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Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

1/32Tema10: Gas Ideal

Tema 10: Gas Ideal

Fátima Masot Conde

Ing. Industrial 2007/08



1. Introducción.

2. Algunas relaciones para gases ideales

3. Ecuación de estado del gas ideal

4. Energía interna del gas ideal

5. Capacidades caloríficas de los gases ideales

6. Ley de Mayer

7. Nociones de Termodinámica Estadística

8. Proceso adiabático. Ecuación de Poisson

9. Posición relativa de isotermas y adiabáticas

Índice:

Tema 10: Gas Ideal



Introducción

GasGas

Gas IdealGas Ideal

• No tiene volumen ni presión definidos.

• Volumen: Depende del recipiente.

• Presión: Dada por la ecuación de estado {P,V,T}

• No tiene volumen ni presión definidos.

• Volumen: Depende del recipiente.

• Presión: Dada por la ecuación de estado {P,V,T}

• Sus moléculas se mueven aleatoriamente sin

ejercer fuerzas entre ellas.

• Muy baja densidad (las moléculas ocupan una

parte despreciable del volumen)

• Muy baja presión

• La mayoría de gases a presión atmosférica y

temperatura ambiente se tratan como un gas

ideal.

• Sus moléculas se mueven aleatoriamente sin

ejercer fuerzas entre ellas.

• Muy baja densidad (las moléculas ocupan una

parte despreciable del volumen)

• Muy baja presión

• La mayoría de gases a presión atmosférica y

temperatura ambiente se tratan como un gas

ideal.

P ∼ ρT



Algunas relaciones para gases ideales

Ley de Boyle-MariottteLey de Boyle-Mariottte

Para procesos a T=cte,

PV=cteT

T3

T2

T1

V

P

líneas isotermas:

familia de hipérbolas equilateras

T1<T2<T3

(experimentales)(experimentales)

Diagrama de Clapeyron



Para procesos a P=cte

Para procesos a V=cte

V1

T1=V2

T2V ∼ T

P ∼ TP1

T1=P2

T2

Algunas relaciones para gases ideales

P

P1 P2

P3

T

V

V

V1 V2

V3

T

P

1ª Ley de Gay-Lussac1ª Ley de Gay-Lussac

2ª Ley de Gay-Lussac2ª Ley de Gay-Lussac



(P1 V1 T1)(P1 V1 T1) (P2 V' T1)(P2 V' T1) (P2 V2 T2)(P2 V2 T2)

T1=cte P2=cte

Boyle-MariotteBoyle-Mariotte 1ª Gay-Lussac1ª Gay-Lussac

P1V1=P2V'V 0

T1=V2

T2

P1V1

T1=P2V2

T2

Ley de Gases ideales. Ecuación de estado



P1V1

T1=P2V2

T2=PV

T= cte

Variables de estado

Constante de proporcionalidad

(depende de la masa del gas)

Estudio de la cte:Estudio de la cte:

cte =N K

P V =cte T

Número de moléculas = n NA

Constante de Boltzmann:


23 11,38 10 J KK − −= ⋅ no. molesNo. Avogadro

NA = 6.023× 1023molec/mol



PV = nNAKT = nRT

Ecuación de estado

R=cte universal de los gases

Valor de RValor de R

Con esto:Con esto:

Volumen de 1mol de gas ideal a P =1 at y T=273.15 K (0oC)

V=22.4 l


Condiciones normalesCondiciones normales

R = 8.314J

molK= 0.082

at l

molK= 2

cal

molK



Energía interna del gas ideal

Expansión libre de un gas

Sea un gas encerrado inicialmente en la mitad de un recipiente

aislado. Cuando se abre la llave, el gas ocupa todo el volumen sin

realizar trabajo (y sin intercambiar calor). Por el 1er Principio:

0UΔ =



Energía interna del gas ideal

Experimentalmente se observa que el gas no varía su

temperatura (si tiene baja densidad, idealización de

gas ideal)

El gas ha variado su presión y su volumen, pero no su

temperatura, como única variable independiente que

ha permanecido en el proceso. Esto hace pensar que

la energía interna de un gas ideal sólo es función de la

temperatura:

( )U U T=Energía interna de un gas idealEnergía interna de un gas ideal



Capacidades caloríficas de los gases ideales

Tf

Ti

V

P

Proceso a V=cte

Proceso cualquiera

Proceso a P=cte

Relacionemos tres

procesos distintos, (a

V=cte, a P=cte, y un

proceso cualquiera)

pero con las mismas

temperaturas inic. y

final:

Relacionemos tres

procesos distintos, (a

V=cte, a P=cte, y un

proceso cualquiera)

pero con las mismas

temperaturas inic. y

final:



1) Proceso a V=cte

2) Proceso a P=cte

(Tf —Ti)

=

W=0

W= - PΔV

Tf

Ti

V

P

Proceso a V=cte

Proceso cualquiera

Proceso a P=cte Q ≡ QV = n cV ∆T

Q ≡ QP = n cP ∆T3) Proceso cualquiera

WQ,


calores específicos molares

Cada proceso intercambiará un Q y un W, propios del proceso:



Proceso

V=cte

Proceso

P=cte

Proceso

cualquiera

QV = n cV ΔT

QP =n cP ΔT

Q

WV=0

WP = - PΔV

W

ΔU=QV=n cV ΔT

ΔU=QP+WP

ΔU=n cV ΔT

ΔU=Q+W

ΔU=n cV ΔT

Calor Trabajo Energía interna

Los calores y trabajos son distintos (porque dependen del proceso) pero el ΔU es el mismo en los tres.

Los calores y trabajos son distintos (porque dependen del proceso) pero el ΔU es el mismo en los tres.





En todos los procesos que conectan las mismas temperaturas inicial y final, el ΔU es el mismo

(=ΔUvol,cte) porque la U sólo es función de T (=U(T))

En todos los procesos que conectan las mismas temperaturas inicial y final, el ΔU es el mismo

(=ΔUvol,cte) porque la U sólo es función de T (=U(T))

Si se conoce el ΔT y el cv

de un gas, se conoce el ΔU que sufre en el

proceso, como: VU n c TΔ = Δ

P PQ n c T= Δ

aunque el proceso no sea a volumen constante! Aunque el proceso

no sea cuasi estático ni reversible! Esto no lo podemos hacer para el calor: Sólo si se trata de un proceso a vol. constante, es cuando el calor = ncV ΔT

mientras que en un proceso a P=cte

Sólo en un proceso a V=cte V VQ n c T= Δ



De este resultado, surge una nueva definición

del calor específico molar a vol. constante cV:

Relación entre calores especificos (Ley de Mayer)

cV =1

n

dU

dT VU n c TΔ = Δ

¿Y cP?¿Y cP?

Calor específico molar a volumen constante



P=cteP=cte

ΔU = n cV ΔT

(1er

principio)

QP = n cP ΔT = ncVΔT + PΔV

nRΔT

n (cP —cV) ΔT = n R ΔT

cP —cV=RcP —cV=R

Ley de MayerLey de Mayer

Pero, para el gas ideal:

PV=nRT

PΔV+ΔPV=nRΔT

Relación entre calores especificos (Ley de Mayer)

PQ = ΔU +PΔV



Nociones de termodinámica estadística

Valoración de cP y cV para gases

monoatómicos y diatómicos

Valoración de cP y cV para gases

monoatómicos y diatómicos

•Un gas está compuesto por moléculas. La energía

del gas, U, = Σ energías de sus moléculas.

•En un gas ideal, se suponen las moléculas

suficientemente separadas unas de otras. No existe

energía potencial entre ellas. U es puramente la EK

del movimiento.



En un gas ideal monoatómico:En un gas ideal monoatómico:

El modelo de partículas

(moléculas) son esferas, que

pueden moverse libremente en

las tres direcciones del espacio.

Grados de libertad: 3




Se estima que la energía que tiene cada molécula

por cada grado de libertad es:

1

2KT

Constante de Boltzmann

La energía de cada esfera (3 grados de libertad):

Emolecula =3

2KT

Grados de libertad




Energía de un gas con N moléculas:Energía de un gas con N moléculas:

U = NEmolecula =3

2NKT

nR

constante gas ideal

número de moles

U =3

2nRT

Gas ideal monoatómicoGas ideal monoatómico


En función del nº de moles:



En un gas ideal diatómico:En un gas ideal diatómico: El modelo de moléculas son dos

esferas acopladas:

• Pueden moverse en las 3

direcciones del espacio.

• Pueden rotar en torno a

los ejes x, y (rotación z

despreciable)

grados de libertad: 3

grados de libertad: 2


TOTAL: 5 grados de libertad



En un gas ideal diatómico:En un gas ideal diatómico:

Grados de libertad totales:

Energía de cada molécula:

Energía del gas

con N moléculas:

5

Emolecula =5

2KT

grados de

libertad

U =5

2NKT =

5

2nRT




Gas monoatómico:Gas monoatómico:

Gas diatómico:Gas diatómico:

γ =7

5= 1.4

Calores específicos. Valores

cV =1

n

dU

dT=3

2R

cP = cV + R =5

2R

γ =cP

cV=5

3= 1.67

cV = =5

2R

cP = =7

2R







Gases o sólidos con moléculas más complejas

monoatómicos

diatómicos



Proceso adiabático. Ecuación de Poisson

¿Qué es un proceso adiabático?

Aquel en el que no se intercambia calor

Q=0

Ejemplos:

Procesos en recipientes aislados

Procesos muy rápidos (la transmisión de

calor es un proceso lento)



Supongamos dos estados, i y f, conectados a través de un

proceso adiabático Q=0

1er principio:

Q=0 ΔU = W

ncV dT

-P dV

=

=

incremento de temperatura

entre los estados i y f

incremento de volumen


Ti

Tf

P

P

P+

dp

i(P,V)

(P+dp,V+dV)

f

V+dVVV

proceso

adiabático

infinitesimal

despejamos



Ecuación de estado para un gas

ideal en un proceso adiabático

(Ecuación de Poisson)

Ecuación de estado para un gas

ideal en un proceso adiabático

(Ecuación de Poisson)

dP

P= −γ dV

V

lnP + γ lnV = cte

PV γ = cte

Gas ideal:

PV=nRT

PdV+VdP=nRdT


cP

dT=

P

V

c

cγ =

Operamos:

1

R(P dV + V dP ) = − P

cVdV

P dV

µ1

R+1

cV

¶= −V

RdP

P dV

µcV +R

cV R

¶= −V

RdP



En función de P y T:En función de P y T:

En función de V y T:En función de V y T:

PV γ = P

µnRT

P

¶γ= nγRγ

T γ

P γ−1 = cte

TV γ−1 = cte


PV γ =

µnRT

V

¶V γ = nRTV γ−1 = cte

T γP 1−γ = cte



Posición relativa de isotermas y adiabáticas

Proceso isotermo:

Proceso adiabático:

T = cte ≡ PV = cte

P dV + V dP = 0

dP

dV= −P

V

Pendiente de

la isoterma:

Pendiente de

la adiabática:

PγV γ−1 dV + V γ dP = 0

dP

dV= −γ P

V

V

PV γ = cte



La pendiente de la adiabática

es veces la pendiente de la

isoterma:

γ

dP

dV

¯adiabatica

= γdP

dV

¯isoterma

P

V

Isoterma

Adiabática

pendiente adiabática

pendiente isoterma

γ > 1

Posición relativa de isotermas y adiabáticas

En definitiva: En definitiva:



Bibliografía

•Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. Reverté

Serway & Jewett, “Física”, Ed. Thomson (vol. II)

•Halliday, Resnick & Walter, “Física”, Ed. Addison- Wesley.

•Sears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”, Ed.

Pearson Education (vol. II)•J. Aguilar, “Curso de Termodinámica” Ed. Alambra

•Çengel & Boles, “Termodinámica”, Ed. Prentice-Hall

Fotografías y Figuras, cortesía de

Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. Reverté

Sears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”, Ed.

Pearson Education

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