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Cuaderno de Trabajo 1. Resolviendo problemas financieros y mercadológicos por medio de la representación matricial

Introducción

Una de las funciones básicas de un mercadólogo, financiero o administrador es la de predecir el futuro, con el propósito de anticiparse y tomar decisiones adecuadas en el presente que le permitan sortear los problemas próximos, o incluso cambiarlos o usarlos a favor de la empresa.

Para ayudar en este propósito, la ciencia matemática ha desarrollado diversas metodologías, entre las cuales, las cadenas de Markov y las matrices de insumo producción son de gran utilidad. La última técnica ha sido estudiada ampliamente en esta unidad a propósito de la aplicación de matrices en el mundo económico-financiero. Adicionalmente, se ha visto la conveniencia de la representación matricial para la solución de sistemas de ecuaciones y para el planteamiento y solución de problemas.

El presente caso práctico le permitirá emplear e integrar los conocimientos adquiridos sobre el manejo y operación de matrices, el método de Gauss Jordan, matriz inversa, así como la técnica insumo-producción y solución de ecuaciones, a fin de pronosticar el porcentaje de mercado que gana una compañía, determinar los nuevos requisitos que la capacidad instalada de la compañía debe satisfacer y planear su producción para que pueda hacer frente a la nueva demanda que estos cambios van a producir.

Asimismo, a través de la resolución del caso, se pretende potenciar su capacidad de análisis, abstracción, imaginación, argumentación y creatividad para determinar los métodos y procedimientos matemáticos adecuados que le permitan dar solución a problemas del ámbito de los negocios. Además, usted se acercará a problemas reales que enfrentará en el campo laboral, para así evaluar el nivel de dominio logrado en los temas revisados.

Instrucciones:

1. Lea atentamente el caso práctico que se propone.

2. Analice el caso y planee la forma de resolverlo.

3. Determine los pasos a seguir para resolverlo.

4. Construya la hoja de Excel que le permita obtener la solución, procurando que quede elaborada de forma general para que pueda ser reutilizada con otro conjunto de datos.

5. Resuelva el caso empleando las técnicas y procedimientos estudiados en esta unidad, cerciorándose de que sus hojas de Excel presenten de manera clara y precisa las soluciones de cada inciso.

6. Elabore un informe que precise: El problema a resolver, los procedimientos realizados, los resultados y conclusiones a las que llegó. Asimismo, incluya en su informe el archivo de la hoja de Excel que elaboró para resolver el problema.

Criterios de evaluación



Tome en cuenta que la resolución de este cuaderno de trabajo tiene efectos para su calificación, por lo que es recomendable que al resolverlo considere lo siguiente:

El planteamiento correcto del problema en notación matricial.

Solución correcta del problema en todos sus incisos.

Desglose de los procedimientos seguidos, poniendo énfasis en su tratamiento matricial.

Elaboración de la hoja de Excel que permitió resolver el problema, utilizando operaciones matriciales de manera eficiente y efectiva.

Presentación, clara, ordenada y profesional del trabajo realizado. Recuerde anotar nombre y grupo.

CASO PRÁCTICO

Usted trabaja como asesor para una compañía refresquera cuyo producto estrella, KOK, es un refresco de cola en presentación de 600 ml. Hasta apenas hace un año, sólo tenía un competidor, que fabricaba el refresco PEP. En aquel entonces, el departamento de mercadotecnia había realizado un estudio de mercado que arrojó la siguiente matriz de transición de los consumidores respecto de estos dos productos.

Sin embargo, hace 6 meses se manifestó como serio competidor otro refresco de cola perteneciente a una ya antigua marca de refrescos. Esto provocó un cambio en la matriz de transición anterior. Los mercadólogos de la empresa dieron a conocer de inmediato esa matriz, y fue la siguiente:

Consumo Actual

KOK PEP

Consumo

Futuro

KOK 0.92 0.10

PEP 0.08 0.90

Consumo Actual

Consumo KOK PEP SUPR



Con base en la información anterior determine:

a) ¿Cuál era la probabilidad de que un cliente que consumía KOK hace un año lo siguiera haciendo hace 6 meses?

b) Si hace un año, de 20 millones de consumidores, 14 millones consumían KOK, ¿cuántos la consumían hace 6 meses?

Cuando apareció el refresco SUPR, el mercado se estimó en 24 millones de consumidores. Si de ellos, 20 millones se distribuían como resultó en el inciso anterior y los nuevos 4 millones son los de SUPR:

c) ¿Cómo estará distribuido este mercado de 24 millones actualmente?

d) Se estima que cada consumidor de KOK ingiere en promedio 1.5 refrescos diarios cuyo precio es de $7.00. ¿A cuánto ascenderá, en pesos, la demanda de los consumidores mensualmente?

Por otro lado, para satisfacer a su demanda, la compañía KOK tiene relaciones con otras compañías proveedoras (Plastic Botellas y Materias Primas Amatista) que al mismo tiempo son consumidoras. La siguiente matriz de insumo-producción sintetiza esta relación, la cual se expresa en unidades económicas que equivalen a $10’000,000

Futuro

KOK 0.90 0.09 0.10

PEP 0.07 0.88 0.10

SUPR 0.03 0.03 0.80



Empresa

Empresa KOK Plastic

Botellas

Materias Primas

Amatista

Demanda

Final

Producción

Total

KOK 20 60 50 470 600

Plastic Botellas 100 20 60 20 200

Materias Primas Amatista 150 30 20 20 220

Otros 330 90 90

Insumos Totales 600 200 220

e) ¿Cuál es el valor de la demanda final de los consumidores del inciso anterior en unidades económicas?

f) Calcule la producción, en unidades económicas, de las empresas KOK, Plastic botellas y Materias primas Amatista, tomando en cuenta únicamente la variación de la demanda de KOK desde 470 hasta el valor calculado en el inciso anterior y suponiendo que las demandas finales de las empresas Plastic Botellas y Materias Primas Amatista permanecen constantes en 20 y 20 unidades económicas

Para poder atender a la demanda de sus consumidores, la compañía KOK tiene tres centros de producción con diferente capacidad instalada. El centro de producción C2 tiene el doble de capacidad que el centro C3 y la capacidad de producción del centro C1 equivale a la suma de las capacidades de C2 y C3.

g) De acuerdo al resultado del inciso c y a la información proporcionada en el inciso d, ¿cuántos refrescos de KOK de 600 ml se necesita distribuir para satisfacer la demanda final de los consumidores?

h) ¿Cuál deberá ser la orden de producción para cada centro: C1, C2 y C3, de tal modo que se pueda satisfacer la demanda final y aprovechar al máximo las características de capacidad instalada de estos centros? Elabore el modelo matemático correspondiente y resuélvalo usando los métodos revisados en la unidad.

Finalmente, ¿qué conclusiones pudiera obtener usted como asesor a partir de los planteamientos anteriores?



Resolviendo problemas financieros y mercadológicos por medio de

determinantes

Introducción

El uso de los determinantes se da principalmente en la solución de sistemas de ecuaciones. En particular, en el método de Cramer, el cálculo de los determinantes de la matriz de coeficientes y de las matrices de cada incógnita es fundamental, ya que la solución del sistema de ecuaciones está expresada en función de ellos.

El otro método de solución de sistemas de ecuaciones que se consideró en esta unidad fue el de la matriz inversa; para deducirla, se requiere calcular el determinante de la matriz a invertir.

Por otro lado, el cálculo de un determinante o de una inversa se hace de un modo sistemático, sin necesidad de aplicar métodos de despeje como en el álgebra elemental. Por esta razón, los métodos de Cramer y de la matriz inversa se pueden programar fácilmente en un lenguaje de programación o en una hoja de Excel.

De esta forma, los métodos vistos en esta unidad pueden usarse para programar una simulación de un problema en una hoja de Excel, de ahí su importancia por encima de otros métodos algebraicos de solución de ecuaciones que usted recordará, como: igualación, sustitución, suma o resta.

El propósito de este caso es que usted aplique los métodos aprendidos a un problema de inversiones y lo analice con diferentes opciones, haciendo con esto simulación de escenarios para obtener la solución específica.

Instrucciones:

7. Lea atentamente el caso que se propone.

8. Analice el caso y formule el modelo matemático a resolver.

9. Verifique lo que se pide en cada inciso y desarrolle un plan para darles respuesta.

10. Resuelva el caso empleando las técnicas y procedimientos estudiados en esta unidad.

11. Elabore un informe que precise: El problema a resolver, los procedimientos realizados y los resultados y conclusiones a que llegó.





La formulación correcta del modelo matemático a resolver.

Solución correcta del problema.

Análisis de los resultados parciales obtenidos en cada inciso.

Elaboración de propuestas finales al inversionista.

Evaluación de la solución dada al problema en términos de las hipótesis utilizadas para simplificar la realidad y de variables que no fueron tomadas y que pueden modificar la solución.

Presentación clara, ordenada y profesional del trabajo realizado. Recuerde anotar su nombre y grupo.

CASO PRÁCTICO

Un instrumento de inversión puede caracterizarse por dos parámetros: la tasa de rendimiento que ofrece y el grado de riesgo que representa, es decir, la probabilidad de que no se obtenga el rendimiento ofrecido. Ambos parámetros se pueden medir como un porcentaje, y mientras el rendimiento puede ser mayor del 100%, el riesgo debe ser un número menor de 1 o 100%. Sin embargo, el riesgo de mercado suele calificarse con un número como se muestra en la tabla siguiente:

Riesgo Significado

1 Extremadamente bajo

2 Bajo

3 De bajo a moderado

4 Moderado

5 De moderado a alto

6 Alto

7 Muy alto

Es un hecho general que a mayor rendimiento, mayor es también el riesgo. Supongamos que usted es un asesor financiero y que tiene armado un portafolio de inversión que consiste de tres fondos, mostrados en la siguiente tabla1:

1 El Economista, p. 21, México, D.F., miércoles 12 de marzo de 2008.



Si usted tiene un cliente que desea invertir $100,000 con un rendimiento promedio de 13% y un nivel de riesgo moderado (4):

a) ¿Qué cantidad de dinero deberá ser invertida en estos fondos para lograr el objetivo planteado por el cliente? Elabore un modelo matemático que permita resolver el problema. Pondere el riesgo con las fracciones de dinero que está siendo invertido en cada nivel de riesgo.

b) Interprete el resultado para verificar si se puede lograr la meta del cliente.

c) Determine qué cantidad de dinero tendrá que invertir su cliente con los siguientes niveles de rendimiento total promedio: 9%,11%, 12% y 15%.

Los resultados anteriores nos debieron demostrar que no cualquier rendimiento es posible.

d) Indague los rendimientos promedio posibles que se pueden obtener para estos fondos en un nivel de riesgo igual a 4 (moderado). Sugerencia: resuelva por Creamer el sistema de ecuaciones para cualquier tasa de rendimiento t y para cualquier capital C.

e) ¿Para qué intervalo de rendimiento promedio son válidas las soluciones obtenidas?

f) ¿Cómo invertirá los $100,000 de su cliente para que su rendimiento sea máximo?

g) Muestre que la solución obtenida es independiente del capital que invierta el cliente.

Resolviendo problemas de optimación de recursos

empleando el método simplex

Introducción

Muchos pueden ser los objetivos de una empresa, pero no cabe duda de que entre ellos está la búsqueda de maximizar o minimizar alguna variable económica o de servicios. Por ejemplo, se busca maximizar las ganancias, las ventas, la calidad, la productividad, los beneficios a la comunidad, etc. O bien, minimizar costos, tiempos, contaminación, riesgos financieros, etc. Esta búsqueda en la optimización de alguna variable lleva aparejada un uso adecuado y óptimo de los recursos con que cuenta la empresa.

Algunos empresarios y administradores toman sus decisiones de producción, inversión y ventas, entre otras, con base en el sentido común o en su experiencia, pero esta práctica es cada vez menos frecuente y recomendable, ya que los mercados están siendo

Fondo Administradora Rendimiento Calificación Riesgo

ICAEURO.B-M4 Invercap 16.36 AAA 7

HSBCAHO.BM-6 HSBC Op. De Fond. 8.96 AAA 3

INTERM1.M5 Interacciones 5.93 AAA 1



abordados por empresas con mejores prácticas y herramientas tecnológicas, que causan que cualquier mala decisión tomada por un administrador crezca en sus consecuencias.

La programación lineal es una herramienta matemática diseñada para abordar precisamente estos problemas. Su objetivo es maximizar o minimizar el valor de una variable a través de un uso racional y óptimo de los recursos. El supuesto básico de este método es que la variable a optimizar y los recursos guardan una relación lineal entre ellos. Una vez formulado el modelo matemático que representa a la realidad, se suele resolver con un método gráfico si se tienen dos variables de decisión, o con el método simplex ante dos o más variables.

Este ejercicio muestra el caso cotidiano de una pyme: una pequeña fábrica de guantes de protección industrial. Habrá dos variables de decisión (producción de guantes), cinco variables relacionadas con recursos materiales y humanos y cuatro condiciones de demanda. Al resolver el caso usted tendrá oportunidad de aplicar la programación lineal a un problema que sólo difiere de la realidad en los valores numéricos y los nombres.

Se pide que resuelva el problema según los métodos revisados en esta unidad y usando Excel como herramienta de graficación. Esto es importante porque si la gráfica se realiza a “mano”, no sólo se pierde la posibilidad de ver el efecto automático en la gráfica cuando alguno de los parámetros del modelo matemático cambia, sino que también puede errarse en la definición del espacio de soluciones si las gráficas de cada restricción no han sido elaboradas con precisión y cuidado. La mayoría de las gráficas hechas con lápiz y papel descuidan estos aspectos, toda vez que incluso el grosor mismo del lápiz puede ser fuente de error o ambigüedad.

Asimismo, se le pide realizar algunas pruebas con las cantidades de recursos para verificar su impacto en la solución obtenida. A esto se le conoce en la programación lineal como análisis de sensibilidad. El propósito es que usted perciba este concepto de una manera sencilla pues el procedimiento formal se revisará en la siguiente unidad.

Instrucciones:

12. Lea atentamente el caso que se propone.

13. Analice y formule el modelo o los modelos matemáticos a resolver.

14. Realice las operaciones que solucionen el modelo matemático y elabore las gráficas correspondientes.

15. Lea todos los incisos planteados, cerciorándose de que sus operaciones y gráficas presenten de manera clara y precisa las soluciones y las hipótesis de cada inciso.

16. Elabore un informe que precise: El problema a resolver, los procedimientos realizados, los resultados y conclusiones a que llegó.







Análisis de los resultados obtenidos en cada inciso.

Una tabla que resuma los cambios solicitados al modelo, las soluciones obtenidas y conclusiones al respecto.




CASO PRÁCTICO

Mexguantes es una pequeña empresa que se dedica a la fabricación de guantes de protección industrial. Normalmente trabaja bajo contrato con diversas empresas industriales. Su compromiso es garantizar que las empresas tengan disponible en sus almacenes el tipo de guante que emplean sus obreros en las líneas de producción. De no cumplir con esto, propiciaría demandas laborales por parte de los sindicatos a sus compañías. En esta semana debe

elaborar dos tipos de guantes para dos empresas diferentes. De acuerdo a sus registros, la empresa Rines, S.A., que utiliza el modelo GC19, necesita no menos de 200 pares de guantes, pero no más de 900. Por otro lado, la empresa Aluminium, S.A de C.V., utiliza el modelo GC08. Por problemas de almacenamiento, esta empresa no acepta más de 1,000 pares, y esta semana requiere de urgencia, por lo menos, 200 pares.

El problema es que ambos tipos de guantes utilizan los mismos recursos: carnaza y tela. Para fabricar un par de guantes, el modelo GC19 necesita 4.7 unidades de carnaza y 1.5 unidades de tela, mientras que el modelo GC08 requiere de 2.8 unidades de carnaza y 0.7 unidades de tela. En su almacén, la empresa Mexguantes cuenta con 3,800 unidades de carnaza y 1,100 de tela.

Por otro lado, los guantes siguen tres procesos básicos: corte, armado, volteo y aplanado. El tiempo requerido para cada uno de estos procesos es, para el modelo GC19: 3.5, 4.1 y 1.5 minutos, respectivamente. Para el modelo GC08 se necesitan 2.7, 1.1 y 2.35 minutos, respectivamente. El tiempo total disponible para estos procesos es de 3,300, 2,800 y 2,500 minutos. La utilidad bruta que produce cada par de guantes es de $8 para el modelo GC08 y de $15 para el modelo GC19.

Ante esta situación, la empresa Mexguantes solicita su asesoría y le pide responder lo siguiente:

a) ¿Cuál es el nivel de producción teórico? Es decir, ¿cuántos guantes de cada tipo deben producirse?

b) Si el nivel teórico de producción implica cantidades fraccionarias de guantes a producir, ¿cuál debe ser la solución óptima considerando resultados enteros de producción? No se trata sólo de redondear.



c) Tomando en cuenta la solución entera del inciso anterior, ¿cuántos recursos están sobrando? ¿Alcanzará para hacer una unidad más de algún modelo? De ser así, ¿cuál sería la nueva solución y la utilidad obtenida?

d) Regresemos al inciso a. ¿Qué insumos hay que incrementar para poder seguir produciendo y aprovechar los recursos sobrantes?

e) El empresario de Mexguantes piensa en comprar 64 unidades más de carnaza, ¿qué nueva solución y utilidad tendría este problema? Determine cuánto sobraría de los demás insumos. ¿Hay alguna diferencia respecto a la solución original del inciso a?

f) El empresario de Mexguantes piensa en la posibilidad de comprar 39 unidades más de tela en lugar de invertir en carnaza. ¿Cuál sería la solución y la utilidad ahora? ¿Qué pasaría con los sobrantes de los demás recursos?

g) ¿Qué decisión le recomendaría al empresario de esta microempresa en cuanto al número de guantes que debe producir de cada tipo, a fin de no sólo garantizar el surtido de guantes que requieren sus clientes, sino también de utilizar óptimamente sus recursos para obtener la mayor utilidad posible?

Para dar respuesta a los incisos anteriores:

Elabore el modelo matemático que se debe resolver, para esto considere los conocimientos adquiridos sobre programación lineal.

Elabore las gráficas correspondientes usando el programa Excel.

Resuelva el modelo matemático a través del espacio de soluciones hallado en la gráfica correspondiente.

Optimización de recursos de producción

a través de la programación lineal

Introducción

Resolver un problema de programación lineal con lápiz y papel puede resultar muy laborioso, sobre todo si el número de variables y restricciones es grande. Además, y por desgracia, es muy fácil cometer errores de cálculo debido a la gran cantidad de operaciones a realizar. Por esta razón resulta muy útil un sistema de control que nos permita determinar las condiciones en las cuales la solución obtenida sigue siendo la misma. Esto es lo que hace el análisis de sensibilidad. La idea es monitorear los precios y costos de los productos según las cantidades de los recursos disponibles.

El propósito de este caso es que usted ponga en juego lo aprendido sobre el uso de variables de holgura y artificiales para resolver un problema de programación lineal con el método simplex. Asimismo, la realización del análisis de sensibilidad correspondiente.



Este caso le permitirá simular una situación normal que tienen que enfrentar los profesionistas que utilizan la programación lineal en el asesoramiento de las empresas, ahora en el área de producción.

Instrucciones:

17. Analice el caso que se propone y posteriormente determine el modelo o modelos matemáticos a resolver.

18. Resuelva el caso empleando el método simplex y las técnicas aprendidas en la unidad. Cerciórese de atender todo lo que se solicita.

19. Con base en su análisis de sensibilidad, elabore los informes que se solicitan. Tome en cuenta que en el caso planteado usted es un profesionista independiente o está asociado en un bufete de asesoría a empresas, por lo cual la presentación de los informes debe reflejar profesionalismo y seriedad.





Elaboración del análisis de sensibilidad, indicando los límites mínimo y máximo entre los cuales se pueden mover cada uno de los parámetros de la solución.

Elaboración precisa de los informes, es decir, que contengan la información mínima solicitada.


CASO PRÁCTICO

Una mediana empresa elabora escritorios en tres modalidades: ejecutivo, secretarial y estudiantil. Todos ellos requieren de los mismos insumos: madera, aluminio, plástico, formica, y tiempos de procesamiento en los departamentos de armado y en el de acabado. Los requerimientos unitarios de estos insumos, así como la cantidad de unidades disponibles de cada uno de ellos, se muestran en la tabla de abajo. En la misma tabla se indica el costo unitario de cada recurso y el precio de venta de cada escritorio.

Con base en las estadísticas de ventas, el gerente de producción ha decidido que se deben producir por lo menos tantos escritorios estudiantiles como la suma de los otros dos tipos, y que el número



de escritorios secretariales debe ser por lo menos el doble de los del modelo ejecutivo.

Escritorio Madera Aluminio Plástico Formica Precio de

Venta

Ejecutivo 4 1 1 0 2760

Secretarial 2 2 1 1 2320

Estudiantil 1 2 3 3 1980

Costo por unidad 200 50 40 100

Total de Recursos 3500 2500 3500 2500

El gerente de producción lo ha contratado para que lo asesore sobre la cantidad de escritorios que deben fabricarse con el fin de optimizar el uso de los insumos, y, en consecuencia, maximizar la utilidad. Para realizar lo anterior, es necesario que usted:

Determine el modelo matemático que represente la situación de producción de esta empresa y que lo resuelva.

Elabore un breve informe de no más de una cuartilla, dirigido al gerente de producción, en el que le exprese su opinión sobre la cantidad de escritorios de cada tipo que se deben producir con el fin de maximizar la ganancia.

Después de unas semanas, el gerente de producción lo vuelve a contactar, ya que piensa que la solución que usted propuso, a veces funciona y a veces no. Usted realiza algunas preguntas al gerente y se entera de que la cantidad de recursos no siempre es la misma, en ocasiones tienen menor cantidad de algún insumo porque escasea. En cambio, de otro insumo pueden tener mayor cantidad porque aprovechan alguna promoción o el proveedor los ofrece en mayor cantidad.

Por otro lado, los costos de los insumos también se modifican, en ocasiones son más caros y en otras se abaratan. Esto provoca que la utilidad generada de cada escritorio también se modifique.

La intuición del gerente, producto de su vasta experiencia en el puesto, le hace creer que a veces los recursos no se están aprovechando como se debe durante la solución que usted ha dado. Esto lo intriga y por eso le solicita realizar una nueva propuesta. Para poder hacerlo, es necesario que usted:

Elabore el análisis de sensibilidad y utilícelo para explicarle al gerente las condiciones en las cuales la solución que usted propuso es válida. Muestre también cómo se altera la solución si una de las condiciones iniciales de producción se altera.

Escriba un breve informe de no más de una cuartilla, con recomendaciones sobre monitoreos que deben hacer los encargados de la producción en las condiciones del problema para que la solución propuesta siga siendo válida, indicando qué deben entender por solución. Por último, señale los criterios a seguirse para que le llamen de inmediato con el fin de que usted proponga una nueva solución a la producción.

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