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SISTEMAS LINEALES

Tema 3. Análisis y caracterización de sistemas continuos empleando la

transformada de Laplace

F. JAVIER [email protected]

21 de octubre de 2010

ITT Sistemas TelecomunicaciónSISTEMAS LINEALES.

TEMA 3

Contenidos.

• Autofunciones de los sistemas LTI. • Transformada de Laplace de una Señal. Región de convergencia• Diagrama polos y ceros. Propiedades de la ROC.• Propiedades de la Transformada de Laplace.• Transformada inversa. Descomposición en fracciones simples.• Caracterización de los sistemas con T. de Laplace. Función de transferencia. • Propiedades de los sistemas a partir de la función de transferencia.• Interconexión de sistemas.• Transformada unilateral. Resolución de ecuaciones diferenciales.


AUTOFUNCIONES DE UN SISTEMA LTISe denomina autofunción de un sistema a una señal para la cuál, ante dicha señal como entrada, la respuesta del sistema es la misma señal multiplicada por una constante, denominada autovalor.

Sistema tiempo continuo

x (t) y (t) = Kx(t)

Para sistemas LTI de tiempo continuo las exponenciales complejas son autofunciones del sistema:

x(t) = es0t s0 es un número complejo.

La salida del sistema será:

y(t) =R∞−∞ e

s0τh(t− τ)dτ =R∞−∞ e

s0(t−τ)h(τ)dτ =R∞−∞ e

s0te−s0τh(τ)dτ =

es0tR∞−∞ e

−s0τh(τ)dτ = x(t)H(s0)

El autovalor depende de la respuesta al impulso y del valor del número complejo.Conclusión: Si a la entrada de un sistema LTI tenemos una exponencial compleja, a la salida de dicho sistema tendremos la misma señal multiplicada por una constante.


AUTOFUNCIONES DE UN SISTEMA LTI

Utilizando la idea anterior, si a la entrada de un sistema tenemos una señal que puede ser expresada como una combinación lineal de exponenciales complejas, la salida la podemos calcular como misma combinación lineal sabiendo que cada exponencial compleja queda a la salida multiplicada por su autovalor. Ejemplo: x(t) = 3e(2+j)t + e(1+3j)t + e(1−j)t h(t) = u(t)

La salida tendrá la forma:

Pudiendo calcular los autovalores mediante:y(t) = H(2 + j)3e(2+j)t +H(1 + 3j)e(1+3j)t +H(1− j)e(1−j)t

En general

H(s0) =R∞−∞ e

−s0th(t)dt =R∞0e−s0tdt = − 1

s0e−s0t|∞0 = 1

s0

H(2 + j) = 12+j

H(1 + 3j) = 11+3j

H(1− j) = 11−j

x(t) =nPk=1

ckeskt → y(t) =

nPk=1

H(sk)ckeskt


AUTOFUNCIONES DE UN SISTEMA LTI

Para sistemas LTI, si proyectamos la señal de entrada sobre un conjunto de exponenciales complejas (transformamos la señal) la salida puede encontrarse mediante la propiedad anterior.

Tiempo continuo:

Si utilizamos exponenciales complejas con parte real y parte imaginaria:

est s = σ + jω Transformada de Laplace

Si utilizamos exponenciales complejas solo con parte imaginaria:

est s = jω Transformada de Fourier

Tiempo discreto:Si utilizamos exponenciales del tipo:zn z = rejΩ Transformada Z

Si utilizamos exponenciales del tipo:

zn z = ejΩ Transformada Fourier


TRASNFORMADA DE LAPLACE DE UNA SEÑALLa transformada de Laplace de una señal se define como:

X(s) =R∞−∞ x(t)e

−stdt

La expresión anterior es la transformada bilateral. Más adelante vermos la transformada unilateral que es la que se utilizó en análisis de circuitos.

Para que exista la transformada anterior debe converger, esto es:

|X(s)| <∞No todas las señales tienen transformada de Laplace. Ej: x(t) = 1

Veamos un ejemplo de una señal que sí tiene transformada de Laplace:x(t) = u(t) X(s) =

R∞−∞ x(t)e

−stdt =R∞0e−stdt = − 1se−st|∞0 =

− 1se−∞s −¡− 1se−0s

¢= 1

s

0

Lx(t) = 1s


REGIÓN DE CONVERGENCIA

En el ejemplo anterior nos hemos basado en:

− 1se−s∞ = 0 ¿es eso realemente cierto? Recordemos que s es una variable del tipo: s = σ + jω

Para valores de ej: tendremosσ < 0 s = −2 + 3j

∞Por lo que no convergería. Por tanto, solo existe un conjunto de valores de la variable s que aseguran que la transformada anterior converge. Es la Región de Convergencia (ROC).

− 1se−(−2+3j)∞ = 1se−(−2)∞e(+3j)∞ =∞

Por tanto, no basta con dar la función en s de la transformada, sino que también hay que conocer su ROC.

Lu(t) = 1s Res > 0


REGIÓN DE CONVERGENCIA

Ahora vamos a ver por qué, además de por razones de convergencia, es necesario conocer la ROC.Calcular la transformada de

0 si Re|s| < 0

Por tanto, tenemos dos señales ( ) que tienen la misma transformada y solo se diferencian por su ROC. Es imprescindible conocer la ROC.

X(s) =R∞−∞ x(t)e

−stdt =R 0−∞ e

−stdt = +1se−st|0−∞ =

1se0s −

¡1se−s(−∞)¢ = 1

s

L−u(−t) = 1s Res < 0

x(t) = −u(−t)

u(t), −u(−t)


REGIÓN DE CONVERGENCIAOtro ejemplo:Obtener la transformada de x(t) = e−3tu(t)

0 si Re|s| > −3Le−3tu(t) = 1

s+3 Res > −3

Obtener la transformada de x(t) = −e−3tu(t)

− 1s+3e

−∞(s+3) −³− 1s+3e

−0s´= 1

s+3

X(s) =R∞−∞ x(t)e

−stdt =R∞0e−3te−stdt =

R∞0e−(s+3)tdt = − 1

s+3e−(s+3)t|∞0 =

X(s) =R∞−∞ x(t)e

−stdt =R 0−∞−e−3te−stdt = −

R 0−∞ e

−(s+3)tdt = + 1s+3e−(s+3)t|0−∞ =

0 si Re|s| < −3

L−e−3tu(−t) = 1s+3 Res < −3

+ 1s+3e

0(s+3) −³+ 1s+3e

−∞(s+3)´= 1

s+3


DIAGRAMA DE POLOS Y CEROS

Si quisiéramos representar la transformada de

Debemos tener en cuenta que s es una variable compleja y considerar por tanto los valores de y de . σ > 0 ω

En general, para cada valor particular tendremos s0 X(s0) ∈ CPor tanto, deberíamos representar el módulo y la fase de X(s) en función de los posibles valores de s.

x(t) = e−3tu(t)

X(s) = 1s+3 Res > −3

-5

0

5

10

-10

-5

0

5

10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-5

0

5

10

-10

-5

0

5

10-2

-1

0

1

2

|X(s)|ρX(s)

ResIms


DIAGRAMA DE POLOS Y CEROSEn la práctica, no se representan las señales transformadas tal como hemos visto anteriormente, sino que se representa el plano s y se marcan:X Polos: Ceros del denominador. Donde exista una cruz indicará que el módulo de la señal transformada se hace infinito.

Ceros: Ceros del numerador. Donde exista un cero indicará que el módulo de la señal transformada se hace nulo.

Ejemplo:

X(s) = 1s+3 Res > −3

Res

Ims

x-3 σ

jω

x-3


DIAGRAMA DE POLOS Y CEROS

Ejemplo:

σ

jω

x

X(s) = (s−1)(s+2)(s+4)(s2+2s+2)

Res > −1

-1-2-3-4 1 2 3

x

x

1

2

3

-1

Ejemplo: X(s) = 4 (s−2)s(s2+4s+8)

Res < −2

σ

jω

x-1-2-3-4 1 2 3

x

x

1

2

3

-1

No afecta a la hora de dibujar el diagrama de polos y ceros


DIAGRAMA DE POLOS Y CEROSEjemplo:

σ

jω

-1-2-3-4 1 2 3

x

x

1

2

3

-1

Obtener X(s) sabiendo que su diagrama de polos y ceros es el mostrado y que es racional:

En el ejemplo anterior no tenemos información de la ROC. Vamos a ver las propiedades de la misma para determinar qué posibles ROC tenemos.

x

X(s) =

Número de polos y ceros en el infinito: Dada una señal transformada

X(s) =

nΠi=1

(s−si)mΠp=1

(s−sp)

Si m>n tendremos m-n ceros en el infinito.

Si n>m tendremos n-m polos en el infinito.


PROPIEDADES DE LA ROC

1. La ROC consiste en bandas paralelas al eje jωX(s) = 1

s+3 Res > −3Ejemplo:

σ

jω

x-3

Como se ha visto, solo afecta la parte real de s y no la parte imaginaria.

2. Para transformadas racionales, la ROC no contiene ningún polo.

σ

jω

xx

ERROR!!!La ROC es el conjunto de valores para los cuales

|X(s)| <∞

Si la ROC contiene un polo estaríamos diciendo que contiene un valor para el que X(s) se hace infinito.


PROPIEDADES DE LA ROC

3. Si x(t) es de duración finita y si existe un valor de s para el cuál converge, entonces la ROC es todo el plano sEjemplo:

σ

jω

t1 t2

Si converge para un valor, lo hará para todos

4. Si x(t) es una señal derecha (tiene principio pero no fin) y la línea está dentro de la ROC, todos los valores para los cuales también están dentro de la ROC. Esto implica que si la señal es derecha la ROC será la región del plano que se extiende hacia la derecha desde el polo más a la derecha.

t1σ

jω

x x

x

x

Res = σ0σ1>σ0

X(s) =R∞−∞ x(t)e

−stdt =R t2t1x(t)e−stdt


PROPIEDADES DE LA ROC5. Si x(t) es una señal izquierda y la línea está dentro de la ROC, todos los valores para los cuales también están dentro de la ROC. Esto implica que si la señal es izquierda la ROC será la región del plano que se extiende hacia la izquierda desde el polo más a la izquierda.

t1σ

jω

x x

x

x

Res = σ0σ1 < σ0

6. Si x(t) es infinita y existe algún valor de s para el cuál converge, entonces la ROC es una franja que contiene a ese valor de s.

σ

jω

x x


PROPIEDADES DE LA ROC7. La ROC no puede ser discontinua. Esta propiedad se deduce de las propiedades anteriores, ya que todas las señales están comprendidas en los anteriores casos.

σ

jω

x x

x

x

ERROR!!!!

σ

jω

-1-2-3-4 1 2 3

x

x

1

2

3

-1

Obtener las posibles ROC a partir del diagrama de polos y ceros. Deducir cómo sería la señal que se ha transformado en cada caso.

x

X (s) =

Posibles ROC:


PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE1. Linealidad. Si de dos señales x1(t) y x2(t) conocemos sus transformadas (X1(s) y Xe(s) respectivamente) y podemos expresar x3(t) como una combinación lineal de las señales x1(t) y x2(t) la transformada X3(s) será la misma combinación utilizando X1(s) y X2(s). La ROC será, al menos, la intersección de las ROC anteriores.Ejemplo. Calcular la transformada de Laplace de:x(t) = 2u(t) + 4e−3tu(t)

σ

jω

xLu(t)→ 1s Res > 0

Le−3tu(t)→ 1s+3 Res > −3

σ

jω

x

X(s) = 2 1s + 41s+3 = 6

s+1s(s+3) Res > 0

σ

jω

x


PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE2. Desplazamiento en el tiempo. Si de una señal x1(t) conocemos su transformada X1(s), la señal desplazada en el tiempo tendrá una transformada:

x1(t− t0)→ X1(s)e−st0

Ejemplo: Calcular la transformada de la señal

x(t) = u (t− 3)Dado que conocemos la transformada de la señal u(t)→ 1

s

La transformada pedida será: u(t− 3)→ 1se−3s

Hay que tener en cuenta que el diagrama de polos y ceros coincide en ambos casos!!!


PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE3. Desplazamiento en el dominio de Laplace. Si de una señal x1(t) conocemos su transformada X1(s), y esa señal se multiplica por una exponencial compleja en el tiempo, la transformada queda desplazada:

Demostración:

x1(t)→ X1(s)es0tx1(t)→ X1(s− s0)R∞

−∞ x1(t)es0te−stdt =

R∞−∞ x1(t)e

−(s−s0)tdt

4. Escalado en el tiempo.

x1(t)→ X1(s)x1(at)→ 1

|a|X1(sa )

La nueva ROC será: Res = Resold + s0

Res = aResold


PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE5- Convolución de dos señales en el tiempo. Sean dos señales (x1(t) y x2(t)), cuyas transformada son conocidas (X1(s) y X2(s)), la convolución de ambas señales dará como resultado:

x1(t) ∗ x2(t)→ X1(s)X2(s)

La nueva ROC será al menos: ROC = ROC1TROC2

Ejemplo: Obtener la transformada de la convolución de las señales:

Veremos un poco más adelante, que la transformada inversa de la anterior señal, con la ROC indicada, da como resultado:

x1(t) = e−3tu(t)X1(s) = 1

s+3 Res > −3x2(t) = u(t) =

1s Res > 0

L−1 1s(s+3) = 1

3

¡1− e−3t

¢u(t)

Lx1(t) ∗ x2(t) = 1s(s+3) Res > 0


PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

6. Derivación en el tiempo. Si de una señal x1(t) conocemos su transformada X1(s), la derivada de x1(t) con respecto del tiempo da como resultado:

x1(t)→ X1(s)x01(t)→ sX1(s)

La nueva ROC contiene la anterior.

Ejemplo: Sabiendo que d(u(t))dt = δ(t) Calcule la transformada de la función delta

Lδ(t) = s 1s = 1 ∀ s

7. Integración en el tiempo. Si de una señal x1(t) conocemos su transformada X1(s), la integral de x1(t) da como resultado:

La nueva ROC será:

x1(t)→ X1(s)R t−∞ x1(τ)dτ → 1

sX1(s)

ROC = ROC1TRes > 0

Lu(t) = 1s Res > 0


PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

6. Derivación en el dominio de Laplace. Si de una señal x1(t) conocemos su transformada X1(s), la derivada de X1(s) con respecto a s está relacionada con x1(t) da como resultado:

La nueva ROC es igual a la anterior.

Ejemplo: Calcule la transformada de la función

Lu(t) = 1s Res > 0

x (t) = tu(t)

7. Teorema del valor inicial. lims→∞

sX(s) = limt→0+

x(t)

8. Teorema del valor final. lims→0

sX(s) = limt→∞

x(t)

x1(t)→ X1(s)

tx1(t)→ −dX1(s)ds

Ltu(t) = −sd1s

ds =1s2 Re|s| > 0


PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACETabla Resumen de Propiedades:

SEÑAL TRANSFORMADA ROC

( )x t X s( ) R

( )x t1 X s1( ) R1

( )x t2 X s2 ( ) R2

( ) ( )ax t bx t1 2+ ( ) ( )aX s bX s1 2+ Al menos R R1 2∩

( )x t t− 0 e X sst− 0 ( ) R

( )e x ts t0 X s s( )− 0 Versión desplazada de R

( )x at 1a

X sa

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ROC escalada

( ) ( )x t x t1 2∗ ( ) ( )X s X s1 2 Al menos R R1 2∩

( )d x tdt

sX s( )

Al menos R

( )−tx t ( )dds

X s

R

( )x dt

τ τ−∞∫ ( )1

sX s Al menos R s∩ >Re 0


ALGUNAS TRANSFORMADAS BÁSICAS

1. Señal Escalón: (ya demostradas)

u(t)→ 1s Res > 0

−u(−t)→ 1s Res < 0

2. Delta de Dirac: (demostrada a partir de la propiedad de derivación en el tiempo)

δ(t)→ 1 ∀ s

3. Multiplicación del escalón por la señal tiempo elevado a la enésima potencia. (demostración a partir de la derivada en s)

tn−1

(n−1)!u(t)→ 1sn Res > 0

− tn−1

(n−1)!u(−t)→ 1sn Res < 0

4. Exponenciales en el tiempo (ya demostrada para a=3)e−atu(t)→ 1

s+a Res > −a

−e−atu(−t)→ 1s+a Res < −a


ALGUNAS TRANSFORMADAS BÁSICAS5. Exponencial multiplicada por el tiempo elevado a la enésima potencia.

− tn−1

(n−1)!e−atu(−t)→ 1

sn Res < −a

tn−1

(n−1)!e−atu(t)→ 1

sn Res > −a

6. Coseno x(t) = cos (ωt)u(t)

X(s) =R∞−∞ cos (ωt)u(t)e

−stdt =R∞0

12

¡ejω0t + e−jω0t

¢e−stdt =

Para que |X(s)| <∞Res > 0

X(s) = 12

³2s

(s+jω0)(s−jω0)

´= s

s2+ω20Res > 0

12

³−1

s+jω0e−(s+jω0)t|∞0 + −1

s−jω0 e−(s−jω0)t|∞0 )


ALGUNAS TRANSFORMADAS BÁSICAS7. Función seno. (se demuestra a partir de la propiedad de derivación en el tiempo)

sin(ω0t)u(t)→ ω0s2+ω20

Res > 0− sin(ω0t)u(−t)→ ω0

s2+ω20Res < 0

8. Funciones senoidales multiplicadas por una exponencial decreciente. (se demuestra mediante la propiedad de desplazamiento en s)

e−at sin(ω0t)u(t)→ ω0(s+a).2+ω20

Res > −a

−e−at sin(ω0t)u(−t)→ ω0(s+a).2+ω20

Res < −a

e−at cos(ω0t)u(t)→ s+a(s+a).2+ω20

Res > −a

−e−at cos(ω0t)u(−t)→ s+a(s+a).2+ω20

Res < −a


TRANSFORMADA INVERSA

La transformada de Laplace tiene la propiedad, además de las que hemos visto y teniendo en cuenta la ROC, de ser unívoca y reversible.

Lx(t)→ X(s)

L−1X(s)→ x(t)

x(t) = 12πj

σ+j∞Rσ−j∞

X(s)estds ∀ Res = σ ∈ ROC

Podemos calcular la transformada inversa mediante:

Dado que la anterior integral puede resultar complicada de calcular, podemos recurrir a las funciones que ya hemos calculado. Dado que se trata de un número limitado de transformadas, deberemos proceder a descomponer nuestra señal transformada en fracciones simples, de forma que podamos hacer la transformada inversa como la suma de las transformadas inversas.



1. Descomponemos en fracciones simples. (Anexo para el cálculo de residuos)2. Teniendo en cuenta la ROC para cada fracción simple calculamos la transformada inversa con ayuda de las tablas.

Ejemplo 1: Calcular la transformada inversa de

X(s) = 1(s+1)(s+2) Res > −1

Descomponemos en fracciones simples:

X(s) = 1(s+1)(s+2) =

A(s+1) +

B(s+2)

A = s→−1(s+ 1)X(s) = s→−1 1(s+2) = 1

B = s→−2(s+ 2)X(s) = s→−1 1(s+1) = −1

X(s) = 1(s+1)(s+2) =

1(s+1) +

−1(s+2)

L−1 1(s+1)

e−tu(t) si Res > −1−e−tu(−t) si Res < −1

L−1 1(s+2)

e−2tu(t) si Res > −2−e−tu(−t) si Res < −2x(t) =

¡e−t − e−2t

¢u(t)



Ejemplo 2: Calcular la transformada inversa de la siguiente señal.

Descomponemos en fracciones simples (no hace falta la ROC):

A = lims→−2

(s+ 2)X(s) = lims→−2

s+1s2+2s+2 = −0.5

lims→0

X(s) = lims→0

³As+2 +

Bs+C(s+1)2+1

´X(s) = A

s+2 +Bs+C

(s+1)2+1

X(s) = s+1(s+2)(s2+2s+2) − 2 < Res < −1

0+1(0+2)(0+0+2) =

A2 +

C12+1

14 =

−0.52 + C

2

C = 1

lims→1

X(s) = lims→1

³As+2 +

Bs+C(s+1)2+1

´1+1

(1+2)(12+2+2) =A2+1 +

B+C(1+1)2+1

215 =

−0.53 + B+1

5B = 0.5

X(s) = −0.5s+2 +0.5s+1(s+1)2+1



L−1 1(s+2)

e−2tu(t) si Res > −2−e−2tu(−t) si Res < −2

L−1 s(s+1)2+1 e−tcos(t)u(t) si Res > −1

−e−tcos(t)u(−t) si Res < −1

L−1 1(s+1)2+1 e−t sin(t)u(t) si Res > −1

−e−t sin(t)u(−t) si Res < −1

X(s) = −0.5s+2

+ 0.5s+1(s+1)2+1

= −0.5 1s+2+0.5 s+2

(s+1)2+1= −0.5 1

s+2+0.5

hs

(s+1)2+1+ 2 1

(s+1)2+1

i

x(t) = −0.5e−2tu(t)− 0.5e−t cos(t)u(−t)− e−t sin(t)u(−t)

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