modulación+analógica+ · rango+de+frecuencias+más+adecuado+paralatrasmisión.+tiene+ queserun...

Modulación Analógica

Luca Mar0no [email protected]

Introducción

•  Un sistema de comunicación trasmite señales con información a través de un canal de comunicaciones que separa el trasmisor del receptor.

Introducción

•  Banda Base: se u0liza para denominar la banda de frecuencias que representa la señal original que lleva la información.

•  Modulación: Por varios mo0vos (que veremos mas adelante), se requiere desplazar las frecuencias de banda base a otro rango de frecuencias más adecuado para la trasmisión. Tiene que ser un proceso reversible.

•  Demodulación: en recepción se realizará el desplazamiento inverso en frecuencia al rango original (banda base).

€

m(t)

Introducción

•  Moduladora: señal de banda base que lleva la información.

•  Portadora: señal que se modifica de acuerdo con la señal que 0ene la información .

•  Señal modulada: señal resultante del proceso de modulación.

€

m(t)

€

c(t)

€

m(t)

€

s(t)

Mo0vos para modular

①  U0lización eficiente del canal (transmi0r donde el canal 0ene una buena respuesta en frecuencia).

②  radiación eficiente (reducción de la longitud Isica de las antenas; depende de la frecuencia de la señal que se va a emi0r).

③  Transmisión múl0ple.

④  Comba0r ruido (aumentando el ancho de banda de la señal).

⑤  superar limitaciones del equipo.

Tipos de modulación

Modulación

Analógica

Amplitud (AM)

Banda L. Doble

Convencional

Banda L. Única

Banda L. Residual

Angular

FM

PM Digital

Señal en banda base y portadora

•  Se considere una señal en bajas frecuencias con ancho de banda .

•  la portadora siempre tendrá la siguiente forma (para cualquier 0po de modulación analógica):

€

m(t)

€

W

€

c(t)

€

c(t) = Ac cos(2πfct + φc )

Una de estas variables va a hacer función de

€

m(t)

€

M( f )

€

W

€

f

€

W

€

−W

Recuerda que para una señal real, el modulo de la T. de Fourier es par, mientras la fase es impar.

€

A

€

W

Modulación AM-‐banda lateral doble

•  La señal modulada resulta ser:

•  la amplitud de la señal transporta la información.

€

s(t) = m(t)c(t)s(t) = Acm(t)cos(2πfct + φc )

AM-‐Banda Lateral Doble (BLD)

•  En frecuencia se trata solo de una traslación:

€

S( f )

€

2W

€

f

€

fc +W

€

fc −W

€

fc

€

2W€

− fc +W€

Ac

2A

€

− fc −W

€

− fc€

Ac

2A

€

S( f ) = M( f )∗ Ac

2e jφ cδ( f − fc ) + e− jφ cδ( f + fc )[ ]

S( f ) =Ac

2e jφ c M( f − fc ) + e− jφ c M( f + fc )[ ] Cuidado: NO es la

densidad espectral de potencia.

AM-‐Banda Lateral Doble (BLD)

•  El ancho de banda de es (doble respecto al ancho de banda de la señal original ).

€

s(t)

€

2W

€

m(t)

€

S( f )

€

f

€

fc +W

€

fc −W

€

fc

€

− fc +W

€

− fc −W

€

− fc

€

S( f )

€

f

€

fc +W

€

fc −W

€

fc

€

− fc +W

€

− fc −W

€

− fc

Banda lateral superior

Banda lateral inferior

Ejemplo: Tono Simple

•  Se considere la señal en banda base:

€

m(t) = acos(2πfmt)

€

fm << fc

€

s(t) = m(t)c(t)s(t) = Acacos(2πfmt)cos(2πfct + φc )

€

s(t) =Ac

2acos(2π( fc − fm )t + φc ) +

Ac

2acos(2π( fc + fm )t + φc )€

cos(A)cos(B) =12cos(A − B) + cos(A + B)( )

Banda lateral inferior Banda lateral superior


•  En frecuencia:

€

S( f ) =Aca4

e jφ cδ( f − fc + fm ) + e− jφ cδ( f + fc − fm )[ ]

+Aca4

e jφ cδ( f − fc − fm ) + e− jφ cδ( f + fc + fm )[ ]

€

S( f )

€

f

€

fc

€

− fc + fm€

Aca4

€

− fc − fm

€

− fc

€

fc + fm

€

fc − fm€

Aca4

€

Aca4

€

Aca4



BLD-‐Potencia

•  La potencia es

€

Ps =Ac2

2Pm

€

Ps = limT→∞

1T

s2(t)dt =− T2

T2∫ lim

T→∞

1T

Acm(t)cos(2πfct)[ ]2dt =− T2

T2∫ Ac

2 limT→∞

1T

m2(t)cos2(2πfct)dt =− T2

T2∫

€

cos2(2πfct) =12cos(4πfct) +1[ ]

€

Ps =Ac2

2limT→∞

1T

m2(t)cos(4πfct)dt− T2

T2∫ +

Ac2

2limT→∞

1T

m2(t)dt− T2

T2∫

€

0

De la misma forma se puede calcular la autocorrelación y la densidad espectral de potencia.

€

φc = 0

Hemos supuesto

BLD-‐Autocorrelación

•  La autocorrelación de la señal modulada es

€

Rs τ[ ] =Ac2

2Rm τ[ ]€

Rs[τ] = limT→∞

1T

s(t)s(t −τ)dt =− T2

T2∫ lim

T→∞

1T

Acm(t)cos(2πfct)( ) Acm(t −τ)cos(2πfc (t −τ))( )dt− T2

T2∫

= Ac2 limT→∞

1T

m(t −τ)m(t)cos(2πfct)cos(2πfc (t −τ))dt− T2

T2∫ =

=Ac2

2limT→∞

1T

m(t)m(t −τ) cos(4πfct − 2πfcτ) + cos(2πfcτ)[ ]dt− T2

T2∫ =

=Ac2

2limT→∞

1T

m(t)m(t −τ)cos(4πfct − 2πfcτ)dt− T2

T2∫ +

Ac2

2cos(2πfcτ) limT→∞

1T

m(t)m(t −τ)dt− T2

T2∫ =

= 0 +Ac2

2cos(2πfcτ)Rm[τ]

€

0

€

φc = 0

Hemos supuesto

€

cos(A)cos(B) =12cos(A − B) + cos(A + B)( )

BLD-‐Demodulación

•  Idea básica: para modular hemos la señal de interés mul0plicado por un coseno:

•  para demodular podemos hacer lo mismo y luego filtrar paso bajo:

€

×cos(2πfct + φc )

€

S( f )

€

f

€

fc +W

€

fc −W

€

fc

€

− fc +W€

Ac

2A

€

− fc −W

€

− fc€

Ac

2A

€

M( f )

€

f

€

W

€

−W€

A

modulación

€

×cos(2πfct + φc )€

S( f )

€

f

€

fc +W

€

fc −W

€

fc

€

− fc +W€

Ac

2A

€

− fc −W

€

− fc€

Ac

2A

demodulación

€

S( f )

€

−2 fc

€

2 fc


•  En ausencia de ruido y suponiendo un canal ideal, la señal recibida es igual a la señal modulada ( ).

•  Supongamos que para demodular se mul0plique por otra señal sinusoidal:

•  donde es una fase genérica, y luego un filtro baso-‐bajo. Pues, vemos que

€

r(t)

€

r(t) = s(t)

€

cos(2πfct + φ)

€

φ

€

r(t)cos(2πfct + φ) = Acm(t)cos(2πfct + φc )cos(2πfct + φ) =

=12Acm(t)cos(φc −φ) +

12Acm(t)cos(4πfct + φc + φ)


•  Filtrando paso bajo, obtenemos:

•  Nótese que cuando , la señal deseada es reducida de un factor ( ) .

•  Si . Necesitamos un sincronizador de fase.

€

r(t) = s(t)

€

φ ≠ φc

€

y(t) =12Acm(t)cos(φc −φ)

€

cos(2πfct + φ)

Filtro paso-‐bajo

€

H( f )

€

y(t) =12Acm(t)cos(φc −φ)

€

cos(φc −φ)

€

cos(φc −φ) ≤1

€

φc −φ = π /2⇒ y(t) = 0

Modulación AM convencional


•  se trasmite la doble banda lateral más una componente de la portadora. La señal de mensaje 0ene que respectar esta relación:

•  es decir, hay que normalizar la señal. Esto porque, como veremos, favorece la demodulación.

€

s(t) = c(t) +m(t)c(t)s(t) = Ac[1+m(t)]cos(2πfct + φc )

€

m(t) ≤1


•  Pues, vamos a considerar la señal normalizada,

•  así que el mínimo valor de es -‐1. Entonces:

•  El factor de escala es llamado índice de modulación.

€

m(t) = amn (t)↔ mn (t) =m(t)

maxm(t)

€

s(t) = Ac[1+ amn (t)]cos(2πfct + φc )

€

a€

mn (t)


•  La respuesta en frecuencia es:

•  el ancho de banda es siempre el doble respecto a la señal original.

€

S( f ) = Mn ( f )∗Aca2

e jφ cδ( f − fc ) + e− jφ cδ( f + fc )[ ] +Ac

2e jφ cδ( f − fc ) + e− jφ cδ( f + fc )[ ]

S( f ) =Ac

2ae jφ c Mn ( f − fc ) + e jφ cδ( f − fc ) + ae− jφ c Mn ( f + fc ) + e− jφ cδ( f + fc )[ ]

€

S( f )

€

2W

€

f

€

fc +W

€

fc −W

€

fc

€

2W€

− fc +W

€

− fc −W

€

− fc



€

mn (t) = cos(2πfmt)

€

fm << fc

€

s(t) = Ac[1+ acos(2πfmt)]cos(2πfct + φc )

€

S( f ) =Ac

2e jφ cδ( f − fc ) + e− jφ cδ( f + fc )[ ] +

+Aca4

e jφ cδ( f − fc + fm ) + e− jφ cδ( f + fc − fm )[ ] +Aca4

e jφ cδ( f − fc − fm ) + e− jφ cδ( f + fc + fm )[ ]

Banda lateral superior Banda lateral inferior

€

S( f )

€

f

€

fc

€

− fc + fm€

Aca4

€

− fc − fm

€

− fc

€

fc + fm

€

fc − fm€

Aca4

€

Aca4

€

Aca4

€

Ac

2

€

Ac

2

AM convencional-‐Potencia

•  Claramente gastamos más potencia respecto a BLD, dado que añadimos la portadora.

•  se gana en sencillez (receptores muy baratos (radio)).

€

Ps =Ac2

2+Ac2

2a2Pmn

AM convencional-‐Demodulación

•  Hemos visto que la modulación AM convencional no aporta mejoras en termino de ancho de banda ni en termino de potencia.

•  Pero es más fácil demodular. De hecho, si ,

•  y la envolvente de la señal recibida coindica con la señal de mensaje. Para demodular hace falta solo u0lizar un detector de envolvente (realmente es un filtro paso-‐bajo).

€

m(t) ≤1

€

1+m(t) ≥ 0

€

C

€

R

€

m(t)

€

r(t)

Comparación BLD-‐tradicional

BLD

AM tradicional

€

1+m(t) ≥ 0

Para demodular hay que ”juntar los maximos” de la señal modulada.

Moduladora (información)

Portadora



Modulación AM-‐banda lateral única

•  Para ahorrar ancho de banda, se puede tratar de enviar solo la banda lateral superior o inferior sin perder información.


•  Donde es la transformada de Hilbert . La trasformada de Hilbert puede ser vista con respuesta impulsiva . En frecuencia el filtro se resulta ser:

€

s(t) = Acm(t)cos(2πfct) Ac ˆ m (t)sin(2πfct)

€

ˆ m (t)

€

m(t)

€

h(t) =1/πt

€

H( f ) =

− j, f > 0j, f < 00, f = 0

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

€

ˆ m (t) = m(t)∗ 1πt


•  Vamos a demostrar que es así:

•  El filtro paso alto es:

•  Donde es la función “escalón” en frecuencia.

€

S( f )

€

f

€

fc +W

€

fc −W

€

fc

€

− fc +W

€

− fc −W

€

− fc


€

Ac

2A

€

Ac

2A

€

Q( f ) = u( f − fc ) + u(− f − fc )

€

u( f )

€

1

€

1

€

u( f )

€

f€

1

€

u(− f )

€

f€

1

Modulación AM-‐banda lateral única •  La señal modulada con doble banda lateral y luego filtrada

paso alto, en frecuencia, es (asumiendo )

•  hay que recordar que (por la T. Fourier):

•  volviendo al dominio del 0empo (trasf. Inversa de Fourier):

€

Su( f ) = AcM( f − fc )u( f − fc ) + AcM( f + fc )u(− f − fc )

€

φc = 0

€

ℑ−1 u( f )[ ] =12δ(t) +

j2πt

ℑ−1 u(− f )[ ] =12δ(t) − j

2πt

€

su(t) = Acm(t)∗ 12δ(t) +

j2πt

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ e j 2πfc t + Acm(t)∗ 1

2δ(t) − j

2πt⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ e− j 2πfc t

=Ac

2m(t) + j ˆ m (t)[ ]e j 2πfc t +

Ac

2m(t) − j ˆ m (t)[ ]e− j 2πfc t

“upper”

Modulación AM-‐banda lateral única •  donde hemos definido:

•  luego u0lizando las iden0dades de Euler

•  Se llega a la expresión que describe la banda lateral superior en el 0empo:

€

ˆ m (t) = m(t)∗ 1πt

€

su(t) = Acm(t)cos(2πfct) − Ac ˆ m (t)sin(2πfct)

€

e± j 2πfc t = cos(2πfct) ± sin(2πfct)

€

cos(2πfct) =e+ j2πfc t + e− j2πfc t

2

€

sin(2πfct) =e+ j2πfc t − e− j2πfc t

2 j


•  siguiendo el mismo procedimiento (pero filtrando paso bajo) llegamos a la banda lateral inferior:

•  se puede ver claramente:

€

sl (t) = Acm(t)cos(2πfct) + Ac ˆ m (t)sin(2πfct) “lower”

€

sl (t) + su(t) = Acm(t)cos(2πfct) = sBLD (t)



€

m(t) = cos(2πfmt)

€

fm << fc

€

ˆ m (t) = sin(2πfmt)

€

su(t) = Ac cos(2πfmt)cos(2πfct) − Ac sin(2πfct)sin(2πfct)

€

− fc − fm

€

Su( f )

€

f

€

fc€

Ac

2

€

− fc

€

fc + fm€

Ac

2

€

Sl ( f )

€

f

€

fc

€

− fc + fm

€

− fc

€

fc − fm€

Ac

2

€

Ac

2

€

sl (t) = Ac cos(2πfmt)cos(2πfct) + Ac sin(2πfct)sin(2πfct)

€

su(t) = Ac cos(2π( fc + fm )t)

€

sl (t) = Ac cos(2π( fc − fm )t)

BLU-‐demodulación

•  Tratamos de demodular como en el caso BLD ( ) :

•  Filtrando paso-‐bajo eliminamos los términos de frecuencia doble, así que:

•  ahora a parte el coseno que mul0plica la señal de mensaje, también tenemos un termino adi0vo no deseado. Necesitamos un sincronizador de fase.

€

r(t)cos(2πfct + φ) = sl (t)cos(2πfct + φ) =

=Ac

2m(t)cos(φ) +

Ac

2ˆ m (t)sin(φ) + terminos de frecuencia doble (alta)€

r(t) = sl (t)

€

y(t) =Ac

2m(t)cos(φ) +

Ac

2ˆ m (t)sin(φ)

€

φc = 0

Hemos supuesto

Modulación AM-‐Banda lateral Residual

•  se puede relajar los requisitos sobre la respuesta en frecuencia respecto a BLU, permi0endo que pase una parte residual de la otra banda lateral. Esto porque los filtro reales no 0enen pendientes infinitas.

•  La señal modulada resulta ser: ( )

•  donde es un filtro paso banda.

€

s(t) = m(t)c(t)[ ]∗h(t)s(t) = Acm(t)cos(2πfct)[ ]∗h(t)

€

h(t)

Filtro

€

H( f )

€

s(t)

€

c(t)€

m(t)

€

φc = 0

Modulación AM-‐Banda lateral Residual

•  La respuesta en frecuencia:

•  las caracterís0cas del filtro se fijarán para permi0r una fácil demodulación. En concreto, se intentarán evitar distorsión en la señal de mensaje. €

s(t) =Ac

2M( f − fc ) + M( f + fc )[ ]H( f )

€

H( f )

€

S( f )

€

f

€

fc +W

€

fc −W

€

fc

€

− fc +W

€

− fc −W

€

− fc

Resumen AM

Tipo modulación (AM)

Eficiencia Ancho de banda

Eficiencia en Potencia

modular demodular

BLD mala buena fácil problemas sincronización

de fase

Convencional mala mala fácil Muy fácil

BLU buena buena más complicado

problemas sincronización

de fase

BLR Buena, pero no tanto como

BLU

buena Ligeramente más

complicado

Más fácil

De todas formas, estos 0pos de modulaciones NO aseguran un buen nivel de inmunidad al ruido.

modulación+analógica+ · rango+de+frecuencias+más+adecuado+paralatrasmisión.+tiene+ queserun...

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