Tema 3Tema 3Técnicas de Modulación Técnicas de Modulación

AnalógicaAnalógica

MODULACIÓNMODULACIÓNEN FRECUENCIAEN FRECUENCIA

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAREPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICAUNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

“ “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZVICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ

Departamento de Ingeniería ElectrónicaDepartamento de Ingeniería Electrónica

Vigencia Mayo 2011Vigencia Mayo 2011

1.1. Frecuencia de una señal periódica y Frecuencia de una señal periódica y frecuencia instantánea.frecuencia instantánea.

2.2. Modulación de fase (PM) y Modulación de Modulación de fase (PM) y Modulación de frecuencia (FM).frecuencia (FM).

3.3. Determinación de la frecuencia instantánea Determinación de la frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en para una señal modulada en fase y en frecuencia.frecuencia.

4.4. Expresiones complejas para una señal Expresiones complejas para una señal modulada en fase y en frecuencia.modulada en fase y en frecuencia.

5.5. Análisis de una señal modulada en fase y en Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia cuando la modulante es una frecuencia cuando la modulante es una señal senusoidal.señal senusoidal.

6.6. Espectro de frecuencia de una señal Espectro de frecuencia de una señal modulada en frecuencia.modulada en frecuencia.

7.7. Modulación de frecuencia de banda Modulación de frecuencia de banda estrecha o angosta: NBFM .estrecha o angosta: NBFM .

8.8. Modulación de frecuencia de banda ancha: Modulación de frecuencia de banda ancha: WBFM.WBFM.

9.9. Generación de señales moduladas en Generación de señales moduladas en ángulo.ángulo.

10.10.Demodulación de FM.Demodulación de FM.

11.11.Potencia asociada a una señal con Potencia asociada a una señal con modulación de ángulo.modulación de ángulo.

12.12.Sistema de comunicación con modulación Sistema de comunicación con modulación angular en presencia de ruido.angular en presencia de ruido.

Una señal periódica es aquella que se Una señal periódica es aquella que se repite cada T segundos.repite cada T segundos.

Por ejemplo, se puede representar por Por ejemplo, se puede representar por la expresión:la expresión:

Tf

πfw

twAtg

twdonde

Atg

c

c

c

1

2

),cos()(

)cos()(

también y

donde

wt [rad]

g(t)

A

-AT

La Frecuencia puede La Frecuencia puede ser lineal (f) o angular ser lineal (f) o angular

(w).(w).

Es de interés conocer el valor que toma Es de interés conocer el valor que toma la frecuencia de la señal f(t) en un la frecuencia de la señal f(t) en un instante dado de tiempo instante dado de tiempo ttii. El valor que . El valor que toma la frecuencia de la señal en un toma la frecuencia de la señal en un instante de tiempo instante de tiempo ttii , se conoce como , se conoce como frecuencia instantánea de la función frecuencia instantánea de la función f(t).f(t).

Veamos dos ejemplos:Veamos dos ejemplos:

w

f(t)

w

f(t)

tt

tt

wo

2wo

wo

2wo

a) b)

T 2T 3T 4TT 2T

Cambios bruscos de Cambios bruscos de FrecuenciaFrecuencia

Cambios graduales de Cambios graduales de FrecuenciaFrecuencia

Sea la ecuación:Sea la ecuación: )cos()( twAtg c

Si en la ecuación anterior se considera Si en la ecuación anterior se considera que el ángulo de fase no es constante que el ángulo de fase no es constante sino que puede ser considerado como sino que puede ser considerado como una función del tiempo, se tiene:una función del tiempo, se tiene:))(cos()( ttwAtg c

Al hacer variar Al hacer variar φφ(t)(t) en esta ecuación, se en esta ecuación, se tendrá una dependencia del tiempo “t” tendrá una dependencia del tiempo “t” de la fase de la ecuación. Se tiene en de la fase de la ecuación. Se tiene en este caso una señal modulada en este caso una señal modulada en ángulo.ángulo.

Consideremos la ecuación:Consideremos la ecuación:

donde kdonde kpp es constante y m(t) es la es constante y m(t) es la modulante, entonces la señal modulada modulante, entonces la señal modulada es:es:

( ) ( )t k m tp

))(cos()( tmktwAtg pCPM

Esta ecuación representa una Esta ecuación representa una señal modulada en fase y se denota señal modulada en fase y se denota

como como ggPMPM(t)(t)

Fase de Fase de la señalla señal

El índice de modulación de la señal El índice de modulación de la señal modulada en fase se puede determinar modulada en fase se puede determinar como:como:

El índice de modulación representa la El índice de modulación representa la máxima desviación de fase que puede máxima desviación de fase que puede darse a la función darse a la función ggPMPM(t)(t) y está dado por y está dado por el valor máximo de la amplitud de la el valor máximo de la amplitud de la

modulante por la constante modulante por la constante kkPP

[radianes] max

)(tmk pmp

Considere ahora que Considere ahora que (t) está dado (t) está dado como la integral de la función m(t), como la integral de la función m(t), entonces se tiene:entonces se tiene:

ctte donde

fff kt

dmkt

dmkt ,)()()(

))(cos()( ttwAtg c Como vimos previamente:Como vimos previamente:

Si se remplaza por la ecuación previa, se Si se remplaza por la ecuación previa, se tiene:tiene:

tdmktwAtg fcFM )(cos)(

Esta ecuación representa la señal Esta ecuación representa la señal modulada en frecuencia y se denota por modulada en frecuencia y se denota por

ggFMFM(t)(t)

El índice de modulación de la señal El índice de modulación de la señal modulada en frecuencia se determina modulada en frecuencia se determina por:por:

f m f

max

k m dt

( )

El índice de modulación está dado por El índice de modulación está dado por el máximo valor positivo de la integral el máximo valor positivo de la integral de la modulante por el factor de escala de la modulante por el factor de escala

kkff

En resumen, se tiene que las En resumen, se tiene que las ecuaciones que definen las ecuaciones que definen las técnicas de modulación angular y técnicas de modulación angular y su índice de modulación son:su índice de modulación son:

TécnicaTécnica EcuaciónEcuación Índice de Índice de ModulaciónModulación

MODULACIÓN MODULACIÓN EN FASEEN FASE

MODULACIÓN MODULACIÓN EN EN

FRECUENCIAFRECUENCIA max

)(

t

dmk fmf

tdmktwAtg fcFM )(cos)(

))(cos()( tmktwAtg pCPM max

)(tmk pmp

Considérese la ecuación:Considérese la ecuación:

))(cos()( ttwAtg c Si se toma que Si se toma que (t)=w(t)=wcct + t + (t),(t), se tiene: se tiene:

La frecuencia instantánea de la La frecuencia instantánea de la ecuación anterior, se define como:ecuación anterior, se define como:

g t A t( ) cos ( )

w td t

dti ( )( )

Esta ecuación expresa que la frecuencia Esta ecuación expresa que la frecuencia instantánea es igual a la variación instantánea es igual a la variación respecto al tiempo del ángulo de la respecto al tiempo del ángulo de la

funciónfunción

Aplicando este criterio a la modulación Aplicando este criterio a la modulación en fase se tiene:en fase se tiene:

Esta ecuación Esta ecuación permite determinar permite determinar

la frecuencia la frecuencia instantánea para instantánea para

una señal modulada una señal modulada en faseen fase

w td t

dt

d

dtw t k m ti c p( )

( )( )

w t w kd

dtm ti c p( ) ( )

Cuando la modulante va de – a + su Cuando la modulante va de – a + su derivada es positiva, siendo la derivada es positiva, siendo la

frecuencia máxima.frecuencia máxima.Cuando la modulante va de + a - su Cuando la modulante va de + a - su

derivada es negativa, siendo la derivada es negativa, siendo la frecuencia mínima.frecuencia mínima.

Representación gráfica de una señal

modulada en FASE.

De igual forma para la modulación en De igual forma para la modulación en frecuencia se tiene:frecuencia se tiene:

w td

dtw t k m d

t

i c f( ) ( )

w t w k m ti c f( ) ( )

Esta ecuación Esta ecuación permite determinar permite determinar

la frecuencia la frecuencia instantánea para instantánea para

una señal modulada una señal modulada en frecuencia.en frecuencia.

Cuando la modulante tiene su máximo Cuando la modulante tiene su máximo “+” su frecuencia es máxima.“+” su frecuencia es máxima.

Cuando la modulante tiene su máximo Cuando la modulante tiene su máximo “-” su frecuencia es mínima.“-” su frecuencia es mínima.

Representación gráfica de una señal

modulada en FRECUENCIA

w t w kd

dtm ti c p( ) ( ) w t w k m ti c f( ) ( )

ConclusiónConclusión: : Al comparar las dos Al comparar las dos ecuaciones se establece que en la ecuaciones se establece que en la modulación de fase, la frecuencia modulación de fase, la frecuencia instantánea varía linealmente con la instantánea varía linealmente con la derivada de la señal modulantederivada de la señal modulante, mientras , mientras que en la que en la modulación en frecuencia, la modulación en frecuencia, la frecuencia instantánea varía linealmente frecuencia instantánea varía linealmente con la señal modulante.con la señal modulante.

Modulación de FaseModulación de Fase Modulación de FrecuenciaModulación de Frecuencia

La ecuación para Modulación de fase se La ecuación para Modulación de fase se puede escribir utilizando la notación puede escribir utilizando la notación compleja, de esta manera:compleja, de esta manera:

g t Ae AePMj t j w t k m tc p( ) Re Re( ) ( ( ))

][)( )(tmjktjwPM

pc eeAtg

Para la Modulación de frecuencia, se Para la Modulación de frecuencia, se tiene:tiene:

t

dmktwj

FM

fc

Aetg))((

)( ]))([

)(

tdmjk

tjwFM

f

c eAetg

Hasta ahora, el análisis matemático para Hasta ahora, el análisis matemático para la modulación en fase y en frecuencia se la modulación en fase y en frecuencia se ha realizado en función de una señal ha realizado en función de una señal modulante genérica, llamada :modulante genérica, llamada :

Se considerará a continuación para el Se considerará a continuación para el análisis, una señal particular y a través análisis, una señal particular y a través de ella, realizar el análisis espectral de ella, realizar el análisis espectral correspondiente que permita tener una correspondiente que permita tener una clara idea de cómo se presenta el clara idea de cómo se presenta el espectro de la señal modulada en fase y espectro de la señal modulada en fase y en frecuencia.en frecuencia.

)()( tmot

Considérese, que la señal modulante es:Considérese, que la señal modulante es:

constantem donde 0 ),cos()( 0 twmtm m

))(cos()( tmktwAtg pCPM :que tiene se Como

twmktwAtg mpcPM coscos)( 0

Reemplazando por la modulante dada, se Reemplazando por la modulante dada, se tiene:tiene:

p m pk m 0Como:Como:

Entonces reemplazando, se tiene:Entonces reemplazando, se tiene:

g t A w t w tPM c p m( ) cos cos Ecuación de PM Ecuación de PM

cuando la cuando la modulante es una modulante es una onda senusoidalonda senusoidal

Considérese, que la señal modulante es:Considérese, que la señal modulante es:

constantem donde 0 ),cos()( 0 twmtm m

Reemplazando la modulante, tiene:Reemplazando la modulante, tiene:

Como:Como: g t A t k m dt

FM c f( ) cos ( )

dwmktwAtg m

t

fcFM coscos)( 0

m

mfcFM w

tsenwmktwAtg 0cos)(

Al resolver la integral se tiene:Al resolver la integral se tiene:

Ya que el máximo valor de Ya que el máximo valor de mm es: es:

f m

f

m

k m

w

0

La expresión final es: La expresión final es:

g t A w t w tFM c f m( ) cos sen

Ecuación de FM Ecuación de FM cuando la cuando la

modulante es una modulante es una señal senusoidalseñal senusoidal

Según se vió, la frecuencia instantánea Según se vió, la frecuencia instantánea de una señal modulada está dada por:de una señal modulada está dada por:

Si consideramos como modulante la Si consideramos como modulante la señal:señal:

w w k m ti c f ( )

entonces:entonces:

twmtm mcos)( 0

w w k m w ti c f m 0 cos

w w k m w ti c f m0 cos

2 2 0 f f k m w ti c f mcos

Factorizando, se tiene:Factorizando, se tiene:2 0 ( ) cosf f k m w ti c f m

El valor máximo que puede tomar el El valor máximo que puede tomar el miembro derecho de la ecuación, es miembro derecho de la ecuación, es kkf f mm00, por tanto:por tanto:

( )f fk m

i c max

f

0

2

f f fi c m f

MAX

k m dt

( )Sea,Sea, y comoy como

f m

f

mf m f

k m

ww k m

0

0

Integrando se tiene:Integrando se tiene:

(Ec. 1)(Ec. 1)

Reemplazando en la Ec. 1, se tiene:Reemplazando en la Ec. 1, se tiene:

La ecuación anterior permite determinar La ecuación anterior permite determinar la desviación de frecuencia angular de la la desviación de frecuencia angular de la señal modulada en frecuencia cuando la señal modulada en frecuencia cuando la modulante es una señal senusoidal. modulante es una señal senusoidal. Representa el índice de modulación para Representa el índice de modulación para FMFM

fw ff m f m

2

2

2

fm

f

f

FinalmenteFinalmente:: modulante frecuencia

frecuencia de desviación

mf

f

Por naturaleza la FM posee un ancho de Por naturaleza la FM posee un ancho de banda amplio, lo cual se constituye en banda amplio, lo cual se constituye en una limitación cuando la disponibilidad una limitación cuando la disponibilidad de ancho banda es limitada.de ancho banda es limitada.

Sin embargo, la excelente relación señal Sin embargo, la excelente relación señal a ruido que posee la hace interesante a ruido que posee la hace interesante aún a pesar de la limitación anterior.aún a pesar de la limitación anterior.

Se han realizado análisis y estudios que Se han realizado análisis y estudios que permiten reducir el ancho de banda de permiten reducir el ancho de banda de esta técnica de modulación, logrando esta técnica de modulación, logrando salvar esta limitación.salvar esta limitación.

La ecuación de una señal modulada en La ecuación de una señal modulada en frecuencia es:frecuencia es:

tsenwtwAtg mfcFM cos)(

FM

j w t w tt Ae c f m( ) Re ( sen tsenwjtjwFM

mfc eAet Re)(

En forma compleja se puede escribir:En forma compleja se puede escribir:

(Ec. 2)(Ec. 2)

También la Ec. 2 puede ser reescrita También la Ec. 2 puede ser reescrita usando identidades trigonométricas usando identidades trigonométricas como:como: FM c f m c f mt A w t w t A w t w t( ) cos cos( sen ) sen sen( sen )

(Ec. (Ec. 3)3)

Al observar la ecuación 3 se evidencia su Al observar la ecuación 3 se evidencia su complejidad para resolverla. Para complejidad para resolverla. Para simplificarla se harán algunas simplificarla se harán algunas consideraciones. consideraciones. En primer lugar, considérese que los En primer lugar, considérese que los valores de valores de son pequeños, entonces: son pequeños, entonces:

cos( sen ) f mw t 1 tsenwtsenwsen mfmf )(y

Los valores de Los valores de ff usuales para las usuales para las consideraciones anteriores, pueden ser consideraciones anteriores, pueden ser tomados como menores a 0,2 , es decir, tomados como menores a 0,2 , es decir, ff < 0,2. Apliquemos este criterio en la < 0,2. Apliquemos este criterio en la ecuación 3.ecuación 3.

FM c f m c f mt A w t w t A w t w t( ) cos cos( sen ) sen sen( sen )

Así, se tiene que:Así, se tiene que:

NBFM c f c mt A w t A w t w t( ) cos sen sen

La ecuación 4 representa la ecuación La ecuación 4 representa la ecuación para la modulación de frecuencia de para la modulación de frecuencia de banda angosta y se denota como banda angosta y se denota como NBFMNBFM, , donde donde ff es el índice de modulación para es el índice de modulación para FM.FM.

(Ec. (Ec. 4)4)

NBFM c f c mt A w t A w t w t( ) cos sen sen

Señal Señal PortadoraPortadora

Índice de Índice de ModulaciónModulación

Señal Señal ModulantModulant

eeEn ausencia de modulante, solo está presente la portadora de frecuencia En ausencia de modulante, solo está presente la portadora de frecuencia wwc c

llamada frecuencia de reposo. En caso contrario, la frecuencia de la señal llamada frecuencia de reposo. En caso contrario, la frecuencia de la señal portadora se desvía por encima y por debajo de portadora se desvía por encima y por debajo de wwc c en un valor dado según en un valor dado según ff

Representando la ecuación 4 en forma Representando la ecuación 4 en forma fasorial, se tiene:fasorial, se tiene:

(Ec. (Ec. 5)5)

NBFMjw t

f mt Ae j w tc( ) Re ( sen ) 1

NBFMjw t

fjw t

fjw tt Ae e ec m m( ) Re ( )

11

2

1

2

Consideremos una señal modulada en Consideremos una señal modulada en amplitud:amplitud:AM c m ct A w t mA w t w t( ) cos cos .cos

AMjw t

mt Ae m w tc( ) Re ( cos ) 1

AMjw t jw t jw tt Ae me mec m m( ) Re ( )

11

2

1

2

Escrita en forma fasorial, se tiene:Escrita en forma fasorial, se tiene:

(Ec. (Ec. 6)6)

Las ecuaciones 5 y 6 pueden ser Las ecuaciones 5 y 6 pueden ser graficadas tomando como referencia el graficadas tomando como referencia el término de cada una.término de cada una.

wm

Portadora = 1

Eje real

EjeImaginario

Resultante

Eje real

EjeImaginario

wm

EjeImaginario

-w m

Eje real

1

2me jw tm

1

2me jw tm

Portadora = 1

Eje real

EjeImaginario

Eje real

EjeImaginario

/ 2 / 2

/ 2

Portadora = 1

b)

Resultante sen w tm

Eje real

EjeImaginario

a)

suma vectorial

suma vectorial

Ae jw tc

Realizando una comparación entre los Realizando una comparación entre los resultados para AM y NBFM se puede resultados para AM y NBFM se puede establecer lo siguiente:establecer lo siguiente:

Ambas modulaciones poseen dos Ambas modulaciones poseen dos bandas laterales y su ancho de banda es bandas laterales y su ancho de banda es igual a 2wigual a 2wmm..En AM la modulación se agrega en fase En AM la modulación se agrega en fase con la portadora mientras que en NBFM con la portadora mientras que en NBFM se hace en cuadratura.se hace en cuadratura.La modulación AM proporciona La modulación AM proporciona variación de amplitud sin desviación de variación de amplitud sin desviación de fase mientras que NBFM da origen a una fase mientras que NBFM da origen a una variación de fase con muy pequeño variación de fase con muy pequeño cambio de amplitud.cambio de amplitud.

El desfase se puede determinar a partir El desfase se puede determinar a partir del triángulo resultante del diagrama del triángulo resultante del diagrama fasorial como:fasorial como:

1)( 1 tsenw

tgt m ( ) tg sent w tm 1

La desviación de la frecuencia La desviación de la frecuencia instantánea respecto a la frecuencia de instantánea respecto a la frecuencia de la portadora es:la portadora es:

d

dt

d w t

dtm

tg ( sen )1

twsen

tww

dt

d

m

mm221

)(cos

122 twsen m que toma se Si twwdt

dmm cos

Angulo de DesfaseAngulo de Desfase

La desviación de la frecuencia La desviación de la frecuencia instantánea respecto a la frecuencia de instantánea respecto a la frecuencia de la portadora es:la portadora es:

d

dt

d w t

dtm

tg ( sen )1

twsen

tww

dt

d

m

mm221

)(cos

122 twsen m que toma se Si twwdt

dmm cos

AnálisisAnálisis: Para evitar variaciones en la : Para evitar variaciones en la amplitud de una señal modulada en amplitud de una señal modulada en frecuencia, se debe restringir el valor de frecuencia, se debe restringir el valor de . .

Según el diagrama fasorial b, la Según el diagrama fasorial b, la magnitud del vector resultante se puede magnitud del vector resultante se puede determinar como:determinar como:

g t A w t A w tNBFM m m( ) sen sen 1 12 2 2 2

Para que la magnitud de la ecuación 7 se Para que la magnitud de la ecuación 7 se mantenga constante, se deben hacer mantenga constante, se deben hacer algunas consideraciones.algunas consideraciones. Si , como Si , como sensen22wwmmt≤1 entonces t≤1 entonces 22 < 1, que nos dice < 1, que nos dice que los valores de que los valores de deben ser menores deben ser menores que uno. que uno. En la práctica En la práctica < 0,3, es una buena < 0,3, es una buena aprox.aprox.

(Ec. (Ec. 7)7)

2 2 1sen w tm

Con las consideraciones anteriores, se Con las consideraciones anteriores, se garantiza que la amplitud de una señal garantiza que la amplitud de una señal modulada en frecuencia sea constante, modulada en frecuencia sea constante, es decir:es decir:

g t A constanteNBFM ( )

NOTA: Para que esto se cumpla, el NOTA: Para que esto se cumpla, el índice de modulación debe ser muy índice de modulación debe ser muy pequeño.pequeño.

Considérese una modulante Considérese una modulante senusoidal:senusoidal:

f t A w tm( ) cos twAkwtw mfci cos)(

twwwtwAkwSi mcif cos)(

De la Ec. 7, el ángulo de fase se determina De la Ec. 7, el ángulo de fase se determina como:como:

(Ec. (Ec. 7)7)

( ) ( )sen

t w d w tw w t

wi

t

cm

m

0

mf w

w pero

tsenwtwt mfc )( :tiene se reemplazar Al

)(Re)( tjFM Aetg :Como tsenwjtjw

FMmfc eAetg Re)( (Ec. (Ec. 8)8)

El segundo exponencial de la ecuación 8, El segundo exponencial de la ecuación 8, se puede expandir en una serie se puede expandir en una serie exponencial de Fourier, resultando:exponencial de Fourier, resultando:

e F ej w tn

jnw t

n

f m m sen

FT

f t e dtT

e e dtnjnw t

T

j w t jnw t

T

m f m m 1 1

( ). sen

en donde:en donde:

f t e j w tf m( ) sen Si se considera que: Si se considera que:

tT

twm

2 :haciendoy

deF nsenjn

f )(

2

1 tienese do,Reemplanza

(Ec. (Ec. 9)9)

dT

T

ddtdt

Td

222

La solución de la integral de la ecuación 9 La solución de la integral de la ecuación 9 se obtiene por medio de la función de se obtiene por medio de la función de BESSEL de primera clase y se indica como BESSEL de primera clase y se indica como , donde n es el orden y , donde n es el orden y es el es el argumento. argumento.

Los valores de se obtienen a partir Los valores de se obtienen a partir de las tablas de BESSELde las tablas de BESSEL

La función de BESSEL de primera clase y La función de BESSEL de primera clase y enésimo orden se denota como: enésimo orden se denota como:

J n ( )

J n ( )

J mn ( )

Teoría de las Funciones de BESSELTeoría de las Funciones de BESSELLa expresión matemática para determinar los La expresión matemática para determinar los valores de cada uno de los componentes valores de cada uno de los componentes espectrales, está definida como:espectrales, está definida como:

!3!3

2/

!21!2

2/

!1!1

2/

!

1

2)(

642

nnnnnJ ffff

fN

Usando la función de BESSEL, se puede Usando la función de BESSEL, se puede expresar una ecuación en otra forma. expresar una ecuación en otra forma. VeamosVeamos

nn

nnxmJxm

2cos)()coscos(

El argumento de la primera ecuación, es una El argumento de la primera ecuación, es una función trigonométrica, en la segunda es una función trigonométrica, en la segunda es una función trigonométrica con argumento simple.función trigonométrica con argumento simple.

Teoría de las Funciones de BESSELTeoría de las Funciones de BESSELNormalmente para trabajar con las Normalmente para trabajar con las funciones de Bessel no hay que hacer funciones de Bessel no hay que hacer todos los engorrosos cálculos. Al todos los engorrosos cálculos. Al contrario, es muy simple empleando las contrario, es muy simple empleando las tablas ya calculadas, llamadas TABLAS DE tablas ya calculadas, llamadas TABLAS DE BESSEL.BESSEL.

Propiedades de las funciones de BESSEL:Propiedades de las funciones de BESSEL:Elemento Descripción

Son de valor real

Para n PAR

Para n IMPAR

J n ( ))()( nn JJ )()( nn JJ

Friedrich Wilhelm Bessel

Funciones de Bessel para valores de n = 0 a n = 15

FUNCIÓN DE BESSELPortadora ORDEN DE LA FUNCIÓN

J0 J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 J8 J9 J10 J11 J12 J13 J14 J15

0 1,00 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

0,1 1,00 0,05 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

0,2 0,99 0,10 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

0,25 0,98 0,12 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

0,5 0,94 0,24 0,03 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

0,75 0,86 0,35 0,07 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

1 0,77 0,44 0,11 0,02 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

1,5 0,51 0,56 0,23 0,06 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

2 0,22 0,58 0,35 0,13 0,03 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

2,4 0,00 0,52 0,43 0,20 0,06 0,02 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

3 -0,26 0,34 0,49 0,31 0,13 0,04 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

4 -0,40 -0,07 0,36 0,43 0,28 0,13 0,05 0,02 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

5 -0,18 -0,33 0,05 0,36 0,39 0,26 0,13 0,05 0,02 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~

6 0,15 -0,28 -0,24 0,11 0,36 0,36 0,25 0,13 0,06 0,02 0,01 ~ ~ ~ ~ ~

7 0,30 0,00 -0,30 -0,17 0,16 0,35 0,34 0,23 0,13 0,06 0,02 0,01 ~ ~ ~ ~

8 0,17 0,23 -0,11 -0,29 -0,11 0,19 0,34 0,32 0,22 0,13 0,06 0,03 0,01 ~ ~ ~

9 -0,09 0,25 0,14 -0,18 -0,27 -0,06 0,20 0,33 0,31 0,21 0,12 0,06 0,03 0,01 ~ ~

10 -0,25 0,04 0,25 0,06 -0,22 -0,23 -0,01 0,22 0,32 0,29 0,21 0,12 0,06 0,03 0,01 ~

11 -0,17 -0,18 0,14 0,23 -0,02 -0,24 -0,20 0,02 0,22 0,31 0,28 0,20 0,12 0,06 0,03 0,01

12 0,05 -0,22 -0,08 0,20 0,18 -0,07 -0,24 -0,17 0,05 0,23 0,30 0,27 0,20 0,12 0,07 0,03

13 0,21 -0,07 -0,22 0,00 0,22 0,13 -0,12 -0,24 -0,14 0,07 0,23 0,29 0,26 0,19 0,12 0,07

14 0,17 0,13 -0,15 -0,18 0,08 0,22 0,08 -0,15 -0,23 -0,11 0,09 0,24 0,29 0,25 0,19 0,12

15 -0,01 0,21 0,04 -0,19 -0,12 0,13 0,21 0,03 -0,17 -0,22 -0,09 0,10 0,24 0,28 0,25 0,18

f

RepresentRepresenta la a la

Portadora Portadora de la señal de la señal ModuladaModulada

Para este Para este índice de índice de

modulación la modulación la portadora se portadora se hace CERO !hace CERO !

Desde J1 Hasta J15 Desde J1 Hasta J15 representan las representan las bandas lateralesbandas laterales

Índice de Índice de ModulacióModulació

nn

A mayor índice A mayor índice de Modulación, de Modulación, mayor numero mayor numero

de Bandas de Bandas LateralesLaterales

Las funciones de Bessel pueden ser graficadas, obteniéndose por ejemplo las siguientes graficas para valores de n = 0 a n = 4

Retomando el análisis, la ecuaciónRetomando el análisis, la ecuación

puede ser reescrita como:puede ser reescrita como:

y empleándola en la expresión general y empleándola en la expresión general para FM:para FM:

e F ej w tn

jnw t

n

f m m sen

e J ej w tn

jnw t

n

m m sen ( )

g t Ae J eFMjw t

njnw t

n

c m( ) Re ( )

n

mcnFM tnwwJAtg )cos()()(

Analizando la expresión:Analizando la expresión:

Se puede concluir que el ancho de banda Se puede concluir que el ancho de banda de una señal modulada en frecuencia por de una señal modulada en frecuencia por una onda seno, tiene un número de una onda seno, tiene un número de bandas laterales infinito. bandas laterales infinito.

Pero según la tabla de Bessel solo algunas Pero según la tabla de Bessel solo algunas bandas laterales tienen magnitud bandas laterales tienen magnitud significativas y en consecuencia el ancho significativas y en consecuencia el ancho de banda se hace finito.de banda se hace finito.

n

mcnFM tnwwJAtg )cos()()(

CRITERIO PARA DEFINIR EL ANCHO DE CRITERIO PARA DEFINIR EL ANCHO DE BANDA.BANDA.Sea la ecuación de una señal modulada en Sea la ecuación de una señal modulada en frecuencia:frecuencia:

Una banda lateral es significativa si tiene Una banda lateral es significativa si tiene magnitud igual ó mayor al 1 % de la magnitud igual ó mayor al 1 % de la magnitud de la portadora no modulada.magnitud de la portadora no modulada.Esto es:Esto es:

n

mcnFM tnwwJAtg )cos()()(

J n ( ) . 0 01

CRITERIO PARA DEFINIR EL ANCHO DE CRITERIO PARA DEFINIR EL ANCHO DE BANDA.BANDA.Los valores de Los valores de JJnn(()) son despreciables son despreciables para n > para n > . Entonces el ancho de banda . Entonces el ancho de banda para FM se puede obtener tomando la para FM se puede obtener tomando la última banda lateral significativa en n = última banda lateral significativa en n = , esto es:, esto es:W nw w

w

wwm m

mm 2 2 2

grande es si βwW 2

W w wm 2( ) )1(2 mwW

Para una forma de onda general, se Para una forma de onda general, se emplea la regla de Carlson para emplea la regla de Carlson para determinar el ancho de banda:determinar el ancho de banda:

Análisis espectral Análisis espectral para una señal para una señal modulada en modulada en

frecuencia para frecuencia para diferentes índices de diferentes índices de

modulación.modulación.

CONSIDERACIÓN PRELIMINARCONSIDERACIÓN PRELIMINAR

Según los análisis anteriores, la Según los análisis anteriores, la modulación angular se produce cuando se modulación angular se produce cuando se hace variar el ángulo de fase de una señal hace variar el ángulo de fase de una señal portadora de frecuencia portadora de frecuencia wwcc en en dependencia de la amplitud de una dependencia de la amplitud de una modulante. modulante.

El tipo de modulación obtenida PM o FM El tipo de modulación obtenida PM o FM depende de que se use la señal modulante depende de que se use la señal modulante directamente o se utilice como modulante directamente o se utilice como modulante la señal después de ser integrada.la señal después de ser integrada.))(cos()( tmktwAtg pCPM

tdmktwAtg fcFM )(cos)(

Generación de WBFM y NBFM.

CASO DE NBPMCASO DE NBPM: Si partimos de la : Si partimos de la ecuación:ecuación:

analicemos como generarla…. Una analicemos como generarla…. Una alternativa se muestra en la figura alternativa se muestra en la figura siguiente:siguiente:

g t A w t A w t w tNBFM c f m c( ) cos sen( ) sen( )

cos wc

t

90

f(t)X kp +

+

a) Caso NBPM

90

f(t)X kf +

+

b) Caso FM

cos wc

t

g tNBPM

( )

g tNBFM

( )

Generacion de NBPMGeneracion de NBPM: : g t A w t A w t w tNBFM c f m c( ) cos sen( ) sen( )

cos wc

t

90

f(t)X kp +

+

a) Caso NBPM

90

f(t)X kf +

+

b) Caso FM

cos wc

t

g tNBPM

( )

g tNBFM

( )

El generador de portadora cuya salida es desfasada en 90 grados El generador de portadora cuya salida es desfasada en 90 grados para se multiplicada linealmente con la señal f(t) de entrada para se multiplicada linealmente con la señal f(t) de entrada (modulante) señal sen(modulante) señal senwwmmt.t. El índice de modulación se puede El índice de modulación se puede

controlar por medio de kcontrolar por medio de kpp. Finalmente la señal de salida de . Finalmente la señal de salida de

modulador balanceado con ganancia ajustada se suma con la señal modulador balanceado con ganancia ajustada se suma con la señal portadora sin desfase alguno para dar como resultado la señal de portadora sin desfase alguno para dar como resultado la señal de FM de banda estrecha. FM de banda estrecha.

Generación de NBFM y NBPM.

CASO DE NBFMCASO DE NBFM: Si se integra la función : Si se integra la función antes de ingresar al sistema, se tiene antes de ingresar al sistema, se tiene NBFM , según vimos.NBFM , según vimos.

Entonces para generar NBFM se tiene:Entonces para generar NBFM se tiene:

cos wc

t

90

f(t)X kp +

+

a) Caso NBPM

90

f(t)X kf +

+

b) Caso FM

cos wc

t

g tNBPM

( )

g tNBFM

( )

Método Método DirectoDirectoEl proceso de demodular una señal de El proceso de demodular una señal de FM involucra un método tal que FM involucra un método tal que permita convertir las variaciones de permita convertir las variaciones de frecuencia en una variación de voltaje. frecuencia en una variación de voltaje. Este sistema debe tener una Este sistema debe tener una característica de transferencia lineal, característica de transferencia lineal, llamado discriminador de frecuencia.llamado discriminador de frecuencia.Un circuito con esta característica lo Un circuito con esta característica lo constituye el diferenciador ideal con constituye el diferenciador ideal con función de transferencia jw.función de transferencia jw.

Método Método DirectoDirectoLa señal de FM es:La señal de FM es:

g t A w t k m dt

FM c f( ) cos ( )

g t A J w nw tn c mn

( ) ( ) cos( )

Si se aplica la ecuación 48 a la entrada del diferenciador Si se aplica la ecuación 48 a la entrada del diferenciador ideal se tiene como salida:ideal se tiene como salida:

(Ec. 48)

g td

dtA w t k m dFM c f

t, ( ) cos( ( ) )

g t A w k m t w t k m dt

FM c f c f, ( ) ( ) sen[ ( ) ]

(Ec. 49)

Método Método DirectoDirectoLa señal de FM es:La señal de FM es:

g t A w k m t w t k m dt

FM c f c f, ( ) ( ) sen[ ( ) ]

(Ec. 49)

La señal de la ecuación 49 está modulada tanto en La señal de la ecuación 49 está modulada tanto en frecuencia como en amplitud.frecuencia como en amplitud.La envolvente de la ecuación 49 es:La envolvente de la ecuación 49 es:

A w k m tc f[ ( )] cof wmkwComo 0)( tmkw fc

De la ecuación 50, se concluye que la envolvente De la ecuación 50, se concluye que la envolvente es siempre positiva, es decir, toma valores por es siempre positiva, es decir, toma valores por encima del eje del tiempo, lo cual permite usar encima del eje del tiempo, lo cual permite usar detección de envolvente para obtener la señal detección de envolvente para obtener la señal m(t) (la modulante).m(t) (la modulante).

(Ec. 50)

El esquema de un demodulador de FM es entonces:El esquema de un demodulador de FM es entonces:

d

dtdetector

envolvente

A w k m tc f[ ( )]g tFM ( )g tFM ( )

La ecuación de salida supone la amplitud constante. Si La ecuación de salida supone la amplitud constante. Si la amplitud no fuese constante, sino una función del la amplitud no fuese constante, sino una función del tiempo, se tendría como envolvente:tiempo, se tendría como envolvente:

A t w k m tc f( )[ ( )]

Esta ecuación indica que la salida del detector de Esta ecuación indica que la salida del detector de envolvente es proporcional a envolvente es proporcional a A(t)m(t)A(t)m(t)..De acuerdo al resultado de la ecuación 50 es necesario De acuerdo al resultado de la ecuación 50 es necesario mantener la amplitud constante.mantener la amplitud constante.

La amplitud se puede mantener constante si se usa un La amplitud se puede mantener constante si se usa un limitador de pasabanda, el cual posee un limitador limitador de pasabanda, el cual posee un limitador seguido de un filtro pasabanda.seguido de un filtro pasabanda.La expresión de la señal modulada en frecuencia La expresión de la señal modulada en frecuencia general tiene la ecuación siguiente:general tiene la ecuación siguiente:

v t w t k m d

w t k m d

w t k m d

c f

t

c f

t

c f

t

0 0

4

1

33

1

55

( ( )) [cos( ( ) )

cos .( ( ) )

cos .( ( ) ) ]

FrecuenciaFrecuenciaFundamentFundament

alal

FrecuenciaFrecuenciaArmónicas Armónicas superioressuperiores

El limitador hace la amplitud constante y el filtro pasa El limitador hace la amplitud constante y el filtro pasa banda extrae la señal modulante ubicada en wbanda extrae la señal modulante ubicada en wc .

LIMITADORESTRICTO

FILTRO PASABANDA

C L

Señal de FM deamplitud variable

Señal de FM deamplitud constante

A t w t tc( ) cos[ ( )]4

cos[ ( )]w t tc

SeaSea

yy g t A w t w tFM c m( ) cos( sen ) Ec. 51 Ec. 51

Considerando la ortogonalidad de la Considerando la ortogonalidad de la función coseno, el valor cuadrático función coseno, el valor cuadrático medio de la suma es igual a la suma de medio de la suma es igual a la suma de los valores cuadráticos medios, por lo los valores cuadráticos medios, por lo cual:cual:

g t A J w nw tn c mn

( ) ( ) cos( )

peropero

g tA

JFM n

n

22

2

2( ) ( )

J n

n

2 1( )

Obteniendo finalmente que:Obteniendo finalmente que:

g tA

FM2

2

2( )

El valor cuadrático medio de cada banda lateral es:El valor cuadrático medio de cada banda lateral es:

g tA

JFM BL n2

22

2( ) ( )

El valor cuadrático medio es igual a la potencia promedio El valor cuadrático medio es igual a la potencia promedio si se considera como resistencia R = 1 Ohm.si se considera como resistencia R = 1 Ohm.Las bandas laterales o la portadora se pueden hacer tan Las bandas laterales o la portadora se pueden hacer tan pequeñas como se desee eligiendo el índice de modulación pequeñas como se desee eligiendo el índice de modulación apropiado. apropiado.

Análisis espectral Análisis espectral para una señal para una señal modulada en modulada en

frecuencia para frecuencia para diferentes índices de diferentes índices de

modulación.modulación.