tema 1- recuento

Tema 1. RECUENTO

Dpto. de Estadística, Investigación Operativa y Computación. Universidad de La Laguna.

OPTIMIZACIÓN

Principios Básicos de Recuento - Regla del Producto - Regla de la Suma - Principio de Inclusión-Exclusión - Principio del Palomar Selecciones básicas sobre conjuntos - Permutaciones - Variaciones - Combinaciones Coeficientes Binomiales. Binomio de Newton

Principios Básicos de Recuento

REGLA del PRODUCTO Supongamos que una tarea se puede dividir en dos tareas consecutivas. Si hay n formas de realizar la primera tarea y m formas de realizar la segunda tarea, entonces hay nxm formas de completar la tarea.

El resultado se extiende a k subtareas en las condiciones anteriores:

Número de formas de realizar la tarea = n1xn2x···xnk

Ejemplos: 1) ¿Cuántas cadenas de bits diferentes hay con longitud 8? (Resp.

256) 2) ¿Cuántos vehículos se pueden matricular usando sólo tres

consonantes (sin la ñ son 21) y cuatro dígitos? (Resp. 92610000) 3) ¿Cuántos subconjuntos de un conjunto de n elementos se pueden

formar? (Resp. 2n)

REGLA del PRODUCTO (conjuntista)

1 2 1 2n nA A A A A A


REGLA de la SUMA Si una primera tarea se puede realizar de n formas y una segunda tarea se puede realizar de m formas, y las dos tareas son incompatibles, entonces hay n+m formas de realizar una de las dos tareas.

El resultado se extiende a k subtareas en las condiciones anteriores:

Número de formas de realizar la tarea = n1+n2+···+nk

Ejemplos: 1) Un estudiante debe elegir un ejercicio para entregar. En una lista

de ejercicios hay 15, en otra 20 y en otra 10. ¿Cuántos ejercicios tiene el estudiante para elegir? (Resp. 45)

2) Se tiran un dado rojo y uno verde y se suman las puntuaciones obtenidas. ¿De cuántas formas (en cuántas tiradas) se puede obtener el resultado, la suma 7? (Resp. 12)

REGLA de la Suma (conjuntista)

1 2 1 2n nA A A A A A


El Principio de INCLUSIÓN-EXCLUSIÓN

Sean A1, A2,···, An conjuntos finitos. Entonces

1 2

1 1 1

1

1 21 1 1

+ ( 1)

n n n

n i i ji i j i

n n nn

i j k ni j i k j

A A A A A A

A A A A A A

A

B

C

A

B

C

A

B

C

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1 0 2 2

2

3 1 1

A B C

A B C A B

A C B C

A B C A B A C

B C A B C


Ejemplos: 1) ¿Cuántas cadenas de bits de longitud 8 que comienzan por 0 o

acaban en 111? (Resp. 144) 2) Determina el número de enteros positivos menores o iguales que

100 que son bien impares o bien el cuadrado de un entero. (Resp. 55)

3) Calcula el número de elementos de A1 A2 A3 si hay 100 elementos en cada conjunto y si a) Son disjuntos dos a dos. (Resp. 300) b) Hay 50 elementos en común en cada pareja de conjuntos y

ningún elemento en común en los tres. (Resp. 150) c) Hay 50 elementos en común en cada pareja de conjuntos y 25

elementos en los tres. (Resp. 175) d) Los conjuntos son el mismo. (Resp. 100)

Principio del complementario (contando lo que no queremos) Si X es un conjunto finito y A un subcojunto de X (A X) entonces

\X A X A

1) ¿Cuántos números naturales existen menores que 1.000.000 que no sean capicúas (palíndromos)? (Resp. 999.000)


Principio del Palomar o de Dirichlet

Si k + 1 o más objetos se colocan en k cajas, existe al menos una caja

que contiene dos o más objetos.

Ejemplo: ¿Cuántos estudiantes debe haber en una clase para

garantizar que al menos dos estudiantes reciben la misma nota en el examen, suponiendo que el examen se califica en una escala de 0 a 100 puntos? (Resp. 102)

Ejemplos: ¿Cuál es el menor número de códigos de área necesarios para

garantizar que 25 millones de teléfonos en un país tienen números distintos? (Suponer que los números de teléfono tienen el formato NXX-NXX-XXXX, donde los tres primeros dígitos forma el código de área, N representa un dígito de 2 al 9, y X representa un dígito cualquiera). (Resp. 4)

Principio del Palomar generalizado

Si se colocan N objetos en k cajas, existe al menos una caja que

contiene .

/N k

Selecciones básicas sobre conjuntos.

Existen n! permutaciones de n elementos.

Sol. Regla del producto.

Sea el conjunto formado por n elementos distintos

Llamamos Permutación a cualquier ordenación de los n elementos

1, ,

nA a a

Ej. ¿cuántas permutaciones de las letras ABCDEF contienen la cadena

DEF?

(Resp. 24)

1, ,

na a

DEF

DEF

DEF

DEF


Variaciones sin repetición de n elementos tomados de k en k.

(Importa el orden pero no se pueden repetir).

Distinguimos si importa el orden entre los elementos, variaciones, o

no importa, combinaciones.

!( 1) ( 1)

( )!

k

n

nV n n n k

n k

Ej. Sea A={1, 2 , 3, 4}, indicar cuantos números de dos cifras sin

repetir dígitos se pueden formar. Puesto que importa el orden, ya que

12 es distinto de 21, tendremos variaciones:

12 21 31 41 13 23 32 42 14 24 34 43

2

4

4!4 *3 12

(4 2)!V


Variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k.

(Importa el orden y se pueden repetir).

k k

nVR nn n n

Ej. Sea A={C, X}, indicar cuantos sucesos distintos pueden darse

cuando se tiran tres monedas “distinguibles” ó una moneda tres veces.

Puesto que las monedas son distinguibles (o lo que es equivalente, se

sabe cual es el resultado en cada una de las tiradas) y pueden repetirse

los elementos de A, tendremos variaciones con repetición

(C, C, C) (C, X, X) (C, C, X) (X, C, X) (C, X, C) (X, X, C) (X, C, C) (X, X, X)

3 3

22*2*2 2 8VR


Combinaciones de n elementos tomados de k en k. (No importa el

orden y no se pueden repetir).

!

!( )!

k

n

n nC

K n kk

Se utiliza bastante, pues nos indica de cuantas formas posibles se

pueden elegir k elementos de un total de n.

Ej. Sea A={1, 2 , 3, 4}, los números asignados a cuatro alumnos,

indicar cuantos grupos de dos alumnos distintos se pueden construir. No

importa el orden, ya que es indistinto tomar el alumno 1 y 2 que el 2 y

el 1, tendremos combinaciones:

12 23 34

13 24

14

2

4

4 4!6

2!(4 2)!2C


Combinaciones con repetición de n elementos tomados de k en k.

(No importa el orden y se pueden repetir).

1

1 ( 1)!

!( 1)!

k k

n n k

n k n kCR C

K nk

Ej. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación

si son enteros no negativos?

Sol. Obsérvese que una solución corresponde a una forma de

seleccionar 11 elementos de un conjunto con trece elementos, por

tanto:

¿y si añadimos las restricciones ? (Resp. 21)

1 2 311x x x

1 2 3, y x x x

11

3

3 11 1 (13)!78

11!(3 1)!11CR

1 2 31, 2 y 3x x x


Permutaciones con objetos indistinguibles. El número de

permutaciones diferentes de n objetos, donde hay n1 objetos

indistinguibles de tipo 1; n2 objetos indistinguibles de tipo 2…, nk

objetos indistinguibles de tipo k es

Ej. ¿De cuántas formas se pueden distribuir a cuatro jugadores manos

de 5 cartas utilizando una baraja de 52 cartas?

Sol.

O igual al número de permutaciones de 52 objetos, con 5 objetos

indistinguibles de cuatro tipos distintos, y 32 objetos de una misma

clase.

1 1 2

1 1 1

, ,

1 2

!

! ! !k k

k

n n n n n

n n n n n n n

k

nC C C C

n n n

52

5

47

5

42

5

37

5

5 5 5 5 32

52 47 42 37 32

52!

5!5!5!5!32!C C C C C

Coeficientes Binoniales. Binomio de Newton.

Teorema del BINOMIO. Sean x e y variables y n un entero no

negativo. Entonces,

0

( )n

n n j j

j

nx y x y

j

Consecuencias.

0

2n

n

j

n

j

0

( 1) 0n

j

j

n

j

0

(2) 3n

j n

j

n

j

Identidad de PASCAL. Triángulo de PASCAL

1

1

n n n

k k k

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1 4

0

4

1

4

2

4

3

4

4

3

0

3

1

3

2

3

3

2

0

2

1

2

2

1

0

1

1

0

0

Coeficientes Binoniales. Binomio de Newton.

Identidad de Vandermonde.

Consecuencias.

2

0

2 n

j

n n

n j

0

r

k

n m n m

r k r k

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