[tfc] algumas aplicações dos logaritmos
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA
Luciano Aparecido Magrini
Algumas Aplicações dos Logaritmos
Novembro de 2011
i
Universidade Estadual de Campinas
Instituto de Matemática, Estatística e
Computação Científica
Luciano Aparecido Magrini
Algumas Aplicações dos Logaritmos
Trabalho de conclusão de curso apresenta-
do ao Instituto de Matemática, Estatística e
Computação Científica, UNICAMP, como
requisito parcial para a conclusão do curso
de Especialização em Matemática
Campinas
2011
ii
Autoria: Luciano Aparecido Magrini
Título: Algumas Aplicações dos Logaritmos
Os componentes da banca de avaliação, abaixo listados, consideram este trabalho aprovado.
Nome Instituição Assinatura
1
2
3
Data da aprovação: ____ de _____________________ de _______
iii
RESUMO
O conceito de logaritmo é certamente um dos mais importantes da Matemática,
uma vez que a ele estão relacionadas inúmeras aplicações nas demais áreas do
conhecimento.
Neste trabalho, após uma revisão teórica do tema é apresentada uma interessante
caracterização da função logarítmica: ela é a única função real que transforma
Progressões Geométricas em Progressões Aritméticas.
Na sequência, são apresentadas algumas das aplicações dos logaritmos que
mostram o alcance das ideias e da teoria matemática sobre o tema. As aplicações foram
escolhidas de maneira a contemplar as três grandes áreas do conhecimento: Exatas,
Biológias e Humanas.
Palavras-chave: logaritmo, função logarítmica, caracterização, aplicações.
ABSTRACT
The concept of a logarithm is certainly the most important in mathematics, since
it is related to numerous applications in other areas of knowledge.
In this paper, after a theoretical review of the subject is presented an interesting
characterization of the logarithmic function: it is the only function which transforms in
arithmetic progressions geometric progressions.
Following are some of the applications of logarithms which show the range of
ideas and mathematical theory on the subject. The applications were chosen so as to
contemplate the three major areas of knowledge: Exact, biological and human.
Keywords: logarithm, characterization of the logarithmic function, applications.
iv
SUMÁRIO
Introdução ......................................................................................................... 5
1 O Conceito de Logaritmo .............................................................................. 6
1.1 Definições e Conceitos Iniciais................................................................................ 6
1.2 Propriedades .......................................................................................................... 8
1.3 Introdução às Equações Logaritmicas .................................................................. 10
1.4 Os Logaritmos Naturais ........................................................................................ 11
1.5 Função Logarítmica: Definição e Caracterização .................................................. 12
2 Aplicações dos Logaritmos ........................................................................ 15
2.1 Introdução ............................................................................................................. 15
2.2 Logaritmos e Matemática Financeira .................................................................... 15
2.3 Logaritmos e Terremotos ...................................................................................... 17
2.4 Logaritmos e Meia Vida de Materiais Radioativos ................................................. 19
2.5 Logaritmos e Geografia/Biologia ........................................................................... 20
Considerações finais ..................................................................................... 23
5
INTRODUÇÃO
Este trabalho pretende mostrar que o conceito matemático de logaritmo, apresentar
de maneira sucinta as funções logarítmicas e caracterizá-las totalmente, além de mostrar
que a teoria abordada possui interessantes aplicações que o professor pode contemplar
em suas aulas e explanações sobre o tema de modo a motivar os alunos e tornar mais
significativa a aprendizagem do tema.
Pretende-se apresentar a função logarítmica como sendo a única função real que
transforma Progressões Geométricas em Progressões Aritméticas. Este resultado pode
ser usado como uma caracterização completa das funções logarítmicas e pode
perfeitamente ser apresentado aos alunos do Ensino Médio; parte da demonstração de
tal fato encontra-se demonstrada neste texto.
Com vista às aplicações, o conceito de logaritmo possui várias e inusitadas
aplicações que podem ser usadas em sala de aula, algumas das quais se encontram
abordadas na segunda parte deste trabalho.
6
1 O CONCEITO DE LOGARITMO
Uma pessoa é capaz de conseguir qualquer coisa
se o seu entusiasmo não tiver limites.
Charles Schwab
1.1 Definições e Conceitos Iniciais
No desenvolvimento deste trabalho será admitido sem maiores comentários que o
leitor conheça o corpo dos números reais, a definição e propriedades elementares das
potências de números reais e o conceito de função exponencial bem como sua
caracterização como sendo a única função com domínio e contradomínio real que
transforma uma Progressão Aritmética em uma Progressão Geométrica.
Fixados os reais 0a e 0 e 1b b define-se o logaritmo de a na base b como
sendo o (único) número real x tal que xb a e escreve-se logb a x . Na sequência de
ideias apresentadas acima, o número real 0a é chamado de logaritmando e o real
0 e 1b b é chamado de base do logaritmo.
De maneira geral para que um objeto matemático esteja bem definido não se podem
permitir exceções e nem ambiguidades; assim as restrições impostas aos reais a e b são
necessárias para que se garanta a unicidade e existência do logaritmo definido no
7
parágrafo anterior. De fato, note que admitir 0a nos leva a decidir pela não existência
de logb a x em algumas situações: é fácil ver que nenhum real 0 e 1b b pode ser
base de uma potência negativa uma vez que a potenciação é sobrejetiva no corpo real.
O mesmo problema de existência acontece quando supomos a base do sistema de
logaritmos negativa; finalmente quanto à restrição de 1b convém notar que ela
decorre imediatamente do fato de que se 1b então a equação exponencial 1x a só
possui solução se 1a uma vez que qualquer potência real de base 1 só pode ser a
própria unidade.
Pode-se dizer, em linguagem mais informal (porém bem mais sugestiva para o
aluno do Ensino Médio) que o logaritmo de a na base b (satisfazendo as restrições da
definição) é o expoente x que se deve dar ao real b para que se obtenha o real a:
log x
b a x b a
Fixada uma base b qualquer se vê que a determinação do logaritmo do real a é feita
facilmente nos casos em que a é uma potência de b; nos demais casos é necessário o uso
de uma tabela de logaritmos, computador, ou calculadora científica.
Abaixo são apresentados três exemplos da determinação de logaritmos. Note que
em todos os exemplos o logaritmando é uma potência da base adotada.
a) Considere 5log 25 x . Pela definição, 5log 25 5 25 2xx x e
portanto, 5log 25 2 .
b) Considere 2
1log
512x . Pela definição,
2 9
1 1 1log 2 2
512 512 2
x xx de
onde 9x e, portanto, 2
1log 9
512 .
c) Considere 81log 3 x . Então
4 1
81
1log 3 81 3 3 3 4 1
4
x xx x x e, portanto, 81
1log 3
4 .
8
1.2 Propriedades
Nesta seção serão apresentadas as propriedades elementares dos logaritmos. Boa
parte das aplicações exploradas e apresentadas no capítulo seguinte se apoia fortemente
no que será apresentado nesta seção. Em todas as propriedades apresentadas suponha
que os logaritmandos dados e as bases fixadas satisfazem a definição dada na seção
anterior.
O logaritmo de 1 em qualquer base b é nulo, isto é, log 1 0b .
Demonstração: Basta notar que qualquer real b não nulo elevado a zero é igual a 1.
O logaritmo do real b na base b é igual a 1, isto é, log 1b b .
Demonstração: Note que 1b b , para qualquer real b.
A potência de base b e expoente logb a é igual ao real a, ou seja, logb a
b a .
Demonstração: Observe que, pela definição de logaritmo logb a é exatamente o
expoente que devemos dar ao real b para encontrar o real a.
(Logaritmo do Produto) Se logb a x e logb c y então log .b a c x y
Demonstração: De fato, por definição logb a x e logb c y equivalem às
exponenciais xa b e
yc b . Fazendo o produto entre os reais a e c segue que
. . log .x y x y
ba c b b b a c x y , cqd.
(Logaritmo do Quociente) Se logb a x e logb c y então logb
ax y
c
Demonstração: De fato, por definição logb a x e logb c y equivalem às
exponenciais xa b e
yc b . Fazendo o quociente entre os reais a e c segue que
logx
x y
by
a b ab x y
c b c
, cqd.
9
(Logaritmo da Potência) Se logb a x e k é um real fixo então log .k
b a k x
Demonstração: A propriedade segue como consequência da propriedade do
logaritmo do produto para k natural. Para os demais casos (k inteiro, racional e
irracional) consulte a bibliografia ao final deste.
Se logb a x e k é um real fixo então 1
log kba x
k .
Demonstração: Seja log kba y , ou seja,
kyb a . Aplicando logaritmo na base b
aos dois lados da última igualdade segue que 1
log logky
b bb a ky x y xk
,
pela propriedade anterior e pela hipótese de que logb a x .
A última propriedade que será abordada neste trabalho é sem dúvida alguma uma
das mais importantes, pois em muitas situações práticas (por exemplo, na aplicação da
propriedade do logaritmo do produto e do quociente e no uso das tábuas de logaritmos)
é desejável que todos os logaritmos que aparecem estejam em uma mesma base.
Quando isto não acontece, a propriedade abaixo mostra como podemos efetuar a
mudança de base:
(Mudança de Base) Para quaisquer a, b e c positivos (com a e c diferentes de
um) têm-se que log
loglog
cb
c
aa
b .
Demonstração: Considere logb a x , logc a y e logc b z , ou seja, considere
que , e x y za b a c b c . Logo, x
z x yc a b c , ou seja, zx y de onde decorre
imediatamente que y
xz
.
A utilização da propriedade de mudança de base está ilustrada nos dois exemplos a
seguir:
10
a) Escrevendo 3log 5na base 2 temos: 23
2
log 5log 5
log 3 .
b) Para quaisquer a, b reais satisfazendo a definição de logaritmo temos que
1log
logb
a
ab
. De fato, escrevendo logb a na base a segue que
log 1log
log log
ab
a a
aa
b b , uma vez que log 1a a para qualquer real a como já
visto.
1.3 Introdução às Equações Logarítmicas
Uma equação logarítmica é uma equação onde a variável (termo desconhecido)
aparece no logaritmando, na base ou em ambos. São exemplos:
a) 2
5log ( 3 ) 2x x
b) 2
6log (8 7 ) 10x x x
c) 2log (3 7) 1x x
Resolver uma equação logarítmica significa determinar os valores (ou valor) da
variável que satisfaça a igualdade e atenda as condições de existência do logaritmo que
foram estabelecidas no item 1.1. Na maioria dos casos a resolução de uma equação
logarítmica é feita aplicando diretamente a definição de logaritmo (depois de
estabelecidas as condições de existência) e resolvendo-se na sequência a equação
exponencial obtida. Para cobrir o assunto em toda sua extensão, consulte algum dos
livros indicados ao final deste texto.
a) Considere a equação 2
2log ( 5 ) 2x x . Para que o logaritmo exista, é
necessário que o logaritmando seja positivo, ou seja,
2 5 0 0 ou 5x x x x ; esta é a condição de existência que a variável
deve satisfazer. Por outro lado, usando a definição de logaritmo valem as
equivalências: 2 2
2
5 41log ( 5 ) 2 5 4
2x x x x x
. Note finalmente
11
que os dois valores da variável satisfazer a condição de existência e, portanto
são de fato soluções do problema.
b) Seja agora a equação log 25 2x . Pela condição de existência devemos ter
1x e x positivo. Pela definição 2log 25 2 25 5 ou 5x x x x .
Note finalmente que 5x não satisfaz as condições e, portanto deve ser
descartado; assim a única solução é 5x .
c) Se considerarmos a equação 2 3log 2 6 1x x . Devemos ter
2 6 0 3x x e também 2 3 0x e 2 3 0x (de onde 3
2x ), ou seja,
necessariamente 3
2x . Por outro lado, 2 3log 2 6 1 2 3 2 6x x x x , o
que é impossível. Logo, tal equação possui solução vazia.
Ainda insistindo: note que a resolução das equações logarítmicas passa
necessariamente pela resolução de equações lineares, quadráticas ou exponenciais
geralmente simples com o cuidado adicional de que os valores encontrados devem
garantir a existência dos logaritmos considerados.
1.4 Os Logaritmos Naturais
Para a maioria das aplicações que serão desenvolvidas no capítulo seguinte é
fundamental que se conheça o conceito de logaritmo natural ou logaritmos de base e
(sendo e = 2,718281... o número irracional e transcendente conhecido como número de
Euler, em homenagem ao matemático suíço Leonard Euler (1707-1783) que o usou
pela primeira vez em 1728).
Em textos mais avançados de Matemática o número de Euler costuma ser
definido como sendo o limite da “soma infinita”
1 1 1 1 1 1...
0! 1! 2! 3! 4! 5!
Simbolicamente se escreve 1
1
!n
en
.
12
A demonstração deste resultado utiliza elementos de Cálculo Diferencial; para
referências mais avançadas sobre o tema consulte qualquer livre de Cálculo. Costuma-se
representar o logaritmo natural de base e por ln x em substituição à expressão loge x .
Em particular ln 1e e ln1 0 , uma vez que 0 11 e e e e .
1.5 Função Logarítmica: Definição e Caracterização
Em linhas gerais uma função real é definida como sendo uma correspondência
entre dois subconjuntos de números reais de maneira que a todo elemento do primeiro
subconjunto está associado um único elemento do segundo.
Dado um número real a > 0 e 1a , define-se a função (real) logarítmica de base
a como sendo a função que a cada número real positivo x associa o valor de seu
logaritmo na base a. Simbolicamente escreve-se :f .
logax x
Como exemplo, considere as funções 2( ) logf x x e 1
2
( ) logg x x . Verifique na
tabela abaixo a ação das funções f e g sobre o subconjunto A = {1, 4, 16, 64, 256, 1024,
4096, 16348}:
1 4 16 64 256 1024 4096 16348
f(x) 0 2 4 6 8 10 12 14
g(x) 0 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14
Analisando a tabela acima, observe que os elementos do conjunto A (tomados
em ordem crescente) são transformados pela ação da função logarítmica 2( ) logf x x
em uma sequência de números reais também crescente e que são transformados pela
ação da função 1
2
( ) logg x x em uma sequência de números reais decrescente.
A diferença de ação das duas funções logarítmicas dadas sobre o conjunto A se
explica pela natureza das bases; dito de outro modo, note que a função f(x) tem base
maior que 1 e que a função g(x) tem base compreendida entre 0 e 1 (lembre-se de que
não faz sentido falar em base negativa quando se define logaritmo)
De maneira geral vale o seguinte resultado:
13
Considere uma função logarítmica f(x) de base a definida no conjunto dos reais.
Respeitadas as condições de existência para a função ( ) logaf x x temos que ( )f x é
crescente para toda base a > 1 e decrescente para toda base compreendida entre 0 e 1,
isto é, para 0 < a < 1.
Nos gráficos abaixo é possível verificar o comportamento da função logarítmica de
base a conforme seja ela crescente ou decrescente. Note que independente do
crescimento ou decrescimento e do valor da base adotada, a função logarítmica sempre
intercepta o eixo das abscissas no ponto x = 1:
f(x) crescente f(x) decrescente
Dentre todas as funções elementares, a função logarítmica é a única que possui a
propriedade notável de transformar uma Progressão Geométrica (PG) em uma
Progressão Aritmética (PA). Tal fato pode ser usado como uma perfeita caracterização
para as funções logarítmicas e se mostra útil na modelagem de problemas, uma vez que
se os dados experimentais indicarem a transformação de PG’s em PA’s então certamente
a modelagem matemática do problema deve ser feita através dos logaritmos.
Formalmente, vale o seguinte resultado:
(Caracterização da Função Logarítmica): Se uma função real f transforma qualquer
Progressão Geométrica não constante de razão a > 0 em uma Progressão Aritmética,
então f é necessariamente uma função logarítmica.
Para provar parte da afirmação acima, tome a Progressão Geométrica de
primeiro termo m real e razão a > 0, ou seja, tome a sequência de reais m, ma, ma2,
14
ma3,..., ma
n,.... Aplique agora a função logarítmica de base a à sequência construída
acima, ou seja, considere a nova sequência
2 3log , log , log , log ,..., log n
a a a a am ma ma ma ma ( * )
Pelas propriedades operatórias dos logaritmos que foram provadas no início
deste capítulo, segue que log log log logn n
a a a ama m a m n , ou seja, ( * ) se
reescreve como
log , log 1, log 2, log 3,..., loga a a a am m m m m n
que certamente é uma Progressão Aritmética de primeiro termo loga m e razão (neste
caso) r = 1.
Claro que o argumento acima prova apenas parte da caracterização da função
logarítmica. A demonstração completa é bastante delicada e pode ser encontrada nas
referências ao final deste.
Retome o exemplo numérico dado no início desta seção. Note que lá, o conjunto
A = {1, 4, 16, 64, 256, 1024, 4096, 16348} é na verdade uma Progressão Geométrica de
primeiro termo 1 e razão q = 4 e que as imagens do conjunto A pelas funções
2( ) logf x x e 1
2
( ) logg x x formam duas Progressões Aritméticas de razões r = 2 e
r = – 2, respectivamente.
O assunto abordado nesta seção é bastante vasto e interessante. As referências ao
final deste possuem material complementar sobre o tema e constituem fonte de estudo
para aprofundamento das discussões que aqui foram iniciadas.
15
2 APLICAÇÕES DOS LOGARITMOS
A Matemática é o alfabeto com o qual
Deus escreveu o Universo
Pitágoras
2.1 Introdução
Neste capítulo serão apresentadas algumas das aplicações e situações práticas onde
o conceito de logaritmo e as ideias apresentadas no capítulo anterior estão presentes.
Não se pretende esgotar o tema e as aplicações neste capítulo; pretende-se somente
motivar o leitor e convencê-lo da importância do logaritmo nas mais variadas ciências
modernas.
2.2 Logaritmos e Matemática Financeira
O mercado financeiro atual estabelece suas operações de crédito e financiamento
em um modelo ou sistema conhecido como juros compostos. Neste modelo os juros
cobrados são capitalizados sobre valores de juros já cobrados; trata-se da cobrança de
“juros sobre juros”. Para entender de que maneira os logaritmos estão presentes na
Matemática Financeira, considere a seguinte situação:
16
“Um aplicador investiu R$1000,00 em um banco que paga 1,25% ao mês de
rendimento no sistema de juros compostos. Durante quanto tempo este valor deve
permanecer aplicado para produzir o montante de R$2000,00?”
Para resolver o problema, analise na tabela abaixo a evolução do capital ao longo
dos meses:
Instante Atual 1000
1º Mês 1000 + 1000.0,0125 = 1000.(1 + 0,0125) = 1000.(1,0125)
2º Mês 1000.(1,0125) + 1000.(1,0125).(0,0125) =
1000.(1,0125).(1+0,0125)=1000.(1,0125).(1,0125) = 1000.(1,0125)2
3º Mês 1000.(1,0125)
2 + 1000.(1,0125)
2.(0,0125) =
1000.(1,0125)2.(1+0,0125)=1000.(1,0125)
2.(1,0125) = 1000.(1,0125)
3
... ...
t-ésimo Mês 1000.(1,0125)t
Note que resolver o problema dado equivale a determinar o valor da variável t tal
que 1000.(1,0125)t = 2000. Exatamente neste ponto é que a teoria dos logaritmos mostra
seu alcance. Acompanhe as implicações: (apesar de ser possível usar os logaritmos em
qualquer base, normalmente se escolhem os logaritmos naturais por simplicidade uma
vez que qualquer calculadora científica ou mesmo uma planilha eletrônica os calculam
facilmente)
ln 21000.(1,0125) 2000 1,0125 2 .ln1,0125 ln 2
ln1,0125
t t t t
Usando uma aproximação de cinco casas decimais tem-se que
ln 2 0,6931455,8
ln1,0125 0,01242t , ou seja, para que os R$1000,00 iniciais produzam um
montante de R$2000,00 nas condições dadas são necessários 56 meses.
O exemplo acima pode ser generalizado; temos o seguinte resultado:
17
Um capital C aplicado a uma taxa de i/100 por período de tempo produz o
montante M num regime de capitalização composta após
ln
ln 1100
M
Ct
i
períodos de
tempo.
2.3 Logaritmos e Terremotos
A maneira mais usual de se medir a intensidade de um terremoto é derivada do
uso da Escala Richter, desenvolvida pelo sismólogo americano Charles F. Richter em
1935.
Ele formulou uma escala expressando as magnitudes dos terremotos em uma
escala logarítmica de modo que ao aumento de um ponto na escala corresponda a um
aumento de dez vezes na escala de vibrações. Na sequência está apresentada a tabela de
interpretação das magnitudes medidas pela Escala Richter:
Descrição Magnitude Efeitos Frequência
Micro < 2,0 Micro tremor de terra não perceptível. ~ 8000 por dia
Muito
Pequeno 2,0 – 2,9
Geralmente não percebido, mas
registrado/detectado. ~ 1000 por dia
Pequeno 3,0 – 3,9 Frequentemente sentido, mas raramente
causa danos; ~ 49000 por ano
Ligeiro 4,0 – 4,9
Tremor notório de objetos dentro das
casas e ruído de choque entre objetos.
Danos importantes pouco comuns.
~ 6200 por ano
Moderado 5,0 – 5,9
Causa danos maiores em edifícios mal
construídos e danos ligeiros nos bem
construídos.
~ 800 por ano
Forte 6,0 – 6,9 Pode ser destruidor em áreas num raio
de até 180 Km em áreas habitadas. ~ 120 por ano
Grande 7,0 – 7,9 Provoca grandes danos em áreas muito
vastas. ~ 18 por ano
18
Importante 8,0 – 8,9 Causa danos sérios num raio de centena
de quilômetros. ~ 1 por ano
Excepcional 9,0 – 9,9 Devasta zonas num raio de milhares de
quilômetros
1 a cada 20
anos
Extremo > 10,0 Nunca registrado. Desconhecido
A título de curiosidade, os registros indicam que o maior terremoto da história da
humanidade aconteceu em 1960 no Chile e registrou 9,5 de magnitude na Escala
Richter.
A energia liberada por um terremoto e a magnitude registrada na escala Richter
podem ser relacionadas pela expressão log E = 11,8 + 1,5M, onde E e M representam
respectivamente a energia liberada em ergs e a magnitude do tremor.
Richter foi além e relacionou a indicação M1 e M2 de dois terremotos na escala por
ele criada com a energia E1 e E2 liberadas respectivamente através da expressão
11 2
2
logE
M ME
(*)
Como aplicação deste último resultado considere o problema:
“Dois terremotos registraram na Escala Richter as magnitudes M1 = 5 e M2 =
2,4. Qual a razão entre as energias liberadas? Interprete tal resultado.”
Para resolver este problema, vamos usar (*):
1,61 1 1 11 2
2 2 2 2
log 5 2,4 log log 1,6 10 39,81E E E E
M ME E E E
Este resultado indica que um terremoto de magnitude M1 = 5 libera uma energia
39 vezes maior que um de magnitude M2 = 2,4
19
2.4 Logaritmos e Meia-Vida de Materiais Radioativos
Os materiais radioativos são aqueles que possuem a propriedade (natural ou
artificial) de emitir radiações classificadas em Química como partículas alfa, partículas
beta e raios gama.
Os átomos de uma substância radioativa tendem a se desintegrar emitindo
partículas e transformando-se em outras substâncias. Sabe-se que as partículas emitidas
não alteram consideravelmente a massa total do corpo, mas com o passar do tempo a
quantidade da substância original diminui. Desta observação os químicos
desenvolveram o importante conceito de meia-vida, definido como o tempo necessário
para que a metade da massa de um elemento radioativo se desintegre. Este tempo não
depende da quantidade inicial de massa presente; assim o tempo necessário para que
100 Kg de um material radioativo se reduza à metade é certamente a mesma que 10g
desta substância precisa para também se reduzir à metade. Por exemplo, os isótopos do
urânio tem meia vida de 109 anos, enquanto os do elemento rádio 224 tem meia vida de
3 dias e 15 horas.
Formulando de maneira matemática as informações acima, considere m(t) a
massa no instante t de uma substância radioativa que no início da contagem do tempo
era m(0). Podemos assegurar com base no conceito de meia vida que m(t) = m(0).eat,
onde a constante a é negativa uma vez que a função m(t) definida é decrescente
(lembre-se que a quantidade de material vai decaindo ao longo do tempo).
O uso de logaritmos neste problema se mostra importante para a determinação
do tempo necessário para que uma massa m(0) inicial decaia até um valor m(t). De fato,
somente usando as propriedades dos logaritmos que desenvolvemos no parágrafo
anterior segue que:
( ) (0). ln ( ) ln[ (0). ] ln ( ) ln (0) lnat at atm t m e m t m e m t m e ( * )
Usando o fato de que ln ate at e a expressão em ( * ) finalmente podemos
calcular o tempo t:
( ) 1 ( )ln ( ) ln (0) ln ln
(0) (0)
m t m tat m t m at t
m a m
20
Das considerações acima podemos enunciar o principal resultado desta seção:
“O tempo necessário para que uma massa inicial m(0) de qualquer substância
radioativa decaia à uma massa m(t) é dada por 1 ( )
ln(0)
m tt
a m
, onde a constante a
real é própria da substância considerada.”
Como aplicação do resultado acima, considere o seguinte problema:
“Determine o tempo necessário para que 500g de certo material radioativo (cuja
desintegração acontece à uma taxa de 1,8% ao ano) se reduza à 300g.”
Pelo resultado estabelecido na discussão acima o tempo necessário é de
aproximadamente 28,3 anos. De fato, o tempo necessário é dado por 1 ( )
ln(0)
m tt
a m
.
Sendo m(0) = 500g, m(t) = 300g e a = 0,018, temos:
1 ( ) 1 300 1 1ln ln ln 0,6 .( 0,51082) 28,3
(0) 0,018 500 0,018 0,018
m tt t
a m
2.5 Logaritmos e Geografia/Biologia
Os logaritmos também constituem a ferramenta matemática apropriada para se
tratar os fenômenos de crescimento e decrescimento populacional. De fato, muitos
problemas relativos às demandas de políticas sociais e alocação de recursos financeiros
para determinadas comunidades podem ser resolvidos através de um modelo ideal onde
se supõe a taxa de crescimento/decrescimento constante. Trata-se de um modelo ideal
uma vez que se sabe que tais taxas não são constantes, mas podem ser razoavelmente
aproximadas através de estudos anuais e sucessivos por parte dos Institutos de
Geografia e Estatística (no caso brasileiro, geralmente conduzidos pelo IBGE).
Observe ainda que este modelo de crescimento e decrescimento populacional
pode ser facilmente adaptável para o estudo de populações de quaisquer animais e/ou
áreas verdes, por exemplo,
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Considere, portanto, a situação ideal onde uma população inicial P(0) cresce a
uma taxa constante de i% por período de tempo. Pelo mesmo raciocínio empregado no
item 2.1 quando se apresentou a aplicação na Matemática Financeira é possível compor
a seguinte tabela para modelar a situação: (Considere a taxa i na forma decimal, isto é
considere na tabela abaixo a taxa na forma i/100)
População Inicial P(0)
1º Período de Tempo P(0) + P(0).i = P(0).(1 + i)
2º Período de Tempo P(0).(1 + i) + P(0).(1 + i).i = P(0).(1 + i).(1 + i) = P(0).(1 + i)2
3º Período de Tempo P(0).(1 + i)2 + P(0).(1 + i)
2.i = P(0).(1 + i)
2.(1 + i) = P(0).(1 +i)
3
... ...
n-ésimo Período de
Tempo P(0).(1 +i)
n
Usando como referência o modelo construído acima, observe que o tempo
necessário para que a população atinja um nível P(t) pode ser determinado com o
auxílio dos logaritmos. De fato, como nesse modelo estamos considerando P(t) =
P(0).(1 +i)t , o valor de t pode ser encontrado a partir do seguinte raciocínio (que mais
uma vez só faz uso das propriedades básicas apresentadas no capítulo anterior):
( )ln
( ) ( ) (0)( ) (0).(1 ) (1 ) ln(1 ) ln
(0) (0) ln(1 )
t t t
P t
P t P t PP t P i i i t
P P i
Como exemplo, considere o seguinte problema e sua resolução apresentada na
sequência:
“Uma população inicial de animais P(0) cresce dentro de um ecossistema
monitorado por biólogos a uma taxa de 4,0% à década. Em quantas décadas a
população inicial de animais triplicará?”
Note que a solução do problema não depende da população inicial de animais, o
que contraria o senso comum, assim como no caso da desintegração radioativa; fazendo
P(t) = 3.P(0) vem que:
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( ) 3 (0)ln ln
log3 1,09861(0) (0)28
ln(1 0,04) ln(1 0,04) log1,04 0,03922
P t P
P Pt t t t
Portanto, serão necessárias 28 décadas para que a população triplique.
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Considerações Finais
Ao longo deste trabalho foram apresentadas duas importantes construções,
indispensáveis à boa prática matemática por parte do professor: no primeiro capítulo o
leitor pôde tomar contato com o conceito de logaritmo e explorá-lo de maneira teórica
afim de que pudessem ser desenvolvidos os instrumentos adequados à construção das
aplicações que foi feita no segundo capítulo. Ainda no primeiro capítulo foi apresentado
um resultado fundamental que caracteriza as funções logarítmicas como sendo as únicas
funções reais que transformam Progressões Geométricas em Progressões Aritméticas e
que está acessível aos alunos do Ensino Médio por sua simplicidade.
As aplicações apresentadas no segundo capítulo não possuem a pretensão de
esgotar o tema, mas tão somente tem por objetivo motivar o leitor a buscar novas e mais
interessantes aplicações. Espera-se que este trabalho sirva de inspiração para novas
práticas pedagógicas para as aulas de matemática, na medida em que fornece um bom
repertório de aplicações a serem apresentadas, discutidas e desenvolvidas com os alunos
do Ensino Médio.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo. MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de
matemática elementar 2 – logaritmos. 8. ed. São Paulo: Atual, 1993
ZAGO, Glaciete Jardim, Walter Antonio Sciani. Exponencial e Logaritmos. 2º edição.
São Paulo: Editora Estude e Use, 1996.
TEIXEIRA, Wilson, M.Cristina Motta de Toledo,Thomas Rich Fairchild, Fabio Taioli.
Decifrando a Terra, Sismicidade e Estrutura Interna da Terra. São Paulo: Oficina de Textos. USP Universidade de São Paulo, 2003.
IEZZI, Gelson et al. Matemática, ciência e aplicações. São Paulo: Saraiva, 2004.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática 2ª série. São Paulo: Ática, 2004.
LIMA, E.L., CARVALHO, P.C.P, WAGNER, MORGADO, A.C: A Matemática do
Ensino Médio, Vol.1: Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM,
1996.