07 logaritmos

LOGARITMOS DEFINIÇÃO

, ,

Exemplos:

pois

pois

pois

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA

existe

EXEMPLO: Determine os valores para os quais existe

.

RESOLUÇÃO

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01) Determinar o domínio da função

.

CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS

(

)

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

02) Se , então é igual a:

a) 2m + 3

b) 3m + 1 c) 6m d) m + 6 e) m + 3

Obs.

03) Se , então o é igual

a a) b) c)

d)

e)

04) é igual a:

a) 1 b) 3 c) 5 d) 10 e) 1000

05) Dado que , calcular

06) O número está

compreendido entre: a) –1 e 0 b) 0 e 2 c) 2 e 3 d) 3 e 4 e) 5 e 7

log x

a N x a N log x

a N x a N 0a 1a 0b

3log 81 4 43 81

2log 2 2

2

2 2

6log 1 0 06 1

loga N0

0, 1

N

a a

5log ( 4)x

4 0 4x x

2

1( ) log ( 5 )xf x x x

log 1 0a

log 1a a

log n

a a nloga Na N

log loga ax y x y

log ( . ) log loga a aM N M N

log log loga a a

MM N

N

log logN

a aM N M

1log log loga a aN co N

N

1log log

N

a aM M

N

32 m54log 2

10log log

log lne

N N

N N

10log log

log lne

N N

N N

10log 1,73 a 10log 1730

a

3a

3 a3a

3

a

log50 log40 log20 log2,5

log5 m

2log75 log

3A

2 2log 33 log 3E

07) Calcule o valor da expressão

MUDANÇA DE BASE

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 08) Se , então

é:

a)

b)

c) 1 d) 2 e) 0

09) Considerando e

pode-se afirmar, com base nesses dados, que o valor do logaritmo decimal de 5 é: a) 3/7 b) 1/2 c) 5/7 d) 7/3 e) 7/5

10) O produto é igual a:

a) 0 b) 1/2 c) 10 d) 30 e) 1/10

11) Sabendo que , podemos concluir que é igual a:

a) 2/p b) 2p

c) 2 +

d) 2 + 2p

e)

EQUAÇÕES Aquelas em que a variável se encontra no logaritmando ou na base serão chamadas de equações logarítmicas. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 12) Resolva as equações:

a)

b)

4log 5

5 3 5log 1 4 log (log 125)

loglog

log

ab

a

NN

b

loglog

log

ab

a

NN

b

x log4 7 e y = log 4916 x y

7log4

log 7

log 10 1,4m log 50 2,4m

9 2 5(log 2).(log 5).(log 3)

5 2p

log 2 100

p2

2 2 p

p

2

5 5log ( 3) log ( 3)x x

2

1

5

log ( 4 4) 0x x

c)

d)

APLICAÇÕES 13) A altura média do tronco de certa espécie

de árvore, que se destina a produção de madeira, evolui, desde plantada, segundo o seguinte modelo matemático:

, com em

metros e t em anos. Se uma destas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de altura, o tempo em anos transcorrido do momento da plantação até o corte foi?

14) Um laboratório iniciou a produção de certo tipo de vacina com lote de x doses. Se o planejado é que o número de doses produzidas dobre a cada ano, após quanto tempo esse número passará a ser igual a 10 vezes o inicial? ( use )

15) Suponha que o total de sapatos produzidos

por uma pequena indústria é dado aproximadamente, pela função

, onde t é o

número de anos e S o número de sapatos produzidos, contados a partir do início de atividade da indústria.. Determine: a) o número de sapatos produzidos no

primeiro ano de atividades da indústria; b) o tempo necessário para que a produção

total seja o triplo da produção do primeiro ano.

16) Uma cultura bacteriana apresenta

inicialmente uma população de 10 000 bactérias. Após t horas, sua população será de 10 000(1,2)t bactérias. A população da cultura será de 30 000 bactérias após um número de horas igual a: ( Use: log2=0,3 e log3=0,48 )

2

8 8(log ) 4log 4 0x x

2 2log ( 3) log ( 4) 1x x

3( ) 1,5 log 1h t t ( )h t

log2 0,3

2( ) 1000log (1 )S t t

FUNÇÃO LOGARITMICA

, ,

Exemplos

1. Esboce o gráfico da função



INEQUAÇÕES Ao estudarmos as inequações logarítmicas, devemos ter cuidados especiais com as restrições sobre a incógnita. Na resolução das inequações, procuraremos obter logaritmos de mesma base nos dois membros. A partir disso, trabalharemos apenas com os logaritmandos, usando o fato de a função ser crescente ou decrescente:

Mantendo o mesmo sinal da inequação quando a base for maior que 1, pois a função é crescente;

Invertendo o sinal da inequação quando a base estiver entre 0 e 1, pois a função é decrescente. Exemplos: 1. Resolver a inequação

C.E. :

.

Portanto

2. Resolver a inequação

C.E. :

.

Portanto

( ) logaf x x( ) logaf x x 0a 1a 0x

2logy x

( ) { | 0}Dom f x x ( ) { | 0}Dom f x x Im( )f Im( )f

1

2

logy x


2log ( 1)y x


2 2log ( 1) log 6x

1 0x 1x

2 1a a

1 6 5x x

{ | 5}S x x

1 1

2 2

log (2 4) log 3x

2 4 0x 2x

10 1

2a a

72 4 3

2x x

7{ | 2 }

2S x x

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 17) Dado um número real a com , seja S o

conjunto solução da inequação

.Então S é o

intervalo a) [4, + [ b) [4, 7[ c) ]1, 5] d) ]1, 4] e) [1, 4[

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01) (UFMT) Sendo , podemos

afirmar que é igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

02) (UEL) Supondo que exista, o logaritmo de a

na base b é: a) O número ao qual se eleva a para se

obter b. b) O número ao qual se eleva b para se

obter a. c) A potência de base b e expoente a. d) A potência de base a e expoente b. e) A potência de base 10 e expoente a.

03) (UMC-SP) O logaritmo de 7776 no sistema

de base 6 vale: a) 6 b) 5 c) 3 d) 2,5 e) Não pode ser determinado sem tabela

apropriada.

04) (UNIFOR-CE) Qual o valor de

?

05) (ITA) A expressão é igual

a:

a)

b)

c)

d) e)

06) (PUC-SP) A expressão é igual a:

a) 11 b) 1 c) 0 d) Não temos elementos para calcular e) 12

07) (UNIMAUA - SP) Achar o valor da expressão


(Supor e ) a) b)

c)

d)

e) 09) (CESULON-PR) Resolvendo a equação

, obtemos:

a)

b)

c)

d)

e)

10) (UNIFOR) Seja um número real que

satisfaz a equação . Nestas

condições, o valor de é: a) 10 ou -8 b) 4 ou -2 c) 9 d) 5 e) 3

11) (PUC-SP) Assinale a propriedade válida

sempre: (Supor válidas as condições de existência do logaritmo) a)

1a

7

1 1

1log log log ( 1)

x

a

a a

xa

4log 253

x

2log 5

3

x

2

3

x

2

9

x

3

3

x

2

3

9

x

3

5 2[log (25log 32)]

2 4log 16 log 32

1

2

3

2

4

1

2.log 2

4

1

11log 1

1 2 5

3

1log 3 3 log log 5

4M

loga ba

0 1a 0b

b

abaab

ab

3log (2 7) 4x

{40}S

{41}S

{42}S

{43}S

{44}S

m2

2log ( 1) 3x

1m

log( . ) log .loga b a b

Comentado [G1]: GABARITO: A

Comentado [G2]: GABARITO: B


Comentado [G4]: GABARITO: 27


Comentado [G6]: GABARITO: C

Comentado [G7]: GABARITO:

1

2


Comentado [G9]: GABARITO: E



b)

c)

d)

e)


a) 2 b) 1 c) 27 d) 0 e) -1

13) (UNIP-SP) o valor de

é

a) 1

b)

c) 2

d)

e) 1,4 14) (UNIJUÍ-RJ) Sendo os números A e B reais e

positivos, a sentença verdadeira é: a)

b)

c)

d)

e)

15) (CESGRANRIO) Se , o valor

de é:

a) 0,0209 b) 0,09 c) 0,209 d) 1,09 e) 1,209

16) (MACK-SP) Se , então

vale: a) 0,04 b) 1,5 c) 20 d) 25 e) 200

17) (FFRECIFE) Se ,

então:

a)

b)

c)

d)

e)


vale:

a)

b)

c)

d)

e)

19) (VUNESP-SP) Se e ,

é igual a:

a)

b)

c)

d)

e)


é igual a: a) 1/2 b) 1/3 c) 0 d) 2 e) 3

21) (FEI-SP) Se e ,

escrevendo em função de e

obtemos: a) b) c) d)

e)

log( ) log loga b a b

log . .logm a m a

log log .ma m a

log .logma m a

27log 27

4 4log (24,96) log (3,12)

3

2

5

2

log( ) log .logA B A B 3

3log log logA

A BB

1

21

log log log .log2

A B A B

loglog log / 4

4.log

AA B

B

2 2log log log( / )A B A B

10log 123 2,09

10log 1,23

log 2 log4m m

1log log 2log log

3x b c a

3

b cx

a

/ 3

abcx

a

3

b cx

a

2

3

bcx

a

2

3

bcx

a

5log 81 k 3log 15

4

2

k

4k

k

2

2

k

k

4

2

k

k

2

2

k

k

log2 x log3 y

log72

2 3x y

3 2x y

2 3x y

3 2x y

x y

3 3log 2 log ( 1) 1x

x

log2 a log3 b

32log

27a b

2a b

2a b

2ab

2 /a b

5 3a b





Comentado [G16]: GABARITO: D






22) (PUC-SP) Se , , então

vale:

a) b)

c)

d)

e)

23) (UFPR) Considere o conjunto S={1,2,-1,-2}.

É correto afirmar que: (01) O total de subconjuntos de S é igual ao

número de permutações de quatro elementos.

(02) O conjunto solução da equação

é igual a S.

(04) O conjunto-solução da equação

está

contido em S. (08) Todos os coeficientes de x no

desenvolvimento de

pertencem a S. 24) (MACK-SP) O domínio da função definida

por é o conjunto:

a) b)

c)

d)

e)

25) (UNICID-SP) Se e =n,

podemos afirmar que é:

a)

b)

c)

d)

e)

26) (FUVEST-SP) Sabendo-se , podemos

concluir que é igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

27) (UFS-BA) O domínio da função

é:

a)

b)

c)

d)

e) 28) (AFA) No conjunto dos números reais, o

campo de definição da função

é dado por

a)

b)

c)

d)

e) 29) (UFPR) Sendo a, b e x números reais tais

que , e , é correto afirmar:

(01)

(02) Se , então . (04) a, b e x, nesta ordem, estão em

progressão geométrica.

(08)

(16) 30) (UEPG-PR) Considerando que p é o produto

das raízes da equação

e que assinale o que for

correto. (01) p é um número primo (02) p é um múltiplo de três

(04) |p m m

logbm a 0m 2

1loga

b

m2m

2m

2

m

1

m

2 2( 1)( 4) 0x x

10 10 10

22log log 3 log ( )

3x x

4( 1)x

23( ) log( 7)f x x x

{ | 0}x x

{ | 23}x x

10log 2 m 10log 3

5log 6

2

1

m

m

1

m n

m

m n

mn

1

m n

m

3

1

mn

m

5 2p

2log 100

2

p

2p

22 p

2 2p

2 2p

p

2

1

2

( ) log (5 26 5)f x x x

{ | 5}x x

1{ |0 }

5x x

1{ | ou 5}

5x x x

{ | 2}x x

2

( 1)( ) log (2 5 2)xf x x x

{ | 2 ou 1}x x x

1 1{ | 1 e }

2 2x x x

1{ | 0 e 0}

2x x x

1{ | 1 0 ou 0 ou x>2}

2x x x

3 2a b 9 4b x 0a

2log 3b x

2a 3b

2log 6a b a 2 23 2a b b x

2log log 6 0x x

3 72 .4

8

pp

pm


Comentado [G23]: 04




Comentado [G27]: GABARITO: C


Comentado [G29]: 28

Comentado [G30]: 24

(08) 60 < m < 70 (16) m > p

GABARITO

01) A 02) B 03) B 04) 27 05) B

06) C 07) * 08) A 09) E 10) B 11) E 12) B 13) B 14) B 15) B

16) D 17) D 18) D 19) B 20) A

21) E 22) D 23) 06 24) E 25) D

26) E 27) C 28) D 29) 28 30) 24

*

1

2

07 logaritmos

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