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Brousseau. GuyIniciaei6n al estudio de la teoria de las situaeiones

didcktieas - 1a ed. - Buenos Aires: Libros del Zorzal, 2007.128 p. ; 21x14 em.

Tradueido por: Dilma Fregona

ISBN 978-987-599-035-7

1. Metodos de Ensenanza. I. Fregona, Dilma, trad. II. TituloCDD 371.3

INDICE

PRO LOGO ..................................................................................•... 7

INTRODUCCION ..........................................................................•. 11Orfgenes de la teorfa de las situaciones 13

A. LA MODELIZACION DE LAS SITUACIONES EN DIDACTICA .............•. 171. Las situaciones 172. Una primera aproximaci6n a la clasificaci6n de las

situaciones didacticas 203. Tipologfa de las situaciones en didactica 234. Situaci6n didactica, situaci6n adidactica, situaci6n

fundamental 305. La adaptaci6n de las situaciones a los alumnos: la

optimizaci6n 396. La adaptaci6n de los alumnos alas situaciones: los

saltos y los obstaculos 407. Resultados y primeras conclusiones 47

B. LA TEORfA DE LAS SITUACIONES DIDACTICAS ...........................•. 491. Modelizaci6n de la ensenanza 492. Las difusiones de los conocimientos sin intenci6n

didactica 563. Los contratos debilmente didacticos que se ocupan

de un saber "nuevo" 59

© Libros del Zorzal, 2007Buenos Aires, Argentina

Libros del ZorzalPrinted in ArgentinaHecho el deposito que previene la ley 11.723

Parasugerencias 0 comentarios acerca del contenido defniciaci6n af estudio de fa teoria de fas situaciones did,kticas,escribanos a:info@delzorzal.com.ar

4. Estudio te6rico del contrato didactico 685. Algunos efectos del contrato didactico 74

C. LAs SITUACIONES DIDA.CTICAS: COMPONENTES Y ESTRATEGlAS ..... 851. Componente esencial del contrato didactico: la de-

voluci6n 852. La institucionalizaci6n: otra componente esenc.ial 963. Las estrategias fuertemente didacticas que tratan un

saber "nuevo" 994. Contratos basados en la transformaci6n de los sabe-

res "antiguos" 1075. Los efectos de las refonnas a largo plaza 110

CONCLUSl6N 113

En los ultimos aiios, el nombre de Guy Brousseau se asociaa la enseiianza de la matematica, tanto en la formacion dealumnos de diferentes niveles de escolaridad como de pro-fesores de matematica. En America Latina, en particular, suobra comenzo a difundirse a partir de los aiios 80, a travesde espacios de interaccion entre estudiantes e investigado-res de diferentes pafses y la comunidad francesa de didacti-ca de la matematica.

Sin embargo, la produccion original de Brousseau habfacomenzado al menos una decada atras. Desde los aiios 70,en Francia se 10 reconoce como uno de los principales in-vestigadores del campo -entonces nuevo- de la didactica dela matematica. Su contribucion teorica esencial es Lateorlade Las situaciones didacticas, iniciada en un momenta enque la vision dominante sobre la enseiianza y el aprendizajede la matematica era una vision cognitiva, fuertemente in-f1uenciada por la epistemologfa piagetiana. La teorfa de lassituaciones propuso otro enfoque: el de una construccionque permite comprender las interacciones sociales entrealumnos, docentes y saberes matematicos que se dan en unacIase y condicionan 10 que los alumnos aprenden y como

10 aprenden. Esta construccion fue un trabajo colectivo enel que participaron investigadores, estudiantes de grade ypostgrado, docentes y tambien alumnos de distintos nivelesde escolaridad.

Podemos hallar una primera version de algunas de lasnociones basicas de esta teorfa en un artfculo publicado en1970 porIa revista de la Asociacion de Profesores de Mate-mMica de la Ensefianza Publica (APMEP) de Francia. Allf,Brousseau formula los primeros resultados de sus reflexio-nes sobre el aprendizaje y la ensefianza de la matemMica,sobre la base de su propia experiencia como maestro ruralen una pequefia escuela de "clase unica" y de sus estudiosuniversitarios de matematica y psicologfa.

En 1972, dentro del marco del Instituto de Investiga-cion en Ensefianza de la MatemMica (IREM) de la Uni-versidad de Bordeaux, creo una institucion original: elCentro para la Observacion e Investigacion en Ensefianzade la MatemMica (COREM). EI centro, montado en unestablecimiento publico -Ia Escuela Jules Michelet de Ta-lence-, era un laboratorioque permitfa observar a docen-tes y alumnos en sus interacciones en clase y desplegarexperiencias de ensefianza desarrolladas y llevadas a cabopOl' el trabajo conjunto de personas vinculadas al IREM-investigadores y estudiantes de los postgrados en didac-tica de la matematica de la Universidad de Bordeaux- ydocentes de la escuela. Brousseau dirigio el centro durantemas de 25 afios. En ese ambito y con la colaboracion denumerosas personas, realizo una investigacion fundamen-tal -y tambien experimental- ligada a la ensefianza efecti-va de la matemMica.

En el afio 2003, el Prof. Brousseau fue galardonado conla primera medalla Felix Klein, otorgada porIa ComisionInternacional de Instruccion MatemMica. Dicha medalla re-

conoce la contribucion esencial de sus aportes al desarrollode la didactica de las matematicas como area de investiga-cion y recompensa 10s esfuerzos permanentes que realizodurante mas de cuarenta afios para que sus investigacionescontribuyeran al mejoramiento de la formacion matemMicatanto de alumnos como de profesores.

En los ultimos afios, una publicacion de Kluwer di-vulgo 10s articulos fundamentales de la teorla de situa-ciones en el mundo anglosajon, mediante la traduccion alingles de los principales artfculos del Prof. Brousseau delos afios 70 y 90. Despues de 1990, otros textos, artfculosy conferencias precisaron, ampliaron y a veces modificaronel cuerpo de la teorfa.

EI texto que aquf presentamos -que sigue siendo fun-damental para comprender la teoria- es la traducci6n deun curso dictado por Brousseau en el ano 1997, cuandola Universidad de Montreal Ie otorgo el titulo de DoctorHonoris Causa. Conservamos la primera persona del sin-gular, como discurso pronunciado por el autor, e inclui-mos en nota al pie numerosas referencias bibliograficas.Lamentablemente, muy pocos de esos materiales estandisponibles en castellano, pero se puede acceder a algunosde ellos a traves del sitio: http://perso.wanadooJr/daestiPages %20perso/B rousseau .htm

EI tt~xtoque presentamos se divide en tres secciones,senaladas como A, B YC, y cada una de ellas contiene, a suvez, varios apartados:

A. La modelizaci6n de [as situaciones en diddcticaB. La teorfa de [as situaciones diddcticasC. Las situaciones diddcticas: componentes y estrategias

Se inaugura asf, desde una empresa editorial argenti-na, la difusion en castellano de la teorfa de las situaciones

didacticas de Guy Brousseau. Y es un hecho para celebrarvivamente. Constituye un modo significativo de difundirtrabajos realizados en un area de investigaci6n relativamen-te reciente y que permitira -al menos a eso apostamos- afortalecer la comunidad que, desde distintos campos, traba-ja en el mejoramiento de la ensenanza de la matematica yen la profesionalizaci6n de sus docentes.

Siempre nos hemos preguntado cuales son los conocimien-tos matematicos "necesarios" para la educaci6n y la socie-dad y c6mo IIevar a cabo su difusi6n. Los textos acerca dela finalidad de la matematica abundan: e~tos explican lanecesidad, en una sociedad, de que cada ciudadano dis-ponga de una cultura matematica suficiente y, a la vez, decontar con una cantidad suficiente de tecnicos y cientfficospara enfrentar los desafios del futuro. Todo tiende a con-vencernos de que las matematicas desempenaran en eIIoun papel importante, Dichos textos explican tambien laimportancia de las propiedades formativas inherentes a lamatematica, tanto a nivel individual, por las capacidadesque parece desarrolIar, como a nivel de la vida colecti-va. EI comportamiento racional de una sociedad, es decir,su relaci6n tanto con la verdad como con la realidad, nodescansa unicamente en las virtudes individuaJes de susmiembros. Exige una practica social y una cultura que de-ben ensenarse en la escuela. La matematica constituye elcampo en el que el nino puede iniciarse mas temprana-mente en la racionalidad, en el que puede forjar su raz6nen el marco de relaciones aut6nomas y sociales.

Tambien nos cuestionamos acerca de los medios que he-mos creado para responder a tal demanda social: en que me-dida el exito de la difusi6n de los conocimientos matematicosdepende de las ciencias de la educaci6n, la psicologfa 0 laspropias matematicas; que lugar ocupan, en dicha difusi6n,los conocimientos de didactica y, mas precisamente, de di-dactica de la matematica; que instituciones pueden asegurarla coherencia y la pertinencia de esos conocimientos.

En las ultimas decadas, se ha desarrollado en todo elmundo una amplia gama de trabajos experimentales y deelaboraci6n de teorfas en relaci6n con la educaci6n mate-matica. EI enfoque que abordamos en este texto, el de lateorfa de Las situaciones diddcticas, se presenta en la ac-tualidad como un instrumento cientffico. Tiende a unificare integrar los aportes de otras disciplinas y proporciona unamejor comprensi6n de las posibilidades de mejoramientoy regulaci6n de la ensefianza de las matemciticas. Si bienalgunos resultados de investigaci6n han sido tornados comonuevos metodos de ensefianza, no es mi intenci6n hacerproselitismo en ese senti do. Me parece que, en el siglo XX,no han faltado profetas ni innovadores en el campo de laeducaci6n. Personal mente, y en primer lugar, deseo propi-ciar una reftexi6n acerca de las relaciones entre los "con-tenidos" de la ensefianza y los metodos de la educaci6n. Yluego, de un modo mas amplio, abordar la didactica comoun area de investigaci6n cuyo objeto es la comunicaci6n delos saberes matemciticos y sus transformaciones.

das a la transmisi6n de un saber dado y, de este modo, larelaci6n didactica se interpreta como una comunicacion deinformaciones.

Habitualmente, este esquema es asociado a una concep-ci6n de la ensefianza en la que el profesor organiza el sabera ensefiar en una serie de mensajes, de los cuales el alumnotoma 10 que debe adquirir. Este esquema facilita la determi-naci6n de los objetos a estudiar, el papel de los actores, y laasignaci6n del estudio de la ensefianza a diversas discipli-nas. Por ejemplo, la matemcitica tiene la responsabilidad delegitimar el saber escolar, las ciencias de la comunicaci6nse responsabilizan por la traducci6n en mensajes adapta-dos, la pedagogfa y la psicologfa cognitivas por comprendery organizar las adquisiciones y los aprendizajes del alum-no, etc. EI prop6sito de dichos mensajes es, esencialmente,la enculturaci6n del alumno por parte de la sociedad. Porsupuesto, este modelo no excluye la intervenci6n de atrasdisciplinas complementarias en el esclarecimiento de algunaspecto del proceso, sino que el esquema jerarquiza el im-pacto que puedan tener.

Con frecuencia, la ensefianza es concebida como lasrelaciones entre el sistema educativo y el aLumno vincula-

Ahora bien, los psicologos han demostrado, respecto de10s fenomenos de aprendizaje y desde diferentes perspecti-vas, la importancia de la tendencia natural de los sujetos aadaptarse a su medio: Skinner estudia el papel de los esti-mulos y propone construir un model0 del sujeto1

; Piaget seocupa esencialmente de la genesis no escol,ar de los cono-cimientos y, para ello, concibe -des de su formacion cienti-fica- dispositivos experimentales donde el nino revela susmodos de pensamiento y el investigador reconoce, en suscomportamientos, las estructuras y Ios conocimientos ma-tematicos de su eleccion; Vigotski estudia las modalidadesde la inftuencia del medio sociocultural en el aprendizaje delos alumnos y el estudio del medio en si mismo da lugar, enconsecuencia, a un ambito ideologico 0 cientifico.

Desde estas perspectivas, Ia ensenanza se convierte,pues, en una actividad que concilia dos procesos: uno deenculturaci6n y otro de adaptaci6n independiente.

En los afios 60, cuando era estudiante de matematica ycontaba ya con algunos anos de experiencia como maestro deescuela primaria, un profesor me mando a estudiar psicologiacognitiva con Pierre Greco. Greco me impresiono por su ha-bilidad para concebir dispositivos experimentales destinadosa poner en evidencia la originalidad del pensamiento matema-tico de los ninos en las etapas de su desarrollo. Sin embargo,me daba cuenta de que no entraban entre sus preocupacionesanalizar los dispositivos en si mismos ni explicitar la relacionentre estos y la nocion matematica cuya adquisicion estudia-ba. Comence a plantearme algunas preguntas: l,en que condi-ciones puede propiciarse que un sujeto -cualquiera- tenga la

Sus criticos, como Chomsky primero, y Nelson 0 Arbib despues,y sus seguidores, como Suppes, realizan modelos del sujeto pormedio de aut6matas formales.

necesidad de un conocimiento matematico determinado paratomar ciertas decisiones? y l,como explicar de antemano larazon por la cuallo harfa? La ensenanza tradicional ya teniauna respuesta: ensenar y ejercitar.

Los dispositivos piagetianos mostraron que los ninospodfan adaptarse desarrollando conocimientos matemati-cos que no habian sido ensenados.

Estudiar los problemas y los ejercicios que hac.en quese utilice una nocion matematica es un trabajo habitual paralos matematicos, tanto como presentar 10s saberes cons i-derados necesarios. Sin embargo, como para cada nocionexiste todo un conjunto de problemas y ejercicios que Ie sonespecfficos, podia pensarse que esta via de investigaciontenia pocas oportunidades de aportar informacion sobre laadquisicion de saberes mas generales.

En esta perspectiva, son 10s comportamientos de 10salumnos los que revelan el funcionamiento del medio, con-siderado como un sistema. Lo que se necesita modelizar,pues, es el medio. Asi, un problema 0 un ejercicio no puedenconsiderarse como una simple reformulacion de un saber,sino como un dispositivo, como un medio que "responde alsujeto" siguiendo algunas reglas. l,Que juego debe jugar elsujeto para necesitar un conocimiento determinado? l,Queaventura -sucesion de juegos- puede llevarlo a concebirlo 0a adoptarlo? Desde este enfoque, se describe al sujeto comosi fuera un jugador de ajedrez que actua teniendo en cuentasolo sus conocimientos y el estado del juego. l,Que infor-macion, que sancion pertinente debe recibir el sujeto porparte del medio para orientar sus elecciones y comprometertal conocimiento en lugar de tal otro? Estas preguntas con-ducen, pues, a considerar el medio como un sistema auto-nomo, antagonista del sujeto, y es de este del que convienehacer un modelo, en cuanto especie de automata.

Hemos llamado situacion a un modele de interaccion deun sujeto con cierto medio que determina un conocimientodado, como el recurso del que dispone el sujeto para alcanzaro conservar en este medio un estado favorable. Algunas deestas situaciones requieren la adquisicion "anterior" de todoslos conocimientos y esquemas necesarios, pew hay otras queIe ofrecen al sujeto la posibilidad de construir pOI'sf mismoun conocimiento nuevo en un proceso de genesis artificiaF.

Observese que la misma palabra "situacion" sirve, ensu sentido ordinaria, para describir tanto al conjunto (nonecesariamente determinado) de condiciones que enmarcanuna accion, como uno de los modelos (eventual mente for-males) que sirven para estudiarla.

En 1970, en la Universidad de Bourdeux, se dan lascondiciones institucionales para plantear el proyecto cientf-fico de construir modelos de las situaciones utilizadas en laensefianza -para analizarlas y, eventualmente, criticarlas- yproponer otras mas apropiadas. Planteado el estudio de estamanera, es posible introducir en el anaIisis argumentos dela organizacion del saber matematico y otros de tipo eco-nomico y ergonomico, asf como tomar en cuenta otras res-tricciones, en especial aquellas que podrfan aparecer comoconclusiones de trabajos de psicologfa 0 sociologfa, conla condicion de volverlas funcionales, es decir, de precisarcomo intervienen efectivamente.

._-._--

2 N. de T.:La bUsqueda de las condiciones necesarias para producirun aprendizaje condujo a Brousseau a desarrollar la noci6n de in-genierfa didactica como una metodologfa de investigaci6n y comoproducci6n de situaciones de ensefianza. Yease Brousseau (1982);y tambien Chevallard (1982) y Artigue (1990).

A. LA MOOELIZACIONOE LAS SITUACIONES EN OWACTICA

Una "situacion" es un modele de interaccion entre unsujeto y un medio determinado. EI recurso· de que disponeel sujeto para alcanzar 0 conservar en este medio un estadofavorable es una gama de decisiones que dependen del usode un conocimiento preciso. Consideramos el medio comoun subsistema autonomo, antagonista del sujeto. Al tamarcomo objeto de estudio las circunstancias que presiden ladifusion y la adquisicion de los conocimientos, nos intere-saremos, pues, pOI'las situaciones.

En los inicios de los 70 las situaciones didticticas eranlas situaciones que sirven para ensefiar sin que se considereel rol del profesor. Para ensefiar un conocimiento determi-nado se utilizan "medios" (textos, materiales, etc.). La inge-nierfa didactica estudia y produce dichos medios.

La situacion es, entonces, un entorno del alumno dise-fiado y manipulado pOI'el docente, que la considera comouna herramienta. Mas adelante, identificamos como situa-ciones matemtiticas a aquellas que provocan una actividadmatematica en el alumno sin intervencion del profesor. He-

mos reservado el termino de situaciones didacticas para losmodelos que describen la actividad del profesor y tambienla del alumno.

Desde la segunda acepcion, que sera estudiada en laseccion B, la situacion didactica es todo el entorno delalumno, incluidos el docente y el sistema educativo.

Consideremos un dispositivo disefiado por una per-sona que quiere ensefiar un conocimiento 0 controlar suadquisicion. Este dispositivo comprende un medio mate-rial -las piezas de un juego, un desaffo, un problema, in-cluso un ejercicio, una ficha, etc.- y las reglas de interac-cion con ese dispositivo, es decir, el juego propiamentedicho. Pero solamente el funcionamiento y el desarrolloefectivo del dispositivo, las partidas efectivamente juga-das, la resolucion del problema, etc., pueden producir unefecto de ensefianza. Es necesario, por 10 tanto, incluir elestudio de la evolucion de la situacion, ya que asumimoscomo supuesto que el aprendizaje se logra por medio deuna adaptacion del sujeto que aprende al medio creadopor esta situacion, haya 0 no intervencion de un docenteen el transcurso del proceso. Los conocimientos se ma-nifiestan esencialmente como instrumentos de control delas situaciones.

Para ilustrar el papel que desempefian las relacionesentre el funcionamiento de los conocimientos del alumno-manifestadas a traves de sus comportamientos- y las ca-racterfsticas de las situaciones, vamos a tomar el ejemplo dela leccion denominada "La carrera a 20" 3.

EI objetivo de la clase era introducir un repaso de ladivision con un sentido de la operacion no acorde con losaprendizajes anteriores y favorecer -en los nifios- el descu-brimiento y la demostracion de una serie de teoremas.

Se trata de que cada uno de los dos adversarios quejuegan llegue a decir 20 agregando, alternativamente, 1 0 2al mlmero dicho por el otro. EI jugador que comienza diceI 0 2, el que continua agrega 1 0 2 a ese numero, a su vezel primero agrega 1 0 2 y asf sucesivamente hasta que unollega a decir 20 y entonces gana4

•

La estrategia ganadora consiste en tomar tan prontocomo sea posible la sucesion 2, 5, 8,11,14,17,20. Mastarde se analizara que se debe aplicar desde el comienzo dela partida la serie de numeros congruentes con 20, modulo 3(numeros que tienen igual resto al dividirlos por 3)5.

EI profesor explica la regIa del juego y comienza unapartida en el pizarron contra un nifio, luego cede su lugar aotro alumno.

N. de T.: veanse Brousseau (1978) y (1998).La leccion de "La carrera a 20" es la primera de una serie quecontinuani con "La carrera a 25", luego con "La carrera a 37" ydespues "La carrera a 354, agregando numeros comprendidos en-tre 1 y 13", etc. De este modo, los alumnos son lIevados a construirun metodo para encontrar el resto de las restas sucesivas antes dedarse cuenta de que reinventaron la division, que ya conocfan.

----3 N. de T.: Perrin-Glori an (1994: 106) afirma: "Esta situacion va a

desempefiar un papel importante en 10s primeros fundamentos dela teorfa. Fue objeto de nurnerosos estudios experimentales y teo-ricos basados en las probahilidades y la estadfstica y permitini, a lavez, desarrollar la teona e ilustrarla durante 10s afios 70",

Los nifios juegan varias partidas de ados y anotan los nu-meros que van eligiendo. Al realizar una serie de partidas, sedan cuenta de que responder al azar no es la mejor estrategia,algunos descubren nipidamente la ventaja de decir 17.

Los alulllllos son agrupados en dos equipos que compi-ten uno contra otro. EI profesor designa al azar a un alumnode cada equipo para que juegue una partida en el frente, de-lante de suscompafieros. Mientras se juega esa partida, Iosrestantes alumnos no pueden intervenir. El que gana aportaun punto a su equipo. Los nifios se dan cuenta de la necesi-dad de discutir y concertar estrategias.

El profesor propone que cada equipo enuncie los des-cubrimientos que ha hecho y que Ie han permitido ganar.Ahora el juego consiste en demostrar la verdad de Ios enun-ciados propuestos 0 criticar y eventual mente probar la fal-sedad de Ias declaraciones del equipo contrario.

2. Una primera aproximad6n a la clasificad6nde las situadones didacticas

A partir de las fases descriptas en "La carrera a 20", ha-remos una primera entrada a la clasificacion de Ias situacio-nes y, en la proxima seccion, una caracterizacion general.

La primera fase del juego corresponde a una situaciontfpica de accion: a cada paso, los alumnos toman decisionesproponiendo cada uno a su turno un mlmero despues de ha-ber realizado una apreciacion del estado del juego. Al cabode algunos pasos, sobreviene la sancion: la partida se ganao se pierde.

A medida que el nifio juegue mcis partidas, desarrollaninuevas estrategias, es decir, razones por las cuales va a elegirun numero antes que otro. Por ejemplo, preferini lOa 9 por-que cree, equivocadamente, que de alguna manera el juegotiene que ver con la numeracion decimal. 0 17 en lugar de 16porque se dio cuenta intuitivamente de que ya habfa ganadodespues de haberlo jugado. A partir de ese momento, todosucede como si supiera el teorema en acto 6.-"hay que decir17"- 0 como si tuviera una tactica "completa" (ambos sonindiscernibles). Pero, en realidad, pudimos observar que senecesitan varias partidas antes de que sean capaces de formu-lar esta tactica, justificarla y finalmente sacar conclusiones.

En general, una estrategia se adopta rechazando intuiti-vamente 0 racionalmente una estrategia anterior. Una estra-tegia nueva se somete ala experiencia y puede ser aceptadao rechazada segun la apreciacion que tenga eI alumno sobresu eficacia. La sucesion de situaciones de acci6n constituyeel proceso por el cual el alumno va a "aprenderse" un meto-do de resolucion de su problema.

Por ejemplo: en el comienzo del juego todos los nume-ros Ie parecen igualmente importantes. Al finalizar esta fase,

N. de T.: EI concepto de "teorema en acto" fue introducido por G.Vergnaud. Una presentaci6n detallada de la teorfa de Los camposconceptuaLes, de donde proviene este concepto, puede encontrarseen Vergnaud (1990).

cuando comienza a darse cuenta de que si juega 17 puedeganar, la eleccion del 18 0 del 19 no Ie parece pertinente.

Este conjunto de relaciones ("si juego 14 0 17, puedoganar") permanece tal vez completamente implfcita: el nifiojuega segun este modele antes de ser capaz de formularIo.Llamaremos modelo implfcito al conjunto de relaciones 0

reglas segun las cuales el alumno toma sus decisiones sintener conciencia de ell as y a posteriori de formularlas.

ta, por parte del medio, cuando, en caso de ser aplicada enuna partida concreta, la estrategia resulta ganadora 0 no.

Se observo que la simple formulacion no tenfa ninguna in-f1uenciasobre los conocimientos y las convicciones de los alum-nos, pero impedfa la desaparicion de los teoremas en acto.

En la segunda fase se pueden observar dos momentosdiferentes:

a) cuando el representante del equipo esta en el frenteyjuega,y

b) cuando el equipo discute.

En la tercera fase cada equipo elabora y luego propone,por turno, un enunciado "utiI para lIegar a decir 20" 0 inten-ta establecer que el enunciado del adversario es falso.

En este nuevo tipo de situacion, los alumnos organi-zan enunciados en demostraciones, construyen teorfas -encuanto conjuntos de enunciados de referencia- y aprendencomo convencer a los demas 0 como dejarse convencer sinceder ni a argumentos retoricos ni a la autoridad, la seduc-cion, el amor propio, la intimidacion, etc. Las razones queun alumno pueda dar para convencer a otro, 0 las que puedaaceptar para cambiar de punto de vista, seran elucidadasprogresivamente, construidas, puestas a prueba, debatidasy convenidas. El alumno no solo tiene que comunicar unainformacion sino que tambien tiene que afirmar que 10 quedice es verdadero en un sistema determinado, sostener suopinion 0 presentar una demostracion.

En el caso a) un nifio que no esta en el frente recogetoda la informacion mirando 10 que escriben los dos repre-sentantes, pero el no puede actuar ni intervenir. El que juegaen el pizarron esta en situacion de accion.

En el caso b), el medio para cada uno de los alumnosesta constituido por el conjunto de partidas jugadas, enespecial por la ultima7

• Para ganar no alcanza con que unalumno conozca como ganar, tambien debe poder comu-nicar a sus compafieros la estrategia que propone, ya queesta es fa unica manera que tiene de actuar sobre la situa-cion. Dicha comunicacion esta sometida ados tipos de re-troacciones: una inmediata, por parte de sus compafieros,que la comprenden 0 no (la comparten 0 no), y una media------7 N. de T.: Notese que el media se modifica en las sucesivas partidas

y cada alumno realiza sus fbrmulaciones en funcion de su interpre-tacion de los resultados de las partidas anteriores.

Cuando un sujeto intenta controlar su entorno, no todassus acciones manifiestan sus conocimientos de la mismamanera. Las relaciones de un alumno con el medio puedenser clasificadas, al menos, en tres grandes categorfas8:

----8 N. de T.: Vease Brousseau (I 986a, cap. 6).

- intercambios de informaciones no codificadas 0 sinlenguaje (acciones y decisiones);

- intercambios de informaciones codificadas en unlenguaje (mensajes);

- intercambios de juicios (sentencias que se refieren a unconjunto de enunciados que tienen un-rol de teoria).

Desde la perspectiva de la teorfa de las situaciones, losalumnos se convierten en los revel adores de las caracterfs-ticas de las situaciones a las que reaccionan (es importantesefialar esta inversion de posicion con respecto alas aproxi-maciones de la psicologfa, donde las situaciones suelen es-tudiarse como dispositivo para revelar los conocimientosdel alumno).

Para un sujeto, "actuar" consiste en elegir directa-mente los estados del media antagonista en funcion de suspropias motivaciones. Si el medio reacciona con cierta re-gularidad, el sujeto puede llegar a relacionar algunas in-formaciones con sus decisiones (retroalimentacion), a an-ticipar sus reacciones y a tenerlo en cuenta en sus propiasacciones futuras. Los conocimientos permiten producir ycambiar estas "anticipaciones". EI aprendizaje es el pro-ceso por el cual se modifican los conocimientos. Podemosrepresentar estos conocimientos por medio de descripcio-nes de tactic as (0 procedimientos) que parece seguir elsujeto 0 por las declaraciones de 10 que parece tener encuenta, pero solo se trata de proyecciones. La manifesta-cion observable es un patron de respuesta explicado porun modelo implfcito de accion.

~--_.Informacion

-->Sujeta Media

EI repertorio de los modelos implfcitos de accion ylos modos en que se establecen son muy complejos. Sepuede suponer, con Bateson, que la formulacion de un co-nacimiento implfcito cambia a la vez sus posibilidades detratamiento, aprendizaje y adquisicion. La formulaci6n deun conocimiento corresponderia a una capacidad del suje-to para retomarlo (reconocerlo, identificarlo, descornpo-nerlo y reconstruirlo en un sistema lingiifstico). EI mediaque exigira al sujeto usar una formulacion debe entoncesinvolucrar (ficticia 0 efectivamente) a otro sujeto, a quienel primero debeni comunicar una informacion. La situa-cion puede entonces describirse can el esquema de Osgo-od (1957). Pero si queremos determinar el contenido de lacomunicacion, tambien es necesario que los dos interlocu-tores cooperen en el control de un medio externo, de modoque ni uno ni otro puedan hacerlo solos, y que la unicamanera de triunfar sea obteniendo del otro la formulacionde los conocimientos en cuestion.

La formuIaci6n de Ios conocimientos pone en juego re-pertorios Iingtifsticos diversos (sintaxis y vocabulario). Laadquisici6n de tales repertorios acompafia a Ia de los conoci-mientos que enuncian, pero ambos procesos son distintos.

Los esquemas de Ia acci6n y de la formulaci6n con lle-van procesos de correcci6n, ya sea empfrica 0 apoyada enaspectos culturales, para asegurar la pertinencia, adecuaci6n,adaptaci6n 0 conveniencia de los conocimientos moviliza-dos. Pero la modelizaci6n en terminos de situaci6n permitedistinguir un nuevo tipo de formulaci6n: el emisor ya no es uninformante, sino un proponente, y el receptor, un oponente.Se supone que poseen Ias mismas informaciones necesariaspara tratar una cuesti6n. Cooperan en la busqueda de la ver-dad, es decir, en vincular de forma segura un conocimiento aun campo de saberes ya establecidos, pero se enfrentan cuan-

do hay dudas. Se ocupan juntos de las relaciones formuladasentre un medio y un conocimiento relativo a ese medio. Cadauno puede tomar posici6n con respecto a un enunciado y, sihay desacuerdo, pedir una demostraci6n 0 exigir que el otroaplique sus declaraciones en la acci6n con el medio.

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En otro momento, crefmos que, al considerar las situa-ciones de acci6n, formulaci6n y validaci6n, ya tenfamostodas las clases posibles de situaciones. Tenfamos situacio-nes de aprendizaje -en el sentido de los psic610gos- y sepodfa pensar que habfamos reducido la ensefianza a suce-siones de aprendizaje. Pero en el transcurso de Ias expe-riencias desarrolladas en la escuela Jules Michelet, vimosque los maestros, al cabo de un tiempo, necesitaban ordenarun espacio, no querfan pasar de una lecci6n a la siguiente,querfan detenerse para "rever 10que habfan hecho" ... Nosvimos obligados a preguntarnos por que se daba esa resis-tencia de los docentes a reducir el aprendizaje a los proce-sos que habfamos concebido. Nos tom6 un tiempo darnoscuenta de que los docentes realmente estaban obligados "a

hacer algo": debian dar cuenta de 10 que habfan hecho losalumnos, describir 10 que habia sucedido y 10 que estabavinculado con el conocimiento en cuesti6n, brindarles unestado a los eventos de la clase en cuanto resultados de losalumnos y resultados de laensefianza, asumir un objeto deensefianza, identificarlo, acercar las producciones de los co-nocimientos a otras creaciones (culturales 0 del programa),indicar cuales podian ser reutilizadas nuevamente.

En primer lugar, esos hechos y luego los razonamien-tos -el hecho de asegurar la consistencia del conjunto delas modelizaciones eliminando las que son contradictoriasexige un trabajo te6rico- mostraron la necesidad de tener encuenta fases de institucionalizaci6n que dieran a determina-dos conocimientos el estado cultural indispensable de sabe-res9• Del mismo modo que los teoremas en acto desapare-cian rapidamentc ante la ausencia de una formulaci6n y unaprueba, los conocimientos privados e incluso los publicospermanecerian contextualizados y tenderian a desapareceren la marea de recuerdos cotidianos si no se los reubicaradentro de un repertorio especial cuya importancia y uso nofueran confirmados por la cultura y la sociedad.

El funcionamiento de los conocimientos es diferenteal de los saberes, tanto en las relaciones entre las institu-ciones como en la actividad aislada de los sujetos. Una no-

ci6n no tiene las mismas propiedades como conocimientoque como saber, ni funciona del mismo modo como he-rramienta de indagaci6n, ni da las mismas posibilidadesde expresi6n, ni actua igual como instrumento de convic-ci6n 0 como argumento y tampoco ha side aprendida dela misma manera.

9 N. de T.: "Los conocimientos son los medias transmisibles (por imi-taci6n, iniciaci6n, comunicaci6n, etc.), aunque no necesariamenteexplicitables, de controlar una situaci6n y obtener de ella determina-do resultado conforme a una expectativa y a una exigencia social. EIsaber es el producto cultural de una instituci6n que tiene por objetoidentificar, analizar y organizar los conocimientos a fin de facilitarsu comunicaci6n." (Brousseau y Centeno, 1991). Esta distinci6n en-tre conocimiento y saber se ilustra con un ejemplo en la descripci6nde la situaci6n sobre el conteo (vease la secci6n 4).

Cada situaci6n puede hacer que el sujeto evolucione,y por ello tambien puede evolucionar a su vez de modo talque la genesis de un conocimiento puede ser el fruto de unasucesi6n (espontanea 0 no) de nuevas preguntas y respues-tas en un proceso que he calificado como "dialectica". Entales procesos, las sucesiones de situaciones de acci6n, for-mulaci6n y validaci6n pueden conjugarse para acelerar losaprendizajes (tanto si se presentan espontaneamente comosi se provocan voluntariamente).

La acci6n y luego la formulaci6n, la validaci6n cultural yla institucionalizaci6n parecen constituir un orden razonablepara la construcci6n de los saberes. Este orden suele ser obser-vado en la genesis hist6rica de las nociones donde vemos su-cederse formas protomatenuiticas y paramatenuiticas que pre-ceden alas formas matematicas propiamente dichaslO• Dichoorden parece oponerse a aquel donde los saberes son primeroreorganizados en discursos comunicables segUn el destinata-rio y luego solamente "aplicados" a situaciones personales y"convertidos" en decisiones. En realidad, no hay una ley ge-neral que califique 0 descalifique uno u otro de estos procesos,sino que hay que examinar las propiedades de cada uno.

----10 N. de T.: Vease Chevallard (1985, ed. en espanol: 1997), cap. 4.

4. Situadon didactica, situadon adidactica,situation fundamental

Este proceso psicogenetico piagetiano se opone al dog-matismo escolastico: mientras que para el primero el apren-dizaje se da "naturalmente", sin intenci6n didactica, para elsegundo todo se atribuye al arte de ensefiar. Asf, la teorfa dePiaget corre el riesgo de aliviar al docente de toda respon-sabilidad didactica, 10cual constituye una vuelta paradojala una especie de empirismo. Pero un medio sin intencionesdidacticas es incapaz de inducir en el alumno todos los co-nocimientos culturales que se desea que adquiera.

Concepciones actuales de la ensefianza van a exigir almaestro que provoque en el alumno -por medio de la elec-ci6n sensata de los "problemas" que propone- las adapta-ciones deseadas. Esos problemas, elegidos de modo tal queel alumno pueda aceptarlos, deben lograr, por su propio mo-vimiento, que actue, hable, reflexione y evolucione. Entre elmomento en que el alumno acepta el problema como suyoy aquel en que produce su respuesta, el profesor se rehusa aintervenir en calidad de oferente de los conocimientos quequiere ver aparecer. El alumno sabe que el problema fue ele-gido para hacer que adquiera un conocirniento nuevo, perodebe saber tam bien que este conocimiento esta enteramentejustificado por la 16gica interna de la situaci6n y que puedeconstruirlo sin tener presentes razones didacticas. No s610puede, sino que tambien debe, porque no habra adquiridoverdaderamente este conocimiento hasta no ser capaz deutilizarlo en situaciones que encuentre fuera de todo con-texto de ensefianza y en ausencia de cualquier indicaci6nintencional. Tal situaci6n es Hamada situacion adiddctica.

Suponemos que cada conocimiento matemMico poseeal menos una situaci6n que 10caracteriza y 10diferencia delos demas. Por otra parte, conjeturamos que el conjunto desituaciones que caracterizan una misma noci6n esta estruc-turado y puede ser engendrado a partir de un pequefio nu-

En la concepci6n mas general de la ensefianza, la marcade un saber es una asociaci6n entre las buenas preguntas ylas buenas respuestas. EI docente plantea un problema que elalumno debe resolver: si el alumno responde, demuestra quesabe; si no, se manifiesta una necesidad de saber que requiereuna informaci6n, una ensefianza. A priori, todo metodo queperrnita memorizar las asociaciones favorables es aceptable.

La mayeutica socrMica limita estas asociaciones a aque-Has que el alumno puede efectuar por sf rnismo. Esta restric-ci6n tiene por objeto garantizar la comprensi6n del saber enel alumno, porque el rnismo 10 produce. Pero entonces nosvemos obligados a suponer que el alumno ya posefa ese saber,ya sea que siempre 10hubiera tenido (rerniniscencia) 0 que 10construyera el mismo por medio de su actividad propia y ais-lada. Todos los procedimientos donde el maestro no da la res-puesta son aceptables para engendrar ese saber en el alumno.

El esquema socratico puede ser perfeccionado si sesupone que el alumno es capaz de obtener su saber de laspropias experiencias, de las propias interacciones con elmedio, aun si ese medio no esta organizado con fines deaprendizaje: el alumno aprende viendo el mundo (hip6tesisempirista-sensualista) 0 haciendo hip6tesis entre las quesuexperiencia Ie permite elegir (hip6tesis aprioristas) 0 aun enuna interacci6n mas compleja conformada por asimilacio-nes y acomodaciones tales como las que describe Piaget.

EI alumno aprende adaptandose a un medio que esfactor de contradicciones, dificultades y desequilibrios, unpoco como 10hace la sociedad humana. Este saber, fruto dela adaptaci6n del alumno, se manifiesta por medio de nue-vas respuestas, que son la marca del aprendizaje.

mero de situacioneflllamadasjundamentales, a traves de unjuego de variantes, variables y cotas sobre estas variables 11.

Como el alumno no puede resolver de entrada cualquiersituaci6n adid,ktica, el maestro Ie procura aquellas que es-tan a su alcance. Las situaciones adidacticas preparadas confines didacticos determinan el conocimiemo ensefiado enun momento dado y el senti do particular que este conoci-miento va a tomar porefecto de las restricciones y deforma-ciones aportadas a la situaci6n fundamental.

Esa situaci6n 0 ese problema elegido pOl'el docente 10involucra a el mismo en un juego con el sistema de interac-ciones del alumno con su medio. Este juego mas amplio esla situacion didactica.

Es importante considerar por el momenta que una situa-ci6n fundamental no es a priori una situaci6n "ideal" para laensefianza, ni siquiera una soluci6n mas eficaz. Su valor parala ensefianza se aprecia en funci6n de un gran numero de otrospanlmetros extemos, tales como la posibilidad efectiva de rea-lizaci6n en un ambiente psicosociocultural determinado.

Para ilustrar el concepto de situaci6n fundamental voya tomar como ejemplo el que exige la medida de conjuntosfinitos y genera en consecuencia el numero natural. El co-nocimiento de los primeros numeros naturales se manifiestapOI'medio del conteo. La situaci6n "fundamental" de apren------II Se puede buscar por medius matem<hicos y experimentales que \'310-

res de esas variables pueden determinar las condiciones 6ptimas dedifusi6n de determinados conocimientos, 0 explicar los que aparecencomo respuestas (te6ricamente) optimas a las condiciones propuestasal alUIlliio.Para algunos valores de esas variables existe al menos unaestrategia optima (desde el punta de vista de su costa en diseno, fia-biIidad,costo de aprendizaje, etc.) y uno 0 varios conocimientos queIe corresponden. LIamamos variable cognitiva a una variable de lasituacion tal que por la elecci6n de vaJores diferentes puede provocarcambios en el conocimiento 6ptimo. Entre las variables cognitivas, lasvariables didacticas son las que puede fijar eI docente.

dizaje del conteo tiene que poder comunicarse a un nifio queno sabe contar, pero que debe poder aprender a resolverlasin que el profesor intervenga indicandole cual es el conoci-miento a utilizar. La realizaci6n efectiva en un aula reclamaraintervenciones didacticas importantes de otro tipo.

MAMA:(,Sabe que, abuelo? jEl nene sabe contar!ABUELO:(,En serio? (,A ver?MAMA:jMuestrale al abuelo c6mo sabes contar!EL NENE(cuatro afios): Uno, dos, tres, cuatro, cinco,

seis, siete, ocho, diez, quince, eh ...ABUELO(admirado): iAh! jMuy bien! iTienesque continuar!

Pero "contar", no cuenta: contar (saber cuantos hay)como proyecto escolar

La familia incluye tambien a la tfa Mimf que es unadocente jubilada.

TfA MIMi: Pero no abuelo, para saber si el nene sabecon tar hay que mostrarle los dedos y preguntarle cuantoshay, y luego pedirle que el muestre 10s dedos. jNo alcanzacon recital' los numeros! Y si el nene no 10sabe, la mama notiene que decepcionarse. A los cuatro afios, Ia mayorfa de10schicos casi no puede comprender realmente 10snumerosmas alla de 5, Ios psic610gos 10pueden decir.

MAMA.:Pero nuestra vecina, Olga, que tiene cinco allos,cuenta hasta 70.

TfA MIMi: Sf, tambien puede recital' "La farolera trope-Z6..."12, que tiene mas de setenta palabras, ipero cree que Ia---12 N. de T.: Cancion infantil tradicional en Argentina, much as veces

ensefiada para reforzar el aprendizaje de cierta sucesion numerica.

farolera es una especie de estrella de la television! No es grave,pero una colegajoven me conto que los padres ejercen actual-mente una fuerte presion sobre sus hijos para "hacerlos con-tar" precozmente. Y comprobo que bajo la influencia de esemachaqueo, algunos ninos se ponen a contar desde el mismomomento en que escuchan la palabra "numerp" sin reflexionarsobre la pregunta que se les planteo. En su clase, esta colegatiene alumnos de tres y cuatro anos en el nivel inicial, ninosque cuentan mecanicamente mas alla de 50, y pOI'eso no pue-de -ni con elIos, ni con los que no pasan de 5- organizar unaactividad matematica en comun apropiada para la edad.

i Cuantos hay? Una situaci6n espedfica

Ahora tomemos la siguiente situacion, que puede ser tra-ducida en una consigna adaptada a ninos de cinco 0 seis anos:

En estos vasitos tenemos pinturas. Debes ir alla a buscarpinceles y poneI' uno y solo uno en cada vasito. Debes traertodos los pinceles de una sola vez y no tienen que sobrarni pinceles sin vasito, ni vasitos sin pincel. Si te equivocas,recoges todos los pinceles, los llevas alIa y recomienzas denuevo. Sabras contar cuando puedas hacer esto, aun cuan-do haya muchos vasitos.

Mas precisamente, el nino sabra cuantos hay cuandopueda desempenar ambos papeles: solicitar (como emisor)a alguien (un receptor), oralmente 0 por escrito, la cantidadde pinceles necesarios verificando la operacion e, inversa-mente, suministrar una cantidad solicitada.

Tal situacion presenta una caracterfstica fundamental por-que, desde el punto de vista didactico y haciendo variar sus va-riables cognitivas13, se pueden describir "todas" las situaciones-----13 N. de T.: Por ejemplo, la naturaleza y tamano de la colecci6n, Ja

posibilidad de desplazar los objetos, Jas circunstancias (traer todos

de conteo y tambien clasificar y comparar todas Ias practicasde conteo y aprendizaje del conteo. Las practicas habituaIes deconteo que acabarnos de presentar se obtienen, a partir de la si-tuacion fundamental, pOI'supresion 0 transferencia al aduIto deciertas tareas. En Iaprimera, que podrfamos llamar, pOI'ejernplo,"el conteo popular", el nino reproduce una serie de palabras bajoel control del adulto. En la segunda, "el conteo escolar clasico",mas evoIucionado, es responsabilidad del nino hacer que un nu-mero corresponda a un conjunto de vasitos (trabajo de emisor) 0

formar una coleccion que lenga un numero dado de pinceles.

Aprender separadamente estas practicas parciales implicaque eI aduIto las ensena, Ias exige, las corrige, Ias hace irnitary repetir. En ningun momenta el nino esrn en condiciones deestablecer pOI'sf mismo Ia finalidad de la accion y corregir suserrores. Sin embargo, padres y docentes utilizan con cierto exitotodas esas formas "degeneradas" de la situacion fundamental,aun en el caso extrema del aprendizaje formal de la sucesion denumeros. No se trata de rechazar ciertas practicas, sino de apro-vecharlas al maximo segun sus caracterfsticas particulares. Lasprincipales desventajas de esos aprendizajes parciales son:

- impedir que el nino asuma la responsabilidad deljuicio sobre el valor de sus respuestas, conozca elproyecto de aprendizaje en el que esta involucrado ypueda evaluar los progresos por sf mismo; y

- que el nino tiene que haber aprendido previamentela respuesta de una u otra manera para comprender10 que se Ie pide que haga.

los pinceles de una vez, no poner a disposici6n de los ninos mate-riales para registrar, anticipar cwintos paquetes de 5 pinceles seninnecesarios para tal cantidad de vasitos), etc.

La "definici6n" didactica es diferente: vuelve a ubicarlas tt~cnicas dentro de una acci6n global inteligible. Ya noexige que el nino sepa contar para comprenderla. Solamen-te es necesario que pueda resolver el juego con algunos va-sitos. Tambien es precise que sepa verificar la correspon-dencia uno a uno. ASI, el aprendizaje puede comenzar, nopor la imitaci6n 0 la reproducci6n, sino por la invenci6n desoluciones estables, cualquiera sea el recurso.

Finalmente, para aprender los numeros sera necesarioque el alumno enumereJ4 las colecciones (que nombre losobjetos uno despues de otro, todos los objetos y sin repe-tidos), al mismo tiempo que determine cuantos hay (queevalue su cardinal por correspondencia con otra colecci6n),que las cuente (que ponga en correspondencia sus elemen-tos con las palabras) y luego, si el conteo es por partes, queenuncie (expresando oralmente el numero utilizando un sis-tema de numeraci6n) el resultado de su conteo y luego es-criba ese numerol5

• Sera necesario tambien que se apropiede los usos de los ordinales de la sucesi6n numeric a, etc.

Pero estos aprendizajes podran producirse por una con-junci6n de metodos, por ejemplo:

----14 N. de T.: En espanolla palabra "enumerar" remite al conteo, y en

consecuencia, al uso de los numeras. Pera en otras idiom as, pOl'ejemplo en frances, "enumerar" significa enunciar uno a uno losobjetos, hacer una \ista. POl'ejcmplo, alllevar una lista para hacerlas compras en el supermercado, en algun momenta se controlasi "ya esta todo". Es comun decir: "faha" tal 0 cual producto, seenumera, sin necesidad de contar.

15 Para los lectores interesados en est os temas, se sugiere: Briand(1993), Bahra (1995), Quevedo (1986) y Cauty.

- en un proceso constructivista, completando las res-puestas espontaneas 0 provocadascon las institucio-nalizaciones indispensables,

- 0 en ensenanzas mas clasicas, mayeutica 0 aun axio-mMica, con lecciones seguidas de ejercicios, en res-puesta a problemas bien identificados por eI aIumno.

Asimismo, Ia situaci6n fundamental no desacredita nin-guna forma de aprendizaje. Las admite todas y permite con-jugarlas: compIeta Ios aprendizajes parciaIes que son tItHesy probabIemente necesarios y, sobre todo, Ies da sentido.

EI uso puramente numeral de Ios numeros (para iden-tificar 0 designar un objeto, por ejempIo eI numero de uncanal de teIevisi6n, de un telefono 0 un autom6viI) no pare-ce presentar problemas. ProbabIemente porque la dificultadprincipal no se encuentra en 10 fundamental en eI aprendi-zaje de Ios automatismos,sino en eI conocimiento de Iaspropiedades de Ias coIecciones, Ios numeros y sus opera-ciones. Estas deben ser "conocidas" obIigatoriamente par eIalumno, para que pueda controlar sus usos compIejos.

Ademas de usar, tarde 0 temprano habra que eIucidar,formular, discutir las propiedades y Ias estructuras numeri-cas. Estas eIucidaciones son necesarias para eI aprendizajemismo y deben acompanarlo. (,C6mo y cuando?

En Ia ensenanza cIasica, eI hecho de comprender cuan-do eI conteo puede dar respuesta a un problema IIega des-pues. Para convencerse, hay que hacer preguntas duranteeI aprendizaje (clasico) a Ios ninos que ya "saben" cantaruna coIecci6n cuando se 10 soIicitan (digamos hasta trein-

ta), pero que no saben resolver el problema de los vasitos ypinceles en la posici6n de emisor 0 de receptor.

Quevedo (1986) pudo observar el siguiente compor-tamiento:

El alumno va a buscar un pufiado de pinceles y los dis-tribuye en los vasitos.

-jAh! jMe sobraron tres!-(,Ganaste?-No, porque me quedaron tres.-B ueno, recoge todos los pinceles y empieza otra vez.Los otros compafieros de la clase Ie sugieren:-jCuenta! jCuenta!El nifio cuenta los vasitos, recoge los pinceles distribui-

dos en los vasitos y reinicia la actividad. Toma un pufiadode pinceles y regresa a los vasitos. El hecho de contar no Iesirve de nada. Los otros nifios tratan de ayudarlo:

-jNo, no! jConta los pinceles!El nifio cuenta todos los pinceles y vuelve ...

Este ejemplo pone en evidencia una diferencia entre elconteo como saber cultural habitual y el conteo como cono-cimiento para resolver la situaci6n fundamental.

(,Podemos afirmar que el alumno sabe con tar cuandoes capaz de formal' colecciones adecuadas, bastante nume-rosas, en Ias condiciones previamente descriptas? No pOI'completo. Tambien debe sentirse suficientemente seguro desu conteocomo para identificar las fuentes de elTor y, si esnecesario, discutirlas. Por ejemplo, si en el momento en queva a buscar los pinceles alguien Ie roba un vasito, al regresary distribuir los pinceles debe ser capaz de decirle:

Esta confianza en sus metodos exige a la vez una posi-ci6n reflexiva con respecto a ellos, un "metaconocimiento",palabras para expresar los conocimientos adquiridos, unmetaJenguaje y, finalmente, todo 10 que constituye la con-versi6n de algunos conocimientos en saberes.

Con respecto a los metodos clasicos, la situaci6n de con-teo puede resultar util en diversos momentos del aprendiza-je y sobre todo para analizar con los profesores que quieredecir "contar" en terminos "concretos". No es verdad que elaprendizaje a traves del uso exclusivo de la situaci6n funda-mental sea mas rapido 0 mas eficaz, esa situaci6n puede serinutilmente pesada cuando el alumno ya comprendi6 que es10 que se Ie quiere ensefiar.

5. La adaptacion de las situacionesa los alumnos: la optimizacion

Es inevitable el uso de un medio (abaco, contador, lapizy papel, etc.) para efectuar ciertos calculos. Con una volun tadde transparencia democrc:itica, la Convenci6n de 1792 que es-tableci6 el sistema decimaJl6 rechaz6 el uso de aparatos "mis-teriosos" y propici6 una ensefianza obligatoria del calculocon lapiz y papel. La elecci6n de los "algoritmos" a ensefiarplanteaba un compromiso entre la fiabilidad y la rapidez deejecllci6n -exigidas pol' las actividades calclliatorias intensas,necesarias para la sociedad industrial y comercial emergen-

N. de T.: se refiere a la universalizaci6n del sistema decimal de medi-da, una de las reformas exigidas en la Revoluci6n Francesa de 1789.

te- y las capacidades de aprendizaje del sector de poblacionafectado (y tambien la herencia de practicas antiguas). Sepueden concebir otras disposiciones para hacer las cuentas y,por d.lculos de ergonomfa, comparar sus ventajas.

He demostrado, primero a traves de calculos realizadoscon modelos matematicos y luego por medio de la experien-cia, que la ejecucion a la francesa de la multiplicacion y sobretodo de la division era muy sensible a variables sobre las quese podfa actuar facilmente y que inutilmente llevaba a fraca-sos -a menudo costosos, a veces irremediables- siempre dis-criminatorios. Propuse disposiciones mejor adaptadas, prevf(calcule) y mostre (es decir, verifique) la ganancia (en resul-tados obtenidos y en tiempo) que se podia obtener a traves deesas modificaciones faciles de ensefiar17

•

Estos dos ejemplos me ensefiaron que el saber no sedifunde natural mente, ni siquiera cuando una investigaciondidactic a ofrece una solucion practica -a traves de un me-todo cientifico y bastante universalmente convincente- a unproblema efectivo.

6. La adaptacion de Los aLumnos a Las situaciones:LossaLtos y Los obstacuLos

Los sujetos (y las instituciones) se adaptan alas situa-ciones con que se encuentran y fabric an para ello conoci-

N. de T.: $e refiere al estudio de los algoritmos de la multiplicaci6n "pergelaSIa" y de la division (par aproximaciones sucesivas al dividendo atraves de multiplos del divisor). A pesar de que ambos resultados tue-ron difundidos en publicaciones y jornadas destinadas a docentes, nose introdujeron en el sistema educativo por vias institucionales. VeanseBrousseau (1973) y Briand, N. Brousseau, Greslard et al. (1985).

mientos y saberes. Como acabamos de ver, las variantes deuna situacion relativa a un mismo saber matematico puedenpresentar gran des diferencias de complejidad y en conse-cuencia conducir a estrategias optimas diferentes y tambiena maneras diferentes de conocer un mismo saber.

Una metafora simple permitira ilustrar esta declara-cion: no reconocemos y no tratamos todos los numerosnaturales de la misma manera. Por ejemplo hasta el 3, loscomprendidos entre 4 y 7, entre 15 y 40, entre 100 Y 1000,y 18471847. No resolvemos un sistema lineal de dimensionn con los mismos metodos para n = 2, 5, 10 0 100.

EI costa del reconocimiento directo (a ojo/a primeravista) del numero de elementos de una coleccion crece muyrapidamente. Mas aHa de 5 hay que estructurar y enumerarla coleccion. La estructura aditiva encuentra bastante rapida-mente sus lfmites y si uno debe utilizar con frecuencia gran-des cantidades, hay que adaptar el sistema de numeraci6n.

La ensefianza debe seguir esta ley. Comenzamos poraprender a usar pequefios numeros y los usamos para cons-truir otros mas grandes. La funcion de Peano (agregar unocada vez) parece la mas simple. Pero, enrealidad, como estacreacion recursiva es demasiado costosa para ser efectiva,los nifios desarrollan modos de reconocimiento (concepcio-nes) apropiados. l.Pueden pasar de un modo a otro siguiendoel orden natural 0 se van a encontrar con dificultades? l.Noserfa preferible favorecer la creacion de estas estrategias,si es preciso eligiendo con tar de entrada cantidades muygrandes, para desalentar el prolongamiento desesperado deun metodo de reconocimiento cada vez mas inadaptado?

La respuesta depende de la forma en que se distribuyenlos costos para cada concepcion de los numeros naturales.Veamos un ejemplo: supongamos que hemos combinadotodos los costos (uso, fiabilidad, aprendizaje, ... relativos a

frecuencias de empleo usuales), en una sola variable fi querepresenta el precio medio del tratamiento de un numero n;f1 representa el costa del reconocimiento visual, f2 el de laestructuracion aditiva, f3 el de la estructuracion multi plica-tiva, f4 el de la numeracion decimal.

Cada funcion tiene un minimo. Para valores inferioresde las abscisas, el rendimiento baja: el metoda de conteoes inutilmente complejo para tratar una coleccion dema-siado pequefia, la concepcion es demasiado sofisticada, elaprendizaje demasiado largo, etc. Para una coleccion masgrande, el conteo se queda sin aliento, el costa de ejecucionpara reconocer el numero se convierte en preeminente, elrendimiento de la concepcion se derrumba. El aprendizajepor adaptacion supone que se elijan las variables de modotal que el conocimiento que se quiere "hacer descubrir" seasignificativamente mas ventajoso que cualquier otro.

Cada metoda (reconocimiento visual, estructuracionaditiva y multiplicativa, etc.) se vuelve rapidamente com-plejo e incierto cuando aumenta el tamafio de la coleccion,mientras que el metodo siguiente no presenta todavia unaeficacia evidente. Los campos de utilizacion justificada yfacil estan separados. Si bien el "descubrimiento" por par-te de los alumnos de una nueva estrategia es po sible, esehallazgo esta mas motivado cuando las condiciones de lasituacion corresponden a una ventaja mayor del nuevo me-todo en relacion con el anterior. Y este ultimo, por 10 tanto,se muestra inmediatamente ineficaz.

Este caso sugiere evitar las dificultades mencionadasefectuando una progresion a traves de saltos informacio-naZes, es decir, a traves de modificaciones de una variabledidactica donde se proponen caracteristicas informaciona-les 10 suficientemente diferentes como para que surja uncambio de metodo.

Costo delconocimiento

Variable decomplejidad

La figura anterior representa la hipote~is favorable deuna progresion regular de la ensefianza. El pasaje progresi-vo de una concepcion a otra no presenta dificultades debi-das a los saltos de complejidad informacional.

Cada manera organizada pero particular de tratar una no-cion matematica constituye 10 que llamamos una concepcion.Par ejemplo, distinguimos varias concepciones diferentes dela divisionl8• El pasaje de un conocimiento a otro dentro deuna misma concepcion no es costoso, el aprendizaje tampo-co, porque corresponde a 10 que Piaget identifica como unaasimilacion. EI pasaje de una concepcion a otra es mas diffcilporque corresponde a un cambio importante de repertorio. Su

---18 N. de T.: Yeanse Brousseau y Brousseau (1987) Y Brousseau (1988)

y (1990).

aprendizaje exige cierta reorganizacion de los conocimientosanteriores (una acomodacion). Estas concepciones, pues, es-tin determinadas por su estructura logica interna pero tambienpor la frecuencia y la eficacia con las que son titiles. Las con-cepciones pueden determinarse teoricamente como conjuntosde conocimientos y de saberes, frecuentemente requeridos ensimultaneo para resolver situaciones, y pueden determinarseempfricamente como patrones de respuestas coherentes dadaspor gran parte de los sujetos a un tipo de situacion.

Es interesante recalcar que la adaptacion optima de unsujeto (0 una institucion) a un conjunto de condiciones con-duce a este sujeto a concepciones diferentes para una mis-ma nocion matemMica. Esto se encuentra en la base de hteorfa de la transposici6n didactica. Inversamente, las con-cepciones determinan ambitos donde la nocion matemMicaes eficaz, ambitos -la mayorfa de las veces- separados.

El aprendizaje presenta frecuentes rupturas que puedentener formas y orfgenes variados: saltos informacionales, cam-bios en la forma de control (proto, para 0 matemMico), origenontogenetico, eleccion didactica, contingencia epistemologica,etc. Algunas de las concepciones adquiridas no desapareceninmediatamente en provecho de una concepcion mejor: resis-ten, provocan errores y se constituyen asf en "obstaculos".

Debemos el concepto de "obstaculo epistemologico" aBachelard19, quien explicito que ese tipo de obstaculo nose producfa en matematicas. La modelizacion de las situa-ciones me condujo a pensar 10 contrario y a proponer unadefinicion apropiada:

---19 N. de T.: Bachelard (1938).

- Un obstaculo es un "conocimiento" en el senti doque Ie hemos dado de "manera regular de tratar unconjunto de situaciones".

- Este conocimiento da resultados correctos 0 venta-jas apreciables en determinado ambito, pero se reve-la falso 0 completamente inadaptado en un ambitonuevo 0 mas amplio.

- El conocimiento nuevo, verdadero 0 valido sobreun ambito mas amplio no se establece "a partir" delconocimiento anterior sino contra el: utiliza otrospuntos de vista, otros metodos, etc. Entre ell os noexisten relaciones "logicas" evidentes que permiti-rfan desacreditar facilmente el error antiguo a travesdel conocimiento nuevo. Por el contrario, compitenen el antiguo ambito.

- Estos conocimientos no son construcciones persona-les variables. Son respuestas "universales" en ambi-tos precisos. Aparecen entonces casi necesariamenteen la genesis de un saber, ya sea en una genesis his-torica 0 didactica.

De esta "definicion" se pueden deducir algunas caracte-rfsticas observables de los obstaculos:

Un obstaculo se manifiesta a traves de errores, peroesos errores en un mismo sujeto estan unidos entre sf poruna fuente comtin: una manera de conocer, una concepcioncaracterfstica, coherente aunque no correcta, un "conoci-miento" anterior que tuvo exito en todo un dominio de ac-ciones. "No se trata de considerar los obstaculos externoscomo la complejidad 0 la fugacidad de los fenomenos, nide incriminar la debilidad de los sentidos 0 del espfritu hu-mana: es en el acto mismo de conocer, fntimamente, dondeaparecen, por una especie de necesidad funcional, los entor-

pecimientos y las confusiones. [...] se conoce en contra deun conocimiento anterior"20.

De este modo, el obstaculo no desaparece con el apren-dizaje de un nuevo conocimiento. Por el contrario, oponeresistencia a su adquisicion, a su comprension, frena suaplicacion, subsiste en estado latente y reaparece de formaimprevista, en especial en su ambito anterior, cuando lascircunstancias 10permiten.

Es inutil, pues, ignorar un obstaculo. Hay que recha-zarlo explfcitamente, integrar su negacion en eI aprendi-zaje de un conocimiento nuevo, particularmente bajo laforma de contraejemplos. En este sentido, es constitutivodel saber.

Algunos ejemplos: los obstaculos no siempre son co-nocimientos "falsos", como el tratamiento separado de laparte entera y Ia parte decimal de los numeros decimales,o indebidamente extendidos, como la IineaIidad. EI alum-no que tuvo que comprender que el producto de numerosnaturales mayores que 1 es una repeticion de sumas -y, enconsecuencia, es mas grande que cada factor- no accedefacilmente a interpretar y utilizar 0,2 x 0,3 = 0,6 ni distin-gue el numero natural 4 que tenia un antecesor, del "mis-mo" 4 pero ahora decimal que no 10 tiene. EI obstaculoes, por 10 tanto, un conocimiento perfectamente legftimoe inevitable.

La existencia de obstaculos en la continuidad de lasfunciones fue estudiada por EI Bouazzaoui (1988) y en uncoloquio realizado en Montreal presento como objeto deestudio algunas cuestiones relativas a los obstacuIos y losconflictos sociocognitivos21.

20 N. de T.: Ibidem (edici6n 1985, p. 15)21 N. de T.: Yeanse Brousseau (1983), (1989) y (1989a).

La puesta en evidencia de Ia necesidad de Ia institucio-nalizaci6n y luego la existencia de Ios obstaculos de origenepistemologico 0 didactic022tuvo consecuencias importan-tes sobre el estado cientffico de la modelizacion de las situa-ciones en didactica:

1. La modelizacion de Lassituaciones en didactica -enIas cuales el docente se limita a crear y mantenerlas situaciones sin intervenir sobre el proceso cog-nitivo- permite identificar, concebir y mejorar Lascondiciones espedficas de la construccion autono-ma de Los conocimientos matematicos. Esto parecejustificar las tesis constructivistas.

2. Pero el funcionamiento natural de Las situaciones"constructivistas" conduce al alumno a conocimien-tos localmente adaptados, pero que la mayoria de Lasveces se revelaron, mas adelante, insuficienteso inclu-so falsos y algunos se constituyeron en obstaculos.

3. Ademds, esta construccion autonoma no puede darel estado de saber a Losconocimientos desarrollados.Los conocimientos canonicamente constituidos sonaquellos inteligibles para los otros, compartidos, con-formes a la voluntad didactica de Ia sociedad, cuyaimportancia esta garantizada por la historia y Ia cul-tura y que seran reutilizados mas adelante. La inter-vencion didactica del docente es la que permite iden-tificar conocimientos canonicos en 10que el alumno

N. de T.: Los obstaculos de origen epistemol6gico son aquellosque no se pueden ni se deben evitar porque son constitutivos delconocimiento mismo; los de origen didactico son los que parecendepender de las elecciones que se hacen en la enseiianza.

o los alumnos han concebido en las situaciones auto-nomas. Este estado de conocimiento institucionaliza-do no puede surgir de las situaciones, ya que en ellas-para el alumna- se disimula la intencion didactica.

4. Las afirmaciones 2 y 3 no contradicen la hipotesis se-gun la cual solamente los funcionamientos autonomosdel alumno son el indicador de que adquirio conoci-mientos utilizables. Pero tampoco alivian !as crfticas delas pedagog£as que no permiten el funcionamiento 10-calmentejustificado de los conocimientos del alumno.

5. Por el contra rio, esas afirmaciones hacen aparecercomo indispensable la inmersion de los mode/os desituaciones en didactica en modelos mas amplios,que incluyan las accionesdel profesor.

6. Finalmente, a pesar de que tome una evidente po-sicion de realismo y positivismo racionalista (unaespecie de vuelta alas exigencias del conductismo),las especulaciones teoricas se amplfan y la exten-sion de los estudios plantea el problema de la con-sistencia general de este enfoque. ;,Hay que aceptaruna teorfa de las situaciones didacticas?

Si consideramos la ensefianza como "el proyecto y accionsocial de que un alumno se apropie de un saber constituido 0 envIas de constitucion", la didactica de la matemlitica seconvier-te en "la ciencia de las condiciones de difusion y apropiacionde los conocirnientos matemliticos utiles a los hombres y asusinstituciones". La modelizacion de esta difusion conduce a uti-lizar el terrnino "situacion didactica" en el sentido de "entornodel alumno, que induye todo 10 que coopera especfficamenteen la componente matematica de su formaci on" . Recordemosque al inicio del texto presentamos las situaciones· didacticasdesde dos puntos de vista23: en la seccion A utilizamos el pri-mero y ahora nos conviene pensar desde el segundo.

Una interaccion se vuelve didactica si y solo si uno delos sujetos exhibe la intencion de modificar el sistema de co-nocimientos de otro (los medios de decision, el vocabulario,los modos de argumentacion, las referencias culturales).

-----23 N. de T.: Vease item 1, seccion A.

Muchas obras esquematizan la situacion de ensefianzapor el "triangulo" representado en la figura 6, que solamen-te toma en cuenta las relaciones del sistema "profesor" conel sistema "alumno".

Este esquema tiene el inconveniente de reducir el en-torno did,ktico a la accion del profesor y oculta comple-tamente las relaciones del sujeto con todo media adidac-tica. GAque nos referimos? La intervencion del profesorevoca necesariamente, para los conocimientos que ensefia,un funcionamiento posible en otras circunstancias, no so-lamente en las "situaciones de uso didactico" (ejercicioso problemas) que plantea. Crea, entonces, ficticia 0 ~fec-tivamente, otro "medio" donde el alumno actua de formaautonoma. Esto conduce entonces a un esquema como elque muestra la figura 7.

·1 ALumnOrSSituaci6n didactica(como herramienta)

Por 10 tanto, la primera cuestion teorica que se planteaes: el profesor wuede no tener en cuenta ese medio? Lasegunda es: Gqueestructura hay que atribuirle?

EI estudio de las situaciones como herramientas didac-ticas (es decir en el primer sentido) conduce a aceptar lassiguientes proposiciones:

- La comunicacion "didactica" tiene por fin dar a sudestinatario un instrumento de control 0 de regula-cion sobre cierto media. Llamamos madela implici-to de acci6n a la capacidad minima de controF4. Laconciencia que puede tener el sujeto que aprendede su capacidad de control sobre una situacion 0 unmedio dado es identificada como "su" conocimien-to. Tomar conciencia de sus conocimientossupone,por parte del que aprende, la pnktica (efectiva 0

ficticia) de ciertos tipos de interacciones sociales(formulaci6n, prueba) y, ademas, el uso de un re-pertorio cultural determinado. Este bagaje de cono-cimientos culturales (formulables 0 comunicablesal menos a traves de procedimientos no verbales)es objeto de un reconocimiento por medio de unsistema de saberes (que incluye la sintaxis) mas 0

menos especffico.Los instrumentos culturales de reconocimiento y or-ganizaci6n de los conocimientos son los saberes, ob-jetos de una actividad especffica de las instituciones

N. de T.: Ya se hizo una referencia a esta nocion en el item 2 de laseccion A, aJ describir las situaciones de accion.

o de una actividad de instituciones especfficas25• Lacomprensi6n es la movilizaci6n concomitante de sa-beres y conocimientos y la evocaci6n de situaciones,no directamente necesarias para la decisi6n en la ac-ci6n en curso, pero que se suponen utiles para el con-trol de los conocimientos que regulan esa decisi6n.El equilibrio general de los diferentes repertorios atraves de los cuales un sujeto regula sus relacionescon un medio obedece a principios de ergonomfa.El "sentido" de un conocirniento es una imagen culturalde la comprensi6n, un medio de reconocerla y gestio-narla, asf como el saber es un medio de reconocimientoy gesti6n de los conocimientos, medio personal 0 insti-tucional y por 10 tanto variable segun las instituciones.El sentido puede entonces descomponerse segun "tiposdidacticos" de conocirnientos en una componente se-nuintica, por la cual el conocirniento movilizado est~relacionado con un campo de situaciones, una compo-nente sintactica que la relaciona con diferentes reper-torios (en particular, 16gicos y cientfficos) que rigen lamanipulaci6n, y en una componente pragmatica quedescribe las caracterfsticas de utilizaci6n.

- La acci6n de un profesor comprende una fuertecomponente de regulaci6n de los procesos de adqui-sici6n del alumno. EI alumno mismo aprende por re-gulaciones de sus relaciones con su medio. Las regu-laciones cognitivas conciernen un medio adidacticodonde una parte de la estructura esta determinadapor la organizaci6n que decide el profesor.

----25 N. de 1~:Vease item 3, secci6n A. La distincion entre "conocimien-

tos" y "saberes" se introdujo cuando se planteo la necesidad de lassituaciones de institucionalizacion.

Para un observador, las posiciones del profesor y delalumno frente a un medio pueden ser muy diferentes. En198626

, introduje una nueva noci6n de la teorfa de las situa-ciones: la estructuraci6n del medio.

Esta estructura, presentada hace unos afios, fue estudia-da y profundizada, entre otros, por Margolinas27

• EI sujetoprofesor puede identificarse segun dos posiciones (profesorque prepara su clase, profesor ensefiando) y el alumno pue-de adoptar cinco posiciones diferentes, de modo que pue-den distinguirse cinco medios con los que puede interactuarsegun diferentes modos. Las interacciones de un sujeto -seaprofesor 0 alumno- en los diferentes niveles de un medioson distintas: toma decisiones (segun reglas, estrategias,conocimientos), actua en funci6n de las informaciones querecibe e interpreta, etc.

La lectura de la figura 8 comenzando por el interior per-mite distinguir que la situaci6n de un nivel se convierte enel medio para un sujeto exterior. Asf, el medio material yelactor objetivo constituyen la situaci6n objetiva, la cual seconvierte en medio objetivo para el sujeto que actua (S4).

Medio material

Situaci6n objetivaSit. de referencia

Sit. de aprendizajeSit. didkticaSit. metadidactica

55 actor objetivo54 sujeto que actlia

S1 53 sujeto del aprendizaje52 alumno generico51 sujeto universalP2 profesor enseiiandoP1 profesor que prepara su clase- ~ observa 0 actlia sabre

l' l'SZ0f-70 PZ

N. de T.: Yease Brousseau (1986b).N. de T.: Yease Brousseau (1988b y 1990b), Margolinas y Stein-bring (1994), Fregona y Orus (2005).

• Medio material: cuando el profesor prepara su clase,organiza un medio -que incluye las reglas que definen elexito y el fracaso-llamado "medio material" (aun si no hayobjetos concretos). Debe considerar tambien las interaccio-nes de un sujeto con este medio. A este sujeto simb61ico 10llamamos actor objetivo (S5). Este par medio-actor consti-tuye la situaci6n objetiva que se propone efectivamente alalumno y con la que debe interactuar.

• Medio objetivo: el sujeto, posicionado como alumnoante la situaci6n objetiva esta en posici6n de sujeto que actua(S4). Por supuesto, puede imaginarse y representarse a S5, ytambien identificarse con e1. Para un observador externo, nohay diferencia entre un sujeto S5 y un sujeto S4, pero sf pamel actor, ya que se distingue a sf mismo de los otros.

EI medio objetivo es movilizado en una situaci6n deacci6n donde este es 0 bien el medio efectivo sobre el cualse exige al alumno a actuar 0 bien un medio ficticio cuyofuncionamiento 0 transformaciones debe imaginar para res-ponder a una pregunta. En Ios dos casos es un actor queopera en funci6n de sus model os implfcitos de acci6n. Eneste niveI, las situaciones de formulaci6n 0 de prueba sonsituaciones de acci6n.

• EI sujeto aprende corrigiendo sus acciones y anticipan-do sus efectos. Las situaciones en las que esta comprometidoson, pues, para el, sujeto del aprendizaje (S3), los medios dereferencia sobre Ias cuales ejerce sus capacidades de cons-trucci6n de conocimientos y aprendizaje. Estas situacionesde aprendizaje, estan en el coraz6n del dispositivo de cons-trucci6n de 10s conocimientos y de su significaci6n. Dichassituaciones con frecuencia se borran espontaneamente de lamemoria de quien aprende. Para un alumno en Ia posici6nS3, la refiexi6n sobre la acci6n (realizada efectivamente 0 noen S4) es la que Ie da las posibilidades de aprender.

• Ser alumno es gestionar situaciones de aprendizaje (conayuda del profesor). EI profesor comienza a actuar, se convier-te en actor, se ubica como profesor que ensefia. EI alumno seconvierte en alumno generico S2 y el medio con el cual in-teractuan ambos de manera conjunta es el de las situacionesde aprendizaje. Esas interacciones constituyen el momento deestablecer relaciones entre conocimientos 0 de transformar co-nocimientos en saberes: son las situaciones didacticas.

• EI profesor reflexiona sobre las situaciones didacticas,que se convierten en 105medios didacticos, y se posicionacomo profesor que prepara su clase. En esta situaci6n meta-didactica, el profesor revisa las decisiones tomadas, exami-na sus clases, estudia los comportamientos de los alumnos atraves de acciones, conocimientos y saberes especfficos.

La relaci6n de un sujeto con un medio de nivel dife-rente exige conocimientos, conceptos, vocabulario, saberesdiferentes. EI profesor trata el conjunto de estas sujeciones.Se pueden observar contradicciones f1agrantes entre 10 queel profesor dice, muestra y da a comprender a los alumnosy las reglas efectivas de Ias interacciones con cada medi028•

Por ejemplo, cuando el profesor ensefia una demostraci6npor repetici6n 0 analogfa, hay una contradicci6n: la convic-ci6n se obtiene a traves de un medio ilegftimo.

Las estrategias de los profesores y los fen6menost[picos de la actividad didactica

Metodo de estudio: vamos a considerar que el profe-sor se caracteriza por las sujeciones que acepta y las queimpone. Cada sujeci6n consiste en una distribuci6n de res-

ponsabilidades entre "el profesor" y un medio antagonista(que incluye al alumno) y los instrumentos de regulacionreciproca que condicionanin la evolucion del sistema.

Este enfoque permite clasificar las regulaciones di-dacticas segun el reparto de las responsabilidades entre elsistema que difunde un conocimiento y el que 10 recibe yaprende (de hecho, habria que considerar tambien el efectoreal 0 supuesto de un tercer sistema que nosotros podrfamosHamar "el medio" y que quienes 10 comparten denominan aveces "la naturaleza").

Estas responsabilidades abarcan, ante todo, la emision deconocimientos -su comunicacion, validez, novedad, valor, inte-res 0 estado cultural- y las condiciones en las que estos podninmanifestarse, ser recibidos, aprendidos, reproducidos, etc.

Llamaremos provisoriamente "contratos" a estos com-promisos reciprocos (sean explfcitos 0 no) de los cuales rea-lizaremos ahora una primera aproximacion. En la seccion Clos estudiaremos con mayor profundidad.

2. Las difusiones de Losconocimientossin intention didactica29

Una primera distribucion de responsabilidades consisteen que el emisor de un texto no tiene ningun compromisodidactico frente al receptor: no esta encargado de ensefiarlealgo, y, si el receptor modi fica sus creencias 0 sus actos, esde alguna manera independiente de la volun tad del emisory no segun su proyecto.

Partiendo del minimo de restricciones para el docente-que sera entonces solamente un emisor de sefiales- y yen-

_._--29 N. de T.: Yease Brousseau (1996).

do hacia responsabilidades cada vez mayores, encontramossucesivamente: la emisi6n, la comunicaci6n, la pericia y laproducci6n de un saber nuevo.

El contrato de emision no relaciona directamente al emi-sor con un eventual receptor. El emisor envia un mensaje sinpreocuparse por las condiciones efectivas de recepcion. Su-pondremos, sin embargo, en la continuacion de este texto,que este mensaje es inteligible (al menos para cierta institu-cion) e incluso que esta compuesto solamente de enunciadosverdaderos 0 falsos, pero correctamente formulados.

En una situacion minima, el emisor podria no ser con-siderado en absoluto (solamente 10 que rige la libertad deexpresion) y producir un mensaje ininteligible, incluso parael (la emision de un simple ruido, por ejemplo). Este con-trato extremo puede ser a veces real mente observado en lasclases: el profesor monologa sin tener en cuenta la presen-cia de los alumnos que emiten, al mismo tiempo ... ruidosoEste contrato tambien puede modelar algunos programas deradio 0 television.

El contrato de comunicacion es mas exigente. El emi-sor (por ejemplo, el profesor), toma bajo su responsabilidad"hacer Hegar" a un receptor cierto mensaje. Debe garantizarla buena recepcion del mensaje (pero no el sentido que Ie dael receptor) y, para esto, un buen funcionamiento del canal.Debe utilizar los repertorios del receptor (repertorios caligra-

ficos, fonologicos, ortognificos, gramaticales, logicos, etc.)y, llegado el caso, cotejar (confrontar a traves de la reproduc-cion por parte del destinatario) 0 repetir el mensaje (en parti-cular, a pedido del receptor). La interpretacion del mensaje escompleta responsabilidad del receptor. La disfuncion condu-ce exc1usivamente a la puesta a punto de los ,repertorios.

Los contratos de emision y comunicacion estan some-tidos, en 10 esencial, alas restricciones propias de la formadel mensaje.

Como el contrato de pericia es mas exigente, el emisorgarantiza la validez de 10que emite. EI destinatario puede exi-gir, eventual mente, que el experto establezca cierta validez (laverdad, la autenticidad, el origen, etc.) de 10que enuncia (porotras vfas diferentes a la emision misma: en rigor, por ejem-plo, para deterrrlinados tipos de informaciones). El trabajo deun "profesor" que utilizara este "contrato" para difundir unateorfa matemcitica consistirfa en enunciar los "teoremas" quela componen en un orden cualquiera, uno despues de otro.Los enunciados, pues, se convertirfan en aserciones, puestoque serfan implfcitamente dec1arados "verdaderos".

El emisor garantiza La novedad de su mensaje, la in-vencion 0 .la originalidad formal (propiedadintelectual 0patente) 0 la primicia del contenido intelectual y cientffico.Puede garantizar una novedad "absoluta" (un nuevo teore-ma) para una institucion particular (por ejemplo, para losalumnos de una c1ase).

Se puede pedir al emisor que aporte la prueba formal dela validez de su enunciado, pero solo pruebas indirectas. Porejemplo, el emisor encuentra siempre las rakes de ciertasecuaciones, pero no publica el metoda que utiliza. Esta situa-cion se observa en la tradicion de las matemciticas esotericas.

3. Los contratos debilmente didacticosque se ocupan de un saber "nuevo"

En estos contratos, el emisor acepta organizar su men-saje en funcion de determinadas caracterfsticas "teoricas" desu interlocutor. Asume ciertas responsabilidades en cuanto alcontenido del mensaje, pero ninguna en cuanto a los efectossobre el receptor, aun cuando es consciente de modificar susistema de decision. Es importante notar que toda actividaddidactica implicara una reorganizacion del conjunto de cono-cimientos a trans miti r. Toda presentacion de una teorfa ma-temcitica posee por esto propiedades didacticas "intrfnsecas".La reorganizacion de los resultados matematicos para ser co-municados es, por esto, una actividad didactica.

Entre los contratos debilmente didacticos, distingui-mos: la informacion (dialectica y dogmdtica), la utilizacionde Losconocimientos, la iniciacion 0 el control y la instruc-cion 0 direccion de estudio ..

El emisor garantiza, a la vez, la novedad y la validezde su mensaje. Acepta dar cuenta ante el receptor, que seconvierte en informado y es quien "compra" el enunciadoporque es verdadero y nuevo.

En este caso, el emisor de be buscar el asentimiento delinformado y, en respuesta a su eventual pedido, brindarledeterminadas "pruebas", sus fuentes, sus referencias, etc.Puede tambien tener que justificar sistematicamente cadaenunciado.

a) La informacion dialectica y la reorganizacion localde los saberes. Este "contrato de informacion" no exige quelos interlocutores tengan las mismas referencias (la mismacultura, el mismo sistema informatico, ...) sino solamenteque puedan encontrar las que sean suficientes para sostenerel proposito del momento. Asf, este contrato conduce a unaconstruccion diaIectica de la conviccion del receptor bajosu propio control. Es el instrumento esencial de gestion cc-lectiva de la verdad conforme a la tradicion inaugurada enGrecia cinco siglos antes de Cristo.

Si el emisor (por ejemplo un profesor) quiere poder es-tablecer en todo momenta ante su interlocutor (sus alum-nos) la validez de los enunciados y garantizar la novedad, Ieinteresa referirse a una organizacion apropiada de los sabe-res a transmitir: pOI'ejemplo, una construccion axiomatica.No tiene ninguna razon para exhibirla ante su interlocutor.Las pruebas dependen de los conocimientos (reales 0 su-puestos) del destinatario, no pueden entonces estar fijadas apriori en demostraciones estandar.

b) La informacion dogmcitica y la organizaci6n globaldel saber. Seguir los meandros de los cuestionamientos delinformado puede parecer a los dos protagonistas una per-dida de tiempo. De modo que a veces uno u otro quiereescaparse del contrato dialectico y proponer y/o pedir "nor-malizar" las pruebas y darlas sistematicamente. EI contratose vuelve "dog matico" y el profesor se refiere a un sistemaconvencional, muy conocido, compuesto por enunciadosaceptados pOI' todos, y utiliza medias de derivacion recono-

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cidos para proponer "demostraciones" para todos sus enun-_ciados (controvertidos 0 no).

Este contrato- conduce al informante a establecer, en lateorfa a difundir, un orden axiomatico y a utilizarlo comoorganizacion metodica de sus propositos para economizarlos pedidos de explicaciones.

Digresion: la axiomatizacion de la informacion y susconsecuencias. La axiomatica responde tambien a restric-ciones ergonomicas. EI informante debe utilizar los reper-torios del informado (l6gicas matematicas y tecnicas), perolas pruebas (personales) toman la forma de demostraciones(culturales) que dependen menos del destinatario y mas dela idea que de ell as se hace el emisor. Si este ultimo, llega-do el caso, no diera ninguna prueba y no aceptara que se lapidieran, este contrato serfa un contrato de pericia.

En el caso del contrato dogmdtico, el informante debereformular los enunciados para permitir su demostraci6n enel sistema que da al informado. Dichos enunciados puedenser clasificados en:

- los que pertenecen al repertorio del informado (reperto-rio efectivo 0 supuesto), ya sean evidentes como postu-lados 0 aceptados formal mente, como los axiomas 0 lashipotesis, 0 construidos y convocados en el transcursode la demostracion, como los lemas 0 definiciones,

- y los que no figuran hasta entonces y pOI' ello son"nuevos".

Corolarios: toda comunicacion y a fortiori toda ense-fianza reposan en un repertorio explfcito, en parte irreduc-tible al saber comunicado. Ningun lenguaje serfa capaz deser totalmente autogenetico. Mas adelante volveremos aencontrar otros repertorios, los de los conocimientos implf-citos y metamatematicos, necesarios para la comprensi6n.

EI contrato de informacion es el que, te6ricamente,esta vigente en la comunidad matemMica para la difusi6nde los resultados.

Los motivos de la emisi6n no intervienen explfcita-mente en la regulaci6n del contrato de informacion. Elemisor responde a una demanda del receptor para un usoque el ignora. Hay un control constante de la competen-cia del emisor, pero no de la del receptor. Si el receptorno manifiesta ninguna reacci6n, el emisor no sabe si ver-daderamente es comprendido, ni siquiera si es recibido.El emisor escribe 0 dice el saber de su campo, en los ter-minos que Ie permiten expresarlo. Estos terminos Ie sondados por su instituci6n de origen. El informado tienela responsabilidad de la interpretaci6n y el uso de estasinformaciones.

Si llevamos un poco mas adelante el analisis del contra-to de informacion, aparece otra consecuencia importante.EI destinatario deberfa tener interes en solicitar al emisorsolamente el mfnimo de informaciones necesarias para ob-tener por sf mismo los resultados que desea. Es su respon-sabilidad limitar la "compra" de nuevos enunciados. Estaclausula instaura, segun la opini6n del emisor, una nuevapartici6n en el corpus de los teoremas a comunicar: la clasede los que puede obtener el destinatario y los que no. Porsupuesto, derivar resultados depende de las capacidades delinfomlado y, en realidad, de la idea que el se hace de ello,ya que e·s quien debe valorarlo. Al igual que antes, se vaa instalar entonces ya sea una derivaci6n dialectica 0 unaderivaci6n cultural impuesta.

Los contratos didacticos que estudiaremos mas ade-lante integran la clase de "1os contratos no didacticos" conclausulas suplementarias. S610 son paliativos provisoriosdel contrato de informaci6n. Es claro que una ensefianza

debe tender a ubicar al alumno en la situaci6n de poder in-formase el mismo.

Este contrato retoma el precedente y Ie agrega una clau-sula suplementaria: la transferencia hacia el informante dela responsabilidad de mostrar al informado el empleo y lautilidad de los conocimientos que propone. El informantedebe, en consecuencia, acompafiar el texto del saber conun campo de aplicaciones donde se supone que este saberdesempefia un papel. Este papel es variable. A veces, cadaaplicaci6n se deduce del saber inicial que constituye, por 10tanto, un conjunto de conocimientos "suficientes". A vecessolamente es necesario, es decir, la aplicaci6n no puede serobtenida, demostrada 0 calculada sin que se exija explfci-tamente ese saber inicial, pero tambien hay que recurrir aotros conocimientos. Otras veces, no es necesario ni sufi-ciente, pero da una alternativa mas econ6mica a razona-mientos, lenguajes 0 calculos ya conocidos.

Es muy importante sefialar que estas relaciones entreun saber determinado y sus aplicaciones son una ficci6n,una metMora. En los casos mas legftimos, resultan a la vezde la historia, la tradici6n y especulaciones diversas. Vincu-lar conocimientos entre sf, aplicarlos y adaptarlos a nuevosproblemas es el resultado de la actividad "hist6rica" tantode hombres como de instituciones.

Nadie sabe previamente cuales seran las aplicaciones,las modificaciones 0 el estado de un saber en el futuro por-que estas caracterfsticas evolucionan fuertemente con lahistoria. S610 las partes mas antiguas y estables del saberpueden sufrir este tratamiento "didactico" sin recibir dema-

siadas objeciones y contradicciones. Para ensefiar un sabernuevo, es necesario inventarle aplicaciones al alcance delque aprende. Estas construcciones provienen de la ingenie-ria didactica y a menudo de la fantasia.

En el contrato de informaci6n, el emisor de matemati-cas debe organizar una teorfa que conoce, de modo de poderengendrarla con alguna parte de si misma, pero guarda estavinculaci6n en "secreto" y el alumno ignora hacia d6nde10 van a llevar los enunciados que recibe. En el contrato deutilizaci6n, la relaci6n entre la parte generativa y el todo en-gendrado se vuelve explfcita. Los enunciados dados comosaber son teoremas, pero los que deben obtenerse (16gica-mente 0 de otro modo) cambian de forma y de nombre: seconvierten en preguntas, situaciones 0 problemas.

El iniciador determina un campo de conocirnientos den-tro del cual el receptor quiere iniciarse y Ie propone saberesnecesarios y suficientes 0, por el contrario, Ie propone unacolecci6n de saberes y Ie da un conjunto de aplicaciones"equivalentes" que 10 justifican.

En los contratos precedentes, el receptor debia deci-dir si se consideraba 10 suficientemente informado 0 si,por el contrario, queria mas informaciones 0 precisionesadicionales a 10 ya recibido. En este nuevo contrato, el in-formante asume una parte de tal responsabilidad: da al in-formado un criterio para determinar si "comprendi6" bien(y no s6lo recibi6) el saber comunicado. Esto se lleva acabo estableciendo una relaci6n de equivalencia entre dosconjuntos de enunciados: en el primero estan los saberescomunicados como tales (por ejemplo enunciados de una

teoria), en el segundo se proponen preguntas, aplicacioneso problemas a resolver.

Postulando la equivalencia informativa de los saberes yde las aplicaciones, el informante dice a su informado:

- por una parte, que si el destinatario sabe hacer todoslos problemas propuestos el conocimiento de teore-mas sera "probado",

- por otra, que para poder resolver todos esos proble-mas, es suficiente saber, y utilizar bien, tal conjuntode teoremas.

Asi, el iniciador muestra que saberes "se convierten"en conocimientos para actuar en situaciones determinadas,y que conocimientos pueden convertirse en saberes bienidentificados. Los dos conjuntos de enunciados se justificanmutuamente: las aplicaciones legitiman la comunicaci6n delos saberes, los saberes prueban la validez de los enuncia-dos obtenidos en las aplicaciones.

Pero esta nueva clausula reposa sobre una hip6tesiscuya validez debe establecerse: l.es efectiva esa equivalen-cia anunciada? Tomemos el caso extremo: dar los sistemasde axiomas de una teorfa matematica es suficiente para de-terminar todos los enunciados. Es mas diffcil afirmar quela demostraci6n de todos los enunciados de una teorfa im-plica el conocimiento explfcito de uno de sus sistemas deaxiomas. Nadie osara afirmar que todo matematico es capazde obtener efectivamente uno a partir del otro. La asocia-ci6n de saberes y de un campo restringido de aplicaciones"equivalente" es a menudo totalmente empirica. Resulta depracticas, convenciones y habitos que los trabajos actualesde didactica estan lejos de poder objetivar.

Teoremas y problemas son enunciados de una mismateoria, no hay diferencia matematica entre eHos, solamente

una diferencia de forma, dad a por una diferencia de posi-cion en el contrato no didactico de iniciacion.

Se trata ahora, para el director de estudio, ademas de todaslas responsabilidades precedentes, de indicar como se puedeaprender un saber. Hay entonces un nuevo desaffo, una nuevaficcion y una nueva transferencia de responsabilidad de quiense convierte en estudiante hacia su director. Este ultimo pro-pone una serie "de ejercicios" que se supone permiten adqui-rir los conocimientos en cuestion, sin pasar por la conversionde los saberes. Estos ejercicios son problemas graduados, tansemejantes entre sf y tan cercanos al saber comunicado que lasolucion de uno puede ser transportadafonnalmente a otro.La demostracion toma entonces las caracterfsticas de un cal-culo 0 de un algoritmo (no todas las teorfas matemilticas seprestan a este tratarniento). EI que aprende puede verificar siejecuto 0 reprodujo bien el algoritmo. Las diferencias entrelos ejercicios tienen por objeto ilustrar 10s diferentes casosposibles y las diversas variantes correspondientes.

Como antes, la cuestion es saber si estos ejercicios sonefectivamente necesarios y suficientes como para provocarun "conocimiento" determinado, que se manifiesta en lacapacidad de dar una prueba a todo teorema -presentadocomo problema- de ese ambito. Ademas, la incertidumbreanterior se mantiene y acrecienta: no es segura que 10s co-nocimientos adquiridos en estas condiciones sean equiva-lentes a 10s saberes cultural mente correspondientes.

Sin embargo, estos ejercicios permiten a los alumnosevaluar su aprendizaje y les dan la oportunidad de corregirsus errores de comprensi6n.

Hasta ahora, el alumno tenfa la responsabilidad principal,es decir la ejecucion efectiva de la comunicaci6n realizada se-gun un proceso donde el difusor de los conocimientos asumfa-en sucesivos contratos- una responsabilidad creciente. Enrealidad, es el que aprende quien decide el uso de los mediospuestos a su disposicion. Su "instructor" Ie brinda los enuncia-dosprincipales de la teona, acompaiiados de lemas y corola-rios, problemas de aplicacion de diversos tipos, ejercicios deejemplo 0 practica y medios de evaluaci6n. EI todo constituyeun instrumento de instruccion ficticio pero formal, que el do-cente pone a disposicion del que aprende. Esta ficci6n episte-mol6gica es, ademas, parte del saber comunicado.

El control ejercido por el que aprende sobre su instructortiende a establecer determinada regia de economfa sobre la es-trategia de conjunto. Si al que aprende Ie parece que los men-sajes son insuficientemente "nuevos", facilmente deducibleso demasiado evidentes, presiona al ernisor para aumentar elcaudal de su mensaje, para hacerlo mas informativo, de modode aprovechar mejor el tiempo de la comunicaci6n. Caso con-trario, ejerce una restriccion opuesta. Este control lirnita alemisor que puede tener interes en recargar su mensaje, ha-cerlo redundante 0 mas complejo, etc., 0, por el contrario, endejarlo muy alusivo, hasta esoterico. S6lo si un contrato fra-casa, el emisor puede reemplazarlo por otro mas fuertementedidactico, en el que acepta mas responsabilidades.

Los contratos dibilmente didacticos toman en cuentael proyecto de hacer que un interlocutor, tornado como su-jeto epistemico, pero no como sujeto efectivo, se apropiede un saber.

En las relaciones didacticas efectivas con frecuenciase deslizan fases donde las responsabilidades del profesor

y del alumno provisoriamente se reparten segun diferentesvariantes. El contrato de emisi6n 0 de comunicaci6n se ocu-pa de la forma del mensaje; el de pericia, de producci6n 0

de informaci6n, de su sentido; y el de utilizaci6n, de inicia-ci6n 0 de instrucci6n, de su uso.

En el parrafo anterior nos ocupamos de los contratosque comprometen, efectiva 0 potencialmente, solo dos ins-tituciones: el ensefiado (E) y el docente (D). Hemos supues-to ademas que la demanda provenia de la institucion ense-fiada, que asumia la rcsponsabilidad el aprendizaje y el usodel saber transmitido.

Ahora bien, esta demanda no puede ejercerse de mane-ra inteligible. El ensefiado no puede estar al tanto de 10 quees especffico del saber antes de haberlo aprendido. Conffa,pues, en una representacion del saber que Ie es ajeno y enconoclmientos rnetadidacticos. Concretamente, los unicosensefiados a quienes se pueden dirigir los contratos sin in-tenci6n didactica 0 debilmente didacticos son los que seubican en posicion de autodidactas.

Vamos a considerar ahora los casos donde el ensefiadono tiene esta posicion y donde alguien toma la decision,o una parte de las decisiones, por 61 y como consecuenciaasume en compensacion una parte de la responsabilidad delresultado de la accion didactica emprendida (en un senti do

----30 N. de T.: En una presentaci6n previa (vease Brousseau, 1996), se

abordan estos temas con la caracterizaci6n de "Contratos fuerte-mente didacticos que tratan sobre un saber 'nuevo'''.

INICIACION AL ESTUDIO DE LA TEORiA DE LAS SITUACIONES DIDAcTICAS

restringido y algo irrisorio, para algunos viejos diccionariosuna accion didactica es una tarea donde alguien intenta en-sefiar algo a quien no qui ere aprenderlo).

Es necesario, par 10 tanto, tomar en cuenta, en el estu-dio de los contratos, las demandas y las intervenciones dedos instituciones adicionales:

- la institucion (M), a la cual el ensefiado debera suje-tarse al finalizar la ensefianza ya que no podia hacer-10 antes; la sujecion futura determina, de hecho, lamateria de la ensefianza (conocimientos y saberes),

- la institucion (I), que es la que decide que el docentedebe preparar al ensefiado para entrar en las pnicti-cas de la institucion M; delega su mision al docentey Ie confiere cierta legitimidad para modificar al en-sefiado 0 para "decidir" su futuro.

.En. rea~idad, estas cuatro funciones, modelizadas por cua-tro mstltuclOnes potenciales, pueden ser asumidas par institu-ciones efectivas diferentes 0 no. Por ejemplo, el autodidactaasume al menos tres (I, D, E), para adaptarse a la cuarta (M).

En el siglo XIX, el contrato de ensefianza era un contratode instrucci6n. Actualmente se ha convertido en un contratode educacion: tiende a estipular, en 10 esencial, que la institu-cion docente asuma la responsabilidad del resultado efectivode su accion sobre el alumno. l,Acaso esto es posible?

Filloux31, extendiendo el contrato social de Rous-

seau, destaco la nocion de contrato pedag6gico, dondese precisan las obligaciones recfprocas entre alumno, so-----

31 N. de T.: Yease Filloux (1974).

ciedad y profesores. Este contrato, lpuede extenderse a la"ensefianza" en educacion? EI profesor lpuede precisar yaplicar un contrato de ensefianza de la misma manera? Enun primer momento, yo habia imaginado que el profesoractuaba sobre el sistema {alumno, situacion, conocimien-to}, exactamente como el alumno actua en la situacionno didactica. En ese caso, el contrato didactico habrfaestado constituido unicamente por las reglas de esa si-tuacion. Me di cuenta de que semejante construccion demodelos conducfa a contradicciones que se expresabanen la realidad por medio de paradojas: por ejemplo, elprofesor no puede decir explicitamente de antemano 10que el alumno tendra que hacer frente a un problema, sinquitarle, al hacerlo, la posibilidad de manifestar 0 adqui-rir el conocimiento correspondiente. EI profesor no puedecomprometerse a "hacer comprender" un conocimiento ymenos aun a hacer que se produzca: nadie sabe como "sehacen" matemMicas nuevas y menos aun como se pue-de "hacer hacerlas" de manera certera. De modo que larelacion didactica no puede dar lugar formal mente a uncontrato, las c1ausulas no pueden escribirse, las sancionesen caso de ruptura no pueden ser previstas, etc. Sin em-bargo, la ilusion de que hay un contrato es indispensablepara que la relacion se de y, eventual mente, tenga exito.Cada uno, el maestro y el alumno, se hacen una idea de 10que el otro espera de el y de 10 que cada uno piensa de 10que el otro piensa ... y esta idea crea las posibilidades deintervencion, de devolucion de la parte adidactica de lassituaciones y de la institucionalizacion.

La modificacion intencional del "receptor" no es, en elmarco de la teorfa de las situaciones, una comunicacion niuna argumentacion, sino una accion. EI docente intenta fijardirectamente los estados del sistema ensefiado, llegado el

caso, sin pasar por su juicio y su acuerdo. La legitimidad deesta accion se atiene a divers as condiciones:

• EI saber comunicado no es una produccion 0 una 1n-vencion personal del profesor. Es el quien garantiza que esesaber corresponde al saber en curso en una institucion de re-ferencia. No es arbitrario. Fue identificado y determinado,ya sea con el ensefiado 0 con un tercero responsable.

• Este saber no es un simple registro de informacio-nes. Le corresponde un, campo donde las capacidades derespuesta del alumno fueron modificadas. La existencia deestas situaciones en las que el saber aprendido revela su efi-cacia permite que el alumno objetive -a posteriori-la suje-cion que acepto 0 que sufrio para luego liberarse de ella. Esdecir, que olvide, en realidad, las circunstancias del apren-dizaje para conservar solamente el saber y las condicionesde su uso (el medio).

• La accion se acaba cuando se supone que el ensefiadoes capaz de tomar decisiones por sf mismo (con conoci-miento de causa). La sujecion es momentanea.

El docente que quiere provocar un aprendizaje debemodificar el sistema de decisiones del ensefiado frente acierto conjunto de situaciones t[picas de M (en un sentidoque el considera favorable para la adaptacion en cuestiony/o conforme a un saber constituido). Nuevamente nos en-contramos ante el esquema general de la figura 2.

No es posible pactar un contrato diddcticoentre el docentey el ensefiado. Como 10 sefialamos anteriormente, las clausulas-clonde intervendrfa la especificidad del saber a ensefiar- nopueden ser objeto de un acuerdo entre Ios dos protagonistas

porque solo la aventura de la adquisicion del saber permite co-nocer el sentido y las condiciones. Ni siquiera son explicita-bles. Tampoco hay clausulas de ruptura ni de sanciones.

El alumno necesariamente ignora adonde' se 10 quierellevar y como se hara ese proceso. Y debe aceptar ignorar-los. Es una ilusion pretender establecer verdaderos contra-tos. El que aprende, al exigirlos, se pondrfa en peligro ... deno aprender nada. Esta posicion "adulta", sin embargo, esalentada por numerosas tesis pedagogicas.

Ahora bien, cuando el docente fracasa 0 encuentra dificul-tades, cada parte ticnde a comportarse como si un contrato loshubiera ligado y se hubiera roto. Cada uno supone compromi-sos por palte del otro, en uno de explicar yen otro de compren-der, y busca las cliiusulas y las sanciones de ruptura.

Suponiendo que un contrato pudiera tratar sobre la na-turaleza de los conocimientos a adquirir, este contrato es-tarfa destinado a romperse, porque los conocimientos ad-quiridos reemplazan 0 destruyen conocimientos anteriores.La adquisicion es a menudo un quiebre, una ruptura con laspropias creencias.

Si se admite que los conocimientos del alumno se mani-fiestan de manera efectiva solo a traves de las decisiones quetoma personalmente en situaciones apropiadas, entonces elprofesor no puede decirle 10 que quiere que haga, ni dictarlesus decisiones, porque en ese caso renunciarfa a que el alumnalas produjera y tambien a "ensefiarselas". Aprender no consisteen ejecutai ordenes ni en copiar soluciones a pro~lemas.

Si se admite ademas que los conocimientos del alumnodeben ser producidos en un proceso autonomo, entonces losconocimientos formulados por el profesor ya no pueden serobjeto de un verdadero "conocimiento" por parte del sujeto.La formulacion de los conocimientos tiende a hacer de suuso citas y no expresiones propias.

En la relacion didactica, los conocimientos avanzan en-mascarados. Por el contrario, los saberes pueden mostrarseen la medida en que esten a suficiente distancia de las si tua-ciones que el alumno debe afrontar. Detallaremos este proce-so en los parrafos siguientes. Las estrategias didactic as tienenpor objeto eludir las paradojas fundamentales y demostrare-mos que ninguna puede lograrlo: el contrato didactico quedacomo un falso contrato frontalmente "insostenible".

El contrato didactico es necesariamente incierto. Si elprofesor estuviera segura de que todos los alumnos resol-veran directamente sin errores las situaciones y los ejerci-cios que les presenta, esta actividad se vaciarfa de contenidodidactico y renunciarfa a proponerla. Ni los alumnos ni elprofesor aceptarfan tal "perdida de tiempo".

EI porcentaje de errores, e incluso de fracasos, no esuna variable libre del sistema. Esta fijado y regulado porel funcionamiento. El profesor gestiona la incertidumbrede los alumnos. La cuestion es saber si esta gestion de laincertidumbre produce conocimientos de forma eficaz. Loimportante no es saber si el alumno escribe 0 no la soluciondel problema sino en que condiciones la escribio.

Asimismo, el contrato es tributario de la epistemologfadel profesor, y tambien del contrato social general, pero de-tenemos aquf el inventario de las paradojas, ampliamentesuficientes para justificar una reflexion teorica. Estas para-dojas no son contradicciones formales. Solo marcan el he-cho de que l~ ensefianza y el aprendizaje se realizan a travesde procesos que nunca se encuentran en equilibrio estable.Deben ser entendidas como una sucesion de "correcciones"locales que no pueden justificarse de modo aislado.

Esta conclusion es 10 suficientemente importante comopara buscar argumentos de su validez en la contingencia.Esto se puede abordar a traves del analisis de algunos he-

chos de Ia clase que pueden interpretarse en terminos deincertidumbre y a veces de despistes de Ios alumnos.

5. Algunos efectos del contrato didactico

EI origen del contrato diddctico se remonta al estudio deun caso de fracaso electivo en matematica el del nino Gael

. "a qui en, en colaboracion con Peres, observamos y analiza-mos durante un largo tiempo. En un articulo publicado en1980, escribf: "[ ... ] nos interesamos en otras causas [quellevarfan al alumno al fracaso en matematica], que residenen la relacion del alumno con el saber y con las situacionesdidacticas y no en las que estarfan ligadas a sus aptitudes uotras caracterfsticas."32

Al mismo tiempo que desarrollaba estos estudios sobreel fracaso electivo, investigadores del lREM de Grenoble33

pusieron en evidencia un fenomeno que, anos mas tarde,Chevallard (1988) interpreto en terminos de contrato didac-tico. EI grupo de Grenoble exploraba si los ninos de losprimeros anos de escolaridad, ante el enunciado de un pro-blema, "tomaban en cuenta" la adecuacion de los datos a la

N. de T.: La publicaci6n de Brousseau y Peres (1981) comienzaasf: "Ante la pregunta: 'i,Sabes que hiciste mal esta seman a y quesupiste hacer?', el entrevistador obtien~ respuestas evasivas; eInino tom a su cuaderno y juntos examinan los trabajos de la sema-na. Finalmente, eIigen trabajar con un problema qu~ Gael resolvi6mal y cuyo enunciado dice: En un estacionamiento hay 57 autos.24 de esos autos son rojas. Hallar el numero de autos del esta-cionamiento que no son rojos. Gael reflexiona un instante y luegodeclara: 'Voy a hacer como aprendf con la maestra'. Escribe encolumna la operaci6n 57 + 24 Y obtiene 81. Eso era exactamente10 que habfa hecho durante la scmana."N. de T.: "Quel est I'age du capitaine?", Grand N, numero espe-cial, Grenoble, IREM, octubre de 1982.

~C1ACl6N AL ESTUDIO DE LA TEORiA DE LAS SITUACIONES DIDAcTICAS

pregunta planteada. Entre Ios enunciados, intercalaron seu-doproblemas (incompletos, sin solucion, etc.). Por ejemplo,"En un navfo se embarcan 26 ovejas y 18 cabras. l,Cual esla edad del capitan?".

-44 anos -dicen los alumnos."En una clase hay 4 filas de 7 alumnos cada una. l,Cual

es la edad de la maestra?".-j28 anos! -responde mas del 60 % de la clase.Esto provoco un gran escandalo en algunos autores que

acusaron inmediatamente al sistema educativo. Ahora bien,los experimentadores preguntaron a los alumnos si el pro-blema no les parecio un poco raro.

-Sf, la pregunta era tonta -dicen algunos.-l,Por que?-jPorque las ovejas no tienen nada que ver con la edad

del capitan!-Pero entonces, l,por que respondieron?-Porque la maestra 10 pedia.En otra investigacion realizada en Lyon, esta vez con

profesores como cobayos, el fenomeno se reprodujo: losprofesores tambien extrapolaron e interpretaron los enun-ciados para poder responderlos. EI contrato didactico seimpone a todos y no se explica por mal desempeno de pro-fesores 0 alumnos. Sarrazy (1996) demostro las diferenciasde sensibiIidad de los alumnos frente al contrato didacticoy su efecto en sus desempenos escolares.

La primera escena del celebre Topaze, de Marcel Pag-nol, ilustra uno de los procesos fundamentales: Topaze Ietoma dictado a un mal alumno.

Como no puede aceptar errores demasiado burdos ytampoco puede dar directamente la ortograffa correcta, "su-giere" la respuesta disimulada en una codificaci6n didac-tica cada vez mas transparente: "... lasss ovejasss estabanen un corraL."; para el alumno se trata de un problema deortograffa y gramMica34.Con ese refuerzo en las eses, elproblema ha cambiado por completo. Ante los repetidosfracasos, Topaze mendiga una senal de adhesi6n y reducelas condiciones de negociaci6n por las que el alumno ter-minara por poner una "s". Se puede suponer que el profesorpodrfa continuar exigiendo el recitado de la regIa gramati-cal correspondiente, y luego hacer que la copien determina-do numero de veces. El derrumbamiento completo del actode ensenanza esta representado en una simple orden: pongauna "s" a "ovejas": el profesor terminarfa por tomar bajo suresponsabilidad 10 esencial del trabajo.

La respuesta que debe dar el alumno esta previamentedeterminada, el maestro elige las preguntas que puedenprovocarla. Evidentemente, los conocimientos necesariospara producir esas respuestas cambian de significaci6n.Planteando preguntas cada vez mas faciles, intenta obtenerla maxima significaci6n para el maximo de alumnos. Silos conocimientos en cuesti6n desaparecen por completo,estamos ante el "efecto Topaze". Es el docente quien tienela responsabilidad de mantener el sentido en los cambicsde preguntas. Sin embargo, la elecci6n de las situacio-nes de aprendizaje y su gesti6n, general mente libradas al"sentido comun" de los profesores, en la actualidad sonobjeto de activas investigaciones tanto te6ricas como deingenierfa didactica.

-----34 N. de T.: El maestro, Topaze, intenta lograr que sus alumnos escriban

correctamente y por eso enfatiza las letras que indican el plural.

El "efecto Jourdain" -asf llamado en referencia a la es-cena del Burgues gentilhOlnbre de Moliere, donde el maes-tro de filosoffa revela a Jourdain 10que son la prosa 0 lasvocales- es una forma del efecto Topaze.

El profesor, para evitar el debate del conocimiento conel alumno y eventualmente comprobar el fracaso, admitereconocer el indicio de un conocimiento sabio en los com-portamientos 0 en las respuestas del alumno, aunque en rea-lidad esten motivados por causas y significaciones banales.

Por ejemplo: el alumno al que se Ie hace hacer manipu-laciones un poco extrafias con envases de yogurt 0 image-nes coloreadas se encuentra con la dec1araci6n: "acabas dedescubrir un grupo de Klein"35.

De una forma menos burda, el deseo de insertar el co-nocimiento en las actividades familiares puede conducir alprofesor a sustituir la problematica verdadera y especificacon otra, metaf6rica 0 metonfmica, par ejemplo, y que noda un sentido correcto a la situaci6n. A menudo, las dosproblematicas estan presentes, yuxtapuestas, y el profesorintenta obtener "el mejor" compromiso posible.

Algunos metodos pedag6gicos orientados hacia las pre-ocupaciones del nino a menudo provocan este efecto, perola reforma de los anos sesenta y el uso de las estructurasmatematicas que aquellos propusieron tambien fueron, evi-dentemente, una potente incitaci6n a este juego.

Al inismo tiempo, la ideologfa estructuralista les ofre-cfa una justificaci6n epistemo16gica. Se trataba, por 10tan-

---35 N. de T.: Se refiere a actividades propuestas en el marco de la re-

forma de "las matematicas modernas", donde uno de los enfasis seencontraba en la ensefianza de estructuras matematicas.

to, de un doble efecto Jourdain: el primero en el nivel delas relaciones del alumno con el profesor; el alumno trataun ejemplo y el profesor ve allf la estructura. El segundo,en las relaciones de los didactas 0 los matem.Hicos con elprofesor: como los primeros adhieren a unajustificaci6n fi-10s6ficay cientffica sobre la pnictica del segundo y la sacra-lizan, el reconocimiento de la estructura se convirti6 en unaactividad cientffica.

Los desLizamientos metacognitivos y metadidacticos:Lapermeabilidad didactica

Cuando una actividad de ensefianza fracasa, puede queel profesor intente justificarse y, para continual' su acci6n,tome como objetos de estudio sus propias explicaciones ysus medios heurfsticos en lugar del conocimiento matema-tieo. Este reemplazo de un objeto de ensefianza pOl' otroes frecuente. El proceso comienza, pOl'ejemplo, cuando unprofesor inicia un curso de l6gica para "explicar" un errorde razonamiento.

No es un error didactico en sf, siempreque la sustitu-ci6n sea provisoria y no se reitere. Si la tentativa de expli-caci6n fracasa, se puede producir un nuevo deslizamiento:para explicar la l6gica pOI'ejemplo, va a recurrir a un dibuji-to, que a su vez Ie va a exigir explicaciones y un vocabularioespecffico, etc. EI fen6meno puede producirse repetidas ve-ces, afectar a toda una comunidad y constituir un verdaderoproceso que escape al control de sus actores. Probablemen-te, el ejemplo mas impresionante sea el uso de grafos paraensefiar las estructuras en los afios sesenta, metodo al queesta ligado el nombre de Papy (1964).

A fines de los afios treinta, la teorfa de conjuntos dejasu funci6n cientffica inicial (en analisis funcional y en to-

pologfa) para convertirse en un medio de ensefianza. Losprofesores de matematica necesitan de un formalismo fun-damental y de una metamatematica c6moda, y la 16gica entransformaci6n no se los ofrece a un precio razonable. Afalta de una introducci6n a traves de una teorfa axiomaticade conjuntos 0 de alguna otra teorfa (la de las categorfas,por ejemplo), que por otra parte s610habrfa postergado elproblema, los profesores estan obligados a invitar a sus es-tudiantes a que ejerzan un control semantico de esta teo-ria (Hamada entonces "ingenua"). Los pequefios dibujosde Bourbaki para representar una vecindad de un punta nodesempefian ninglin papel en la exposici6n de la teorfa.

Para evitar los errores, no alcanza, entonces, con apli-car algunos axiomas, es preciso saber de que se habla ... yconocer las paradojas relacionadas con ciertos usos. Estecontrol difiere bastante del control matematico habitual ,mas "sintactico". Luego, para otras teorias, dicho uso de lateorfa de conjuntos posibilitara una exposici6n axiomaticacuya presentaci6n sera mas clasica.

Asf, la teorfa ingenua de conjuntos, de herramienta deensefianza pasa a ser objeto de ensefianza para nifios cadavez mas pequefios. EI control semantico se conffa enton-ces a un "modelo" que remite a Euler36 y que recurre a di-versos grafos37

• Ahora bien, este "modelo" no es correcto(hace aparecer fronteras, no conserva la conexidad de laspartes de un mismo conjunto en las intersecciones, etc.). Nopermite el control esperado y provoca dificultades en la en-sefianza. Debido a tales dificultades, esta "herramienta" seconvierte en sf misma en objeto de ensefianza y se recarga

En sus Cartas a una princesa alemana, Euler (1707-1783) dabalecciones de matematica, mecanica, 6ptica, ffsica, astronomfa, so-nido, etc., a la sobrina de Federico II, rey de Prusia.Cfrculos de Euler, diagramas de Venn, papas de Papy.

de convenciones (fronteras de color) y de lenguajes especf-ficos (papas), a su vez ensefiados y explicados en cada etapade difusion. En este proceso, cuantos mas comentarios yconvenciones produce la ensefianza, los estudiantes menospueden controlar las situaciones que se les proponen. Es elefecto de deslizamiento metacognitivo.

Seria ingenuo creer que el sentido comun habrfa permi-tido que se Ie escaparan las consecuencias bastante extra-vagantes a las que condujo este proceso (en algunas obras,el septimo nivel de regresion fue alcanzado en frases talescomo "una relacion reflexiva es una relacion con bucles entodas partes"). La fuerza de los efectos didacticos es incoer-cible, ya que los profesores no pueden sustraerse a la obli-gacion de ensefiar cueste 10 que cueste. Cuanto mas extensoes el publico comprometido en la negociacion, mas diffeilresulta que el proceso escape al control "ingenuo".

Ademas, el sentido comun, como cualquier otro factorcorrector, no puede desempefiar ningun papel en los proce-80S sociales sin la mediacion de una estructura social ade-cuada. Existen pruebas de que este tipo de "error" no es re-sultado de la estupidez ni, en la mayor parte de los casos, dela ignorancia en matematica; si se me permite utilizar unametafora audaz, es como atribuir "la enfermedad a erroresde comportamiento".

La analogfa es una excelente herramienta heurfsticacuando se utlliza bajo la responsabilidad de quien la usa.Pero su utilizacion en la relacion didactica es, en realidad,una temible manera de producir efectos Topaze. Sin em-bargo, es una practica natural: si los alumnos fracasan en

su aprendizaje, hay que dades una nueva oportunidad en elmismo tema. Ellos 10 saben. Aunque el profesor disimule elhecho de que el nuevo problema se parece al anterior, losalumnos van a buscar -yes legftimo- la solucion que ya lesdieron. Esta respuesta no significa que la encuentren id6neapara la pregunta planteada sino solamente que reconocieronindicios, tal vez totalmente exogenos y no controlados, deque el profesor querfa que ellos la produjeran.

De este modo, obtienen la solucion leyendo las indi-caciones didacticas y no gracias a un compromiso con elproblema. Tienen interes en realizar dicha lectura, porquedespues de varios fracasos en problemas semejantes perono justificados, no reconocidos, el profesor se apoyani enestas analogfas, regularmente renovadas, para poner en ridf-culo al alumno por su tenaz resistencia.

El profesor tiene dificultades para reproducir la mismaclase, aunque se trate de nuevos alumnos: la reproduccionexacta de 10 que dijo 0 hizo con anterioridad no tiene elmismo efecto y a menudo los resultados son algo peores,pero tambien experimenta y tal vez a causa de ello, ciertareticencia a esta reproduccion. Experimenta una necesidadbastante fuerte de cambiar, al menos, la formulaci6n de suexposicion 0 de sus instrucciones, los ejemplos, los ejerci-cios y si es posible la estructura misma de la clase. Estosefectos aumentan con el numero de reproducciones y sonmas fuertes cuando la clase implica mas interacciones entreel docente y el alumno. Las clases donde hay una exposi-cion seguida de ejercicios 0 una simple instruccion seguidade una situacion de aprendizaje, es decir, que no exigen in-

tervenciones del profesor, envejecen mas lentamente. Esteefecto fue observado en numerosos casos en la escuela JulesMichelet de Talence, donde los maestros estaban compro-metidos en reproducir una cIase determinada. Sin embar-go, eI intento de renovar las cIascs se observ6 tambien endocentes "comunes", es decir que deciden sobre su trabajocon cierto grado de libertad.

Este fen6meno, asi como los anteriores, puede ser ob-servado tanto en el nivel de una clase como en el conjuntodel sistema educativo y entre otros actores:

- los programas y las instrucciones ministeriales (0en otros paises, la currfcula) son el medio casi uni-co de expJicitaci6n de las exigencias didacticas delcuerpo social hacia los profesores y el instrumentopara acordar el reparto de tareas entre ellos. Vista lacomplejidad de los mecanismos a controlar, estostextos -generalmente bastante cortos y que debendejar abierto 10 esencial de las cuestiones pertinen-tes- parecen por completo inadecuados. Sus mo-dificaciones peri6dicas se revelan absolutamenteirrisorias, ya sea al compararlas entre sf 0 con laimportancia que parecen acordarles los profesoresy la administraci6n educativa. Los textos para laescuela primaria, desde los afios 1980, no ofrecensino diferencias mfnimas en 10 esencial y s610 di-fieren en pequefios matices.

Las modificaciones de programas son objeto de proyec-ciones de los deseos de los profesores para la renovaci6n delas situaciones didacticas, en respuesta al envejecimientode sus clases.

La enorme desproporci6n entre este compromiso conla novedad y la estabilidad sorprendente de las practicas de

ensefianza es tambien un indicio de las restricciones que in-tervienen en la regulaci6n del envejecimiento: el tiempo derespuesta a toda modificaci6n del sistema educativo es muyelevado y las retroacciones muy debiles y aleatorias. La me-jor garantfa contra la deriva es una importante inercia. Perola actividad misma de ensefianza reclama un compromisopersonal intenso por parte del profesor y este compromi-so s610 puede mantenerse si se renueva. La reproducci6nexige entonces cierta renovaci6n que arriesga las futurasreproducciones. Como los medios de equilibrio no son co-nocidos, el sistema tiende a hacer que la renovaci6n recaigaen factores que no tienen mucha infIuencia sobre el objetoprincipal de la ensefianza: las modificaciones de programasobedecen a procesos semejantes a los de la moda en rela-ci6n con la vestimenta.

Esta cuesti6n del envejecimiento y el efecto del tiempodiddctico plantea una pregunta esencial para la didactica:(,que es 10que realmente se reproduce en una cIase?

Un profesor que reproduce la misma historia, la mismasucesi6n de las mismas actividades y de las mismas pal a-bras, suyas y de los alumnos, (,reprodujo el mismo hechodidactico que produjo determinados efectos desde el puntode vista del sentido?

No existe un medio ingenuo de diferenciar una bue-na reproducci6n de una cIase -que produce en las mismascondiciones un desarrollo identico y un mismo sentido alos conocimientos adquiridos por el alumna- de una malareproducci6n de esta clase, que, en las mismas condiciones,da un "desarrollo" identico pero un sentido diferente a losconocimientos adquiridos. En el segundo caso, la similituddel desarrollo se obtuvo a traves de intervenciones discretaspero repetidas del profesor que transforma toda la situaci6nsin afectar, aparentemente, la "historia".

Saber que es 10 que se reprodujo en una situaci6n deensefianza es objeto de estudio de la didactica, no es re-sultado de observaciones, sino de un analisis que se apoyaen el conocimiento de 10s fen6menos que definen 10 quepermanece invariante. (Artigue (1984) ha estudiado la re-productibilidad de las situaciones didacticas; Chevallard yMercier (1983), e1tiempo didactico).

c. LAS SITUACIONES DIDACTICAS:COMPONENTES Y ESTRATEGIAS

1. Componente esencial del contrato didactico: ladevolucion

Hemos mostrado que la realizaci6n efectiva de un pro-yecto didactico implica la puesta en marcha de situacionesque tienden a provocar el funcionamiento del saber y de losconocimientos aferentes (y no transformables 0 no transfor-mados en saberes).

Declaraci6n 1: la ensefianza tiene como objetivo prin-cipal el funcionamiento del conocimiento como producci6nlibre del alumno en sus relaciones con un medio adiddctico.

l,Que queremos decir con esto? Entendemos por"producci6n libre" toda respuesta a un medio regida porel sentido, es decir por 10 que el alumno es capaz de in-terponer entre sus condicionamientos -externos e inter-nos- y sus decisiones; esto implica para el la posibilidadactual, y no solamente potencial, de elegir entre varios

caminos, por razones "intelectuales"; esto implica tam-bien una produccion personal. Un "medio adidactico" esla imagen en la relacion didactica del medio "externo" ala ensefianza misma, es decir desprovisto de intencionesy presupuestos didacticos38

• Un medio adidactico tiene unmodelo no didactico.

Declaracion 2: el alumno adquiere conocimientos a tra-yeSde diversas fomlas de adaptacion alas restricciones desu entomo.

En situacion escolar, el docente organiza y constitu-ye un medio, por ejemplo, un problema, que revel a maso menos claramente su intencion de ensefiar al alumnoun saber determinado pero que disimula suficientementedicho saber y la respuesta esperada para que el alum-no pueda obtenerlos solo, por medio de una adaptacionpersonal aJ problema planteado. EI valor de los conoci-mientos as! adquiridos depende de la calidad del mediocomo instigador de un funcionamiento "real", cultural,del saber, y par 10 tanto del grado de rechazo adidacticoobtenido.

EI nifio no considera espontaneamente el mundo comoun sistema desprovisto de intencion con respecto a el y elalumno se preocupa por des-cubrir y utilizar en su prove-cho la maquinaria didactica debido alas facilidades queesto puede procurarle. Es entonces indispensable que eldocente prepare al alumno para este funcionamiento adi-

38 Este medio es denominado "adidactico" porque considera el fun-cionamiento normal de los conocimientos, fuera de las condicio-nes didacticas (aquellas en las que alguien decidio para un alumnoque saber debfa aprender), ya sea que este funcionamiento resulleser objeto de una descripcion a posteriori, de un estudio teorico apriori 0 una modelizacion, 0 que sea considerado como el objetivode una desdidactificacion.

dactico, integrandolo en fases didacticas: el alumno solopuede aprender produciendo, haciendo funcionar y evolu-cionar los (sus) conocimientos -si no se da a cada instante,al menos bastante frecuentemente- en condiciones "seme-jantes" 0 asintoticamente semejantes a las que encontranien el futuro.

A modo de corolario, deducimos que, para permitir estefuncionamiento, el docente no puede decir previamente alalumno cual es la respuesta exacta que espera de el, sinoque debe hacer de modo que este ultimo acepte la respon-sabilidad de tratar de resolver los problemas 0 los ejercicioscuya respuesta desconoce.

La devoluci6n es el acto por el cual el docente haceque el alumno acepte la responsabilidad de una situacionde aprendizaje (adidactico) 0 de un problema y acepta elmismo las consecuencias de esta transferencia.

Una primera paradoja de la devolucion es que si bienel maestro desea que el alumno elabore la respuesta consus propios medios, al mismo tiempo quiere -tiene el debersocial de querer- que el alumno de la respuesta correcta.Debe, pues, comunicar ese saber sin tener que develarlo, 10cual es incompatible con una relacion contractuaP9.

La devolucion presenta grandes dificultades que tra-dicionalmente se analizan en terminos de motivacion delalumno; las soluciones preconizadas son, por 10 tanto, denaturaleza psicologica, psicoafectiva 0 pedagogica. Aharabien, la significacion del conocimiento y de la situaciondesempefia un papel importante en ese acto y, en conse-cuencia, la didactica propane medios especfficos.

Como "Ia violencia simbolica, imposicion por parte de un poderarbitrario cultural" del que hablan Bourdieu y Passeron (1970)para todas las acciones pedagogicas.

La busqueda de un sumando desconocido: un ejemplode ingenierfa diddctica de devoluci6n40

A menudo, la ensefianza de una operacion aritmetica, estiesencialmente basada en la comunicacion de un procedimien-to de calculo asociado a un pequefio universo de problemasque se supone Ie da sentid04

1. Los problemas de devolucionse plantean de forma mas imperiosa y evidente en una en-sefianza fundada en el estudio de una relacion42

• Se trata deintroducir la resta de esta manera con nifios de 7-8 afios (se-gundo grado). En general, tal vez para evitar el dogmatismo,los docentes presentan los saberes que quieren ensefiar comorespuestas a preguntas. Pero como la ensefianza esta focaliza-da en las respuestas, las preguntas estan solo para introducir yjustificar dichas respuestas. POl'otra parte, pocas veces se tratade relaciones 0 aserciones que podrfan tener sentido estandoaisladas, suelen ser procedimientos donde las preguntas queIos introducen estin estrechamente sujetas a acompafiar la ad-quisicion progresiva. Aislados de su contexto, los algoritmosse convierten en respuestas adquiridas a futuras preguntas delas que, pOl'el momento, no se sabe gran cosa.

N. de T.: Este ejemplo ilustra la busqueda de condiciones de la quese hablo en la nota al pie 2.Skemp opone estos dos aspectos del pensamiento matematico: elprocedimental y el declarativo. La teorfa de las situaciones permiteescapar a esta especie de dicotomfa superficial mostrando los pa·peles que desempenan ambos aspectos en las relaciones "matema-ticas" de un sujeto con su medio.Un program a de investigaciones a largo plaza llevado a cabo en el CO-REM de Bordeaux permitio producir y estudiar numerosas situacionesdidacticas eficaces basadas en la busqueda de un objeto que satisfacierauna condie ion expresada por el alumno. EI ejemplo mas conocido es elde los racionales, introducidos por conmensuracion ("3/4 es el tamanoque multiplicado por 4 es iguaJ a 3 unidades") en lugar de la concep-cion habitual de particion de la unidad ("3/4 es el tamano obtenidopartiendo la unidad en 4 partes iguales y tomando 3 de esas partes").

INIClACl6N AL ESTUDIO DE LA TEORiA DE LAS SITUACIONES DIDACTICAS

La ensefianza que proponemos pretende lograr que elalumno se plantee las preguntas que son del dominio deldocente -tan importantes como las respuestas- y, en tantoque sea posible, que los conocimientos tengan su sentido.

Todo el aprendizaje se organizara alrededor de una mismasituacion de base, que se repetira evolucionando: "el juego dela caja". EI docente tiene en su mesa una caja bastante gran-de de plastico opaco que contiene piezas del tipo "bloques deDienes" (entre una decena y una centena, puede haber piezasidenticas). Se trata siempre de decir cuantas piezas de determi-nado tipo contiene la caja, pero pOl'momentos ese numero nopuede darse si no se hace un conteo de Ia coleccion, rnientrasque otras veces es posible preverlo utilizando los datos en uncalculo. Par supuesto, Ia mayor parte del tiempo los alumnosno saben en que caso se encuentran. La sefial de cierto cono-cimiento de la resta sera justamente saber finalmente cuandoy como "uno" puede determinar esos numero~ e identificar lassituaciones que "el juego de la caja" puede modelizar.

EI docente presenta la caja pOl' primera vez y pregunta:"" Cuantas piezas creen que hay en esta caja?" y luego, ""Cuan-tas piezas redondas?" ""Cuantas no redondas?" El juego serepite: "Pongo todo en la caja, "cuantas piezas hay ahora?""Saco un pufiado, "cuantas hay en la caja? "Yen el pufiado?"""Cuantas piezas rojas? "CU<intasno rojas?", etc. Ante cadapregunta los alumnos anotan una respuesta en sus respectivoscuadernos, luego uno de ellos viene a contar las piezas en lacaja para conocer la solucion de la adivinanza planteada. "Losque adivinaron ganaron un punto, los otros, perdieron."

Mientras el alumno no vislumbre la posibilidad de preyerla solucion y par 10tanto imaginal' un medio para esta previ-

si6n, el profesor no puede hacer que comprenda que Ie estaplanteando un problema donde hay algo para comprender yaprender. La situaci6n se presenta, pues, como una situaci6nde acci6n donde la estrategia de base es la respuesta al azar.

Pero la situaci6n se "repite", los ninos se dan cuenta de 10que tienen que hacer, c6mo saber quien gan6 y quien 10 deci-de ... Todos los alumnos deben y pueden producir una respues-ta. Todos 0 casi todos, en tales momentos, piensan que hay quecontar, si no, "no se puede saber". Uno de los placeres de laadivinanza reside en el hecho de que no se sabe muy bien si seva a ganar 0 no. La repetici6n del juego permite a los alumnoscomprender la consigna y el vocabulario tecnico minimo.

Pero para pasar a un verdadero problema, i,habra queensenar un metodo de soluci6n? i,0 mejor varios metodospuesto que se presentan varios casos?

Los docentes tienen dificultades para aceptar el juego de laadivinanza: "jNos da tanto trabajo que los alumnos no respon-dan cualquier cosa!". Algunos alumnos tambien estan molestosy se niegan a dar una respuesta porque se dan cuenta de que tie-nen grandes posibilidades de "perder" y temen ser mal juzga-dos. Los que "ganan" piensan que "hay trampa". Esta situaci6nrompe completamente el contrato didactico habitual donde hayque obtener la respuesta a traves de un ejercicio, pOl'medio deun saber identificable. Ahora bien, este primer contrato de basees necesario aquf, justamente para permitir que la previsi6n ra-cional emerja y se defina contra la respuesta al azar.

Algunas preguntas son tan simples que los alumnos danuna unica respuesta. Par ejernplo, se acaba de con tar todaslas piezas de la caja y hay 52, luego se sacan para contar

todas las piezas que no son grandes, rojas y gruesas: 50. EIdocente plantea: "i,Cuantas piezas hay ahora en la caja?"Muchos alumnos piensan que la soluci6n es 2. Su respuestaes una anticipaci6n de la soluci6n, pero se impone a ellos enforma de contingencia (en este caso, de evidencia).

Al proponer pequefias cantidades 0 cantidades que pre-sentan una pequena (0 una muy grande) diferencia, el docen-te se encuentra con casos intermedios donde la convicci6nno es demasiado grande, pero donde los ninos perciben quetodos los numeros -que podrian ser respuestas posibles- noson igualmente plausibles. Entran asf en una nueva posicion(la del sujeto cognitivo), mas reftexiva con respecto a la situa-cion de accion anterior, ya que su respuesta puede ser objetode una estimaci6n, un calculo 0 un razonamiento.

La formulacion de las preguntas varia pero conservasiempre las caracterfsticas de una conversaci6n cotidiana: "10que esta en la caja", "talespiezas", "10 que falta", "10 quequeda", "las otras", etc. POI'el contrario, el ')uego", su orga-nizaci6n y sus terminos estan ahora bien identificados e insti-tucionalizados. Un alumno puede ocupar ellugar del docentey hacer que sus pares jueguen de un modo satisfactorio.

Hasta el momento, los alumnos anotaban un numero -Iarespuesta a "i,cuantas piezas hay?"- y se verificaba pOI'conteo.En esta etapa, el docente, antes de dar lugar al conteo, pregun-ta: "i,Piensas que vas a ganar? i,Por que? i,Estas segura?"

En los casos simples, algunos aIumnos explican un meto-do: habfa 37 piezas, quedan 31, i,cuantas tiene el maestro ensus manos? "Conte con los dedos Ias piezas escondidas: 32,33... hasta 37". En el caso "habfa 21 piezas y quedan 2, i,cuan-

tas quitaron?", es menos comun escuchar: "Habia 21 piezas yquedan 2, la 21 y la 20; entonces quitaron hasta la 19".

Asf, la respuesta cambia sutilmente de estado: la inte-racci6n "hay 33 / ganaste" se va a convertir en "digo quehay 33 piezas en la caja / prueba de que es cierto".

POl'supuesto que el docente permanece en posici6n neutraly acepta como prueba respuestas del tipo: "mire bien desde mibanco y pude contar que habia 5". No anticipa la significaci6nde los exitos: el hecho de hacer un razonarniento y encontrar lasoluci6n no prueba que el razonamiento es bueno, jaun cuandoefectivamente es correcto! El conteo todavfa es la herramien-ta institucional para examinar la respuesta y, para algunos, unmedio -mental y privado- de anticipar y dar la respuesta.

Cualta etapa: devoluci6n e institucionalizaci6n de unasituaci6n de aprendizaje adidactico

En este momenta el docente puede declarar que:- cada alumno tiene que aprender a responder cuando

este seguro de su respuesta 0 distinguir cwindo nopuede estar seguro; y en las sucesivas partidas apro-vechar las ideas que cree buenas, exp1icitadas pOl'otros compafieros; y

- la clase tiene que encontrar -sin que sea el maestroquien 10 ensefie- y explicar que metodos se puedenemplear para dar la respuesta correcta.

Para mejorar las anticipaciones, el maestro puede fa-vorecer las descripciones de las estrategias y dar lugar apequefios debates sobre las respuestas 0 las tacticas. Alevitar institucionalizar prematuramente la estrategia gana-dora, el profesor mantiene la esperanza de que se puedeaprender a ganar y el placer de lograrlo con un poco dedificultad (la dosis justa para optimizar el placer). Tiendeasf a obtener el maximo de transferencias hacia el control

INICIACl6N AL ESTUDIO DE LA TEORiA DE LAS SITUACIONES DIDACTICAS

del juego a traves del conocimiento privado, el que exigeal alumno una actividad intelectual bastante noble. La ges-ti6n didactica de tal situaci6n tiene pOI' objeto garantizarequilibrios fundamentales:

- equilibrio (oscilaciones en torno a una posicion) en-tre incertidumbre y certeza, desorden y orden, difi-cultad y facilidad, etc.;equilibrio en los niveles de control: una persona nopuede manejar much as condiciones demasiado in-ciertas al mismo tiempo. El dominio de la incerti-dumbre pasa pOI' un buen reparto de las responsa-bilidades entre los diferentes niveles de adaptaci6n:una buena dosis de saber bien conocido, un poco desaber en vias de adquisici6n, actividad cognitiva pu-blica y privada -alternativamente- para justificar ypermitir tambien las interacciones, etc.;equilibrio temporal y ritmo: si los saberes y los al-goritmos no Began a tiempo como para aliviar losmodelos implicitos y los conocimientos -ya sea atraves de la conversi6n, la informaci6n 0 la ensenan-za- la busqueda personal se agota (se vuelve com-pleja, rigida y fracasa) y el contrato didactico pierdesu raz6n de ser. Si, pOl' el contrario, dichos saberesBegan demasiado pronto, pueden no tener demasia-do sentido, etc.;equilibrio entre el placer de definirse a traves de laactividad intelectual y el de obtener una seguridadreconocida de forma rapida y eficaz, sin excesiva ac-tividad intelectual ya que sc usa un saber recibido;equilibrio entre el deseo consumado (pOI'tareas diff-ciles 0 poco gratificantes 0 simplemente por ellogrode un proyecto ...) y el deseo producido (pOl' los exi-tos, los desaffos superados, ...); y

- equilibrios sociales y culturales en la clase entre elnumero de productores y de consumidores de ideas,de exitos y de fracasos, etc.

La gestion de estos equilibrios exige numerosas aptitudespedagogicas y psicologicas pero descansa, ante to~o, en decisio-nes didacticas. En el ejemplo que damos, la eleccion de la listade valores numericos -ligados alas probables estrategias pro-puestas por los alumnos en el momento oportuno es decisiva.

"EI descubrirniento y el empleo del saber" es una obra deteatro puesta en escena por el docente, donde cada alumno seva a aventurar en un rol bastante delimitado pero es tambien unmedio que debe darle libertad en el lugar donde quiere expresar-se. La yuxtaposicion de estos sainetes constituye su historia.

Esta etapa esta desarrollada en "EI caso Gael"43. Habfa52 piezas en la caja, se retiraron 18 que estan a la vista, unalumno respondio que quedan 30 en la caja. En el momentaen que este alumno va a contar las piezas de la caja, el do-cente 10 detiene. "l,Estas seguro? l,Quieres apostar? Antesde cerrar la apuesta, puedes contar y evaluar tu respuesta".EI docente hace que el alumno cuente: 30 "hay" en la caja,Ie muestra una de las 18 piezas que esta fuera de la caja, 31,otra, 32 ... EI alumno termina de con tar: 48.

M.: l,E;lcontraste que hay 48 piezas en total?A.: Sf.M.: l,Y escierto eso?A.: No, jhay 52!M.: Entonces, l,mantienes la apuesta?

A.: No.M.: jAh! Pero no perdiste, podes intentar otra vez con

otro numero.

EI profesor ensena entonces un metodo para mejorarlas anticipaciones, que no es muy economico, pero permi-tira numerosos descubrimientos y par medio de sucesivosperfeccionamientos conducira al metoda estandar, entreotros modos de calculo.

Esta etapa marca, para el alumno, el inicio del paso deuna verdad contingente hacia una verdad necesaria. EI alum-no es llevado a preyer el valor de su respuesta simulando laverificacion por conteo. Este razonamiento por el absurdo noes espontaneo, pero el uso 10 hace familiar y permite busque-das que dan confianza a quienes empezaban a agotarse.

Esta fase transforma las "respuestas" escritas por los ni-nos en sus cuademos en "intentos". Despues de la anticipa-cion, los alurnnos pueden examinar el numero -en realidaddeben hacerlo, porque es parte del rito- ver si conviene, esdecir si satisface la relacion conocida 0 si hay que rechazarlo.Se introduce asf una distancia temporal y reftexiva muy im-portante, que permite el paso de la ejecucion de algoritmos alexamen de una situacion, la consideracion de hipotesis, etc.

La situacion simula un entorno que guarda secretos peroque se pueden revelar deduciendo informaciones adecuadasque se obtienen del mismo medio. Todavfa no pueden ob-tener la respuesta correcta, pero pueden examinar la queenuncian. Es a partir de este momenta que es legftimo vercomo los alumnos dan una respuesta si estan seguros y seabstienen si no 10 estan, y no solamente sobre la base de uncontrato moral impuesto. Por ultimo, esta fase permite quese establezca una negociacion a partir de 10 que el alumnohace cuando anticipa: tal vez no encontro la respuesta co-

rrecta pero al menos puede indicar 10que intent6 y por que,como corrigi6 0 decidi6 un nuevo intento, etc.

Pronto el maestro tendni que rechazar las busquedasexhaustivas e incluso los tanteos segun una disposici6n ex-plfcita de adaptaci6n al medio: para responder a la pregun-ta planteada, el alumno responde actuando sobre el sistema,adaptandose para mejorar su eficacia, etc. El proceso contieneveintid6s etapas, en el transcurso de las cuales evoluciortan lasrelaciones de los alumnos con el saber. La suma reemplazaraal conteo como metoda de anticipaci6n del resultado, luego sevolvera tan comunmente admitida y tan segura que reempla-zara al conteo como prueba. haciendo asf imltil recurrir al ma-terial. Al mismo tiempo que Ios metodos de calculo de Ia restase multiplicaran y se perfeccionaran, la exploraci6n explfcitade los problemas susceptibles de ser modelizados a traves del')uego de la caja" permitira a los alumnos una clasificaci6nde esos problemas (implfcitamente para elIos, explfcitamentepara el maestro) segun las concepciones que movilizan.

2. La institudonalizadon: otra componenteesendal

Recordemos en primer lugar nuestro proyecto inicial:la elecci6n de las condiciones de ensefianza que acabamosde evocar se justifica esencialmente par la necesidad de darun sentido a 10s conocimientos.

EI sentido de un conocimiento esta formado por:- la "trama" de razonamientos y pruebas en las cua-

les esta implicado con, evidentemente, los indiciosde las situaciones de prueba que motivaron esos ra-zonamientos;

- la "trama" de reformulaciones y formalizaciones conayuda de las cuales el alumno puede manipularlo,acompafiada de determinada idea sobre las restric-ciones de comunicaci6n que se imponen;

- los modelos implfcitos que estan asociados -ya sea queel conocimiento los produzca, 0 que resulte de elIos- ylos indicios de las situaciones de acci6n que los hacenfuncionales 0 que simplemente los contextualizan;

- las relaciones mas 0 menos asumidas entre estos dife-rentes componentes, relaciones esencialmente diaIec-ticas. Par ejempl0, el encadenamiento "pregunta/res-puesta": las preguntas tienden a articularse entre elIas-independientemente de las respuestas recibidas- y lasrespuestas par su parte hacen 10 mismo. EI hecho dearticular "buenas" respuestas con "buenas" preguntasconduce a reformular altemativamente y de un modopertinente (diremos diaIecticamente) unas y otras.

Los diferentes tipos de situaciones en las que evocamosla devoluci6n tienen por objeto hacer que el alumno de unsentido a los conocimientos que manipula conjugando estasdiferentes componentes.

Como ya vimos44, en otra epoca crefmos que con las si-

tuaciones de acci6n, formulaci6n y validaci6n habfamos ana-lizado todas las clases posibles de situaciones. Produjimossituaciones adidacticas de diversas clases. EI maestro estabaallf para hacer funcionar la maquina, pero, por sobre ei co-nocimiento mismo, sus intervenciones estaban practicamenteanuladas. Tenfamos situaciones de aprendizaje -en ei sentidode Ios psic6Iogos- y se podfa pensar que habfamos reducidoIa ensefianza a sucesiones de aprendizaje. Pero en el trans-

curso de las experiencias desanolladas en la escuela JulesMichelet vimos que los maestros, al cabo de un tiempo, an-tes de continual' con el desanollo de sus clases, necesitabanordenar un espacio. Asf, expresaban: "vamos a rever 10 quehemos hecho" 0 "algunos alumnos estan un poco perdidos ...hay que hacer algo". Nos vimos obligados a preguntarnospOl' que se daba esa resistencia de los docentes a reducir elaprendizaje a los procesos que habfamos concebido. No setrataba de acusarlos, sino de comprender 10 que legftimamen-te necesitaban hacer y par que requerfan cierta opacidad parahacerlo frente a los investigadores.

Asf fue como "descubrimos" (!) 10 que hacen todos losprofesores en sus cursos, pero que nuestro esfuerzo de siste-matizacion habfa vuelto inconfesable: el docente debfa com-probar 10 que los alumnos debfan hacer (y rehacer) 0 no, 10

que habfan aprendido 0 tenfan que aprender. Esta actividades ineludible: no se puede reducir la ensefianza a la organiza-cion de los aprendizajes. Tomar en cuenta "oficialmente" elobjeto de conocimiento pOl'parte del alumno y el aprendizajedel alumno pOl'parte del docente es un fenomeno social mllYimportante y una fase esencial del proceso didactico: este do-ble reconocimiento es el objeto de la institucionalizacion. iEIrol del maestro tambien es institucionalizar!

La institucionalizacion se da tanto en una situacion deaccion -cuando se reconoce el valor de un procedimien-to que va a convertirse en un medio de referencia- comoen una farmulacion. Hay algunas formulaciones que van aconservarse ("esto se dice asf", "estas vale la pena conser-varIas"). Y en las situaciones de prueba tambien: hay queidentificar cm'iles de las propiedades que se encontraron sonlas que se van a conservar. Es claro que se puede reducirtodo a la institucionalizacion. Las situaciones clasicas deensefianza son escenarios de institucionalizacion sin que el

docente sea responsable de la creacion de sentido: se dice 10que se qui ere que el alumno sepa, se Ie explica y se veri ficasi 10 aprendio. En los comienzos de la teorfa de las situa-ciones, los investigadores estuvieron un poco obnubiladospOl'las situaciones adidacticas porque estaban notoriamenteausentes en la ensefianza clasica.

3. Las estrategias fuertemente didacticasque tratan un saber IInuevoll

Vimos antes sobre que ficcion epistemologica se insta-Ian los tres ultimos contratos45

• La legitimidad "historica"de la posicion y de la funcion de un saber (,puede ser uti!aun cuando se trata de que un sujeto realmente 10 adquiera?i.,Como se puede afirmar que este saber es efectivamenteequivalente a cierta coleccion de ejercicios, cuya adquisi-cion conducira con certeza al exito? Los criterios empfricosde dependencia entre las adquisiciones todavfa son muy in-ciertos y los que estan disponibles no alcanzan para verifi-car las aserciones teoricas.

La transformacion pOl'parte del profesor de las aplicacio-nes en ejercicios de evaluacion (evaluacion de su ensefianza,evaluacion del saber aprendido, evaluacion del alumno, etc.) yafortiori en ejercicios de aprendizaje plantea numerosos pro-blemas de didactica, epistemologfa y psicologfa cognitiva.

Vamos a examinar diferentes estrategias definidas pOl'la restitllcion de la responsabilidad a un elemento de la si-tuacion didactic a -unas veces al profesor, otras al alumno,

N. de T.: se refiere a Ios contratos de utilizacion, iniciacion e instruc-cion, en Ios que el informante progresivamente se hace responsableante el informado de mostrar la utilidad de los conocimientos que Iepropone, y por eso debe acompafiar el texto del saber con un campo deaplicaciones en el cual se supone que ese saber desempefia un pape!.

otras al medio- y por las hipotesis epistemologicas asocia-das a estos contratos.

El profesor se compromete a que el alumno·efectue, porcualquier medio, una tarea que es reconocida por la culturacomo la marca de la adquisicion de un saber: por ejemplo,el alumno dira el enunciado de un teorema, escribira la so-lucion de un problema, reproducira a pedido una actividaddeterminada. El mecanismo par el cual se obtiene del alum-no la reproduccion de la obra no se toma en cuenta, porquese supone que la actividad ensi misma es la fuente y laprueba del aprendizaje. Que un virtuoso 0 un pintor genialhayan trabajado mucho 0 no, y esten 0 no en condiciones decomentar su obra, no tiene importancia.

Asi, en matematicas, el docente puede exigir al alumno quere-escriba la respuesta correcta de un problema, que recite unenunciado, que imite un procedimiento, etc. La traduccion delas ordenes del profesor en actos no exige el paso por el cono-cimiento en cuestion. Con este pretexto, serfa peligroso igno-rar que dicho tipo de estrategia puede aportar una contribucionimportante a determinados aprendizajes. El hecho de que estosmecanismos de reproduccion, por irnitacion, no exijan formu-lacion de razones 0 explicaciones, etc., les confiere propiedadesinteresantes.como, por ejemplo, para adquirir "un oficio".

El alumno se compromete a efectuar la tarea definida acondicion de que sea completamente reductible al repertorioque posee. En este sistema, la ejecucion de la tarea por partedel alumno no es, entonces, objeto de un verdadero contratodidactico. El efecto didactico de la ejecucion de la tarea estaasegurado solamente por las creencias del profesor 0 la cul-tura. La creencia de que la actividad engendra conocimien-

to (la mana forma al espfritu) fue apoyada por numerosastesis pedagogicas. La opinion extendida "entiendo olvido,veo comprendo, hago aprendo" haria del contrato de repro-duccion una panacea. Es una posicion muy extrema.

El profesor "muestra" un objeto, 0 una propiedad, elalumno acepta "verlo" como el representante de una clasede la cual debera reconocer, en otras circunstancias, sus ele-mentos. La comunicacion del conocimiento, 0 mas bien delreconocimiento, no pasa por su explicitacion como saber.Esta sobreentendido que este objeto es el elemento genericode una clase que el alumno debe imaginar haciendo jugardeterminadas variables que a menudo son implfcitas. Esteprocedimiento funciona bastante bien en la vida diaria, paraidentificar a una persona, una especie animal 0 un tipo deobjetos, etc., con ayuda de un repertorio de reconocimiento"universal", En todo caso, se exige de modo trivial en lasrelaciones institucionales elementales.

El contrato didactico de ostension se basa en este logro,pero es insuficiente para "definir" un objeto matem<Hico. Porejemplo, "definir" un polinomio como una suma de mono-mios, 0 "presentar" el dibujo de un cuadrado, 0 "describir"un decimal como un numero con coma, no permite deducirlas propiedades caracteristicas de estos objetos matemati-cos, por ejemplo, reconocer cuales son las factorizacionescompatibles con la estructura de anillo, 0 que la igualdad 0

perpendicularidad de las diagonales del cuadrado puedandeducirse de otras propiedades.

No obstante, el profesor 10 exigira y el alumno pensara quepuede responder, sostenidos por las siguientes ideas: el profesordebe utilizar un repertorio de reconocimiento al alcance de los

alumnos, los instrumentos de reconocimiento "generales" son"universales" y por ende identicos para el profesor y el alumnoque deben "ver" 10 mismo en los mismos objetos. La base delcontrato es, por 10 tanto, una hipotesis epistemologica empiristay realista que aparentemente conviene alas dos partes. Permiteal profesor pretender comunicar un conocimiento haciendo laeconomia de las situaciones de accion donde se transparenta, desu formulacion y de la organizacion del saber correspondiente.Esta presentacion ostensiva perrnite ademas una "familiariza-cion" con un objeto de estudio que se supone sera retomado yredefinido mas adelante. El supuesto (y exigido) poder de "ge-neralizacion" del alumno solo puede funcionar en el caso de queeste cultural y didacticamente sostenido por una frecuentacion 0

un "roce" que cree un ambito y una practica de uso comun. Di-cha generalizacion no puede ser justificada matematicamente.

La induccion radical exigida por el contrato de ostensionfracasa a menu do. El profesor mantiene la ficcion de su le-gitimidad y fecundidad por medio de contratos de analogia.La clase de objetos de conocimiento no esta sugcrida poruno sino por varios elementos, cuyas propiedades comunes"visibles" y variaciones se suponen mas "genericas".

El contrato de ostension, si bien esta fundado en una epis-temologia "falsa", es utilizado con mucha frecuencia por losdocentes porque funciona muy bien en numerosos casos don-de una definicion matematica seria demasiado pesada 0 inutil.

beres del sujeto y de los que se Ie qui ere ensefiar, es decir delas razones de saber 10 que aprendio.

Las tesis asociacionistas y conductistas aportan justifica-ciones a la repeticion -de situaciones de reproduccion 0 decualquier situacion didactica- para asegurar el exito. Mas queotros, este contrato se presta a usos excesivos porque deja pocolugar a indices que conduzcan a su propia regulacion. Si bienel psitacismo no tiene virtudes en el dominio de los saberes,seria vano negar ellugar que puedan tener los conocimientoso los aprendizajes formales en el funcionamiento cognitivo.aun en el mas evolucionado. Exigir el "recitado" de un saberpuede conducir al alumno a reflexiones personales interesantessobre ese saber. Los conocimientos adquiridos implfcitamenteen practicas repetidas tambien son importantes.

Concretamente, el profesor se hace responsable de or-ganizar un reparto "razonable" de ejercicios "razonable-mente" repetitivos, y ligeramente informativos, y gestionael despacho en funcion del rendimiento de su proceder, queglobalmente es bastante debil. Atender exclusivamente lascausas de aprendizaje sin preocuparse por las razones desaber es una forma de proceder desesperada.

El papel del alumno es prestarse a esa repeticion. Puedecreer -y el profesor tambien- que el tiempo se encargara de en-sefiarle (de familiarizarlo con) 10 que ni uno ni otro afrontan en elmomento. El peligro esm en que esto no es enteramente falso.

La produccion (obtenida por imitacion 0 ejecucion deuna orden) de una tarea no es, a menudo, una garantfa deque el alumno pueda reproducirla en toda circunstancia. Eldocente debe entonces buscar condiciones que funcionarancomo causas de aprendizaje, independientemente de los sa-

El profesor plantea pregufltas de modo tal que el alum-no pueda responderlas con sus propios recursos y las orga-niza para modificar sus conocimientos 0 convicciones. El

INICIACION AL ESTUDIO DE LA TEORiA DE LAS SITUACIONES DIDAcTICAS

profesor cambia las preguntas en funci6n de las respuestasdel alumno. Pero cuando 1'1 elecci6n de las preguntas noesta sometida a ningun contrato didactico, pueden ser muyabiertas 0 muy cerradas como en el dialogo de Menon y po-drfan a priori tomar cualquier camino ret6rico y obtener la"buena" respuesta por medio de analogfas, J;l1etaforas, etc.Tambien este contrato podrfa ser considerado como un casoparticular de contrato de imitaci6n 0 reproducci6n formalen el sentido de que el profesor hace decir al alumno elsaber que intenta transmitirle absteniendose de decirlo elmisillo. De todas formas, el paso de 6rdenes a preguntas in-troduce una gran diferencia. Todo depende de la idea que elprofesor se haga del saber y del conocimiento que tiene (laepistemologfa del profesor y su calidad como matemcitico).Para Plat6n, la teorfa de la reminiscencia aseguraba que laproducci6n de un indicio de saber estaba asociada a un sa-ber correspondiente, porque este ultimo "ya estaba aUf". Enconsecuencia, es inutil aprender en el sentido moderno, yaque desde ese posicionamiento "decir" equivale a "saber".

Combinado con otras condiciones, la mayeutica es una delas fuentes de ciertas formas de ensefianza programada. Si bienpuede ser bastante apropiada para un preceptor47

, se presta mu-cho menos para la interacci6n entre un profesor y una clase. Lamayeutica colectiva es sin embargo muy empleada y provocanumerosos efectos didacticos mas 0 menos negativos.

Uno de sus principales inconvenientes proviene de la ten-dencia a excluir las interacciones de un sujeto con un medioefectivo. Todas las situaciones "adidacticas", en particular losproblemas, son diffciles de incluir en una mayeutica debido ala dispersi6n de preguntas y respuestas que pueden provocar.

En este caso, se supone que el conocimiento se producefundamentalmente por el contacto que establece el alumnocon el medio al que debe adaptarse. La responsabi1idad delaprendizaje es entregada al medio y a la naturaleza.

En las formas mas simples, la lectura es~asi directa,el alumno percibe "viendo" la estructura (sin procesos in-termediarios, ni culturales ni cognitivos). Esta posici6n fueidentificada por Aebli (1960) como un empirismo sensualis-ta, apoyado en teorfas epistemol6gicas como la de 1agestalto la de las huellas memoriales. Junto a la idea que la lecturadirecta tambien puede ser inmediata, conduce a estrategiasdidacticas de ostensi6n: el profesor muestra un objeto y sesupone que el alumno ve en el las nociones, 10s conceptos,1as propiedades, etc.

Lo que e1a1umno no percibe de entrada, 10 descubre y 10aprende a traves de una frecuentaci6n repetida con el objetoen 1as mismas circunstancias. La idea de que 1arepetici6n de10scontactos directos con el medio es 10que ensefia, conducea1 aprendizaje "a traves de" -y a1 menos "sobre"- "el terre-no" 0 el "roce". Los metodos de Freinet, algunos metodosactivos, asf como el constructivismo radical, se justifican enparte con puntos de vista similares. E1saber, cuando no es ig-norado, no es mas que un comentario, una descripci6n de 10que 1anatura1eza nos ensefia, un atajo de acci6n 0 de aprendi-zaje, 0 inclusive una simple herramienta didactica.

N. de T.: en el sentido de "persona que ensenaba gram1itica latina",Real Academia Espanola, 200].

En este nuevo contrato, las situaciones que conducen a1alumno al aprendizaje de conocimientos ya no son situacio-nes "naturales". EI profesor organiza el medio y Ie delega

la responsabilidad de las adquisiciones. Pero esta organiza-cion se deriva esencialmente del saber en cuestion y del co-nocimiento de los procesos de adquisicion de los alumnos yno es modelizado a traves de las situaciones "de referencia"que se dan en la institucion (M)48 0 en la institucion cien-tifica que produce el saber. Este medio, que ademas puedeser efectivo 0 ficticio, es a menudo uno y otro segiin di-versas condiciones ergonomicas. Los saberes (antiguos) semanifiestan como prerrequisitos, es decir, como herramien-tas para formular las condiciones iniciales de la situacion,enunciar el problema, evocar una estrategia de base, etc. Unejemplo de este contrato se da al recurrir a fases adidacticas(de accion, formulacion 0 validacion) para crear divers asformas de conocimiento.

Se supone que el alumno es racional, 0 al menos co-herente (en particular, relativamente fiel), y economico. Seadapta para minimizar sus esfuerzos 0 sus riesgos y paraacrecentar su placer, de allf la idea de representar sus com-portamientos segiin model os ergonomicos: esquemas 0concepciones calculadas. En realidad, la coherencia sueleser local y el alumno se acomoda con contradicciones, se-giin distintas sujeciones a situaciones diferentes. La devolu-cion de la responsabilidad de la coherencia se economiza atraves de la fidelidad a un discurso coherente ...

La teoria de las situaciones muestra el caracter insu-ficiente de cada uno de estos contratos para construir unsaber canonico, los conocimientos que 10 acompafian y laspracticas que caracterizan la experimentacion, en el trans-curso de genesis a menudo largas. EI docente, en la relaciondidactica se manifiesta, localmente, a traves de la eleccion,, .

la ruptura y el reemplazo de 10s contratos segiin indicios

y estrategias de regulacion que escapan por el momenta anuestras herramientas de investigacion.

4. Contratos basados en la transformacionde los saberes "antiguos"

-----48 N. de T.: Yease item 4, secci6n B.

Los saberes antiguos en la relacion didactica. La me-moria didactica"

En las estrategias presentadas anteriormente, el saber emi-tido se supone que es "nuevo" y los saberes antiguos sirvenpara presentar las condiciones del aprendizaje 0 construirloa traves de una superposicion e integrarlo segiin una genesisesrnndar dada por la organizacion cultural de los saberes. Esefuncionamiento de los saberes antiguos se corresponderfa conlos aprendizajes que Piaget comparaba con las asimilaciones.Aun en los contratos de condicionamiento, no se supone queel saber se modifique en el transcurso de las repeticiones. Sal-vo tal vez en ciertas interpretaciones de Ia mayeutica, la recu-peracion, correccion, reemplazo, transformacion y rechazo delos saberes antiguos esrn a cargo del alumno.

En los tipos de contratos basados en Latransformacionde Los saberes antiguos, el sistema didactico acepta cues-tionar el orden empfrico, el orden axiomatico 0 la organiza-cion cultural estandar para adaptarse a un orden genetico.Acepta la realidad de los aprendizajes por acomodacion, laexistencia de obstaculos y la necesidad de conocimientosprovisorios, "transpuestos" y revisables en el proceso deensefianza. La articulacion y la genesis de los saberes, co-Iectivas 0 personales, entra en la negociacion del contrato.

El sistema didactico, en este tipo de contratos, acepta almenos una epistemologia segiin la cualla genesis didacticacolectiva de los saberes procede por medio de modificacio-

nes y rupturas, a modo de una genesis historica y no deuna forma lineal por simple acumulacion de saberes. En uncontrato mas complejo, la adaptacion a la ontogenesis y a lapsicologfa del nifio justifica una genesis colectiva apropia-da. Pero el trabajo que realizamos con Centeno demostroque el contrato didactico apropiado implica una memoriadidactica del profesor (y del sistema) que contempla:

- una extension del saber a dominios nuevos, a aplica-ciones que exigen una adaptacion de la herramientaaplicada.

- el examen de los cambios de estado de los saberes,es decir, de las transformaciones de los saberes esco-lares ensefiados que permiten al profesor utilizar el·pasado particular de las clases y gestionar la articu-lacion de los aprendizajes particulares con respectoa la historia de la clase y de los alumnos.

EI docente toma en cuenta la historia del sujeto y lasuya propia, acepta tener una "memoria didactica". En estecaso es necesario un contrato didactico nuevo porque elalumno desarrollo su propia relacion con el saber antiguo alque ya Ie atribuyo un sentido, un lugar en el establecimientode otros saberes. Revisar un saber antiguo exige entoncesun nuevo reparto de responsabilidades entre el profesor yel alumno. A menudo, las razones de la revision no son lasmismas para el profesor y para los alumnos. Puede estarjustificada por razones didacticas:

- un fracaso del aprendizaje precedente,una movilizacion y una adaptacion con vistas aaprendizajes nuevos,

- una reorganizacion que sigue a la historia efectiva delaprendizaje y de los saberes adquiridos en una gene-sis ficticia, donde las causas de aprendizaje son inter-

pretadas en "razon de saber" 0 por razones epistemo-logicas, sin vinculacion con aprendizaje anteriores:

- una reorganizacion de los saberes antiguos, un cam-bio de posicion con respecto a esas adquisicionesprevias, una adaptacion que se manifiesta en nuevasherramientas de decision, en conocimientos, paraconstruir un saber nuevo,

- inversamente, las transformaciones en saberes ins-titucionalizados, organizados canonicamente, deaquellos conocimientos desarrollados en situacionesde accion, de comunicacion 0 de prueba.

• La revelacion: muy frecuentemente el saber antiguoes evocado implfcitamente para realzar, servir de decoradoo de antinomia al saber nuevo y final mente ser "peyorado"o rechazado.

• El concepto de situacion de revision fue introducido porPerrin-Glori an (1992 y 1993). EI saber revisado se supone"identico" al saber convocado. Los hechos principales y lasacciones pasadas son evocados, fonnulados, reconstruidos,racionalizados y justificados en una situacion didactica parti-cular que constituye uno de los instrumentos principales de lainstitucionalizacion. La explicitacion de los hechos conocidospor todos es teoricamente ubicada bajo el control de la memo-ria personal del alumno, pero esta claro que solamente puedefonnular y hacer publico 10 que el repertorio didactico Ie au-toriza. Par otro lado estas situaciones de revision permiten alalumno fonnular sus observaciones y sus recuerdos de formaincompleta y alusiva, ya que el pasado comun pone al profesoren situacion de comprenderlo. Se crea asf una zona "proxima"de aprendizaje donde los conocimientos aparecen bajo formas

provisorias (no evaluables formalmente pero perceptibles parael profesor) antes de su adquisici6n como saberes.

• En el caso de la recuperaci6n, se cues tiona abierta-mente el antiguo saber: en su forma, ya que es objeto de unaformulaci6n 0 una traducci6n, y en su misma constituci6n,ya que es objeto de comentarios, explicaciones .(Mopondi,1995), cuestionamientos, crfticas 0 incluso rechazo. La re-cuperaci6n ubica el antiguo saber en una nueva dialectica.

Los inconvenientes de la buena 0 mala utilizaci6n delos conocimientos antiguos se manifiestan a los docentes ya los administradores de la ensefianza durante los cambiosde clases 0 niveles (Brousseau y Centeno, 1988).

un todo suficientemente amplio (para conjugal' suficientesfuerzas sociales) y prometedor. Aquf evocaremos dichas re-formas de manera muy superficial.

Algunos alumnos que fracasan en la ensefianza esmndarparecen poder ser "recuperados" a traves de intervenciones in-dividuales adaptadas a su caso y a su ritmo (tal es la tesis deBouchet, 1934). El publico cree que la condici6n ideal parala ensefianza serfa la de un preceptor ocupandose de un unicoalumno. Esta idea pesara siempre sobre los responsables de lasreformas. Conjugada con los aportes de la psicologfa, conducea creer que cada alumno pensarfa y aprenderfa de forma dife-rente, jlo cual requerirfa una pedagogfa diferenciada y de cla-ses homogeneas! Este modele es falso y, lIevado al extremo,conduce a decisiones absurdas. Los conocimientos son un biencultural comun que los alumnos solamente pueden aprender apractical' trabajando juntos. La soluci6n esm en un equilibrio.

La teorfa de las situaciones puede ser comparada a la mi-croeconomfa en el senti do que toma en cuenta un reducidonumero de sistemas y parametros. Podemos decir que estudiamodel os de relaciones interindividuales 0 interinstitucionalesy las modalidades de aprendizaje especfficas de los diferen-tes conocimientos en un nivel microdid,lctico. Podrfa parecermuy ambicioso querer utilizarJa para describir y preyer laevoluci6n de las practicas cognitivas de docentes e institucio-nes, ya que este estudio exigirfa mas bien una macrodidacti-ca. Sin embargo, contribuy6 a poner en evidencia y preyer envarios casos .1osefectos a largo plazo de reformas educativasamplias y profundas. Estas reformas, que se suceden desdehace cuarenta afios, tenfan como fin oficial mejorar la ense-fianza. Todas estaban motivadas porIa correcci6n de ciertascaracterfsticas"anteriores" del sistema educativo identifica-das y declaradas como alamlantes. Cada una de ellas surgiade un haz de propuestas e ideologfas a veces debilmente re-lacionadas, si no contradictorias, pero necesarias para formal'

El modelo comercial: objetivos y evaluaciones.Sus consecuencias

El medio para prevenir la deriva, para controlar y homo-geneizar la ensefianza permitiendole a la vez adaptacionesy elecciones pedag6gicas apareci6 luego de los trabajos delMathematical Study Group (MSG) para el National Longi-tudinal Studies on Mathematics Abilities (NLSMA). La de-terminaci6n de los objetivos (Bloom, 1975) y los metodosde evaluaci6n (Guilford, Cron'bach del MSG, etc.) tuvierongran exito debido a sus metMoras industriales y administra-tivas. La disimetrfa entre las posibilidades de tratar los ob-

jetivos de bajo nivel y de nivel elevado, conduce a ignorar eldesarrollo -no obstante necesario- de los conocimientos nodescontextualizados del alumno (Vigotsky, 1983). Los pro-fesores y los padres subestiman las capacidades del alumnoy los programas escolares retoman en el siguiente nivel losmismos proyectos de aprendizaje que en el ni.velanterior.

De todas modos, hemos estudiamos las oposicionesentre dos elecciones opuestas: i fa homogeneizacion de facultura 0 fa adaptacion a fas demandas sociafes diferencia-das? (las matematicas esotericas y exotericas 0 las matema-ticas humanistas); ise prioriza ef sentido 0 faforma?, ielrigor 0 a fa eficacia? (las matematicas modernas). iEL inte-res principaL esta en el texto deL saber 0 en LosprobLemas?(la heurfstica y el regreso de la geometrfa), i el aprendizajepor condicionamiento 0 el constructivismo?

Es diffcil, luego de las preguntas anteriores, proponer unaconclusi6n para este texto. Sin embargo, inspirado en unartfculo acerca de 10 que la didactica de las matemMicaspuede aportar a un docente49

, retorno algunas de esas re-ftexiones para dejar abierto el debate acerca de la funci6n yla utilidad de estas construcciones te6ricas -como la teorfade las situaciones didacticas- para la practica de la ense-fianza y la mejora de los aprendizajes de las matematicas.

a) Para LosprofesoresUn profesor espera que la didactica Ie proporcione al

menos 10 esencial de las tecnicas especfficas de las nocio-nes que se ensefian, tecnicas compatibles con sus concep-ciones educativas y pedag6gicas generales.

- tecnicas locales: preparaci6n de clases, problemas yejercicios, de materiales para la ensefianza, textos,programas para computadora, instrumentos de ges-

tion como objetivos y medios de evaluacion (paratodos los alumnos 0 exclusivos para alumnos quepresentan dificultades especfficas).

- tecnicas mas "globales": curriculum para todo unsector de las matemciticas, metodos "listos para usar-se", programas para varios grados escolares.

EI profesor desea saber, por ejemplo, como hacer posi-ble una verdadera actividad cientffica en su clasesin sacrificarel tiempo de los alumnos en tareas que no tengan virtudesformadoras. Situaciones como "la ampliacion del rompecabe-zas"50muestran que los alumnos ·pueden "construir" un saberque no les fue ensefiado y, en cierta medida, pueden ponerIoen juego para resolver nuevos prohlemas. Pero esta situacionno es transferible a ninguna otra nocion matematica.

Los profesores tambien desean saber como lograr quelos alumnos aprendan a hacer calculos a mano, siendo queel uso intensivo de la calculadora se ha trivializado.

Como sucede can todos los objetos tecnicos, las res-puestas presentanln unicamente cualidades relativas y noevitaran el fracaso si el profesor no posee las competenciasnecesarias para ponerlas en marcha.

Asimismo, el profesor puede esperar de la didactica co-nocimientos relativos a los diferentes aspectos de su traba-jo acerca de:

- las condiciones que deben crearse en las situacionesde ensefianza 0 aprendizaje;

- las condiciones que deben mantenerse en la gestiono conduccion de la ensefianza;

- los alumnos, de sus comportamientos, aprendizajesy resultados en las condiciones especfficas de la en-sefianza;y

---50 Brousseau y N. Brousseau (1987).

l- los fenomenos de didactica a los que alumnos y pro-

fesores se yen confrontados con todos los partici-pantes de la comunicacion de los saberes.

En otro orden de cosas, Ia didactica puede, a Ia larga,ayudar al profesor a modificar su estatuto, su formacion ysus relaciones con la sociedad:

- actuando directamente sobre el estatuto de Ios cono-cimientos que utiliza, Ios cuales pasan de ser un arte a

.ser tecnicas que se apoyan en un campo cientffico;- actuando por sobre Ios conocimientos de sus colegas

profesionaIes, de Ios padres y el publico;- desarrollando mayores posibilidades para Ios ciuda-

danos en general de utilizar la ensefianza de maneramas satisfactoria; y

- dando mayores posibilidades a los poderes public oso privados de gestionar Ia ensefianza a traves de me-dios mas apropiados.

Cuando Ia didactic a explica las causas reales de una di-ficultad de ensefianza a traves de un fenomeno 0 de una ley,alivia a los profesores de una parte de la sospecha, ilegftima,de incompetencia que pesa sobre ellos. Pero, en contraparti-da, Ia didactica precisa sus responsabilidades y proporcionamedios de regulacion de su trabajo que pueden ser sentidoscomo restrictivos. Esto ocurre especialmente cuando Ia di-dactica se hace eco de y promueve prescripciones que se in-fieren directamente y sin analisis de los resultados obtenidosen otras disciplinas 0 cuando retoma sin un analisis serio Iosjuicios de tal 0 cual organismo 0 grupo de presion. La ense-fianza es el ultimo refugio de todos los fantasmas colectivoso individuales, el ultimo campo cerrado en el que pueden eo-frentarse, con la mejor fe, todas las ideologfas. Para gestionarla ensefianza, la sociedad Ie aplica arbitrariamente modelos

inadecuados: el consumismo, el productivismo industrial, elutopismo polftico 0 religioso, el cientificismo ... En estas con-diciones, los profesores, sobrecargados de obligaciones in-compatibles, prescripciones inaplicables y representacionesex6ticas, pierden su capacidad de controlar los panimetrosfundamentales de su acci6n, cuando no aprovechan la cir-cunstancia para descargarse de aquello que a ellos competeasegurar y que desaparece de la atenci6n general.

Examinemos por un momento la ideologia de la "inno-vaci6n" que en Francia y otros paises campe6 durante muchotiempo. Una innovaci6n interesa a cierto numero de profeso-res pOl"quelos interroga acerca de sus pnicticas y los ayudaa luchar contra la obsolescencia. Interesa a todos aquellosque giran en tome de la ensenanza: formadores, editores, res-ponsables diversos, dehido a que nutre su discurso y justificasu intervencion. Interesa a todos aquellos que quieran dar aentender, por algun motive, que la ensenanza esta inadap-tada, etc. Sin embargo, al hacer de 10 novedoso el criterioesencial para valorar las acciones propuestas, se destruyenlas posibilidades de exito de las mismas y se muestra, al mis-mo tiempo, que no es al mejoramiento de la ensenanza a 10que se aspira. Efectivamente, 10 propio de una innovaci6n esdescalificar una practica antigua para reemplazarla por otra yno para corregirla. Se tiene la ilusion empirista de que entrelas multiples producciones de la innovaci6n, los profesoresrecogeran las mas adaptadas. Pero una innovaci6n ahuyentaa otra, critica a la precedente, pero no la regula. Cieltos co-nocimientos no se pueden ensefiar y desaparecen, pero noporque se haya decidido que ya no son utiles, sino porque lascascadas de innovaciones hicieron desaparecer los ecosiste-mas que les permitian existir como objetos de ensefianza. Lasmodas pasan 0 regresan sin verdaderos progresos. La ideolo-gia de la innovaci6n aniquila la innovacion.

--It

I1j La dicho no conduce a apoyar el conservadurismo didacti-

co: este presenta otros inconvenientes igualmente cuestionables.

b) Para fa formaci6n de maestrosAl proporcionar a los profesores una ciencia integra-

dora -a traves de los resultados de la investigacion cientf-fica- y una memoria propia -al considerar la experienciaadquirida-, la didactica permite la creaci6n de una culturacomun. La dependencia de la ensefianza respecto de nume-rosos campos del conocimiento conduce a una saturaciondesalentadora en la formacion. La didactica reduce las re-dundancias y facilita la organizaci6n de curs os centrados enla principal actividad a la que se apunta en la ensefianza.

Apoyada en un edificio cientifico, la ingenierfa que la di-dactica propondra no estara necesariamente acompafiada de unapractica mas elegante que la de los mejores maestros, pero podramejorar los resultados del conjunto y evitar algunas catastrofes.

Por otra parte, la ensefianza de la didactica a los maes-tros en formacion presenta dificultades que provienen delhecho de que la transposicion didactica de la didactica mis-ma es, todavia, un trabajo por hacer. El volumen y la com-plejidad de los resultados de investigaciones fragmentarias,dispersos en numerbsos campos disciplinarios dispares y aveces confrontados, ha crecido mucho mas aprisa que 10que dura la formaci6n. E incluso mas aprisa que la posi-bilidad de jerarquizar adecuadamente dichos resultados entextos de sintesis para los principiantes.

Para comprender y utilizar uno de estos resultados en unaclase, se requieren conocimientos previos sobre todos los de-mas temas, conocimientos que solo algunos maestros poseen.

Es necesario aceptar y respetar la existencia necesariade una "didactica para principiantes", que garantice un com-portamiento profesional mfnimo, que pueda cohabitar en la

formacion con una formacion teorica que prepare para un usomas refinado de saberes mas avanzados de la didactica. Laproyeccion de todas las ideas "nuevas" es gratificante para elformador de maestros, pero llega a suceder que este no puedapreyer 10 que haran sus estudiantes. Inversamente, el utiIita-rismo a corto plazo en la formaci on de maestros conduce a 10peor: a la ilusion de la simplicidad y a la imposibilidad paracomprender y tratar el origen de los fracasos.

c) Para los padres de familia y para el publicol,Que es posible? l,Que es ilusorio 0 falaz? Todas las re-

formas se topan con las insuficiencias y las diferencias enlas concepciones epistemologicas de los actores sociales. Elcontrol del publico sobre la ensenanza es legftimo, pero re-quiere de un mfnimu de conocimientos e informaciones y detoda una jerarqufa social y cientffica que trate los diferentesniveles de conocimiento y regulacion de los actosdidacticos.Este modelo existe en el campo de la medicina: eI vocabula-rio del biologo, el del medico, y el del enfermo difieren entresf. Cada uno tiene su necesidad y un campo de eficacia en eluso y la regulacion de la medicina. Ni la confianza ciega en elcuerpo profesional, ni la suspicacia generalizada son las me-jores soluciones, pero para elIo es necesario que se man ten-gan repertorios didacticos mfnimos, que se utilicen, se jerar-quicen y se "reconozcan" como legftimos. Desde este puntode vista, la difusion universal de la opinion de cada uno sobretodos los tenias, propiciada por los medios de comunicacionmodernos, tiende a destruir el funcionamiento social de esosrepertorios. Con las mejores justificaciones ideologicas, des-truye las transposiciones y plantea problemas dudosos en lagestion de todos los sistemas tradicionales fundamentales.

Por cierto, a partir de este modelo medico, algunos pa-dres de familia tienden a concebir y a organizar la regula-

cion de la ensefianza de sus hijos. Conciben las dificultadescomo enfermedades para las cuales hay que encontrar unremedio. Llegado el caso, recurren a instituciones especf-ficas que se complacen, cuales medicos, en hacer pasar sutrabajo como un medio para cuidar la salud. De esta mane-ra, cada vez mas nifios y cada vez mas actividades se retirandel proyecto social comun. La ensenanza colectiva esta con-taminada: hemos identificado una tendencia nftida a reducirlas clases al "apoyo remedial" para los errores individualesque los alumnos cometen en sus ejercicios.

Estas acciones se legitiman por medio de una concepcionindividualista y consumista de la ensefianza, concepcion quese extiende cada vez mas y acrecienta la confusion. Lo que seaprende en la escuela no es unicamente aquello que cada ninonecesitacl personal mente en el futuro para sobrevivir (esto na-die puede saberIo). En primer lugar, existe la cultura que cadasociedad considera como el mfnimo necesario para cada unode sus miembros aduItos, y tambien existe el servicio civilque los nifios deben cumplir superando los desaffos del apren-dizaje. Estos son los elementos que permitiran a la sociedadencontrar los diferentes tipos de especialista que necesite. Unalumno no aprende matemMicas solo por sus necesidades, sinotambien para ofrecer a la sociedad una oportunidad de encon-trar, en un momenta dado, tanto a los matematicos como a losmodestos usuarios de las matemMicas que necesitara.

d) Para la ciencia mismaMejorar la produccion de conocimientos cientfficos sin

perder el control de su validez constituye una preocupacionpara la comunidad y en especial para los matem<iticos. Paraque la comunicacion y la reestructuracion de saberes puedandesarrollarse, es necesario que estas dos actividades entrenen el proceso social cientffico de evaluacion. La didactica

tendrfa 1a vocaci6n de ser e1 medio para dicho ingreso sireso1viera algunos problemas te6ricos que se Ie plantean.

Desde el momenta en que tenemos que ver con 1aorga-nizaci6n de 10s saberes, hay que discutir con sus producto-res. Por 10 tanto, e1 seno de 1acomunidad cientffica es don-de 10s didactas y 10s profesores debemos ganar legitimidadpara reorganizar 10s saberes ensefiab1es. De hecho, estasreorganizaciones forman parte de Ia actividad cientffica yello se olvida frecuentemente. Dichas reorganizaciones im-puestas por 1a comunicaci6n y 1a ensefianza de Ias cienciasson necesarias y contribuyen fuertemente a su evo1uci6n.

Este punto exp1ica por que la didactica de una discipli-na cientffica debe subsumirse a la responsabi1idad de dichadisciplina, aun si puede ser el objeto de trabajo de didactasde origen cientifico diverso.

La gran dificultad de esta funci6n de Ia didactic a es quepretende ensefiar a investigadores un arte que ell os practi-can inconscientemente en su trabajo y de una manera queIos satisface. La didactic a pretende hacerlo apoyandose,ademas, en una ciencia que dichos profesionales naturaI-mente consideran evidente 0 extrafia, y por 10 tanto inutil.

e) Para el conjunto de la sociedadEs en Ia ciencia, y mas precozmente en Ias matemliti-

cas, donde 10s alumnos pueden aprender c6mo establecer ygestionar Ia verdad cientffica en una sociedad democratica.Los medios para realizar este proyecto no son faciles deinventar ni de poner en marcha, pero es aun mas diffcil in-troducir este proyecto y sus consecuencias en Ia cultura. Sinembargo, unicamente Ia penetraci6n de Ia didactica en Iacultura permitira mejorar Ie gesti6n polftica de Ia difusi6nde Ios saberes y volver mas democratico su uso y creaci6n.

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