Anlisis Matricial IX

Transformacin de una matriz simtrica en una tridiagonal similar

con los mismos autovalores

El mtodo consiste en premultiplicar y postmultiplicar la matriz por una matriz de Householder :

La es obtenida de forma parecida (aunque con cambios importantes) a la del mtodo de la factorizacin . Nuestro objetivo es utilizar matrices de Householder para convertir una matriz simtrica en una matriz tridiagonal, similar, simtrica y con los mismos autovalores.

Sea = una matriz simtrica:

1 =

02131

1

; 1 =

0100

; 1 = 1 1 =

021 1

31

1

Mtodo 1

Donde:

1 es tal que 1 = 212 + 31

2 + + 12

1 = sign(21) 1

= 1 =

11 12 13 121 22 23 231

1

32

2

33

3

3

,

donde = , = 1, . . ,

1 = =

4 2 1 22 3 0 212

02

2 1 1 1

;

donde = , = 1,2, 3, 4.

1 =

0212

; 1 =

0300

; 1 = 1 1 =

0512

1 = sign(2) 22 + 1 2 + 2 2 =3

Ejemplo 1

El primer vector de Householder es 1:

Con 1 construimos una matriz de Householder 1 . La matriz 11 tendr como primera columna:

11100

La matriz = tendr como primera fila: 11 1 0 0

2 es simtrica y similar a 1. Sea 2 tal que:

2 = sign(32(2)

) 32(2) 2

+ 42(2) 2

+ + 2(2) 2

2 =

11 1 0 0

1 22(2)

23(2)

2(2)

00

32(2)

2(2)

33(2)

3(2)

3(2)

(2)

1 =

4 2 1 22 3 0 212

02

2 1 1 1

:1=3

4.0000 -2.0000 1.0000 2.0000 3.0000 -3.3333 1.3333 1.0000 0.0000 1.2667 1.7333 0.4000 0.0000 0.5333 0.4667 -2.2000

1 1 =

= :

4.0000 3.0000 0.0000 0.0000 3.0000 3.3333 0.0000 -1.6667 0.0000 0.0000 1.9867 0.9067 0.0000 -1.6667 0.9067 -1.3200

2 =

2 es simtrica y similar a 1. Sea 2 tal que:

2 = sign 0 02 + 1.6667 2 = 1.667

Entonces, 2 , el segundo vector de Householder es:

2 =

00

32(2)

42(2)

2(2)

; 2 =

00200

; 2 = 2 2 =

00

32(2)

2

42(2)

2(2)

2 =

000

1.6667

; 2 =

00

1.66670

;

2 = 2 2 =

00

1.66671.6667

2 =

11 1 0 0

1 22(2)

23(2)

2(2)

00

32(2)

2(2)

33(2)

3(2)

3(2)

(2)

; 2= 1.667

4.0000 3.0000 0.0000 0.0000 3.0000 3.3333 0.0000 -1.6667 0.0000 0.0000 1.9867 0.9067 0.0000 -1.6667 0.9067 -1.3200

2 =

Con 2 construimos la matriz de Householder 2. La matriz 22 tendr como segunda columna:

1

22(2)

200

La matriz = tendr como segunda fila:

1 22(2)

2 0 0

4.0000 3.0000 0.0000 0.0000 3.0000 3.3333 0.0000 -1.6667 0.0000 -1.6667 0.9067 -1.3200 0.0000 0.0000 1.9867 0.9067

22 =

2 =

11 1 0 0

1 22(2)

23(2)

2(2)

00

32(2)

2(2)

33(2)

3(2)

3(2)

(2)

; 2= 1.667

4.0000 3.0000 0.0000 0.0000 3.0000 3.3333 0.0000 -1.6667 0.0000 0.0000 1.9867 0.9067 0.0000 -1.6667 0.9067 -1.3200

2 =

=

4.0000 3.0000 0.0000 0.0000 3.0000 3.3333 -1.6667 0.0000 0.0000 -1.6667 -1.3200 0.9067 0.0000 0.0000 0.9067 1.9867

3 =

Observa que 2 no altera la primera columna de 2

3 es simtrica y similar a 1 con dos columnas y filas en forma tridiagonal.

Hemos obtenido una matriz tridiagonal simtrica similar a 1, con = 11, y

= un producto de matrices de Householder y, por tanto, ortogonal, por lo que* = 1. Adems 1 y tienen los mismos autovalores:

1 = 11

1=

1 0 0 0 0 -0.6667 0.3333 0.6667 0 0.3333 0.9333 -0.1333 0 0.6667 -0.1333 0.7333

2 = 22

2=

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0

2 = 0.5 2 2 = 2.7779 1 = 0.5 1

1 = 15

= 21 =

1 0 0 0 0 -0.6667 0.3333 0.6667 0 0.6667 -0.1334 0.7333 0 0.3333 0.9333 -0.1333

= 1 =

4.0000 3.0000 0.0000 0.0000 3.0000 3.3333 -1.6667 0.0000 0.0000 -1.6667 -1.3200 0.9067 0.0000 0.0000 0.9067 1.9867

* = 1 = 21112 = 222 = 3

eig() 6.8446 -2.1975 1.0844 2.2685

eig(1) -2.1975 1.0844 2.2685 6.8446

Clculo de autovalores de una matriz simtrica mediante la Factorizacin

Se trata de computar los autovalores de, matriz simtrica, mediante un mtodo basado en la factorizacin .

Mtodo 2 Sea una matriz simtrica . La convertimos en una matriz tridiagonal simtrica con los mismos autovalores, mediante el procedimiento de la seccin anterior, mtodo 1, y la denotamos por A1. Procedemos a la factorizacin de A1:

1 = 11 Definimos 2 = 11 y observemos que:

2 = 1111

Por lo que 2 es similar a 1 y es simtrica. Continuando de esta forma, procedemos a la factorizacin de 2

2 = 22

Y definimos 3 = 22 que ser similar a 2 y, por lo tanto, similar a 1. Continuando de esta forma, obtenemos una sucesin de matrices similares y simtricas 1, 2, 3, que, como 1 es tridiagonal, todas ellas lo son.

Este procedimiento lo tenemos en el siguiente teorema (que proporcionamos sin demostracin). Nos dice es que las entradas diagonales de la sucesin anterior de matrices tiende a los autovalores de la matriz A.

Teorema (Francis) Sea A1 una matriz simtrica tridiagonal y sea Am el paso emsimo en la aplicacin de la factorizacin tal como se ha descrito en el mtodo 2:

1()

2()

0 0

2()

2()

3()

0

0 3()

3()

0

()

0 0 ()

()

Entonces lim

()

= 0 y ()

converge con a un autovalor de A1.

=

Sea la matriz

TD=simetric2tridiag(A) Ejemplo 2

[Q,R]=fact_QR(TD)

. La transformamos en una matriz tridiagonal simtrica:

eig(): 2.1975 1.0844 2.2685 6.8446

eig(): 2.1975 1.0844 2.2685 6.8446

-5.0000 -4.4000 1.0000 0.0000 0 -1.8785 -0.5560 -0.8044 0 0 2.0083 -0.5237 0 0 0 1.9615

=

2 = =

6.6400 1.1271 -0.0000 0.0000 1.1271 0.2001 1.7818 0.0000 0.0000 1.7818 -0.5903 -0.8856 0.0000 -0.0000 -0.8856 1.7502

-0.8000 0.2768 0.4750 0.2403 -0.6000 -0.3691 -0.6333 -0.3204 -0.0000 0.8872 -0.4117 -0.2083 0.0000 -0.0000 -0.4515 0.8923

=

4.0000 3.0000 0.0000 0.0000 3.0000 3.3333 -1.6667 0.0000 0.0000 -1.6667 -1.3200 -0.9067 0.0000 0.0000 -0.9067 1.9867

=

4 -2 1 2 -2 3 0 -2 1 0 2 1 2 -2 1 -1

=

3 =

[, ] = fact_(2)

..

eig(): 2.1975 1.0844 2.2685 6.8446

[, ] = fact_(308)

-0.9859 0.0008 -0.1495 -0.0752 -0.1674 -0.0048 0.8806 0.4432 0.0000 -1.0000 -0.0043 -0.0022 0.0000 0.0000 -0.4496 0.8932

=

-6.7350 -1.1447 -0.2982 -0.0000 0 -1.7818 0.5818 0.8856 0 0 1.9698 -0.7831 0 0 0 1.5653

=

-1.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -1.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

=

-6.8446 0 0 0 0 -2.2685 0 0 0 0 2.1975 0 0 0 0 1.0844

=

6.8446 0 0 0 0 2.2685 0 0 0 0 -2.1974 0 0 0 0 1.0844

309 = =

Ahora antes de pasar al siguiente tema, te conviene hacer los ejercicios de la seccin:

Ejercicios Anlisis Matricial IX