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MECHANICS OF MATERIALS

Third Edition

Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf Lecture Notes: J. Walt Oler Texas Tech University

CHAPTER

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

2 Esfuerzo Deformación– Carga axial



Third Edition

Beer • Johnston • DeWolf

2 - 2

Contents

Stress & Strain: Axial Loading Normal Strain Stress-Strain Test Stress-Strain Diagram: Ductile Materials Stress-Strain Diagram: Brittle Materials Hooke’s Law: Modulus of Elasticity Elastic vs. Plastic Behavior Fatigue Deformations Under Axial Loading Example 2.01 Sample Problem 2.1 Static Indeterminacy Example 2.04 Thermal Stresses Poisson’s Ratio

Generalized Hooke’s Law Dilatation: Bulk Modulus Shearing Strain Example 2.10 Relation Among E, n, and G Sample Problem 2.5 Composite Materials Saint-Venant’s Principle Stress Concentration: Hole Stress Concentration: Fillet Example 2.12 Elastoplastic Materials Plastic Deformations Residual Stresses Example 2.14, 2.15, 2.16



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2 - 3

Esfuerzo & Deformación: Carga axial

•  Viabilidad de una estructura o maquina puede depender de las deformaciones en la estructura como de los esfuerzos inducidos por la carga. La estática por si sola no es suficiente para realizar el análisis.

•  El considerar la estructura como deformable permite determinar las fuerzas y reacciones existentes en la piezas que son estáticamente indeterminadas.

•  El calculo de la distribución de esfuerzos dentro de una pieza requiere tener en cuenta las deformaciones en la pieza.

•  En el capítulo 2 veremos todo lo asociado a la deformación de una pieza bajo carga axial. En los siguientes capítulos estudiaremos cargas a torsión y cargas a flexión.



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2 - 4

Deformación normal

strain normal

stress

==

==

L

AP

δε

σ

L

AP

AP

δε

σ

=

==22

LL

AP

δδε

σ

==

=

22

Esfuerzo

Deformación normal



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2 - 5

Ensayo esfuerzo-deformación

Probeta ensayo esfuerzo deformación



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2 - 6

Diagrama esfuerzo deformación: Materiales dúctiles

Acero de bajo carbono Aleación de aluminio



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2 - 7

Diagrama de esfuerzo deformación: materiales frágiles



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2 - 8

Ley de Hooke: Modulo de elasticidad

•  Below the yield stress

Elasticity of Modulus or Modulus Youngs=

=E

Eεσ

Esfuerzos menores a el esfuerzo de fluencia

Resistencia es influenciada por las aleaciones, tratamiento t é r m i c o y p r o c e s o d e manufactura. El modulo de elasticidad no es afectado por ningún tipo de procesamiento



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2 - 9

Comportamiento elástico vs. plástico

•  Si la deformación desaparece cuando la carga es retirada, se dice que el material se comporta elásticamente.

•  Cuando la deformación no se recupera despues de que la carga es retirad, se dice que el m a t e r i a l s e c o m p o r t a plásticamente.

•  El esfuerzo máximo para el cual lo anterior ocurre se llama limite elástico.



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2 - 10

Fatiga

•  Las propiedades a la fatiga se muestran en un diagrama S-N

•  Cuando el esfuerzo se reduce d e b a j o d e l l i m i t e d e endurecimiento, la falla por fatiga no ocurrirá.

•  Una pieza puede fallar debido a fatiga a esfuerzos menores a la resistencia última a tensión siempre que este soportando carga cíclica.



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2 - 11

Deformación bajo carga axial

AEP

EE === σεεσ

•  De la Ley de Hooke:

•  De la definición de deformación:

Lδε =

•  Igualando y resolviendo para el estiramiento de la barra,

AEPL=δ

•  Cuando existen variación de carga, área de sección transversal o propiedades de material:

∑=i ii

iiEALPδ



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2 - 12

Ejemplo 2.01

Determine la deformación de la barra de acero sometida a las cargas dadas en la figura.

in. 618.0 in. 07.1

psi1029 6

==

×= −

dD

E

Solución: •  Realice las secciones de la barra

•  Realice un diagrama de cuerpo libre a cada componente para determinar la fuerza.

•  Calcule la elongación total de la barra



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2 - 13

Solución:

•  Divida la barra en secciones:

221

21

in 9.0

in. 12

==

==

AA

LL

23

3

in 3.0

in. 16

=

=

A

L

•  Aplique un diagrama de cuerpo libre a cada sección para determinar las fuerzas internas

lb1030

lb1015

lb1060

33

32

31

×=

×−=

×=

P

P

P

•  Calcule la deformación total,

( ) ( ) ( )

in.109.75

3.0161030

9.0121015

9.0121060

10291

1

3

333

6

3

33

2

22

1

11

−×=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ×+×−+××

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=∑=ALP

ALP

ALP

EEALP

i ii

iiδ

in. 109.75 3−×=δ



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2 - 14

Ejemplo

La barra DE es soportada por 2 eslabones AB y CD

El eslabón AB esta hecho de aluminio (E = 70 GPa) y tiene un área de sección transversal de 500 mm2. El eslabón CD esta hecho de acero (E = 200 GPa) y tiene una área de sección transversal de (600 mm2).

Para la carga de 30kN, determine las deflexiones de los puntos

a) B b) C c) E

Solución:

•  Realice un diagrama de cuerpo libre en la barra BDE para encontrar las fueras ejercidas por los eslabones BA y DC

•  Calcule la deformación de las barras AB y CD.

•  Encuentre la deflexión del punto E, dado que se conocen las deflexiones de los puntos B y D



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2 - 15

Displazamiento de B:

( )( )( )( )

m10514

Pa1070m10500m3.0N1060

6

926-

3

−×−=

×××−=

=AEPL

Bδ

↑= mm 514.0BδDisplazamiento de D:

( )( )( )( )

m10300

Pa10200m10600m4.0N1090

6

926-

3

−×=

×××=

=AEPL

Dδ

↓= mm 300.0Dδ

Free body: Bar BDE

( )

( )ncompressioF

F

tensionF

F

M

AB

AB

CD

CD

B

kN60

m2.0m4.0kN300

0M

kN90

m2.0m6.0kN300

0

D

−=

×−×−=

=

+=

×+×−=

=

∑

∑

Solución:

Sample Problem 2.1



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2 - 16

Displazamiento de E:

( )

mm 7.73

mm 200mm 0.300mm 514.0

=

−=

=′′

xx

xHDBH

DDBB

↓= mm 928.1Eδ

( )

mm 928.1mm 7.73

mm7.73400mm 300.0

=

+=

=′′

E

E

HDHE

DDEE

δ

δ

Sample Problem 2.1



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2 - 17

Indeterminación estática •  Estructuras para las cuales las reacciones y

fuerzas internas no se pueden determinar usando solamente conceptos de estática.

0=+= RL δδδ

•  Deformaciones debidas a las cargas actuales y las fue rzas r edundan te s son de t e rminadas separadamente y luego son adicionadas o superpuestas.

•  Las reacciones redundantes son remplazadas por cargas que deben producir deformaciones compatibles.

•  Una e s t ruc tu ra s e rá e s t á t i camen te indeterminada siempre y cuando este soportada por más apoyos que los necesarios para mantener el equilibrio.



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2 - 18

Ejemplo 2.04 Determine las reacciones en A y B para la barra de acero y las condiciones de carga dadas. Se asume que la barra se encuentra en contacto con los soportes antes de que se aplique la carga.

•  Resuelva la reacción en A debida a las cargas aplicadas y a la reacción encontrada en B

•  Iguale los desplazamientos debido a las cargas y a la reacción redundante.

•  Exprese el desplazamiento de B en términos de la reacción redundante en B

Solución:

•  Considere la reacción en B como redundante, libere la barra de ese soporte, y estime el desplazamiento en B debido a las cargas aplicadas.



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2 - 19

Solución: •  Calcule el desplazamiento en B debido a las cargas

aplicadas sin tener en cuenta las cargas redundantes

EEALP

LLLL

AAAA

PPPP

i ii

ii9

L

4321

2643

2621

34

3321

10125.1

m 150.0

m10250m10400

N10900N106000

×=∑=

====

×==×==

×=×===

−−

δ

•  Exprese los desplazamientos en B en términos de la reacción redundante

( )∑

×−==

==

×=×=

−==

−−

iB

ii

iiR

B

ER

EALPδ

LL

AA

RPP

3

21

262

261

21

1095.1

m 300.0

m10250m10400

Example 2.04



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2 - 20

•  Iguale los desplazamientos debido a las cargas actuales con los desplazamientos debido a la carga redundante

( )

kN 577N10577

01095.110125.1

0

3

39

=×=

=×−×=

=+=

B

B

RL

R

ER

Eδ

δδδ

•  Encuentre las reacciones en A debido a las cargas aplicadas y a la reacción redundante

kN323

kN577kN600kN 3000

=

∑ +−−==

A

Ay

R

RF

kN577

kN323

=

=

B

A

R

R

Example 2.04



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2 - 21

Esfuerzos térmicos

•  Un cambio de temperatura resulta en un cambio de longitud o deformación térmica. No existe esfuerzo térmico al no ser que la elongación este restringida por soportes.

( )coef.expansion thermal=

=Δ=

α

δαδAEPLLT PT

•  Trate el soporte adicional como redundante y aplique el principio de superposición

( ) 0

0

=+Δ

=+=

AEPLLT

PT

α

δδδ

•  Igualar la deformación térmica con la deformación redundante del soporte

( )( )TE

AP

TAEPPT

Δ−==

Δ−==+=

ασ

αδδδ 0



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2 - 22

Coeficiente de Poisson

•  Para una barra sujeta a carga axial:

0=== zyx

x Eσσσε

•  La elongación en la dirección x sucede simultáneamente con una contracción en las direcciones perpendiculares. Asumiendo que el material es isotrópico (no existe dependencia en la dirección)

0≠= zy εε•  El coeficiente de Poisson es definido

así

x

z

x

y

εε

εε

ν −=−==strain axialstrain lateral



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2 - 23

Ley generalizada de Hooke •  Para una pieza sujeta a carga multi-axial, los

componentes normales de deformación resultante de los componentes de esfuerzos pueden ser determinados por el principio de superposición. Lo anterior requiere:

1) La deformación este relacionada linealmente con el esfuerzo

2) Las deformaciones son pequeñas

EEE

EEE

EEE

zyxz

zyxy

zyxx

σνσνσε

νσσνσε

νσνσσε

+−−=

−+−=

−−+=

•  Usando las anteriores restricciones:



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Dilatación: Modulo volumétrico

•  En cambio de volumen en términos de las deformaciones ( )( )( )[ ] [ ]

( ) e)unit volumper in volume (change dilatation

21

111111

=

++−=

++=

+++−=+++−=

zyx

zyx

zyxzyx

E

e

σσσν

εεε

εεεεεε

•  Para una pieza sujeta a un estado de presión uniforme, ( )

( ) modulusbulk 213

213

=−

=

−=−−=

ν

ν

Ek

kp

Epe

•  En una pieza sujeta a una presión uniforme, la dilatación debe ser negativa, por tanto

210 <<ν



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2 - 25

Deformación cortante

•  Un elemento cubico sujeto a esfuerzo cortante se deformará en un romboide. La correspondiente deformación cortante se cuantifica en térmicos del cambio de ángulo entre los lados,

( )xyxy f γτ =

•  Una gráfica de esfuerzo cortante vs. deformación cortante es similar a las gráficas de esfuerzo normal vs. deformación normal. La única diferencia es que la resistencias a cortante son aproximadamente la mitad de la resistencia a carga normal. Para pequeñas deformaciones,

zxzxyzyzxyxy GGG γτγτγτ ===

Donde G es el modulo de rigidez o modulo de cortante.



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2 - 26

Example 2.10

Un bloque rectangular de material con modulo de rigidez G = 90 ksi esta pegado entre dos placas rígidas horizontales. La placa inferior esta fija, mientras que la superior esta sujeta a una fuerza horizontal P. Sabiendo que la plaxa superior se mueve 0.04 in bajo la acción de la fuerza, determine a) la deformación cortante promedio en el material, and b)la fuerza P ejercida en el la placa.

Solución:

•  Determine la deformación angular promedio o deformación cortante promedio dle bloque.

•  Use la definición de esfuerzo cortante para encontrar la carga P.

•  Aplique la Ley de Hooke para esfuerzo y deformación cortante para encontrar el esfuerzo cortante promedio.



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2 - 27

•  Determine la deformación angular promedio del bloque

rad020.0in.2in.04.0tan ==≈ xyxyxy γγγ

•  Aplique la ley de Hooke para las deformaciones y esfuerzos cortantes, para encontrar los esfuerzos cortantes

( )( ) psi1800rad020.0psi1090 3 =×== xyxy Gγτ

•  Use la definición del esfuerzo cortante para encontrar la carga P

( )( )( ) lb1036in.5.2in.8psi1800 3×=== AP xyτ

kips0.36=P



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2 - 28

Relation Among E, n, and G •  Una barra cargada en la dirección axial se

elongará en la dirección axial y se c o n t r a e r á e n l a s d i r e c c i o n e s perpendiculares.

( )ν+= 12GE

•  Las componentes de deformación normal y cortante es tan relacionadas por,

•  Si un elemento cúbico es orientado como en la figura inferior izquierda, se deformará en un rombo. La carga axial resulta en deformación cortante.

•  Un elemento cúbico orientado como en la figura superior izquierda se deformará a un paralelepipedo rectangular. La carga axial produce deformación normal



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2 - 29

Sample Problem 2.5

Un circulo de diametro d=9 in. esta inscrito en una placa libre de esfuerzos de espesor t=3/4 in. Fuerzas actuando en el plano de la placa causan esfuerzos normales de sx = 12 ksi and sz = 20 ksi.

Para E = 10x106 psi and n = 1/3, determine el cambio en:

a)  La longitud del diametro AB,

b) La longitud del diametro CD,

c)  El espesor de la placa y

d) El volumen de la placa.



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2 - 30

Solución: •  Aplique la Ley Generalizada de Hooke

para encontrar las componentes normales de la deformación

( ) ( )

in./in.10600.1

in./in.10067.1

in./in.10533.0

ksi20310ksi12

psi10101

3

3

3

6

−

−

−

×+=

+−−=

×−=

−+−=

×+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−

×=

−−+=

EEE

EEE

EEE

zyxz

zyxy

zyxx

σνσνσε

νσσνσε

νσνσσε

•  Evalúe los componentes de deformación.

( )( )in.9in./in.10533.0 3−×+== dxAB εδ

( )( )in.9in./in.10600.1 3−×+== dzDC εδ

( )( )in.75.0in./in.10067.1 3−×−== tyt εδ

in.108.4 3−×+=ABδ

in.104.14 3−×+=DCδ

in.10800.0 3−×−=tδ

•  Encuentre el cambio de volumen

( ) 33

333

in75.0151510067.1

/inin10067.1

×××==Δ

×=++=

−

−

eVV

e zyx εεε

3in187.0+=ΔV



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2 - 31

Composite Materials •  Fiber-reinforced composite materials are formed

from lamina of fibers of graphite, glass, or polymers embedded in a resin matrix.

zz

zy

yy

x

xx EEE

εσ

εσ

εσ ===

•  Normal stresses and strains are related by Hooke’s Law but with directionally dependent moduli of elasticity,

x

zxz

x

yxy ε

ενεε

ν −=−=

•  Transverse contractions are related by directionally dependent values of Poisson’s ratio, e.g.,

•  Materials with directionally dependent mechanical properties are anisotropic.



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2 - 32

Principio de Saint Venant •  Cargas transmitidas a través de

placas rígidas resulta en una distribución uniforme de esfuerzos y deformaciones.

•  Principio de Saint Venant: Las distribuciones de esfuerzos se asumiran independientes del modo de aplicación de la carga excepto en la vecindad del punto de aplicación de la carga.

•  Las distribuciones de esfuerzos y las deformaciones se vuelven uniformes a una distancia relativamente corta del punto de aplicación de la carga.

•  Cargas concentradas resultan en grandes esfuerzos en la vecindad de la aplicación de la carga.



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2 - 33

Concentradores de esfuerzos. Agujero

Discontinuidades en la sección transversal pueden resultar en esfuerzos concentrados o altamente localizados.

ave

maxσσ=K



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2 - 34

Stress Concentration: Fillet



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2 - 35

Example 2.12

Determine la carga máxima axial P que puede ser soportada por la barra de acero mostrada en la figura. El espesor de la barra es de 10 mm, la distancia D=60 mm y la distancia d= 40 mm . El radio t=8mm. Asuma que el esfuerzo normal máximo permitido es de 165MPa.

Solución:

•  Determine los ratios geométricos y encuentre el concentrador de esfuerzos de la figura 2.64b.

•  Aplique la definición el esfuerzo normal para encontrar la carga permisible.

•  Encuentre el esfuerzo normal promedio permisible usando el esfuerzo normal permisible del material.



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2 - 36

•  Determine los radios geometricos y encuentre el concentrador de esfuerzos de la Fig. 2.64b.

82.1

20.0mm40mm850.1

mm40mm60

=

====

K

dr

dD

•  Encuentre el esfuerzo normal promedio permisible usando el esfuerzo normal permisible del material.

MPa7.9082.1MPa165max

ave ===K

σσ

•  Aplique la definición de esfuerzo normal y encuentre la carga

( )( )( )

N103.36

MPa7.90mm10mm40

3×=

== aveAP σ

kN3.36=P



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2 - 37

Materiales elastoplasticos •  Los anteriores análisis se basaron en el

supuesto de una relación lineal esfuerzo-deformación, esfuerzos menores al esfuerzo de fluencia.

•  El anterior supuesto es bueno para materiales frágiles, los cuales se fracturan sin fluencia

•  Si el esfuerzo de fluencia es excedido, entonces el material se deforma plásticamente.

•  El análisis de las deformaciones plásticas es simplificado un material idealizado elástoplastico.

•  Las deformaciones de un material elástoplastico son divididas en elásticas y plásticas.

•  Se producirán deformaciones permanentes para los estados de carga en los cuales se supere la tensión de fluencia



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2 - 38

Plastic Deformations

•  Las deformaciones son elásticas mientras el máximo esfuerzo sea menor que el esfuerzo de fluencia

KAAP ave

maxσσ ==

•  El esfuerzo máximo es igual al esfuerzo de fluencia al estado de carga máxima a fluencia K

AP YY

σ=

•  En estados de carga encima de la máxima carga elástica, una región de deformaciones plásticas se desarrolla cerca al agujero

•  A medida que la carga incrementa, la región plástica se expande hasta que la sección se encuentra a un estado de esfuerzos uniformes igual al esfuerzo de fluencia.

Y

YU

PK

AP

=

=σ



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2 - 39

Residual Stresses

•  When a single structural element is loaded uniformly beyond its yield stress and then unloaded, it is permanently deformed but all stresses disappear. This is not the general result.

•  Residual stresses also result from the uneven heating or cooling of structures or structural elements

•  Residual stresses will remain in a structure after loading and unloading if

-  only part of the structure undergoes plastic deformation

-  different parts of the structure undergo different plastic deformations



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2 - 40

Example 2.14, 2.15, 2.16

Una barra cilíndrica es puesta dentro de un tubo de la misma longitud. Los extremos de la barra y el tubo se encuentran unidos a un soporte rígido en un extremo y a una placa rígida en el otro. La carga en el sistema es incrementada de 0 a 5.7 kips y luego se disminuye nuevamente a cero

Dibuje un diagrama carga deflexión para el sistema.

a)  Determine la máxima elongación

b)  determine the permanent set

c)  Calcule los esfuerzos residuales en el tubo y en la barra

ksi36

psi1030

in.075.0

,

6

2

=

×=

=

rY

r

r

σ

E

A

ksi45

psi1015

in.100.0

,

6

2

=

×=

=

tY

t

t

σ

E

A



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2 - 41

a)  Dibuje un diagrama carga deflexión para el tubo y la barra

( )( )in.1036in.30

psi1030psi1036

kips7.2in075.0ksi36

3-6

3

,

,,

2,,

×=××===

===

LE

Lδ

AP

rY

rYrYY,r

rrYrY

σε

σ

( )( )in.1009in.30

psi1015psi1045

kips5.4in100.0ksi45

3-6

3

,

,,

2,,

×=××===

===

LE

Lδ

AP

tY

tYtYY,t

ttYtY

σε

σ

tr

tr PPP

δδδ ==

+=

Example 2.14, 2.15, 2.16



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2 - 42

b,c) determine the maximum elongation and permanent set

•  En una carga de P=5.7 kips, la barra ha alcanzado el estado plástico mientras que el tubo se encuentra todavía en estado elástico

( )

in.30psi1015psi1030

ksi30in0.1kips0.3

kips0.3kips7.27.5

kips7.2

6

3t

2t

,

××===

===

=−=−=

==

LE

L

AP

PPP

PP

t

tt

t

t

rt

rYr

σεδ

σ

in.1060 3max

−×== tδδ

•  El emsable barra-tuno descarga a lo largo de la linea paralela a 0Yr

( ) in.106.4560

in.106.45in.kips125

kips7.5

slopein.kips125in.1036

kips5.4

3maxp

3max

3-

−

−

×−=′+=

×−=−=−=′

==×

=

δδδ

δmP

m

in.104.14 3−×=pδ

Example 2.14, 2.15, 2.16



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2 - 43

•  Calcule los esfuerzos residuales en el tubo y en la barra.

Calcule el esfuerzo inverso en la barra y en el tubo causados por la descarga y luego adiciónelos al máximo esfuerzo

( )( )( )( )

( )( ) ksi2.7ksi8.2230

ksi69ksi6.4536

ksi8.22psi10151052.1

ksi6.45psi10301052.1

in.in.1052.1in.30

in.106.45

,

,

63

63

33

=−=′+=

−=−=′+=

−=××−=′=′

−=××−=′=′

×−=×−=′

=′

−

−

−−

tttresidual

rrrresidual

tt

rr

.

E

E

L

σσσ

σσσ

εσ

εσ

δε

Example 2.14, 2.15, 2.16

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