DAFTAR ISI

Hal.

A. DEFINISI ………………………………………………………………………………… 2

B. FUNGSI – FUNGSI DERIVATIF…………………………………………………. 3

C. FUNGSI PARAMETER……………………………………………………………… 6

D. FUNGSI IMPLISIT …………………………………………………………………… 7

E. APLIKASI DERIVATIF ……………………………………………………………….

1

A. DEFINISI

Apakah yang dimaksud dengan derivatif itu?

Dalam kalkulus (cabang matematika) derivatif adalah ukuran bagaimana perubahan fungsi sebagai perubahan input. Longgar berbicara, derivatif bisa dianggap sebagai berapa banyak satu kuantitas yang berubah dalam menanggapi perubahan dalam kuantitas yang lain, misalnya, turunan dari posisi benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek.

Turunan dari suatu fungsi pada nilai input yang dipilih menggambarkan pendekatan linear terbaik fungsi mendekati nilai input. Untuk fungsi-nyata nilai dari variabel yang nyata tunggal, derivatif pada suatu titik sama dengan kemiringan garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Dalam dimensi yang lebih tinggi, turunan dari suatu fungsi pada suatu titik merupakan transformasi linear yang disebut Linearisasi. [1] Sebuah gagasan terkait erat adalah diferensial dari suatu fungsi. Proses pencarian derivatif adalah diferensiasi disebut.

Grafik fungsi, dibuat dalam warna hitam, dan garis singgung fungsi yang, dibuat dengan warna merah. Kemiringan garis singgung sama dengan turunan dari fungsi pada titik yang ditandai.

Berbagai macam symbol derivatif

dydxatau f ' ( x )atau df (x)

dx

Definisi : dydx=lim∆→ 0

Δ yΔ x

2

Itu dapat ditunjukkan oleh grafik di bawah:

Berbagai macam fungsi dasar Derivatif

B. Fungsi-fungsi Derivatif

Fungsi Derivatif trigonometri

3

Contoh :

Fungsi Derivatif Eksponensial dan Logarithma

Contoh :

4

1. y=sin 4 x+cos2x , calculatedydx…

Fungsi Derivatif Siklometri

Dalam matematika, fungsi-fungsi trigonometri atau invers fungsi siklometri adalah fungsi kebalikan dari fungsi trigonometri.Para invers utama tercantum dalam tabel berikut.

NameUsual

notationDefinition

Domain of x for real result

Range of usual principal value

(radians)

Range of usual principal value

(degrees)

arcsine y = arcsin x x = sin y −1 ≤ x ≤ 1 −π/2 ≤ y ≤ π/2 −90° ≤ y ≤ 90°

arccosine y = arccos x x = cos y −1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ π 0° ≤ y ≤ 180°

arctangent y = arctan x x = tan y all real numbers −π/2 < y < π/2 −90° < y < 90°

arccotangent y = arccot x x = cot y all real numbers 0 < y < π 0° < y < 180°

arcsecant y = arcsec x x = sec y x ≤ −1 or 1 ≤ x0 ≤ y < π/2 or π/2 < y ≤

π0° ≤ y < 90° or 90° < y ≤

180°

arccosecant y = arccsc x x = csc y x ≤ −1 or 1 ≤ x−π/2 ≤ y < 0 or 0 < y ≤

π/2-90° ≤ y < 0° or 0° < y ≤

90°

Formula of the invers fungsi trigonometri atau fungsi siklometri

EXAMPLE

5

y=arc cos (x2−5¿, dydx ……?

C. PARAMETRIC DERIVATIVE

6

The common form of parametric function :x = f(t)y = g(t) (t as a parameter)

To differentiate the function in the form of parametric, take :

x = f(t), so

y = g(t), so

It can be exlplained :

FORMULA x = f(t)y = g(t)

if :

EXAMPLE

x = 2t2 + t

y = t5 + 1

find : a). b).

D. IMPLICIT DERIVATIVE

Implicit Derivative

In many examples, especially the ones derived from differential equations, the variables involved are not linked to each other in an explicit way. Most of the time, they are linked through an implicit formula, like F(x,y) =0. Once x is fixed, we may find y through numerical computations. (By some fancy theorems, we may formally show that y may indeed be seen as a function of x over a certain interval). The question becomes what is the derivative , at least at a certain a

point? The method of implicit differentiation answers this concern. Let us illustrate this through the following example.

Example1.

7

answer𝑎). 𝑥= 2𝑡2 + 𝑡,𝑠𝑜 𝑑𝑥𝑑𝑡 = 4𝑡+ 1

𝑦= 𝑡5 + 1,𝑠𝑜 𝑑𝑦𝑑𝑡 = 5𝑡4

𝑑𝑦𝑑𝑥= 𝑑𝑦 𝑑𝑡ൗ� = 5𝑡44𝑡+ 1

𝑏). 𝑑𝑦𝑑𝑡 = 5𝑡4,𝑠𝑜 𝑑2𝑦𝑑𝑡2 = 20𝑡3

𝑑𝑥𝑑𝑡 = 4𝑡+ 1,𝑠𝑜𝑑2𝑥𝑑𝑡2 = 4

𝑑2𝑦𝑑𝑥2 = 𝑑𝑥𝑑𝑡𝑥𝑑2𝑦𝑑𝑡2𝑥𝑑𝑦𝑑𝑡 𝑥𝑑2𝑥𝑑𝑡2ቄ𝑑𝑥𝑑𝑡ቅ3 =

ሼሺ4𝑡+1ሻ20𝑡3.5𝑡4.4ሽሺ4𝑡+1ሻ3 =20𝑡3(3𝑡+1)

ሺ4𝑡+1ሻ3

This function normally can be manipulated by using algebra to change this equation to an explicit function:

Differentiation then gives . Alternatively, one can differentiate the equation:

Solving for : ,

Example2

Find y' if

This is a wonderful example of an implicit relation between xand y. So how do we find y'? Let us differentiate the above equation with respect to x where y is considered to be a function of x. We get

Easy algebraic manipulations give

8

9

BIBLIOGRAPHY

http://en.wikipedia.org/wiki/Derivativehttp://www.sosmath.com/.../derivative.htmlhttp://www.sosmath.com/.../der05.htmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric