algebra lineal y teoria matricial

F A C U L T A D D E C I E N C I A S Y T E C N O L O G I A

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A

RED NACIONAL UNIVERSITARIA

SYLLABUS

FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA

Carrera Ingeniera de Sistemas, Telecomunicaciones, Gas y Petrleo y

Comercial

ALGEBRA LINEAL

SEGUNDO SEMESTRE

Lic. ADM. Edgar Martnez Caldern Ing. Kasandra Julie Vargas Rocha



Gestin Acadmica I/2010

UDABOL UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA

Acreditada como PLENA mediante R. M. 288/01

VISION DE LA UNIVERSIDAD

Ser la Universidad lder en calidad educativa.

MISION DE LA UNIVERSIDAD

Desarrollar la Educacin Superior Universitaria con calidad y competitividad al servicio de la sociedad.

Estimado(a) estudiante: El syllabus que ponemos en tus manos es el fruto del trabajo intelectual de tus docentes, quienes han puesto sus mejores empeos en la planificacin de los procesos de enseanza para brindarte una educacin de la ms alta calidad. Este documento te servir de gua para que organices mejor tus procesos de aprendizaje y los hagas mucho ms productivos. Esperamos que sepas apreciarlo y cuidarlo.



I.

SYLLABUS

Asignatura: lgebra Lineal

Cdigo: MAT 111A

Requisito: MAT 101A

Carga Horaria: 80

Crditos: 8

II. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA. Conocer e inferir soluciones a travs de la aplicacin de las ciencias exactas, especficamente en el rea de conocimiento relacionado con el clculo matricial y su uso en el estudio de los espacios vectoriales, aplicaciones lineales, formas cuadrticas y la geometra afn.

El lgebra Lineal se constituye en uno de los pilares fundamentales del desarrollo del pensamiento y razonamiento abstracto, la bsqueda de soluciones a problemas de carcter profesional a travs de las diferencias tcnicas, que permitirn el desarrollo del pensamiento alternativo, reflexivo e interpretativo del objeto de estudio que en particular aborda cada especialidad.

III. PROGRAMA ANALTICO DE LA ASIGNATURA. UNIDAD 1: SISTEMAS DE ECUACIONES, MATRICES Y DETERMINANTES.

Tema 1. SISTEMAS LINEALES.

1.1 Definiciones 1.2 Sistemas compatibles e incompatibles

1.3 Representacin matricial 1.4 Mtodos de solucin 1.5 Sistemas homogneos

Tema 2. MATRICES

2.1 Definiciones bsicas. 2.2 Operaciones algebraicas y propiedades de matrices.

2.3 Matrices especiales: Matriz nula, matriz transpuesta, matriz identidad, matriz diagonal, matriz escalar, matriz triangular superior e inferior, matriz simtrica y antisimtrica, matriz idempotente, matriz involutiva, matriz nilpotente, matriz permutable, matriz ortogonal, matriz peridica.

2.4 Operaciones elementales de fila y columna. 2.4.1 Eliminacin de Gauss. 2.4.2 Eliminacin de Gauss - Jordn. 2.4.3 Rango o caracterstica de una matriz. 2.4.4 Matriz inversa. 2.5 Matrices elementales: Matriz regular, matriz singular.



2.6 Ecuaciones matriciales.

Tema 3. DETERMINANTES 3.1 Definiciones 3.2 Propiedades 3.3 Determinante del producto de dos matrices 3.4 Mtodos de solucin. 3.4.1 Desarrollo de cofactores. 3.4.2 Mtodo de lnea. 3.4.3 Desarrollo de La Place. 3.4.4 Regla de Chio 3.5 Regla de Cramer. Matriz adjunta e inversin de matrices

UNIDAD 2: ESPACIOS VECTORIALES, TRANSFORMACIONES LINEALES.

Tema 4. ESPACIOS VECTORIALES

4.1 Vectores en el plano y en el espacio, operaciones con vectores. 4.2 Espacio Euclidiano. Definicin y propiedades bsicas. 4.3 Subespacios. 4.4 Combinacin lineal y espacio generado. 4.5 Dependencia e Independencia lineal. 4.6 Bases y dimensin.

Tema 5. TRANSFORMACIONES LINEALES

5.1 Definiciones. Propiedades 5.2 Ncleo e imagen. 5.3 Dimensin del ncleo y de la imagen. 5.4 Transformaciones lineales inversas. 5.5 Representacin matricial de una T.L.

UNIDAD 3: VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS. FORMAS CANONICAS. FORMAS CUADRATICAS

Tema 6. VALORES Y VECTORES PROPIOS.

6.1 Valores, vectores y espacios propios. 6.2 Polinomio caracterstico de una matriz. 6.3 Matrices semejantes: diagonalizacin de matrices. 6.4 Matrices simtricas: diagonalizacin de matrices.

Tema 7. FORMAS CANONICAS.

7.1 Formas Triangulares 7.2 Invariancia Descomposiciones en suma directa invariante 7.3 Descomposicin primaria 7.4 Operadores nilpotentes 7.5 Formas cannicas de Jordn Subespacios cclicos



7.6 Forma cannica racional Espacio cociente Tema 8. FORMAS CUADRATICAS.

8.1 Formas bilineales Formas bilineales y matrices 8.2 Formas bilineales alternadas Formas bilineales simtricas Formas cuadrticas 8.3 Formas bilineales simtricas reales. Ley de inercia Formas hermticas IV. SISTEMA DE EVALUACIN DE APRENDIZAJES.

EVALUACIN PROCESUAL (50%) EVALUACIN DE RESULTADOS (50%)

Se tomara en cuenta el promedio de los siguientes tems para cada evaluacin parcial:

- Resolucin y entrega practicas - Resolucin y entrega de Work Papers - Trabajo con Difs - Participacin en clases - Presentacin de archivador de la

materia

Se tomara en cuenta los siguientes tems para cada evaluacin parcial y evaluacin final:

Examen de la materia

Nota: El estudiante debe de tener el 80 % de asistencia durante el semestre para estar debidamente habilitado a rendir su evaluacin final

V. BIBLIOGRAFA.

LISPCHUTZ, SEYMOUR, "Algebra lineal, 2da. Ed., Edit. McGraw Hill, (Serie Schaum), Espaa, 1998

VEGA B. F. CHUNGARA C. V., lgebra Lineal, 5ta. Ed., Editorial, U.M.S.A., La Paz Bolivia, 2001.

SOTO M., VICENTE J. Prentice Hall, Algebra Lineal con MATLAB y MAPLE. HERNNDEZ, E., lgebra y Geometra", Addison-Wesley Iberoamericana. ROJO, J. Y MARTN, I. McGraw-Hill, Ejercicios y Problemas de lgebra Lineal, ROJO ARMANDO, lgebra I, 10ma Ed. Editorial El Ateneo 398 p, Buenos Aires, 1986



VI. CONTROL DE EVALUACIONES

El seguimiento y evaluacin a los estudiantes de la asignatura se regir en las metodologas de diagnstica, procesal y de resultados; cada una de las cuales se regir en normas y reglamentos establecidos por la Universidad a fin de garantizar al aprendizaje de los estudiantes.

1 evaluacin parcial Fecha Nota 2 evaluacin parcial Fecha Nota Examen final Fecha Nota

APUNTES



VII. PLAN CALENDARIO.

SEMANA DEL AL ACTIVIDADES OBSERVACIONES

1ra. 05-abr 10-abr Avance de

materia TEMA 1. SISTEMAS LINEALES.

2da. 12-abr 17-abr Avance de

materia TEMA 1. SISTEMAS LINEALES.

3ra. 19-abr 24-abr Avance de

materia TEMA 2. MATRICES

4ta. 26-abr 01-may Avance de

materia TEMA 2. MATRICES

5ta. 03-may 08-may Avance de

materia TEMA 3. DETERMINANTES

6ta. 10-may 15-may Avance de

materia TEMA 3. DETERMINANTES Presentacin de Notas

7ma. 17-may 22-may Avance de

materia Inicio Primera Evaluacin Parcial Presentacin de Notas

8va. 24-may 29-may Avance de

materia Conclusin Primera Evaluacin

Parcial

9na. 31-may 05-jun Avance de

materia TEMA 4. ESPACIOS VECTORIALES

10ma. 07-jun 12-jun Avance de

materia TEMA 4. ESPACIOS VECTORIALES

11ra. 14-jun 19-jun Avance de

materia TEMA 5. TRANSFORMACIONES LINEALES

12da. 21-jun 26-jun Avance de

materia Inicio Segunda Evaluacin Parcial Presentacin de Notas

13ra. 28-jun 03-jul Avance de

materia Conclusin Segunda Evaluacin Parcial Presentacin de Notas

14ta. 05-jul 10-jul Avance de

materia TEMA 5. TRANSFORMACIONES LINEALES


materia TEMA 6. VALORES Y VECTORES PROPIOS.


materia TEMA 7. FORMAS CANONICAS.

17ma. 26-jul 31-jul Avance de

materia TEMA 8. FORMAS CUADRATICAS

18va. 02-ago 07-ago Inicio Evaluacin Final Presentacin de Notas

19na. 09-ago 14-ago Conclusin Evaluacin Final Transcripcin de Notas

20va. 16-ago 21-ago Evaluacin del segundo turno Presentacin de Notas

FERIADOS

2 de abril Viernes Santo

1 de mayo Da del trabajo

3 de junio Corpus Cristi



VIII. PLANIFICACIN DE ACTIVIDADES.

CONTENIDO MNIMO

CONTENIDO ANALTICO ACTIVIDAD PERIODOS

ACADMICOS RECURSOS

DIDACTICOS

MATEMATICAS Y LA

INFORMATICA

Objetivos

Importancia

Rol Limitaciones

CLASE MAGISTRAL

8 PERIODOS

Material de apunte

Computador Proyector

VECTORES Y MATRICES

Matrices Determinantes

CLASE MAGISTRAL

6 PERIODOS

Pizarra

Material de apunte

Computado



WORK PAPER # 1

PROGRAMA ALGEBRA LINEAL

No. D No. DE PROCEDIMIENTO: APRO 07 No. DE HOJAS: 2

ELAB ELABOR: Ing. Eloy Terceros Urquieta CDI CDIGO: MAT 111A

TTULO DEL WORK PAPER:

Sistemas de Ecuaciones Lineales

DPTO.: Facultad de Ciencias y Tecnologa

DESTINADO A:

DOCENTES ALUMNOS X ADMINIST. OTROS

OBSERVACIONES: Carrera Ingeniera de Sistemas, Telecomunicaciones, Comercial y Gas y Petrleo. Asignatura: Algebra Lineal

FECHA DE DIFUSIN: marzo del 2010

FECHA DE ENTREGA: marzo del 2010



SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Se pretende que el alumno, que ya sabe resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas, pueda mejorar su comprensin del significado de las operaciones algebraicas que realiza para resolverlas y relacione los aspectos algebraicos con los geomtricos, de forma que le facilite el aprendizaje de sistemas con ms ecuaciones y con ms incgnitas. Se pretende tambin que se familiarice con la terminologa utilizada en este campo y la emplee adecuadamente: ecuacin, grado, incgnita, resolucin, solucin, ecuaciones equivalentes, sistema, sistema compatible, sistema compatible indeterminado, sistema incompatible, nmero de soluciones, etc. OBJETIVOS Identificar y obtener las graficas de las ecuaciones lineales con dos incgnitas. Identificar y resolver grficamente sistemas de ecuaciones lineales con dos incgnitas. Analizar e identificar las posibilidades que pueden presentarse al resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incgnitas. Determinar la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales con dos incgnitas y e interpretarlo geomtricamente. Analizar y resolver sistemas de ecuaciones lineales con parmetros. 1.- Cambia los valores de a, b y c y observa que el conjunto de soluciones (x,y) de la ecuacin lineal con dos incgnitas es una recta. 2.- Contesta en el cuaderno a las siguientes preguntas:

a) Habr alguna ecuacin lineal con dos incgnitas que no tenga por solucin los puntos de una recta? b) Cualquier recta del plano tendr asociada siempre una ecuacin lineal? RECTAS Y ECUACIONES LINEALES 1.- Vamos a ver en esta escena que cualquier recta siempre tiene una ecuacin lineal asociada. 2.- Puedes desplazar los puntos A y B arrastrndolos con el ratn. El parmetro coord. enteras permite alternar entre moverse por coordenadas enteras o decimales. 3.-Mueve los puntos a cualquier posicin y observa que para cada recta se obtiene una ecuacin. 4.- Escribe en el cuaderno cmo son las ecuaciones de las rectas horizontales, las ecuaciones de las rectas verticales, las que pasan por el origen y las que cumplen dos de estas cosas a la vez. 5.- Analiza si existir ms de una ecuacin para cada recta o, por el contrario, cada recta tiene asociada una sola ecuacin. Sistemas de ecuaciones Comprender el concepto de ecuacin como una igualdad en la que hay que hallar el valor de la incgnita que la hace verdadera. Identificar la transposicin de trminos en una ecuacin como mtodo para transformar una ecuacin en otra equivalente ms sencilla. Reconocer un sistema de ecuaciones como dos ecuaciones con dos incgnitas relacionadas entre s. Conocer los distintos mtodos de resolucin de sistemas de ecuaciones lineales. Aplicaciones. Resolucin de problemas de la vida real mediante el uso de rectas, sus ecuaciones y sus posiciones relativas. Incorporacin del lenguaje algebraico a la forma de proceder habitual. Al implantar aplicaciones respecto a las ecuaciones lineales podremos tener la confianza de los alumnos en sus propias capacidades, fomentando la autonoma de pensamiento. Curiosidad del alumno por el planteamiento y resolucin de problemas. Gusto por la sistematizacin y secuenciacin de la resolucin de un problema.



PREGUNTAS: 1.- Podra describir si es posible resolver sistemas de ecuaciones lineales, aplicando el tema anterior y para que tipos de ecuaciones es posible? . . 2.- A parte de los mtodos tradicionales de resolucin de sistemas de ecuaciones lineales, existen otros, en funcin a este tema podra describir? . .



WORK PAPER # 2


No. DE PROCEDIMIENTO: APRO 07 No. DE HOJAS: 2

ELABOR: Ing. Eloy Terceros Urquieta CDIGO: MAT 111A

TTULO DEL WORK PAPER: Vectores y Matrices


DESTINADO A:


OBSERVACIONES: Carrera Ingeniera de Sistemas, Telecomunicaciones, Comercial y Gas y Petrleo. Asignatura: Algebra Lineal

FECHA DE DIFUSIN: abril del 2010

FECHA DE ENTREGA: abril del 2010



VECTORES Y MATRICES

Introducir el concepto de tipos de datos estructurados. Conocer la representacin de datos mediante vectores y matrices. Conocer la representacin de datos mediante strings y su adecuacin al tratamiento de texto. Desarrollo: Al desarrollar este tema observamos que se presentan los tipos estructurados de datos justificando su utilidad y describiendo las clases de tipos de datos estructurados que vamos a utilizar. Se pasa despus a hablar de los vectores, presentndolos como una agrupacin de datos homogneos. Se explica la forma de acceder a los elementos justificando el concepto de ndice. Despus se empieza con las matrices viendo su definicin y se contina con la explicacin del modo de acceso a los elementos y el paso de matrices a subprogramas. Se justificar despus la necesidad de los vectores multidimensionales. Se presentan a continuacin las cadenas de caracteres como un tipo nuevo de datos. Este tipo de datos introduce un literal nuevo y un identificador de tipo. Se har ver que los strings pueden ser vistos como cadenas de caracteres cuyo ltimo elemento tiene el valor 0. Se explicar que la forma de trabajar con strings puede ser la convencional de cualquier vector o bien con primitivas bsicas de copia, concatenacin y longitud que ofrecen los distintos lenguajes de programacin. Para finalizar se muestra la correspondencia entre el lenguaje algortmico y el lenguaje C en lo que respecta a los vectores y strings.

Caractersticas

Las matrices regulares se caracterizan por tener el mismo nmero de elementos en cada una de sus dimensiones. Una matriz bidimensional de 10 elementos tendr similar nmero en cada una de sus filas. Basta con saber la cantidad de los mismos de una de ellas para conocer la cantidad de elementos de las dems. Existe un tipo adicional de matrices llamadas irregulares o dentadas las cuales no cumplen la regla anterior. Ellas se caracterizan porque cada fila puede contener u numero diferente de elementos. Una matriz irregular bidimensional, por ejemplo podra contener 3 elementos en la primera fila, 10 elementos en la segunda y 6 elementos en la tercera, moldeando as una figura irregular, aunque podra ser ms compleja. Una declaracin de estructuras empieza con la instruccin estructura y finaliza con la instruccin y estructura. Entre estas dos instrucciones debe declararse por lo menos un miembro. Similitudes Existen similitudes entre vectores y matrices las estructuras y las clases son similares en los siguientes aspectos: Ambas tienen miembros, incluyendo constructores, mtodos, propiedades, campos, constantes, enumeraciones y eventos. Ambas pueden implementar interfaces. Ambas pueden tener constructores compartidos, con o sin parmetros. Diferencias Se observan tambin diferencias entre las estructuras y las clases difieren en los siguientes aspectos: Las estructuras son tipos de valor, las clases son tipos de referencia. Las estructuras utilizan asignacin de pila y las clases utilizan asignacin del montn. Las estructuras slo pueden tener constructores no compartidos si pueden tomar parmetros; sin embargo las clases pueden tener constructores con o sin parmetros. Cada estructura tiene un constructor pblico implcito sin parmetros. El constructor inicializa todos los miembros de datos de estructura con sus valores predeterminados. Este comportamiento no puede redefinirse.



Instancias y variables Puesto que las estructuras son tipos de valor, cada variable de estructura est enlazada de forma permanente a una instancia de estructura individual. Por otro lado, las clases son tipos de referencia y una variable de objeto puede hacer referencia a varias instancias de clase. Esta distincin afecta al uso de estructuras y clases de las siguientes formas:

Al asignar una variable de estructura a otra o pasar una instancia de estructura a un argumento de procedimiento, se copian los valores actuales de todos los miembros de variable en la nueva estructura. Al asignar una variable de objeto a otra o pasar una variable de objeto a un procedimiento, slo se copia el puntero de referencia.

Una variable de objeto puede tener asignadas distintas instancias de clase en momentos distintos y varias variables de objeto pueden hacer referencia a la misma instancia de clase al mismo tiempo. Los cambios que realice a los valores de los miembros de clase afectan a dichos miembros cuando se tiene acceso a estos mediante otra variable que apunta a la misma instancia. Los miembros de estructura, sin embargo, estn aislados dentro de su propia instancia. La comprobacin de igualdad de dos estructuras debe realizarse mediante una prueba miembro a miembro.

PREGUNTAS:

1.- Podra Ud. describir las caractersticas existentes entre una matriz y un determinante? ............................................................................

2.- Existen operaciones entre matrices, adems ser posible realizar operaciones internas de la matriz?, Cundo?.



WORK PAPER # 3


No. DE PROCEDIMIENTO: APRO 07 No. DE HOJAS: 5

ELABOR: Ing. Eloy Terceros Urquieta CDIGO: MAT 111A

TTULO DEL WORK PAPER: Formas cuadrticas


DESTINADO A:


OBSERVACIONES: Carrera Ingeniera de Sistemas, Telecomunicaciones, Comercial y Gas y Petrleo. Asignatura: Algebra Lineal - UNIDAD 3

FECHA DE DIFUSIN: mayo del 2010

FECHA DE ENTREGA: mayo del 2010



FORMAS CUADRATICAS DESCRIPCIN Las aplicaciones del lgebra Lineal en la ciencia y en la vida real son numerosas. Las soluciones de muchos problemas en fsica, ingeniera, biologa, qumica, medicina, grficas computarizadas, procesamiento de imgenes, economa y sociologa requieren de mtodos del lgebra lineal. Tambin los requieren las principales ramas de las matemticas modernas. El lgebra Lineal no es solamente un cmulo de tcnicas de cmo resolver sistemas de ecuaciones lineales, cmo hallar bases de espacios vectoriales, cmo determinar los valores y vectores propios de una matriz, etc. Los problemas numricos tienen muchas veces la intencin de reforzar este aspecto operativo. Sin embargo un curso de lgebra lineal va ms lejos del carcter operativo, tratando de instalar en el estudiante una serie de conocimientos que, por una parte, le dan formacin dentro del tipo de razonamiento analtico propio de la matemtica, y adems, le sirven de base para futuros estudios de sta u otra parte del conocimiento cientfico. La matemtica en general, ayuda a pensar, a inducir y deducir, a analizar y sintetizar, a generalizar y abstraer, y a realizar otras operaciones mentales que contribuyen al desarrollo de la inteligencia. Al mismo tiempo, promueve la intuicin, es imaginativa y encierra una gran potencialidad creadora. Por todo ello, la matemtica contribuye poderosamente al desarrollo de las ciencias y de la tecnologa: impulsa el progreso de los pueblos a o largo de la historia y proporciona a quienes la elaboran, la ensean o la aprenden, la estudia o la aplican, el placer en sus trabajos, la gratificacin en sus descubrimientos, la maduracin en su concepcin y el xito en sus proyectos.

Recuerde: que se hace muy importante tomar en cuenta los temas estudiados anteriormente, ya que sin la base, nos ser imposible comprender, que se pretende con este tema de la Formas Cuadrticas

Es necesario hacer conocer los objetivos que representa este tema, respecto a las formas cuadrticas, para una mejor comprensin. A travs de esta asignatura en general y en especial del tema Formas Cuadrticas poder proporcionar las herramientas bsicas del lgebra Lineal, para que en base a ellas y se logre:

a) capacidad de abstraccin y razonamiento lgico; b) comprender los conceptos, procedimientos y estrategias matemticas que le permitan desarrollar estudios posteriores ms especficos; c) adquirir una formacin cientfica e integral como Ingenieros de sistemas y Tecnolgicos.

Se pretende tambin usar el lenguaje matemtico para expresarse oral, escrita y grficamente en situaciones susceptibles de ser tratadas matemticamente, mediante la adquisicin y el manejo de un vocabulario especfico de trminos y notaciones matemticos. Una vez aprobada la asignatura: Efectuar correctamente las operaciones vectoriales bsicas sobre vectores en Rn, aplicar sus propiedades y conocer sus interpretaciones geomtricas.

Comprender las nociones de dependencia e independencia lineal de vectores. Caracterizar mediante sus diferentes ecuaciones rectas en R2, rectas y planos en R3. Aplicar el lgebra vectorial a la resolucin una gran variedad de problemas geomtricos en los que intervienen puntos, rectas y planos.



Conocer el concepto de matriz y estar familiarizado con la terminologa coloquial y simblica del lgebra matricial. Efectuar correctamente las operaciones del lgebra matricial bsica y conocer sus propiedades. Definir matriz inversa, hallarla si fuere posible y reconocer las diferentes caracterizaciones de las matrices invertibles. Identificar matrices triangulares, escalares, diagonales, simtricas, y antisimtricas y conocer sus propiedades ms importantes. Evaluar determinantes por definicin, reduccin por filas y desarrollo por cofactores. Enunciar y demostrar las propiedades bsicas de los determinantes.

La capacidad de determinar la naturaleza de la solucin de un sistema de ecuaciones lineales y resolver el sistema utilizando diferentes metodologas. Caracterizar paramtricamente el conjunto solucin de un sistema de ecuaciones lineales, mediante una base y como un objeto geomtrico del espacio n-dimensional.

Relacionar los conceptos de: una matriz A invertible, el det(A), solucin del sistema AX=0, rango de A y las filas (columnas) de A linealmente independientes. Comprender el concepto de espacio vectorial a partir de ideas geomtricas sencillas y apreciar la potencialidad que la abstraccin de dicho concepto tiene.

Determinar si un conjunto dado con operaciones dadas constituyen un espacio vectorial. Reconocer y caracterizar subespacios vectoriales. Comprender las nociones de conjunto generador, base y dimensin: conocer algunas propiedades relacionadas con estos conceptos. Determinar la base y la dimensin de un subespacio generado por un conjunto de vectores. Aplicar los conceptos de independencia lineal y sistema generador para encontrar una base de un espacio vectorial. Ortonormalizar bases mediante el proceso de Gram-Schmidt.

Apreciar cmo ideas geomtricas tales como ngulo y longitud pueden ser introducidas en situaciones aparentemente no geomtricas a travs de las herramientas del lgebra lineal. Conocer y aplicar los conceptos de norma de un espacio vectorial y producto interior, as como tambin sus propiedades. Identificar las transformaciones lineales de las no lineales. Operar con transformaciones lineales ya sea dada por su frmula o mediante su representacin matricial con respecto a bases del dominio y rango. Comprender el concepto de ncleo, imagen, nulidad y rango de una transformacin y las relaciones entre ellos. Encontrar la expresin matricial de una transformacin lineal con respecto a dos bases ordenadas dadas.



Describir geomtricamente el efecto de algunas transformaciones lineales.

Calcular los autovalores de una matriz, hallar una base de los correspondientes exigen espacios y si fuera posible, diagonalizar la matriz. Reconocer una forma cuadrtica y determinar si su matriz asociada est o no definida en signo. Definir las cnicas, conocer sus ecuaciones cannicas e identificar sus elementos principales. Identificar una cnica mediante el estudio de los invariantes de la ecuacin general de segundo grado y reducir su ecuacin a la forma cannica mediante traslaciones y rotaciones. Adems de lo expresado anteriormente, el alumno deber ser capaz de: Expresar pensamientos, sentimientos e ideas en forma clara y precisa. Realizar pequeas demostraciones con las tcnicas y conceptos de la asignatura. Mejorar su capacidad en la resolucin de problemas y el pensamiento crtico. Aprender en una manera autnoma y trabajar como miembro de un equipo. Mejorar su capacidad para resolver problemas complejos de mltiples pasos. Aplicar los conocimientos matemticos a situaciones diversas, utilizndolos en la interpretacin de las ciencias, en la actividad tecnolgica y en las actividades cotidianas. Analizar y valorar la informacin proveniente de diferentes fuentes, utilizando las herramientas y el lenguaje matemtico, para formarse una opinin propia que le permita expresarse crticamente sobre problemas actuales. Utilizar, con autonoma y eficacia, las estrategias caractersticas de la investigacin cientfica y los procedimientos propios de las matemticas (plantear problemas, formular y contrastar hiptesis, planificar, manipular y experimentar) para investigar y, en general, explorar y abordar con mentalidad abierta los problemas que la continua evolucin cientfica y tecnolgica plantea a la sociedad. Desarrollar actitudes asociadas al trabajo cientfico y a la investigacin tecnolgica, tales como la visin crtica, la necesidad de verificacin, la valoracin de la precisin, el cuestionamiento de las apreciaciones intuitivas, la apertura a nuevas ideas. Apreciar el contexto global y social de la ingeniera. Comprender los usos de la ingeniera moderna. Aplicar los mtodos y herramientas de la ingeniera moderna. Apreciar la necesidad de un aprendizaje continuo a lo largo de toda la vida profesional. Conducirse tica y profesionalmente. PREGUNTAS: 1.- Encuentra relacin e importancia para el estudio de este temas y que aplicaciones podemos darle, como? . . 2.- A travs de esta asignatura en general y en especial del tema Formas Cuadrticas es poder proporcionar las herramientas bsicas del lgebra Lineal?, esta de acuerdo con esta afirmacin? .



PROGRAMA DE CALIDAD UDABOL DIF 001 1/2008

VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES

Los determinantes resulta ser parte complementaria de lo estudiado con matrices. Su tratamiento y operaciones son ms simples como sus aplicaciones en diferentes partes de las matemticas y en especial en las ecuaciones particularmente en los sistemas de ecuaciones. Como ya se ha definido los determinantes no es otra cosa que una matriz cuadrada o rectangular por la forma que presenta de igual filas y columnas (n x n). La funcin determinante apareci por primera vez en las investigaciones de los sistemas de ecuaciones lineales. Tomamos como herramienta indispensable en el estudio y la obtencin de propiedades de las matrices cuadradas. La definicin de determinante y muchas de sus propiedades siguen siendo validas cuando las entradas de la matriz proceden de un anillo. Conllevan una clasificacin de rdenes en funcin de sus filas y columnas. Por ejemplo un determinante de orden uno es aquella que posee una fila y columna, el de orden dos, dos filas y columnas, as sucesivamente. Esta definicin general vendr precedida por una discusin de las permutaciones necesarias para la misma. A diferencia de las matrices, los determinantes poseen operaciones internas, tomando en cuenta principalmente los signos que se disponen en forma de un tablero de ajedrez con signos positivos en su diagonal principal e intercalada en las otras diagonales secundarias o paralelas a la principal. Dentro de las operaciones internas, se observa diferentes mtodos, como; cofactores y menores, adjunto clsico, inversas por el adjunto, que son aplicables a las ecuaciones o sistemas de ecuaciones lineales, (Regla de Cramer) Cuando se tiene un determinante de orden arbitrario de n filas y columnas, se puede aplicar el mtodo de formacin de bloques. El estudiante podr investigar algunas otras propiedades, para poder posteriormente aplicarlos en sus operaciones, buscar formas adecuadas que le sea ms fcil su manejo. Tanto los vectores como las matrices son un conjunto de datos de un mismo tipo, para muchos al escribir sobre matrices se refieren tanto a matrices de 2 dimensiones como de una dimensin. Aunque sea lo mismo prefiero decir que un vector tiene una dimensin y una matriz ms de una dimensin.

TOME EN CUENTA: Las matrices regulares se caracterizan por tener el mismo nmero de elementos en cada una de sus dimensiones. Una matriz bidimensional de 10 elementos tendr similar nmero en cada una de sus filas. Basta con saber la cantidad de los mismos de una de ellas para conocer la cantidad de elementos de las dems.

Existe un tipo adicional de matrices llamadas irregulares o dentadas las cuales no cumplen la regla anterior. Ellas se caracterizan porque cada fila puede contener u numero diferente de elementos. Una matriz irregular bidimensional, por ejemplo podra contener 3 elementos en la primera fila, 10 elementos en la segunda y 6 elementos en la tercera, moldeando as una figura irregular, aunque podra se ms compleja. Las estructuras son parecidas que las enumeraciones pero con muchas ventajas, entre ellas que cada elemento de la estructura puede ser de cualquier tipo, adems, se pueden declaran funciones dentro de la estructura, constructores, mbito de variables independientes. Etc.



Similitudes: Existen similitudes entre las estructuras y las clases son similares entre matriz y determinantes en los siguientes aspectos: En ambos tienen miembros, incluyendo constructores, mtodos, propiedades, campos, constantes, enumeraciones y eventos.

Diferencias: Tambin existen diferencias entre las estructuras y las clases difieren en los siguientes aspectos: Las estructuras son tipos de valor, las clases son tipos de referencia. Las estructuras utilizan asignacin de pila y las clases utilizan asignacin del montn.

Es posible asignar una variable de estructura a otra o pasar una instancia de estructura a un argumento de procedimiento, se copian los valores actuales de todos los miembros de variable en la nueva estructura. Al asignar una variable de objeto a otra o pasar una variable de objeto a un procedimiento, slo se copia el puntero de referencia. Una variable de objeto puede tener asignadas distintas instancias de clase en momentos distintos y varias variables de objeto pueden hacer referencia a la misma instancia de clase al mismo tiempo. Los cambios que realice a los valores de los miembros de clase afectan a dichos miembros cuando se tiene acceso a estos mediante otra variable que apunta a la misma instancia. Los miembros de estructura, sin embargo, estn aislados dentro de su propia instancia.




SISTEMAS LINEALES

Los sistemas de ecuaciones lineales juegan un papel importante el lgebra lineal si bien existen varios mtodos de resolucin pero al estudiar matrices y determinantes facilitamos las soluciones de cierta manera las operaciones significa ahorro de tiempo. Aqu se investiga, sistemas de ecuaciones lineales y se describen detalladamente el algoritmo de eliminacin por la Regla de Gauss, llamado eliminacin gaussiano, que nos facilita hallar su solucin con determinantes junto a ciertas operaciones entre ellas se introducen y estn estrechamente relacionados con los sistemas de ecuaciones lineales y su solucin. Todas las ecuaciones involucran nmeros especficos denominados constantes o escalares. Que para simplificar

en este asumiremos a todos nuestro escalares, un cuerpo de nmeros reales . En el primer semestre de la carrera de Ingeniera de Sistemas, se ha tomado diferentes mtodos para la solucin de los sistemas de ecuaciones lineales, mientras que en segundo semestre, nos basamos especficamente al estudio de las soluciones por determinantes y matrices, con caractersticas de operaciones que se ejercita en captulos anteriores, como ser los cofactores, adjunto, inversa, etc. en muchos casos el estudiante observa que es mucho ms fcil su aplicacin en la solucin de ecuaciones. El estudiante observa la compatibilidad e incompatibilidad en la solucin de un sistema de ecuaciones, segn el sistema que se presenta a continuacin.

SISTEMA DE ECUACIONES

Incompatible Compatible

Ninguna Solucin

Solucin nica

Nmero Infinito de soluciones

Tambin es posible que una matriz con ciertas operaciones, se pueda transformar en una matriz escalonada triangular superior o inferior de esta manera llegar a la solucin de los sistemas de ecuaciones. (Operaciones entre columnas y filas)




ESPACIOS VECTORIALES

Para introducirnos en el tema de los espacios vectoriales, es necesario previamente estudiar los vectores, desde la percepcin de la geometra. Cosa que se ve muchas aplicaciones en la fsica, donde aparecen ciertas cantidades, como la representacin de la temperatura, rapidez (modulo de velocidad), que posee solo magnitud. Estas pueden representarse por nmeros reales llamados escalares.

Como parte de la geometra el estudiante deber estar familiarizado con la representacin de puntos en el plano como en el espacio, eligiendo el origen del vector en el origen del par de coordenadas rectangulares como referencia o punto O. Donde todo vector queda unvocamente determinado por las coordenadas de su extremo, existen relaciones, propiedades y operaciones entre vectores.

Matemticamente identificamos a un vector con sus extremos, presumimos que el estudiante debe estar familiarizado con las propiedades ms elementales del cuerpo de los nmeros reales que denotamos por, por su nmero de elementos que componen el extremo del vector si esta en el plano o en el espacio u otra dimensin, as R2 para el plano, R3 para el espacio, en general Rn en un espacio finito, con la norma de un vector podemos definir su magnitud. Conociendo el concepto mismo que es un vector, podemos entrar y comprender sin dificultades los espacios vectoriales de dimensin finita. Por definicin un espacio vectorial involucra u cuerpo arbitrario cuyos elementos se denomina escalares.

En este capitulo no se abarca conceptos de longitud y ortogonalidad, puesto que no se consideran parte de la estructura fundamental de un espacio vectorial. Se concluir como estructura adicional en captulos posteriores. Se tomaran ejemplos de espacios vectoriales considerando cuerpo elemento, espacio matriz, espacio polinomio, espacio de funciones, subespacios, combinaciones lineales, dependencia e independencia lineal, bases y dimensiones etc. Estos dos temas sern base fundamental para entrar al estudio de las transformaciones lineales, los valores y vectores propios.




VALORES Y VECTORES PROPIOS

En este tema se describe un procedimiento para la obtencin de los valores y vectores propios dominantes de una matriz. El mtodo se apoya en los conceptos de matriz, matriz propia. El proceso seguido es tal que la matriz propia contiene los vectores propios asociados a los valores propios dominantes de la matriz objeto del problema. Muchos problemas prcticos de determinacin de vectores y valores propios de una matriz de orden n solo requieren el conocimiento de un nmero limitado de dichos pares; por ejemplo, aquellos cuyos p valores propios (p < n) son los de mayor mdulo. Cuando p = 1 y se trata de obtener el valor propio de mayor mdulo o valor propio dominante de una matriz general y su vector propio asociado, puede citarse como ms adecuado el mtodo de la potencia, el cual, a partir de una aproximacin arbitraria del vector propio buscado, obtiene iterativamente la aproximacin deseada en funcin de la precisin requerida. La localizacin de otros valores propios se puede realizar utilizando tcnicas de deflacin, pudindose obtener de esta forma los valores propios dominantes y sus correspondientes vectores propios. Otros mtodos de obtencin del valor propio dominante de una matriz se basan en el concepto en construirse algoritmos iterativos que convergen cuadrtica mente al valor propio dominante. Los mtodos de Iteracin Simultnea constituyen una generalizacin del mtodo de la potencia. Se basan en el procesamiento simultneo de un subconjunto inicial de n vectores ortogonales a los que se trata d modo que en cada paso del proceso iterativo se mantenga entre ellos la relacin de ortogonalidad y no converjan al mismo vector propio. Estos procedimientos son ms eficaces que las tcnicas de deflacin. De aplicacin a matrices simtricas definido-positivas, desarrollando un algoritmo para matrices reales simtricas y no simtricas. El mtodo que presentamos en el desarrollo del tema es vlido para matrices finitas de cualquier tipo. Si bien constituye una generalizacin del mtodo de la potencia, difiere de los mtodos de iteracin simultnea en los siguientes aspectos. Desde un punto de vista computacional, no es necesario ortogonal izar los vectores de iteracin segn las tcnicas desarrolladas ni resolver en cada ciclo el problema de valores y vectores propios.

algebra lineal y teoria matricial

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