≥ 1 e infinito (4.29)

S diverge.

Corolario 4.3.6 (Criterio de Cauchy) Seja S :=∑

an uma serie numerica esuponha-se que

n√|an| → r ∈ R.

1. Se r < 1, S converge absolutamente.

2. Se r > 1, S diverge.


4.3.6 Exercıcios

1. Diga se as series seguintes sao convergentes ou divergentes e, no caso de seremconvergentes, determine a sua soma.

(a)∑+∞

n=11

n(n+1)

(b)∑+∞

n=1 n

(c)∑+∞

n=1

(23

)n

(d)∑+∞

n=11

n(n+1)(n+2)

(e)∑+∞

n=12n+13n+2

(f)∑+∞

n=12

4n2−9

(g)∑+∞

n=1

(12n + 1

3n

)

(h)∑+∞

n=1

√n−√n− 1

(i)∑+∞

n=12n−12n

(j)∑+∞

n=21

(n−1)n

(k)∑+∞

n=32

(n−2)n

(l)∑+∞

n=p+1p

(n−p)n(p ∈ N)

As series exemplificadas nas alıneas a, d, f, j, k e l sao chamadas telescopicasou de Mengoli.

2. Sejam∑+∞

n=1 an e∑+∞

n=1 bn duas series convergentes com somas A e B, respec-tivamente, e c ∈ R. Prove que

(a) A serie∑+∞

n=1 an + bn e convergente e tem soma A + B.

(b) A serie∑+∞

n=1 can e convergente e tem soma cA.

3. Estude a natureza das seguintes series, utilizando os criterios de comparacao.

(a)∑+∞

n=11

n4+n2+1

(b)∑+∞

n=11

3n−2

(c)∑+∞

n=11√

n(n+1)(n+2)

(d)∑+∞

n=11n!

(e)∑+∞

n=1n5+4n3+12n8+n4+2

(f)∑+∞

n=1

√n

n2+1

(g)∑+∞

n=11+2n

1+3n

4. Estude a natureza das seguintes series:

(a)∑+∞

n=1n−12n−1

(b)∑+∞

n=1n

n4+1

(c)∑+∞

n=16n

n4−2n

(d)∑+∞

n=1n3−6

3(n2+2n−1)(n2+5)

(e)∑+∞

n=1n3

2n

(f)∑+∞

n=13n

n4n

(g)∑+∞

n=12n

(n!)2

(h)∑+∞

n=1 n−√

n

(i)∑+∞

n=1(2n)!(n!)2

(j)∑+∞

n=1

√n+1−√n

n

5. Seja (an) uma sucessao de numeros reais positivos. Mostre que se∑+∞

n=1 an

converge entao∑+∞

n=1 a2ntambem converge, mas o recıproco nao e verdadeiro.

6. Mostre que se∑+∞

n=1(an)2 converge entao∑+∞

n=1an

ntambem converge.

7. Prove que se (an) e decrescente e∑+∞

n=1 an converge entao lim nan = 0.

8. Prove que se∑+∞

n=1 an converge e an > 0 para todo o n entao∑+∞

n=1an

1+an

tambem converge. Prove que o recıproco e verdadeiro.

9. Se∑+∞

n=1 an e∑+∞

n=1 bn sao series convergentes de termos positivos, sera verdade

que∑+∞

n=1

√a2

n + b2n e convergente? E o recıproco?


10. Estude a natureza da serie∑

3nn!2×4×···×(2n)

.

11. Verifique que a serie seguinte converge mas nao converge absolutamente

∞∑n=1

(−1)n+1

n

(1 +

(−1)n+1

n

)

(OBS: Pode ser util mostrar que ∀n ∈ N 1 + (−1)n+1

n> 0 ou mesmo

que ∀n ∈ N 1 + (−1)n+1

n≥ 1

2).

12. Determine a natureza (convergencia, convergencia simples ou convergencia ab-soluta) de cada uma das series seguintes

(a)∑

(−1)n(1− 2

n

)n2

(b)∑ (−4)n

n2

(c)∑

(−1)n n2

1+n2

(d)∑

(−1)n√

n+2−√n−2n3

(e)∑

(−1)n n2

(2+ 1n)

n

(f)∑

(−1)[n7 ] 2n2

n!

(g)∑

3−(5n+1)

(h)∑

(−1)n(

2n−13n+1

)n

(i)∑ (−1)n−1

np (p ∈ Q+)

(j)∑ (−1)

n(n−1)2

2n

(k)∑

(−1)n+1 1n

1(3,5)n

(l)∑ (−1)n+ 1

2

n

(m)∑

ann!nn (a > 0)

13. Que pode dizer quanto a convergencia de

(a)∑

(−1)

[1+√

8n−32

]1n5 ?

(b)∑

(−1)

[1+√

8n−32

]1n?

(c)∑

(−1)

[1+√

8n−32

]an quando an ↓ 0?

(d) Comente a convergencia de series de termos de sinal variavel∑

un quando|un| ↓ 0

Capıtulo 5

Sucessoes de funcoes reais

5.1 Preliminares

Tal como uma sucessao numerica e uma aplicacao de N num conjunto de numeros– R ou C, no caso presente – uma sucessao de funcoes e uma aplicacao de Nnum conjunto de funcoes , n 7→ fn – reais de variavel real, tambem no caso presente– mas a analogia de certo modo acaba aı mesmo, na definicao, pois, por exemplo,passarao a existir duas formas de convergencia; vejamos um caso paradigmatico:

Exemplo 5.1.1∀n ∈ N ∀x ∈ [−1, 1] fn(x) := xn;

para cada x ∈]− 1, 1[, fn(x) e uma sucessao numerica que tem limite zero (teorema4.2.14), se x = 1, entao fn(x) ≡ 1 → 1, se x = −1, entao fn(x) = (−1)n e naoconverge, resumindo

fn(x) → f(x) :=

0 se |x| < 1

1 se x = 1.(x ∈]− 1, 1]);

mas ha mais ”problemas”, a saber: se 0 < ε < 1, entao

∀r ∈]0, 1[ ∀n ∈ N[n ≥ log ε

log r⇒ ∀x ∈]− r, r[ |fn(x)− f(x)| < ε

],

mas nao e verdade que

∃p ∈ N ∀n ≥ p ∀x ∈]− 1, 1[ |fn(x)− f(x)| < ε

pois acontece o seguinte:[|x| < p

√ε & n ≥ p

] ⇒ |fn(x)− f(x)| < ε

masp√

ε + 1

2∈ ]− 1, 1[ &

∣∣∣∣fp(p√

ε + 1

2)− f(

p√

ε + 1

2)

∣∣∣∣ =

(p√

ε + 1

2

)p

> p√

εp

= ε;

501

502 CAPITULO 5. SUCESSOES DE FUNCOES REAIS

De facto

∀n ∈ N sup|fn(x)− f(x)| : |x| ≤ 1 = 1.

Por outras palavras: fn converge para f ”ponto a ponto” mas nao converge uni-formemente.

Definicao 5.1.1 Dadas uma sucessao de funcoes reais (fn)n∈N definidas num con-junto C ⊆ R e uma funcao f : C → R, diz-se que

1. fn converge pontualmente para f se para qualquer x ∈ C, fn(x) → f(x),isto e,

∀x ∈ C ∀ε > 0 ∃p ∈ N ∀n ≥ p |fn(x)− f(x)| < ε. (5.1)

2. fn converge uniformemente para f se

∀ε > 0 ∃p ∈ N ∀n ≥ p ∀x ∈ C |fn(x)− f(x)| < ε (5.2)

ou, de forma equivalente,

∀ε > 0 ∃p ∈ N ∀n ≥ p sup|fn(x)− f(x)| : x ∈ C ≤ ε (5.3)

ou ainda

sup|fn(x)− f(x)| : x ∈ C → 0. (5.4)

Exemplo 5.1.2 Nestes termos, a sucessao do exemplo 5.1.1 converge pontualmenteem ] − 1, 1], mas nao uniformemente. De facto o argumento do exemplo provaque a sucessao converge pontualmente em ] − 1, 1[ para a funcao nula, mas naouniformemente.

Proposicao 5.1.1 Se uma sucessao de funcoes fn converge uniformemente no con-junto C para f : C → R, entao tambem converge pontualmente para f em C.

Dem. Tome-se x0 ∈ C e ε > 0; como fn → f uniformemente, existe uma ordemp ∈ N tal que, se n ≥ p, entao para qualquer x ∈ C, |fn(x)− f(x)| < ε; mas assim,em particular para x0, esta mesma condicao se verifica, isto e, se n ≥ p, entao paraqualquer x ∈ C, |fn(x0)−f(x0)| < ε; como ε foi escolhido arbitrariamente e para elese determinou a ordem p adequada para aproximacao a menos de ε, fn(x0) → f(x0);como x0 foi escolhido arbitrariamente, fn(x) → f(x) para qualquer x ∈ C. 2


4. Comecemos por observar que g e contınua por ser limite uniforme de uma sucessaode funcoes contınuas; de seguida observe-se que

fn(x) = fn(c) +

∫ x

c

f ′n(t)dt

→ f(c) +

∫ x

c

g(t)dt

e

fn(x) → f(x),

portanto

f(x) = f(c) +

∫ x

c

g(t)dt

e daı

f ′(x) = g(x).

2

Teorema 5.1.2 (Criterio de Weierstrass) Suponha-se que∑

an e uma serieconvergente de termos nao negativos, que I e um intervalo, que as fn : I → R(n ∈ N) sao funcoes, que

sn(x) :=n∑

k=1

fk(x) (x ∈ I; n ∈ N)

e que

∀n ∈ N ∀x ∈ I |fn(x)| ≤ an; (5.8)

entao sn converge uniformemente em I para F (x) :=∑

fn(x), isto e, a serie defuncoes F converge uniformemente em I.

Dem. Comecemos por observar que, nas condicoes da hipotese, sn converge pon-tualmente para F em I, e de facto para cada x ∈ I, a convergencia de F (x) eabsoluta, pelo criterio de comparacao (teorema 4.3.7). Mais precisamente entao

∀x ∈ I |F (x)− sn(x)| = |∞∑

k=n+1

fn(x)|

≤∞∑

k=n+1

ak.

Ora ∞∑

k=n+1

ak =∞∑

n=1

an −n∑

k=1

ak → 0

pelo que a convergencia de sn e mesmo uniforme, como se pode verificar de seguida:

5.1. PRELIMINARES 505

Dado ε > 0, se p e tal que

n ≥ p ⇒ 0 ≤∞∑

k=n+1

ak < ε,

entao∀n ≥ p ∀x ∈ I |F (x)− sn(x)| < ε.

2

5.1.1 Exercıcios

1. Prove

(a) as afirmacoes constantes no exemplo 5.1.2

(b) que as condicoes em 2 da definicao 5.1.1 sao equivalentes.

2. Mostre que uma funcao f : I → R, de classe C∞, e analıtica num intervaloI, se para cada ponto c ∈ I, existe um intervalo ]c − ε, c + ε[⊆ R onde Rn

c fconverge uniformemente para zero ou, o que e o mesmo, onde a sucessao dospolinomios de Taylor T n

c f converge uniformemente para f .

3. Considere a sucessao fn, n ≥ 1, onde fn(x) = n sin xn.

(a) Verifique que a sucessao converge em R para a funcao f(x) = x, mas naouniformemente.

(b) Prove que a sucessao converge uniformemente para f(x) = x em qualquerintervalo [−r, r], com r ∈ R.

4. Para cada n ≥ 1, seja fn(x) = nxnx2+1

. Considere a funcao f definida por

f(x) = limn→+∞

fn(x).

(a) Esboce os graficos de f e fn.

(b) A sucessao fn, n ≥ 1, converge uniformemente para f em R?

(c) Que pode dizer quanto ao tipo de convergencia de fn no intervalo ]0, +∞[?

(d) E no intervalo [α, +∞[, com α > 0?

5. Para cada natural n, n ≥ 1, seja fn dada por:

fn(x) =

2n2x, se 0 ≤ x ≤ 12n

;−2n2x + 2n, 1

2n≤ x ≤ 1

n;

0, 1n≤ x ≤ 1.

(a) Faca o esboco do grafico de fn(x).

(b) Mostre que, para todo o x ∈ [0, 1], limn→+∞ fn(x) = 0.


(c) Calcule limn→+∞∫ 1

0fn(x)dx e

∫ 1

0[limn→+∞ fn(x)]dx. Comente os resulta-

dos obtidos.

6. Para cada n ≥ 1, seja fn(x) = 1n

sin(nx). Verifique que a sucessao fn convergeuniformemente, em R, para a funcao f dada por f(x) = limn→+∞ fn(x). Veri-fique que neste caso, f ′(x) nao e dado por limn→+∞ f ′n(x) para todo o x. Esteresultado esta em contradicao com o teorema 5.1.1.4 ?

7. Verifique que a serie∑∞

n=1sin nxx4+n4 e uniformemente convergente em R. Mostre

que a funcao s(x) =∑∞

n=1sin nxx4+n4 e contınua em R.

5.2 Series de potencias

5.2.1 Aspectos gerais

Para o que se segue, passaremos a considerar as sucessoes tambem definidas emN0 := N ∪ 0. A serie de potencias (de x) associada a sucessao numerica(an)n∈N0 e a funcao S(x) definida por

S(x) := a0 +∞∑

n=1

anxn := a0 +∑

anxn.

E imediato que 0 ∈ domS, i.e., S(0) e uma serie convergente (para a0) e de factopode acontecer domS = 0 (exercıcio 5.2.4.1), mas frequentemente o domınio de Se um intervalo nao trivial, que tanto pode ser limitado como nao limitado, aberto,fechado ou mesmo semi-aberto em qualquer dos extremos (veja-se o exercıcio 5.2.4.5);interessar-nos-e-mos essencialmente pelos interiores dos intervalos de convergenciapor razoes que serao claras apos o teorema 5.2.2.

Recordem-se as convencoes 10

= ∞ e 1∞ = 0. O raio de convergencia da serie

S(x) e o elemento R deR+ := +∞ ∪ R

definido porR := supr ∈ [0, +∞]| S(r) converge. (5.9)

Teorema 5.2.1 S(x) converge absolutamente sempre que |x| < R e divergese |x| > R.

Observe-se que |x| > +∞ e impossıvel pelo que, para a hipotese |x| > R, devemossupor R ∈ R+ (Veja-se tambem a seccao 5.3).

Dem. Suponha-se que R e raio de convergencia de S(x) e que |x| < R; tome-se rtal que

|x| < r < R.

Por defininicao de R, a0 +∑

anrn converge pelo que lim anrn = 0 e, em particular,

para certo p ∈ N∀n ≥ p |anrn| < 1.

5.2. SERIES DE POTENCIAS 507

Mas entao

∀n ≥ p |anxn| =

∣∣∣anrn(x

r

)n∣∣∣

= |anrn|∣∣∣(x

r

)n∣∣∣

= |anrn|( |x|

r

)n

<

( |x|r

)n

.

E a serie a0+∑

anxn converge absolutamente por comparacao com a serie geometrica

1 +∑ (

|x|r

)n

, que converge pois |x|r

< 1.

Suponha-se agora que |x| > R e tome-se s tal que

|x| > s > R.

Por defininicao de R, a0 +∑

ansn diverge. Admita-se que a0 +∑

anxn converge,pelo que lim anxn = 0 e, em particular, para certo q ∈ N

∀n ≥ q |anxn| < 1.

Mas entao

∀n ≥ p |ansn| =

∣∣∣anxn( s

x

)n∣∣∣

= |anxn|

∣∣∣( s

x

)n∣∣∣

= |anxn|

(s

|x|)n

<

(s

|x|)n

.

E a serie a0 +∑

ansn converge absolutamente, por comparacao com 1 +

∑ (s|x|

)n

(que converge pois s|x| < 1), e a0 +

∑ansn convergiria, o que e contraditorio. Assim

a0 +∑

anxn nao pode convergir. 2

Consequentemente x ∈ R| S(x) converge e um intervalo contido em [−R,R] echama-se domınio de convergencia de S; o intervalo ]−R, R[ diz-se o intervalode convergencia de S.

Lema 5.2.1 Se existir lim n√|an| em R+, entao 1

lim n√|an|

e o raio de convergencia

de S(x).

Dem. Defina-se R := 1

lim n√|an|

. De acordo com o criterio da raiz de Cauchy

(corolario 4.3.3), a0 +∑

anxn converge absolutamente, se |x| < R e diverge se

|x| > R; consequentemente a0 +∑

anrn converge se r ∈ [0, R[ e diverge se r > R.

R e o raio de convergencia por definicao. 2


As somas parciais de uma serie de potencias sao polinomios

sn(x) := a0 +n∑

k=1

akxk (n ∈ N),

pelo que uma serie de potencias e o limite de uma sucessao de funcoes e sobre elevale o seguinte (veja-se tambem o exercıcio 5.2.4.11):

Teorema 5.2.2 Suponha que o raio de convergencia da serie de potencias S(x) e

R =1

lim n√|an|

Se 0 < r < R entao S(x) converge absolutamente e uniformemente em [−r, r] noseguinte sentido:

1. A sucessao de funcoes

|sn|(x) := |a0|+n∑

k=1

|ak||x|k (n ∈ N)

converge uniformemente para

|S|(x) := |a|0 +∞∑

n=1

|an||x|n em [−r, r].

2. A sucessao sn converge uniformemente em [−r, r] para S.

3. A sucessao das derivadas s′n converge uniformemente para a1 +∑∞

n=2 nanxn−1

em ]− r, r[, i.e., S e diferenciavel em ]−R, R[ e

S ′(x) = a1 +∞∑

n=1

(n + 1)an+1xn = a1 +

∞∑n=2

nanxn−1, (5.10)

tendo S ′ o mesmo raio de convergencia que S.

Dem. A demonstracao da primeira parte do teorema 5.2.1 e na verdade umaaplicacao disfarcada do criterio de Weierstrass (teorema 5.1.2) que demonstra 1 e 2deste teorema tambem; deixamos a demostracao propriamente dita a cargo leitor.

Quanto a parte 3. Comecemos por observar que lim n√

(n + 1)|an+1| = lim n√|an|

pelo que S ′ tem tambem raio de convergencia R. Assim a convergencia uniforme (euniforme em valor absoluto) das derivadas s′n esta garantida, restando provar que aserie soma e mesmo S ′; tal e consequencia de 4 do teorema 5.1.1. 2

Corolario 5.2.1 O teorema 5.2.2 vale tambem quando todos os an sao diferentesde zero e

R = lim|an||an+1| .


Dem. Nas condicoes a hipotese, R = 1

lim n√|an|

e podemos aplicar o lema 5.2.1. 2

A cada sucessao numerica (an)n∈N0 e cada c ∈ R fica naturalmente associada umaserie de potencias de x− c dada por

T (x) := S(x− c) =∑

an(x− c)n. (5.11)

Se I for o intervalo de convergencia de S entao c + I e o intervalo de convergenciade T , em particular se o raio de convergencia de S e R, entao T (x) converge em]c−R, c + R[ e R tambem se diz o intervalo de convergencia de T .

Corolario 5.2.2 Suponha que o raio de convergencia da serie de potencias S(x) e

R =1

lim n√|an|

e queT (x) := S(x− c).

Se 0 < r < R entao T (x) converge absolutamente e uniformemente em [−r, r] noseguinte sentido:

1. A sucessao de funcoes

|tn|(x) := |a0|+n∑

k=1

|ak||x− c|k (n ∈ N)

converge uniformemente para

|T |(x) := |a|0 +∞∑

n=1

|an||x− c|n em [c− r, c + r].

2. A sucessao tn converge uniformemente em [c− r, c + r] para T .

3. A sucessao das derivadas t′n converge uniformemente para a1 +∑∞

n=2 nan(x−c)n−1 em ]c− r, c + r[, i.e., T e diferenciavel em ]c−R, c + R[ e

T ′(x) = a1 +∞∑

n=1

(n + 1)an+1(x− c)n = a1 +∞∑

n=2

nan(x− c)n−1, (5.12)

tendo T ′ o mesmo raio de convergencia que T .

O produto de duas series de potencias e a0 +∑

anxn e b0 +

∑bnx

n define-se por

(a0 +∑

anxn)(b0 +∑

bnxn) := a0b0 +

∞∑n=1

( ∑p+q=n

apbq

)xn

e tem raio de convergencia maior ou igual ao raio de convergencia mınimo das duasseries (exercıcio 5.2.4.7).


5.2.2 Funcoes analıticas II

A cada funcao f :]a, b[⊆ R → R de classe C∞ e a cada ponto c ∈]a, b[, associa-senaturalmente a serie de Taylor centrada em c

Tcf(x) := f(c) +∞∑

n=1

f (n)(c)

n!(x− c)n (5.13)

cuja convergencia depende como vimos acima do comportamento da sucessao (f (n)(c)n!

).

Teorema 5.2.3 Uma funcao f :]a, b[⊆ R→ R de classe C∞ e analıtica se e apenasse

∀c ∈]a, b[ ∃ε > 0 ∀x ∈]a, b[ [ |x− c| < ε ⇒ f(x) = Tcf(x)]] .

Repare-se a proposito, que este teorema na verdade reenuncia o exercıcio 5.1.1.2,onde se afirma

Teorema 5.2.3’ Uma funcao f :]a, b[⊆ R → R, de classe C∞, e analıtica se eapenas se, para qualquer c ∈]a, b[ a sucessao dos seus restos de Taylor, Rn

c f convergeuniformemente para zero em alguma vizinhanca de c.

Na verdade, qualquer destes teoremas pode enunciar-se

Teorema 5.2.3” Uma funcao f :]a, b[⊆ R → R de classe C∞ e analıtica se eapenas se e desenvolvıvel em serie de Taylor centrada em qualquer dos pontos doseu domınio.

Pode mesmo provar-se que

Teorema 5.2.4 As series de potencias (de x− c) sao funcoes analıticas no interiordo seu intervalo de convergencia.

A demonstracao deste teorema no contexto presente e demasiadamente trabalhosapelo que nao a apresentaremos.

As series de Taylor centradas em 0 da-se o nome de series de McLaurin.


5.2.3 As funcoes transcendentes elementares

ex = 1 +∞∑

n=1

1

n!xn (x ∈ R)

= ec +∞∑

n=1

ec

n!(x− c)n (x, c ∈ R).

log(1 + x) =∞∑

n=1

(−1)n+1

nxn (|x| < 1).

log(x) = log(c) +∞∑

n=1

(−1)n+1

ncn(x− c)n (|x− c| < c > 0).

sen(x) =∞∑

n=1

(−1)n+1

(2n− 1)!x2n−1 (x ∈ R).

senh(x) =ex − e−x

2

=∞∑

n=1

1

(2n− 1)!x2n−1 (x ∈ R).

cos(x) = 1 +∞∑

n=1

(−1)n

(2n)!x2n (x ∈ R).

cosh(x) =ex + e−x

2

= 1 +∞∑

n=1

1

(2n)!x2n (x ∈ R).

arctan(x) =∞∑

n=1

(−1)n+1

2n− 1x2n−1 (|x| < 1).

5.2.4 Exercıcios

1. Mostre que a serie de potencias de x associada a sucessao

an :=

1 n = 0

nn n ∈ N

so converge se x = 0, i.e.,∑

nnxn so converge quando x = 0.

2. Determine o raio de convergencia e o domınio de convergencia das seguintesseries de potencias:


(a)∑∞

n=2xn

log n

(b) 1 +∑∞

n=1

√2nxn

(c)∑∞

n=1 nnxn

(d) 1 +∑∞

n=1n!xn

(2n)!

(e)∑∞

n=12nxn√

n

(f) 1 +∑∞

n=1 2−n x3n

(g)∑∞

n=1 n2 xn

(h) 1 +∑∞

n=12n

n2 xn

(i) 1 +∑∞

n=12n

n!xn

(j) 1 +∑∞

n=12n

n 4n xn

(k)∑∞

n=1n2

n!xn

(l)∑∞

n=2xn−1

n 3n log n

(m)∑∞

n=2(x−3)2n

n log n

(n)∑∞

n=1(x−1)n(n+1)

nn

(o)∑∞

n=1x

n(n−1)2

n!

3. Determine os valores de x ∈ R para os quais as series de potencias seguintessao absolutamente convergentes:

(a) 1 +∑∞

n=1 (−1)n(x− 1)n (b)∑∞

n=1(x+5)2n−1

2n 4n

4. Determine conjuntos infinitos de valores de x ∈ R onde a serie∞∑

n=1

(−1)n 2n + 2

(2n)!x2n

e uniformemente convergente.

5. Determine os conjuntos I tais que S(x) converge para todo o x ∈ I.

(a)∑

xn

n(b)

∑xn

n2 (c)∑

xn

rn (r ∈ R)

6. O produto de Cauchy de series numericas∑

an e∑

n e a serie∑∞

n=1

∑p+q=n apbq.

Mostre que o produto de series absolutamente convergentes e absolutamenteconvergente.

7. Mostre que o raio de convergencia de uma serie de potencias produto e pelomenos o mınimo dos raios de convergencia de cada um dos factores.

8. Desenvolva em serie de McLaurin a funcao dada e determine o raio de con-vergencia da serie obtida.

(a) f(x) := x(1+x2)2

(b) f(x) := excos(x)

9. Determine o raio de convergencia e a soma das series seguintes

(a) 1 +∑∞

n=1(n + 1)xn

(b) 1 +∑∞

n=1(−1)n(2n + 1)x2n

(c)∑∞

n=1xn+1

n(n+1)

10. Demonstre o Teorema 5.2.2.

11. Mostre que o teorema 5.2.2 ainda vale quando nao se impoem restricoes aoraio de convergencia.

12. Demonstre o Lema 5.2.1

13. Demonstre o Corolario 5.2.1

14. Mostre que o corolario 5.2.2 ainda vale quando nao se impoem restricoes aoraio de convergencia.

15. Observando que log(x) = log(c + (x − c)) (x, c > 0), deduza a expansao delog(x) em torno de c da serie de McLaurin para log(1 + x).

5.3. O RAIO DE CONVERGENCIA 513

16. Observando que sen(x) = sen(c + (x − c)) (x, c ∈ R), deduza das seriesde McLaurin de sen(x) e cos(x) uma expansao de sen(x) em serie de Taylorcentrada em c.

17. Observando que cos(x) = cos(c + (x − c)) (x, c ∈ R), deduza das seriesde McLaurin de sen(x) e cos(x) uma expansao de cos(x) em serie de Taylorcentrada em c.

5.3 O raio de convergencia

Considere-se a serie

S(x) =∞∑

n=0

x2n (5.14)

Podemos encara-la pelo menos de duas formas, a saber

1. Para cada x ∈ R, S e uma serie geometrica de razao x2, pelo que convergiraapenas quando x2 = |x2| = |x|2 < 1; por outras palavras, esta-se perante umacomposicao G ξ em que

G(X) =∞∑

n=0

Xn =∞∑

n=0

anXn

com an = 1 (n ∈ N0)

ξ(x) = x2,

sendo G uma serie de potencias de raio de convergencia

1n√|an|

=1

1= 1.

2. Para cada x ∈ R

S(x) =∞∑

n=0

cnxn

com cn =

1 se n e par

0 se n e ımpar

e nao faz sentido |cn||cn+1| quando n e par nem existe lim n

√|cn|.


Poderia dizer-se ”pior ainda!”se a situacao fosse a seguinte

1. (an)n∈N e uma sucessao que percorre todos os numeros racionais em Q∩]0, 1[,

1

2,

1

3,

2

3,

1

4,

2

4,

3

4,

1

5,

2

5,

3

5,

4

5, · · · ,

1

n,

2

n, · · · ,

n− 1

n, · · ·

2. S(x) =∑∞

n=0 anxn

Escolhido r ∈ [0, 1], e facil determinar subsucessoes (akn), em que kn e uma sucessaoestritamente crescente de numeros naturais, tais que

limn→∞

akn = r;

em particular limnn√|an| nao existe de uma forma especialmente irregular; mas estao

definidas certas formas mais fracas de limite: repare-se que

1. [0, 1] e de facto o conjunto dos sub-limites de an, isto e, dos limites de sub-sucessoes convergentes de an

2. Em particular, o conjunto dos sub-limites tem maximo e tem mınimo.

Definicao 5.3.1 Seja an uma sucessao limitada de numeros reais e L o conjuntode todos os sub-limites de an

1. O limite superior de an e o supremo de L, isto e o numero dado por

lim an = sup L.

2. O limite inferior de an e o ınfimo de L, isto e o numero dado por

lim an = inf L.

Observe-se que de facto qualquer sucessao limitada de numeros reais tem limitessuperior e inferior (exercıcio 1). Por outro lado

Teorema 5.3.1 Os limites superior e inferior de uma sucessao limitada sao elesproprios sub-limites e portanto

lim an = maxL & lim an = inf L.

Dem. Por exemplo para ` = lim an. Pelo teorema 1.0.14

∀n ∈ N ∃ln ∈ L `− 1

n< `n ≤ `.

Defina-se entao uma sub-sucessao de an do seguinte modo

1. `1 e limite de uma sub-sucessao, digamos

`1 = limn

ak1n


2. Existe n1 ∈ N tal que k1n1

`1 − 1

1< ak1

n1< `1 +

1

1

3. Defina-se k1 = k1n1

4. `2 e limite de uma sub-sucessao, digamos

`2 = limn

ak2n

5. Existe n2 ∈ N tal que k2n2

> k1n1

`1 − 1

2< ak2

n2< `2 +

1

2

6. Defina-se k2 = k2n2

7. Suponham-se definidos por este processo k1, k2 · · · , kp tais que

k1 < k2 < · · · < kn

`i − 1

i< aki

< `i +1

i(1 ≤ i ≤ p)

8. `p+1 e limite de uma sub-sucessao, digamos

`p+1 = limn

akp+1n

9. Existe np+1 ∈ N tal que kp+1np+1

> kp

`1 − 1

p + 1< akp+1

np+1< `p+1 +

1

p + 1

10. Defina-se kp+1 = kp+1np+1

11. Tem-se assim um algoritmo para construcao de uma sub-sucessao akn queconverge para `.

Analogamente se provaria que o limite inferior tambem e sub-limite. 2

Talvez mais precisamente:

Teorema 5.3.2 Seja an uma sucessao limitada de numeros reais.

lim an = infn∈N

sup am| m ≥ n (5.15)

lim an = supn∈N

inf am| m ≥ n (5.16)


O resultado talvez mais esclarecedor sobre limites superior e inferior e


1. lim an ≤ lim an

2. an converge se e so se lim an = lim an e nesse caso qualquer deles e o limitede an.

E tambem


1. Seja qual for ε > 0, o n ∈ N| lim an − ε < an e infinito

2. Seja qual for ε > 0, o n ∈ N| an < lim an + ε e infinito

Pode provar-se a seguinte versao do Criterio da Raiz, de Cauchy,

Teorema 5.3.5 Seja∑

an uma serie de termos nao negativos.

1. Se existir r < 1 tal que n√

an ≤ r a partir de alguma ordem, entao a serie econvergente.

2. Se n√

an ≥ 1 para uma infinidade de ındices n, a serie diverge, em particular

lim n√

an < 1 ⇒∑

an converge (5.17)

lim n√

an > 1 ⇒∑

an diverge. (5.18)

Vale tambem o criterio de D’Alembert

Teorema 5.3.6 Seja∑

an uma serie de termos nao negativos.

1. Se existir r < 1 tal que an+1

an≤ r a partir de alguma ordem, entao a serie e

convergente.

2. Se an+1

an≥ 1 a partir de alguma ordem a serie diverge, em particular

liman+1

an

< 1 ⇒∑

an converge (5.19)

liman+1

an

> 1 ⇒∑

an diverge. (5.20)

Observacao 5.3.1 (Veja-se [8, pag. 64ss])

1. Se lim n√

an = 1, a serie pode ou nao convergir.

2. Se lim an+1

an= 1, a serie pode ou nao convergir.


Finalmente, com as convencoes usuais quanto a = e ∞ (veja-se a pag. 506)

Teorema 5.3.7 (Raio de convergencia) o raio de convergencia da serie depotencias

∑∞n=0 anxn e o elemento R ∈ R dado por

R =1

lim n√|an|

.

5.3.1 Exercıcios

1. Demonstre que qualquer sucessao limitada tem limite superior e tem limiteinferior.

2. Justifique todos os passos da demonstracao no teorema 5.3.1.

3. Prove o teorema 5.3.2.




7. Seja an uma sucessao de numeros nao negativos. Mostre que

liman+1

an

= ell ∈ R ⇒ lim n√

an = `



Capıtulo 6

Series de Fourier

6.1 Preliminares

Suponha que f : [a, b] ⊆ R → R e que a < x < b. Sempre que a notacao facasentido, definem-se os limites laterais e derivadas laterais

f(x+) = limt→x+

f(t) (6.1)

f(x−) = limt→x−

f(t) (6.2)

f ′+(x) = limt→0+

f(x + t)− f(x+)

t(6.3)

f ′−(x) = limt→0−

f(x + t)− f(x−)

t(6.4)

Teorema 6.1.1 Se f e uma funcao contınua e x ∈ [a, b], diferenciavel em [a, b]\x.1. Se existe α = lims→x+ f ′(s), entao f ′+(x) = α.

2. Se existe β = lims→x− f ′(s), entao f ′−(x) = β.

3. A funcao f e diferenciavel do lado em que existe derivada lateral, em particu-lar, se existem ambas as derivadas laterais de f em x, entao f e diferenciavelem x.

Dem. 3. e claramente consequencia de 1. e 2. e a demonstracao de 2. e analoga ademonstracao de 1. pelo que demonstraremos apenas esta parte.

Suponhamos entao que x < b. Como f e contınua,

f(x+) = f(x).

Por outro lado, para cada t > 0, f e contınua em [x, x+t] e diferenciavel em ]x, x+t[;pelo teorema da media

∀t > 0 ∃θ(x, t) ∈]x, x + t[f(x + t) + f(x)

t= f ′

(θ(x, t)

)

601

602 CAPITULO 6. SERIES DE FOURIER

Oralim

t→0+θ(x, t) = x

e portanto

f ′+(x) = limt→0+

f(x + t) + f(x)

t= lim

s→xf ′(s) = α.

2

Observacao 6.1.1 A continuidade de f e indispensavel para a aplicacao do teoremada media.

Lema 6.1.1

1. Valem as seguintes formulas de transformacao logarıtmica

cos(α + β) + cos(α− β) = 2cos (α) cos (β) (6.5)

cos(α + β)− cos(α− β) = −2sen (α) sen (β) (6.6)

sen(α + β) + sen(α− β) = 2sen (α) cos (β) (6.7)

2. Vale a formula para o n-esimo nucleo de Dirichlet (n ∈ N)

Dn(t) =1

2+

n∑

k=1

cos(kt) =

sen[(n+ 12)t]

2sen( 12t)

0 < |t| ≤ π

n + 12

t = 0.

Dem. 1. e uma aplicacao rotineira das formulas dos senos e dos cosenos de somas.

2. Repare-se que, para n ∈ N,

limt→0

sen[(

n + 12

)t]

2sen(

12t) = lim

t→0

(n +

1

2

)· sen

[(n + 1

2

)t]

(n + 1

2

)t

·12t

sen(

12t)

=

(n +

1

2

)· 1 · 1;

cosequentemente e razoavel definir Dn(0) = n+12. Por outro lado, se t 6= 0, utilizando

a equacao (6.7)

2sen

(1

2t

)Dn(t) = sen

(1

2t

)+

n∑

k=1

2sen

(1

2t

)cos(kt)

= sen

(1

2t

)+

n∑

k=1

[sen

((2k + 1)t

2

)− sen

((2k − 1)t

2

)]

= sen

((2n + 1)t

2

)= sen

[(n +

1

2

)t

]

2

6.2. SERIES DE FOURIER 603

6.2 Series de Fourier

Fixando notacao

T > 0 & I = [0, T ] & ω =2π

T

Definicao 6.2.1

1. Uma funcao f : R→ R diz-se periodica, com perıodo T , quando

∀t ∈ R f(t + T ) = f(t)

2. A frequencia de uma funcao com perıodo T e o numero real 1T.

3. A frequencia angular de uma funcao com perıodo T e o numero realω = 2π

T..

4. R(I) designa o conjunto das funcoes f : R → R periodicas de perıodo T ,integraveis a Riemann no intervalo I.


Teorema 6.2.1 Quando f : R→ R tem perıodo T ,

∀n ∈ Z ∀t ∈ R f(t + nT ) = f(t).

Porventura mais importante sera o

Lema 6.2.1 Se f ∈ R(I), entao

1. f e integravel em qualquer intervalo [r, r + T ] (r ∈ R).

2.∫ r+T

rf(t)dt =

∫ T

0f(t)dt (r ∈ R)

Dem. Utilize-se essencialmente o teorema de mudanca de variaveis e o facto de fter perıodo T :

1. f∣∣[r,r+T ](t) = f

((t− r) + r

)e 0 ≤ t− r ≤ T


2. Suponha que m ∈ Z e que m ≤ r < m + 1;

∫ r+T

r

f(t)dt =

∫ m+1

r

f(t)dt +

∫ r+T

m+1

f(t)dt

=

∫ m+1+T

r+T

f(t− T )dt +

∫ r+T

m+1

f(t)dt

=

∫ m+1+T

r+T

f(t)dt +

∫ r+T

m+1

f(t)dt

=

∫ m+1+T

m+1

f(t)dt

=

∫ T

0

f(s + (m + 1)T )ds

=

∫ T

0

f(s)ds

2

Definicao 6.2.2 Suponha que f ∈ R(I).

1. A serie de Fourier de f e

1

2a0 +

∞∑n=1

[ancos(nω·) + bnsen(nω·)]

em que

a0 =2

T

∫ T

0

f(t)dt

an =2

T

∫ T

0

f(t)cos(nωt)dt (n ∈ N)

bn =2

T

∫ T

0

f(t)sen(nωt)dt (n ∈ N)

Teorema 6.2.1 Suponha que f ∈ R(I).

1. Se f e par todos os coeficientes bn sao nulos

2. Se f e ımpar todos os coeficientes an sao nulos

3. Quando T = 2π

a0 =1

π

∫ 2π

0

f(t)dt

an =1

π

∫ 2π

0

f(t)cos(nt)dt (n ∈ N)

bn =1

π

∫ 2π

0

f(t)sen(nt)dt (n ∈ N)

6.3. CONVERGENCIA I. MEDIA QUADRATICA 605

Dem. 3. e trivial; 1. e 2. resultam de, sendo trig sen ou cos e seja qual for n ∈ N,

∫ T

0

f(t)trig(nω t)dt =

∫ T

−T

f(t)trig(nω t)dt

e a funcao integranda e par ou ımpar, consoante a natureza de f . 2

6.3 Convergencia I. Media quadratica

No que segue f, g, h ∈ R(I).

(f • g) =

∫ T

0

f(t)g(t)dt =

∫ T2

−T2

f(t)g(t)dt (6.8)

‖f‖2 =√

(f • f) =

(∫ T

0

|f(t)|2dt

) 12

(6.9)

=

(∫ T2

−T2

|f(t)|2dt

) 12

≥ 0 (6.10)

Teorema 6.3.1 (da convergencia em media quadratica)

limn→+∞

‖f − Sn(f)‖2 = 0 (6.11)

ou, o que e equivalente,

limn→+∞

‖f − Sn(f)‖22 = 0 (6.12)

Uma demonstracao pode esquematizar-se do modo seguinte.

Lema 6.3.1

1. R(I) e um espaco vectorial sobre o corpo R.

2. (·•·) e uma forma bilinear simetrica semi-definida positiva, ou quase produtointerno em R(I) e ‖ · ‖2 e a semi-norma associada.

3. 1√T ∪

√2Tcos(nω·)| n ∈ N

∪

√2Tsen(nω·)| n ∈ N

e ortonormado em

R(I).


Dem.

1. Resulta das propriedades basicas do integral de Riemann.

2. Deixamos a cargo do leitor provar que

g • f = f • g

(λf) • g = λ(f • g)

(f + g) • h = (f • h) + (g • h)

f • f ≥ 0

‖f‖2 = 0 6⇒ f = 0

‖λf‖2 = |λ| · ‖f‖2

‖f + g‖2 ≤ ‖f‖2 + ‖g‖2

‖f − g‖2 ≥∣∣‖f‖2 − ‖g‖2

∣∣|f • g| ≤ ‖f‖2 · ‖g‖2 (desigualdade de Schwarz)

3. Defina

e0 =1√T

en =

√2Tcos(nω·) n par

√2Tsen(nω·) n ımpar

(n ∈ N)

Prove que

(en • em) =

0 n 6= m

1 n = m(n,m ∈ N0)

2

O lema seguinte demonstra-se com calculos rotineiros.

Lema 6.3.2 A serie de Fourier de f pode escreve -se ma forma

f(t) ∼∞∑

n=0

(f • en)en(t) =∞∑

k=0

[f • e2k)e2k(t)

+ f • e2k+1)e2k+1(t)] .

Lema 6.3.3

limn→∞

∥∥∥∥∥f −n∑

k=0

(f • ek)ek

∥∥∥∥∥2

= 0.

De acordo o lema 6.3.2, este nao e mais que o enunciado do teorema 6.3.1, quequerıamos demonstrar.

Uma incursao por tecnicas de Algebra Linear em espacos euclidianos pode apresentaralguns resultados uteis para a demonstracao do lema 6.3.3.

Os teoremas mais pertinentes para o estudo elementar das series de Fourier queestamos a fazer seguem na subseccao 6.3.2.


6.3.1 Topicos sobre espacos (quase-)euclidianos

Generalidades

Seja E um espaco vectorial real quase-euclidiano para uma forma bilinear semi-definida positiva (· • ·) com semi-norma associada ‖ · ‖; quer isto dizer que, paraquaisquer x, y, z ∈ E, λ ∈ R, se tem

(x • y) ∈ R((x + y) • λz

)= λ(x • z) + λ(y • z)

(y • x) = (x • y)

(x • x) ≥ 0

‖x‖ =√

(x • x)

‖λx‖ = |λ|‖x‖‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖

Entenda-se que, para qualquer x ∈ E, e qualquer sucessao (xn) ∈ EN,

limn

xn ≡ xn → x ≡ ‖xn − x‖ → 0, (6.13)

Observacao 6.3.1 Pode acontecer

1. (x • x) = 0 & x 6= 0

2. Ou, o que e o mesmo, ‖x‖2 = ‖x‖ = 0 & x 6= 0

3. Ou, o que ainda e o mesmo, um limite pode existir sem ser unico.


Teorema 6.3.2 Dado um conjunto I 6= ∅, sejam E = ei| i ∈ I um subconjuntoortonormado de E e V o subespaco de E gerado por E.

1. Um vector x ∈ E pertence a V sse existem um conjunto finito F ⊆ I tal que

x =∑i∈F

(x • ei)ei

2. Em particular

‖x‖2 =∑i∈F

x2i

(x =

∑i∈F

xiei ∈ V

)

3. Uma projeccao em V de x ∈ E, projV (x), e um vector de V a menor

distancia de x.

(OBS: Mesmo existindo, a projeccao pode nao ser unica, pelo que a notacaoe algo abusiva.)

(a) Quando V tem dimensao finita, ou seja, I = 1, · · · , n para algum n ∈ Nn∑

i=1

(x • ei)ei = projV (x) (x ∈ E)

(b) Quando E = en| n ∈ N e infinito numeravel, para qualquer x ∈ E,

‖x‖2 ≥∞∑

n=1

(x • en)2 (6.14)

∞∑n=1

(x • en)en = limn

n∑

k=1

(x • ek)ek ∈ E (6.15)

∥∥∥∥∥∞∑

n=1

(x • en)en

∥∥∥∥∥

2

=∞∑

n=1

(x • en)2 (6.16)

Dem. (esquematica)

1. (ej •

(∑i∈F

λiei

))= λj (i, j ∈ I).

2. E imediato da ortonormalidade dos ei.


3. (a) Seja∑n

i=1 viei = v um vector generico de V ; minimizar a distancia de xa v e equivalente a minimizar ‖x− v‖2 e tem-se

‖x− v‖2 = ‖x‖2 − 2(x • v) + ‖v‖2

= ‖x‖2 − 2n∑

i=1

vi (x • ei) +n∑

i=1

v2i

= ‖x‖2 −n∑

i=1

(x • ei)2 +

n∑i=1

(vi − (x • ei))2

= ‖x‖2 −n∑

i=1

(x • ei)2 + ρ(x, v)

Esta ultima expressao e mınima quando ρ(x, v) = 0, isto e quando

v =n∑

i=1

(x • ei)ei.

(b) Inequacao (6.14) e equacao (6.15)

Designe-se por Vn o espaco gerado por e1, · · · , en e defina-se

vn =n∑

k=1

(x • ek)ek (n ∈ N.)

Pela alınea anterior,

‖x‖2 −n∑

k=1

(x • ek)2 = ‖x− vn‖2 ≥ 0 (n ∈ N).

Daı a serie dos quadrados nao so converge como a sua soma e limitadasuperiormente por ‖x‖2 e valem as condicoes em prova.

Equacao (6.16).

Pela desigualdade triangular

‖x− y‖ ≥∣∣‖x‖ − ‖y‖

∣∣ (x, y ∈ E),

vem

‖ limn

vn‖ = limn‖vn‖

‖ limn

vn‖2 = limn‖vn‖2

2

Os (x • en) dizem-se os coeficientes de Fourier de x na base hilbertiana E .


6.3.2 Desigualdades de Bessel

Desigualdades de Bessel I

∀x ∈ E ∀N ∈ N ‖x‖2 ≥N∑

n=1

(x • en)2 (6.17)

Seguem da equacao (6.14) ou, dos factos seguintes, ∀x ∈ E ∀N ∈ N, ponha-se denovo VN o espaco gerado por e1, · · · , eN

N∑n=1

(x • en)2 = projVN(x)

0 ∈ VN

‖x‖2 = ‖x− 0‖2.

Seguem-se imediatamente as

Desigualdades de Bessel II

Teorema 6.3.3 Suponha que f ∈ R(I).

∀N ∈ N 2

T

∫ T

0

|f(t)|2dt ≥ 1

2a2

0 +N∑

n=1

(a2

n + b2n

)(6.18)

Quando o perıodo e 2π as expressoes acima tomam a forma

∀N ∈ N 1

π

∫ 2π

0

|f(t)|2dt ≥ 1

2a2

0 +N∑

n=1

(a2

n + b2n

)(6.19)

6.3.3 Equacao de Parseval

Convem tornar o contexto mais preciso.

Definicao 6.3.1 Um quase produto interno (· • ·) : E2 → R diz-se mesmo produtointerno se for definido, isto e,

∀x ∈ E[(x • x) = 0 ⇒ x = 0

].

e tem-se

Teorema 6.3.4 Quando (·•·) : E2 → R e produto interno, a semi-norma associadae uma norma ou seja

∀x ∈ E[‖x‖ = 0 ⇒ x = 0

].


Definicao 6.3.1

1. Quando ‖ · ‖ : E → [0, +∞[ e uma norma, (E, ‖ · ‖) diz-se um espaco nor-mado

2. (E, ‖·‖) diz-se completo se qualquer sucessao de Cauchy em E, tem limiteem E, isto e

∀(xn) ∈ EN[limm,n

‖xm − xn‖ = 0 ⇒ ∃x ∈ E xn → x

]. (6.20)

3. Um espaco normado diz-se separavel se existir um subconjunto S ⊆ E talque, seja qual for x ∈ E, existe uma sucessao (sn) em S que tem limite x(sn → x).

A demonstracao do teorema seguinte pode encontrar-se na bibliografia

Teorema 6.3.5 Se (· • ·) : E2 → R e um produto interno, o espaco normadoassociado (E, ‖ · ‖) e completo (ou de Hilbert) e separavel, entao

1. Todos os subconjuntos ortonormados infinitos de E sao numeraveis.

2. Sejam quais forem o subconjunto ortonormado E = en| n ∈ N0 e x ∈ E,

x =∞∑

n=0

(x • en)en

3. Equacao de Parseval I

Sejam quais forem o subconjunto ortonormado E = en| n ∈ N0 e x ∈ E,

‖x‖2 =∞∑

n=0

(x • en)2

Pode tambem provar-se o teorema seguinte, onde de novo se abusa da linguagem, jaque estao de facto em jogo certos espacos vectoriais quociente,

Teorema 6.3.6 R(I) munido do produto interno (6.8) e um subespaco de um espacode Hilbert separavel para o mesmo produto interno pelo que, para a correspon-dente ‖ · ‖ = ‖ · ‖2

∀f ∈ R(I) f =∞∑

n=0

(f • en)en = limn

n∑

k=0

(f • ek)ek

e, em particular valem

1. O teorema 6.3.1, da convergencia em media quadratica.

2. A Equacao de Parseval II

1

π

∫ 2π

0

|f(t)|2dt =1

2a2

0 +∞∑

n=1

(a2

n + b2n

)(6.21)


6.4 Convergencia II

Definicao 6.4.1 Uma funcao f : [a, b] ⊆ R→ R diz-se seccionalmente contınuaou contınua por partes se existir uma particao a = x0 < · · · < xn = b tal queas restricoes f :]xi, xi+1[→ R tem prolongamentos contınuos f : [xi, xi+1] → R (0 ≤i ≤ n− 1)

Lema 6.4.1 (de Riemann-Lebesgue) Se f : [a, b] ⊆ R → R e integravel aRiemann, entao

limλ→+∞

∫ b

a

f(t)sen (λt) dt = 0. (6.22)

Dem. Suponha-se entao que f : [a, b] ⊆ R→ R e integravel a Riemann e que

ε > 0 & λ > 0

Pn = a = x0 < x1 < · · · < xn = b (n ∈ N)

mi = inff(t)| t ∈ [xi, xi+1]

(0 ≤ i ≤ n− 1)

Podemos fixar primeiro n ∈ N tal que

∣∣∣∣∣∫ b

a

f(t)dt−n−1∑i=0

mi (xi+1 − xi)

∣∣∣∣∣ < ε.

Tem-se

∫ b

a

f(t)sen(λt)dt =n−1∑i=0

∫ xi+1

xi

(f(t)−mi) sen(λt)dt

+n−1∑i=0

∫ xi+1

xi

mi sen(λt)dt

=n−1∑i=0

∫ xi+1

xi

(f(t)−mi) sen(λt)dt

+n−1∑i=0

1

λmi (cos(λxi)− cos(λxi+1))

Oran−1∑i=0

mi (cos(λxi)− cos(λxi+1))

esta fixado, digamos,

∣∣∣∣∣n−1∑i=0

mi (cos(λxi)− cos(λxi+1))

∣∣∣∣∣ = M.

6.4. CONVERGENCIA II 613

Vem∣∣∣∣∫ b

a

f(t)sen(λt)dt

∣∣∣∣ ≤n−1∑i=0

∫ xi+1

xi

(f(t)−mi) dt +M

λ

=

∣∣∣∣∣∫ b

a

f(t)dt−n−1∑i=0

mi (xi+1 − xi)

∣∣∣∣∣ +M

λ

pelo que

∀ε > 0 0 ≤ limλ→+∞

∣∣∣∣∫ b

a

f(t)sen(λt)dt

∣∣∣∣ ≤ ε

ou seja

limλ→+∞

∣∣∣∣∫ b

a

f(t)sen(λt)dt

∣∣∣∣ = 0.

2

Lema 6.4.2 Quando a funcao f : R → R e seccionalmente contınua em [−π, π],entao

1.

limn

∫ π

−π

f(t)sen

[(n +

1

2

)t

]dt = 0. (6.23)

2. Designando por Sn(f) a n-esima soma parcial da serie de Fourier de f , tem-se

Sn(f)(t) =1

π

∫ π

−π

f(t + s)Dn(s)ds (6.24)

Dem.

1. Observe-se que limn→+∞(n + 1

2

)= +∞

2. Tem-se

Sn(f)(t) =1

2a0 +

n∑

k=1

[akcos(kt) + bksen(kt)]

=1

2π

∫ π

−π

f(s)ds+n∑

k=1

[(1

π

∫ π

−π

f(s)cos(ks)ds

)cos(kt)

+

(1

π

∫ π

−π

f(s)sen(ks)ds

)sen(kt)

]

=1

π

∫ π

−π

f(t)

[1

2+

n∑

k=1

cos(k(s− t)

)]

ds

=1

π

∫ π

−π

f(t)

[1

2+

n∑

k=1

cos(k(t− s)

)]

ds

=1

π

∫ π

−π

f(t)Dn(t− s)ds

=1

π

∫ π

−π

f(t + s)Dn(s)ds


2

Teorema 6.4.1 (de convergencia pontual)

Seja f : R→ R uma funcao periodica de perıodo T > 0 seccionalmente contınua emI. Para o qual existam as derivadas laterais f ′+ e f− (6.3) e (6.4) tem-se

f(x) ∼ a0

2+

∑n≥1

(ancos(nωx) + bnsen(nωx)

)=

f(x+) + f(x−)

2

Observacao 6.4.1 No teorema anterior,

1. f e seccionalmente contınua em qualquer intervalo [a, b] ⊆ R.

2. Se f e contınua em x, a soma da sua serie de Fourier e precisamente f(x).

Dem. (do teorema 6.4.1, com T = 2π; considere-se o lema 6.4.2)

1. Tome-se entao x ∈]0, 2π[ onde existam f ′±(x)

sen

(t

2

)6= 0

1

2f(x+) =

1

π

∫ π

0

f(x+)sen

[(n + 1

2

)t]

2sen(

t2

) dt

1

2f(x−) =

1

π

∫ 0

−π

f(x−)sen

[(n + 1

2

)t]

2sen(

t2

) dt

Sn(f)(x)− f(x+) + f(x−)

2=

1

π

∫ 0

−π

[f(x + t)− f(x−)

] sen[(

n + 12

)t]

2sen(

t2

) dt

+1

π

∫ π

0

[f(x + t)− f(x+)

] sen[(

n + 12

)t]

2sen(

t2

) dt

=1

π

∫ 0

−π

f(x + t)− f(x−)

2sen(

t2

) sen

[(n +

1

2

)t

]dt

+1

π

∫ π

0

f(x + t)− f(x+)

2sen(

t2

) sen

[(n +

1

2

)t

]dt

2. Definindo

F (t) =

f(x+t)−f(x−)

2sen( t2)

−π < x < 0

0 x = 0f(x+t)−f(x+)

2sen( t2)

0 < x ≤ π

tem-se

F (0−) = f ′−(x)

F (0+) = f ′+(x)

Sn(f)(x)− f(x+) + f(x−)

2=

1

π

∫ π

−π

F (t)sen

[(n +

1

2

)t

]dt

→ 0 quando n → +∞.

6.4. CONVERGENCIA II 615

2

Teorema 6.4.2 (da convergencia uniforme)

Seja f : R→ R uma funcao periodica de perıodo T > 0 seccionalmente contınua emI

1. Suponha-se que f ′ e seccionalmente contınua em I no sentido em que, paraalguma particao P := a = x0 < · · · < xn = b,

(a) f ′(x) existe sempre que x ∈ I \ P(b) f ′∣∣]xi,xi+1[

tem prolongamento contınuo a [xi, xi+1] (0≤ i≤n− 1)

Entao a serie de Fourier de f converge uniformemente em qualquer intervaloem cujos pontos f seja contınua.

2. Nas condicoes do numero anterior, se f e contınua, a serie de Fourier de fconverge uniformemente em R.

Dem. Para evitar calculos de rotina continuemos a supor T = 2π.

2. e consequencia imediata de 1.

As hipoteses em 1. garantem a existencia de derivadas laterais em todos os pontospelo que, em face do teorema 6.4.1, ha convergencia da serie de Fourier e daı restaprovar ser essa convergencia uniforme; ora

|ancos(nt) + bnsen(nt)| ≤ |an|+ |bn| (n ∈ N);

.

Pelo criterio de Weierstrass basta entao provar a convergencia da serie com termogeral |an|+ |bn|.Designando os coeficientes da serie de Fourier de f ′ por a′n e b′n, tem-se para n ∈ N,

an = −b′nn

& bn =a′nn

|an| ≤ 1

2

(1

n2+ (b′n)

2

)& |bn| ≤ 1

2

(1

n2+ (a′n)

2

)

Pelas desigualdades de Bessel (para f ′),

∞∑n=1

[ |an|+ |bn|] ≤

∞∑n=1

1

n2+

1

2

( ∞∑n=1

[(b′n)

2+ (a′n)

2])

∈ R

2


6.5 Funcoes nao periodicas

f : R→ R

f : [−L,L] → R e seccionalmente contınua

f(x) =

f(x) −L < x ≤ L

f(x− k2L) (2k − 1)L < x ≤ (2k + 1)L

(k ∈ Z).

Tem perıodo 2L.

Representacao de f em ]− π, π]:

f(t) := f

(L

πt

)= f

(L

πt

).

f(t) ∼ 1

2a0 +

∞∑n=1

(ancos(nt) + bnsen(nt))

com

an =1

π

∫ π

−π

f(t)cos(nt)dt =1

L

∫ L

−L

f(x)cos(nπx

L

)dx

=2

T

∫ T2

−T2

f(x)cos

(n2πx

T

)dx

bn =1

π

∫ π

−π

f(t)sen(nt)dt =1

L

∫ L

−L

f(x)sen(nπx

L

)dx

=2

T

∫ T2

−T2

f(x)sen

(n2πx

T

)dx

A serie de Fourier (do prolongamento periodico) de f e

1

2a0 +

∞∑n=1

(ancos

(nπx

L

)+ bnsen

(nπx

L

))

e escreve-se

f(x) ∼ 1

2a0 +

∞∑n=1

(ancos

(nπx

L

)+ bnsen

(nπx

L

)).

6.6. CONVERGENCIA III 617

6.6 Convergencia III

Teorema 6.6.1 (De Weierstrass) Qualquer funcao contınuaf : [a, b] ⊆ R→ R e limite uniforme (em [a, b]) de uma sucessao de polinomios.

Apresentamos uma demonstracao muito esquematica de um teorema mais fraco

Teorema 6.6.2 Qualquer funcao contınua f : [a, b] ⊆ R→ R e limite uniforme deuma sucessao de polinomios em cada intervalo[α, β] ⊂ [a, b] (a < α ≤ β < b).

Dem. (esquematica)

Suponha-se que f : [a, b] ⊆ R→ R e contınua e que a < α ≤ β < b.

1. Para cada n ∈ N com 1n

< β−α2

, defina-se

xi =

(α +

1

n

)+ i

β − α

n(0 ≤ i ≤ n)

fn(x) =

n[f(xi+1)− f(xi)

](x− xi)+f(xi) x ∈ [xi, xi+1[

(0 ≤ i ≤ n− 1)f(α)−f(a)

α−a(x− a) + f(a) x ∈ [a, α[

f(b)−f(β)b−β

(x− β) + f(β) x ∈ [β, b]

2. Cada funcao fn e contınua e tem derivada seccionalmente contınua em [α, β](no sentido do teorema da convergencia uniforme 6.4.2)

3. (fn) tende uniformemente para f em [α, β]

4. Cada fn e limite uniforme de polinomios trigonometricos em [α, β] (teorema6.4.2 e seccao 6.5).

5. Cada polinomio trigonometrico em [α, β] e limite uniforme de polinomios deTaylor. 2

6.6.1 Exercıcios

1. Demonstre as afirmacoes feitas na observacao ??

2. Mostre que o sistema de funcoes S = cosnx : n ∈ N ∪ sin nx : n ∈ N,definidas em [a, a + 2π], a ∈ R, e um sistema ortogonal em [a, a + 2π] para

o produto interno definido por 〈f, g〉 =∫ a+2π

af.g dx. Construa um sistema

ortonormado a partir de S.

3. Determine a serie de Fourier de cada uma das seguintes funcoes periodicas deperıodo 2π, definidas em ]− π, π] por:


(a) f(x) =

−1, −π < x ≤ 0;1, 0 < x ≤ π.

;

(b) f(x) = x + x2;

(c) f(x) = −1− xπ, −π < x ≤ 0;

1− xπ, 0 < x ≤ π.

;

(d) f(x) = |x|;(e) f(x) = x3;

(f) f(x) =

0, −π < x ≤ −1;x + 1, −1 < x ≤ 0;1, 0 ≤ x ≤ π.

.

4. Mostre que a serie de fourier da funcao no exercıcio 3c converge uniformementeem [−π, 0]. Existira outra serie de Fourier que convirja uniformemente para fno mesmo intervalo?

5. Mostre que x2 = π2

3+

∑∞n=1(−1)n 4

n2 cosnx em ] − π, π[, sendo a convergenciauniforme.

6. Considere a funcao f definida em 3c. Mostre que nao existe serie de Fourierque convirja uniformemente para f em ]− π, π[.

7. Utilizando a serie de Fourier de f(x) =

−π4, −π < x ≤ 0;

π4, 0 < x ≤ π.

, conclua que

1− 13

+ 15− 1

7+ · · · = π

4.

8. Esboce o grafico da funcao F : R→ R definida por

F (x) =a0

2+

∞∑n=1

[ancosnx + bn sin nx]

onde a serie do segundo membro e a serie de Fourier da funcao f : R → R,periodica de perıodo 2π definida por.

(a) f(x) =

1, −π < x ≤ −π2;

2, −π2≤ x ≤ π

2;

1, π2≤ x ≤ π.

.

(b) f(x) =

1, −π < x < 0;2, 0 ≤ x ≤ π.

Capıtulo 7

Integrais Improprios

7.1 Integrais de primeira especie

Nesta secccao I designa um intervalo nao limitado [a, +∞[, ] −∞, b] (a, b ∈ R) ou] −∞, +∞[ e f : I → R uma funcao limitada integravel (a Riemann)em qualquerintervalo limitado e fechado contido em I.

Definicao 7.1.1 Quando existem os limites em presenca:

∫ +∞

a

f(t)dt := limy→+∞

∫ y

a

f(t)dt (7.1)

∫ b

−∞f(t)dt := lim

x→−∞

∫ b

x

f(t)dt (7.2)

∫ +∞

−∞f(t)dt :=

∫ 0

−∞f(t) +

∫ +∞

0

f(t)dt (7.3)

os integrais nos primeiros membros dizem-se convergentes e chamam-se integraisimproprios de primeira especie; se algum dos limites nao existe, o integralcorrespondente diz-se divergente.

Teorema 7.1.1 Os integrais∫ +∞

11

xα convergem se e apenas se α > 1.

Dem. Observe-se que, se y →∞,

∫ y

1

dx

xα=

log y → +∞ α = 11

1−α[x1−α − 1] → +∞ α < 1

11−α

[x1−α − 1] → 1 α > 1.

2

Teorema 7.1.2 Quando (7.3) esta definida, tambem para qualquer c ∈ R,

∫ +∞

−∞f(t)dt =

∫ c

−∞f(t) +

∫ +∞

c

f(t)dt. (7.4)

701

702 CAPITULO 7. INTEGRAIS IMPROPRIOS

Dem.∫ c

−∞f(t) = lim

x→−∞

∫ c

x

f(t)dt = limx→−∞

[∫ 0

x

f(t) +

∫ c

0

f(t)

]

= limx→−∞

∫ 0

x

f(t) +

∫ c

0

f(t)

=

∫ 0

−∞f(t) +

∫ c

0

f(t)

∫ +∞

c

f(t) = = limy→+∞

[∫ 0

c

f(t) +

∫ y

0

f(t)

]

=

∫ c

0

f(t) + limy→+∞

∫ y

0

f(t)

=

∫ 0

c

f(t) +

∫ +∞

0

f(t)

portanto

∫ c

−∞f(t) +

∫ +∞

c

f(t) =

∫ 0

−∞f(t) +

∫ c

0

f(t) +

∫ 0

c

f(t) +

∫ +∞

0

f(t)

=

∫ 0

−∞f(t) + 0 +

∫ +∞

0

f(t)

=

∫ +∞

−∞f(t)dt

2

Teorema 7.1.3 O integral improprio∫ b

−∞ f(t)dt converge se e apenas se∫ +∞−b

f(−t)dtconverge.

Dem.∫ b

−∞f(t)dt = lim

y→+∞

∫ y

b

f(t)dt

= limy→+∞

(−

∫ −y

−b

f(−t)dt

)

= limy→+∞

∫ −b

−y

f(−t)dt

= limx→−∞

∫ −b

x

f(−t)dt

2

Perante este teorema (7.1.3), trataremos apenas∫ +∞

af(t)dt (a ∈ R) (exercıcio

7.3.1.3).

7.1. INTEGRAIS DE PRIMEIRA ESPECIE 703

Teorema 7.1.4 As condicoes seguintes sao equivalentes

1.∫ +∞

af(t)dt (a ∈ R) converge.

2. ∀ε > 0 ∃M > 0 ∀x, y > M∣∣∫ y

xf(t)dt

∣∣ < ε (Condicao de Cauchy).

3. Qualquer integral∫ +∞

bf(t)dt (b > a) converge e

∫ b

a

f(t)dt =

∫ +∞

a

f(t)dt−∫ +∞

b

f(t)dt (7.5)

limb→+∞

∫ +∞

b

f(t)dt = 0 (7.6)

4. Existe I ∈ R tal que, para qualquer sucessao xn tal que xn → +∞,lim

∫ xn

af(t)dt = I.

Dem. (4 ⇔ 1) A condicao 4 e equivalente a existencia de limx→+∞ F (x), no casoparticular em que F (x) =

∫ x

af(t)dt ou seja a condicao 1.

(1 ⇒ 3) Quando y > b > a tem-se∫ y

b

f(t)dt =

∫ y

a

f(t)dt−∫ b

a

f(t)dt

portanto, por um lado∫ +∞

b

f(t)dt =

∫ +∞

a

f(t)dt−∫ b

a

f(t)dt,

(7.5) fica provada e∫ +∞

bf(t)dt converge e, por outro lado

limb→+∞

∫ +∞

b

f(t)dt =

∫ +∞

a

f(t)dt− limb→+∞

∫ b

a

f(t)dt

=

∫ +∞

a

f(t)dt−∫ +∞

a

f(t)dt

= 0.

(3 ⇒ 2) Admitindo 3 e tomando x < y para simplificar o argumento, tem-se∫ y

x

f(t)dt =

∫ +∞

x

f(t)dt−∫ +∞

y

f(t)dt

por (7.5); como, por (4.2.4),os integrais no segundo membro tendem para zeroquando x, y → +∞, o mesmo acontece com o primeiro membro e vale a condicao 2.

(2 ⇒ 4) Pela condicao 2, as sucessoes∫ xn

asao de Cauchy, e portanto convergem;

alem disso ainda pela condicao 2, se xn, yn → +∞,∫ yn

a

f(t)dt−∫ xn

a

f(t)dt =

∫ yn

xn

f(t)dt → 0

pelo que lim∫ yn

af(t)dt = lim

∫ xn

af(t)dt. 2


Definicao 7.1.2 Quando∫ +∞

a|f(t)|dt,

∫ b

−∞ |f(t)|dt ou∫ +∞−∞ |f(t)|dt e convergente,

diz-se que o integral improprio correspondente∫ +∞

af(t)dt,

∫ b

−∞ f(t)dt ou∫ +∞−∞ f(t)dt

e absolutamente convergente.

Teorema 7.1.5 (Criterios de comparacao) Suponha que f, g : [a, +∞[→ [0, +∞[sao funcoes integraveis em todos os intervalos [a, b] (a < b)

1. Seja F (x) :=∫ x

af(t)dt (x ∈ [a, +∞[).

∫ +∞a

f(t)dt converge se e apenas se Fe limitada.

2. Se, para algum M ∈ R vale ∀x > M f(x) ≤ g(x), entao

(a) Se∫ +∞

ag(t)dt converge, o mesmo acontece com

∫ +∞a

f(t)dt.

(b) Se∫ +∞

af(t)dt diverge, o mesmo acontece com

∫ +∞a

g(t)dt.

3. Se, para algum M ∈ R vale ∀x > M f(x), g(x) > 0 e limx→+∞f(x)g(x)

= l ∈R ∪ +∞, entao

(a) Se 0 6= l ∈ R,∫ +∞

af(t)dt e

∫ +∞a

g(t)dt sao da mesma natureza.

(b) Se l = 0,

i. Se∫ +∞


∫ +∞a

f(t)dt.

ii. Se∫ +∞


∫ +∞a

g(t)dt.

(c) Quando l = +∞i. Se

∫ +∞a

g(t)dt diverge, o mesmo acontece com∫ +∞

af(t)dt.

ii. Se∫ +∞

af(t)dt converge, o mesmo acontece com

∫ +∞a

g(t)dt.

4. (Criterio do integral) Se f e decrescente e limx→+∞ f(x) = 0 entao∫ +∞0

f(t)dte

∑∞n=1 f(n) sao da mesma natureza.

Dem. (1) F e uma funcao crescente em sentido lato pelo que

limx→+∞

F (x) = supF (x)| x ≥ a ∈ R ∪ +∞.

(2) Observe-se que∫ +∞

ag(t)dt converge se e so se

∫ +∞M+1

g(t)dt converge; ora quandox > M + 1,

0 ≤∫ x

M+1

g(t)dt ≤∫ x

M+1

f(t)dt

e pode aplicar-se 1, com M + 1 em vez de a, aos dois integrais em presenca; comoa convergencia de

∫ +∞a

f(t)dt e equivalente a convergencia de∫ +∞

M+1f(t)dt, as con-

clusoes pretendidas seguem.

(3) Suponha-se que se x > M vale f(x), g(x) > 0 e que limx→+∞f(x)g(x)

= l

7.2. INTEGRAIS DE SEGUNDA ESPECIE 705

(a) Se l 6= 0, necessariamente l > 0 e para certo M1, vira quando x > M1

l

2g(x) ≤ f(x) ≤ 3l

2g(x)

e podemos aplicar 2, comparando adequadamente∫ +∞

al2g(x)dx,

∫ +∞a

f(x)

e∫ +∞

a3l2g(x).

(b) Neste caso, para certo M1, vira quando x > M1, 0 < f(x) < g(x)e podemos de novo aplicar 2.

(c) Neste caso, para certo M1, vira quando x > M1, 0 < g(x) < f(x)e tambem podemos aplicar 2.

(4) Defina-se bxc := maxm ∈ Z| m ≤ x e observe-se que

bxc∑

k=1

f(k) +

∫ x

bxcf(t)dt ≤

∫ x

0

f(t)dt ≤bxc−1∑

k=0

f(k) +

∫ x

bxcf(t)dt

porque f e decrescente, que

limx→+∞

∫ x

bxcf(t)dt = 0

porque limx→+∞ f(x) = 0, e aplique-se 1. 2

Corolario 7.1.1 As series de Dirichlet∑∞

n=11

nα convergem se e apenas se α > 1.

Dem. Se α ≤ 1, a serie e harmonica ou minorada pela serie harmonica, pelo que edivergente. Se α > 1, tomando f(x) := 1

xα , f e decrescente, limx→+∞ f(x) = 0 e1

nα = f(n), podendo portanto aplicar-se o criterio do integral 4 no teorema 7.1.5.2

7.2 Integrais de segunda especie

Nesta secccao I designa um intervalo limitado [a, b[ ou ]a, b] e f : I → R uma funcaoilimitada integravel em qualquer intervalo fechado contido em I.

Definicao 7.2.1 Chama-se integral improprio de segunda especie de f em I aqualquer dos limites

∫ b

a

f(t)dt := limy→b−

∫ y

a

f(t)dt (7.7)

∫ b

a

f(t)dt := limx→a+

∫ b

x

f(t)dt (7.8)

Quando existem, estes integrais dizem-se convergentes, caso contrario dizem-sedivergentes.


A mudanca de variaveis t 7→ a − t + b transforma o intervalo ]a, b] no intervalo

[a, b[ e portanto limx→a+

∫ b

xf(t)dt e limy→b−

∫ y

af(b − t + a)dt existem ou nao si-

multaneamente; assim sendo limitar-nos-emos a tratar integrais improprios do tipo(7.7); para estes valem teoremas muito semelhantes aos anteriores, de facto comdemonstracoes analogas, a saber.

Teorema 7.2.1 Os integrais improprios∫ 1

01

xα convergem se e apenas se α < 1.

Teorema 7.2.2 Para qualquer c ∈ [a, b[,

∫ b

a

f(t)dt =

∫ c

a

f(t)dt +

∫ b

c

f(t)dt. (7.9)

Teorema 7.2.3 As condicoes seguintes sao equivalentes

1.∫ b

af(t)dt converge.

2. Seja qual for a sucessao xn → b−, a sucessao∫ xn

af(t)dt converge.

3. ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈]b− δ, b[∣∣∫ y

xf(t)dt

∣∣ < ε (Condicao de Cauchy).

4. Qualquer integral∫ b

cf(t)dt (b > c ≥ a) converge e limc→b−

∫ b

cf(t)dt = 0.

Definicao 7.2.2 Quando o integral improprio∫ b

a|f(t)|dt converge diz-se que

∫ b

af(t)dt

e absolutamente convergente.

Teorema 7.2.4 (Criterios de comparacao) Suponha que f, g : [a, b[→ [0, +∞[sao funcoes ilimitadas integraveis em todos os intervalos [a, c] (c < b)

1. Seja F (x) :=∫ x

af(t)dt (x ∈ [a, b[).

∫ b

af(t)dt converge se e apenas se F e

limitada.2. Se, para algum δ > 0 vale ∀x ∈]b− δ, b[ f(x) ≤ g(x), entao

(a) Se∫ b


∫ b

af(t)dt.

(b) Se∫ b


∫ b

ag(t)dt.

3. Se, para algum δ > 0 vale ∀x ∈]b − δ, b[ f(x), g(x) > 0 e limx→bf(x)g(x)

= l ∈R ∪ +∞, entao

(a) Se 0 6= l ∈ R,∫ b

af(t)dt e

∫ b

ag(t)dt sao da mesma natureza.

(b) Se l = 0,

i. Se∫ b


∫ b

af(t)dt.

ii. Se∫ b


∫ b

ag(t)dt.

(c) Quando l = +∞i. Se

∫ b

ag(t)dt diverge, o mesmo acontece com

∫ b

af(t)dt.

ii. Se∫ b

af(t)dt converge, o mesmo acontece com

∫ b

ag(t)dt.

7.3. INTEGRAIS MISTOS 707

Dem. 1. Tal como na seccao anterior, F e crescente e∫ b

af(t)dt = limx→b− F (x) =

supF (x)| a ≤ x < b.Para demonstrar as restantes propriedades, substitua-se nas demostracoes corre-spondentes da seccao anterior +∞ por b, M por b− δ, M1 ou M +1 por b− δ1, paraδ1 conveniente. 2

7.3 Integrais mistos

Um integral misto sera um integral com intervalo de integracao ilimitado e ondea funcao integranda podera nao estar definida em alguns pontos ou ser ilimitada emalguns subintervalos, mas seja integravel em qualquer intervalo [a, b] contido no seudomınio, por exemplo ∫ +∞

0

1

(x− 1)(x− 2)2dx.

Tal integral deve entender-se como a soma dos varios integrais proprios ou impropriosimplıcitos correspondentes a uma particao do intervalo de integracao por intervalos;ainda reportando-nos ao mesmo exemplo

∫ +∞

0

1

(x− 1)(x− 2)2dx :=

∫ 1

0

1

(x− 1)(x− 2)2dx +

∫ 54

1

1

(x− 1)(x− 2)2dx

+

∫ 95

54

1

(x− 1)(x− 2)2+

∫ 2

95

1

(x− 1)(x− 2)2dx

+

∫ +∞

2

1

(x− 1)(x− 2)2dx

Por definicao: o integral sera convergente se todos os integrais associados a particaoo forem.

Teorema 7.3.1 Se f e g sao funcoes integraveis em qualquer intervalo [a, b] contidona interseccao dos seus domınios, a qual por sua vez, contem o intervalo ]c, d[ eλ ∈ R, entao vale a seguinte equacao

∫ d

c

(λf(x) + g(x))dx = λ

∫ d

c

f(x)dx +

∫ d

c

g(x)dx

7.3.1 Exercıcios



3. Enuncie e demonstre teoremas analogos aos apresentados para∫ b

−∞ f(t)dt (b ∈R ∪ +∞).




6. Prove que quando f e ilimitada no intervalo [a, b[ e integravel em qualquer

intervalo fechado nele contido, entao limx→a+

∫ b

xf(t)dt e limy→b−

∫ y

af(b − t +

a)dt existem ou nao simultaneamente.


8. Prove os teoremas 7.1.1 e 7.2.1.

9. Estude a natureza dos integrais improprios de primeira especie:a)

∫ +∞π2

cosx dx e)∫ 1

−∞x

x2+4dx

b)∫ +∞−∞ e−|x| dx f)

∫ +∞−∞

21+x2 dx

c)∫ +∞−∞ 2x dx g)

∫ +∞0

te−st dt (s > 0)

d)∫ +∞0

e−steαt dt (s > α)

10. Estude, em funcao de α ∈ R, a natureza do integral improprio∫ +∞0

eαx dx.

11. Verifique que∫ +∞0

e−stcos(αt) dt = ss2+α2 onde α ∈ R e s ∈ R+.

12. Estude a natureza dos integrais improprios de segunda especie:

a)∫ 2

−21√

4−x2 dx e)∫ 1

−11x2

b)∫ 1

−11|x| dx f)

∫ π2

0tan x dx

c)∫ 1

0log x dx g)

∫ 3

01

(x−1)(x−2)dx

d)∫ 1

−11

x(x−1)(x+1)dx

13. Mostre que∫ +∞0

e−√

x√x

dx = 2.

14. Estude, utilizando o criterio de comparacao, a natureza dos seguintes integraisimproprios:a)

∫ +∞1

sin2 x

x52

dx d)∫ 1

0π

1−√xdx

b)∫ +∞1

2xe2x−1

dx e)∫ +∞1

5x2−3x8+x−1

dx

c)∫ +∞0

ex2dx f)

∫ 0

−1−x5√1−x2 dx

15. Estude a natureza dos seguintes integrais improprios:

(a)∫ 1

0cosx√

xdx

(b)∫ +∞2

1√x5+2x

dx

(c)∫ +∞0

e−2x sin√

x dx

(d)∫ +∞0

xe−x√x2+x+1

dx

(e)∫ +∞1

2+cos(3x)x2+2

dx

(f)∫ π

2

0sin√

x4√x

dx

(g)∫ 1

01√

1−x2 dx

(h)∫ +∞2

x3+1x2(x2+1)

dx

(i)∫ +∞0

sin2 x

x52

dx

(j)∫ +∞5

1x log3 x

dx

(k)∫ +∞0

x+1√x3

dx

(l)∫ 3

−3x√

9−x2 dx

(m)∫ +∞

1−1

x3+1dx

(n)∫ −1

−∞sin xx2 dx

(o)∫ +∞−1

log |x|x

dx

(p)∫ +∞

01√

ex−1dx

7.4. TRANSFORMADA DE LAPLACE 709

16. Seja f(x) =

m se |x| ≤ 2

0 se |x| > 2. Determine m de modo a que

∫ +∞−∞ f(x) dx = 1.

17. Mostre que:

(a)∫ 1

0xp−1(1− x)q−1 dx e convergente quando p > 0 e q > 0.

(a funcao definida por B(p, q) =∫ 1

0xp−1(1 − x)q−1 dx, p > 0 e q > 0,

chama-se integral euleriano de primeira especie ou funcao beta).

(b)∫ +∞0

xp−1e−x dx e convergente quando p > 0.

(a funcao definida por Γ(p) =∫ +∞

0xp−1e−x dx, p > 0, chama-se integral

euleriano de segunda especie ou funcao gama).

18. Sejam f, g : R+ → R definidas por:

f(x) =

1, x ∈ N0, x 6∈ N (7.10)

g(x) =

n2x− n3 + 1, x ∈ [n− 1n2 , n] & n ∈ N;

−n2x + n3 + 1, x ∈]n, n + 1n2 ] & n ∈ N;

0, x 6∈ ⋃[n− 1n2 , n + 1

n2 ] : n ∈ N(7.11)

Mostre que limx→∞ f(x) e limx→∞ g(x) nao existem, mas∫ +∞0

f(x) dx e∫ +∞

0g(x) dx sao convergentes. Calcule o valor dos integrais

improprios.

19. Prove o teorema 7.3.1

7.4 Transformada de Laplace

Definicao 7.4.1 A transformada de Laplace da funcao f : [0, +∞[→ R e afuncao L[f ] definida por

L[f ](s) :=

∫ +∞

0

e−stf(t)dt

sempre que o integral do segundo membro converge.

Definicao 7.4.2 A funcao f : [0, +∞[→ R diz-se de ordem (ou de tipo) expo-nencial a direita se

∃M, c, a > 0 ∀t > c |f(t)| ≤ Meat (7.12)


Lema 7.4.1 Suponha-se que f : [0, +∞[→ R e contınua, que F (x) :=∫ x

0f(t)dt

(x ≥ 0) e que F e de ordem exponencial a direita. Entao

1. f tem transformada de Laplace.

2. Em algum intervalo nao limitado a direita L[f ](s) = sL[F ](s).

Dem. 1 e 2 serao de facto provadas simultaneamente. Suponha-se que para certosM, c, a > 0

∀t > c |F (t)| ≤ Meat. (7.13)

Para qualquer x > 0; s > c,∫ x

0

e−stf(t)dt = e−stF (t)]t=x

t=0+

∫ x

0

se−stF (t)dt

= e−sxF (x) + s

∫ x

0

e−stF (t)dt.

Em face de (7.13)

limx→+∞

∣∣e−sxF (x)∣∣ ≤ lim

x→+∞

∣∣e−(s−a)x∣∣ = 0

pelo que

L[f ](s) = limx→+∞

∫ x

0

e−stf(t)dt = limx→+∞

∫ x

0

e−stF (t)dt = sL[F ](s) (s > a)

2

Teorema 7.4.1 Qualquer funcao contınua em [0, +∞[ de ordem exponencial a di-reita tem transformada de Laplace.

1. O conjunto Λ das funcoes contınuas em [0, +∞[ de ordem exponencial a di-reita, munido da soma e do produto por escalares (reais) usuais e um espacovectorial real.

2. A transformada de Laplace e um operador linear em Λ, i.e,

L[f + λg] = L[f ] + λL[g] (f, g ∈ Λ; λ ∈ R). (7.14)

3. Se f e constante, digamos f(x)0 = c ∈ R (x ≥ 0), entao

L[f ](s) := L[c] = cL[1] = c1

s(s > 0) (7.15)

4. Se f e de classe Cn em [0, +∞[, f (n−1) ∈ Λ, entao em algum intervalo [a, +∞[,

L[f (n)](s) = snL[f ](s)−[

n−2∑i=0

sn−1−if (i)(0) + f (n−1)(0)

](7.16)

= snL[f ](s)− [sn−1f (0) + sn−2f ′(0) + · · ·+ f (n−1)(0)

](7.17)


Observacao 7.4.1 As hipoteses do lema 7.4.1 acima, do teorema 7.4.1 bem como aalınea 1 do mesmo teorema, podem ser enfraquecidas no sentido em que continuama verificar-se para funcoes seccionalmente contınuas.

Dem. As demontracoes das propriedades 1, 2 e 3 deixam-se a cargo do leitor.Demonstramos 3 por inducao.

Para n = 1 aplique-se o lema 7.4.1 e (7.15), observando que

f(x)− f(0) =

∫ x

0

f ′(t)dt,

donde, para s em algum intervalo nao limitado a direita,

L[f ′](s) = s

(L[f ](s)− f(0)

s

)= sL[f ](s)− f(0). (7.18)

Admitindo a validade da formula (7.16) para n e tendo de novo em conta (7.18),

L[f (n+1)](s) = L[f (n)′ ](s) = sL[f (n)](s)− f (n)(0)

= s

[snL[f ](s)−

[n−2∑i=0

sn−1−if (i)(0) + f (n−1)(0)

]]− f (n)(0)

= sn+1L[f ](s)−[

n−1∑i=1

sn−if (i)(0) + sf (n−1)(0)

]− f (n)(0)

= sn+1L[f ](s)−

(n+1)−2∑i=1

s(n+1)−1−if (i)(0) + f ((n+1)−1)(0)

pelo que (7.16) tambem vale com n + 1 em vez de n; pelo Princıpio de Inducao aformula vale para todo o n ∈ N. 2

Um exemplo de aplicacao de (7.16).

Exemplo 7.4.1 Suponhamos que se pretende determinar uma funcao real de variavelreal f tal que

f ′′ + f ≡ 1

f(0) = f ′(0) = 0

e procuremos uma funcao de crescimento exponencial a direita. Aplicando a trans-formada a ambos os membros da equacao obtemos

(s2L[f ](s)− sf(0)− f ′(0)

)+ L[f ](s) =

1

s

ou seja

L[f ](s)(s2 + 1

)=

1

s

ou ainda

L[f ](s) =1

s (s2 + 1)=

1

s− s

s2 + 1


Sabendo que

L[1] =1

s& L[cos](s) =

s

s2 + 1,

Concluımos queL[f ] = L[1− cos]

pelo que podera ser f(x) = 1−cos(x) e esta e de facto uma solucao para o problema.

Teorema 7.4.1 Se f ∈ L e tem ordem exponencial α, entao

1. ddsL[f ](s) = L[−tf(t)](s) (s > α)

2. dn

dsnL[f ](s) = L [(−1)ntnf(t)] (s) (s > α)

3. Se g(t) := tnf(t) (t ≥ 0), entao

L[g](s) = (−1)n dn

dsnL[f ](s) (s > α)

4. Quando existe limt→0+f(t)

ttem-se

∫ +∞

s

L[f ](σ)dσ = L[f(t)

t

](s) (s > α)

Dem. 1. Limitamo-nos a elaborar sobre a definicao de derivada.

Repare-se que, quando s > α e 0 < |h| < s−α, ambas as L[f ](s) e L[f ](s+h) estaodefinidas; por outro lado tambem t 7→ −tf(t) tem ordem exponencial α. Suponha-seentao s > α e 0 < |h| < s − α; existe ρ(τ) ∈ [0, 1] tal que se vwerifica a seguintesequencia

1

h

L[f ](s + h)− L[f ](s)

=

∫ +∞

0

e−stf(t)

e−ht − 1

h

dt

=

∫ +∞

0

e−stf(t)

(−t +

eρ(ht)ht

2ht2

)dt

=

∫ +∞

0

e−stf(t)(−t)dt + I(h)

I(h) =

∫ +∞

0

e−stf(t)eρ(ht)ht

2ht2dt

Ou seja

1

h

L[f ](s + h)− L[f ](s)

= L[−tf(t)] + hI(h)

I(h) =

∫ +∞

0

e−stf(t)eρ(ht)ht

2t2dt

=1

2

∫ +∞

0

e−[s−ρ(ht)h]tt2f(t)dt


Basta entao mostrar agora que

2I(h) =

∫ +∞

0

e−[s−ρ(ht)h]tt2f(t)dt e limitado. (7.19)

Ora, para certos t0,M > 0 vem

∀t ≥ t0∣∣t2f(t)

∣∣ ≤ Meαt

seguindo-se

2|I(h)| ≤∫ t0

0

e−[s−hρ(ht)−α]t|t2f(t)|dt + M

∫ +∞

t0

e−[s−hρ(ht)−α]tdt

Como s > α, existe N > 0 tal que, para t ∈ [0, t0] e |h| suficientemente pequeno,

−[s− hρ(ht)− α]t < 0∫ t0

0

e−[s−hρ(ht)−α]t|t2f(t)|dt ≤ N.

Por outro lado, como |hρ(ht)| < |h| independentemente de t,tambem∣∣∣∣∫ +∞

t0

e−[s−hρ(ht)−α]tdt

∣∣∣∣ ≤ K

e 2I(h) e limitado e 1 fica provado.

2. Obtem-se indutivamente de 1.

3. Esta e outra forma de ver 2.

4. Quando existe limt→0+f(t)

t, a funcao t 7→ f(t)

tfica seccionalmente contınua e, se

α > 0, tambem tem tipo ordem exponencial α. Repare que quando todos os objectosdescritos existem:

∫ b

a

φ′(σ)dσ = φ(b)− φ(a) (φ : [a, b] ⊆ R→ R).

2

7.4.1 Inversao

Teorema 7.4.2 Se f ∈ L entao

lims→+∞

L[f ](s) = 0

Dem. Suponha-se (sem perda e generalidade) que f e de tipo exponencial α > 0 eque

∀t ≥ τ |f(t)| ≤ Meαt (s > α)

∀t ∈ [0, τ ] |f(t)| ≤ N ;


tem-se∣∣L[f ](s)

∣∣ =

∣∣∣∣∫ +∞

0

e−stf(t)dt

∣∣∣∣

≤∣∣∣∣∫ τ

0

e−stf(t)dt

∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∫ +∞

τ

e−stf(t)dt

∣∣∣∣

≤ N · e0 − e−sτ

s+ M · e(α−s)τ

s− α

≤ N

s+

M

s− α→ 0 quando s → +∞.

2

O resultado seguinte e de grande utilidade (veja-se a seccao ??)

Teorema 7.4.3 (de Lerch)

Se f, g ∈ L, L[f ] = L[g] entao f(a) = g(a) sempre que f e g sao contınuas em a;em particular se f e g sao contınuas, entao f = g.

Definicao 7.4.1 Suponha-se que as funcoes φ, ψ : [0, +∞[→ R sao localmente in-tegraveis. Um produto de convolucao de φ por ψ, φ ∗ ψ, define-se por

(φ ∗ ψ)(t) :=

∫ t

0

φ(t− u)ψ(u)du (t ∈ [0, +∞[)

Teorema 7.4.4

1. O produto de convolucao e comutativo.

2. O produto de convolucao e bilinear

3. Quando todos os operadores estao definidos,

L−1(L[f ]L[g]

)(t) = (f ∗ g)(t)

ouL[f ∗ g](s) = L[f ]L[g](t)

7.4.2 Exercıcios

1. Calcule as transformadas de Laplace das funcoes definidas a seguir indicandotambem os domınios de cada uma

(a) f(t) =

t 0 ≤ t ≤ 1

2− t 1 ≤ t ≤ 2

0 2 < t

(b)f(t) =

sen(ωt) 0 ≤ t ≤ π

ω

0 πω≤ t

(ω > 0)

(c)f(t) =

2 0 ≤ t ≤ 1

et 1 < t


2. Suponha que f : R→ R e contınua e periodica de perıodo T > 0. Prove que

L[f ](s) =1

1− e−sT

∫ T

0

e−stf(t)dt (s > 0)

3. Procure a menor ordem exponencial das funcoes dadas a seguir.

(a) f(t) = sen t (b) f(t) = 3t (c) f(t) = e−t

1+t

(a) f(t) = senh t (b) f(t) = tet (c) f(t) = e3t

1+et

4. Mostre que existe transformada de Laplace, L[f ](s) das funcoes definidas aseguir

(a) f(t) = 11+t

(s > 0) (b) f(t) = eat

1+t(s > a)

(a) f(t) = sen tt

(s > 0) (b) f(t) = t log t, (s > 0)

5. Mostre que a funcao dada por f(t) = tetsen(et2

)tem transformada de Laplace,

mas nao e de ordem exponencial.

6. Determine a transformada de Laplace, com o domınio respectivo, das funcoesdadas de seguida.

f(t) =sen t

t, f(t) =

1− cos t

t, f(t) = t2senh t

7. Determine com o domınio respectivo

(a) L [2t + 3e2t + 4sen(3t)] (s) (b) L [αN tN

](s) (α ∈ R; N ∈ N)

(c) L [sen2

(12t)]

(s) (d) L [cosh2(3t)

](s)

8. Encontre funcoes f que satisfacam

(a) L[f ]s =2s

s + 4(b) L[f ]s =

3

s + 3− 3s

s2 + 3

9. Decida se a funcao definida por g(s) = slog s

(s > 0) e ou nao uma transformadade Laplace.

10. Mostre que se f ′ e integravel em qualquer intervalo [0, b] ⊆ R e e de ordemexponencial, tambem f e de ordem exponencial.

11. Verifique a seguinte tabela.


f (t) L[f ](s) f (t) L[f ](s)

1 1s tn n!

sn+1

eat 1s−a tneat n!

(s−a)n+1

sen(at) as2+a2 cos(at) s

s2+a2

senh(at) as2−a2 cosh(at) s

s2−a2

tsen(at) 2as(s2+a2)2

tcos(at) s2−a2

(s2+a2)2

tsenh(at) 2as(s2−a2)2

tcosh(at) s2+a2

(s2−a2)2

sin(at)− atcos(at) 2a3

(s2+a2)2atcosh(at)− senh(at) 2a3

(s2−a2)2

12. Utilizando a transformada de Laplace determine funcoes y que satisfacam ascondicoes requeridas:

(a)

2y′ + 3y = e4ty(0) = 5

(b)

3y′ − 4y = sin(t)y(0) = 1

3

(c)

y′′ + 3y = te2t

y(0) = 0, y′(0) = 0(d)

y′′ + y = sen(t)y(0) = 1, y′(0) = 1

Capıtulo 8

Equacoes Diferenciais Ordinarias

Este capıtulo pode completar-se com [9] e o I capıtulo do volume III de [8].

8.1 Introducao

Suponha-se que n ∈ N, n ≥ 1 e F e uma funcao real de n+1 variaveis reais, digamosF : A ⊆ Rn+1 → R. Uma equacao diferencial ordinaria de ordem n e umaequacao da forma

F (x, y, · · · , y(n−1), y(n)) = 0 (8.1)

na qual y representa uma funcao real incognita da variavel x com n derivadas. Umasolucao de (8.1) em algum intervalo ]a, b[⊆ R sera uma funcao real φ tal que

F (x, φ(x), · · · , φ(n−1)(x), φ(n)(x)) = 0 (x ∈]a, b[); (8.2)

em particular devera verificar-se (x, φ(x), · · · , φ(n−1)(x), φ(n)(x)) ∈ A (x ∈]a, b[). Ointegral geral da equacao (8.1) em ]a, b[ e o conjunto de todas as suas solucoes em]a, b[ ou tambem uma formula que o defina. Uma condicao inicial e um conjuntode equacoes

y(i)(x0) = yi (yi ∈ R; 1 ≤ i ≤ n− 1);

um problema de valores iniciais ou de Cauchy e um sistema

F (x, φ(x), · · · , φ(n−1)(x), φ(n)(x)) = 0 (x ∈]a, b[)

y(i)(x0) = yi (yi ∈ R; 0 ≤ i ≤ n− 1);(8.3)

8.2 Equacoes de variaveis separaveis

Uma equacao diferencial diz-se de variaveis separaveis, se existirem funcoescontınuas reais de variavel real p, q de tal modo que a equacao se pode reduzir aforma

q(y)y′ = p(x) (a < x < b) (8.4)

ou quando

y′ =p(x)

q(y)= p(x)h(y) (q(y) 6= 0)

801

802 CAPITULO 8. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

SeP ′(x) = p(x) & Q′(x) = q(x) (a < x < b). (8.5)

O integral geral em ]a, b[ da equacao e o conjunto de funcoes φ :]a, b[→ R quesatisfazem a condicao

Q(φ(x)) = P (x) (x ∈]a, b[) (8.6)

Se Q for injectiva,φ(x) = Q−1(p(x)) (x ∈]a, b[).

Exemplo 8.2.1 Uma equacao de variaveis separaveis muito simples, para a qual Qnao e injectiva e

2yy′ = 2x.

A formula (8.6) diz-nos que as solucoes verificam

y2 = x2 + c (c ∈ R).

Pode mostrar-se que, quando x2 + c > 0 (a < x < b), o integral geral da equacaoe constituıdo por todas as funcoes y definidas a seguir: se c > 0,

y =√

x2 + c (a < x < b; a, b ∈ R)

y = −√

x2 + c (a < x < b; a, b ∈ R)

ou, quando c < 0,

y =√

x2 + c (√−c ≤ a < x < b; a, b ∈ R)

y = −√

x2 + c (√−c ≤ a < x < b <; a, b ∈ R)

y =√

x2 + c (a < x < b ≤ −√−c; a, b ∈ R)

y = −√

x2 + c (a < x < b ≤ −√−c; a, b ∈ R)

8.2.1 Exercıcios

1. Resolva as seguintes equacoes diferenciais e problemas de Cauchy

(a) yy′ = 4x y(1) = −3

(b) xy′ = 4y y(1) = −3

(c) y′ = 2xy2 y(2) = 1

(d) y′ = ex(1− y2)12 y(0) = 1

2

(e) y′ = 1+y2

1+x2 y(2) = 3

(f) eyy′ = 4 y(0) = 2

(g) 2(y − 1)y′ = ex y(0) = −2

(h) 2y′ = y(y − 2)

(i) 3y2y′ = (1 + y3)cosx

(j) (cos2x)y′ = (1 + y2)12

(k) (cos2x)y′ = y2(y − 1)senx

(l) (cosy)y′ = 1.

2. Equacoes Homogeneas

Uma funcao f real de duas variaveis reais diz-se homogenea de grau zerose, para t > 0, quando todas as expressoes estao definidas,

f(tx, ty) = f(x, y)

8.2. EQUACOES DE VARIAVEIS SEPARAVEIS 803

Suponha que a equacao seguinte

y′ = f(x, y) (8.7)

e homogenea, isto e, f e homogenea.

(a) Mostre que a substituicao y = ux transforma a equacao (8.7) numa devariaveis separaveis

u′ = Φ(x, u) (8.8)

(b) Resolva as equacoes diferenciais seguintes, determinando sempre que possıvelos domınios das varias solucoes obtidas.

(i) (x2 + y2)y′ = xy (ii) x2dy = (2x2 − xy)dx(iii) x2y′ = xy − y2 (iv) xy′ = y + (x2 + y2)1/2

(v) xy′ = x + y (vi) (x2 − 3y2)dx = 2xydy

3. Seja qual for a quantidade, M , de substancia radioactiva, a razao de decom-posicao com o tempo e proporcional a massa presente inicialmente, isto e, parauma certa constante k < 0,

M ′(t) = kM(t); (8.9)

alem disso o tempo que decore ate a massa se reduzir a metade e propriode cada substancia e designa-se por semi-vida ou semi-perıodo podendonotar-se por T .

(a) Mostre que M(t) = M(0)2−tT

(b) Qual a semi-vida de uma substancia que leva 100 anos a passar de 1ta 1kg?

(c) As semi-vidas de diversos tipos de plutonio sao as seguintes (ref. Wikipedia)

PESO ATOMICO T (em anos)

239 24 200238 87,7240 6 563241 14

Escolha um dos tipos e responda as seguintes perguntas

i. Quanto tempo leva uma massa inicial de 1kg a reduzir-se a 10pg(p = 2, 1, 0)?

ii. Se a massa actual e 5g, qual era ha vinte anos?


4. Em pequenos intervalos de tempo certas populacoes, p, de bacterias comportam-se de acordo com o modelo seguinte: para certos a, k > 0

p′(t) = kp(t)(a− p(t)

)(t ≥ 0) (8.10)

(a) Mostre que 0 e a, alem de definirem solucoes de equilıbrio, sao respectiva-mente populacoes maxima e mınima (nao e necessario resolver a equacao).

(b) Resolva a equacao e esboce o graficos das solucoes com k = 2.

5. A populacao p(t) de um cardume de trutas no instante t (medido em minutos)evolui de acordo com o seguinte a partir do instante t = 0:

C1. Em aguas limpas ter-se-ia p′(t) = 0, 003p(t).

C2. Em virtude do despejo no rio de um certo resıduo toxico

• As trutas morrem a razao de 0, 001p2(t)

• Foge do cardume uma truta em cada oito horas e vinte minutos (500minutos).

Se a populacao inicial for de 10000 trutas, quantas trutas existirao ao fim deuma semana (sete dias, 7 · 24 · 60 minutos)?

8.3 Equacoes exactas

Uma leitura da seccao 10.1 pode ser benefica.

Para qualquer funcao real f de duas variaveis reais definem-se as derivadas parciaisem ordem a x e em ordem a y, respectivamente ∂f

∂x, ∂f

∂ypor

∂f

∂x(a, b) = lim

h→0

f(a + h, b)− f(a, b)

h(8.11)

∂f

∂x(a, b) = lim

k→0

f(a, b + k)− f(a, b)

k(8.12)

Dadas funcoes reais de duas variaveis reais M, N equacao

M(x, y) + N(x, y)y′ = 0, (8.13)

que e habitual escrever na forma

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, (8.14)

diz-se exacta quando a funcao, tambem denominada campo vectorial,

(x, y)F7→ (

M(x, y), N(x, y)) ∈ R2

e um gradiente, isto e, tem um (uma funcao) potencial f : C ⊆ R2 → R, ou seja

∂f

∂x= M

∂f

∂y= N.

8.3. EQUACOES EXACTAS 805

Tambem costuma denominar-se f por campo escalar. Podem provar-se os resul-tados seguintes ([8])

Teorema 8.3.1

Quando os domınios das funcoes em presenca sao adequados1

1. A equacao (8.14) e exacta se e apenas se

∂M

∂y=

∂N

∂x

2. Quando equacao (8.14) e exacta e f e um potencial de F , entao as solucoesde (8.13) sao definidas por equacoes

f(x, y) = k (k ∈ R).

8.3.1 Factor integrante para equacoes nao exactas

Mesmo quando a equacao (8.14) nao e exacta e

∂M

∂y(x, y) 6= ∂N

∂x(x, y), (8.15)

e por vezes possıvel resolve-la.

Definicao 8.3.1 Um factor integrante de (8.14) e uma funcao µ 6≡ 0 tal que

µ(x, y)M(x, y)dx + µ(x, y)N(x, y)dy = 0 (8.16)

e exacta.

Observacao 8.3.1 Qualquer funcao constante nao nula e factor integrante de umaequacao exacta.

Teorema 8.3.1 Nas condicoes acima

1. Quando (∂M∂y

(x, y)− ∂N∂x

(x, y))

N(x, y):= f(x)

a funcao dada porµ(x, y) := e

∫f(x)dx

e factor integrante de (8.14)

2. Quando (∂M∂y

(x, y)− ∂N∂x

(x, y))

M(x, y):= g(y)

a funcao dada porµ(x, y) := e−

∫g(y)dy

e factor integrante de (8.14)

1Simplesmente conexos ([8]). Em geral os exemplos e exercıcios que apresentamos podem serreduzidos a estes casos.


8.3.2 Exercıcios

1. Determine se a equacao e exacta e, no caso de o ser, resolva-a

(a) (2xy3 − 2y2)dx + (3x2y2 − 4xy)dy = 0

(b) (2x2 − y)dx + (x + y2)dy = 0

(c) xy2dx− (y3 − x2y)dy = 0

(d) (ey + x)dx− (e2y − xey)dy = 0

(e) (y−1cos x)dx + (y−3 − y−2sen x)dy = 0

2. Determine um factor integrante da forma xmyn (m,n ∈ Z) para as equacoesseguintes e resolva-as

(a) (y−2 − y−1sen x)dy + (cos x)dx = 0

(b) (1− xy)dy + (y2 + 3xy3)dx = 0

(c) (x2 + xy2)dy − (3xy − 2y3)dx = 0

3. Verifique que as equacoes seguintes tem um factor integrante dependente deuma so variavel e resolva-as.

(a) (3x2y − 4x)dy + (2xy3 − 2y2)dx = 0

(b) [2(x + sen y) + 1]dx + (cos y)dy = 0

(c) y′ + p(x)y − q(x) = 0 (p, q contınuas)

8.3.3 Brevıssima incursao informal a curvas em R2

Com algum abuso de linguagem, as solucoes de (8.13) sao tambem designadas porcurvas integrais sao as curvas equipotenciais de F .

Exemplo 8.3.1 Muito simplesmente, considere-se a equacao diferencial exacta

2xdx + 2ydy = 0. (8.17)

Um potencial e claramente (x, y)f7→ x2 + y2, pelo que as solucoes da equacao sao

dadas por

x2 + y2 = r2 > 0 (8.18)

Observe-se que no exemplo anterior (exemplo 8.3.1), se entendermos F (x, y) como

associando cada ponto (x, y) ∈ R2 o vector

[xy

], as rectas que passam pela origem

e por (x, y) sao tangentes a F (x, y), e por isso tambem designadas por linhas deforca, e as circunferencias equipotenciais (8.18) sao-lhe ortogonais.

Sem demasiado esforco teorico-pratico podemos dar sentido ao discurso seguinte.

8.4. FORMA NORMAL 807

Sejam I um intervalo nao vazio arbitrario ]a, b[ e φ : I → R2 uma funcao

φ(t) = (x(t), y(t)) (x ∈ I);

defina-se

φ′(t) = (x′(t), y′(t)) (x ∈ I).

Quando

∀t ∈ I ∃λ(t) ∈ R F (φ(t)) = λ(t)φ′(t) (8.19)

ou seja, quando a curva φ e tangente ao campo F , sera entao uma linha de forca deF ; suponha-se que F tem um potencial f e que γ : I → R2 ≡ γ(t) = (u(t), v(t)) euma curva equipotencial, isto e,

∃k ∈ R ∀t ∈ I f(γ(t)) = k,

em particular a funcao g : I → R ≡ g(t) = f(γ(t)) e constante e

0 = g′(t) =∂f

∂x(γ(t))u′(t) +

∂f

∂y(γ(t))v′(t)

= F (γ(t)) • γ′(t).

Em face da equacao (8.19) de facto provamos

Proposicao 8.3.1 As linhas de forca e as curvas equipotenciais do mesmo camposao mutuamente ortogonais.

8.4 Forma normal

Quando em (8.1)

F (x, y, · · · , y(n−1), y(n)) = y(n) − f(x, y, · · · , y(n−1)),

para alguma funcao contınua f : B ⊆ Rn → R, diz-se que a equacao e redutıvel aforma normal

y(n) = f(x, y, · · · , y(n−1)) (8.20)

Uma solucao de (8.20) em algum intervalo ]a, b[⊆ R sera uma funcao real φ tal que

φ(n)(x) = f(x, φ(x), · · · , φ(n−1)(x)) (x ∈]a, b[); (8.21)

em particular devera verificar-se (x, φ(x), · · · , φ(n−1)(x)) ∈ B (x ∈]a, b[).


8.4.1 Exercıcios (trajectorias ortogonais)

Quando uma famılia F de curvas em R2, possivelmente explicitaveis na forma y =y(x), e definida por uma equacao apropriada dependente de um parametro real,digamos

Φ(x, y) = k ∈ R

para alguma funcao Φ, a eliminacao de k no sistema

Φ(x, y) = k∂Φ∂x

(x, y) = 0

Produz uma equacao diferencial

y′ = f(x, y) (8.22)

que tambem caracteriza F . A famılia F⊥ das curvas que intersectam ortogonal-mente as de F , dita das trajectorias ortogonais a F sera entao caracterizadapela equacao

y′ = − 1

f(x, y)(8.23)

1. Obtenha equacoes diferenciais cujas curvas integrais em R2 sejam as dadaspela famılia indicada bem como as caracterizam as respectivas famılias detrajectorias ortogonais:

(a) de rectas (nao verticais) que passam pela origem,

(b) de circunferencias centradas na origem,

(c) de curvas de equacao y = cx2, c ∈ R(d) de curvas de equacao 2y2 + x2 = c, c ∈ R(e) de curvas de equacao x2 − y2 = c, c ∈ R(f) de curvas de equacao xy = c, c ∈ R(g) de curvas de equacao y = ce−x2

, c ∈ R.

2. Encontre as solucoes de

(a) y′ = y + 3, y(0) = 0 (b) (1 + y2)dx− xdy = 0, y(1) = 1(c) e−y(1 + y′) = 1 (d) exyy′ = e−y + e−(2x+y)

(e) xexydx + yexydy = 0 (f) y′ = xy + xy2, y(0) = 0(g) y′ = xy+2y−x−2

xy−3y+x−3(h) (e2y − y)y′ = eysen(2x)


8.4.2 Equacoes lineares de primeira ordem

Considerem-se as funcoes contınuas p, q :]a, b[⊆ R→ R. O integral geral (em ]a, b[)da equacao linear de primeira ordem

y′ = p(x)y + q(x) (8.24)

e o conjunto de funcoes da forma

y = eP (x)

∫e−P (x)q(x)dx & P ′(x) = p(x) (x ∈]a, b[)

ou, mais especificamente, se P ′(x) = p(x) e R′(x) = e−P (x)q(x) (x ∈]a, b[)

y = λeP (x) + eP (x)R(x) (λ ∈ R; x ∈]a, b[) (8.25)

8.4.3 Exercıcios

1. Verifique que (8.25) se pode escrever

y = y(x0)e∫ x

x0p(t)dt

+ e∫ x

x0p(t)dt

∫ x

x0

e− ∫ s

x0p(t)dt

q(s)ds (x0; x ∈]a, b[)

2. Resolva as seguintes equacoes diferenciais

(a) y′ + 2xy = x

(b) xy′ + y = 3x3 − 1 (x > 0)

(c) y′ + exy = 3ex

(d) y′ − tan(x)y = esin(x) (0 < x < π2)

(e) y′ + 2xy = xe−x2

(f) Outra apresentacao. Prove que

Quando b, c : I → R sao contınuas, x0 ∈ I e y0 ∈ R, o problemade Cauchy

y′ + b(x)y = c(x)

y(x0) = y0 (x ∈ I)

Tem uma e so uma solucao:

y = y(x0)e− ∫ x

x0b(t)dt

+ e− ∫ x

x0b(t)dt

∫ x

x0

e∫ s

x0b(t)dt

c(s)ds

3. A equacao de Bernoulli

y′ = b(x)y + c(x)yk (k ∈ R) (8.26)

reduz-se a uma linear de primeira ordem mediante a substituicao

z = y`

com ` ∈ R convenientemente escolhido.

4. A equacao de Ricatti

y′ = a(x)y2 + b(x)y + c(x), (8.27)

com a, b, c contınuas, reduz-se a uma linear mediante uma substituicao

y = η +1

zquando η e solucao particular


8.4.4 Equacoes lineares de segunda ordem e coeficientes con-stantes

Sejam a, b numeros reais e f :]α, β[→ R uma funcao contınua; considere-se a equacaolinear de segunda ordem e coeficientes constantes a, b, redutıvel a formanormal

y′′ + ay′ + by = f(x). (8.28)

Se f ≡ 0 a equacao diz-se homogenea, sendo y′′ + ay′ + by = 0 a equacaohomogenea associada a (8.28); o polinomio caracterıstico da mesma equacaoe p(r) := r2 + ar + b.

Lema 8.4.1 Se u e solucao da equacao homogenea associada a (8.28), a substituicaoy = zu transforma a equacao em

uz′′ + (2u′ + au)z′ = f(x) (8.29)

que e uma equacao linear de primeira ordem em z′. Se alem disso u nao tiver zeros,a equacao (8.29) e equivalente a

z′′ + (2u′

u+ a)z′ =

f(x)

u(8.30)

Dem.

y′′ + ay′ + by = (z′′u + 2z′u′ + zu′′) + a(z′u + zu′) + b(zu)

= uz′′ + (2u′ + au)z′ + (u′′ + au′ + bu)z

= uz′′ + (2u′ + au)z.

2

8.4.5 Exercıcios

1. Observando que d2

dt2cos(at) = −a2cos(at), resolva a equacao diferencial

y′′ + 4y = 1

2. Observe que se u(x) := x2 − 1, entao u′′ − xu′ + 2u = 0. Resolva a equacaodiferencial y′′ − xy′ + 2y = ex.

Lema 8.4.2 Se s e raiz real do polinomio caracterıstico da equacao (8.28), entaox 7→ esx e solucao da equacao homogenea associada em R.

Dem. Em [9]. 2


Teorema 8.4.1 Suponha-se que o polinomio caracterıstico de (8.28) tem as raızesreais s, t, que R′(x) = f(x)e−sx e S ′(x) = e(t−s)xR(x).

1. x 7→ esxS(x) e solucao da equacao (8.28).

2. Se s 6= t, entao o integral geral de (8.28) e dado pela formula

y = λetx + µesx + esxS(x) (λ, µ ∈ R; x ∈]α, β[) (8.31)

3. Se s = t, entao o integral geral de (8.28) e dado pela formula

y = λxesx + µesx + esxS(x) (λ, µ ∈ R; x ∈]α, β[). (8.32)

Dem. 2. Pelo lema 8.4.1, a substituicao y = zesx transforma a equacao (8.28) em

z′′ + (2s + a)z′ = f(x)

ouz′′ = −(2s + a)z′ + f(x). (8.33)

Como s, t sao raızes do polinomio caracterıstico, a = −(s + t), e a equacao (8.33)toma a forma

z′′ = (t− s)z′ + f(x).

Como vimos na subseccao 8.4.2, com P (x) = e(t−s)x e R′(x) = e(s−t)xf(x), ter-se-a

z′ = αe(t−s)x + e(t−s)xR(x)

1. Se s 6= t, vira

z =α

t− se(t−s)x + µ + S(x) (α, µ ∈ R; x ∈]α, β[)

ouy = λetx + µesx + esxS(x) (λ, µ ∈ R; x ∈]α, β[)

pois α e arbitrario e t− s 6= 0.

3. Demonstra-se analogamente, considerando que, quando s = t, e(t−s)x ≡ 1. 2

Teorema 8.4.2 Se u ± iv ∈ C sao raızes imaginarias (conjugadas) do polinomiocaracterıstico,

1. x 7→ euxcos(vx) e x 7→ euxsen(vx) sao solucoes da equacao homogenea associ-ada.

2. Se η for uma solucao de (8.28), as funcoes da forma

y = λeuxcos(vx) + µeuxsen(vx) + η(x) (λ, µ ∈ R; x ∈]α, β[) (8.34)

sao tambem solucoes da equacao.

Dem. Em [9]. 2

A definicao de η pode ser feita como na demonstracao do teorema anterior, mas aformula resultante e demasiadamente complicada. Veremos adiante que (8.34) e defacto o integral geral de (8.28) nas condicoes do teorema 8.4.2.


8.4.6 Exercıcios

Resolva as seguintes equacoes diferenciais

1. y′′ − 2y′ − 3y = x 2. y′′ − 2y′ + y = ex

3. y′′ + 2y′ + 5y = 0 4. y′′ + 2y′ + 5y = 1

8.4.7 Equacoes lineares de segunda ordem e coeficientes ana-lıticos

Suponhamos agora que os coeficientes da equacao sao funcoes a, b e quea, b, f : I :=]α, β[→ R:

y′′ + a(x)y′ + b(x)y = f(x) (8.35)

e consideramos, para cada x0 ∈ I, para x em algum intervalo aberto centrado emx0,

a(x) = a0 +∞∑

n=1

an(x− x0)n (8.36)

b(x) = b0 +∞∑

n=1

bn(x− x0)n (8.37)

f(x) = c0 +∞∑

n=1

cn(x− x0)n (8.38)

Como solucao da equacao (8.35), procuramos uma serie de potencias

s(x) = s0 +∞∑

n=1

sn(x− x0)n (8.39)

que seja solucao da equacao em algum intervalo ]x0 − ε, x0 + ε[: substituindo em(8.35) a e b como dados em (8.36) e (8.37), e dados ainda s0 e s1, obtem-se asseguintes relacoes de recorrencia

(n + 2)(n + 1)sn+2 = −n∑

k=0

[an−k(k + 1)sk+1 + bn−ksk] + cn (8.40)

Pode mostrar-se que as condicoes de recorrencia, definem de facto uma sucessao sn

para a qual a serie (8.39) tem raio de convergencia pelo menos igual ao mınimodos raios de convergencia das series para a, b e f e que aquela serie e solucao doproblema de valores iniciais em causa.

Repare-se ainda que

s0 = s(x0) & s1 = s′(x0)

8.5. SINGULARIDADES 813

8.4.8 Exercıcios

1. Determine solucoes para os seguintes problemas utilizando desenvolvimentosem serie de potencias. Estude a convergencia das series obtidas.

(a) y′ = y + x; y(0) = 1

(b) y′ = y + x2; y(0) = −2

(c) y′ = 2y + x− 1; y(0) = 1

(d) (1− x)y′ = 1 + x− y; y(0) = 0

(e) xy′′ + y = 0; y(0) = 0, y′(0) = 1

(f) y′′ + 2xy′ + y = 0; y(0) = 1, y′(0) = 0

(g) y′′ + 1xy′ + y = 0; y(0) = 1, y′(0) = 0

(h) y′′ + ycos(x) = 0; y(0) = 1, y′(0) = 0

2. Compare as solucoes que obteve no numero anterior com as que pode obterpor metodos estudados nas subseccoes anteriores.

3. Encontre solucoes para a equacao de Hermite

y′′ − 2xy′ + 2αy = 0 (α ∈ R)

8.5 Singularidades

Pode acontecer que a equacao diferencial nao esteja na forma normal nem a ela sepossa reduzir num certo intervalo. Por exemplo

xy′ + y = 0 (8.41)

nao pode reduzir-se a forma normal em qualquer intervalo que contenha 0 e porisso se diz que 0 e ponto singular; no entanto a equacao e bastante simples deresolver: basta observar que xy′ + y e a derivada em ordem a x de x 7→ xy(x) econsequentemente o seu integral geral em R e dado por

xy = c (c ∈ R)

Uma observacao mais atenta mostra que de facto c tera de ser zero, pois 0y(0) = 0;alem disto, se ε > 0, a unica funcao φ :] − ε, ε[→ R tal que xφ(x) ≡ 0 e a funcaonula, pelo que a unica solucao de (8.41), em intervalos que contenham zero e a funcaonula.

Em intervalos aos quais 0 nao pertenca a equacao e redutıvel a forma normal e asfuncoes x 7→ c

x(c ∈ R) formam o integral geral de (8.41).

A utilizacao de series de potencias e um processo eficaz em muitos casos de singu-laridades, como se pode verificar nos exercıcios seguintes

8.5.1 Exercıcios

Encontre solucoes para as equacoes diferenciais seguintes (Uma leitura da parte maisrelevente de [9] pode ser particularmente benefica tambem).

1. (Equacao de Legendre) (1− x2)y′′ − 2xy′ + α(α + 1)y = 0 (α ∈ R)

2. (Equacao de Chebyshev) (1− x2)y′′ − xy′ + α2y = 0 (α ∈ R)


3. (Equacao de Bessel) x2y′′ + xy′ + (x2 − α2)y = 0 (α ∈ R)

4. (Equacao de Laguerre) xy′′ + (1− x)y′ + αy = 0 (α ∈ R)

8.6 Equacoes lineares de ordem n

Uma equacao diferencial linear de ordem n redutıvel a forma normal cujos coefi-cientes sao as funcoes ai :]a, b[⊆ R→ R (1 ≤ i ≤ n) tem a forma

y(n) + a1(x)y(n−1) + · · ·+ an−1(x)y′ + an(x)y = f(x), (8.42)

sendo f ]a, b[⊆ R→ R. Se f ≡ 0 a equacao diz-se homogenea.

8.6.1 Teoria geral

Comecemos por observar o seguinte teorema cuja demonstracao fica a cargo do leitor.

Teorema 8.6.1 Dadas funcoes contınuas ai :]a, b[⊆ R→ R (1 ≤ i ≤ n), a funcaoΦ definida do espaco vectorial real das funcoes de classe Cn no intervalo ]a, b[,Cn(]a, b[), para o espaco vectorial real das funcoes contınuas no mesmo intervalo,C(]a, b[), dada por

Φ(y) = y(n) + a1y(n−1) + · · ·+ an−1y

′ + an(x)y

e linear. Consequentemente

1. o integral geral da equacao homogenea associada a (8.42), Φ(y) = 0, e umsubespaco vectorial de Cn(]a, b[), precisamente o nucleo de Φ, Ker(Φ).

2. Para qualquer funcao contınua f ∈ C(]a, b[), o integral geral de (8.42) e daforma

Ker(Φ) + η

sendo η ∈ C(]a, b[) uma solucao particular qualquer da equacao, i.e., tal queΦ(η) = f . Por outras palavras: o integral geral da equacao (8.42) e a soma deuma solucao particular com o integral geral da equacao homogenea associada.

Aceitamos de momento sem demonstracao o teorema

Teorema 8.6.2 Suponha-se que x0 ∈]a, b[. Se as funcoes

ai, f :]a, b[⊆ R→ R (1 ≤ i ≤ n)

sao contınuas. Para qualquer (y0, · · · , yn−1) ∈ Rn existe uma e uma so solucao daequacao (8.42), y :]a, b[⊆ R→ R de classe Cn, satisfazendo as condicoes iniciais

y(x0) = y0, y(i)(x0) = yi (0 ≤ i ≤ n− 1).

8.6. EQUACOES LINEARES DE ORDEM N 815

Uma consequencia muito importante deste teorema:

Teorema 8.6.3 O integral geral da equacao homogenea associada a (8.42) e umespaco vectorial real de dimensao n.

Dem. De acordo com o teorema 8.6.1, o integral geral e o espaco vectorial Ker(Φ).Fixe-se x0 ∈]a, b[. Considere-se mais a funcao linear Ψ : Cn(]a, b[) → Rn dada por

Ψ(y) = (y(x0), y′(x0), · · · , y(n−1)(x0)). (8.43)

Tomando f ≡ 0, o teorema 8.6.2 diz exactamente que Ψ e um isomorfismo de Ker(Φ)em Rn, consequentemente Ker(Φ), ou seja o integral geral da equacao homogeneaem causa, tem dimensao n. 2

Em face deste resultado, encontradas n solucoes linearmente independentes de

y(n) + a1(x)y(n−1) + · · ·+ an−1(x)y′ + an(x)y = 0, (8.44)

digamos y1, · · · , yn tambem chamado sistema fundamental de solucoes, e umasolucao particular de (8.42), digamos η, o integral geral de (8.42) e dado por

η + λ1y1 + · · · + λnyn (λ1, · · · , λn ∈ R). (8.45)

Definicao 8.6.1 O Wronskiano das funcoes yi :]a, b[→ R (1 ≤ i ≤ n ∈ N), comderivadas pelo menos ate a ordem n− 1, e a funcao definida por

W (y1, · · · , yn)(x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

y1(x) y2(x) · · · yn(x)y′1(x) y′2(x) · · · y′n(x)· · · · · · · · · · · ·

y(n−1)1 (x) y

(n−1)2 (x) · · · y

(n−1)n (x)

∣∣∣∣∣∣∣∣(8.46)

O Wronskiano e um instrumento para estudar a independencia linear

Teorema 8.6.4 Se y1, · · · , yn sao solucoes de (8.44) no intervalo ]a, b[, x0 ∈]a, b[e

W (y1, · · · , yn)(x0) 6= 0, (8.47)

entao y1, · · · , yn e um sistema fundamental de solucoes de (8.44).

Dem. Considere-se a funcao Ψ definida em (8.43). A condicao (8.47) implica queΨ(yi)| 1 ≤ i ≤ n e linearmente independente em Rn; como Ψ e um isomorfismo,y1, · · · , yn e linearmente independente em Ker(Φ). 2

Observando que x0 e arbitrario no teorema anterior, podemos concluir.

Corolario 8.6.1 Um conjunto y1, · · · , yn de solucoes de (8.44) no intervalo ]a, b[e linearmente independente se e apenas se W (y1, · · · , yn)(x) 6= 0 para qualquerx ∈]a, b[.


8.6.2 Exercıcios

1. Verifique que as funcoes indicadas sao solucoes da correspondente equacaohomogenea em R e decida se as funcoes sao linearmente independentes.

(a) y1 = x, y2 = erx; y′′′ − ry′′ = 0; (r ∈ R)

(b) y1 = cosx, y2 = senx; y′′ + y = 0

(c) y1 = x, y2 = x2, y3 = x3; y(4) = 0

(d) y1 = cosx, y2 = coshx; y(4) − y = 0

(e) y1 = x2, y2 = senx; y′′ + y = 0

2. Suponha que

y1(x) = x2, & y2(x) = x|x| (x ∈ R)

(a) Verifique que y1, y2 e linearmente independente.

(b) Verifique que W (y1, y2)(x) = 0 (x ∈ R).

(c) Ha contradicao com o corolario 8.6.1?

8.6.3 Equacoes lineares de coeficientes constantes

Se os coeficientes da equacao (8.42) sao constantes ficam-lhe associados um polinomiocaracterıstico

rn + a1rn−1 + · · ·+ an−1r + an (8.48)

e uma equacao caracterıstica

rn + a1rn−1 + · · ·+ an−1r + an = 0. (8.49)

Equacoes homogeneas

Pode encontrar-se um sistema fundamental de solucoes da equacao homogenea acusta das raızes do polinomio caracterıstico (um estudo completo deste assunto podeencontrar-se em [9]).

Teorema 8.6.5 Sejam ri (1 ≤ i ≤ k) as raızes reais (se existirem) do polinomiocaracterıstico com multiplicidades respectivamente mi (1 ≤ i ≤ k), e aj +ibj (1 ≤j ≤ s) as suas raızes complexas (se existirem) com multiplicidades respectivamenteMj (1 ≤ i ≤ k). As funcoes da forma

yp(x) = xperix (0 ≤ p ≤ mi; 1 ≤ i ≤ k)

wp(x) = xpeajxcos(bjx) (0 ≤ p ≤ Mj; 1 ≤ j ≤ s)

zp(x) = xpeajxsen(bjx) (0 ≤ p ≤ Mj; 1 ≤ j ≤ s).

(8.50)

formam um sistema fundamental de solucoes da equacao homogenea associada a8.42.

8.6. EQUACOES LINEARES DE ORDEM N 817

Equacoes nao homogeneas. Variacao de constantes

Ainda e possıvel definir condicoes que nos permitem obter uma solucao particularda equacao 8.42, mesmo no caso em que f 6≡ 0.

Teorema 8.6.6 Suponha-se que y1, · · · , yn e um sistema fundamental de solucoesda equacao homogenea associada a (8.42) em algum intervalo I :=]a, b[⊆ R e quex0 ∈ I. Defina-se, para 1 ≤ k ≤ n; x ∈ I,

Wk(x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

y1(x) y2(x) · · · 0 · · · yn(x)y′1(x) y′2(x) · · · 0 · · · y′n(x)· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

y(n−1)1 (x) y

(n−1)2 (x) · · · f(x) · · · y

(n−1)n (x)

∣∣∣∣∣∣∣∣k︸︷︷︸

uk(x) =

∫ x

x0

Wk(t)

W (y1, y2, · · · , yn)(t)dx.

A funcao

η(x) :=n∑

k=1

uk(x)yk(x) (x ∈ I)

e solucao de (8.42).

Dem. (para equacoes de segunda ordem; a generalizacao e muito natural)

Suponhamos que y1, y2 e sistema fundamental de solucoes da equacao homogeneaassociada a

y′′ + ay′ + by = f(x). (8.51)

Procuramos uma solucao desta equacao (8.51) de forma

η(x) := u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x)

onde as ui sejam funcoes diferenciaveis. Tera entao de verificar-se o seguinte

(u1y1 + u2y2)′′ + a(u1y1 + u2y2)

′ + b(u1y1 + u2y2) = f.

Desenvolvendo e agrupando adequadamente vira

u1(y′′1 + ay′1 + by1) + u2(y

′′2 + ay′2 + by2) + (y1u

′′1 + y2u

′′2)

+ 2(y′1u′1 + y′2u

′2) + a(y1u

′1 + y2u

′2)

= f

Como as yi sao solucoes da equacao homogenea, esta equacao e equivalente a

(y1u′′1 + y2u

′′2) + 2(y′1u

′1 + y′2u

′2) + a(y1u

′1 + y2u

′2) = f,

por sua vez equivalente a

(y1u′1 + y2u

′2)′ + (y′1u

′1 + y′2u

′2) + a(y1u

′1 + y2u

′2) = f ; (8.52)


sey1u

′1 + y2u

′2 = 0,

a equacao (8.52) reduz-se ay′1u

′1 + y′2u

′2 = f.

bastar-nos-a entao que as funcoes ui verifiquem, para todos os x ∈ I, o sistema

y1(x)u′1(x) + y2(x)u′2(x) = 0y′1(x)u′1(x) + y′2(x)u′2(x) = f(x).

Este e um sistema linear em u′1(x), u′2(x) que se pode representar

[y1(x) y2(x)y′1(x) y′2(x)

] [u′1(x)u′2(x)

]=

[0

f(x).

]

Como as yi sao linearmente independentes

∣∣∣∣y1(x) y2(x)y′1(x) y′2(x)

∣∣∣∣ = W (y1, y2)(x) 6= 0

pelo teorema 8.6.4 e os sistemas sao de Cramer e terao solucao

u′1(x) =

∣∣∣∣0 y2(x)

f(x) y′2(x)

∣∣∣∣W (y1, y2)(x)

u′2(x) =

∣∣∣∣y1(x) 0y′1(x) f(x)

∣∣∣∣W (y1, y2)(x)

.

Estas equacoes serao satisfeitas se

u1(x) =

∫ x

x0

W1(x)

W (y1, y2)(x)dx u2(x) =

∫ x

x0

W2(x)

W (y1, y2)(x)dx

2

Capıtulo 9

Sistemas lineares (forma normal)

Este capıtulo tambem pode completar-se com [9] e o I capıtulo do volume III de [8].

9.1 A primeira ordem e suficiente

Um sistema de equacoes diferenciais de primeira ordem, na forma normal, e umconjunto de equacoes

y′i = fi(x, y1, · · · , yn)

1 ≤ i ≤ n,(9.1)

onde cada fi : A ⊆ Rn+1 → R. Uma condicao inicial tera a forma

yi(x0) = αi ∈ R (1 ≤ i ≤ n)

Uma solucao do sistema num certo intervalo I :=]a, b[⊆ R sera um conjunto defuncoes diferenciaveis φi :]a, b[→ R (1 ≤ i ≤ n) tais que

φ′i(x) = fi(x, φ1(x), · · · , φn(x))

(x ∈ I) (1 ≤ i ≤ n),

Se o sistema envolver derivadas de ordem superior, pode reduzir-se a primeira ordempor substituicao adequada das incognitas; por exemplo

y′′1 = xy1 + y′1 − exy2 + x

y′′2 = y′1 − y′2

e equivalente ao sistema

y′1 = u1

y′2 = u2

u′1 = xy1 + u1 − exy2 + x

u′2 = u1 − u2

901

902 CAPITULO 9. SISTEMAS LINEARES (FORMA NORMAL)

9.2 Sistemas de primeira ordem

Esta seccao e particularmente inspirada pelo I capıtulo de III volume de [8]

9.2.1 Generalidades

Salvo observacao em contrario, as funcoes f sao contınuas e tao diferenciaveisquanto necessario. Vamos tratar apenas sistemas da forma

y′ = f(x, y) = A(x)y + B(x) (9.2)

y(x) = (y1(x), · · · , yn(x))

yi : I ⊆ R→ R (1 ≤ i ≤ n)

y0 = (y01, · · · , y0n)

aij : I ⊆ R→ R (1 ≤ i, j ≤ n)

B(x) = (b1(x), · · · , bn(x))

bi : I ⊆ R→ R (1 ≤ i ≤ n; n ∈ N)

Proposicao 9.2.1 Uma equacao diferencial linear

y(n) +n∑

i=1

ai(x)y(n−i) = b(x)

e equivalente ao sistema linear

y′1y′2y′3· · ·

y′n−1

y′n

=

0 1 0 · · · 0 00 0 1 · · · 0 0· · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · 0 1

−an(x) −an−1(x) −an−2(x) · · · −a2(x) −a1(x)

y1

y2

y3

· · ·yn−1

yn

+

000· · ·0

b(x)

comyi = y(i−1) (1 ≤ i ≤ n)

Teorema 9.2.1 O integral geral de (9.2) e o espaco afim de dimensao n soma dointegral geral h da equacao homogenea

y′ = A(x)y (9.3)

com uma solucao particular η

η′ = A(x)η + B(x). (9.4)

y = h + η (9.5)

9.2. SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM 903

Dem. Dados espacos vectoriais, digamos reais e uma aplicacao linear entre elesΦ : E → F , entao

∀x ∈ E Φ−1(Φ(x)

)= x + Φ−1(0).

2

Teorema 9.2.2 Sejam quais forem (x0, y0) ∈ I × Ω, o problema de Cauchy

y′ = A(x)y + B(x)

y(x0) = y0

(9.6)

tem uma e so uma solucao.

Dem. Pode demonstrar-se verificando como e aplicavel teorema de Existencia eUnicidade 10.2.2 a funcao (x, y) 7→ A(x)y + B(x).

Definicao 9.2.1 Se φ1, · · · , φn sao solucoes linearmente independentes do sistemahomogeneo (9.3) a matriz n× n

Φ(x) =[φ1(x) · · · φn(x)

]=

φ11(x) · · · φn1(x)· · · · · · · · ·

φ1n(x) · · · φnn(x)

diz-se uma matriz fundamental de solucoes.

Proposicao 9.2.2 Se[φ1(x) · · · φn(x)

]e uma matriz fundamental de solucoes,

o integral geral de (9.3) e dado por[φ1(x) · · · φn(x)

]C (C ∈ Rn)

Dem. C proporciona as constantes arbitrarias e o conjunto de solucoes e um espacovectorial de dimensao n, de funcoes de uma variavel real com valores em Rn tendopor base o conjunto das Φi.

Teorema 9.2.3 (Variacao de constantes)

Considere-se o sistema (9.2), sejam Φ uma matriz fundamental de solucoes do sis-tema homogeneo (9.3) e C : I → Rn uma funcao tal que

C ′ = Φ−1B. (9.7)

A solucao de (9.2) e da formay = ΦC

Dem.

Φ′ = AΦ

Φ′C = AΦC

(ΦC)′ = φ′C + ΦC ′

= A(ΦC) + B

Note-se que C ja inclui uma constante arbitraria n-dimensional . 2


Teorema 9.2.4

1. Quando ∅ 6= C ⊆ R, todos os elementos de C sao distintos e v ∈ Rn,eλxv| λ ∈ C e linearmente independente.

2. Quando B ⊆ Rn e e linearmente independente tambem eλxv| v ∈ B e linear-mente independente.

Dem. Exercıcio 4.

9.2.2 Matriz A constante

Multiplicidades iguais

Teorema 9.2.5 Suponha-se que λ ∈ R e V ∈ Rn. A funcao x 7→ eλxV e solucaonao trivial de y′ = Ay sse λ e valor proprio de A associado ao vector proprio V 6= 0.

Dem. Exercıcio 5

Corolario 9.2.1 Se A tem n valores proprios reais distintosλi (1 ≤ i ≤ n) e os Vi ∈ Rn \ −→0 (1 ≤ i ≤ n) constituem uma base de vectoresproprios associada, uma matriz fundamental de solucoes sera

[eλ1xV1 · · · eλnxVn

]

Dem. Exercıcio 6

Corolario 9.2.2 Se A tem valores proprios complexos simples aj ± iβj

(1 ≤ j ≤ k ≤ n), com vectores proprios (nao nulos) associados respectivamenteVj = Uj + iWj (Uj,Wj ∈ Rn) e Vj, e valores proprios reais λp (1≤ p≤m) simplesdistintos, de modo que

2k + m = n

cada valor proprio real dara lugar a solucao eλpx e cada valor complexo dara lugaras solucoes

eajx(cos(bx)Uj − sen(bjx)Wj

)eajx

(cos(bx)Uj + sen(bjx)Wj

).

O conjunto de todas as solucoes descritas e um sistema fundamental.

Dem. Exercıcio 7

Multiplicidade algebrica superior

Quando as multiplicidades do valor proprio λ sao distintas, procurar-se-ao tambemsolucoes da forma

φ(x) = eλx(V0 + xV1 + · · ·+ xkVk) & Vi ∈ Rn (1 ≤ i ≤ k)

para valores adequados de k

9.2. SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM 905

1. Determinam-se as solucoes correspondentes a cada valor proprio de multipli-cidades iguais (se existirem) – uma funcao eλxV ou por cada valor proprio λe vector proprio associado independente V , com adaptacao adequada no casode valores proprios imaginarios.

2. λ e valor proprio com multiplicidade algebrica superior a multiplicidade geometricam

(a) B uma base do espaco proprio associado a λ.

(b) V ∈ B(c) x 7→ eλxV

(d) Vk := V & (A− λI)Vk−m = (k −m + 1)Vk−m+1 (1 ≤ m ≤ k)

Transformada de Laplace

Pode por exemplo utilizar-se a Transformada de Laplace para resolver problemas devalores iniciais com condicao inicial em 0: se entendermos

Y (0) := (y1(0), · · · , yn(0)) L[Y ] := (L[y1], · · · ,L[yn]) L[B] := (L[b1], · · · ,L[bn])

O sistema (9.2) toma a forma

sL[Y ](s)− Y (0) = A× L[Y ](s) + L[B](s)

e quando s nao e valor proprio de A

L[Y ](s) = (sI − A)−1 × (Y (0) + L[B](s)) ;

formula que nos da transformadas definidas para qualquer s maior que o maximodos valores proprios de A. Por inversao, podem obter-se solucoes Y .

Se A e diagonalizavel, digamos que os seus valores proprios sao λ1, · · · , λn, even-tualmente repetidos de acordo com a multiplicidade geometrica, e T e uma matrizdiagonalizadora, i.e., por exemplo,

T−1AT =

λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0· · · · · · · · · · · ·0 0 · · · λn

a substituicao Y = TZ, com Z = (z1, · · · , zn), reduz o sistema a outro equivalente

Z ′ = (T−1AT )Z + T−1B(x)

onde as equacoes sao explicitamente da forma

z′i = λizi + βi(x) (1 ≤ i ≤ n) (β1(x), · · · , βn(x)) = T−1B(x)


Exponencial de matriz

Complete-se com o III volume de [8].

exA := I +∑n≥1

xn

n!An

Teorema 9.2.6 exA e matriz fundamental de solucoes da equacao homogenea (9.3).

9.2.3 Exercıcios

1. Demonstre a proposicao 9.2.1.

2. Complete a demonstracao do teorema 9.2.1.

3. Complete a demonstracao da proposicao 9.2.2.


SUG.: Prove (9.9) por inducao em n ou proceda de acordo com a orientacaoseguinte.

(a) Uma matriz de Vandermonde e uma matriz da forma

Vn =

1 1 · · · 1λ1 λ2 · · · λn

λ21 λ2

2 · · · λ2n

......

......

λn−11 λn−1

2 · · · λn−1n

(λi ∈ C; 1 ≤ i ≤ n ∈ N)

e cada determinante de Vn, det(Vn), diz-se um determinante de Van-dermonde.

i. Verifique que quando os λi sao todos distintos, sao precisamente asraızes da equacao

det

1 1 · · · 1 1λ1 λ2 · · · λn λλ2

1 λ22 · · · λ2

n λ2

......

......

...λn−1

1 λn−12 · · · λn−1

n λn−1

λn1 λn

2 · · · λnn λn

= 0. (9.8)

ii. Conclua que

det(Vn) =n∏

i<j;1

(λj − λi) . (9.9)

(b) Use o teorema 8.6.4.

5. Demonstre o teorema 9.2.5

9.3. SISTEMA LINEARES DE ORDEM SUPERIOR 907

6. Demonstre o corolario 9.2.1

7. Demonstre o corolario 9.2.2


9.3 Sistema lineares de ordem superior

Referiremos apenas sistemas de coeficientes constantes. Complete-se com [9].

Para n ∈ N; ai ∈ R (1 ≤ i ≤ n), entenda-se

y(n) +∑n

1=1 aiy(n−i) = Dny +

∑n1=1 aiD

(n−i)y=

[Dn +

∑n1=1 aiD

(n−i)]y

= P (D)y(9.10)

Os sistemas designados no tıtulo, quando tem o mesmo numero de incognitas e deequacoes, podem ser descritos na forma

P11(D) P12(D) · · · P1n(D)P21(D) P22(D) · · · P2n(D)

...... · · · ...

Pn1(D) Pn2(D) · · · Pnn(D)

Y = F (x) (9.11)

M(D)Y = F (x), (9.12)

sendo Y (x) =(y1(x), y2(x), · · · , yn(x)

), F (x) =

(f1(x), f2(x), · · · , fn(x)

) ∈ Rn.Actuando na matriz ampliada

P11(D) P12(D) · · · P1n(D) | f1

P21(D) P22(D) · · · P2n(D) | f2...

... · · · ... | ...Pn1(D) Pn2(D) · · · Pnn(D) | fn

Por condensacao com polinomios diferenciais apropriados, o sistema e redutıvel aum sistema diagonal

Q11(D) Q12(D) · · · Q1n(D) | g1

0 Q22(D) · · · Q2n(D) | g2...

... · · · ... | ...0 0 · · · Qnn(D) | gn

que pode ser resolvido por iteracao.


9.4 Exercıcios

1. Resolva as seguintes equacoes diferenciais

(a) y′′ + 4y = cosx

(b) y′′ + 9y = sen(3x)

(c) y′′ + y = tan x (−π2

< x < π2)

(d) y′′ − 4y′ + 5y = 3e−x + x2

(e) y′′ − 7y′ + 6y = sin x

(f) y′′ + y = 2 sin x sin(2x))

(g) 6y′′ + 5y′ − 6y = x

(h) y′′ + y = sec x (−π2

< x < π2)

(i) 4y′′ − y = ex

(j) y′′′ − y′ = x

(k) y(4) + 16y = cosx

(l) y(4) − 4y(3) + 6y′′ − 4y′ + y = ex

(m) y(4) − y = cosx

2. Resolva os seguintes sistemas de equacoes diferenciais ou problemas de valoresiniciais.

(a)

y′1 = −4y1 − 6y2 + 9e−3t

y′2 = y1 + y2 − 5e−3t y1(0) = −9, y2(0) = 4

(b)

y′1 = −2y1 + y2

y′2 = −3y1 + 2y2 + 2sen t y1(0) = 3, y2(0) = 4

(c)

y′1 = y1 − 3e−2t

y′2 = −2y1 − y2 − 6e−2t

(d)

D2y1 + (D + 2)y2 = 2e−2t

Dy1 − (D + 2)y2 = 0 y1(0) = 4, y2(0) = 1, y′1(0) = −2

(e)

(2D + 1)y1 + (D2 − 4)y2 = −7e−t

Dy1 − (D + 2)y2 = −3e−t

(f)

(D + 2)y1 + (D2 + 2D)y2 = 5e−t

(D + 1)y1 − (D + 2)y2 = 0

(g)

(D2 + 1)y1 + 2Dy2 = 0−3(D2 + 1)y1 + 2(D2 + 2)y2 = 0

y1(0) = y2(0) = 1 y′1(0) = 0 y′2(0) = −1

(h)

(D3 − 2D2 + 3D)y1 + (2D2 − 8)y2 = 4− 6t

Dy1 − (D + 2)y2 = −2t

9.4. EXERCICIOS 909

3. Resolva os seguintes sistemas de equacoes diferenciais.

(a)

Dy1 = −y1 + y2

Dy2 = 2y1 − 2y2 + 2x3

Dy3 = −y2 + y3

(b)

Dy1 = y1 − 2y2 − t2

Dy2 = y1 + x3 − 1− t2

Dy3 = −2y1 + 2y2 − y3

+2t2 + 2t

(c)

Dy1 = y1 + y2

Dy2 = −2y1 + y2 − 2x3 + e2t

Dy3 = −y2 + y3

(d)

Dy1 = y1 − 3y2 + 2x3

Dy2 = −2y2 + 2y3

Dy3 = y1 − 5y2 + 2y3

(e)

Dy1 = −y1 + y3

Dy2 = 2x3

Dy3 = y1 − 2y2 − 3y3

(f)

Dy1 = y1 − x3 + cos tDy2 = −y2 − y3 + sen tDy3 = −2y3 + cos t + 2sen t

Capıtulo 10

Existencia e unicidade

10.1 Continuidade (muito) elementar

Qualquer funcao g : A ⊆ R → R2 tem duas componentes g1, g2 : A ⊆ R → R2 taisque

g(x) = (g1(x), g2(x)) (x ∈ A).

Definicao 10.1.1

1. Uma funcao g : A ⊆ R → R2 diz-se contınua em a ∈ A se qualquer dascondicoes (equivalentes) seguintes se verificar

(a) Para qualquer sucessao numerica xn → a, tal que xn ∈ A (n ∈ N), setem g1(xn) → g1(a) e g2(xn) → g2(a)

(b) ∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀(x, y) ∈ D [|x− a| < ε ⇒ ‖g(x)− g(a)‖ < δ];

(c) As funcoes coordenadas gi sao contınuas em a.

A funcao g sera contınua se o for em todos os pontos de A.

2. Uma funcao f : D ⊆ R2 → R diz-se contınua em (a, b) ∈ D se qualquer dascondicoes (equivalentes) seguintes se verificar

(a) Para quaisquer sucessoes numericas xn → a1, yn → ap, tais que (xn, yn) ∈D (n ∈ N), se tem f(xn, yn) → f(a, b)

(b) ∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀(x, y) ∈ D [‖(x, y)− (a, b)‖ < ε ⇒ ‖f(x, y)− f(a, b)‖ < δ];

A funcao f sera contınua se o for em todos os pontos de D.

1001

1002 CAPITULO 10. EXISTENCIA E UNICIDADE


Teorema 10.1.1 Se f : D ⊆ R2 → R e g : A ⊆ R → D sao funcoes contınuas,entao f g : A → Rq e contınua.

10.1.1 Exercıcios


2. De exemplos de

(a) Uma funcao f : R2 → R contınua em R2 \(0, 0) e descontınua em (0, 0)

(b) Duas funcoes g : R → R2 e f : R2 → R ambas descontınuas, mas cujacomposicao seja contınua.

10.2 Existencia e unicidade

Um problema de Cauchy pode ter varias solucoes, como se pode ver com o exemploseguinte.

Exemplo 10.2.1 O problema de valores iniciais

y′ = 3y

23

y(0) = 0 (x ∈ R)

tem, para alem da solucao nula, uma infinidade de solucoes

y(x) =

(x− α)3 x ≤ α ≤ 0

0 α ≤ x ≤ β ≥ 0

(x− β)3 β ≤ x.

Passamos estudar condicoes de unicidade.

Lema 10.2.1 Seja f : D ⊆ R2 → R uma funcao contınua e suponha-se que (0, y0) ∈D. O problema de valores iniciais

y′ = f(x, y)

y(0) = y0

(10.1)

e equivalente a equacao integral

y(x) = y0 +

∫ x

0

f(s, y(s))ds (10.2)

10.2. EXISTENCIA E UNICIDADE 1003

Dem. Suponhamos que y e solucao de (10.1) em ]a, b[. Para qualquer x ∈]a, b[,

y(x) = y(0) +

∫ x

0

y′(t)dt

= y0 +

∫ x

0

f(s, y(s))dt.

Reciprocamente, se y e solucao do problema integral (10.2), como s 7→ f(s, y(s)) econtınua (definicao 10.1.1.1c) e, pelo Teorema Fundamental do Calculo,

y′ =d

dx

(y0 +

∫ x

0

f(s, y(s))ds

)

= f(x, y(x))

2

Lema 10.2.2 Sejam f : D ⊆ R2 → R uma funcao contınua, yn : I ⊆ R → R umasucessao de funcoes e y : I ⊆ R→ R uma funcao tais que

∀x ∈ I ∀n ∈ N (x, yn(x)) ∈ D

∀x ∈ I (x, y(x)) ∈ D

yn converge uniformemente para y em I

f(x, yn(x)) converge uniformemente para f(x, y(x)) em I

Nestas condicoes y(x) = y0 +∫ x

0f(s, y(s))ds (x ∈ I)

Dem. Esta e uma consequencia praticamente imediata do lema 5.1.1.3, tomandofn(x) := f(x, yn(x)). 2

Teorema 10.2.1 Suponha que

D = ]− α, α[×]− β, β[⊆ R2,

f : D → R e contınua e

sup|f(x, y)| (x, y) ∈ D ≤ M, (10.3)

f e Lipschitziana na segunda variavel, i.e., para certo L ∈ R∀x ∈]− α, α[ ∀y, z ∈]− β, β[ |f(x, y)− f(x, z)| ≤ L|y − z|, (10.4)

Mα < β & Lα < 1. (10.5)

Nestas condicoes, a sucessao yn de funcoes definidas em ]− α, α[→ R dada por

y1(x) ≡ 0 (10.6)

yn+1(x) =

∫ x

0

f(s, yn(s))ds (n ∈ N) (10.7)

converge uniformemente para uma solucao y :]− α, α[→ R do problema de Cauchy

y′ = f(x, y)

y(0) = 0(10.8)

e essa solucao e a unica tal que ∀x ∈]− α, α[ (x, y(x)) ∈ D.


Dem. Vejamos em primeiro lugar que

∀x ∈]− α, α[∀n ∈ N (x, yn(x)) ∈ D.

Isto e∀x ∈]− α, α[∀n ∈ N |yn(x))| < β. (10.9)

Como y1(x) = 0, (10.9) e trivialmente valida; se for verdadeira para n tem-se

|yn+1(x)| =

∣∣∣∣∫ x

0

f(s, yn(s))ds

∣∣∣∣≤ max|f(s, yn(s))| : s esta entre 0 e x|x− 0|< sup|f(s, t)| : (s, t) ∈ Dα≤ Mα

< β (10.13),

consequentemente (x, yn+1(x)) ∈ D; pelo Princıpio de Inducao, (10.9) esta provada.

Observando que, para qualquer n > 1 e qualquer x ∈]− α, α[,

|yn+1(x)− yn(x)| =

∣∣∣∣∫ x

0

f(s, yn(s))− f(s, yn−1(s))ds

∣∣∣∣≤ L sup|yn(x)− yn−1(x)| : |x| < αα

podemos concluir, por inducao, que para qualquer n > 1,

sup|yn+1(x)− yn(x)| : |x| < α ≤ Lα sup|yn(x)− yn−1(x)| : |x| < α

e daı que, para qualquer n ≥ 1,

sup|yn+1(x)− yn(x)| : |x| < α ≤ β(Lα)n−1

ou ainda∀x ∈]− α, α[ |yn+1(x)− yn(x)| ≤ β(Lα)n−1. (10.10)

Como ∞∑n=1

β(Lα)n−1 = β

∞∑n=1

(Lα)n−1 =β

1− Lα∈ R,

Pelo criterio de Weierstrass (teorema 5.1.2), a serie de termo geral yn+1(x) − yn(x)converge uniformemente para uma funcao contınua, y :]− α, α[→ R e tem-se

yn(x) =n∑

i=2

yn(x)− yn−1(x) → y(x) (|x| < α)

uniformemente, o que tambem implica ser uniforme a convergenciaf(x, yn(x)) → f(x, y(x)) em ]− α, α[ pois

|f(x, yn(x))− f(x, y(x))| ≤ L|yn(x)− y(x)|.

10.2. EXISTENCIA E UNICIDADE 1005

Pode entao aplicar-se o lema 10.2.2 e concluir

y(x) =

∫ x

0

f(s, y(s))ds.

Finalmente, em face do lema 10.2.1, so resta demonstrar que y e a unica solucaotal que (x, y(x)) ∈ D (|x| < α). Ora se z :] − α, α[→ ] − β, β[ e outra solucao domesmo problema tem-se, para qualquer x ∈]− α, α[,

|y(x)− z(x)| =

∣∣∣∣∫ x

0

f(s, y(s))− f(s, z(s))ds

∣∣∣∣≤ (Lα) sup|y(x)− z(x)| : |x| < α

ou seja

sup|y(x)− z(x)| : |x| < α ≤ (Lα) sup|y(x)− z(x)| : |x| < α.

ComoLα < 1, tal so e possıvel se sup|y(x)− z(x)| : |x| < α = 0, i.e., se y = z. 2

Teorema 10.2.2 Suponha que

D = ]x0 − α, x0 + α[×]y0 − β, y0 + β[⊆ R2,

f : D → R e contınua e

sup|f(x, y)| (x, y) ∈ D ≤ M, (10.11)

f e Lipschitziana na segunda variavel, i.e., para certo L ∈ R

∀x ∈]x0 − α, x0 + α[ ∀y, z ∈]− β, β[ |f(x, y)− f(x, z)| ≤ L|y − z|, (10.12)

Mα < β & Lα < 1. (10.13)

Nestas condicoes, a sucessao yn de funcoes definidas em ]x0 − α, x0 + α[→ R dadapor

y0(x) ≡ y0 (10.14)

yn+1(x) = y0 +

∫ x

0

f(s, yn(s))ds (n ∈ N0) (10.15)

converge uniformemente para uma solucao y :]x0 − α, x0 + α[→ R do problema deCauchy

y′ = f(x, y)

y(x0) = y0

(10.16)

e essa solucao e a unica tal que ∀x ∈]x0 − α, x0 + α[ (x, y(x)) ∈ D.


Dem. Nas condicoes do enunciado defina-se

F (x, u) = f(x + x0, u + y0) (|x| < α; |u| < β)

u(x) = y(x + x0)− y0 (|x| < α)

e observe-se que o problema (10.2) fica equivalente a

u′ = F (x, u)

u(0) = 0

com |x| < α, |u| < β. Aplique-se o teorema 10.2.1 para concluir a existencia eunicidade da solucao y da existencia e unicidade da solucao u, ja que

y(x) = u(x− x0) + y0 ∈]y0 − β, y0 + η[ (|x− x0| < α).

2

10.3 O Lema de Gronwall

O seguinte Teorema de Peano e um dos resultados mais importantes da AnaliseMatematica e a sua demonstracao extravasa muito o contexto destas notas.

Teorema 10.3.1 (de Peano) Se a < b & c < d, f :]a, b[×]c, d[⊆ R2 → R e umafuncao contınua e(x0, y0) ∈]a, b[×]c, d[, entao existe ε > 0 tal que, o problema de Cauchy

y′ = f(x, y)

y (x0) = y0(10.17)

tem solucao unica em ]x0 − ε, x0 + ε[.

Em conjunto com o Lema de Gronwall – teorema interessante em si mesmo – o teo-rema de Peano (10.3.1) proporciona outra forma de garantir as existencia e unicidadede solucao.

As demonstracoes dos dois lemas seguintes sao analogas e so demonstramos o se-gundo (teorema 10.3.2)

Lema 10.3.1 (De Gronwall 1) Se a funcao ϕ : [a, b] ⊆ R→ R e contınua e paracertos C, L ∈ R+

0 satisfaz

0 ≤ ϕ(x) ≤ C + L

∫ x

a

ϕ(t)dt (x ∈ [a, b]), (10.18)

entao∀x ∈ [a, b] ϕ(x) ≤ CeL(x−a) (10.19)

Analogamente

10.3. O LEMA DE GRONWALL 1007

Lema 10.3.2 (De Gronwall 2) Se a funcao ϕ : [a, b] ⊆ R→ R e contınua e paracertos C,L ∈ R+

0 satisfaz

0 ≤ ϕ(x) ≤ C + L

∫ b

x

ϕ(t)dt (x ∈ [a, b]), (10.20)

entao∀x ∈ [a, b] ϕ(x) ≤ CeL(b−x) (10.21)

Dem. (esquematica)

Φ(x) := C + L

∫ b

x

ϕ(t)dt (x ∈ [a, b])

Φ′(x) = −Lϕ(x) ≥ −LΦ(x)

d

dx

(eLxΦ(x)

) ≥ 0

eLxϕ(x) ≤ eLxΦ(x) ≤ eLbΦ(b) = CeLb (a ≤ x ≤ b)

2

Teorema 10.3.2 Se a < b e c < d, f e contınua e L−Lipschitziana em y em]a, b[×]c, d[, entao para algum ε > 0 o problema (10.17) tem solucao unica φ definidaem ]x0 − ε, x0 + ε[.

Dem.: O teorema de Peano, 10.3.1, garante a existencia dc solucao; suponha-se queφ e ψ sao duas solucoes de (10.17) em ]x0 − ε, x0 + ε[.

Em [x0, x0 + ε]

|φ(x)− ψ(x)| =

∣∣∣∣y0 − y0 +

∫ x

x0

f(t, φ(t))− f(t, ψ(t))dt

∣∣∣∣

≤∫ x

x0

∣∣f(t, φ(t))− f(t, ψ(t))∣∣dt

≤ 0 + L

∫ x

x0

∣∣φ(t)− ψ(t)∣∣dt

Pelo primeiro lema de Gronwall (10.3.1)

|φ(x)− ψ(x)| ≤ 0eL(x−x0) = 0. (10.22)

Em [x0 − ε, x0]

|φ(x)− ψ(x)| =

∣∣∣∣y0 − y0 +

∫ x

x0

f(t, φ(t))− f(t, ψ(t))dt

∣∣∣∣

≤∫ x0

x

∣∣f(t, φ(t))− f(t, ψ(t))∣∣dt

≤ 0 + L

∫ x0

x

∣∣φ(t)− ψ(t)∣∣dt

Pelo segundo lema de Gronwall (10.3.2)

|φ(x)− ψ(x)| ≤ 0eL(x0−x) = 0. (10.23)


2

10.3.1 Funcoes implıcitas

Considere-se o seguinte Teorema da Funcao Implıcita:

Teorema 10.3.1 Suponha-se que G : Ω ⊆ R2 → R e de classe C1 e que

(a, b) ∈ Ω (10.24)

G(a, b) = k (10.25)

∂G

∂y(a, b) 6= 0. (10.26)

Nestas condicoes, existem ε, δ > 0 e uma funcao diferenciavely : I :=]a− ε, a + ε[→ J :=]b− δ, b + δ[ tais que

y(a) = b (10.27)

∀x ∈ I G(x, y(x)) = k (10.28)

Dem. Por (10.26), existem α, β > 0 tais que

I1 × J1 :=]a− α, a + α[×]b− β, b + β[ ⊆ Ω (10.29)

I1 × J1 ⊆(

∂G

∂y

)−1

(R \ 0) (10.30)

pelo que a equacao diferencial

y′ = −∂G∂x

(x, y)∂G∂y

(x, y):= f(x, y) (10.31)

esta bem definida em em I1 × J1 e, pelo teorema de Peano, o problema de valoresiniciais

y′ = f(x, y)

y(a) = b(10.32)

tem solucao local de grafico contido em algum I × J ; tal solucaoverifica (10.28). 2

Bibliografia

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1009

Indice remissivo

ınfimo, 112

axiomade completude, 115

campoescalar, 805vectorial, 804

comparacaointegrais improprios, 704, 706series, 419

condicaoinicial, 801

conjugado, 117conjunto

indutivo, 105limitado

inferiormente, 110superiormente, 110

majorado, 110minorado, 110

continuidade uniforme, 122convergencia

pontual, 502uniforme, 502

corpo, 102ordenado, 102

completo, 115criterio

de Weierstrass, 504cume, 402curvas

equipotenciais, 806

derivada, 124lateral, 601parcial, 804

determinantede Vandermonde, 906

domıniode convergencia, 507

elementoneutro

da soma, 101do produto, 101

equacaocaracterıstica, 816diferencial, 801

homogenea, 814integral geral de, 801ordem de, 801solucao de, 801

exacta, 804homogenea, 902integral, 1002

extremante, 126absoluto, 126relativo, 126

extremo, 126absoluto, 126relativo, 126

formulade Barrow, 132

frequencia, 603angular, 603

funcaocontınua, 120de classe Ck, 301de ordem exponencial, 710diferenciavel, 124limitada, 123periodica, 603potencial, 804

gradiente, 804

infinitesimo, 407

1010

INDICE REMISSIVO 1011

integracaopor Partes, 133

integralimproprio, 701

absolutamente convergente, 706convergente, 701, 705de primeira especie, 701de segunda especie, 705divergente, 701, 705

intervalo, 109aberto, 109de convergencia, 507, 509fechado, 109ilimitado, 109limitado, 109semi-aberto, 109semi-fechado, 109

inverso, 102

lemade Gronwall, 1006

limite, 120lateral, 601sub-limite, 514

linhasde forca, 806

maximo, 112, 126absoluto, 126relativo, 126

modulo, 117mınimo, 112, 126

absoluto, 126relativo, 126

majorante, 110matriz

de Vandermonde, 906fundamental de solucoes, 903

maximizante, 126absoluto, 126relativo, 126

minimizante, 126absoluto, 126relativo, 126

minorante, 110monotonia

da soma, 102

semi-(.) do produto, 102

numerocomplexo, 116inteiro, 108irracional, 109, 115natural, 105negativo, 102positivo, 102racional, 108

notacao(un), (un)n∈N, 401>, ≥, ≤, 102R+, 506⊂, ⊆, 105N0, 506R+, 102ukn , 402

parteimagnaria, 117negativa, 135positiva, 135real, 117

particao, 422numeravel, 422

perıodo, 603permutacao, 422polinomio

caracterıstico, 816polinomio de Taylor, 301ponto

singular, 813Princıpio

de Boa Ordenacao, 108de Inducao, 105

problemade Cauchy, 801de valores iniciais, 801

propriedadeanti-reflexiva, 102associativa

da soma, 101do produto, 101

comutativada soma, 101do produto, 101

1012 INDICE REMISSIVO

distributiva, 102transitiva, 102tricotomica, 102

raiode convergencia, 506

regrada cadeia, 201de Cauchy-l’Hopital, 305

resto, 301de Cauchy, 302de Lagrange, 302integral, 302

seriealternada, 422convergente, 416

absolutamente, 422simplesmente, 422

de Dirichlet, 421de Fourier, 616de McLaurin, 510de Mengoli, 425de potencias, 506de Taylor, 510divergente, 416geometrica, 416harmonica, 419produto, 509

de Cauchy, 512somavel

por blocos, 422soma de -, 416telescopica, 425

seccao inicial, 108simetrico, 101singularidade, 813sistema fundamental, 815soma

de series, 418parcial, 416

subsucessao, 402sucessao

convergente, 405de funcoes, 501divergente, 405inversa, 412

limite de, 405supremo, 112

teoremada Funcao Composta

funcoes contınuas, 201funcoes diferenciaveis, 201

da Funcao Inversafuncoes contınuas, 203funcoes diferenciaveis, 203

da Media, 127, 134de Bolzano, 121de Euler, 118de Fermat, 126de Lagrange, 127de Mudanca de Variaveis, 133de Peano, 1006de Rolle, 126de Taylor, 301de Weierstrass, 123do Valor Medio, 127dos Acrescimos Finitos, 127Fundamental, 132fundamental, 118

termogeral, 416

trajectoriasortogonais, 808

transformada de Laplace, 709

valorabsoluto, 103

variacaode constantes, 817, 903

topicos¶ de analise matem¶ atica¶ -...

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