termodinamika poglavlje 6-2
DESCRIPTION
nagib neimarlija termodinamika dio 6TRANSCRIPT
-
112 GLAVA 6......TERMODINAMIKA......Drugi zakon termodinamike......
6-9 Promjena entropije idealnih plinova
U opem sluaju proraun entropije idealnih plinova pravi se prema obrascima
[ ]366 i [ ]376 . Za idealne plinove mogu se razviti izrazi u kojima promjena entropije zavisi direktno od P-v-T parametara.
Ako se u jednainu [ ]366 uvrste poznate relacije iz prethodnih izlaganja dTcdu
v= , [ ]a386
i RTPv = , [ ]b386
slijedi
v
dvR
T
dTcdsv
+= , [ ]396
a nakon integriranja od stanja 1 do stanja 2, dobija se
v
dvR
T
dTcdsssv +== 2
1
2
1
2
1
12. [ ]406
Konano, s pretpostavkama cv=const. i R=const., promjena entropije plina u zavisnosti od specifinog volumena i temperature data je slijedeim izrazom
1
2
1
2
12
v
vlnR
T
Tlncss
v+= . [ ]416
Ako se Mayerova relacija cp-cv=R uvrsti u jednainu [ ]416 , dobija se
1
2
1
2
1
2
12
v
vlnc
v
vlnc
T
Tlncss
vpv+= ,
odnosno
2
1
1
2
1
2
12
v
v
T
Tlnc
v
vlncss
vp+= . [ ]426
Iz jednaine stanja [ ]b386 proizlaze slijedei odnosi
2
22
1
11
T
vP
T
vP= ,
-
GLAVA 6......TERMODINAMIKA......Drugi zakon termodinamike...... 113
odnosno
1
2
2
1
1
2
P
P
v
v
T
T= . [ ]436
Ukoliko se jednaina [ ]436 uvrsti u jednainu [ ]426 , tada je promjena entropije plina u zavisnosti od pritiska i specifinog volumena data slijedeim
izrazom
1
2
1
2
12
P
Plnc
v
vlncss
vp+= . [ ]446
Ponovo, polazei od Mayerove relacije cp - cv = R, odnosno cp R = cv, i kada se ista uvrsti u jednainu [ ]416 , dobija se
1
2
1
2
1
2
12
v
vlnR
T
TlnR
T
Tlncss
p+= ,
odnosno
2
1
1
2
1
2
12
v
v
T
TlnR
T
Tlncss p = . [ ]456
Ukoliko se jednaina [ ]436 uvrsti u jednainu [ ]456 , tada promjena je entropije plina u zavisnosti od pritiska i temperature data slijedeim izrazom
1
2
1
2
12
P
PlnR
T
Tlncss
p= . [ ]466
Moe se konstatirati da e kod bilo koje promjene od stanja 1(P1,T1,v1) do stanja 2(P2,T2,v2) svaka od jednaina [ ]416 , [ ]446 i [ ]466 dati isti rezultat. Naime, koja e od jednaina biti upotrijebljena za proraun promjene
entropije plina zavisi od poznatih parametara u konkretnom sluaju.
6-9-1 Promjena entropije za izotermni proces
Kod ovog je procesa T1=T2, slijedi ln(T2/T1) = ln1 = 0, tako da iz jednaine [ ]416 promjena entropije plina jeste
1
2
12
v
vlnRss = , [ ]476
-
114 GLAVA 6......TERMODINAMIKA......Drugi zakon termodinamike......
a iz jednaine [ ]466 je
1
2
12
P
PlnRss = . [ ]486
Jednaina [ ]446 ostaje nepromijenjena.
6-9-2 Promjena entropije za izohorni proces
Kod ovog je procesa v1=v2, slijedi ln(v2/v1) = ln1 = 0, pa je iz jednaine [ ]416 promjena entropije plina
1
2
12
T
Tlncss
v= , [ ]496
a iz jednaine [ ]446 je
1
2
12
P
Plncss
v= . [ ]506
Jednaina [ ]466 ostaje nepromijenjana.
6-9-3 Promjena entropije za izobarni proces
Kod ovog je procesa P1=P2, slijedi ln(P2/P1) = ln1 = 0, tako da je iz jednaine [ ]446 promjena entropije plina
1
2
12
v
vlncss
p=
, [ ]516 a iz jednaine [ ]466 je
1
2
12
T
Tlncss
p= . [ ]526
Jednaina [ ]416 ostaje nepromijenjena.
6-9-4 Promjena entropije za politropski proces
Kod politropske promjene stanja plina razmijenjena toplota u diferencijalnom obliku data je slijedeim izrazom
Pdvn
dq1
= . [ ]536
-
GLAVA 6......TERMODINAMIKA......Drugi zakon termodinamike...... 115
Ukoliko se jednaina [ ]536 podijeli sa T, dobit e se promjena entropije plina u diferencijalnom obliku
T
Pdvn
T
dqds
1
== . [ ]546
Ako se jednaina stanja Pv=RT uvrsti u jednainu [ ]546 , dobije se
v
dvR
nds
1
= , [ ]556
a nakon integriranja, od stanja 1 do stanja 2, jeste
1
2
121 v
vlnR
nss
= . [ ]566
Kod politropske promjene stanja veza izmeu osnovnih parametara
data je slijedeom relacijom
nn
P
P
T
T
v
v
1
2
11
1
2
1
1
2
=
=
. [ ]576
Zamjenjujui odnos temperatura-volumen iz jednaine [ ]576 u jednainu [ ]566 dobija se
2
1
1
1
2
1
12
111 T
Tln
n
Rn
T
TlnR
nss
n
=
=
. [ ]586
Na slian nain, zamjenjujui odnos pritisak-volumen, iz jednaine [ ]576 u jednainu [ ]566 dobija se
2
1
1
2
1
12
11 P
Pln
n
Rn
P
PlnR
nss
n
=
= . [ ]596
Kod politropske promjene plina od stanja 1(P1,T1,v1) do stanja 2(P2,T2,v2) svaka od jednaina [ ]566 , [ ]586 i [ ]596 dat e isti rezultat, jer
-
116 GLAVA 6......TERMODINAMIKA......Drugi zakon termodinamike......
je entropija veliina stanja. Jednostavno, izbor jednaine pitanje je
pogodnosti ili upotrebljivosti iste u datom sluaju.
6-9-5 Promjena entropije kod procesa mijeanja plinova
S obzirom da se kod procesa mijeanja temperatura ne mijenja, na prvi pogled moglo bi se zakljuiti da nema ni promjene entropije. Meutim, mijeanje je
jedan tipian nepovratan proces, koji se dogaa sam od sebe, ali ako se eli
ostvariti proces separacije komponenti, to zahtijeva utroak rada i toplote pa tu onda sigurno dolazi do porasta entropije.
Pravi je uzrok porastu entropije promjena parcijalnog pritiska Pi na pritisak P, dok temperatura ostaje ista. Proraun porasta entropije za idealne plinove rauna se prema ranije izvedenom izrazu
1
2
1
2
12
P
PlnRm
T
TlncmSSS p == . [ ]606
S obzirom da je kod procesa mijeanja T1=T2, onda je promjena entropije data slijedeom relacijom
0
1
= P
PlnRmS
i
ii
n
mj. [ ]616
Izvedena relacija vai za idealne plinove, ali treba konstatirati da realni
plinovi u praksi malo odstupaju od idealnih.
6-10 Promjena entropije za nestiljive supstancije
Za nestiljive supstancije promjena specifinog volumena jeste nula u toku bilo kojeg procesa, zato se jednaina [ ]426 moe reducirati na
T
duds = . [ ]626
S obzirom da je promjena unutarnje energije nestiljive supstancije data jednainama du = cdT, slijedi
T
dTcds = , [ ]636
-
GLAVA 6......TERMODINAMIKA......Drugi zakon termodinamike...... 117
odnosno nakon integriranja
== 21
12
T
dTcsss . [ ]646
Za srednju vrijednost specifine toplote, promjena entropije nestiljive
supstancije od stanja 1 do stanja 2 data je slijedeim izrazom
=
1
2
12
T
Tlncss
sr. [ ]656
Prema tome, moe se zakljuiti da promjena entropije za nestiljive supstancije zavisi samo od promjene temperature u toku promjene stanja.
6-11 Princip poveanja entropije
6-11-1 Promjena entropije toplotnih rezervoara
Kada toplotni rezervoar razmjenjuje toplotu s drugim sistemima, u njemu se odigravaju unutarnje povratni procesi. Naime, prema definiciji toplotnog rezervoara, njegova je temperatura konstantna, bez obzira na toplotne interakcije. Stoga, promjena njegove entropije data je slijedeom jednainom
T
Q
T
QS
.pov.unut
TR =
= . [ ]666
Kada se toplota dovodi u toplotni rezervoar tada njegova entropija raste, a kada se toplota odvodi, njegova se entropija smanjuje.
Radni rezervoar ima sposobnost da primi ili oda rad na povratan nain
bez toplotnih efekata. Poto ovakvi ureaji ostvaruju unutarnje povratne adijabatske procese, promjena entropije radnih rezervoara bit e nula, to jest
0=
=
.pov.unut
RRT
QS . [ ]676
6-11-2 Promjena entropije zatvorenog sistema i okolice
-
118 GLAVA 6......TERMODINAMIKA......Drugi zakon termodinamike......
U procesima u kojima se razmjenjuje toplota izmeu zatvorenog sistema i
njegove okolice dolazi do promjene entropije i u okolici i u sistemu, a njihova se suma naziva - ukupna promjena entropije.
Ako se pretpostavi proces razmjene infinitezimalne koliine toplote Q izmeu zatvorenog sistema, u kojem se odvijaju povratni procesi, i
njegove okolice, to jest toplotnog rezervoara na temperaturi T, tada je promjena entropije sistema data slijedeim izrazom
T
QdS
sistema
= , [ ]686
a promjena entropije toplotnog rezervoara je
T
QdS
TR
= . [ ]696
Prema tome, ukupna promjena entropije za navedeni povratni proces je
0=+= TRsistemaukupno dSdSdS . [ ]706
Ako se u zatvorenom sistemu odvijaju nepovratni procesi, tada je promjena entropije sistema data slijedeim izrazom
T
QdS sistema
> , [ ]716
pri emu se infinitezimalni iznos toplote Q dovodi u sistem na povratan nain.
Ako se infinitezimalni iznos toplote Q odvodi od okolice na temperaturi T0 , tada je promjena entropije okolice data slijedeim izrazom
0T
QdS
okolice
= . [ ]726
Ukupna promjena entropije, za navedeni nepovratni proces u sistemu, jeste
011
00
>
=>+TT
QT
Q
T
QdSdS
okolicesistema. [ ]736
Ako je T0>T tada je (1/T 1/T0)>0. S obzirom da je dovedena toplota u sistem prema konvenciji pozitivna, slijedi da je ukupna promjena entropije vea od
-
GLAVA 6......TERMODINAMIKA......Drugi zakon termodinamike...... 119
nule, saglasno jednaini [ ]736 . S druge strane, ako se pak toplota odvodi od sistema, tada je T0
-
120 GLAVA 6......TERMODINAMIKA......Drugi zakon termodinamike......
0T
QdmsdmsdS OS
ulaz
iij
izlaz
jokoline
= . [ ]786
Ako se jednaine [ ]776 i [ ]786 saberu, dobija se ukupna promjena entropije za otvoreni sistem i njegovu okolicu
0T
Q
T
QdSdS OSOSokoliceOS
+ , [ ]796
odnosno 0+
okoliceOSdSdS . [ ]806
Zakljuci koji proistjeu iz principa poveanja entropije, to jest
jednaina [ ]756 , [ ]766 i [ ]806 , jesu:
Princip poveanja entropije predstavlja postulat za svaki proces, kojim se
ograniava smjer u kome proces moe tei.
Samo kod povratnih procesa entropija se ne proizvodi. Entropija je nekonzervabilna veliina.
Prema drugom zakonu termodinamike svi procesi koji se spontano odvijaju tee ravnotenom stanju. Princip poveanja entropije dopunjuje
ovu injenicu konstatacijom da e entropija rasti dok se ne uspostavi stanje ravnotee. U stanju ravnotee entropija dostie maksimalno moguu
vrijednost. Princip poveanja entropije u direktnoj je vezi s nepovratnou procesa,
koja uvjetuje porast entropije u sistemu. Nepovratnost vea slijedi entropija vea, stoga je promjena entropije kvantitativna mjera
nepovratnosti procesa.
6-12 Degradacija energije
Kada se toplota Q dovodi radnom mediju, koji ostvaruje desnokratni ciklus, samo dio toplote moe se prevesti u koristan rad. Ako se desnokratni ciklus ostvaruje u povratnoj Carnot maini, koja radi izmeu toplotnih rezervoara
konstantnih temperatura T i T0, tada je termiki stepen djelovanja dat jednainom [ ]136 . Koristan rad koji se dobija u jednom takvom ciklusu je
==T
TQQL C,tkorisno
01 . [ ]816
-
GLAVA 6......TERMODINAMIKA......Drugi zakon termodinamike...... 121
Openito za desnokratni ciklus koristan rad je manji od dovedene toplote
T
TQL
korisno
01 . [ ]826
Znak jednakosti u jednaini [ ]826 vai za povratni ciklus i u sluaju da toplotni rezervoar temperature T0 predstavlja okolicu, tada je koristan rad maksimalni rad i naziva se eksergija
korisnomax,QLEx = , [ ]836
Znak nejednakosti u jednaini [ ]826 vai za sve nepovratne procese. Kada se toplota Q na temperaturi T predaje toplotnoj maini na
povratan nain, jedan dio energije ne moe se prevesti u koristan rad i ona se
naziva nekorisna energija ili anergija toplote
STT
QTAn
Q==
00. [ ]846
Grafika interpretacija eksergije i anergije za jedan povratan Carnot
ciklus u T-S dijagramu data je na slici 6-6. Ako se kondukcijom nepovratno razmijenjuje toplota Q pri
konanim gradijentima temperature, izmeu toplotnog rezervoara vie
temperature T1 i toplotnog rezervoara nie temperature T2, tada je maksimalna korisna energija prije razmijene toplote
=1
0
1
1T
TQdEx
Q, [ ]856
a maksimalna korisna energija poslije razmijene toplote je
=2
0
2
1T
TQdEx
Q. [ ]866
-
122 GLAVA 6......TERMODINAMIKA......Drugi zakon termodinamike......
Slika 6-6 Shematski prikaz eksergije i anergije za jedan povratni Carnotov ciklus
Razlika izmeu maksimalnih energija predstavlja degradiranu energiju u oblik
koji je manje pogodan za dobijanje korisnog rada
==
12
021 T
Q
T
QTdExdExdEx
QQradiranadeg. [ ]876
Ukupna promjena entropije toplotnih rezervoara u diferencijalnom obliku je
2
2
1
1
21
T
Q
T
QdSdSdSukupno
+
=+= . [ ]886
Nakon integriranja, uzimajui u obzir injenicu 12QQQ == , ukupna
promjena entropije je
QTT
Sukupno
= 12
11. [ ]896
Ako se integrira jednaina [ ]876 , koristei jednainu [ ]896 , dobija se
4
T
S
3
1
2 Tmax = T
T0 =Tok = Tmin
Ex
An
-
GLAVA 6......TERMODINAMIKA......Drugi zakon termodinamike...... 123
ukupnoradiranadegSTEx =
0 . [ ]906
Jednaina [ ]906 predstavlja mjeru degradirane korisne u nekorisnu energiju, koja zavisi od ukupne promjene entropije i stanja okolice.
6-13 Radna sposobnost sistema
Jedna od osnovnih konsekvenci drugog zakona termodinamike jeste ta da se u kontinuiranom i desnokratnom ciklusu transformira toplota u rad i da je iznos dobijenog rada manji od dovedene toplote u ciklus. Stoga se i namee pitanje termike efikasnosti procesa, a drugi zakon termodinamike upravo pokazuje
da je efikasnost konverzije toplote u rad uvijek manja od jedan. Da bi se odredilo koliko se rada moe u nekom procesu dobiti,
potrebno je utvrditi kolika je radna sposobnost sistema u odnosu na neki referentni sistem. Ameriki matematiar i fiziar Josiah Willard Gibbs (1839-1903) uveo je koncept radne sposobnosti sistema u odnosu na okolicu, kao referentni sistem, prema kojem se odreuje sposobnost nekog sistema kada odaje ili prima rad. Dakle, prema Gibbsu, sistem ija se radna sposobnost
odreuje u interakciji je sa stabilnom okolicom stanja (P0,T0). Podrazumijeva se da je okolica stabilna homogena sredina ija se temperatura, pritisak i sastav
ne mijenjaju pod uticajem procesa koji se dogaa u sistemu.
6-13-1 Radna sposobnost zatvorenog sistema
Zatvoren sistem iji je sastav jednak sastavu okoline i poetnog stanja
1(P1,T1). u interakciji je s okolicom stanja 0(P0,T0). Neka sistem obavlja proces od stanja 1 do stanja 0, prvo izentropskom promjenom od stanja 1 do stanja a, a zatim izotermnom promjenom od stanja a do stanja 0, slika 6-7.
Tokom povratne adijabatske promjene stanja, proces od stanja 1 do stanja a, sistem je uspostavio termiku ravnoteu s okolicom u kojoj su temperature okolice i sistema jednake, to jest Tsistema =Ta=T0. Zatim povratnim izotermnim procesom od stanja a do stanja 0 sistem je uspostavio i mehaniku ravnoteu sa okolicom. Prema tome, dostizanjem stanja okolice, gdje je
Psistema= P0 i Tsistema= T0 , sistem je svu raspoloivu energiju u vidu rada predao okolici.
-
124 GLAVA 6......TERMODINAMIKA......Drugi zakon termodinamike......
Slika 6-7 Shematski prikaz maksimalnog rada zatvorenog sistema
Rad sistema za povratni adijabatski proces od stanja 1 do stanja a, prema prvom zakonu termodinamike, jeste
aaoadijabatsk uull == 11 . [ ]916
v
0
P
Tok a
1
l
T1 P1
Pok
Pa
Pok Pa
0
T
s
Tok a
1 T1
P1
-
GLAVA 6......TERMODINAMIKA......Drugi zakon termodinamike...... 125
Za povratni izotermni proces od stanja a do stanja 0 rad sistema, takoe prema prvom zakonu termodinamike, vrijedi
( ) ( )aaaizotermnossTuull +==
0000. [ ]926
Ukupni maksimalni rad, koji je ustvari povratni maksimalni rad, dat je kao algebarski zbir radova u jednainama [ ]916 i [ ]926 , uz napomenu da je sa=s1, s obzirom da je proces od stanja 1 do stanja a izentropski, te slijedi
( ) ( )01001ssTuul
max= , [ ]936
ili za ukupnu masu sistema
( ) ( )01001SSTUUL
max= . [ ]946
Rad definiran posljednjim jednainama jeste maksimalni rad, ako ga sistem odaje; ako pak sistem prima rad, tada se on naziva minimalni rad.
Pri uravnoteivanju sistema i okolice jedan dio energije u obliku rada
mora se utroiti na promjene stanja same okolice
( )100vvPl
okolice= . [ ]956
Konano, maksimalno koristan rad zatvorenog sistema, odnosno radna
sposobnost sistema u odnosu na odabrano stanje okolice jeste
( ) ( ) ( )00000ssTvvPuul korisnomax, += , [ ]966
ili za ukupnu masu sistema
( ) ( ) ( )00000SSTVVPUUL
korisnomax,+= . [ ]976
Ako su pritisak i temperatura okolice konstantni, tada jednaine [ ]966 i [ ]976 predstavljaju funkcije stanja i nazivaju se funkcije radne sposobnosti.
Ako je sistem tokom procesa od stanja 1 do stanja 2, a oba stanja razliita od stanja okolice, bio u interakciji samo sa okolicom i ostvario irenje
ili sabijanje u odnosu na okolicu, tada je povratni korisni rad jednak smanjenju radne sposobnosti sistema za proces od stanja 1 do stanja 2
( ) ( ) ( )2102102112SSTVVPUUL
.pov,+= . [ ]986
-
126 GLAVA 6......TERMODINAMIKA......Drugi zakon termodinamike......
Openito, ako se u analizu ukljui i nepovratni proces izmeu stanja 1 i
stanja 2, onda slijedi .pov,
LL1212
, [ ]996
gdje znak jednakosti vai za povratne, a znak nejednakosti za nepovratne
procese.
6-13-2 Radna sposobnost otvorenog sistema
Slino kao kod jednokratnog rada, i kod tehnikog je rada zanimljivo odrediti
njegovu maksimalnu vrijednost. Naime, to je rad koji se dobije u najpovoljnijim okolnostima iz neke materije koja se kontinuirano dobavlja stroju, a po obavljenom procesu stroj je istiskuje u okolicu. Davalac rada je plin s poetnim stanjem T1>T0 i P1>P0. Ako se ovakav plin kontinuirano dovodi ekspanzionom stroju, tada je za dobijanje maksimalnog tehnikog rada
potrebno da ekspanzioni stroj na potpuno povratan nain dovede plin do stanja
okolice, a zatim ga istisne u okolicu. Taj potpuno povratan nain jedino moe
biti povratna adijabatska ekspanzija do temperature okoline, a zatim povratna izotermna kompresija do pritiska okoline. Ovaj proces, s obzirom da se radi o otvorenom sistemu, potrebno je upotpuniti jo procesima usisavanja i istiskivanja, to je shematski i prikazano na slici 6-8.
Neka je otvoreni sistem u interakciji samo s okolicom konstantnog pritiska i temperature, stanja 0(P0,T0). Tada je jednainu [ ]553 mogue preurediti i primijeniti na jedan ulaz i jedan izlaz, pa se dobija izraz za rad otvorenog sistema
++
+++=izlazulaz
OSOSdmzg
whdmzg
whQL
22
22
++ zgmmw
Ud2
2
. [ ]1006
Promjena entropije otvorenog sistema, za povratan proces, uz pretpostavku da se pored razmjene toplote ostvaruje i razmjena mase s okolicom, data je slijedeim izrazom
[ ] [ ]izlazulaz
OS
OS dmsdmsT
QdS +
=
0
. [ ]1016
-
GLAVA 6......TERMODINAMIKA......Drugi zakon termodinamike...... 127
Ako se izraz [ ]1016 uvrsti u jednainu [ ]1006 , dobit e se izraz za povratni rad otvorenog sistema
++
++=izlazulaz
.pov dmzgw
sThdmzgw
sThL22
2
0
2
0
++ zgmmw
STUd2
2
0. [ ]1026
Ovaj rad je maksimalni rad koji se moe dobiti od otvorenog sistema i dat je u
funkciji osobina fluida na mjestima ulaza i izlaza kontrolne povrine, poetnog
i krajnjeg stanja sistema i temperature okolice. Za stacionarne uvjete strujanja je dmdmdm izlazulaz == , a trei lan na
desnoj strani jednaine [ ]1026 jednak je nuli, pa se iz jednaine [ ]1026 nakon integriranja dobija izraz za povratani rad otvorenog sistema
izlazulaz
.pov mzgw
sThmzgw
sThL
++
++=22
2
0
2
0 [ ]1036
Ako je sistem na mjestu izlaza uravnoteen sa okolicom, tada e
jednaina [ ]1016 dati radnu sposobnost otvorenog sistema ili maksimalni rad ili eksergiju po jedinici mase fluida
( ) ( ) ( )0
2
000
2zzg
wssThhe
x++= . [ ]1046
Ako se mogu zanemariti lanovi potencijalne i kinetike energije radna
sposobnost otvorenog sistema data je slijedeim izrazom
( ) ( )000ssThhex = , [ ]1056
ili za ukupnu masu sistema
( ) ( )000SSTHHemEx x == . [ ]1066
-
128 GLAVA 6......TERMODINAMIKA......Drugi zakon termodinamike......
Slika 6-8 Shematski prikaz maksimalnog rada otvorenog sistema
0
P
v
Ta = Tok a
1
ex
T1 P1
P0k
Pa
a
b
Pok Pa
0
T
s
Tok
1 T1
P1
ex
Ta = Tok
qodv