toan1 - chuong 6

Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so

Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N

� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng

Ng y 7 th¡ng 10 n«m 2010

� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N

Nëi dung ch½nh

H m sè mët bi¸n sè

Giîi h¤n d¢y sè

Giîi h¤n h m sè�ành ngh¾a, c¡c t½nh ch§tL÷ñng væ còng b², L÷ñng væ còng lînH m sè li¶n töc, gi¡n �o¤n

Nëi dung ch½nh

Giîi h¤n d¢y sè

Nëi dung ch½nh

Giîi h¤n d¢y sè

Giîi h¤n h m sè

�ành ngh¾a, c¡c t½nh ch§tL÷ñng væ còng b², L÷ñng væ còng lînH m sè li¶n töc, gi¡n �o¤n

Nëi dung ch½nh

Giîi h¤n d¢y sè

Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap

�ành ngh¾a

Cho tªp hñp sè thüc R . Mët ¡nh x¤ f tø R v o R �÷ñc gåi l mëth m sè thüc cõa mët bi¸n sè thüc, hay h m sè cõa mët bi¸n sè.

C¡c chó þ

Ph¦n tû x �÷ñc gåi l bi¸n sè �ëc lªp. Ph¦n tû y t÷ìngùng vîi x �÷ñc gåi l gi¡ trà cõa h m sè t¤i x , kþ hi»uy = f (x)

Mi·n x¡c �ành: D = {x ∈ R | ∃ f (x) }Mi·n gi¡ trà: Y = { f (x)| x ∈ D }

�ành ngh¾a

C¡c chó þ

�ành ngh¾a

C¡c chó þ

�ành ngh¾a

C¡c chó þ

Mi·n x¡c �ành: D = {x ∈ R | ∃ f (x) }

Mi·n gi¡ trà: Y = { f (x)| x ∈ D }

�ành ngh¾a

C¡c chó þ

V½ dö

Cho h m sèy =

√9− x2

Mi·n x¡c �ành?

D = [−3; 3]Mi·n gi¡ trà?Y = [0; 3]

V½ dö

Cho h m sèy =

√9− x2

Mi·n x¡c �ành?D = [−3; 3]

Mi·n gi¡ trà?Y = [0; 3]

V½ dö

Cho h m sèy =

√9− x2

Mi·n x¡c �ành?D = [−3; 3]Mi·n gi¡ trà?

Y = [0; 3]

V½ dö

Cho h m sèy =

√9− x2

Mi·n x¡c �ành?D = [−3; 3]Mi·n gi¡ trà?Y = [0; 3]

�ç thà cõa h m sè

�ành ngh¾a

Cho h m sè y = f (x) câ mi·n gi¡ trà D. Tªp t§t c£ c¡c �iºm tr¶nm°t ph¯ng Oxy : G = {M (x , y)| x ∈ D, y = f (x)} �÷ñc gåi l �çthà cõa h m sè.

V½ dö: Biºu di¹n �ç thà cõa h m sè f : D → R x¡c �ành bðif (x) = −x3 + 2x + 1 trong hai tr÷íng hñp

1 D = {−1, 0, 1}2 D = R

�ç thà cõa h m sè

�ành ngh¾a

Cho h m sè y = f (x) câ mi·n gi¡ trà D. Tªp t§t c£ c¡c �iºm tr¶nm°t ph¯ng Oxy : G = {M (x , y)| x ∈ D, y = f (x)} �÷ñc gåi l �çthà cõa h m sè.

V½ dö: Biºu di¹n �ç thà cõa h m sè f : D → R x¡c �ành bðif (x) = −x3 + 2x + 1 trong hai tr÷íng hñp

1 D = {−1, 0, 1}2 D = R

H m 1-1

�ành ngh¾a h m 1-1

H m y = f (x) �÷ñc gåi l h m 1-1 n¸u ∀x1 6= x2 ∈ D th¼f (x1) 6= f (x2)

Chó þ: H m y = f (x) l h m 1-1 khi v ch¿ khi khæng tçn t¤i�÷íng th¯ng n¬m ngang ct �ç thà nhi·u hìn mët �iºm.

H¼nh: H m 1-1

H m 1-1

H¼nh: H m 1-1

H m 1-1

H¼nh: H m 1-1� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N

H m ng÷ñc

�ành ngh¾a h m ng÷ñc

Cho y = f (x) l h m 1-1 vîi mi·n x¡c �ành D v mi·n gi¡ trà Y .H m ng÷ñc cõa h m y = f (x) l h m tø Y v o D, kþ hi»ux = f −1 (y), x¡c �ành bði x = f −1 (y)⇔ y = f (x)

H¼nh: H m ng÷ñc

H m ng÷ñc

�ành ngh¾a h m ng÷ñc

Cho y = f (x) l h m 1-1 vîi mi·n x¡c �ành D v mi·n gi¡ trà Y .H m ng÷ñc cõa h m y = f (x) l h m tø Y v o D, kþ hi»ux = f −1 (y), x¡c �ành bði x = f −1 (y)⇔ y = f (x)

H¼nh: H m ng÷ñc

�ç thà cõa h m sè ng÷ñc

Nhªn x²t

V¼ a = f −1 (b)⇔ b = f (a) n¶n (a, b) thuëc �ç thà h m sèy = f (x) khi v ch¿ khi (b, a) thuëc �ç thà cõa f −1

H¼nh: Nhªn x²t

Nhªn x²t

V¼ a = f −1 (b)⇔ b = f (a) n¶n (a, b) thuëc �ç thà h m sèy = f (x) khi v ch¿ khi (b, a) thuëc �ç thà cõa f −1

H¼nh: Nhªn x²t

K¸t luªn

�ç thà y = f (x) v �ç thà cõa f −1 �èi xùng vîi nhau qua �÷íngth¯ng y = x

V½ dö V³ �ç thà cõa h m y =√−x − 1 v �ç thà cõa h m sè

ng÷ñc

H¼nh: T½nh ch§t cõa �ç thà h m ng÷ñc

K¸t luªn

ng÷ñc

H¼nh: T½nh ch§t cõa �ç thà h m ng÷ñc

K¸t luªn

ng÷ñc

H¼nh: T½nh ch§t cõa �ç thà h m ng÷ñc� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N

C¡c h m sì c§p

�ành ngh¾a

C¡c h m sau �¥y �÷ñc gåi l c¡c h m sì c§p cì b£n:

1 H m h¬ng2 H m lôy thøa y = xα

3 H m mô y = ax ; a > 0, a 6= 14 H m logarit y = logax ; (a > 0, a 6= 1)5 H m l÷ñng gi¡c6 H m l÷ñng gi¡c ng÷ñc7 H m hypebolic

C¡c h m sì c§p

�ành ngh¾a

1 H m h¬ng

2 H m lôy thøa y = xα

C¡c h m sì c§p

�ành ngh¾a

C¡c h m sì c§p

�ành ngh¾a

3 H m mô y = ax ; a > 0, a 6= 1

4 H m logarit y = logax ; (a > 0, a 6= 1)5 H m l÷ñng gi¡c6 H m l÷ñng gi¡c ng÷ñc7 H m hypebolic

C¡c h m sì c§p

�ành ngh¾a

3 H m mô y = ax ; a > 0, a 6= 14 H m logarit y = logax ; (a > 0, a 6= 1)

5 H m l÷ñng gi¡c6 H m l÷ñng gi¡c ng÷ñc7 H m hypebolic

C¡c h m sì c§p

�ành ngh¾a

3 H m mô y = ax ; a > 0, a 6= 14 H m logarit y = logax ; (a > 0, a 6= 1)5 H m l÷ñng gi¡c

6 H m l÷ñng gi¡c ng÷ñc7 H m hypebolic

C¡c h m sì c§p

�ành ngh¾a

3 H m mô y = ax ; a > 0, a 6= 14 H m logarit y = logax ; (a > 0, a 6= 1)5 H m l÷ñng gi¡c6 H m l÷ñng gi¡c ng÷ñc

7 H m hypebolic

C¡c h m sì c§p

�ành ngh¾a

C¡c h m sì c§p

�ành ngh¾a

H m sì c§p l h m thu �÷ñc tø c¡c h m sì c§p cì b£n b¬ng c¡chsû döng húu h¤n c¡c ph²p to¡n: Cëng, trø, nh¥n, chia, khai c«n v ph²p hñp.

-Y¶u c¦u sinh vi¶n æn l¤i t½nh ch§t cõa h m �a thùc, h m ph¥nthùc, h m mô, h m logarit, h m l÷ñng gi¡c.

C¡c h m sì c§p

�ành ngh¾a

H m sì c§p l h m thu �÷ñc tø c¡c h m sì c§p cì b£n b¬ng c¡chsû döng húu h¤n c¡c ph²p to¡n: Cëng, trø, nh¥n, chia, khai c«n v ph²p hñp.

-Y¶u c¦u sinh vi¶n æn l¤i t½nh ch§t cõa h m �a thùc, h m ph¥nthùc, h m mô, h m logarit, h m l÷ñng gi¡c.

C¡c h m l÷ñng gi¡c ng÷ñc

X²t h m l÷ñng gi¡c y = sin x . Tr¶n �o¤n[−π

2; π2

], y = sin x l

h m 1-1. Do �â tçn t¤i h m ng÷ñc, kþ hi»u y = arcsin x .

H¼nh: �ç thà h m sin v h m arcsin

Nhªn x²t v· mi·n x¡c �ành v mi·n gi¡ trà?

2; π2

], y = sin x l

2; π2

], y = sin x l

Nhªn x²t v· mi·n x¡c �ành v mi·n gi¡ trà?� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N

X²t h m l÷ñng gi¡c y = cos x . Tr¶n �o¤n [0;π], y = cos x l h m1-1. Do �â tçn t¤i h m ng÷ñc, kþ hi»u y = arccos x .

H¼nh: �ç thà h m cos v h m arccos

H m arcsinx

Mi·n x¡c �ành:[−1; 1];Mi·n gi¡ trà

[−π

2; π2

]H m luæn luæn t«ng.H m arccosx

Mi·n x¡c �ành:[−1; 1];Mi·n gi¡ trà [0;π]H m luæn luæn gi£m.

H m arcsinx

Mi·n x¡c �ành:[−1; 1];

Mi·n gi¡ trà[−π

2; π2

H m arcsinx

[−π

2; π2

H m luæn luæn t«ng.H m arccosx

H m arcsinx

[−π

2; π2

H m arcsinx

[−π

2; π2

Mi·n x¡c �ành:[−1; 1];

Mi·n gi¡ trà [0;π]H m luæn luæn gi£m.

H m arcsinx

[−π

2; π2

Mi·n x¡c �ành:[−1; 1];Mi·n gi¡ trà [0;π]

H m luæn luæn gi£m.

H m arcsinx

[−π

2; π2

X²t h m l÷ñng gi¡c y = tan x . Tr¶n kho£ng(−π

2; π2

), y = tan x l

h m 1-1. Do �â tçn t¤i h m ng÷ñc, kþ hi»u y = arctan x .

H¼nh: �ç thà h m tan v h m arctan

2; π2

), y = tan x l

2; π2

), y = tan x l

X²t h m l÷ñng gi¡c y = cot x . Tr¶n kho£ng (0;π), y = cot x l h m 1-1. Do �â tçn t¤i h m ng÷ñc, kþ hi»u y = arccotx .

H¼nh: �ç thà h m cot v h m arccot

X²t h m l÷ñng gi¡c y = cot x . Tr¶n kho£ng (0;π), y = cot x l h m 1-1. Do �â tçn t¤i h m ng÷ñc, kþ hi»u y = arccotx .

H¼nh: �ç thà h m cot v h m arccot

H m arctanx

Mi·n x¡c �ành:R ;Mi·n gi¡ trà

(−π2;π

)H m luæn luæn t«ng.H m arccotx

Mi·n x¡c �ành:R ;Mi·n gi¡ trà (0;π)H m luæn luæn gi£m.

H m arctanx

Mi·n x¡c �ành:R ;

Mi·n gi¡ trà(−π2;π

H m arctanx

(−π2;π

H m luæn luæn t«ng.H m arccotx

H m arctanx

(−π2;π

H m arctanx

(−π2;π

Mi·n x¡c �ành:R ;

Mi·n gi¡ trà (0;π)H m luæn luæn gi£m.

H m arctanx

(−π2;π

Mi·n x¡c �ành:R ;Mi·n gi¡ trà (0;π)

H m luæn luæn gi£m.

H m arctanx

(−π2;π

H m Hyperbolic

�ành ngh¾a

Sin Hyperbolic: sinh x =ex − e−x

Cos Hyperbolic: cosh x =ex + e−x

Tan Hyperbolic: tanh x =sinh xcosh x

Cotan Hyperbolic: coth x =cosh xsinh x

H m Hyperbolic

H¼nh: �ç thà h m sinh v h m cosh

H m Hyperbolic

H¼nh: �ç thà h m tanh v h m coth

H m Hyperbolic

C¡c cæng thùc

cosh2a− sinh2a = 1sinh 2a = 2 sinh a cosh a; cosh 2a = cosh2a + sinh2acosh (a + b) = cosh a cosh b + sinh a sinh bcosh (a− b) = cosh a cosh b − sinh a sinh bsinh (a + b) = sinh a cosh b + sinh b cosh asinh (a− b) = sinh a cosh b − sinh b cosh a

v c¡c cæng thùc kh¡c. �º thu �÷ñc cæng thùc l÷ñng gi¡cHyperbolic tø cæng thùc l÷ñng gi¡c quen thuëc, ta thay cos bðicosh v sin bði isinh.

H m Hyperbolic

C¡c cæng thùc

H m Hyperbolic

C¡c cæng thùc

H m cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè

Cho hai h m x = x(t); y = y(t) x¡c �ành trong mët l¥n cªn V n o�â cõa �iºm t0.Gi£ sû tçn t¤i h m ng÷ñc cõa x = x(t) l t = t(x).Khi �â tçn t¤i h m y = y(t(x)) v h m n y �÷ñc gåi l h m chobði ph÷ìng tr¼nh tham sè x = x(t) v y = y(t).

V½ dö: H m y = y(x) cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè:{x = 2 cos ty = 3 sin t

ch½nh l ph÷ìng tr¼nh ellipse:x2

Cho hai h m x = x(t); y = y(t) x¡c �ành trong mët l¥n cªn V n o�â cõa �iºm t0.Gi£ sû tçn t¤i h m ng÷ñc cõa x = x(t) l t = t(x).Khi �â tçn t¤i h m y = y(t(x)) v h m n y �÷ñc gåi l h m chobði ph÷ìng tr¼nh tham sè x = x(t) v y = y(t).V½ dö: H m y = y(x) cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè:{

x = 2 cos ty = 3 sin t

Cho hai h m x = x(t); y = y(t) x¡c �ành trong mët l¥n cªn V n o�â cõa �iºm t0.Gi£ sû tçn t¤i h m ng÷ñc cõa x = x(t) l t = t(x).Khi �â tçn t¤i h m y = y(t(x)) v h m n y �÷ñc gåi l h m chobði ph÷ìng tr¼nh tham sè x = x(t) v y = y(t).V½ dö: H m y = y(x) cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè:{

x = 2 cos ty = 3 sin t

Dinh nghia day soGioi han cua day so

�ành ngh¾a d¢y sè

�ành ngh¾a

Mët h m f : N → N x¡c �ành trong tªp hñp c¡c sè tü nhi¶n N

�÷ñc gåi l mët d¢y sè.�°t u1 = f (1) ; u2 = f (2) ; ...; un = f (n) .... Sè un �÷ñc gåi l sèh¤ng têng qu¡t cõa d¢y sè. Kþ hi»u d¢y sè l {un}

C¡ch x¡c �ành mët d¢y sè

Câ thº x¡c �ành d¢y sè b¬ng c¡ch:

Cho cæng thùc têng qu¡t: un = f (n)

Cho cæng thùc truy chùng (truy hçi):u1 = a; u2 = b; un = f (un−1, un−2)

�ành ngh¾a d¢y sè

�ành ngh¾a

Mët h m f : N → N x¡c �ành trong tªp hñp c¡c sè tü nhi¶n N

�÷ñc gåi l mët d¢y sè.�°t u1 = f (1) ; u2 = f (2) ; ...; un = f (n) .... Sè un �÷ñc gåi l sèh¤ng têng qu¡t cõa d¢y sè. Kþ hi»u d¢y sè l {un}

C¡ch x¡c �ành mët d¢y sè

Câ thº x¡c �ành d¢y sè b¬ng c¡ch:

Cho cæng thùc têng qu¡t: un = f (n)

Cho cæng thùc truy chùng (truy hçi):u1 = a; u2 = b; un = f (un−1, un−2)

�ành ngh¾a

Sè a �÷ñc gåi l giîi h¤n cõa d¢y sè {un} n¸u

∀ε > 0,∃n0 (n > n0 ⇒ |un − a| < ε)

Kþ hi»u lim unn→+∞

N¸u giîi h¤n cõa d¢y l húu h¤n th¼ d¢y �÷ñc gåi l d¢y hëi tö.Ng÷ñc l¤i d¢y �÷ñc gåi l d¢y ph¥n ký.

�ành ngh¾a

Sè a �÷ñc gåi l giîi h¤n cõa d¢y sè {un} n¸u

∀ε > 0,∃n0 (n > n0 ⇒ |un − a| < ε)

Kþ hi»u lim unn→+∞

N¸u giîi h¤n cõa d¢y l húu h¤n th¼ d¢y �÷ñc gåi l d¢y hëi tö.Ng÷ñc l¤i d¢y �÷ñc gåi l d¢y ph¥n ký.

V½ dö

v½ dö

Dòng �ành ngh¾a chùng tä limn→+∞

n + 1= 1

ε > 0,∣∣∣∣ n

n + 1− 1∣∣∣∣ < ε⇔ 1

n + 1< ε⇔ n >

1e− 1

Chån sè tü nhi¶n n0 >1ε− 1

Khi �â ∀n > n0 : |un − 1| =∣∣∣∣ n

n + 1− 1∣∣∣∣ = 1

n + 1<

1n0 + 1

Vªy theo �ành ngh¾a ta câ: limn→+∞

n + 1= 1

V½ dö

v½ dö

Dòng �ành ngh¾a chùng tä limn→+∞

n + 1= 1

ε > 0,∣∣∣∣ n

n + 1− 1∣∣∣∣ < ε⇔ 1

n + 1< ε⇔ n >

1e− 1

Chån sè tü nhi¶n n0 >1ε− 1

Khi �â ∀n > n0 : |un − 1| =∣∣∣∣ n

n + 1− 1∣∣∣∣ = 1

n + 1<

1n0 + 1

Vªy theo �ành ngh¾a ta câ: limn→+∞

n + 1= 1

C¡c ph²p t½nh v· d¢y hëi tö

�ành lþ

N¸u d¢y {un} hëi tö �¸n a, d¢y {vn} hëi tö �¸n b th¼

1 D¢y têng {un + vn} hëi tö tîi a + b

2 D¢y t½ch {un.vn} hëi tö tîi a.b

3 D¢y nghàch �£o{

}hëi tö tîi

1bvîi �i·u ki»n b 6= 0

4 D¢y th÷ìngun

vnhëi tö tîi

bvîi �i·u ki»n b 6= 0

5 limn→∞

|un| = |a|

�ành lþ

}hëi tö tîi

4 D¢y th÷ìngun

vnhëi tö tîi

5 limn→∞

|un| = |a|

�ành lþ

}hëi tö tîi

4 D¢y th÷ìngun

vnhëi tö tîi

5 limn→∞

|un| = |a|

�ành lþ

}hëi tö tîi

4 D¢y th÷ìngun

vnhëi tö tîi

5 limn→∞

|un| = |a|

�ành lþ

}hëi tö tîi

4 D¢y th÷ìngun

vnhëi tö tîi

5 limn→∞

|un| = |a|

�ành lþ

}hëi tö tîi

4 D¢y th÷ìngun

vnhëi tö tîi

5 limn→∞

|un| = |a|

Hai ti¶u chu©n �õ �º d¢y hëi tö

Ti¶u chu©n 1 - �ành lþ kµp

Cho 3 d¢y {un} , {vn} , {wn} sao cho∃n0, ∀n > n0 ⇒ vn ≤ un ≤ wn v {vn} , {wn} còng hëi tö �¸n a.Khi �â d¢y {un} công hëi tö tîi a.

Chùng minh

Cho ε > 0. V¼ {vn} , {wn} còng hëi tö �¸n a n¶n ∃n1, n2 ∈ N:{∀n > n1 ⇒ |vn| − a < ε∀n > n2 ⇒ |wn| − a < ε

. �°t n0 = max {n1, n2}. Khi �â ∀n > n0 ta câ{|vn − a| < ε|wn − a| < ε

⇒ −ε < vn − a < un − a < wn − a < ε

Ti¶u chu©n 1 - �ành lþ kµp

Cho 3 d¢y {un} , {vn} , {wn} sao cho∃n0, ∀n > n0 ⇒ vn ≤ un ≤ wn v {vn} , {wn} còng hëi tö �¸n a.Khi �â d¢y {un} công hëi tö tîi a.

Chùng minh

Cho ε > 0. V¼ {vn} , {wn} còng hëi tö �¸n a n¶n ∃n1, n2 ∈ N:{∀n > n1 ⇒ |vn| − a < ε∀n > n2 ⇒ |wn| − a < ε

. �°t n0 = max {n1, n2}. Khi �â ∀n > n0 ta câ{|vn − a| < ε|wn − a| < ε

⇒ −ε < vn − a < un − a < wn − a < ε

Suy ra ∀n > n0, |un − a| < ε, hay limn→∞

un = a (dpcm).

H¼nh: Giîi h¤n kµp

Suy ra ∀n > n0, |un − a| < ε, hay limn→∞

un = a (dpcm).

H¼nh: Giîi h¤n kµp

V½ dö

T½nh limn→∞

Gi£i:

Ta câ ∀n > 6, 0 <5n

6n, m°t kh¡c lim

n→∞

6n= lim

n→∞

Vªy limn→∞

Ti¶u chu©n 2 - �ành lþ Weierstrass

Måi d¢y t«ng v bà ch°n tr¶n th¼ hëi tö. Måi d¢y gi£m v bà ch°nd÷îi th¼ hëi tö.

trong �â, c¡c kh¡i ni»m t«ng, bà ch°n �÷ñc gi£i th½ch nh÷ sau:

D¢y {un} �÷ñc gåi l �ìn �i»u t«ng n¸u ∀n ∈ N, un+1 ≥ un

D¢y {un} �÷ñc gåi l �ìn �i»u gi£m n¸u ∀n ∈ N, un+1 ≤ un

D¢y {un} �÷ñc gåi l bà ch°n tr¶n n¸u∃A ∈ R : ∀n ∈ N, un ≤ A

D¢y {un} �÷ñc gåi l bà ch°n d÷îi n¸u∃B ∈ R : ∀n ∈ N, un ≥ B

V½ dö - Sè e

limn→∞

Sû döng nhà thù newton:(1 +

= ... = 1 + 1 +12!

(1− 1

)(1− 2

...+1n!

(1− 1

)(1− 2

(1− n − 1

)V¼ 1− s

n< 1− s

n + 1n¶n un < un+1. Vªy d¢y t«ng.

V½ dö - Sè e

limn→∞

= ... = 1 + 1 +12!

(1− 1

)(1− 2

...+1n!

(1− 1

)(1− 2

(1− n − 1

V¼ 1− s

n< 1− s

V½ dö - Sè e

limn→∞

= ... = 1 + 1 +12!

(1− 1

)(1− 2

...+1n!

(1− 1

)(1− 2

(1− n − 1

)V¼ 1− s

n< 1− s

V½ dö - Sè e

Ta câ 1− s

n< 1 v

1n!≤ 1

2n−1∀n = 1, 2, 3...

⇒ un < 2+12!

+...+1n!≤ 2+

+...+1

2n−1≤ 2+1− 1

2n−1< 3

Vªy d¢y bà ch°n v t«ng n¶n d¢y hëi tö.

Giîi h¤n cõa d¢y n y �÷ñc kþ hi»u l sè e, v ng÷íi ta chùng minh�÷ñc e l sè væ t�. e ≈ 2.718281828

limn→∞

V½ dö - Sè e

Ta câ 1− s

n< 1 v

1n!≤ 1

2n−1∀n = 1, 2, 3...

⇒ un < 2+12!

+...+1n!≤ 2+

+...+1

2n−1≤ 2+1− 1

2n−1< 3

Vªy d¢y bà ch°n v t«ng n¶n d¢y hëi tö.Giîi h¤n cõa d¢y n y �÷ñc kþ hi»u l sè e, v ng÷íi ta chùng minh�÷ñc e l sè væ t�. e ≈ 2.718281828

limn→∞

Giîi h¤n væ còng cõa d¢y

�ành ngh¾a

Ta nâi {un} câ giîi h¤n +∞ n¸u