UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

T E S I S

EXPANSIÓN ESTACIONARIA DEL PLASMA

PRODUCIDO POR UN PULSO DE LÁSER

SOBRE UNA MICROESFERA

OH3) SflÁ>.. E.X.f .. fi

por: tfjj,t-i4.;;";;,,;; i

Javi er Sanz Recio

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS

Madrid, Mayo 1981

-X-

R E S U M E N

-ii-

RESUMEN

Para obtener energía de fusión mediante el láser, es

necesario comprimir una microesfera a densidades muy altas (diez

mil veces la densidad inicial), calentando al mismo tiempo un

pequeño núcleo central del blanco a temperaturas del orden de

10 KeV. El problema queda dividido en dos partes bien diferen­

ciadas cuando existe una superficie de ablación que separa el

problema interior que es no estacionario y el problema exterior,,

el cual se puede tomar cuasiestacionario si la densidad crítica

del plasma es mucho menor que la densidad del blanco. En este

trabajo se ha analizado fundamentalmente la expansión cuasies-

tacionaria (problema exterior) de la corona de plasma producida

por un pulso de láser de alta intensidad. Se ha determinado la

estructura completa del flujo en función de la potencia del la_

ser W. La potencia W requerida para generar una presión de abla^

ción dada P_ en la superficie de ablación de radio r , en térmi a a -—

nos del número de carga iónica Z., masa iónica m. y densidad S 1 ' 1 J

crítica. También se encuentra el gasto másico en función de P & a

o W. Si el problema interior ha sido resuelto para una compre­

sión óptima, conociendo la ley temporal P (t) y r (t), es posi

ble reconstruir la ley temporal para la potencia del láser

W(t)=w[P (t),r (t),Z.,m.,n ] , que genera esa compresión.

- .1 1 1 -

Deseo expresar mi agradecimiento al Director de esta

Tesis, Dr. D. Juan R. Sanmartín Losada, Catedrático de Física

de la E.T.S.I.Aeronáuticos, por la ayuda, colaboración y estí­

mulo prestados, sin los cuales este trabajo -no habría sido po­

sible. Gracias también al Profesor Liñán por su inestimable

ayuda.

Esta Tesis ha sido realizada bajo los auspicios de

la Junta de Energía Nuclear y parcialmente disfrutando una Be­

ca del Ministerio de Educación y Ciencia.

- i v -

Í N D I C E

- V-

Í N D I C E

Página

INTRODUCCIÓN 1.1

COMPRESIÓN ISENTROPICA 2.1

EXPANSIÓN ESTACIONARIA Z. GRANDE 3.1 i

EXPANSIÓN ESTACIONARIA Z. ARBITRARIO 4.1 i

INFLUENCIA DEL LIMITADOR DE FLUJO TÉRMICO .... 5.1

DISCUSIÓN DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES 6.1

APÉNDICE A.- Transición en el flujo térmico

cuando se considera conducción

clásica.

APÉNDICE B.- Separación del radio crítico y

el sónico en función de Z . .

APÉNDICE C - Saturación del flujo térmico

cuando r>r . c

REFERENCIAS R,l

1. INTRODUCCIÓN

1.1

1 .- INTRODUCCIÓN

La escasez de recursos petrolíferos que existe en el

mundo así como el notable incremento de los costes de los pro­

ductos fósiles, experimentado en los últimos años, dan un ca­

rácter de urgencia al desarrollo de fuentes alternativas de

energía.

La utilización del reactor de fisión harprobado sufi

cientemente, su capacidad para satisfacer la demanda energéti­

ca mundial por espacio de algunos cientos o miles de años, a

pesar de ello es actualmente objeto de fuertes controversias

ya que los residuos radiactivos resultantes de la fisión produ

cirían,' en caso de accidente, un daño biológico incalculable.

Otras fuentes de energía tales como la de fusión nu­

clear, la solar y la geotérmica, están siendo investigadas ex­

haustivamente, ya que ofrecen el atractivo de un suministro de

energía inextinguible y poco contaminante; no obstante, la fu­

sión nuclear parece ser la más prometedora de ellas, por pro­

porcionar energías por unidad de volumen mucho mayores.

La fusión, contrariamente a la combustión química,

no contamina el aire; contrariamente a la fisión nuclear no

produce deshechos radiactivos ni el problema de su almacena­

miento. La fusión si produce neutrones y tritio, aún cuando es

te se puede aprovechar como combustible para una reacción de

fusión con deuterio.

Como ocurre con otras reacciones, para que la fusión

tenga lugar es preciso calentar el combustible. Debido al cor­

to alcance de la Interacción Fuerte, que determina la energía

de enlace nuclear, los núcleos de deuterio deben aproximarse a

1.2

-1 3 distancias del orden de 10 cm, con un salape total de las

nubes electrónicas respectivas-, esto requiere una enorme ener­

gía cinética de movimiento relativo de los átomos -una muy al­

ta temperatura. En esas condiciones los átomos están ionizados

y forman un gas de iones y electrones, un plasma; la intensa

repulsión culombiana entre núcleos hace despreciable la ve!oci_

dad de reacción salvo a grandes temperaturas. La fusión antes

citada, entre núcleos de deuterio y tritio

<H + JH -»• ÜHe + 1n + 17.6 MeV 1 1 2 o

requiere temperaturas algo menores y, por ello, en las primeras

máquinas de fusión se piensa utilizar una mezcla equiatómica

de deuterio y tritio; el tritio, prácticamente inexistente en

agua natural, es generado en la misma máquina por interacción

de los neutrones de fusión con una envoltura de litio.

Sea n el número de iones reactantes por unidad de vo

lumen (n=n + n _ ) ; en condiciones especialmente uniformes, si

la mezcla es inicialmente equiatómica permanece así durante ,el

quemado: n(t)=n(t)=-^-n(t) . Como la fusión es un proceso b_i

nario se tiene :

d nD d nT 1 dn • r n 2„ — = -dt-=2 dt = - Cl nD nT = - C i n '* '

donde C.n^nm es la velocidad de reacción, y C„, usualmente es-1 D T ' J 1

crito es C. = Va(V), la constante de reacción, resultado de pro

mediar sobre funciones de distribución de Maxwell, la constan­

te Va(V) para una velocidad relativa V (a = sección eficaz de

fusión); C.. crece muy rápidamente con la temperatura por deba-

8 8 jo de 10 °K y presenta un máximo a 6 x 10 °K. Suponiendo que

1 .3

la temperatura T permanece constante durante el quemado igual

a T y si se define la fracción de quemado o J ^

f(t) = n - n(t) o

El cociente entre la energía liberada y la energía

i n v e r t i d a

G H f 2 % Q C (T ) n T l o o

2 K k T o 1 ! I I ° I ' J C I " . ) " » '

siendo Q = 17.6 MeV, crece con el tiempo de quemado t. Si se exi_

1 ge que G 2 para permitir un rendimiento térmico de — se tiene

2 x 12kT n X > o* - (Q - 6kT ) C. (T. )

o 1 o

para T - 2 * 10 °K

14- - 3 -1 (n T) . Ü 10 cm x seg

o m m

Esta condición (criterio de Lawson) se considera a

menudo un objetivo primero a conseguir.

El tiempo de quemado T es esencialmente el tiempo de

existencia del plasma a la densidad n y la temperatura T . r o J c o

Siendo el plasma un gas, es necesario confinarlo para mantener

una densidad dada y ello es difícil debido a las altas tempera

turas consideradas. Independientemente del criterio de Lawson',

se encuentra que T debe exceder un valor mínimo. En un gas a

altas temperaturas, fuertemente ionizado, la emisión de radia­

ción electromagnética es fundamentalmente radiación de frenado

(bresmmstrahlung) en las colisiones entre electrones e iones.

1.4

La energía radiada por unidad de volumen y tiempo tiene la for_

2 1/2 ma C„(T)n , (C2^T ). Si el plasma es transparente a la radia

ción y a los neutrones de fusión, pero no a las partículas a,

y se quiere que la temperatura no disminuya, se ha de tener,

al menos inicialmente

2 r C 1 ( T ) Qa > n2C 2(T)

donde Q ; es la:energía liberada que llevan las partículas a,

7 3.5 MeV: de aquí resulta T>T. =5x10 °K. H ign

En los hornos naturales de fusión -las estrellas- el

plasma es confinado por la gravitación de la enorme masa pro­

pia. En los reactores de fusión artificiales, no es posible

confinar el plasma mediante paredes sólidas, no sólo por el in

soportable calentamiento de éstas, sino sobre todo por el con­

siguiente enfriamiento del plasma. Aunque se ha considerado la

posibilidad de utilizar campos eléctricos oscilatorios en caví

dades resonantes superconduct oras, uno de los métodos de confi_

namiento detenidamente estudiado e intentado durante tres déca_

das es el magnético.

En ciertas geometrías la fuerza por unidad de volumen

que ejerce un campo magnético B sobre un medio conductor por

el que circulan corrientes, se puede escribir en la forma

1 2 2 1 2 2 -V(—e c B ) ; la presión magnética es — e c B . El equilibrio

mecánico del plasma confinado exige que la suma de las presio­

nes térmica 2n kT y magnética sea especialmente uniforme; sí

o o J to r

B. y B son los valores del campo dentro y fuera del plasma,

se tiene

1 .5

1 2 9 i e c B Z = 2n T /g , 2 o . e o o

2 2 l-B./0_

Se pueden alcanzar intensidades de 10 Gauss en volíj

8 16 menes moderados; para &Z1, T =10 °K, resulta entonces n <10 r ' o ' o

- 3 - 2

cm . Del criterio -de Lawson se obtiene T > 2 X 1 0 seg. En algu­

nos tipos de reactores, £ es pequeño por' razones de estabili-

1

dad, y resulta t -= — seg. A pesar de la uniformidad de la pre­

sión total, tanto iones como electrones se difunden a través

de las líneas del campo. Se esperaba que campos intensos redu­

cirían apreciablemente la difusión del plasma a través de las

líneas del campo y con ello el inverso del tiempo de confina­

miento, pero en tales condiciones aparecen en el plasma gran

variedad de inestabilidades, así como turbulencia asociada a

ellas, y la velocidad de difusión excede notablemente la espe

rabie. Aunque en los últimos doce años ha habido un progreso

grande en la reducción de inestabilidades, mediante modifica­

ciones apropiadas de la configuración magnética, todavía no se

ha alcanzado el criterio de Lawson.

Se puede soslayar el problema del confinamiento con­

siderando una densidad inicial n tan alta que se produce un

quemado apreciable durante el tiempo mismo de libre expansión

del plasma; se habla de confinamiento inercial. Para deuterio-2 2 - 3

tritio sólido (o líquido), n=¡5*10 cm y el criterio de Law--9

son conduce a un tiempo de confinamiento T=3xl0 seg. El tiem

po de expansión de una esfera de radio R es del orden de R/c , r e . s

g donde c es la velocidad térmica de los iones; para T=10 °K, s

7 se tiene c =5x10 cm/seg, y de la condición R/c =x resulta

s s

R=0.2 cm.

1.6

Se ha pensado, por tanto ,. en irradiar pequeños blan_

eos esféricos con flujos energéticos intensos. Se puede reali­

zar esto mediante pulsos cortos y de alta potencia, de láser.

En la fusión con láser, la superficie de una pequeña

bola de D-T, se irradia uniformemente mediante un láser. La ac

ción del láser da lugar a una vaporización violenta del mate- ;

rial de la superficie exterior de la bola que se disocia e io­

niza a continuación; se forma así una corona de plasma muy ca­

liente y rarificado que se expande hacia el exterior (vacío).

La idea clave, en la fusión con láser, consiste en emplear las

altas presiones generadas por la irradiación del láser para

comprimir del modo más isentrópico posible a muy altas densida_

des la región central de la bola D-T (Nuckolls, J. y otros;

1972), (Clarke, J.S. y otros, 1973), (Brueckner, K.A. y Joñas,

S. , 1971*) .

En la física de la fusión con láser pueden distin­

guirse a grandes rasgos cuatro procesos principales: la absor­

ción de la energía del láser en la corona de plasma de baja

densidad que rodea a la bola de D-T, el transporte de esta

energía hacia la zona densa, la compresión de la zona densa y,

finalmente, el quemado termonuclear.

La absorción de la energía del láser va acompañada

de generación de entropía. En consecuenica, una compresión isen

trópica del blanco, exige que la luz no alcance la superficie

de ablación; esto equivale a una condición sobre la frecuencia,

o sobre la longitud de onda de la luz. En un plasma con densi­

dad n, existe un modo propio de oscilación longitudinal, cuya x

2 2 frecuencia, para longitudes de onda grandes, es u =(nq /e m)

1.7

Cuando una onda" electromagnética de frecuencia u incide desde

el vacío sobre un plasma de densidad n, se propaga si CJ>ÜJ (n)

y se refleja si CJ<Ü> (n). En un plasma con densidad función de pe

la posición, entre cero y un valor máximo n , y si m (n )> r max pe max

>ÜJ, existe un valor crítico de la densidad, n , c

2 n ( u) = me —r- < n , c o 2 max

qe

para el que ÜJ = IO . La onda electromagnética se refleja al al-. P e .

canzar la superficie crítica. Si la densidad inicial del blan­

co n excede a n (cu), la luz no alcanza el radio de ablación;

o c 22 para n = 5x10 , se tiene la condición o

longitud de onda > 0.15 uní.

Para los láseres usados en La actualidad, C0„ (10- pin)

y Nd (1.06 um), se tiene n <<n <n (t), donde n es la densidad J c o a a

en el radio de ablación. Incluso para láseres con longitudes

de onda próximas a 0.15 um se tiene n /n <<1 durante la fase C el

más importante del proceso de compresión en que n se hace mu-el

cho mayor que n . J ^ o

A medida que la luz se propaga desde el vacío hacia

la superficie crítica, es absorbida por un proceso lineal, pe­

ro cuando la radiación es muy intensa, se producen muya altas

temperaturas, la absorción se hace despreciable, y la mayor

parte de energía de radiación alcanza el radio crítico. En es­

te caso el mecanismo de absorción es diferente: la absorción

es básicamente debida a fluctuaciones turbulentas de carga en

el plasma. Dichas fluctuaciones, originadas por el crecimiento

de las ondas del plasma, son inducidas por los campos eléctri­

cos oscilantes de la onda de luz incidente (Kaw, P. y Dawson,

1.8

J.M., 1919), (Kruer, W.L. y otros, 1970), (De Groot, J.S. y

Katz, J.E., 1973), (Kruer, W.L. y Valeo, E.J., 1973), (Brueckner

K.A. y Jorne, S., 1974). Este mecanismo de absorción, conocido

con el nombre de absorción anómala, tiene lugar en torno a la

superficie critica, donde n =n . r e c

Otro aspecto importante de la interacción laser-plas_

ma es la presencia de electrones sobretérmicos , su camino libre

2 medio tiene la forma X ~E /Zn. Aún cuando un material de abla

st — ción de alto Z disminuye X, , esto puede ser grande para radia

s u

ción intensa. Los electrones sobretérmicos alcanzarían el blan

co donde producirían calentamiento y aumento de entropía, algo

indeseable como ya se vio.

La presencia de iones de muy alta energía en la expan

sión del plasma al vacío, también juega un papel negativo desde

el punto de vista de la fusión con láser. En efecto, para una

energía del láser dada, la cantidad de movimiento transferida

hacia la zona densa aumenta al aumentar la ablación de masa y

disminuye al aumentar la velocidad, y por tanto la presencia de

iones de alta energía, que contienen una pequeña fracción de la

masa total pero que transportan una fracción importante de la

energía cinética de expansión, es indeseable. El primer mecanís

mo sugerido para explicar la presencia de iones altamente ener­

géticos es la presión de.radiación (Hora, H., 1971).

De todo lo anterior se desprende que la interacción

laser-plasma desempeña un papel fundamental en el proceso de la

fusión por láser de pequeñas esferas de D-T y, en particular,

afecta a la consecución de los siguientes objetivos:

A) La energía perdida en la expansión hacia el vacío

1.9

de la corona de plasma debe ser mínima.

B) El flujo de masa y energía hacia el interior de

la esfera debe maximizarse con objeto de o.btener

la compresión y el aumento de densidad.:- deseado.

C) La entropía (su producción y flujo) debe mantener

se baja en el interior de la zona densa.

La interacción del láser con la materia y en particu

lar, uno de sus aspectos destacados, la fluidodinámica del pías

ma depende fundamentalmente de la geometría del solido sobre

el que incide la luz del láser, así como de los parámetros bá­

sicos del láser, incluyendo entre éstos la dependencia temporal

del pulso. Numerosos trabajos acerca del proceso de interacción

del láser con el plasma, consistentes en extensos cálculos nu­

méricos que simulan la compleja física implicada o en análisis

teóricos aproximados (geometrías sencillas), han aparecido en

la literatura científica durante los últimos años. Dichos tra­

bajos se pueden clasificar, atendiendo a la geometría del sól_i

do y a los modelos simplificatorios utilizados, en: 1) Plasmas

formados a partir de sólidos semiinfinitos, 2) Plasmas formad-

dos a partir de sólidos de espesor muy pequeño, 3) Plasmas es­

féricos con temperatura uniforme, y 4) Compresión isentrópica

de plasmas esféricos. Se presenta a continuación una breve re­

visión de estos trabajos, con objeto de situar claramente el

conocimiento actual de la interacción laser-plasma.

1) Plasmas formados a partir de sólidos semiinfinitos

Los modelos teóricos utilizados, debido a la comple­

jidad del fenómeno, consideran generalmente geometrías unidí-

1.10

mensionales y pulsos de láser de irradiación constante-, <|> = <j> ,

o más recientemente pulsos de láser lineales con el tiempo,

<j> = (f> t/t, ( T duración del pulso).

Para geometrías unidimensionales y en función de la

irradiación del láser <f> , pueden distinguirse los siguientes

regímenes:

la) Para irradiaciones de láser suficientemente modera-

12 -2

das ((j> <10 W.cm ) , la ablación del sólido de lu­

gar a un plasma óptimamente absorbente, que tiende a

apantallar la superficie del sólido, la fracción de

energía que alcanza la superficie es entonces menor

y por tanto la producción de plasma disminuye; sin

embargo, a medida que el plasma se expande, su densi_

dad óptica decrece y se vuelve emnos absorbente, con

lo que una mayor fracción de la energía del láser al_

canza la superficie del sólido dando lugar a un in­

cremento en la generación de plasma. El balance entre

estos fenómenos conduce a un régimen, conocido en la

literatura con el nombre de régimen autorregulado

(self-regulating regime), discutido en primer lugar

por (Krokhin, O.N.; 1964), (Krokhin, O.N.; 1965) y

posteriormente por (Afansyev, Yu.V. y otros; 1966a)5

(Afanasyev, Yu.V. y otros 1966b), (Caruso, A. y otros

1966), (Afanasyev, Yu.V. y Krokhin, O.N.; 1967), (Ca­

ruso, A. y Gratton, R.; 1968a), (Caruso, A.; 1971),

En esta situación, en ausencia de viscosidad, se tie

ne una onda de choque, producida por la presión de

ablación, que se propaga hacia el interior del sólido.

1.11

y una capa de plasma denso y frío, cerca de la super

ficie del solido, cuyo espesor aumenta a medida que

transcurre el tiempo.

Ib) Para flujos de energía (irradiaciones) del láser ma­

yores que los considerados en el apartado la), la ex

pansión del plasma generado hacia el vacío adopta dos

comportamientos límites, dependiendo de la duración

del pulso de láser. Para pulsos largos, el plasma que

se expande hacia el vacío alcanza una temperatura muy

elevada en una capa delgada y muy absorbente próxima

a la superficie de la zona densa. La capa absorbente

se trata como una onda de deflagración que se mueve

detrás, y en el mismo sentido (hacia el interior del

sólido), de una onda de choque, CKidder, R.E.; 1968),

(Fauquignon, C. y Floux, F . ; 1970), (Bobin, J . L. ;

1971), (Sanmartín, J.R. y Barrero, A.; 1978a). Por

el contrario, si el tiempo de duración del pulso de

láser es suficientemente corto, la energía se propa­

ga, a través del sólido en forma de una onda térmica5

antes de que cualquier movimiento significante tenga

lugar (.Zel? dovich, Ya.B. y Raizer, Yu.P.; 1966), (San

martín, J.R. y Barrero, A.; 1978b)l

la) Absorción clásica

En este modelo se considera un flujo de energía cons

tante <j> que incide {en el instante inicial (t = 0)} sobre la su

perficie de un sólido semiinfinito. En el instante t, el sistje

ma puede dividirse en tres zonas diferentes

1 . 1 2

SOUOO NO PERTURBADO

n,

n-PLASMA FRIÓ

Zona 0: el sólido no perturbado de densidad n . o

Zona 1 : (Fase densa): parte del solido perturbado y

calentado por la onda de choque. Está compuesta por materia más

o menos ionizada, completamente opaca (densidad n., temperatu­

ra T. y velocidad v ).

Zona 2: ésta compuesta de plasma sublimado de la su­

perficie de la fase densa (densidad n„; temperatura T y velo­

cidad v„ ) .

Si la zona 2 aumenta su opacidad, menor cantidad de

energía es capaz de alcnazar. la superficie de la fase densa y

por tanto menor cantidad de plasma se producirá en dicha fase,

con lo que la densidad en la zona 2 tenderá a disminuir y su

transparencia a aumentar. Por el contrario, si la zona 2 tien­

de a aumentar su transparencia, el proceso se invierte con efec

to análogo. En otras palabras: se supone que la producción de

plasma tiene lugar de forma continuada, estando sus parámetros

gobernados esencialmente por las propiedades de la transparen­

cia del plasma mismo (régimen autorregulado). Esta situación

requiere que n <n . Caruso y Gratton {véase (Caruso, A. y Gra-

tton, R.; 1968a) y (Caruso, A.; 1971)} consideraron el caso

en que n_<<n . En este caso, las magnitudes del plasma se de-

1.13

terminan como funciones de la irradiación del láser d> , y del o

tiempo t, debido a que en la escala de n_, n = ». El proceso es

de semejanza, y de consideraciones dimensionales se obtiene:

^1/8 . 1/4

T a .1/2 1/2

n tt . -3/8 1/4 n <* t d> c o

(1.1a)

(1.1b)

(1.1c)

La validez de las soluciones (1.1) requiere que n_, dada por

la ecuación (1.1c), sea mucho menor que n . Para pulsos de la-

ser muy intensos, n 0 resulta ser del orden de n y la anterior ¿ c

descripción deja de ser válida, recuperándose el régimen de de

flagración.

Ib) Absorción Anómala

Fauquignon y Floux y Bobin analizaron la incidencia

de un pulso de láser de irradiación constante <f> , sobre la su­

perficie de un sólido semiinfinito con valores de ó suficien-o

temente grandes para suponer absorción anómala; es decir, la

energía del láser se deposita en una capa estrecha muy delgada

en torno a la superficie crítica, y el plasma subdenso es trans

párente a la radiación.

SOLIDO NO PERTURBADO

n, LÁSER

1 .14

El medio frío no perturbado está separado del plasma

caliente por una zona de baja temperatura y densidad más alta

que la del sólido. Los límites entre las zonas son superficies

de discontinuidad: una onda de choque separando el solido de

la zona intermedia, y una onda de deflagración entre dicha zo­

na y el plasma caliente. Ambas superficies de discontinuidad

se propagan hacia el medio no perturbado mientras que el plas­

ma caliente se expande hacia el vacío. La estructura de la on­

da de deflagración no es analizada en este modelo y se supone

que la densidad del plasma inmediatamente detrás de la onda de

deflagración n , coincide con la densidad crítica, y por tanto

n =n < < n 1 . La velocidad del plasma relativa a la onda de defla

gración no puede, de acuerdo con la condición de Chapman-Jou-

guet, exceder del valor:

Y P9 1/2 v = f 1) 2CJ Lm.n 0

J

i 2

Cuando el pulso de láser que incide sobre un sólido

semiinfinito es de intensidad muy alta y duración extraordina­

riamente corta, se alcanza el régimen denominado de onda térini

ca (claramente diferenciado del régimen de deflagración). En

este caso, debido a las altas intensidades del pulso del láser

los electrones, que absorben la energía del láser, alcanzan

temperaturas muy elevadas, con lo que la conducción térmica

electrónica, que depende de la temperatura, domina a la convec

ción y la energía se transporta por conducción sin que ningún

movimiento significante tenga lugar. La conductividad térmica

5/2 electrónica es proporcional a T , por tanto, el proceso de

1.15

conducción electrónica es fundamentalmente no lineal y la ener

gía se propaga en forma de una onda térmica. En el caso de que

la energía se deposite instantáneamente, el proceso de conduc­

ción no linneal da lugar a una distribución de temperaturas de

la forma :

2/5 Te(x,t) = TQ(t) [l-x2/x2f(t)]

.donde T (t) es la temperatura de la superficie del sólido y

xf(t) es la longitud del plasma perturbado hasta el instante t.

Varios autores, Zel'dovich y Raizer, Caruso y Grat-

ton, y Babuel-Peyrissac y otros, han considerado el problema

de la transferencia de calor unidimensional usando aproximacio

nes satisfactorias para tiempos muy cortos. En particular, cuan

do un pulso de láser de irradiación constante <f> = <¡> incide sobre

la superficie de un sólido, Zel'dovich y Raizer (Zel'dovich,

Ya.B. y Raizer, Yu.P.; 1966) han encontrado

(1.2a) f e

-7/9 5/9 7/9 *o t

T <* n 6 t e e o (1 .2b)

Caruso y Gratton (Caruso, &. y Gratton, RV; Í969-) obtuvieron

un resultado análogo al anterior, considerando el caso de la

deposición, esencialmente instantánea, en la superficie de un

sólido, de una energía por unidad de área W', W'=<¡> T , (Ó irra

diación del láser y x duración del pulso) tal que <J> -*-°°, x-*o y

su producto W =<b x es finito. En esta situación:

-7/9 T7,5/9 ^2/9 x r « n W t , f e

-2/9 4/9 -2/9 T <= n

/ a W ' t ' , e e

(1.3a)

(1.3b)

1 .16

Por otra parte, el plasma caliente de la superficie

se expande hacia el vacío, y una onda de rarefacción avanza des

de la superficie hacia el interior del solido. Inicialmente,

si la temperatura de los electrones es suficientemente alta,

la velocidad de propagación de la onda térmica (proporcional a

5/2 T ) es mayor que la velocidad de propagación de la onda de

1/2

rarefacción (proporcional a T ) ; no obstante, debido al ca­

rácter no lineal de la onda térmica, su velocidad se decelera

rápidamente y al cabo de un cierto tiempo la onda de rarefac­

ción alcanza a la onda térmica, teniendo lugar un enfriamiento

rápido del plasma. El tiempo t que tarde la onda de rarefac­

ción en alcanzar a la onda térmica, viene dado por:

•3kT ( t ) i l / 2

* f c t r ) » i e r 1 t •F£¿] donde T (t ) es un valor medio de la temperatura y vale apro-e r r J r

ximadamente

T (t) = 0.8 T (t) . e o

Caruso y Gratton (Caruso, A. yGratton, R.; 1969),en el caso

de la deposición instantánea de una energía por unidad de área

W , han encontrado:

..,1/2 -1/2 t « W' n r e

xf(t ) «W .2/3. "I

T e ( t r ) « W1 / 3 ;

(1 .4a)

(1.4b)

(1.4c)

mientras que, para pulsos de láser de irradiación constante

<j> , Babuel-Peyrissac y otros (Babuel-Peyrissac, J.P., y otros;.

1 .17

1969) han obtenido

t <* 6 n r o e

r^ ^ , /3 -7/3 x£(t ) « é n f r Yo e

T (t ) ^ 2 / 3n - 2 / 3

e r To e

(1.5a)

(1 .5b)

(1.5c)

Posteriormente Sanmartín y Barrero, véase (Sanmar­

tín, J.R. y Barrero, A.; 1978a,b), analizaron el movimiento

plano y cuasi-neutro de un plasma, inicialmente situado en el

semiplano x 0, frío y de densidad uniforme n (n >>n , plasma r ' J o o c ^

sobredenso), generado por la absorción, en el plano en el que

la densidad electrónica es igual a la densidad crítica, de un

pulso de láser de irradiación lineal con el tiempo, <j> = <{> t/x

(t<x). El movimiento cuasineutro del plasma (incluyendo en el

análisis temperaturas diferentes de iones y electrones, inter­

cambio energético entre las especies iónica y electrónica y

conducción térmica electrónica) es de semejanza y depende fun­

damentalmente de tres parámetros adimensionales: el número de

carga de los iones Z . , el parámetro a - , i e<!>o

y el cociente de densidades n /n He, donde k es la constante J c o — 5/2

de Boltzmann, m. es la masa del ion, K-T es el coeficiente ' i e e

de conductividad térmica electrónica y T es la temperatura

electrónica. El análisis asintótico para valores de a grandes

y pequeños frente a la unidad,Z. arbitrario, y £<<1, muestra la

existencia de tres regímenes distinguidos del movimiento del

plasma, que corresponden a los casos:

9k r k2 n ^

[— J , y el cocí en

1) a<<l (Onda Térmica)

-4/3 2) l<<a<<e (Régimen Intermedio)

3) e 4 / 3<<a (Régimen de Deflagración) ,

1 .18

-4/3

con regímenes de transición para o=0(l) y a=0(e ). Para ca­

da régimen mencionado, el análisis asintótico muestra claramen

te la existencia de regiones completamente diferenciadas unas

de otras, de acuerdo con el mecanismo de transporte dominante

en ellas. La Fig. 1.2 muestra esquemáticamente la evolución

de la corriente cuando decrece desde grandes a pequeños valo

res. En las Figs. 1.2a y 1.2b, que corresponden al régimen 3)

-4/3 (e <<a), puede verse (comenzando desde la derecha) una onda

de choque (que en el plano físico avanza hacia el plasma no

perturbado) seguida de una región de compresión isentrópica

(el transporte energético se realiza por convección), posterior

mente una onda de deflagración donde tiene lugar la absorción

de la energía del láser (el transporte energético se realiza

fundamentalmente por conducción térmica electrónica y los iones

capturan la energía de los electrones mediante colisiones elec

trones-iones), finalmente una región isentrópica de expansión5

mucho más ancha que las anteriores, donde el transporte de ener

gía por convección es do-minante, limita con el vacío a una dis

tancia finita del origen. La única diferencia en las Figs. 1.2a

(a>>e ) y 1.2b (e >>a>>e ) estriba en el tamaño de la

onda de deflagración comparado con el de la región de compre­

sión isentrópica. En la Fig. 1.2a la onda de deflagración es

muy delgada comparada con la compresión isentrópica (deflagra­

ción delgada) y el plano crítico está situado a la derecha del

origen. En la Fig! 1.2b sucede lo contrario (deflagración ancha)

y el plano crítico está situado a la izquierda del origen. Es

-5/3 claro de lo anterior que si a=0(£ ) la región de compresión

y la onda de deflagración tienen espesores comparables.

1 . 1 9

a)a. - 5 / 3

YACIÓ EXPANSIÓN ISENTROPICA

COMPRESIÓN ISENTROPICA

ONDA DE DEFLAGRACIÓN

n -Lx

_ONDA DE CHOQUE

PLASMA NO PERTURBADO

b ) e - 5 / 3 » a »e- ' 4 / 3 COMPRESIÓN ISENTROPICA

VACIO EXPANSIÓN ISENTROPICA

ONDA OE DEFLAGRACIÓN

X

i

T.L i

-1_L

ONDA OE CHOQUE

PLASMA NO PERTURBADO

VACIO

c) a ~ e - 4 / 3

EXPANSIÓN

COMPRESlTÓN . ISENTROPICA

T.L

d)e- A/3 * c COMPRESIÓN ISENTROPICA

EXPANSIÓN T.L t 1

i L

_ O N D A OE CHOQUE

PLASMA NO PERTURBAOS

^_ONOA DE CHOQUE

PLASMA KO-PERTURBADC

e)a~1 ONOA TÉRMICA --t- CONVECCIÓN

EXPANSIÓN

\ ONOA OE "CHOQUE

f)a<<1

s DISCONTINUIDAD DÉBIL

EXPANSIÓN ISOTERMA ONOA TÉRMICA SIN CONVECCIÓN

PLASMA HQ PERTURBADO

PLASMA NO PERTURBADO

5v.Sc O

Fig. 1.2. Representación esquemática del comportamiento del plasma para diferentes valores del parámetro a.

El cambio principal experimentado por el movimiento

-4/3 del plasma en el régimen de transición a¡ = o(e ) , Fig. 1.2c

es que la deflagración y la región de expansión se mezclan una

en la otra y por tanto la expansión deja de ser isentrópica',

el plano crítico está situado a una distancia finita del origen

1.20

En la Fig. 1.2d, que corresponde al régimen intermedio (l<<a

-4/3 <<e ) , puede observarse que la frontera plasma-vacío está

situada en el infinito (la densidad en la región de expansión

es mucho mayor que la densidad crítica). En todos los casos

considerados hasta aquí, Figs . 1.2a-1.2d, existe una capa de

transición T.L. (donde la temperatura es muy baja y la densi­

dad muya alta) a la izquierda de la región de compresión isen-

trópica y un precursor delante de la onda de choque, ambos de

espesor muy pequeño.

Cuando a crece hasta valores del orden de la unidad,

Fig. 1.2e, el espesor del precursor y el mínimo de temperatura

en la capa de transición crecen hasta alcanzar un valor del

mismo orden en todas partes y una onda de choque aparece en mes

dio de la onda térmica (el transporte energético se realiza tan

to por convección como por conducción y no existe corriente

isentrópica en ninguna zona). A medida que a sigue decreciendo,

la onda de choque se va situando más y más cerca del origen y

su intensidad disminuye apreciablemente. La Fig. 1.2f muestra

finalmente el régimen a<<l; la. onda de choque se convierte en

una discontinuidad débil (las magnitudes fluidas son continuas

a través de ella, pero no sus derivadas) y la convección es des

preciable delante de ella. La expansión del plasma es isoterma

(el transporte energético por conducción es dominante) y el es

pesor de esta región es muy pequeño comparado con el de la on­

da térmica. En los casos mencionados en las Figs. 1.2d-1.2f el

plano crítico está situado en la cola de la expansión que lle­

ga hasta el infinito.

Tanto la hipótesis de cuasineutralidad como la de

1 .21

plasma dominado por colisiones, dejan de ser ciertas en la cola-

de la expansión y el análisis no es válido en esta zona.

Se dan a continuación algunos resultados de interés

encontrados en el análisis anterior en función de los parame-:

tros básicos del láser <j> , x o mejor a, n y el tipo de mate-.

rial sobre el que incide el láser n y A.. o J i

1) Presión máxima (ver Fig. 1.3):

. 2/3 1/3 -1 . 1/3 , , . ,2/3, 1/3 1/3 -4/3 P «4 n n A. (<b /n ) A . e , e <<a max o c o i To o i

.5/6 -1 -1/6 7/12 , . . .2/3,1/3 -1/4 „ -4/3 «$ n x A. ^ ( * /n ) A . a , l<<a<<e To o i To o i '

. 4/9 -2/9 2/9 , , . ,2/3,1/3 1/3 °=* n T ^( 4> /n ) A. a , a<<l o o o o i

2) Temperatura máxima (ver Fig.vi.3):

. 2/3 -2/3 . 1/3 , . . ,2/3 A 1/3 -2/3 -4/3. T «A ' n A. (4> /n ) A. e , £ <<a max o c i o o i

.1/3 .-1/3.-1/6 , . , ,2/3,1/3 1/2" „ -4/3 «<b x A. M d> /n ) A . a , K<a<<£ To i ro o i '

. 4/9 -2/9 2/9 . . . «2/3.1/3 1/3 ^ . «* n x M4> /n ) A . o , a<<l Yo o Yo o i '

3) Densidad en la expansión adimensionalizada con la

densidad inicial:

-4/3 n/n =0(e)

o » £

= 0 ( a ~ 3 A ) , K < a V V e " 4 / 3

= 0(1) a<<l

1 ,22

'max

, )2/3A.1/3 o i

.-4/3

1/3

a

'max 2/3A_l/3

o i

-U/3

.-2/3

a

Fig. 1,3, Variación esquemática de la presión y temperatura máximas en el plasma en función del parámetro

4) Velocidad del frente:

1/3 A -1/3 -1/2 1/6.. , sl/3 . -1/3, ,1/6 -4/3 A n n M 4> /n ) A. (e) , e <<a o c o o i V ^ *' ~ A . f To i

,5/12 -1/2 -1/12.-5/24 , . , .1/3.-1/3 -7/24 . -4/: :<£ n x A. (4> /n ) A . a , K<a<<e o o 1 T o o i

. 5/9 -7/9 -2/9 ,. , ,1/3 . -1/3 -1/2 :4> n T ^ ( ó / n ) A. a , a<<l To o Y o o i '

5) Energía perdida en la expansión adimensionalizada

con la energía total:

1 .23

• EP „ ., 1/2. -4/3 — = l-0( e ) , £ LT

. = l-0(a"3/8) , l<<a<< E_ 1 + / 3

1/2 = 0(ct ' ) , a<<l

6) La región detrás del frente que limita con el pías

ma no perturbado es isentrópica para a>>l; no es isentrópica

para a<0(1).

2) Plasmas formados a partir de sólidos de espesor muy pequeñG

Cuando el sólido, sobre el que:incide la luz del la-

ser, es de espesor finito 1, los resultados presentados en (la)

régimen autorregulado y en (Ib), onda de deflagración precedi­

da por una onda de choque, mantienen su validez para tiempos

menores que t s

s

que es el tiempo qu_e la onda de choque, generada en la superfi­

cie más próxima a la fuente de luz, tarda en alcanzar la otra

superficie.

En los modelos teóricos existentes se desprecia usual

mente la presión d

vimiento total del

be ser nula. Para

dad de movimiento

e radiación

conjunto,

y, por tantc

sólido , fase

tiempos menores que t 1

en el plasma está equili

de retroceso asociada a la on

tras que, para tie

to en el plasma se

la totalidad de la

Gratton CCaruso, A

da de choque

mpos mayores que t , la s

equilibra

fase densa

. y Gratton

con la cantid

i, la cantidad de mo~

densa, y plasma, de-

.a variación de cantí

.brada por la fuerza

en el sólido; mien-

cantidad de movimieD

.ad de movimiento de

. En estas condiciones, Caruso y

, R. ; 1968b) han construido un rao

1 .24

délo simple considerando valores medios de las variables. La

ecuación de la cantidad de movimiento resulta entonces:

dv_ [p l-m'(t)]

dt -v. dm'(t)

dt (1.6)

donde v. es la velocidad media de la fase densa y m' es la ma­

sa de plasma producido por unidad de área. Caruso y Gratton su

ponen que la velocidad de expansión del plasma v , es indepen­

diente del tiempo, e integrando (1.6) se tiene entonces:

v = v 2 - m í-m'(t)

p o X

La velocidad del plasma producido en el instante t es, enton­

ces:

V = V +v = v pt 1 2 2

m'(t) wn(i-Vr)

" o 1

Inicialmente, el plasma formado se emite hacia la fuente de

luz con una velocidad muy próxima a v„; a medida que el sólido

se convierte en plasma, m' aumenta, y por tanto v disminuye-

anulándose cuando m'=:Q.63p 1, y a partir de este instante el

plasma se emite en dirección contraria al láser.

Por otra parte, Mulser y Witkowski, véase (Mulser,

P. y Witkowski, S . ; 1969) y (Mulser, P . •, 1970), calcularon nu­

méricamente el comportamiento de un plasma producido por la in_

12 cidencia de un pulso de láser, de irradiación constante <j> -10

_ 2

W.cm , sobre un sólido (hidrógeno congelado) de 50 um de espe

sor. La Fig. 1.4 muestra los perfiels de densidad, velocidad y

temperatura, calculados por Mulser para diferentes estados de

tiempo.

1 .25

(a)

50 X(10~Dm)

(O /

•** y ._y

4

2

0

(b) L.-_ :L 1 J

' /

^

-Fig. 1.4 Perfiles de densidad, p/p ( o V ( ) , y velocidad

(a) t=0; (c) t=1.5xio-9 seg: (d) t=2xl0 - 9 tes estados de tiempo, (a) t = 0; (b) t = 0.5><10' seg

) , temperatura, T ( ) , para diferen-

9 seg. I Irradiación

del láser, <}> = 1 0 ^ w.cm" , espesor inicial del soli_ do (hidrogeno congelado), 1= 50 um; p densidad del hidrógeno sólido (1970) .

De Huges (1975) según Mulser

3) Plasmas esféricos con temperatura uniforme

El problema del calentamiento de una pequeña esfera

de material condensado (sólido o líquido) ha sido considerado

extensamente en la literatura científica, véase (Basov, N.G. y

Krokhin, O.N.; 1964), (Dawson, J.M.; 1964), (Krokhin, O.N.;

1965), (Haught, A.F. y Polk, D.H.; 1966), (Carusa, A. y otros;

1966), (Chu, M.S.; 1972). El modelo empleado supone inicialmen

te un plasma esférico, frío, completamente ionizado, con densi_

dad (iónica y electrónica) igual a la crítica y temperatura

uniforme. Las pérdidas de energía por radiación se consideran

despreciables y el rendimiento energético del acoplamiento la-

ser plasma, n D , se toma igual a la unidad (acoplamiento per-

fecto). Algunos de los resultados numéricos estimados' mediante

1 .26

este modelo han sido avanzados en trabajos anteriores (Barrero,

A. ; 1977) .

La hipótesis de acoplamiento perfecto es altamente

optimista, en la mayoría de las situaciones, debido a que por

una parte una fracción de la energía del láser se refleja en

la superficie del sólido, y por otra parte existe una pérdida

de energía asociada a la expansión al vacío del plasma calien­

te. No obstante, se puede conseguir un acoplamiento suficiente

mente óptimo, si la energía del láser es capaz de penetrar fá­

cilmente en el interior de la esfera. Para conseguir lo ante^

rior, la densidad del sólido debe ser ligeramente menor que la

densidad crítica del plasma y por tanto es necesario el empleo

o

de láseres con longitudes de onda del orden de 1500 A. Para ta

les láseres, las hipótesis de acoplamiento perfecto y calenta­

miento uniforme resultan razonables; pero por desgracia, las

energías que son capaces de suministrar son muy pequeñas compa

radas con las necesarias para conseguir temperaturas termonu-J

3

cleares en la esfera (del orden de 10 MJ en ausencia de com­

presión). Aunque la investigación y desarrollo de láseres con

o

longitudes de onda en el' rango de los 1500 A sigue avanzando,

parece claro, de lo anterior, que las esperanzas de conseguir

energía de fusión en forma útil, sin compresión de la esfera,

resultan poco realistas.

4) Compresión isentrópica de plasmas esféricos

Si una esfera de D-T sólido es uniformemente irradia

da por un láser, la presión de abalación generará una onda de

choque similar a la que se produce en los casos unidimensiona­

les presentados en 1) y 2 ) . Sin embargo, en situaciones con geo

1 . 27

metría esférica, la onda de choque converge hacia el centro de

la esfera, donde se refleja y viaja posteriormente hacia el ex

terior. La onda reflejada se propaga a través de un medio, pre_

viamente comprimido que se mueve hacia el centro de la esfera,

y da lugar por tanto a un nuevo incremento de la densidad. Los

tratamientos teóricos existentes de la implosión y posterior

reflexión de la onda de choque pueden seguirse en la discusión

efectuada por Zel'dovich y Raizer (Zel'dovich, Ya.B. y Raizer,

Yu.P. ; 1966) .

En principio, es posible producir una segunda onda de

choque, en la superficie del solido, que viaja hacia el inte­

rior de la esfera en un medio previamente comprimido por la pri_

mera onda, ajustando además la velocidad de esta segunda onda

de forma que ambas alcancen simultáneamente el centro de la es

fera. De la misma forma se puede producir una compresión, apro

ximadamente isentrópica, mediante una secuencia de ondas de cho

que (de intensidad creciente) con velocidades de propagación

tales que todas ellas alcancen casi simultáneamente el centro

de la esfera. La secuencia de ondas de choque se puede producir

variando apropiadamente la irradiación del láser con el tiempo;

en esta situación, la compresión isentrópica resultante es tal

que hace mínima la energía del láser necesaria para conseguir

una densidad dada.

Varios autores, (Nuckolls, J.H. y otros; 1972), (Clar_

ke, J.S. y otros; 1973), (Nuckolls, J.H.; 1974), (Masón, R.J."

y Morse, R.L.; 1975), han realizado cálculos numéricos muy ex­

tensos que simulan la compresión isentrópica de pequeñas esfe­

ras de D-T. El objeto de estos cálculos es el de predecir la

1 .28

forma temporal del pulso que consigue el calentamiento y compre

sión de una pequeña región de la esfera de D-T rodeada por un

plasma esférico a la temperatura de Fermi de los electrones.

Como resultado de estos cálculos se ha propuesto una

ley temporal para el pulso del láser de la forma:

<fr(t) - ( 1 - T / T O ) ~P ,

donde T se toma generalmente entre 0.5 y 3 veces el tiempo que

tarda la primera onda de choque en alcanzar el centro de la es

fera, y el exponente p es (Clarke, J.S. y otros; 1973):

p= ( 9 Y - 7 ) / ( 3 Y - D = 2 , para y=5/3 ,

o también (Nuckolls, J.H. y otros; 1972):

p = 3y/Y+l = 15/8 , para Y=5/3

Como se indico anteriormente, el conocimiento básico

de la interacción laser-plasma es de extraordinario interés por

su posible aplicación a la producción de reacciones termonucle<

res controladas. Numerosos fenómenos de la interacción laser-

plasma son, aún hoy día, insuficientemente comprendidos, care-

ciéndose, por tanto, de resultados exactos y conclusiones cla­

ras sobre el comportamiento de dichos fenómenos.

2 . COMPRESIÓN ISENTROPICA

2.1

INTRODUCCIÓN

Si se quiere reducir el volumen de una esfera aplican_

do una presión Pa uniforme en su superficie, la relación dife­

rencial

dE. = TdS-PdV

i

entre energía interna E., entropía S y volumen V, muestra que

para un volumen final dado, la energía interna es mínima si no

se genera entropía en el proceso.

Cuando la presión aplicada a la esfera, P , aumenta 3.

con el tiempo, para llevar la densidad desde p a su valor fi- . nal, se generan ondas de presión que viajan hacia el interior

., , ,3P,l/2 1/3 . + , , • A +. con velocidad, (-s-r-) ^P , creciente. La coalescencia de ta-ap S

les ondas produciría la aparición de una onda de choque inten­

sa, y el gran incremento de entropía consiguiente reduciría

notablemente la densidad final alcanzada para un trabajo de

compresión dado. Se puede comprimir isentrópicamente la esfera

en un tiempo mínimo, si P (t) es tal que se genera una onda de

compresión simple centrada en el origen. Se puede determinar

aproximadamente esa ley temporal óptima, Pa(t), escribiendo:

P ^p a

5/3 dr 3P 1/2 " f — - 1 dt *-9p

p a " ~ > r a

de donde obtenemos

r "oR( 1-t/t ) a o

1/2

El resultado anterior es sólo un comportamiento asin

tótico válido para 1--—<<1, no obstante, esta etapa de la compre o

sión es la más crítica y sólo entonces la densidad sería P o-p J a a

5/3

2.2

P n,p (1-t/t ) a o o

•5/2

La poten:.ia necesaria para la compresión sería

9 1/2 - 9 W -X-? r (P /p) ' V¿ (1-t/t ) a a a a a o o

ECUACIONES

Las ecuí ;iones que determinan el movimiento de com­

presión simétrico ísentrópico de una bola, suponiendo que debí_

do a las altas presiones el material se comporta como un fluí-

do, son en variabl ;s de Lagrange.

(2.1) 9r/8r

,2: 2 . : r _ _ c 9_p_ ',_ 2 p 8 r

(2.2)

2 Y-l

o O (2.3)

donde p y e son La densidad y velocidad del sonido iniciales, o o

Buscamo , soluciones autosemejantes en las que el fres

te de onda se propaga con velocidad c hacia el centro de la

bola. El tiempo ¡a considera medido desde el instante en que

el frente de onda llega al centro de la bola (t<0) y será este

proceso imploxivo el único que estudiaremos r _

En variables de semejanza: 5 = -c t ' -c t o o

= f(£). Las

ecuaciones (2.1-2 3 ) , se reducen a una única ecuación diferen

cial de segundo orden:

f" = 5 ?f -I)

f 2 f , Y-l (2.4)

2 2 5 f

con las condiciones iniciales 5 = 1, f=l, f'=l, que corresponden

a velocidad nula en el frente de onda que avanza con velocidad

c . o

Para conseguir esta compresión isentropica es necesa

rio aplicar una cierta ley de presiones P (t) en un cierto ra-a

dio r (t) de la bola. En los problemas reales hay un flujo má-3.

sico a través de r (t), aunque interesa que éste sea muy peque

ño. En esta situación la presión P (t) está aplicada en partí-a

culas fluidas diferentes y es necesario conocer cuánta materia

escapa a través de r (t) para determinar la ley temporal P (t), a a

r (t) = r(r *(t),t) a o

(2.5)

9r dt r =r *(t) o o

dr a

dt 4-iTp r a a

(2.6)

En donde G es el gasto másico a través de r (t) r "

£ * = — , la ecuación (2.6) se escribe: -c t o

Llamando

•td£ ,.2 '2 i-r—•+ C-JC" t -dt 4irp c

o o

(2.7)

con las condiciones iniciales t = t , r* = 1. o ' *»

Conocido £*(t), obtenemos r (t) y la ley de presio a

nes :

5* ^2 i 1y _* = rr *" y i 1 (2.8)

2.4

Hacemos notar que para integrar (2.7) es necesario

conocer G, por ejemplo del estudio del problema exterior (ex­

pansión ) .

En muchas situaciones el término de la derecha en

(2.7) es pequeño y entonces £ * = t /1 .

INTEGRACIÓN DE LAS ECUACIONES

La ecuación (2.4-) se puede escribir como una ecuación

de primer orden mediante las variables de un plano de fases:

5f' (2.9)

x = 5 - 2 ( Y - 2 ) ( f l ) Y + lf2(Y-l> (2.10)

dy _ y(y-l) (3-x) dx x[2(Y-l)xy + ¡4y + 2(2-Y)x-6~j

(2.11)

con las condiciones iniciales x=l, y=l,

En la figura 1 se da un esquema de la topología de

las soluciones de la ecuación (11). El punto de arranque x=l,

y=l, es un punto nodal, existiendo infinidad de soluciones que

arrancan de él. Se puede ver que las soluciones que nos intere

san deben cumplir yál, ya que:

! £ = - c o ( f - 5 f > * 0

Es fácil ver que las soluciones que arrancan de x=l ;,

y=l y cumplen ysl, también cumplen x¿l.

3(Y-1 ) El punto x=3, y=s, donde s = „ - „ — , tiene carácter

3Y-1

de puerto, con pendientes

2. 5

(3y-l) ± l A A + i^ izü . V

Una de las soluciones que arrancan de x=l, y=l, llega

a x=3, y=s, que corresponde a alcanzar densidades infinitas en

dicho punto. El resto de las soluciones, unas se hacen multiva-

luadas no alcanzando la recta x=3 y las otras cortan a x=3 en

y >s con pendiente nula y ::uando x->-°°, y-*-l , correspondiendo es­

tas soluciones a alcanzar densidades altas pero finitas, tanto

más altas cuando y se aproxime a s. J m r

Esícogida la solución apropiada y(x) que sale de x = l,

y=l, es inmediato obtener E, y f(£).

5 = y(l-s) y-s

Y + l

3 ( Y - D exp

n =x dn _3Y-I ,n = 1 tv-(y(n )-s)_

(2.12)

3y-l x cs

Y + l .3Y-1

SOLUCIONES ASINTOTICAS

a) Densidades infinitas t-»-0

(2.13)

Las soluciones de (11) cerca de x=3, y=s son

[ y _ s - a ( x _ 3 ) JA [ y _ s _ g ( x _ 3 ) ]

B = 1 ;•

donde A,B = •.il/nnnp.

lP 4 ( 3 Y - D Y-l

£ = V -S<<1 " m

La solución correspondiente a alcanzar densidades infinitas

y-s = a(x-3) ;

2.6

con (12) y (13) es fácil obtener

1

3 3 Y ~ f ( f * — Íl + C 5

3a(3y-l) _ 3y-l-3a(y+l ) \ _s

Y +1 ) ^ , (2.14)

(s) 3Y

donde 3a(y+l)(3y-l) 3y(l-3y)(3y-l)

p - s-3a(y + l) r 3d ^ 3s(3y-l) l s ( l - s ) J

3y-l-3a(y+l)(3y-l) 3y-l-3a(y+l)(3y-l) I

I = exp y-1

( 1 1 j dx y(x)-s a(x-3) x

Es inmediato obtener r (t) y P (t) si suponemos que a a

no hay flujo másico a través de r 6 es despreciable. Para

y=5/3 obtenemos las leyes asintóticas: 1/2

r ^ t P ^ t a -5/2

b) Densidades finitas

Con las soluciones que arrancan de x=l, y=l y cor­

tan a x=3 en y=y >s, se obtienen densidades finitas. Para ca-J Jm '

da valor de y - S = E obtenemos (p/p ) tanto más grande cuanto m o

más pequeño sea z . • •— -• - •

La solución para X > > 1 , e>>l es:

2 !_s (y + DCl-3)

f . f ^ ) " U-s) «^v-D (ís

m

(1-s) 33(38-1)

(2.15)

en donde D y 5 son unas constantes. J m

1 y + 1 3ct(.3y-l) ,. s 3y-l

^m <-3a; l e J

F = exp 3y-l

r o

(l7i-T^dn + dx

^L1" S

1 -y QX

a(x-3)> x

2 . 7

D = exp 3 Y - 1

1-s r° (T7i-iÁñ)H.(

00 1 - V T ^ L2 _ 1 -s -> dx

, y L 2 - s BCx-a)-1 x _

A B s i e n d o : g ( n ) , ( 1 + g - a n ) ( 1 + g - B n ) = 1 •

yT.(x) la solución que arranca de x=l, y=l y llega a i_j 1

x=3, y=3 con pendiente a .

y 0(x) la solución que arranca de x=3, y=3 con pendien

te S .

La densidad alcanzada para cada e<<l es

2 Cl-s)

U\ - (L) ±. 3 ( s -1) ( y +1 )

fJ f C&'-CDsr1-»)^)8""""»-.)" sC3Y"T' m

S+°

X

.. ro

- - C N J

t/)

EXPANSIÓN ESTACIONARIA Z . GRANDE.

3.1

PLANTEAMIENTO DE 'LAS ECUACIONES

Vamos a considerar una única especie de iones en el

plasma. Suponemos que el movimiento del plasma es cuasineutro

(Zn .-TI =n) y con simetría esférica. El cociente n /n es peque l e c ' p r - ~

ño, donde n es la densidad del blanco solido y n la densidad p c

electrónica del plasma llamada densidad crítica, para la cual

la frecuencia electrónica del plasma es igual a la frecuencia

del láser,

a,

47Tn e'

( — )

1/2

m

En una gran variedad de condiciones de interés, el

cociente n /n es pequeño y existe entonces una superficie de c p r u J *

ablación bien definida. Para una expansión asintótica en el pa

rámetro n /n , la densidad de la corona de plasma en la super-c p

ficie de ablación r=r , se hace infinita en primer orden y el

movimiento del plasma se puede suponer estacionario, ya que el

flujo de cantidad de movimiento hacia el interior del blanco y

el flujo de cantidad de movimiento en la corona, producidos

por la presión de ablación P en r=r son comparables y, en a a

consecuencia, el cociente de velocidades características en el

blanco y la corona o los tiempos característicos son del orden de (n /n ) c p

1/2 (J.R. Sanmartín, A. Barrero, 1978). En la super

ficie de ablación, las velocidades iónica y electrónica (v. y

v ) y temperaturas, tienden a cero. La frecuencia de colisio-

3/2 nes (o-n/T ) se hace infinita en. r , el flujo de calor ti en-

6 3.

de a cero y T./T = 1, v./v = 1. J i e ' i e

En la corona, las temperaturas iónica y electrónica

son diferentes, pero usando cuasineutralidad v.~v =v.

3 . 2

Para movimiento estacionario la ecuación de continui

dad es ,

nvr = y (3.1)

donde y es una constante y 47rm.y/Z. es el flujo másico. J i i J

Usando cuasineutralidad, sumando las ecuaciones de

cantidad de movimiento de electrones e iones y despreciando la

inercia de los electrones, tenemos:

dv . n v^ =_JL[ n k ( z. T +T.)] i dr dr L i e i J

(3.2)

donde k es la constante de Boltzman.

Finalmente, las ecuaciones de entropía para electro

nes e iones, son:

„, 3/2

1 = _ 2 dr

r

í 3/2 - T v -2_ f VI n —

-, A o d T W5(r-r ) nT v d (km-i ) =J-jL(r

2K. _«) +H + ¿-e dr ^ n ; 2 dr l e dr J e ,, 2

r M-TTr

fT.vi(kln-i ) =H. , Z. i dr n J i

(3.3)

(3.4)

en donde K es el coeficiente de conducción iónica electróni-e

ca clásico (Spitzer, L; 1961),

K = K T e e e

5/2

K depende débilmente de T y n a través de los logaritmos de

Coulomb ln A

K £Ó 20(2/TT ) 3 / 2

k7 / 2

1/2 4 m ' e Z'. ln A e i

Los términos H. y H son el intercambio energético por colísío i J e

nes entre electrones e iones.

3.3

H = - H . = e i

3 vl£li _ n k _ _ _ ei

siendo t . el tiempo de relajación para el intercambio energé ei r • & —

tico (Spitzer, L.: 1961)

3/2

t . = t . — ei ei n

en donde t . depende débilmente de T y n a través del logarit ei —

mo de Coulomb

3m . k 3/2

-ei 0, 0 .1/2 1/2 _ M- . . 8 ( 2 T ) m Z.e ln A

e i

No se ha tenido en cuenta en las ecuaciones, la vis­

cosidad del plasma ya que, salvo en regiones de pequeño espe­

sor, sus efectos son despreciables (Barrero, A.; 1977), (Barre

?o , A. y Sanmartín, J.R.; 1977). En los electrones los efectos

riscosos son menos importantes que la conducción térmica elec-

:ró-nica, aún cuando las difusividades térmica y viscosa sean

¡omparables. En efecto, si v.-v ^/kT /m. , se tien< r ' i e e i

2 m p m v

z ^ í — - l k T <<kT e e vm. J e <

Debemos señalar también que, las difusividades de

.os iones, son menores que las de los electrones, en un factor

1 e ( m / m . ) e i

La absorción de energía del láser se ha modelado me­

llante una deposición de energía en una superficie esférica de

•adió r , donde la densidad electrónica del plasma es la densi c —

.ad crítica n , que simula la absorción anómala del pulso de

aser .

3.4

n(r ) = n c c (3.5-)

Si Z. es grande, podemos eliminar el término de la

presión iónica en la ecuación de cantidad de movimiento y,

usando la ecuación de continuidad, obtenemos:

_d_ ,1 dr

, d T Z.kT <im.v2,=kZ.Te(§-f^)/(l-^)

e m . v (3.2')

En la ecuación de entropía para los electrones, el

termino de intercambio energético entre iones y electrones es

del orden de 1/Z., y puede ser despreciado si Z. es grande.

Usando las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento

e integrando desde r hasta un radio arbitrario, r, obtenemos

a

c i o 9 ^ / 9 d T o W Z . H ( r ) y ( f k Z . T t i m . v 2 ) =z .K r 2 T 5 / 2 - ^ + — i -

2 i e 2 i i e e d r M-TT

( 3 . 3 ' )

d o n d e H e s l a f u n c i ó n de H e a v y s i d e ,

H = O ( r < r ) c H = 1 ( r > r ) ,

en donde hemos hecho uso de la condición

v = T = T 5 / 2 ^ = 0 e e dr en r = r

Finalmente, la ecuación (3.5) sería

u = r v(r )n c c e

Debemos resolver las ecuaciones (3.2') y (3.3') con

las siguientes condiciones de contorno:

T = O e

kT /vr = P e a

en r = r

(3.6)

(3.7)

3 . 5

Una condición adicional es que, cuando r->°° , T sea e

no negativa y univaluada que, junto con el requerimiento de

que n-*0 en r->-°° (al igual que la presión del plasma), nos con­

duce a

T —>0 cuando r—•» . (3.8) e

Finalmente, para que v sea univaluada, el numerador

del lado derecho de la ecuación debe anularse en el punto só­

nico isotermo, o bien que en este punto esté situado el radio

crítico r :

o bien

A d T

2_ _ _1 e r T dr

e

r = r c s

0 Z .kT (-2 i esi

en r = r v = 1 s s m . J

(3 . 9a)

(3 .9b)

Con las condiciones (6) - (9) queda completamente de_

terminada la solución de las dos ecuaciones de primer orden

(2') y (3'), las cuales, para un valor de P dado, se obtienen 3.

dos autovalores, u y W. Una vez obtenida v(r) y T (r), con (1) 6 Ti

y ( M-) encontramos n y T. con la condición de contorno -— —>• 1 e

en r-»-r a

Conviene notar que la ecuación (4) está desacoplada

de (2') y (3') al haber supuesto que Z. es muy grande.

Vamos a introducir las siguientes variables adimen-

sionales:

n = r/r. T /T e r v

(Z.kTr/m.) 1/2 '

siendo entonces las ecuaciones (2') y (3')

i f-i _Ll d u _ 28 d9 2 ^ ~ 2-^dn n dn

(3.10)

3 . 6

5 a 1 2 . 2 Q 5 / 2 de - „ , . 7 T 0 + - U = 6 n 9 T - + W K ( H ) 2 2 dn ( 3 . 1 1 )

d o n d e H = 0 ( n < n = r / r ) , H = 1 ( n > n ) , c e a c

e s c o g i e n d o l a t e m p e r a t u r a de r e f e r e n c i a , T , de f o r m a q u e en

n = i , - = i , 2 4 Z . P r i a a

r m .k 2 ( 3 . 1 2 )

en d o n d e Z . 5 / 2 - r 1 1 ? 5

K a a » • CsrJ ry , . 7 2 6

1 k y

C 3 . 1 3 )

1 y¥

^ Z i r % 2 ' a a

( . 3 . 1 4 )

y n v i e n e d a d o p o r

m 2 , . _ 1 y n u ( n i c c Z . n _ 4-

1 c P- v a a

( 3 . 1 5 )

Las condiciones de contorno son:

9 = 0

u/e = i en n = l (3.16)

-0 cuando n-»-0 (3.17)

junto con

2 d ln

n dn = o

o

c s

en s s

(3 .18a)

(3 . 18b)

La ecuación para 6.=T./T es r 1 1 r

3.7

, 2f3 2 d 9i ^ J i i du2, U1 7 in ^ u ^TT + — ~ +2ei-dTT) = ^ - 7

_e i , 3/2

i . /0->l en n-»-l

En las siguientes secciones vamos a resolver estas

ecuaciones eligiendo como parámetro libre n en el rango 1 <n <<*>

para cada valor de n , obtenemos 3, W y u(n ) , entonces, con

(13), (14) y (16) encontramos W, P y u, obteniendo las reía-3.

clones W(P ,r .n ,m.,Z ) [ó P (W,r ,n ,m . ,Z . )] y y ( W ,r_ ,n ,m . , d. d C -L _¿_ d d C _L 1 d C -L

z.).

INTEGRACIÓN GENERAL DE LAS ECUACIONES

Debemos hacer dos observaciones antes de cualquier

desarrollo: i) Para H=0 (n<n ) en las ecuaciones (10) y (11)

podemos introducir un plano de fases con las variables,

(3.21) Y = ,ee 5 / 2, 2 2 M = u / i

(M = número de Mach basado en la velocidad sónica isoterma) ob­

teniendo las ecuaciones:

dY/d ln n = Y+5(M +5)/4 (3.22)

dM2/d ln n ± M2[8Y-(M +5)(M2 + 1)]/[2Y(M2-1)] , (3.23)

y eliminando n,

dM' dY

= 2M2[8Y-(M2 + 5)(M2 + 1)] / [Y( M2-1) ( 4Y+5M2 + 2 5 )] .(3.24)

ii) n no puede ser menor que n > pues si lo fuera, en n^ , C S ¡ü

-— = — > 0 y por otra parte, más allá de n se debe tener -z—<0 dn n c dn

lo cual es incompatible con la condición anterior. Podemos de

cir entonces que las ecuaciones (18)-(20) son válidas como mí

3 .8

nimo hasta el radio sónico.

A) Absorción más allá del radio sónico (n >n ). c s

La condición de contorno (16) implica que en las

o variables del plano de fases Y=0, M =0 en n = l- La solución de

* o

la ecuación (24-) cerca del punto Y = 0, M =0, (el cual es un 2/5

punto nodal) es M2=CY ; donde el valor de la constante C es

relacionado con el autovalor 6 a través de la condición

u/0 =1 en n = 1, encontrando:

Mz = (Y/B) 2/5

Y<<1 (3.25)

2 9 En el punto sónico (M =1), dM /dY debe ser finito

para que la solución no sea multivaluada, es decir, el numera-

2 dor en la ecuación (24) debe anularse en M =1, dando Y=3/2.

Existe un único valor de 6 (llamaremos 3T) que hace que la so

2 2

lucion que arranca de M =0, Y=0, pase por el punto Y=3/2, M =1,

el cual tiene carácter de puerto (ver Fig. 1 ) . Integrando des_

de el punto anterior hasta el punto nodal, enconrramos numéri camente que $=11.30. Más allá del punto Y=3/2, la solución

i_i

2 2

M (Y) es válida hasta el radio crítico. Conocido M (Y), con la

ecuación (22) y la condición Y=0 en n=l, obtenemos Y(n), y en­

tonces u(n) y 9(n), para n<ri . Estas soluciones junto con

8 . ( n ) están dadas en la Fig. 2. El punto sónico está situado en n =1.215=n T . s sL

Una simple estimación de n puede ser obtenida de S J-J

la siguiente forma:

2 ,, para l<n<n T tenemos 0<u /8<1

s L

B n V / 2 | ° « a 9 dn

( 5 / 2 < a < 3 )

3 . 9

B 8 5 / 2 = 5a(n-l)/n ;

2 5/2 en el punto sónico tenemos 38=(3n 8 )28/n, es decir:

1 . 20<n T = l + 3/5ct<l . 24 . sL

Para cualquier valor de n >n T , la Fig. 2 nos da C o J_i

u(n ) y 6(n ). Las ecuaciones (10) y (11) pueden ser integra­

das comenzando en n y determinar el autovalor W con la condi

c J —

ción de contorno (17). Para llevar a cabo la integración numé

rica es más conveniente empezar la integración desde n-*-00 hacia

adentro.

Consideremos el comportamiento de la solución para

valores grandes de n cuando n>n . Gitomer, Morse y Newberger

encontraron dos formas de decaimiento de la temperatura para -4- / 3

grandes valores de n (Physics Fluids 2_0, 234 (1977)) 8^n -2/7

(flujo adiabático) ó 0^n (para valores grandes de n ) • Np_

sotros hemos encontrado i) que existe una tercera ley de decaí

-2/5 miento S^n , y ii) hay un valor de transición n :: , de forma

que: si n <n " , entonces: ^ c e

_U/T 9

KC n , u -2W^-5( (3.26)

si n >n « c c

-2/7 2 — 7/2 l ^ n ' , u -2W\.-4gC2 /7-16Í (3.27)

si n = n -c c

8^(35/4BLn) 2/5

u2-2WA=:-128 (3.28)

donde W"=W"(n " ) c

Encontramos numéricamente n*-2.05 , W"=5.55. Si n c c

es menor que n * pero muy próximo a él, C es muy grande y 1;

3.10

15/14 aproximación (26) deja de valer para rt = 0(C. ) , tomando la

15/14 forma de (28) para n <<n<<C . De manera parecida, para

T) más grande que n " pero muy próximo a él , C„ es muy pequé­i s /4

ño y (27) deja de valer para n=0(r ) 5 siendo válida (28)

-35/4 para n < < ri < < C . Las regiones de validez de (26) y (27)

se han desplazado hacia el infinito cuando n -n "-»-0 (C -°°) y c c 1

n -nA-»-0 (C._->0) respectivamente. Más detalles de esta transí c c 2 —

ción son discutidos en el apéndice A.

Para llevar a cabo la integración de las ecuaciones

en la región rpn , escogeremos un valor de C por ejemplo, en

la solución (26), y barremos en un rango apropiado de valores

de W, hasta encontrar el valor que hace que las soluciones

8(n) y u(n) corten a las curvas de la Fig. 2, en un valor co­

mún de n• De forma semejante se procedería utilizando (27). y

(28).

B) Absorción en el radio sónico ( ri =r\ ) c s

El autovalor W decrece al disminuir n . Cuando c

n =n =1.215, W alcanza el valor límite W =1.86. Puesto que C S J_i

n no puede ser menor que n , debemos tener entonces n =n <n r C S C S S ÍJ

para W<W . Para obtener la solución en este rango, escogemos

2 un punto sónico arbitrario M =1, Y<3/2 (ver Fig. 1) e integra

2 mos hacia el punto nodal M =0, Y=0, determinando de esta forma

2 el valor de f3<8T de acuerdo con (25). Una vez conocido M (Y) 5

la ecuación (22) puede ser integrada, obteniendo 9 ( n ) , u(n) y

encontrar n <n . Al ser n =n , para la integración de las s s L¡ s e

ecuaciones más allá de n se procede de igual forma que en la

subsección anterior.

3 .11

En la Fig. 3 se muestran los resultados completos

para g(n ) 5 W(n ) y u(n ). También mostramos en dicha figura, o c c

el cociente entre la presión de ablación P y la presión en el

radio crítico P En kT (r ) , que en función de las variables c c e c

adimensionales u, 9 y n es:

P n u( n ) a c c P 9(n ) c c

Con la Fig. 3 y las ecuaciones (13)-(15) podemos ob_

tener P , W y p como funciones de n y, finalmente , W(P ) y

p(P ), las cuales son mostradas en las Figs. 4 y 5 respectiva a

mente.

COMPORTAMIENTO DE LA SOLUCIÓN PARA PEQUEÑAS POTENCIAS DEL LA-

SER W (n +1) . c

Al comienzo del pulso de láser, la superficie críti_

ca r estará muy próxima a la superficie de ablación, r , es c a

decir, n -*1 . La Fig. 3 muestra que g-»-0 cuando n -*-l • Cuando g

es pequeño, el término de conducción de calor en la ecuación

(14-) sólo es importante en una capa de espesor muy pequeño doii

de los gradientes de temperatura son muy intensos. Fuera de

esta zona, el movimiento del plasma es isentrópico:

1 í l - e ) d u

2 { 2J dn u

5 1 2 —

- li n de

" dn (3.29)

(3.30)

La solución de las equaciones (29) y (30) es

3 .12

u (2W-u ) = 5An

e(2w-5e) 1 / 3 = A n ~ 4 / 3

(3.31)

(3.32)

donde A es una constante.

Debe notarse que en esta región, la velocidad no pue

de ser menor que la velocidad sónica isentrópica (u <50/3).

Efectivamente, de las ecuaciones (29) y (30) obtenemos

5d8 du' dri dn - ( ^ )

3 n ' u2-59/3 (3.33)

Como la temperatura tiene que decrecer, debemos te-

2 ner u >5G/3 en esta región, de forma que la expansión isentro

pica al vacio tiene que comenzar siendo sónica o supersónica.

En la capa estrecha no isentrópica, el primer térmi_

no de la derecha en la ecuación (29) es despreciable y una in_

tegración inmediata da

u + 9 = u (3 .34)

utilizando la condición de que en n = 1 8/u=l. Podemos ver fácii_

mente que u y 0 son de orden unidad a través de la capa. Defi_

niendo n=(n-l)/g, la ecuación (11) toma la forma:

5/2d0/dí¡ = 58/2 + u2/2-WH (3.35)

Las ecuaciones (34) y (35) han sido ampliamente estudiadas

(J.R. Sanmartín y A. Barrero, Phys . Fluids, 21_, 1957 (1978))

La solución de (34) válida hasta términos de orden

, es

u = [l±(l-48)1/2] /2 . (3.36)

Como el máximo valor de 8 se alcanza en el radio cr:

tico, el signo menos y el más corresponden a n<ri y n>r¡ res-

3 .13

pectivamente , siendo 6 = 1/4, u =1/2, es decir, la velocidad es

sónica isoterma en la superficie crítica.

Utilizando (35) y (36)

n = I 5/2 - i - l

x + 1 [lí.(l-4x)1/2]2-WH dx (3.37)

De (37) obtenemos n =n(1/4 ) = 4 . 66x1 o~ , utilizando el

"1/0 o

signo menos y H E O . La función F(8 ) = 59/2 + { [l + (1-49) ' ] }/8 tie­

ne un máximo en 6=15/64 que es 25/32. Por otra parte, el deno­

minador de la ecuación (37) debe anularse cuando n-x», así que

el autovalor W debe estar comprendido entre dos valores 24/32=

F(1/4)<W<F(15/640=25/32 . . Y, utilizando (36), la anterior rela-2

ción es equivalente a l<u /9<5/3. El empalme de la solución in

terior ( ir*») con la exterior (n-l->0) en u ,/9 nos da que u /6 =

=5/3 (condición de Chapman-Jouget detrás de la capa de conduc­

ción), obteniendo también W = 25/32.

Utilizando (14) y (15) con n =1, u(n ) = l/2, W = 2 5 / 3 2 , c ' c

obtenemos finalmente

. M Z . n / 2 m . ) 1 / 2 P 1 / 2 r 2

i c i a a

9 1 / 9 3 / 9 W = 4 ^ r ( 2 5 / 3 2 ) ( 2 Z . / n m . ) ' P / ¿

a i c i a

El empalme suave entre la solución interior (subsó­

nica) y exterior (supersónica) se puede llevar a cabo analizan

do una capa intermedia en la región transónica, donde n>>l pe

ro n-l<<l, tomando como nueva variable £ = e ( 3) • r\ de orden uni­

dad con e(g)<<l, y r)-l = ($/e)E, con g/e->0. En esta capa, las va

2 —

riables 9, u y el autovalor W, difieren de los valores 15/64..

25/64 (valores en el punto sónico isentropico) y 25/32 respec­

tivamente, en términos de orden e

3.14

9 = (15/64)(l+e01+£ 62+...) ,

2 2 u =( 25/64) ( l + e u ^ e u +...) ,

W = (25/32 )(l + eW1 + e2W 2+. ..) ,

y, por sustitución en las ecuaciones (10)-(11)

,1+u1/3 = 4W1/3 , (3.38)

para los términos de orden £ en ambas ecuaciones (en orden uni

dad se reduce a una identidad), y

2 + u2/3 + 3912-6W191-2C = C (3.39)

5/2 2 + u2/3 = (2/5)(15/64) (d61/d5)+10W2/3 , (3.40)

para los términos de orden de e respectivamente. De la ecua-

1/3

ción (11) se puede mostrar fácilmente que e=¡3 . Las constan­

tes W y C pueden ser obtenidas del empalme de (38) y (39) pa­

ra £-»-0 con la solución (34) (válida hasta términos de orden

g) , dando W = C E O . De (39) y (40) obtenemos una ecuación para

d9 ^ + (15/2)(64/15) 5 / 2 91

2-5(64/15)5/2(5-2W2/3) = 0 (3.41)

Para el empalme con las soluciones subsónica y su­

persónica, debemos tener el comportamiento asintótico: 9 -*•<*> p¿

ra £¡~*"0 , y d9 /dC^O para £-*-°°, que nos determinan la constante

de integración y el.autovalor W_ , obteniéndose W =9.34x10 -2

con lo cual

W = (.25/32) [l + 3.3454(n -l)2/3+...J

3.15

COMPORTAMIENTO DE LA SOLUCIÓN PARA GRANDES POTENCIAS DEL LÁSER

( n +°°) c

Al final de la compresión el radio del blanco esféri

co será una pequeña fracción del radio crítico, es decir, r\ ->°°

En este límite se pueden obtener resultados analíticos simples

Para determinar u(n ) y 8 ( n ) para grandes r\ , será

suficiente determinar las soluciones asint5ticas de las ecua­

ciones (22)-(24) para n grande. Como 8 aumenta hasta n , ten­

dremos que Y->«> cuando n "°° (ver Fig. 2 ) . Se puede mostrar fácil

2 2

mente que M /Y-»-0 cuando Y-*°° y que M ^ln Y . En primera aproxima

ción, la ecuación (22) es dY/dlnn^Y, es decir Y/n= constante

y utilizando la definición de la variable Y, 6->const ant e = 8 J ' 00

2 2 cuando r\->m. Podemos escribir para la ecuación (24) dM /dY^M-M / / [ Y ( M -1)], cuya solución es 4 ln Y-M +ln M =constante ; utili-

2 2 zando (21) con 9-»-8 , obtenemos que u -8 In u -40 ln n = constan-

te, en donde numéricamente se ha encomtrado para 0^ y la cons­

tante .992 y -3.94 respectivamente.

La siguiente aproximación para 8 es 8-8^-( 2 ln n ) /

3/2 „ / (n S T Q )• En resumen, para n grande y despreciando termi-

Li °° C

nos de orden n lnn frente a la unidad, podemos escribir: c c

0 -0 =.992 c °°

u 2-0 lnu 2-48 ln n =const=-3.94 C oo C °° C

(3 .42)

(3.43)

Para analizar el rango n>n cuando n es grande, de_

— — — 2 2 finimos las variables n=n/n , 8 = 0/0 , u = u/u , u /8 =M . Con

c c c e c e las ecuaciones (.10) y (.11) obtenemos

3 . 1 6

(M 2- — ) d u 2 = 1! _ 2 d 9

u dn n dn ( 3 . 4 - 4 )

( 5 F + M 2 ü 2 ) / n = ^ w _ _ + ( ^ / 7 ) s T 8 5 / 2 iT2 ^ ( 3 . 4 5 ) ^ n L c • j — c e dn

'c 8

Notemos que para ,n grande M ^ln n . Podemos enton-

2 ees considerar M y n como parámetros independientes y escri_

bir la solución de (4-4) y (45) en potencias de n reteniendo

2 la dependencia en M : r c

6" = F (ñ~)+n _ 1 6 (ñ~) + . • • o e l

2 2 — - 1 2 u = u ( n ) + n u , ( n ) + . . .

o c 1

W rr - 1 7T — = w + n. w. + . . . , n o e l '

c

o b t e n i e n d o s u c e s i v a m e n t e

— 7 / 2 - 5 / 2 - 2 ¿ S o

( 2 / 7 ) 0 . 9 b / ¿ n — —

dn +W / 9 = 0

, - 2 9 _ - 9 d u n - -

(M - 9 / u ) — — - 4 9 / n -c o o ,— o

dn

o c

2 d 9

dn

e 0 ( D = i ,

u 1 ) = 1 ,

( » ) = 0

d8 L ( 9 9 J 5 / 2

n2 1 ' "

L e o dn

+ W , / n = ( 5 9 + M 2 u 2 ) / 2 , 8 f i ) = 6 f » ) = 0 — l e o c o 1 1

I n t e g r a n d o l a s e c u a c i o n e s , o b t e n e m o s d e e s a m a n e r a

l o s s i g u i e n t e s r e s u l t a d o s :

o

— 2 / 7 n

= n ~ 2 / 7 , WQ = ( 2 / 7 ) 3 L 9 c7 / 2 ,

=(M 2 / 1 5 + l ) u 1 / 8 - ( M u ) 2 / 1 5 , c c o

- 5 / 7 n

1 8 L " C 6 = 5 / 2

L e e

, 1

1 ^

, M 2 u 2 ( x ) W. 5 , c o 1

2x 2 / 7

d x 2

C X

W = 9 1 0 - 2 / 7

i w n

2 2 M u > J -

5 c o + T:— dn

M

- 2 - - = r f ( M c 2 )

n

3. 17

2 2 en donde f(M ) + l cuando M -+co.

c c

Es decir, la dependencia de W con n es

W^(2/7)3 Tn 8 7 / 2 + (u 2/2) f(M 2)+. L e e c c

(3.46)

siendo 9 y u dadas por (42)-(43). El anterior comportamien

to asintótico es mostrado en la Fig. 3.

Reteniendo sólo el primer término de (46), y elimi­

nando u entre (14) y (15), obtenemos

W * 4 : r r 2 ( Z . P 3 / m . n ) 1 / 2 ( 2 g T 9 7 / 2 ) / ( 7 u 1 / 2 ) a i a i c L e c

Nótese que u depende de n y que debe usarse (13)

junto con (14) y (15) para eliminar la dependencia en n y u;

lo cual introduce la constante K en la relación P (W) o W(P ) ,

a a no obstante la dependencia de u con n es muy débil (u 'Wlnn )

c c e c e

y por lo tanto la presión de ablación es prácticamente indepen

ülente de K como en el caso plano (J.R. Sanmartín y A. Barre­

ro, Phys. Fluids, 21, 1957 (19.78)).

DESCRIPCIÓN DE FIGURAS

2

Fig. 1. Curvas integrales en el plano de fases M -Y (las cur­

vas discontinuas son esquemáticas.

Fig. 2. Cuadrado de la velocidad y temperaturas adimensionales

en función del radio, para l^nán y n ¿r\ .

Fig. 3. Parámetros adimensioanels g, W y velocidad crítica co­

ciente entre presión de ablación y presión en el radio

crítico en función de n . c

Fig. 4-. Presión de ablación en función de la potencia del láser.

Fig. 5. Flujo de partículas en función de la presión de abla­

ción .

Fig. 6. Velocidad al cuadrado y temperaturas adimensionales en

función del radio, para un valor dado del radio críti­

co (n =1.015), igual al radio sónico.

« ü

en en

Li.

—

—

—

—

—

—

—

—

- °?

m

7 1 4

- £ — C LO

— «N, *"~»

~ £ l 4

Ln|oo

Q?

<—> r—

«Ji

O

«—

o / c™*" ^

1

3 /

1

r ™ " — •

—

/ ^

y ^ E

i * :

L,.,

I

N" ~

< • *

c

£

—

—

__

—

—

I i A V

O

vo

O

C4 O

a>

o O

I

o en ao c£> o

i i 1 r

(S

CN Q

1L

^

J I I I 1 L I I I L O co

00 CN

CD CNI

->» CN

CN CN

O CN

•NT- O

EXPANSIÓN ESTACIONARIA Z. ARBITRARIO = i = = = = = = =

4 .1

PLANTEAMIENTO DE LAS ECUACIONES

En variables físicas las ecuaciones que gobiernan el

problema son (l)-(4) del capítulo anterior. De forma análoga,

sumando (3) y (4) y utilizando (1) y (2) obtenemos una ecua­

ción de la energía de electrones e iones que puede ser integra

da desde r hasta un radio arbitrario r, utilizando la condi-

5/2 d Te cion de contorno en r = r , v = T =T.=T —=—= 0 : a ' e i e d r '

u [ ^ - k Z . ( T + T . / Z . ) + 4 » - v 1 =•• Z . K r T L 2 i e i i 2 i J i

_ _ . . dT W Z . H ( r ) 2_ 5 / 2 e , i

d r 1+TT ( 4 . 1 )

H = 0 ( r < r ) , H = 1 ( r > r ) c c

2 en donde u = nvr es una constante y 4Trm.u/Z. es el flujo másico

• J i i

igual que en el capítulo anterior. De una manera directa, pro

cediendo igual que en el capítulo anterior, podemos eliminar

la densidad y llegar a unas ecuaciones análogas reteniendo el

término de presión iónica. Para no ser repetitivos, escribi­

mos directamente las ecuaciones adimensionalizadas.

n = r/ra , T /T e r

. = T ./T i r

u = v/(Z ikT r/m i) 1/2

Procediendo de igual manera, escogemos T , de forma que la

condición de contorno en r , P(r )=P =nkT +n/z.kT.=ykT (Z.+l)/ a ' a a e 1 1 e i

2 / Z . v r en v a r i a b l e s a d i m e n s i o n a l i z a d a s s e a u / 9 =1 en n = l ,

Z .

r m . k ^ Z . + l ;

Z . 2 P 2

r 4

a a ( 4 . 2 )

f í i i + 5 0 . / 3 Z . , 2 2 ( 9 + 5 0 . / 3 Z . ) e i í - i d u _ e i i

2 * dr, n

d0 6 . 4 5 b ( Z . ) ( 0 - 9 . ) i e i

dn B Z . i

2 2 Q 3 / 2 n u 9

e

( 4 . 3 )

§ ( 0 + 0 . / Z . ) + i u2 = B n 2 0 o

5 / 2 - r ^ + WH(n) 2 e i i 2 e dn ( 4 . 4 )

4 . 2

2 r 3 2 de d u 3 / 2 3n ( | u - r i + 2 u z e . / n + -e. 2iL_) = 9 .68b(z . ) (e _ Q > ) / e ¿ / ^ ( 4 i 5 ) v 2 dn i 2 i ari ' i e i e ,

s i e n d o H = 0 ( n < n „ = r ^ / r = ) , H = 1 ( n > n ) , c c ' a '

Z . 5 / 2 p <-m. ; . 7 / 2 ^ Z . + l-1

i k i

Z . 5 r l l p 5 a a

( 4 . 6 )

( 4 . 6 )

m . Z . + l 2

1 (-4—) yW 4TTZ . Z .

i i P r 3 a a

( 4 . 7 )

y n e s d a d o p o r

2 m . Z . + l

n „ u ( n ) = r - | - ( ~ t — ) n Z . *• Z . ' _ 4 c i i P r

a a

( 4 .

d o n d e b ( Z . ) = Z . K ( Z . ) / K ( 1 ) , v a r í a e n t r e 1 p a r a Z . = l y 4 ' 2 p a r a

Z .-*-<». i

Debe notarse que a diferencia del caso Z . muy gran­

de, las tres ecuaciones están acopladas debido a la presencia

de la temperatura iónica, y que la singularidad de la ecuación

2 (3) en el radio sónico n ocurre cuando u =8 +50. /3Z. , es

s s es ís i '

decir, una mezcla de sónico isotermo y sónico isentrópico al

haber despreciado la Gonducdión iónica.

Las condiciones de contorno son:

i = o , u/e = 1 , e./e = 1 , en n = i e e i e

cuando f| ->• »

(4.9a)

(4.9b)

junto con

2(e +56./3Z.) d6 6.45b(Z.) (0 -6.) e i i e • i e i

dn gz. 2 2 a 3/2 n u 8 e

c s

en

n Cu =6 s s es

C4.10

+ 59. /3 Z.) ís i

( 4 . 1 0 , b )

4.3

Procediendo igual que en el anterior capítulo resol­

veremos las ecuaciones (3)-(5) escogiendo como parámetro libre

n en el rango l<n <°°. Para cada valor de n encontraremos 3, W c e c

y u(n ) que, junto con (6)-(8), nos darán P , W y u.

INTEGRACIÓN GENERAL DE LAS ECUACIONES

En primer lugar queremos hacer dos observaciones:

a) Como en el caso de Z. muy grande, para H =,0 (n<n )

podemos introducir un espacio de fases con las variables

5/2 Y = gne M 2 = u2/e , ¥ = e ./e

e l e (4.11)

(M = número de Mach basado en la velocidad sónica isoterma)

obteniendo las ecuaciones:

d Y Y + [5(l + /Z . )+M2l 4 u 1 J din n

dM2 _ M 2 [ 8 Y - ( M 2 + 5 ) ( M 2 + 1 ) + F ]

d ln.n 2Y(M2-l-5?/3Z. )

din ti

donde

30Y M2(M2-1-5Y/3Z . )

5¥ r 2 ! 25.8b(Z )

i i M

(4.12)

(4.13)

2(M2-l-5¥/3Z . )G - 5VM2 Í8 Y-( M2 + 5 ) ( M2 + l )+F] ,, . d^ i u J {4 .1 4)

(4.15)

G = 96.7b(Z .)(!-¥)- 10M2f[2Y+5(l + ¥/Zi. )+ M2] . (4.16)

Obsérvese la singularidad de (13) y (14) en el radío 2

sea finita para 2 dM sónico n (M =l + 5¥/3Z.). Exigimos que , ., '

s i d l n n que la solución no sea multivaluada, por tanto el numerador de

(13) debe anularse cuando la solución cruce el radio sónico;

!Y= (M 2+5)(M 2+1)-F (4.17)

4.4

en

n<n c

M 2 = 1+ 5*/3Z. (4.18)

Véase que (17) y (18) es lo mismo que (10.a) cuando

Eliminando n en (12)-(14) obtenemos

(4.19) Y(M-l-5,i'/3Zí)r4Y+5M

2 + 25(l + 1'/Z.)]

dM2 2M2[8Y-(M2+5)(M2+1)+F]

2(M2-l-5¥/3Z . )G - 5¥M2r8Y-(M2+5)(M2 + l)+F] d^ - X ' . (4.20) dM 15M [8Y-(M2 + 5)(M¿ + 1)+F]

b) Notemos que en algún rango de valores de r\ es pc_

sible que n <n , al contrario de lo que ocurría para Z. muy

grande. Efectivamente, para que la solución no sea multivaluada

debemos tener según puede verse de (10.a):

d6 2(8 +56. /3Z.) 6.45b(Z.) (9 -8.) -r1 = 57; - = — * í W en n = n (u =9 +59. /§Z.) dn n gZ. 2 2 Q 3/2 s s es ís i i n u 8

6 (4.2D

a la derecha de n y, en particular, en n si n <n debe ser

d9 —z— <0, lo cual es posible a la vista de (21). También podemos

n d9 ver de (21) que si Z.-><», —;— <0 y siempre es n <n . Adelantando u i dn e s

algunos resultados, podemos esperar que exista un número de car

ga iónica Z.=Z. por encima del cual siempre sea n 2:n . & 1 1 ^ c es

A) Absorción más allá del radio sónico (^c^s)

Para obtener la solución hasta el radio crítico n • c

podemos utilizar las ecuaciones (12), (19), (20), con las con-

2 diciones de contorno (9.a) que en las variables (11) son M =Y-0,

f=l en n=l. La solución de (19) y (20) cerca de M 2=Y=0, ¥=1, el

cual es un punto nodal, es

4. 5

M 2 = ( Y / 3 ) 2 / 5

¥ = 1-25(Z .+1)

6x6 .45b(Z . )Z. i i

M'

(4.22)

(4.23)

donde el autovalor 3 parametriza las soluciones que salen del

nodo .

En el radio sónico n se debe cumplir (17)-(18), am-

2 bos definen una curva en el espacio Y,M ,¥ que llamaremos L ,

y ir al plano definido por (18). Se puede mostrar que la línea

de puntos singulares que define L tienen carácter de puerto.

Hay un único valor de 3 que llamaremos 3T para el cual la solu

2 cion que arranca de M =Y=0, ¥=1 corta a L . Para 3<3T cortan ^ o L

a TT y no a L siendo mult ivaluados ; para 3>3T son siempre sub s o L —

2 sónicas (M <1 + 51'/3Z.). En la Figura 1 se da un esquema de esta

2 topología. Las soluciones que arrancan de M =Y=0, ¥=1 y cortan

2 2 a u lo hacen en un punto Y=Y , ¥=¥ , M =M =l+5¥ /3Z. , que de

s r s ' s ' s s i ' H —

pende del autovalor 3 y definen sobre TT una curva que llamare

.. . 2 2 mos linea sónica L . L corta a L en un punto M =M . , ¥ =¥ T so s c s s L ' s s L , dM

Y =Y por el cual ha de pasar la solución para que , sea S S L QI

finita, dándonos al mismo tiempo el autovalor 3=3T correspon­

diente. Para llevar a cabo la integración numérica hacemos un 2

barrido cuidadoso en 3 de las soluciones que arrancan de M =Y=0

¥=1, determinando Y (3), M (3) y ¥ (3) las cuales definen L 5

extrapolando para ver la intersección con L (recuérdese que — 2~ " "

es una línea de puertos.)-. Encontrado 3T > y el punto M , Y , ¥ , J_i s s s

es fácil arrancar de él con la pendiente apropiada e integrar

hacia adentro .

Debemos hacer notar el carácter especial del punto singular M =0, Y=0, ¥=1 (carácter híbrido de nodo y puerto) Q U t

.. 4.6

nos impide alcanzarlo en la integración numérica apenas nos des

viemos un poco de (21), por lo que es necesario arrancar del

punto anterior con 3T estimado y empalmar con la solución que

2 viene de M . ,Y . ,! para construir la solución. Integrando ha

s -L s L s L ~~ 2

cía afuera desde el punto M ,Y ,1 T completamos el resto de S i-i S J_i S L

2

la solución. Conocido M (Y) y T(Y), com la ecuación (12) y con

dición de contorno Y=0 en n =l 5 determinamos el radio sónico

n =n Tj u(n), 0 (n) y 8.(n) válidas hasta el radio crítico n -

Estas soluciones se dan en la Figura 2 para un número de carga iónica Z.=l. Para n >n _ las soluciones anteriores nos dan tam

i c sL

bien u(n ), 9 (n ) 5 9 . ( n ) . Las ecuaciones (3)-(5) pueden ser

integradas comenzando en n y determinar el autovalor W con la

condición de contorno (9.b). Para llevar a cabo la integración

numérica es más conveniente empezar la integración desde n -> °°

hacia adentro .

Se pueden hacer las mismas consideraciones que en el

capítulo anterior respecto del comportamiento de la solución

para grandes valores de n cuando n>n . Hay un valor de transi­

ción n " de forma que:

c

si n <n ' c c

e 1 •4/3 2 „rr

_ Z . + 1 u ;-2W * - 5 0 e [ —| •) ,

i

(4. 24)

si n >n " c c

W

si n = TI " c c

-2/7 2 — u -2W

4 e L C 2 7/2

169 , e

(4.25)

21x6 .45b(Z. ) n ' •6/7

4gTC 2/7

1/2 roTT L 2

0-=C35/4Brn) 2 / 5 , u2-2W*=-12e , e i-i e

i o e L c 21 / / ( 2 w -

( 4 . 2 6 )

2 5 * 6 . 4 5 b ( Z . ) ^ 3 T !/••

— )

1 6 B L W " - 35 J

_u / 5

4.7

B) Absorción en n c<1 SL

El autovalor W decrece al disminuir n . Cuando n =n + -5 c c sL

W alcanza un valor límite WT . Para r, <n T (W'<Wr : 3<3T ) encontra L c sL L L —

mos, según sea el número de carga iónica ( Z . < Z ." - 4-7) :

i) Para Z . >Z ." , el radio crítico está siempre situado en el ra 1 1 r —

dio sónico, n =n <n _ . Para construir la solución arrancamos ' c s sL

2 del nodo (Y=M =0, V=l) con 3<8T hasta llegar a L (radio sónico)

i-i s

donde situamos n e integramos (3)-(5) haciendo un barrido en c

W hasta cumplir la condición de contorno (9b), igual que en el

capítulo anterior.

ii) Para cada número de carga iónica Z.<Z* existe un valor del & i i

radio crítico que llamaremos n , de forma que si n >n , el ra ^ e s ' ^ C C S

dio crítico es sónico n =r\ , construyéndose la solución igual

que en i) y si n <n el radio crítico es menor que el sónico • c es

TI <n <n . Efectivamente, cuando n =n T , se cumple (10a) en n **" e s e s c sL c

es decir se verifica (17), pero no (10a) en n + porque hay un

cambio de pendiente. Al ir disminuyendo n llegamos a un valor

de él, n en el que se cumple por primera vez (10a) en n + , en es c —

contrando los autovalores 8=3 y W=W . Para n <n no existe so s s c es —

lucion que arranque de n =n y verifique la condición de contor

no 9b; en este caso, para cada valor de 8<8„, se encuentra n <n

y W obligando a que la solución cumpla (9b) y (10a). Se ha en­

contrado numéricamente que n decrece al aumentar Z . , mostrán-H es i

dose en el apéndice B el valor límite del número de carga ióni^ ca Zr-^tl por encima del cual no existe n

i r es

4.8

ABSORCIÓN PARA PEQUEÑAS POTENCIAS DEL LÁSER ( n + 1 )

Cuando g es pequeño el término de conducción de calor

sólo es importante en una capa de espesor muy pequeño (capa de

deflagración) donde los gradientes de temperatura son muy inten

sos. Fuera de esta zona, el movimiento del plasma es isentrópi-

co. La estructura de esta capa de deflagración ha sido amplia­

mente estudiada (J.R. Sanmartín y A. Barrero, Phys . Fluids 21

(1957), 1978) y utilizaremos los resultados de este análisis.

A la salida de la capa de deflagración (denotaremos

con la letra d) 6 =0 . , y la condición de ChaDman-Jouget es sa~

ed id J to 2: 5 tisfecha u, =-%• Q •, {—$ J • Escribiendo las ecuaciones de salto

G. o 6 ü Zi • 1

entre la entrada y salida de dicha capa en variables adimensío

nales para la conservación de masa, cantidad de movimiento y

energía: m . Z . + 1 U d n d = U c n c ~ Z. ^ Z. ' p 4 i i P r a a

2 Z i + 1 Z i + 1 Ud-+9ed t~|—J =ud. i"!-^

(4.27)

z - + 1

1

1 2 2 Ud

W (4.29)

que, junto con la condición de Chapman-Jouget a la salida de la-

capa nos da:

2 _ £ fi _i 25_ |-_i ^ d " 3 ed Z. 64 l Z. }

i i

1 (-27-) •

1

y, utilizando (7) y (27)

(4.30)

(4.31)

. Z.n 1/2 „ f5 i d _. -\ 2

y = I— P I r ^8 m. aJ a

(4.32)

4.9

„ = 1 ) I r 2 ( | | ) ( ^ )1 / 2

p 3 / 2 a l-32';^5m.n,-' a

i d (4.32)

donde n, (densidad electrónica a la salida de la capa) es una

fracción de n , conocida del análisis de la estructura de la c

capa de deflagración (J.R. Sanmartín y A. Barrero, Phys Fluids

21 (1957), 1978) para cada número de carga iónica Z., así como

9 ,/9 , etc. ed ec

ABSORCIÓN PARA GRANDES POTENCIAS DEL LÁSER (n r>>D

Los mismos resultados que para Z. grande son válidos

pues es fácil mostrar que 6 . o, -c 'c c

Q ~ const = 9

2 2 u -8 ln u -48 ln n = const c e c e c

para n >>1 r c

(4.34)

(4.35)

para el autovalor W

2 w ( n c ) = f B L e e c7 / 2 n c + 4 - f ( M c

2 ) (4.36)

2 2 2 siendo M = u /8 y f(M ) la función definida en el capítulo

c c ec J c

anterior.

Reteniendo sólo el primer término de (36) y eliminan

do y entre (6) y (7) obtenemos „ . 7/2

Z. 3/2 W

7/2 p 3 i / 2 2 6 L e e

i c 7u i

Nótese también, que la presión de ablación es práct:

camente independiente de la conductividad térmica electrónica

K .

DESCRIPCIÓN DE FIGURAS

Fig. 1. Esquema de curvas integrales en el espacio de fases

Y, M2, V.

Fig. 2. Velocidad al cuadrado y temperaturas adimensionales en

función del radio cuando n<n y ri >n . . C C S Jj

Fig. 3. Flujos de partículas en función de la presión de abla­

ción para varios valores de Z-.

Fig. 4. Presión de ablación en función de la potencia del láser

para varios valores de Z-.

Fig. 5. Regiones donde el radio crítico es igual, mayor o menor

que el sónico en función del número de carga iónica Z . <

Fig. 6. Radio crítico en función de la potencia para n <n T y

varios valores de Z . . i

Fig. 7. Cociente entre presión de ablación y presión crítica

en función del radio crítico para varios valores de Z . . i

Fig. 8. Parámetro g, , temperatura crítica en el infinito y n i_i c

en función de Z . . i

I I I I—I—I 1 h I I I I I — I — I h o

- C D

- -<r

+ CNJ

CNI

T •>

-i 1 1 h o

F"

•4-— -L |~ +

- • C_>

• CM

- I_ ._L.4_

Fcg.7

CD Q CM m £2 en ao t>- CD LO ~-r ro C\J

i CSJ

5. INFLUENCIA DEL LIMITADOR DE FLUJO TÉRMICO

INTRODUCCIÓN

En un plasma, la conductividad electrónica (Spitzer

1962) en términos del recorrido libre medio del electrón X es

kT .1/2 K « nkA f -1 e *> m J '

donde A « T /n , e

y el flujo de calor

kT l/2 T K VT ce nkA f ) e *• m '

La expresión anterior para el flujo de calor supone

que A<<L„ (longitud típica del gradiente de temperatura) y

cuando esta condición no se cumple, se dice que el flujo de ca

lor está saturado. El máximo flujo de calor en un plasma es

3 nkT v

e car donde v es una velocidad característica del or­

ear 1/2

den de la velocidad térmica electrónica (kT /m ) y suele e e J

1/2 ser expresado por fnkT (kT /m ) , en donde f es un número r r e e e

sin dimensiones que, teóricamente, suele tomarse alrededor de

.6 (J.R. Masón and R.L. Morse, LASL Report . LA-57M-3-MS, 1974),

sin embargo una gran cantidad de comparaciones entre experimen

tos y simulaciones dan para f valores entre .03 y .1 (R.C. Ma-

lone, R.L. McCrory, and R.L. Morse, Phys . Rev. Lett . 34.» 721

(1975) ) .

Hemos visto en los dos capítulos anteriores que pa-

-2/7 ra W>W" casi toda la energía fluye hacia afuera (T ^r ). En

estas condiciones, el recorrido libre medio del electrón es

A>>LT, el flujo de calor está saturado y no es por conducción

clásica:

q 11/7 . — i — o, r >>1 .

1 -max

5.2

En este capítulo reexaminamos un trabajo muy reciente

(E. Max, C.F. Mckee, and W.C. Mead, Phys . Fluids 23, 1620

(1980)) mejorándolo en varios aspectos.

Dejamos T . i- T y suponemos un número de carga iónica

grande, Z.>>1. El número de Mach no es pequeño para r<r si

tomamos valores de f razonables (.03<f£.l) como veremos en la

próxima sección. No ignoramos la existencia de valores de ra­

dio crítico en los que r <r . Encontramos que para valores de C S Li

f razonables (.03£f£.l) aunque cualitativamente la estructura

de la solución es bastante diferente, cuantitativamente son

muy parecidas, en particular la relación u(P ) es exactamente el

la misma y los valores que se predicen para P (W) son muy pa-a

recidos.

PLANTEAMIENTO DE LAS ECUACIONES

Las ecuaciones que gobiernan el movimiento del plas­

ma son la (3.2') y la ecuación de la energía .que debido al li_

mitador del flujo térmico:escribiremos:

WZ.H(r) Í5 1 2? 2 W Z i H <

A [ f k Z . T e + | m . v J =Z.r q t - ^

siendo q = mín

KT 5/2^e 2 dr

kT 1 / 2 dT /dr fnkT (__£}

e ^ m [dTe/dr|

(5.1)

(5.2)

que " utilizando las mismas variables adimensionales del capítu

lo III, se escribe:

|e + | u 2 = q + WH(n) , (5.3)

5 . 3

q = min

...2 5/2 de

3/2 (5.5)

a dS/dn

u de/dn

(m donde a = fu—*- w-— , y A. = m./m (relación masa del ion al pro

Vm_VZ_. í i p —

ton) .

La ecuación (3.10) la escribiremos de la forma

M2-l dM'

M 2 d l n n

= 1+_(M2 + l ) d l n 9

d ln n (5.6)

2 2 donde M = u /<

Emplearemos para comparar la conducción clásica con

el limitador de flujo térmico, la expresión

enV / 2 d9

a 5 dn

a 0 3 / 2 / u ( 5 . 7 )

para a<l la conducción es clásica, y para a=l la conducción es

tá saturada.

Es fácil comprobar que para n=l, la conducción es

siempre clásica (e^ín-l) )', para n>>n el flujo es adiabático

-4/3 (8a,n ) y la conducción es clásica también.

Cuando la conducción clásica se sature en un cierto

valor de n=n ^, a través de él, el flujo de calor es continuo sat J

pero el gradiente de temperaturas será discontinuo y debemos

tener |d9/dnj + > (d6/dn[ _ , pues de lo contrario en n + sat 'sat sat

no estaría saturado y sería inconsistente

5 .4

INTEGRACIÓN GENERAL DE LAS ECUACIONES

Solución para n<n c

Al comienzo, la solución arranca con conducción clá­

sica y es la dada en el capítulo III hasta saturarse cuando

a=l, que con (5.3) nos da:

5 1 2 8 3 / 2

_ 9 + - u = a - T - (5.8)

•5 s Mjf + -f) = « s «-2

(5.9)

es decir, para n>n la solución es M=const.=M , e integrando S 3. L S

(5.5)

sat n

M- / ( M +1)

sat

De (5.5) es fácil comprobar que de d^

M >1 s

sat

(5.10)

"¡at si

El número de Mach de saturación depende del valor li

mitador (parámetro f ) . Tomando razonablemente A./Z.=l/4-, se

comprueba que M > 1 si f> .035.

A lo largo de todo este capítulo tomaremos siempre

valores de M >1 (f>.035) por dos razones: s

i) Pensamos que valores de f bastante menores que

.035 son irreales. A través de simulaciones numéricas se en­

cuentra que . 03 £ f £ . 1 .

ii) Cuando M <1 es necesario para construir la solu-s

ción que cumpla las condiciones de contorno, incluir disconti­

nuidades en algunas de las magnitudes fluidas. Destacamos que

este es el caso en el que se hace especial énfasis en el traba

5 . 5

jo aludido al comienzo del capítulo, y su forma de resolución

nos parece un tanto oscura e inconsistente con un modelo de

plasma dominado por colisiones.

La velocidad y temperatura en el radio crítico son

las del capítulo III si n <n +, y (5.JS) y (5.1©) si n>n , , C S 3 . T ' SCLL

por lo que en n siempre es M(n )=M íM .

Solución para n >n c

En la región donde el flujo de calor esté saturado,

las ecuaciones (5.3) y (5.5) nos dan

2 - 1 — (-5 M , a-s ( 5 . 1 2 )

dM d I n n 3 v2

2 -i

4 f 5 M a w a ^ 5 > -1-M' v 2 3M 3M

( 5 . 1 3 )

De (5.12) y (5.13) se puede comprobar que —- < 0 si d8 > dn"<

M > a, y por tanto una condición necesaria para que en n + el

flujo de calor esté saturado es

M > a c

(5.14)

ya que, a la derecha de n , la- temperatura debe disminuir.

2 Si M =M , con (5.14) y CIEM (5/2 + M / 2) , obtenemos

e s J s s '

que para 1<M =M </5 , en n + el flujo de calor es por conduc-c s ... •.( c v1 •

3 ción clásica. Para M <M y M <a , en n+ la conducción de ca-

c s J c c

lor también es clásica.

Para obtener el autovalor W(n ) se procede de la si­

guiente manera: — Si M <a , la solución arranca de n con conducción c ' c

clásica. La solución se satura cuando a=l. En el apéndice C se

5.6

demuestra que en esta región (n>n ) la saturación ocurre con c

continuidad de las derivadas de 0 y que esto es lo mismo que

imponer la condición -=—= 0 en o = l . Para encontrar W, se barre r dn '

en él hasta encontrar uno que cumpla a = l con -—= 0. ^ ^ dn

3 — Para M >a , si la conducción es clásica en n + se

c ' c

procede igual que antes. Si en n + está saturada la conducción

el autovalor W(n ) se encuentra directamente de ítflBflJ) $¡f (5.5)

5 1 2 o9 3 / 2(n c) w(n c)=fe(n c) +|u

2( T l c) +_ T_- y£- . (5.1.)

c

— Por último, habrá un rango de valores por debajo

de n "=2.05 , para los cuales, la conducción siempre es clási-

ca. Recuérdese del capitulo III que para n <n " el flujo es

adiabático en n-*-°°. En este caso, el limitador de flujo térmico

no afectará en nada a la solución. Corresponde este caso a pe­

queñas potencias del láser W<W:í.

SOLUCIÓN PARA GRANDES POTENCIAS DEL LÁSER nc>>l

Para n>>n , tenemos c

M(n ) = M (5.15) c s

e(n ) = er . (——) . (5.16) c sat *-n j. sat

Supongamos que en n+ el flujo de calor es por con

ducción clásica. Escribimos la ecuación de cantidad de movi-

—2 2 2 — miento y de energía para las variables u =u /u , 9=9/6 .

1 d ü 2 r „ 2 I> 2 9" d F ( 5 . 1 7 )

2 -p^s-^J =— "-= dri u rj dn

5 - l M 2 - 2 W 0 . 5 / 2 - 2 - 5 / 2 d6 - 9 + - M u - —-= 0 n e n 0 — 2 2 s 6 L e e ,— c dn

5.7

escribiremos la solución de (5.17) y (5.18) de la forma

- = W o + — T 7 7 + c n 9

c c

-2 2 Ul u =uo+-—T72 +

nc ec

1

° n e5 / 2

c c

obteniendo sucesivamente

d9

dn 0 , (1) = 1 (5.19)

+ —ÍT- u -W = 6r n 2 o 2 o o dn

„ du 2 . 8 29 d6 i __£L(M

2 - - ° - ) = ^ ° 9 — V s — OJ — S ~ 2 ' A

u n dn o

(1) = o

u 2(1) = 1 , o

(5.20)

(5.21)

e integrando

9Q(n) = 1 ,

M 2(u 2-l) - ln u 2 = 4 ln n s o o

e L x 2

El flujo de calor se satura cuando a = l y W(r) ) queda

determinado con la condición -:—= 0, cuando a = l. Obteniendo en dn

primera aproximación

M 2 2/3

w = | + | M 2 / 3 ( 4 + - | - ) o 2 • 2 s *-2 2 J

(5.22)

5 .8

1/3

o ^ M sat s

(5.23)

decir, para M < v5 ' s

W =

De (5.23) vemos que u > 1 si M < a ( M < / 5 ) , e s o s s sat

M 2 .2/3.

| + 3 M 2 / 3 ( 5 + _ s _ )

2 2 s ^2 J (n ) • c

(5 .24)

Para M > /5 , el flujo de calor está saturado en n + y W(n ) s c e

se obtiene inmediatamente de (5.14-)

W = ( 5 + M ) 9 ( n ) s c (5.25)

LEYES ASINTOTICAS PARA Pa , y, W

El gasto y escrito en función de P es independient a

del limitador f para n >n T (w^P ) • Para n -»-l el flujo nun ^ c sL a c J

ca está saturado y u^P 1/2

J -. • w -> Q / •> 4 / ( M +1 ) e C u a n d o n > > 1 s i e m p r e e s W(n ) ^ 9 ( n ) ^ n s ,

d e c i r :

W

4-irr

3 n m . c i

•5P J 5 Z . a i

1 / 2

2 o M - 2 2 s

M + 1 ^ n s c

W - m . 1 /2-

7 1 1 . 2 1 / 2 *-Z. J

n r k i • c a

1/M-

^ n

4M + 1 9 s

2(M 2 + l ) s

DESCRIPCIÓN DE FIGURAS

Fig. 1. Presión de ablación en función del radio crítico para

varios valores del limitador f.

Fig. 2. Cociente entre la presión de ablación con limitador y

conducción clásica para varios valores del limitador fo

•OJ

o» O

o

..C£>

•OJ

• OJ

O

-.CD

03

CN

o

O

I I

Q5 QS"

--CO

^ CN

ca CN 00 to —I—fy-—-—' O

6. DISCUSIÓN DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES

-6.1-

DISCUSION DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES

Hemos estudiado la expansión estacionaria esférica

de la corona de plasma producida por la irradiación de una mi_

croesfera con un pulso de láser de gran intensidad. Hemos su­

puesto movimiento cuasineutro, absorción en la densidad crít_i

ca, y dejamos T f T.. Hemos tenido en cuenta el efecto de un ' J J e i

limitador de flujo térmico cuando el proceso de conducción en

el plasma no está dominado por colisiones y mostrado que para

valores razonables del limitador, los resultados cuantitativos

para W(P ) se modifican poco. Encontramos una relación entre 3.

presión de ablación Pa» potencia del láser W, radio r , densi

dad crítica n , m. y número de carga iónica Z.. También encon c i J & i —

tramos el flujo másico i+iTm-y/Z. en términos de estos paráme­

tros. Para una microesfera dada, uno puede determinar despre­

ciando el gasto másico, la ley temporal para la presión de

ablación P p (t) , que genera una compresión óptima (problema

interior). Esta solución da también r p (t) . En esta tesis

se ha estudiado fundamentalmente lo que hemos llamado proble­

ma exterior: considerando la expnasión cuasiestacionaria (una

buena aproximación para n mucho menor que la densidad del

blanco) determinamos para un instante dado P y r , la poten-

cia del láser requerida W(P ,r ,n ,Z.,m.), de esta manera pa-^ a a c i i

ra un blanco dado, se determina la ley temporal de la potencia

del láser que genera una compresión óptima

WCt) = w[Paopt(t), ra°

pt(t), nc, Z., m.] .

La solución del problema exterior nos da el gasto má

sico como función d e P , r , n , m . , Z . , y puede ser usado pa-el 3. C 1 .1

-6.2-

ra hacer correcciones en el problema interior. La ley para el

gasto másico toma una forma particularmente simple cuando C I c

r /r >n T , y^P y es independiente del valor del limitador c a- sL a J r

cuando la escribimos en función sólo de P . a

Para r /r <r\ T encontramos que el flujo es sónico en c a sL ^ J

r si Z .¡ti 7 , y alrededor del radio crítico los iones se acele-c i ' J

ran mucho expe- imentando un rápido enfriamiento. Para Z.<4 7 y

r /r <n T , el radio crítico es sónico o no, dependiendo de que o a s Li

r c / r a < \ s *

Hemos visto, considerando flujo estacionario, que la

velocidad del plasma lejos se aproxima a una constante que es

sólo función del valor instantáneo de la potencia del láser W.

Para pulsos con un crecimiento muy rápido, una onda de choque

sin colisiones pudiera formarse en la zona muy poco densa de

la corona.

Encontramos usando conducción clásica que por debajo

de cierta potencia del láser W" la temperatura decae más allá

-4/3 del radio crítico muy rápidamente (T ^r ) y el flujo es adia_

bático, mientras que para W>W" la temperatura decae muy lenta­

mente. Como el camino libre medio de los electrones es propor-

2 ... cíonal a T , si W>W" el plasma no está dominado por colisiones,

es fundamental en este rango tener en cuenta el limitador de

flujo térmico; sin embargo, cuantitativamente, afecta poco a

la ley W(P ) para valores usualmente considerados del limita-a f 2

dor. Para W = W"", la intensidad del láser <j>=W/4-trr toma el va­

lor : 3 7/8 Z . 7 / 8 . n 7 / 4 r 3 / 4

** = c f M f—1 — 2-r- , [K(Z.)] 3/4

-6.3-

donde Ai = m./m , y C un numero que depende de Z., C-8.5xl0 /4-TTTI

Podemos decir que para intensidades del láser por debajo de es­

te valor, el efecto del limitador de flujo térmico, cuando haya

que tenerlo en cuenta es totalmente despreciable.

APÉNDICE A

-1-

APENDICE A

El cociente entre el flujo de calor y flujo de ener­

gía interna

4> =

— 5/2 K T ' dT /dr

e e

-|n k T v 2 e

es una medida del carácter no isentropico del flujo. Utilizan­

do las ecuaciones (26)-(28) se puede ver fácilmente que cuan­

do n-*00,

- 7 / 3 — —-<j> ^ n -»- o w < W "

cj> -> 7 / 3

A « 2 / 7 w>w¿

Es decir, el flujo de calor cambia de una manera dis_

continua en W = W", de ser despreciable a ser dominante cuando

2

Para n>>n >1, el número de Mach M=u /9 es desprecia­

ble y la ecuación (10) se puede escribir

du /dn = 49/n - 2d6/dn (A-l)

Definamos las variables de un plano de fases

M 2 = (2W-u2)/9 , Y = 3 n 8 5 / 2 ;

entonces, de las ecuaciones (A-l) y (11) tenemos

dM2 _ (5-fi2)(l-M2/2)-4Y d Y Y2+5Y(5-M2)/4

(A-2)

Las soluciones asintóticas dadas por las ecuaciones (26)-(28)

~ 2 M 4-están representadas por los puntos (Y = 0, M =5), (Y->°°, -s-=y) ,

*• 2 (Y=35/4, M =12); las dos primeras tienen carácter de puerto

-2-

para la ecuación (A-2), y el tercero es un nodo. Para W<W", la

solución, en el plano (Y,ñ ) , comienza en Y = 0, M =5 (n>>l) y

*• 2 se dirige hacia el nodo Y=35/4, M =12 (cuando 1) decrece). De

forma semejante, para W>W", la solución viene desde el infini-

to (M /Y = *+/7) dirigiéndose hacia el nodo cuando n decrece.

APÉNDICE B

-3-

APENDICE B

Cuando 3 es pequeño (n ->1) el término de conducción c

de calor sólo es importante en una capa de espesor muy pequeño

(capa de deflagración) donde n-l^B. Fuera de esta zona el moví

miento del plasma es isentrópico. La estructura de esta capa

ha sido estudiada ampliamente (J.R. Sanmartín y A. Barrero,

1978). A la salida de la capa 9 =9 . = ( Z • +1) /Z . , u2=|-8 (Z.+l)/ e i 64 i i 3 e i

/ Z . . E l a u t o v a l o r W= %%• ( Z . +1 / Z . ) 2 . i 3 2 i i

L l a m a n d o n = ( n —1)/6» l a s e c u a c i o n e s ( 4 . 3 ) - ( 4-. 5 ) d e s ­

p u é s de una i n t e g r a c i ó n i n m e d i a t a n o s d a n :

2 9 . = Z ¿ ( u - u - 9 . e ) + u ,

e _ F ( u )

dn 9 5 / 2

( B . l )

( B . 2 )

Z - + 1 2

F ( u ) = f ( l + - ^ - ) u - 2 u 2 - | y ( - | — ) H(fi)

^ A.

H = o ( n < n ) c

H = 1 (n > n Q ) ,

, 2 F ( u ) u + 6 . 4 5 b ( Z - ) / Z . (9 - 9 . ) 9 d U - -2 ^ s i i SL-± i ( B . 3 ) dn

5 / 2 2 9 ° / ¿ ( u -9 - 5 9 . / 3 Z . )

e e i i

Es f á c i l v e r de ( B . 3 ) q u e f¡ <f¡ ( u = 9 +-r-8 . / Z . ) s

^ c s s es 3 ís i

para que en ti , u no sea multivaluada. En n , numerador y de­

nominador de (B.3) deben anularse simultáneamente ó n = fi . c s

Con las ecuaciones (B.2)-(B.3) introducimos un plano 2

de fases en las variables u y 8 .

, 2 F(u) u + 6.45 b(Z . )/Z. (9 -8 . ) 8 d u

= _ 2 1 i 1—i 2. (B.4) d8 (u -8 - 58./3Z.) F(u)

e i i

-14.-

9 = 0 , u / 9 = 1 ( B . 5 ) e e

9 e = - 9 e d = M (Zi + 1 ) / Z i > u 2 = u d 2 - f 9 e d ( Z i + 1 ) ( B ' 6 )

2 El punto (u, ,9 ,) del plano de fases es un punto

d ed 2

nodal de (B . 4) , y el punto (u ,9 ) que se obtiene al anular s s s

numerador y denominador de (B.3) f(B.M-)J, es un puerto. La so

lucion que arranca de u=9=0 (H=0) corta a la que viene del

2 2 2 5 puerto en 9 =9 , u =u , antes de cruzar la curva u =9 + e ec c ' e 3Z . i

i

e integrando (B.2) obtenemos r¡ . Cuando Z .-*•<*>, n =fi , pues el c í e s

numerador de (B.3) (B . 4) no puede anularse. Se encuentra nu­

méricamente que para Z.>Z."-4 7 , la solución de (B . 4-) que arran ca de u = 9 = 0 (H = 0) corta a la curva u =9,+ ^^ 9.., antes de cor

e 3Z . i i

tar a la solución que arranca del puerto, en este caso, la in_

2 5 tersección de u =9 + 9 . , con la solución que viene de u = 9 = 0

2 2

nos determina u , 9 y de (B.2) f¡ . c ec J c

APÉNDICE C

-5-

APEND1CE C

2 2 Cuando n>n 5 las ecuaciones para M =u /9 y 6 si el

flujo de calor no está saturado son:

5 Q A 1 2 - Q 2.5/2 d0 - 8 + u -W= Bn 9 ^ (C.l)

M2-l dM M +1 dln M d ln n 2 d ln n

= 2 (C.2)

sea lcla w - | 1 2

2 U

a6 3 / 2/u

M a '•e 2 " 2 -1

(C.3)

El flujo de calor se satura en n = n ^ cuando a = l. Para n<n J sat sa

0<1 y (7 = 1 cuando n>n En n ^ se debe cumplir J sat sat de dn

'sat pues de lo contrario no estaría saturado. Derivando a en n

d d

sa

(a=l) y evaluando el salto en su derivada, tenemos:

da 0 > * ( T T M M ln n

da d ln n

sat

da da d ln n d ln n

'sat sat sat

d ln 9-F(M) A (f-M vd ln rr (C.4)

'sat

donde F(M)

3 V,2 _L. 3 M2 5

M a

- M + - M ~ J1* ~ 2

ct(M2-l)

< 0 (C.5)

da es decir, ( C. 4-) solo se puede cumplir si -r—= ' ^ r dln n

bien d ln 9 d ln n

d ln 9

Vat d ln n

= 0,o

Vat

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R.l

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