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Tema 4: Ecuaciones e inecuaciones 1

TEMA 4:

Ecuaciones e inecuaciones


ESQUEMA DE LA UNIDAD

1.- Ecuaciones de primer grado.

2.- Ecuaciones de segundo grado completas.

3.- Ecuaciones de segundo grado incompletas.

3.1.- Caso 0b .

3.2.- Caso 0c .

4.- Propiedades de las ecuaciones de segundo grado.

5.- Ecuaciones bicuadradas.

6.- Ecuaciones de grado mayor que dos.

7.- Ecuaciones con fracciones algebraicas.

8.- Ecuaciones irracionales.

9.- Ecuaciones exponenciales.

10.- Inecuaciones de primer grado con una incógnita.

11.- Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

12.- Inecuaciones de segundo grado con una incógnita.

1.- ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Para resolver las ecuaciones de primer grado se recomienda seguir los siguientes pasos:

1. Quitar los paréntesis.

2. Si hay fracciones ponerle a todas el mismo denominador.

3. Quitar los denominadores teniendo mucho cuidado con los signos.

4. Pasar todos los términos que contengan la incógnita a la izquierda de la ecuación y todos

los términos que no la tengan a la derecha.

5. Agrupar en ambos lados de la ecuación.

6. Despejar la incógnita pasando el número que tiene delante al otro lado de la ecuación

DIVIDIENDO.

Ejemplos: resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado.

a)

2

3

8

7

4

32

2

13

xxx

2

3

8

7

4

32

2

13 xxx

2

3

8

7

4

62

2

33 xxx

8

12

8

7

8

124

8

1212

xxx

1271241212 xxx 1212127412 xxx 36x


b)

5

33

15

124

3

12

5

2

xxxx

5

93

15

48

3

22

5

2 xxxx

15

279

15

48

15

1010

15

63 xxxx

27948101063 xxxx 10627498103 xxxx

3514x 14

35x

2.- ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS

Recordatorio:

Son ecuaciones de la forma 02 cbxax , donde cba ,, son números distintos de cero.

Estas ecuaciones se resuelven aplicando la siguiente fórmula: a

cabbx

2

42

Observaciones:

Antes de aplicar la fórmula para resolver la ecuación, hay que asegurarse de que todos los

términos de la ecuación están a la izquierda, quedando un cero a la derecha.

Al aplicar la fórmula no olvidar quiénes son cba ,, , ya que podemos tener desordenada la

ecuación y confundirnos.

El radicando de la raíz que aparece en la fórmula ( cab 42 ) se le llama discriminante y

se representa con el símbolo . Según sea el discriminante de la ecuación podemos saber, sin

resolverla cuántas soluciones tiene la ecuación de segundo grado:

Si 0 , entonces la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.

Si 0 , entonces la ecuación solo tiene una solución real (doble).

Si 0 , entonces la ecuación no tiene ninguna solución real.

Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas.

a) 0762 xx

2

14

2

867

2

86

2

646

2

28366

12

714662

x

2

2

2

861


b) 01032 xx

2

4

2

732

2

73

2

493

2

4093

12

101433 2

x

2

10

2

735

3.- ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS

Son ecuaciones de la forma 02 cbxax donde """" cob vale cero. Aunque se pueden

resolver con la misma fórmula que las ecuaciones de segundo grado completas, hay una forma más

rápida de resolverlas.

3.1.- Caso b = 0

En este caso el término que le falta a la ecuación es la “x”. Se podría resolver siguiendo los

siguientes pasos:

1. Se resuelve la ecuación como si fuera de primer grado; es decir, como si la “x” no estuviera

elevada al cuadrado.

2. Cuando esté despejada la “ 2x ”, el cuadrado se pasa al otro lado en forma de raíz cuadrada,

sin olvidar que cuando se saca la raíz cuadrada de un número hay dos soluciones, una positiva y

otra negativa.

Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas.

a) 0273 2 x

0273 2x 273 2x 3

272x 92x xx 9 3

b) 0255 2 x

0255 2x 255 2x 5

252x xx 52 5

c) 06416 2 x

06416 2x 6416 2x 16

642x 42x xx 4 2

d) 0182 2 x

0182 2x 182 2x 2

182x 92x xx 9 3


3.2.- Caso c = 0

En este caso el término que le falta a la ecuación es el término independiente. Se podría resolver

siguiendo los siguientes pasos:

1. Se saca factor común.

2. Se plantean dos ecuaciones, una en la que se iguala a cero lo que ha quedado fuera del

paréntesis después de haber sacado factor común, y otra igualando a cero lo que ha quedado dentro

del paréntesis.

3. Las soluciones de esas dos ecuaciones serán las soluciones de la ecuación de segundo grado

que estamos buscando.

Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas.

a) 0255 2 xx

xx 05 0

0550255 2 xxxx

xx 05 5

b) 027 2 xx

xx 0 0

027027 2 xxxx

xxx 270277

2

c) 0126 2 xx

xx 06 0

0260126 2 xxxx

xx 02 2

d) 0248 2 xx

xx 08 0

0380248 2 xxxx

xx 03 3

4.- PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Si llamamos x1 y x2 a las soluciones de una ecuación de segundo grado de la forma

02 cbxax , se cumple lo siguiente:

La suma de las soluciones vale a

b; es decir:

a

bxxS

21

El producto de las soluciones vale a

c; es decir,

a

cxxP 21


Si la ecuación 02 cbxax se divide término a término entre “a” se obtiene lo

siguiente:

00

0 22

2

a

cx

a

bx

aa

c

a

xb

a

axcbxax

Pero como a

bS

y

a

cP , la ecuación de segundo grado se puede terminar escribiendo

también de esta manera: 02 PSxx

5.- ECUACIONES BICUADRADAS

Son ecuaciones de la forma 024 cbxax , donde a, b, c son números reales y "a" no puede

valer cero.

Cuando "b" y "c" tampoco valen cero, a la ecuación bicuadrada se le llama completa, y en el

caso de que o "b" o "c" sean cero, se le llama incompleta, al igual que sucede con las ecuaciones de

segundo grado.

Las ecuaciones bicuadradas hay que transformarlas mediante lo que se conoce como un cambio

de variable en una ecuación de segundo grado. Los pasos que hay que seguir para resolverlas, de

una manera más detallada, son los siguientes:

1. Hacer el cambio de variable yx 2 , quedando así una ecuación de segundo grado. Vamos

a verlo: cambio de variable yx 2

00 22224 cbxxacbxax 02 cbyay

2. Resolver la ecuación de segundo grado, obteniendo así el valor de "y", que no es la

incógnita de la ecuación que tenemos que resolver.

3. Deshacer el cambio de variable que se hizo en el paso 1 para obtener el valor de "x", que es

el que nos interesa:

yx2 yx

Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas.

a) 045 24 xx

12

41455045045045

2

222224 yyyxxxx

2

8

2

354 442 xx 2x

2

35

2

95

2

16255

2

2

2

351 112 xx 1x


b) 0214 24 xx

12

211444021402140214

2

222224 yyyxxxx

2

12

2

846 62x 6x

2

84

2

644

2

48164

2

4

2

842 22x 2x No es real

c) 032 24 xx

22

32411032032032

2

222224 yyyxxxx

4

6

4

51

2

3

2

32x2

3x

4

51

4

251

4

2411

4

4

4

511 12x 1x No es real

6.- ECUACIONES DE GRADO MAYOR QUE DOS

Son ecuaciones en las que la incógnita aparece elevada a un número mayor que dos. Para

resolverlas se aconseja seguir los siguientes pasos:

1. Descomponer o factorizar la ecuación.

2. Igualar a cero cada uno de los factores de la factorización, quedando así tantas ecuaciones

como factores tenga la ecuación, pero serán de grados menores que la inicial.

3. Resolver las ecuaciones planteadas en el paso anterior.

Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones de grado mayor que dos

a) 0671344 234 xxxx

Factorización de la ecuación:

4 4 -13 -7 6

1x -1 -4 0 13 -6

4 0 -13 6 0

2x -2 -8 16 -6

4 -8 3 0

384 2 xx


Así, la ecuación factorizada queda de esta manera: 038421 2 xxxx

Igualar a cero cada uno de los factores y resolver:

038421 2 xxxx

01x 1x

02x 2x

42

344880384

2

2 xxx

8

48

8

168

8

48648

8

12

8

48

2

3

8

4

8

48

2

1

b) 0652 23 xxx

Factorización de la ecuación:

1 2 -5 -6

1x -1 -1 -1 6

1 1 -6 0

2x 2 2 6

1 3 0

3x

Así, la ecuación factorizada queda de esta manera: 0321 xxx

Igualar a cero cada uno de los factores y resolver:

0321 xxx

01x 1x

02x 2x

03x 3x


7.- ECUACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

Son ecuaciones en las aparecen fracciones algebraicas. Para resolverlas se aconseja seguir los

siguientes pasos:

1. Si no lo tienen, ponerle a todas las fracciones el mismo denominador (que será el m.c.m. de

todos ellos).

2. Realizar las operaciones que quedan en los numeradores.

3. Quitar los denominadores teniendo cuidado con los signos. Recordar que si hay un signo

"-" delante de una fracción, al quitar el denominador hay que cambiarle el signo a todos los

términos del numerador.

4. Resolver la ecuación resultante, así se obtendrán POSIBLES soluciones de la ecuación

inicial.

5. Comprobar si las posibles soluciones obtenidas en el paso anterior son realmente

soluciones de nuestra ecuación.

Observación: la comprobación es necesaria por aparecer la incógnita en los denominadores de

las fracciones, ya que sabemos que no se puede dividir entre cero y cabe la posibilidad de que al

sustituir las posibles soluciones en los denominadores nos dé ese número, en cuyo caso el número

sustituido no podríamos considerar que es solución de la ecuación.

Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones

a) 024

22

2

x

x

x

x

22

220

22

2

22

120

24

2 2

2

2

xx

xx

xx

xx

xx

x

x

x

x

x

22

0

22

2

22

2 22

xxxx

xx

xx

x 022 22 xxx

2

222 xx 1x Posible solución

Comprobación: para ver si 1x es solución de nuestra ecuación tenemos que comprobar si

anula algún denominador.

024

22

2

x

x

x

x

1x 1x

412 21

03 01


Como al sustituir la "x" de los denominadores por "1", no se ha anulado ninguno de ellos,

podemos afirmar que 1x SÍ es solución de nuestra ecuación.

b) 196

3

3

22

xxx

x

2

2

2223

31

3

13

3

321

96

3

3

2

x

x

xx

xx

xxx

x

xxxxx

x

xx

xx

xxx693623

3

69

3

3

3

623 22

2

2

22

2

0369623 22 xxxxxx 0x Posible solución



196

3

3

22

xxx

x

0x 0x

30 90602

03 09

Como al sustituir la "x" de los denominadores por "0", no se ha anulado ninguno de ellos,

podemos afirmar que 0x SÍ es solución de nuestra ecuación.

c) 01

112

xxx

1

10

1

1

1

110

1

112 xx

xx

xx

x

xxxxx

1011

0

11

1xx

xxxx

x

xx 1x Posible solución



01

112

xxx

1x

112

0


Como al sustituir la "x" de los denominadores por "1", se ha anulado uno de ellos, podemos

afirmar que 1x NO es solución de nuestra ecuación, y como no hay otras posibles soluciones,

nuestra ecuación no tiene solución.

8.- ECUACIONES IRRACIONALES

Una ecuación irracional es una ecuación en la que la incógnita aparece dentro de una raíz (en

nuestro caso siempre serán raíces cuadradas).

Para resolver una ecuación irracional se aconseja seguir los siguientes pasos:

1. Asilar la raíz del resto de la ecuación; es decir, dejar la raíz a un lado del signo "=" y el

resto de términos de la ecuación al otro lado. Conviene siempre dejar la raíz en el lado donde

quede con un signo positivo delante.

2. En el lado en el que no está la raíz, agrupar todo lo que se pueda de manera que queden,

como mucho, dos términos.

3. Encerrar todo lo que hay a la izquierda del signo "=" en un solo paréntesis, y todo lo que

hay a la derecha del signo "=" en otro.

4. Elevar al cuadrado cada uno de los paréntesis, así se irá la raíz y quedará una ecuación sin

raíces.

5. Resolver la ecuación resultante en el paso anterior, obteniendo así POSIBLES soluciones

de la ecuación irracional.

6. Comprobar si las posibles soluciones obtenidas en el paso anterior son o no soluciones de la

ecuación de partida.

Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones irracionales

a) 31452 xxx

44513453145 222 xxxxxxxxx

xxxxxxxxxx 81645445445 2222

22

3

121230123081645 22 xxxxxxx 4x Posible

solución

Comprobación: comprobamos si 4x es solución de la ecuación irracional.

31452 xxx

4x 4x

34144542


1142016

110

11 soluciónesSíx 4

b) 552 xx

xxxxxxxxx 10255555555 2222

222

10

2020105251022 xxxxx 2x Posible solución

Comprobación: comprobamos si 2x es solución de la ecuación irracional.

552 xx

2x 2x

52522

354

39

33 soluciónesNox 2

9.- ECUACIONES EXPONENCIALES

Son ecuaciones en las que la incógnita aparece en el exponente de una potencia. Las hay de dos

tipos:

Ec. Monómicas son aquellas en las que se pueden expresar los dos términos de la

ecuación como una potencia de la misma base. Estas ecuaciones tienen dos términos.

Ejemplos:

a) 273 52 x

273 52 x

Se factorizan las bases (en este caso solo se factoriza el 27): 352 33 x

Cuando a ambos lados del "=" queden potencias con la misma base, se "tachan" las bases

de manera que quedan igualados los exponentes: 352 x


Por último se resuelve la ecuación que queda planteada en el paso anterior (ecuación en la

que ya no hay potencias). En este ejemplo queda una ecuación de primer grado:

2

222532352 xxxx 1x

b) 125

15 42

xx

Factorización de las bases (en este caso solo se factoriza el número 125): 3

4

5

15

2

xx

Se pasa la potencia 35 al numerador de la fracción (recordar que para pasar una potencia

del numerador al denominador o viceversa basta con cambiar de signo al EXPONENTE de

la potencia: 34 552 xx

Tachamos las bases y resolvemos la ecuación que queda:

2

12164

12

3144403434

2

22 xxxxx

2

6

2

243

2

24

2

44

2

2

2

241

Ec. Trinómicas son aquellas en las que es necesario hacer un cambio de variable para

resolverlas, transformándose la ecuación inicial en otra ecuación no exponencial. Estas ecuaciones

tienen más de dos términos.

Ejemplos:

a) 9033 2 xx

Aplicamos en la segunda potencia la propiedad de la suma de potencias de la misma base:

9039390333 2 xxxx

Hacemos el siguiente cambio de variable: yx 3 , con el que la ecuación queda de la

siguiente manera: 909 yy

Resolvemos la ecuación cuya incógnita es la "y":

10

909010909 yyyy 9y


Por último deshacemos el cambio de variable (quedando una ecuación exponencial del tipo

anterior):

233933 xxx y 2x

b) 655 1 xx

Aplicamos en la primera potencia la propiedad de división de potencias de la misma base:

655

5 x

x

Hacemos el siguiente cambio de variable: yx 5 , con el que la ecuación queda de la

siguiente manera: 65

yy

Resolvemos la ecuación cuya incógnita es la "y":

3055

30

5

5

56

5yy

yyy

y5

6

30306 yyy

Por último deshacemos el cambio de variable (quedando una ecuación exponencial del tipo

anterior):

155555 xxx y 1x

10.- INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Una inecuación es una expresión algebraica (al igual que una ecuación) en la que en vez de

haber una igualdad (=) hay una desigualdad.

Recordatorio: hay cuatro tipos de desigualdades

> Mayor que < Menor que

Mayor o igual que Menor o igual que

Las inecuaciones de primer grado con una incógnita se resuelven como las ecuaciones teniendo

en cuenta que para despejar la incógnita esta debe tener un número positivo delante. Si el número

que hay delante de la incógnita justo antes de despejarla es negativo, hay que cambiarle el signo a

toda la inecuación incluyendo la desigualdad.

Ejemplo: resuelve las siguientes inecuaciones

a) 332 xx

3

993632362332 xxxxxxxx

3x


Una vez resuelta una inecuación, hay tres formas diferentes de expresar su solución:

- De forma analítica: 3: xx

- Gráficamente:

- En forma de intervalo: 3,

b) 7432 xx

2

4424237427432 xxxxxxx

2x

Formas de expresar la solución:

- De forma analítica: 2: xx

- Gráficamente:

- En forma de intervalo: ,2

11.- INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

Una inecuación de primer grado con una incógnita es una expresión de la forma 0 cbyax .

Donde a, b y c son números reales y en la que puede aparecer cualquiera de las desigualdades <, >,

, .


a) 32 yx

Se escribe la ecuación asociada a la inecuación: 32 yx

Se representa gráficamente la ecuación anterior (saldrá una recta):

Se despeja la “y”:

32 yx xy 23

Se hace la tabla de valores:

x 1 2

y 1 -1


Se representa la recta:

Se elige un punto del plano que NO esté en la recta y se comprueba si cumple la

inecuación. En caso afirmativo, la solución es el semiplano que contiene al punto

elegido, y si por el contrario dicho punto no cumple la inecuación, entonces la solución

es el semiplano que no contiene al punto elegido.

Elegimos por ejemplo el punto 3x , 2y y comprobamos si cumple la inecuación:

326323232 yx 38 lo cual no es cierto, por lo tanto la

solución es el semiplano que no contiene al punto 3x , 2y .

b) yxx 32154

Se escribe la ecuación asociada a la inecuación: yxx 32154

Se representa gráficamente la ecuación anterior (saldrá una recta):

Se despeja la “y”:

3

422135421332154

xyxyxxyyxx

Se hace la tabla de valores:

x -2 1

y 0 -2


Se representa la recta:

Se elige un punto del plano que NO esté en la recta y se comprueba si cumple la

inecuación. En caso afirmativo, la solución es el semiplano que contiene al punto

elegido, y si por el contrario dicho punto no cumple la inecuación, entonces la solución

es el semiplano que no contiene al punto elegido.

Elegimos por ejemplo el punto 0x , 0y y comprobamos si cumple la inecuación:

001500302150432154 yxx 15 lo cual es

cierto, por lo tanto la solución es el semiplano que contiene al punto 0x , 0y .

12.- INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA

Para resolver inecuaciones de segundo grado se recomienda seguir los siguientes pasos:

1. Escribir y resolver la ecuación de segundo grado asociada a la inecuación.

2. Colocar en la recta real las soluciones obtenidas en el paso anterior, de manera que la recta

quedará dividida en varios intervalos.

3. Sustituir un número de cada intervalo en la inecuación para ver si el resultado que sale al

operar es positivo o negativo.

4. La solución de la inecuación será el intervalo o intervalos en el que el signo coincida con la

desigualdad de la inecuación.

5. Los extremos de los intervalos que son solución de este tipo de inecuaciones, entran dentro

de la solución si en la desigualdad de la inecuación entra el “ = ”; es decir, si es “ ” ó “ ”, y no

entra en la solución si en la desigualdad no aparece el “ = “; es decir, si es “ > ” ó “ < ”.



a) 0342 xx

Ecuación asociada: 0342 xx

Resolución de la ecuación:

2

24

2

44

2

12164

12

31444034

2

2 xxx

2

6

2

243

2

2

2

241

Colocamos las soluciones de la ecuación en la recta real, señalamos los intervalos en los que

queda dividida y elegimos un número de cada intervalo:

0 2 4

1 3

Sustituimos los números elegidos en la inecuación (en 342 xx ) y operamos para ver si nos

sale un número positivo o negativo y lo indicamos en la recta real:

30030400 2x 3 Positivo

38432422 2x 1 Negativo

3161634444 2x 3 Positivo

+ - +

1 3

Como en la inecuación que tenemos que resolver la desigualdad que aparece es “MAYOR QUE

CERO”, la solución de la misma es aquel intervalo o intervalos en los que nos haya salido signo

POSITIVO. En cuanto a los extremos del intervalo, como en la desigualdad de la inecuación no

aparece el “IGUAL”, no entran en la solución.

Solución: ,31,

b) 0322 xx

Ecuación asociada: 0322 xx


Resolución de la ecuación:

2

42

2

162

2

1242

12

31422032

2

2 xxx

2

2

2

421

2

6

2

423

Colocamos las soluciones de la ecuación en la recta real, señalamos los intervalos en los que

queda dividida y elegimos un número de cada intervalo:

-2 0 4

-1 3

Sustituimos los números elegidos en la inecuación (en 322 xx ) y operamos para ver si nos

sale un número positivo o negativo y lo indicamos en la recta real:

344322222

x 5 Negativo

30030200 2x 3 Positivo

381634244 2x 5 Negativo

- + -

-1 3

Como en la inecuación que tenemos que resolver la desigualdad que aparece es “MAYOR QUE

CERO”, la solución de la misma es aquel intervalo o intervalos en los que nos haya salido signo

POSITIVO. En cuanto a los extremos del intervalo, como en la desigualdad de la inecuación sí

aparece el “IGUAL”, sí entran en la solución.

Solución: 3,1

FIN DEL TEMA

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