Penerapan Derivatif

Download Penerapan Derivatif

Post on 17-Feb-2016

30 views

Category:

Documents

14 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

matek

TRANSCRIPT

  • Penerapan Derivatif

  • BENTUK-BENTUK FUNGSI MULTIVARIAT DARI SEGI BENTUK GRAFIKI. Fungsi Linier : Y = ao + a1X1 + a2X2 Contoh: Y = 50 + 0,50 X1 + 0,60 X2

    II. Bentuk Non- Linier: 2.1. Fungsi Kuadrat : Y = 12X1 + 18X2 - 2X12 - X1.X2 2X22 2.2. Fungsi Eksponen : Y = ao.a1X1.a2X2 Y = 5. 0,8X1. 0,4X2

  • Lanjutan: 2.3. Fungsi Pangkat : Y = ao.X1a1.X2a2 Contoh: Y = 50.X10,7.X20,4

    2.4. Fungsi Transedental : Y = ao.X1a1.X2a2 .eb1X1.eb2X2

    Y = 50.X10,7.X20,4. e 0,6X1.e.0,5X2

  • I. Untuk dua variabel y = f(x)A. Konsep elastisitas1. Elastisitas y = f (x)Elastisitas y terhadap x (perubahan y se-bagai akibat perubahan x), sangat kecil. Biasanya digunakan untuk mengukur ke-tanggapan/reaksi/responsinveness dari penawaran/permintaan terhadap peruba-han harga atau pendapatan.Penerapan Derivatif*

  • Penerapan Derivatif*

  • Penerapan Derivatif* l l > 1 : elastis l l = 1 : unitary elastis l l < 1 : in elastis

  • Penerapan Derivatif*2. Fungsi permintaan dan fungsi penawaran Q = f ( P )a.

  • Penerapan Derivatif*2. Fungsi permintaan dan fungsi penawaran Q = f ( P )b.

  • Contoh :1. Qd = 100 2P Penerapan Derivatif*

  • 2. Qd = 20 2P2 atau Qd = 30 2P2

    Penerapan Derivatif*

  • 3. Qs = 200 + 7P2 Penerapan Derivatif*

  • B. Konsep marjinalFungsi biaya C = f (Q)

    2. Fungsi penerimaan R = f (Q)

    Penerapan Derivatif*

  • 3. Fungsi konsumsi dan tabungan c = f (Y)

    s = f (Y)

    dan MPC + MPS = 1Penerapan Derivatif*

  • Contoh :1. C = Q3 3 Q2 + 4Q + 4

    MC = 3 Q2 6 Q + 4 Penerapan Derivatif*

  • 2. R = 18 Q 3 Q 2 MR = 18 6 Q

    3. C = 50 + 0,75 YMPC = 0,75 dan MPS = 0,25 Penerapan Derivatif*

  • C. Konsep optimum 1. C = Q2 4 Q + 8 tentukan Q yang menghasilkan C optimal jawab : FOC : C = 0 2 Q 4 = 0 2 Q = 4 Q = 2 Penerapan Derivatif*

  • SOC : C > 0 2 > 0 , minimum

    jadi Q = 2 dan Cmin = 4 Penerapan Derivatif*

  • 2. R = f(Q) = 2 Q2 + 1000 Q C = f(Q) = Q3 59 Q2 + 1315 Q + 2000 Maka = R C = ( 2 Q2 + 1000 Q ) ( Q3 59 Q2 + 1315 Q + 2000 ) = Q3 + 57 Q2 315 Q 2000 Penerapan Derivatif*

  • FOC : = 0 3 Q2 + 114 Q 315 = 0 Q2 38 Q + 105 = 0 ( Q 35 ).( Q 3 ) = 0 Q = 35 Q = 3Penerapan Derivatif*

  • SOC : < 0 Q = 35 6 Q2 + 114 = 96 < max Q = 3 6 Q2 + 114 = + 96 > min

    Maka Q optimal adalah 35 unit dan laba maksimumnya 13.95 smuPenerapan Derivatif*

  • BENTUK-BENTUK FUNGSI DARI SEGI KENDALA Fungsi Tak Berkendala

    Fungsi Berkendala

  • PENGERTIAN FUNGSI TAK BERKENDALAContoh : Fungsi Keuntungan :

    = KeuntunganQ1 = Output Q1Q2 = Output Q2

  • Dari fungsi ini :Variabel Q1 dan Q2 independen (tidak saling tergantung)Besaran Q1 dan Q2 tidak ada pembatasTitik optimum fungsi adalah titik Optimum Bebas

  • Substitusi (1) & (2), didapat :

  • Contoh:Fungsi f(x1, x2, x3)= (x12+ x22+ x32)Kendalag1= x1- x2 = 0g2= x1+x2+x3-1Apakah Fungsi Minimum atau Maksimum?

  • Contoh:Minimumkan f(x1, x2, x3)= (x12+ x22+ x32)Kendalag1= x1- x2 = 0g2= x1+x2+x3-1Jawab:

  • PENGERTIAN FUNGSI BERKENDALA Fungsi Berkendala:

    Q1 + Q2 = 950 Pers.pembatas Perusahaan memproduksi 2 macam produksi (Q1&Q2) dengan tujuan memaksimumkan keuntungan; Fungsi Tujuan

  • Lanjutan: Masalah yang dihadapi adalah terbatasnya modal, sehingga jumlah produksi dibatasi (kuota produksi) 950 satuan. Jika jumlah produksi dibatasi (kuota produksi = 950 satuan), berapa jumlah Q1 dan Q2 untuk mencapai keuntungan maksimum....?

  • Lanjutan:

    Keuntungan Maksimum tersebut disebut Titik Optimum Terkendala atau Maksimum TerkendalaSalah satu Cara menentukan titik optimum terkendala yaitu dengan Metode pengali Lagrange (Lagrange Multipliers)

  • Persamaan dengan kendalaU = f (x, y)Fungsi Tujuan ax + by = c...Pers.Kendala.

    Persamaan fungsi diatas kemudian diubah menjadi persamaan lagrange Persamaan Lagrange: Z = f(x,y) + (c ax by)

    Persamaan lagrange

  • Langkah2 metode lagrangeMembentuk persamaan kendala menjadi persamaan lagrangeMencari turunan pertama untuk semua variabel : Zx = 0, Zy = 0, dan Z = 0Eliminasikan persamaan turunan pertama diatas sehingga mendapatkan nilai x0, y0, dan 0Menentukan nilai kritis dengan masukkan nilai x0, y0, 0 ke dalam persamaan awal f(x,y) atau persamaan lagrangeMenentukan apakah nilai kritis maks/min/saddle pointJika Zxx > 0, Zyy > 0, dan D > 0 minimumJika Zxx < 0, Zyy < 0, dan D > 0 maksimumJika D < 0 titik pelana (saddle point)

  • Contoh Soal :Diketahui Fungsi Tujuan (Fungsi Biaya):C = 6x2 + 3y2 Dengan Kendala:x + y = 18Tentukan :Nilai x*, y* yang Meminimisasi Biaya, dan Besarnya Biaya Minimum C*; Buktikan C* adalah Optimum Minimum.

  • Jawaban:Fungsi Lagrange:

    C = 6x2 + 3y2 + ( 18 x y)

    Turunan Pertama = 0dC/ dx = Zx = 12x = 0.(1)dC/ dy = Zy = 6y - = 0(2)dC/ d = Z = 18 x y = 0 .....(3)

  • MENENTUKAN TITIK KRITISEliminasi pers (1) dan (2); substitusi persamaan (3) dan (4):(x = 6 ; y = 12, = 72f(x,y) = 6x2 + 3y2 = 6*36 + 3*144 = 216+432 = 648Titik kritis (6,12,648)

  • Menentukan maks/min/saddleKarena Zxx > 0, Zyy > 0, dan D > 0 minimumNilai minimum = 648Titik kritis/titik minimum = (6,12,648)

  • Lanjutan: Fungsi UtilitasContoh Soal : Optimasi Fungsi Multivariat Berkendala: Seorang konsumen memiliki fungsi utilitas :U = Q1 . Q2 + 2 Q1 Fungsi Tujuan (Fungsi Utilitas) Nilai U adalah positif untuk Semua nilai Q1 dan Q2. Persamaan Kendala (Garis Anggaran): P1.Q1 + P2.Q2 = M........4Q1 + 2Q2 = 60.

    Tentukan Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum Utilitas....?

  • Persamaan Kendala Anggaran (Persamaan Pembatas): I : Fungsi Tujuan (Fungsi Utilitas tertentu)BL: Pers.Kendala (garis Anggaran) Q1

    Q2Q1*Q2*0

  • Metode Pengali LagrangeMenentukan Fungsi Lagrange:

    U = Q1.Q2 + 2Q1 + ( 60 4Q1- 2Q2).

    Turunan Petama Fungsi = 0.dU/dQ1 = f1 = (1)dU/dQ2 = f2 =...(2)dU/d = f = ..(3)

  • Subtitusikan (1) ke (2):Eliminasi pers.(1) dan (2) dengan cara menyamakan :Substitusikan (a) ke persamaan (3):

    (3)....60 4(8) 2Q2 = 0 28 2Q2 = 0 ..Q2* = 14.