tema 05 - optimización
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OptimizaciónTRANSCRIPT
Cálculo II - Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río Cuarto V. 1
TEMA V: OPTIMIZACIÓN
Introducción
En general si una función es diferenciable, los extremos locales de dicha función, se
encuentran buscando primero los puntos de la superficie que admiten plano tangente
horizontal, los cuales se denominan puntos críticos, y luego, para determinar la existencia de
extremos relativos o locales es necesario recurrir a las derivadas parciales segundas.
El problema de detectar extremos absolutos de una función diferenciable es diferente. Hay
que investigar qué ocurre en la frontera de una región, pensada ésta como una restricción a
la función, y buscar también en el interior de la región.
V.1 EXTREMOS LOCALES: OPTIMIZACIÓN NO RESTRINGIDA.
Extremos de funciones de 11 ℜ→ℜ . Recordemos qué
pasa en un extremo local o relativo.
La función f , tiene un mínimo en 0x (figura 1) si:
( ) ( )00 xfxxf >Δ+ y ( ) ( )00 xfxxf >Δ−
de igual modo, decimos que la función f , tiene
un máximo en 0x si:
( ) ( )00 xfxxf <Δ+ y ( ) ( )00 xfxxf <Δ−
Luego el desarrollo de Taylor alrededor de 0x para la función f es:
f x xf x f x x f x x f x x
nf x x x
n
n n n n
00
10
20
20
10
1
0 1 2 1+ = + + + + +
+
+
+ +
ΔΔ Δ Δ Δ Δb g b g b g b g b g b g
b gb g b g b g b g
! ! ! ! !RESTO
. . .φ
Además, recordemos que si 0x es un punto crítico entonces la primera derivada es cero;
( )0 0f x′ = ; y siendo ( ) ( )0 0f f x x f xΔ = + Δ − , nos queda:
( )xxf Δ−0
( )0xf
0x xx Δ+0 xx Δ−0
( )xxf Δ+0
x
y
mínimo local máximo local
Figura 1
Cálculo II – Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río Cuarto V.2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
12 10 0 0 0
0 0
0 RESTO
1! 2! ! 1 !
n nn nf x x f x x f x x f x x xf f x x f x ...
n n
+ +′ ′′Δ Δ Δ + φΔ ΔΔ = + Δ − = + + + +
+
para 0xΔ → ; el signo de fΔ es igual al signo del primer término no nulo de la Serie de Taylor.
Además si xΔ es pequeño, entonces 2xΔ es más pequeño, por lo tanto solo influye el primer
término en el signo de fΔ , luego:
Si ( )0 0f x′′ > ⇒ 0fΔ > MÍNIMO
Si ( )0 0f x′′ < ⇒ 0fΔ < MAXIMO
Si ( )0 0f x′′ = y la próxima derivada distinta de cero es impar, entonces la función
tiene en 0x un PUNTO DE INFLEXIÓN. En cambio si la primera derivada distinta de
cero es par y además su valor es positivo la función tiene en 0x un mínimo, de otro
modo tiene un máximo.
Ejemplo 1
Consideremos la función: ( ) dcxbxaxxf +++= 23 que se muestra en la figura 2, y supongamos
que en 0x :
( )0 0f x′ = ; ( )0 0f x′′ = y ( )0 0f x′′′ ≠
luego: fΔ = ( )0 3
3!f x
x ...′′′
Δ +
entonces si:
( )0 0f x′′′ < ó 0xΔ < ⇒ 0fΔ <
( )0 0f x′′′ < y 0xΔ < ⇒ 0fΔ >
en 0x no hay máximo ni mínimo, la función es monótonamente decreciente.
V.1.1 Funciones de dos variables. Condiciones necesarias.
Tomemos algunas funciones de 1ℜ→ℜ2 como base de la explicación, por ejemplo las que
se muestran a continuación:
( )xf
x
y
Figura 2
0fΔ < 0fΔ >
0x x− Δ 0x x+ Δ 0x
Cálculo II - Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río Cuarto V. 3
Supongamos que las funciones son n diferenciables, y consideremos el desarrollo en serie de
Taylor para la función ( )y,xf alrededor del punto ( )00 y,x :
( ) ( )( ) ( )
dyyfdx
xfdfy,xfyy,xxff
y,xy,x 0000
0000 ∂∂
+∂∂
=≅−Δ+Δ+=Δ
¿Cómo tendría que ser el plano tangente en un punto extremo ( )00 y,x ?
Si ( )00 y,x es un punto critico, entonces ( )0 0 0f x , y ;x∂
=∂
∂∂
=fy
x y0 0 0,b g ó ∇ =f x y0 0 0,b g
, lo que implica que el plano tangente es horizontal.
Nota: Para que la función ℜ→ℜ⊆ 2U:f , diferenciable en U , tenga en el punto ( )00 y,x un
extremo local, es necesario que ∇ =f x y0 0 0,b g . Luego ∇ =f x y0 0 0,b g es una condición
necesaria para la existencia de extremos. En el caso del cono (ver figura 4) en ( ) ( )0000 ,y,x =
la función tiene un extremo, sin embargo al no ser diferenciable en ese punto, la condición
necesaria no se cumple y por lo tanto no es un punto crítico.
Figura 5
x
( )y,xfz =
y
z máximos relativos
y
z
x ( ) ( )2222 yxyxy,xfz +−+==
máximo absoluto amplio
Figura 3
y
z
x
22 yxz +=
mínimo absoluto estricto
Figura 4
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Ejemplo 2
Dada la función ( ) ( )( ) 1f x, y x y xy= + + , encontrar sus puntos críticos.
Solución
Son aquellos puntos en que el gradiente es el vector nulo, o sea que todas las derivadas
parciales son 0.
( ) ( )( )
2
2
1 0 2 1 00 0
1 0 2 1 0xy x y y xy yf ff x, yxy x y x xy xx y
⎧ + + + = ⇒ + + =∂ ∂ ⎪∇ = ⇒ = = ⇒ ⎨ + + + = ⇒ + + =∂ ∂ ⎪⎩
Despejando 2 1xy + de la primera y sustituyéndolo en la segunda se tiene:
2 22 2
2 2
2 1 002 1 0
y yx y x y
y y⎧ + + =
− = ⇒ = ± ⇒ ⎨− + + =⎩
2
2
3 11
yy
⎧ = −⇒ ⎨
− = −⎩
La primera de estas condiciones es absurda; por lo tanto vale la segunda, correspondiente
al caso x y= − , y es:
( ) ( )1 21 1 1 1 11y x P , , P ,= ± ⇒ = ⇒ − −∓
Éstos son los únicos dos puntos críticos de la función.
V.1.2 Condiciones suficientes de extremo relativo.
En este punto deduciremos condiciones suficientes para la existencia de extremos.
Sea 2: f D ⊂ ℜ →ℜ una función con derivadas segundas contínuas y ( )0 0x , y un punto interior
al dominio donde se anulan las derivadas parciales primeras, entonces estudiando la
variación de la función es posible deducir condiciones suficientes para la existencia de
extremos.
¿Qué signo tiene fΔ ?
Criterio I
( ) ( ) ( ) ( ) ( )y,xRyy
fyx
xyf
xx
fy
yy,xf
xx
y,xfy,xfyy,xxff
fdfd
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
∂
∂+ΔΔ
∂∂∂
+Δ∂
∂+Δ
∂∂
+Δ∂
∂=−Δ+Δ+=Δ
= 21
22
222
2
2
0
00000000 2
2!1
es decir: ( ) ( ) ( )y,xRfdy,xfyy,xxff +=−Δ+Δ+=Δ 20000 2
1
Cálculo II - Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río Cuarto V. 5
Suponiendo que alguna derivada de segundo orden es distinta de cero, por ejemplo:
02
2≠
∂
∂
xf en el punto ( )00 y,x , y a los fines de
considerar todas las direcciones posibles en
las cuales a partir de ( )00 y,x se puede realizar
un desplazamiento Δr , escribimos los
incrementos de las variables independientes
y,x ΔΔ en coordenadas polares (figura 6)
Δ Δx r= cosϕ ; y r senΔ = Δ ϕ
luego la expresión para fΔ , queda:
ΔΔ
fr f
xsen
fy x
senf
y≅
∂
∂+
∂∂ ∂
+∂
∂
FHG
IKJ
22
22
22
2
222cos cosϕ ϕ ϕ ϕ
multiplicando y dividiendo por 2
2
xf
∂∂ , se obtiene:
ΔΔ
fr
fx
fx
senf
xf
y xsen
fx
fy
≅∂
∂
∂
∂
FHGIKJ +
∂
∂
∂∂ ∂
+∂
∂
∂
∂
L
NMM
O
QPP
2
2
2
2
2
22
2
2
22
2
2
2
22
2cos cosϕ ϕ ϕ ϕ
completando cuadrados en la expresión dentro de los corchetes (sumando y restando
∂∂ ∂
FHGIKJ
2 22f
y xsen ϕ ):
ΔΔ
fr
fx
fx
senf
xf
y xf
y xsen
fy x
sen senf
xf
y≅
∂
∂
∂
∂
FHGIKJ +
∂
∂
∂∂ ∂
+∂∂ ∂
FHGIKJ −
∂∂ ∂
FHGIKJ +
∂
∂
∂
∂
L
NMM
O
QPP
2
2
2
2
2
22
2
2
2 2 22
2 22 2
2
2
2
22
2cos cosϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
que se puede escribir como:
ΔΔ
fr
fx
fx
fy x
sen senf
xf
yf
y x≅
∂
∂
∂
∂+∂∂ ∂
FHG
IKJ +
∂
∂
∂
∂−
∂∂ ∂
FHGIKJ
FHGG
IKJJ
L
NMM
O
QPP
2
2
2
2
2
2 22
2
2
2
2
2 2
2cos ϕ ϕ ϕ
ΔΔ
fr
fx
fx
fy x
sen sen
fx
fy x
fy x
fy
≅∂
∂
∂
∂+∂∂ ∂
FHG
IKJ +
∂
∂
∂∂ ∂
∂∂ ∂
∂
∂
L
N
MMMMM
O
Q
PPPPP
2
2
2
2
2
2 22
2
2
2
2 2
22cos ϕ ϕ ϕ
ϕ
x
y
Δr
( )00 y,x yΔ
xΔ
0y
0x
Figura 6
Cálculo II – Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río Cuarto V.6
al último determinante se lo llama Hessiano y se lo denota con la letra H .
En la nueva expresión obtenida para fΔ , analicemos los distintos factores que determinan su
signo.
Supongamos 0>H :
La expresión dentro de los corchetes es siempre positiva, luego el signo de fΔ lo determina
el signo de 2
2
xf
∂∂ .
Entonces:
0>H y 02
2>
∂
∂
xf : 0>Δf y la función tiene un MÍNIMO ESTRICTO
0>H y 02
2<
∂
∂
xf : 0<Δf y la función tiene un MÁXIMO ESTRICTO
Supongamos 0<H :
La expresión dentro de los corchetes puede ser positiva, negativa o cero dependiendo del
valor del ángulo ϕ , es decir depende de la dirección por la cual nos acerquemos al punto
( )00 y,x .
Evaluemos el fΔ para dos valores cualesquiera de ϕ :
0=ϕ , es decir nos acercamos a ( )00 y,x moviéndonos por el eje x , Δ Δr x=FH IK ,
luego ΔΔ Δ
fr
fx
fx
r fx
≅∂
∂
∂
∂
FHGIKJ
L
NMM
O
QPP =
∂
∂
2
2
2
2
2
22
2
22
2
0ϕ=ϕ , donde 0ϕ es un ángulo tal que ∂
∂+∂∂ ∂
=2
2
20f
xf
y xsencos ϕ ϕ , es decir nos
acercamos a ( )00 y,x por una dirección llamada dirección singular
ϕ0
2
2
2= −
∂
∂
∂∂ ∂
FHG
IKJarctg
fx
fy x
, luego ΔΔ
fr
fx
sen H≅∂
∂
⋅
2
2
2
2
2ϕ
Cálculo II - Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río Cuarto V. 7
Entonces:
H
fx
fx
<
∂
∂>
==
∂
∂<
==
R
S|||
T|||
0
00
00
2
20
2
20
ϕϕ ϕ
ϕϕ ϕ
Con lo cual se concluye que cuando 0<H no es suficiente evaluar el signo de
2
2
xf
∂∂ para conocer el signo de fΔ , porque el signo de fΔ depende de la
dirección con que nos acerquemos al punto ( )00 y,x , es decir del valor de ϕ .
Luego decimos que cuando 0<H , la función tiene un PUNTO SILLA.
Ejemplo 3
Calculemos los extremos libres de la función 22 xyz −= , que se muestra en la figura 7.
Luego para calcular los puntos críticos hacemos:
∇ =f x y0 0 0,b g ,
esto es:
∂∂
= − =
∂∂
= =
fx
x
fy
y
2 0
2 0 luego x y= = 0 y el punto crítico es x y0 0 0 0, ,b g b g=
Valuando el determinante Hessiano en el punto crítico, obtenemos:
( )
( )04
2002
00
00
2
22
2
2
2
<−=−
=
∂
∂∂∂
∂∂∂
∂
∂
∂
y,x
y,xyf
yxf
yxf
xf
entonces la función tiene en 0 0,b g un PUNTO SILLA. Si nos acercamos al punto crítico por el
eje y , la función tiene un máximo, si en cambio lo hacemos por el eje x , entonces hay un
mínimo.
Supongamos 0=H :
La expresión dentro de los corchetes puede ser positiva o cero dependiendo del valor del
ángulo ϕ , es decir depende de la dirección por la cual nos acerquemos al punto ( )00 y,x .
⇒ Δf > 0 la función tendría un MÍNIMO ESTRICTO ⇒ Δf < 0 la función tendría un MÁXIMO ESTRICTO ⇒ Δf < 0 la función tendría un MÁXIMO ESTRICTO ⇒ Δf > 0 la función tendría un MÍNIMO ESTRICTO
x y
z
Figura 7
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z
y
x
Evaluemos el fΔ :
0ϕ≠ϕ , luego ΔΔ
fr
fx
fx
fy x
sen≅∂
∂
∂
∂+∂∂ ∂
LNMM
OQPP
2
2
2
2
2
2 2
2cos ϕ ϕ y el signo de fΔ depende del
signo de 2
2
xf
∂∂ .
0ϕ=ϕ , es decir nos acercamos a ( )00 y,x por la dirección singular, luego Δf ≅ 0
Entonces:
H
fx
fx
=
∂
∂>
≠=
∂
∂<
≠=
R
S|||
T|||
0
0
0
2
20
0
2
20
0
ϕ ϕϕ ϕ
ϕ ϕϕ ϕ
Con lo cual se concluye que cuando 0=H , con 02
2≠
∂
∂
xf y dependiendo del signo
de 2
2
xf
∂∂ , se obtendrá un mínimo amplio o un máximo amplio, esto es así porque existe
una dirección particular en la cual el 0=Δf . Luego decimos que cuando 0=H , la
función tiene un EXTREMO AMPLIO.
Observación: Cabe notar que si bien las conclusiones anteriores han sido obtenidas para
( )0 0
2
2 0x ,y
fx
∂≠
∂ , lo mismo podría concluirse si
( )0 0
2
2 0x ,y
fy
∂≠
∂. Esto significa que es necesario que al
menos una de las derivadas parciales segundas sea distinta de cero a los fines de aplicar
este criterio.
Ejemplo 4
Calculemos los extremos libres de la función 2z y= , que se muestra en la figura 8.
Luego para calcular los puntos críticos hacemos:
∇ =f x y0 0 0,b g ,
⇒ Δf > 0 ⇒ Δf = 0
la función tiene un MÁXIMO AMPLIO
la función tiene un MÍNIMO AMPLIO
⇒ Δf < 0 ⇒ Δf = 0
Figura 8
Cálculo II - Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río Cuarto V. 9
esto es: 0
2 0
fxf yy
∂=
∂∂
= =∂
luego y 0x x y= = y los puntos críticos están sobre la recta
0y = . El determinante Hessiano, nos da:
( )
( )
0 0
2 2
2
2 20
2
0 00
0 2 x ,
x ,y
f fx yx
f fx y y
∂ ∂∂ ∂∂
= =∂ ∂∂ ∂ ∂
Otras formas de evaluar el signo de fΔ
Criterio II
Es posible arribar a las mismas condiciones suficientes a partir del siguiente análisis:
Considerando que la forma cuadrática ( ) TxAxxQ = , que tiene asociada la matriz A , se
dice:
Definida positiva, si ( ) 0>xQ , nx ℜ∈∀ , 0≠x
Definida negativa, si ( ) 0<xQ , nx ℜ∈∀ , 0≠x
Es posible mostrar que la forma ( ) TxAxxQ = es:
Definida positiva, si y solo si la matriz A tiene todos sus valores propios positivos
Definida negativa, si y solo si la matriz A tiene todos sus valores propios negativos
y retomando la expresión del fΔ en la serie de Taylor:
( )y,xRyy
fyxyxfx
xff +⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
∂
∂+ΔΔ
∂∂∂
+Δ∂
∂=Δ 2
2
222
2
22
21
el cual se puede expresar como una forma cuadrática, que nos permitirá una rápida
generalización para más variables:
Cálculo II – Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río Cuarto V.10
[ ] ( )y,xRyx
yf
yxf
yxf
xf
yxf +⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂
∂∂∂
∂∂∂
∂
∂
∂
ΔΔ=Δ
2
22
2
2
2
!21
Entonces para todo punto tal que ( ) ( )0 0x, y ,Δ Δ ≠
Si los valores propios de la matriz Hessiana son todos positivos, entonces la forma
cuadrática fΔ es definida positiva y la función tiene un mínimo.
Si los valores propios de la matriz Hessiana son todos negativos, entonces la forma
cuadrática fΔ es definida negativa y la función tiene un máximo.
Si los valores propios de la matriz Hessiana dan positivos y negativos es indefinida.
Criterio III
Hay otro criterio muy útil que nos dice cuándo la forma ( ) ( ) TQ x x H x x= es definida positiva
o definida negativa en término de los elementos de la matriz ( )H x , esto es:
Sea 1: nf D ⊂ ℜ →ℜ : ( ) ( )nx,...,x,xfxf 21= , luego la forma cuadrática fΔ está dada por:
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=Δ
nnnnn
n
n
n
dx:
dxdx
f...ff:...::
f...fff...ff
dx...dxdxf 2
1
21
22221
11211
21 ; donde ji
ij xxff∂∂
∂=
2 y jiij ff =
Los n subdeterminantes correspondientes a la matriz Hessiana están dado por:
1111 f=Δ , 2221
121122 ff
ff=Δ ; … ; ( )( )
1112111
122221
111211
11
−−−−
−
−
−− =Δ
nnnn
n
n
nn
f...ff:...::
f...fff...ff
; Hnn =Δ
El nuevo criterio nos dice que:
Si 011 >f , 022 >Δ ,…, 0>Δ nn , entonces fΔ es definida positiva ⇒ MÍNIMO
Si 011 <f , 022 >Δ ,… (los signos están alternados, empezando con 011 <f ), entonces
fΔ es definida negativa ⇒ MÁXIMO
Cualquier otra secuencia diferente a las anteriores y si ninguno de los
subdeterminantes es cero ⇒ PUNTO SILLA
Si son todos los subdeterminantes iguales a cero ⇒ EL CRITERIO NO CONCLUYE.
Cálculo II - Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río Cuarto V. 11
Ejemplo 5
Hallar y clasificar los puntos críticos de: ( ) 3 24 2 1f x, y x xy y= − + − +
Solución
Tenemos:
( ) ( )2 2 4 4 41 23 3 33 4 0 3 4 0 0 0 0
4 4 0
x
y
f x y x x x x P , ; P ,f x y x y
⎧ = − + = ⇒ − + = ⇒ = ∨ = ⇒⎪⎨ = − = ⇒ =⎪⎩
Ahora ( )( )( )
22
66 4
4 24 164 4
4
xx
yy
xy
f x, y xx
f x, y xf x, y
⎫= −−⎪= − ⇒ Δ = = −⎬ −⎪= ⎭
En ( )1 0 0P , , ( )22 0 0 16 0,Δ = − < , entonces es un punto silla
En ( )4 42 3 3P , , ( )4 4
22 3 3 16 0,Δ = > , luego es un extremo, y como ( )4 411 3 3 8 0xxf ,Δ = = − < entonces es
un máximo
V.2 EXTREMOS DE FUNCIONES CON VARIABLES LIGADAS: OPTIMIZACIÓN RESTRINGIDA.
El problema de determinar los máximos y mínimos de funciones de varias variables,
frecuentemente se presenta en formas diferentes, esto es:
i. Encontrar los máximos y mínimos relativos de la función ( )y,xf
Ya hemos visto que si la función es diferenciable, en general, los extremos locales se
encuentran buscando primero los puntos de la superficie que admiten plano tangente
horizontal, esto es los puntos en donde se verifica ∇ =f 0 . Estos puntos se llaman puntos
críticos de la función, interior a su dominio.
Sin embargo, veíamos que la anulación de las derivadas no era suficiente (condición
necesaria) para la existencia de extremos relativos o locales. Para ello desarrollamos un
criterio de la segunda derivada para extremos de funciones de varias variables, basado
en la observación del término de segundo grado en la serie de Taylor de la función.
Cálculo II – Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río Cuarto V.12
Si en cambio ahora el problema es:
ii. Diseñar una caja de modo que su volumen sea máximo, si disponemos de 100 m2 de
material, lo que equivale a decir que la superficie sea de 100 m2 .
El primer problema es diferente al segundo, porque en el segundo caso hay que tomar en
cuenta, la condición que relaciona las variables x e y .
Esto nos conduce a distinguir dos tipos de problemas:
Problemas de extremos libres, cuando queremos encontrar los máximos y/o mínimos de una
función de varias variables, tal como ( )y,xf sin agregar condiciones.
Problemas de extremos restringidos, cuando queremos encontrar máximos y/o mínimos y se
agregan una ó más condiciones a la función de varias variables.
V.2.1 Métodos de resolución: Composición de funciones - Multiplicadores de Lagrange.
El problema de determinar los valores extremos de un campo escalar ( )xf cuando x tiene
la restricción de pertenecer a un subconjunto dado del dominio de f , se resuelve
transformando el problema original en uno de extremos libres.
Encararemos la resolución de un caso sencillo.
Ejemplo 6
Sea 2ℜ⊂S la recta xy −=1 , y sea 12 ℜ→ℜ:f , ( ) 22 yxy,x + : Hallar los extremos de
f restringida a S .
Solución
La gráfica de la función f está en 3ℜ .
Mientras que la restricción, muestra que solo
una de las variables es independiente. Esta
relación se muestra en el plano xy de la
figura 9.
x
y
z
22 yxz +=
xy −=1
Figura 9
Cálculo II - Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río Cuarto V. 13
Si componemos la función f con los puntos
de la recta, reducimos el problema anterior a
encontrar los extremos de una función
compuesta que va de ℜ→ℜ .
Parametrizamos la recta xy −=1 ,
( )⎩⎨⎧
−==
=ty
txtr
1
luego: ( )( ) ( ) 1221 222 +−=−+= tttttrf
y encontramos los puntos críticos de rf haciendo: ( )( )21024 =⇒=−= tt
dttrfd
que equivale a ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
21
21
00 ,y,x
Otra forma de calcular ( )( )d f r tdt
es aplicando la regla de la cadena. Representando los
puntos de la recta por la ecuación ( ) 01 =+−= xyy,xg , obtenemos:
( )( ) ( )00 0
d f r tf r t
dt′= ∇ ⋅ =
d g r tdt
g r tb gb g b g= ∇ ⋅ ′ = 0
las dos últimas igualdades indican que en ( )00 y,x o en 0tt = se cumple: ∇ = ∇f gλ
Interpretación geométrica
Con el fin de tener una visión
geométrica, grafiquemos en el plano
xy la restricción ( ) 01=−+= xyy,xg , y
representemos además curvas de la
familia ( ) cy,xf = , con =c constante.
Entre las curvas de nivel de la función ( )y,xfz = , que se cortan con ( ) 0=y,xg , se tiene que
encontrar aquella para la cual la constante c es máxima o en nuestro caso mínima. Se ve
que esto ocurre para alguna curva ( ) cy,xf = , siendo ( )00 y,x las coordenadas del punto de
contacto, y son los valores requeridos correspondientes al valor extremo de ( )y,xf .
rℜ⊂U
2ℜ⊂V ℜ
( )( )trf
z
0yx
t
( )( )trg
f
Figura 10
y
x
c ( ) 0=y,xg
( ) cy,xf =
f∇ g∇
x0
y0
Figura 11
Cálculo II – Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río Cuarto V.14
Si las dos curvas cf = y 0=g se tocan, es porque tienen la misma tangente, (descontando
la existencia de singularidades en la curva g ) y se cumple la relación proporcional
∇ = ∇f gλ . Esta relación conjuntamente con la ecuación ( ) 0=y,xg sirven para determinar
( )00 y,x , constituyendo estas dos ecuaciones la aplicación del Método de los multiplicadores
de Lagrange.
Método de los Multiplicadores de Lagrange (Demostración analítica): Caso más sencillo
Se supondrá que en un punto extremo ( )00 y,x la función ( )y,xg tiene derivadas continuas y
que ∇ ≠g x y,b g 0 (lo que es análogo a suponer que las dos derivadas parciales no se anulan
simultáneamente); para ser específicos vamos a suponer que ( )
000 ≠∂
∂y
y,xg , entonces por el
teorema de la función implícita, en una vecindad de ( )00 y,x la ecuación ( ) 0=y,xg
determina a y de modo único como una función continuamente diferenciable de x ,
digamos ( )xy φ= , luego la función ( )( )x,xf φ debe tener un extremo libre en 0x y se debe
cumplir:
0000
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ φ∂∂
+∂∂
==== xxxxxx dx
d.yf
xf
dxdf (1)
Además la función ( )xy φ= , definida implícitamente por ( ) 0=y,xg , satisface la relación:
d g xdx g yφ ∂ ∂= −
∂ ∂ (2)
Reemplazando (2) en (1), obtenemos: 0 0 0
0x x x x x x
df f f g xdx x y g x= = =
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
(3)
0 0x x x x
g f g fy x x y= =
∂ ∂ ∂ ∂⋅ = ⋅
∂ ∂ ∂ ∂ (4)
0 0x x x xf x f y
g x g y= =
∂ ∂ ∂ ∂= = λ
∂ ∂ ∂ ∂ (5)
Reordenando (5), nos queda: 0x x
f gy y=
∂ ∂= λ
∂ ∂,
0x x
f gx x=
∂ ∂= λ
∂ ∂
que se puede escribir como: 0x x
f g=
∇ = λ∇ (6)
Estas última condición junto a ( ) 0=y,xg , establecen el método de los Multiplicadores de
Lagrange.
Cálculo II - Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río Cuarto V. 15
Luego, el método de los multiplicadores de Lagrange consiste en construir una
función ( ) ( ) ( )y,xgy,xf,y,xh λ+=λ , de modo que ∇ = ∇ + ∇ =h f g g x yλ , , , ,b ge j b g0 0 0 , esto
es equivalente a resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Mediante este
método el problema se redujo a un problema de extremos libres, esto es encontrar los
puntos críticos de h , y luego por inspección determinar si se tratan de máximos o
mínimos.
Resolución del Ejemplo 6, por el Método de los Multiplicadores de Lagrange
Construimos la función de Lagrange h :
( ) ( )122 −+λ++=λ xyyx,y,xh
y encontramos los puntos críticos correspondientes a esta función:
21
21
00 == y;x
Hay que destacar la importancia de que las derivadas parciales xf∂∂ y
yf∂∂ , no se anulen
ambas simultáneamente en el punto ( )00 y,x si esto ocurre el método falla.
Extensión del Método de los Multiplicadores de Lagrange a un mayor número de variables y
a un mayor número de restricciones
El método de los Multiplicadores de Lagrange se puede extender a un mayor número de
variables y también a un mayor número de restricciones o condiciones auxiliares.
Si bien buscamos ir hacia una generalización, consideraremos, sin demostración, un caso
especial que incluya todas las características esenciales.
Se buscarán los valores extremos de la función ( )w,v,y,xfz = con las condiciones auxiliares:
( ) 01 =w,v,y,xg y ( ) 02 =w,v,y,xg (7)
( ) 01
02
02
=−+−=λ∂∂
=λ−=∂∂
=λ−=∂∂
xyh
yyh
xxh
21
==⇒ yx ∇ =h 0
Cálculo II – Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río Cuarto V.16
Se supondrá que en el punto ( )0000 w,v,y,x la función f toma un valor extremo cuando se la
compara con los valores en todos los puntos vecinos que satisfacen las condiciones
auxiliares.
Se quiere que en la vecindad del punto ( )0000 w,v,y,xP = dos de las variables, digamos v y
w , se puedan representar como funciones de las otras dos resolviendo el sistema de
ecuaciones (7). Con el fin de asegurar que puedan hallarse tales soluciones:
( )y,xv ϕ= y ( )y,xw ψ=
Supondremos que en el punto P el jacobiano ( )( ) 021 ≠∂∂
w,vg,g
Sustituyamos ( )y,xv ϕ= y ( )y,xw ψ= en ( )w,v,y,xfz = y obtengamos una función de dos
variables independientes.
( ) ( )( )y,x,y,x,y,xfz ψϕ=
esta función de dos variables independientes debe tener un extremo libre en ( )00 y,x , es
decir sus derivadas parciales deben anularse en ese punto:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )0
0
00000000
00000000
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂ψ∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂ϕ∂
∂∂
+∂∂
=∂∂
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂ψ∂
∂∂
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂ϕ∂
∂∂
+∂∂
=∂∂
y,xy,xy,xy,x
y,xy,xy,xy,x
y.
wf
y.
vf
yf
yz
x.
wf
x.
vf
xf
xz
( )
( )
8
9
Además las funciones ( )y,xv ϕ= y ( )y,xw ψ= , definidas implícitamente por (7), satisfacen las
siguientes relaciones:
( )( )( )( )
( )( )
1 21 2 1 2
1 2 1 2
g ,g g g g gx,w x w w x
g ,g g ,gxv,w v,w
∂ ∂ ∂ ∂ ∂−∂∂ϕ ∂ ∂ ∂ ∂= =
∂ ∂∂∂ ∂
y
( )( )( )( )
( )( )
1 21 2 1 2
1 2 1 2
g ,g g g g gv,x v x x w
g ,g g ,gxv,w v,w
∂ ∂ ∂ ∂ ∂−∂∂ψ ∂ ∂ ∂ ∂= =
∂ ∂∂∂ ∂
( )10
( )( )( )( )
( )( )
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
g ,g g g g gy,w y w w y
g ,g g ,gyv,w v,w
∂ ∂ ∂ ∂ ∂−
∂∂ϕ ∂ ∂ ∂ ∂= =∂ ∂∂∂ ∂
y
( )( )( )( )
( )( )
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
g ,g g g g gv, y v y y w
g ,g g ,gyv,w v,w
∂ ∂ ∂ ∂ ∂−
∂∂ψ ∂ ∂ ∂ ∂= =∂ ∂∂∂ ∂
( )11
Luego, reemplazando (10) y (11) en (8) y (9), nos queda:
Cálculo II - Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río Cuarto V. 17
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
0 0 0 0
0 0 0 0
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
0x ,y x ,y
x ,y x ,y
g g g g g g g gz f f fx w w x w x x w. .
g ,g g ,gx x v wv,w v,w
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )12
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
0 0 0 0
0 0 0 0
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
0x ,y x ,y
x ,y x ,y
g g g g g g g gz f f fy w w y w y y w. .
g ,g g ,gy y v wv,w v,w
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )13
Como en el punto P el jacobiano no es cero, multiplicamos y dividimos por: ( )( )
1 2g ,gv,w
∂∂
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0x ,y x ,y x ,yx ,y x ,y x ,y
g g g g g g g g g g g gf f fx v w w v v x w w x w w x x w
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 00 00 0 0 0 0 0
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0x ,y x ,yx ,yx ,y x ,y x ,y
g g g g g g g g g g g gf f fy v w w v v y w w y w w y y w
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂⎛ ⎞− + − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Reordenando, obtenemos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 0x ,y x ,y x ,y x ,y x ,y x ,y
g g g g g g g g g gf f f f fx v w w w x v w w w x v w w w
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 0x ,y x ,y x ,yx ,y x ,y x ,y
g g g g g g g g g gf f f f fy v w w w y v w w w y v w w w
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Haciendo ( )0 0
2 21
x ,y
g gf fv w w w∂ ∂∂ ∂
λ = −∂ ∂ ∂ ∂
y ( )0 0
1 12
x ,y
g gf fw v v w∂ ∂∂ ∂
λ = −∂ ∂ ∂ ∂
, nos queda:
022
11 =
∂∂
λ−∂∂
λ−∂∂
xg
.xg
.xf (14)
022
11 =
∂∂
λ−∂∂
λ−∂∂
yg
.yg
.yf (15)
Resolver conjuntamente, ( )14 , ( )15 , 01 =g y 02 =g es lo mismo que encontrar la solución de
∇ =h 0 , siendo:
( ) ( ) ( ) ( )v,u,y,xgv,u,y,xgv,u,y,xf,,v,u,y,xh 221121 λ+λ+=λλ
Estas últimas ecuaciones son perfectamente simétricas, ha desaparecido de ellas todo resto
de énfasis especial sobre las dos variables x e y , y el mismo resultado se habría podido
obtener perfectamente si se hubiera propuesto que cualquiera de los jacobianos fuera
distinto de cero:
Cálculo II – Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río Cuarto V.18
( )( ) ,
y,xg,g
021 ≠∂∂
( )( ) ,
y,vg,g
021 ≠∂
∂ ( )( ) ,
y,wg,g
021 ≠∂∂
( )( ) ,
v,xg,g
021 ≠∂
∂ .......,( )( ) ,
w,vg,g
021 ≠∂∂
Por supuesto que por esta simetría se ha pagado un precio, además de las incógnitas x , y ,
v , w ahora están también 1λ y 2λ .
Exactamente de la misma manera se puede enunciar y probar para un número n arbitrario
de variables y m condiciones auxiliares, con nm < .
Si en una función ( )nx,,x,xfz 21= , las n variables no son independientes sino que están
relacionadas por las m condiciones auxiliares ( )nm < , entonces se introducen m
multiplicadores m,,, λλλ 21 y se igualan a cero las derivadas parciales de la función:
( ) ( ) ( ) ( )nmmnnmn x,,xgx,,xgx,,xf,,,x,,xh 1111111 λ++λ+=λλ
Estas ecuaciones deben ser satisfechas en cualquier punto extremo de f , a menos que
todos los jacobianos de las m funciones mg,,g,g 21 con respecto a m de las n variables
nx,,x1 , tengan el valor cero.
Esta regla constituye un método formal para determinar los puntos donde ocurren los puntos
críticos, sin embargo constituye una condición necesaria. Faltaría investigar cuando esos
puntos encontrados son máximos o mínimos.
Ejemplo 7
Dada una superficie ( ){ }4== z/z,y,xS que no pasa por el origen, determinar los puntos de S
más próximos al origen.
Solución
Ante todo haremos una interpretación geométrica. La función distancia al origen ( )000 ,,
está dada por ( ) 222 zyxz,y,xf ++= , y es ésta la función que hay que minimizar.
( ) 0211 =nx,,x,xg
…………………......
( ) 021 =nm x,,x,xg
Cálculo II - Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río Cuarto V. 19
Las superficies de nivel de la función ( )z,y,xf están dadas por 222 zyxr ++= y son las
esferas de radio r .
Si empezamos con 0=r y aumentamos r hasta que la correspondiente superficie de nivel
sea tangente a la superficie dada S , cada punto de contacto será un punto de S , lo más
próximo al origen.
Para determinar los puntos de contacto, supondremos que S está definida por la ecuación
cartesiana ( ) 0=z,y,xg . La superficie S admite plano tangente en un punto de contacto
donde ∇ ≠g 0 , dicho plano también debe ser tangente a la superficie de nivel de ( )z,y,xf
en el mismo punto. Por lo tanto el vector gradiente de la superficie ( ) 0=z,y,xg debe ser
paralelo al vector gradiente de la superficie de nivel de contacto ( ) rz,y,xf = . Por lo tanto
existe una constante λ tal que ∇ = ∇f gλ en cada punto de contacto.
Aplicando el método de los multiplicadores de Lagrange obtenemos:
( ) ( ) ( )z,y,xgz,y,xf,z,y,xh λ+=λ ( ) ( )zzyx,z,y,xh −λ+++=λ 4222
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=⇒=−=λ∂∂
=λ−++
=∂∂
==⇒
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
=++
=∂∂
=++
=∂∂
=∇
404
0221
002
21
0221
0
222
222
222
z,......zhzyx
z.zh
yx
zyx
y.yh
zyx
x.xh
h
( ) ( )400000 ,,z,y,x =
x
z
y
4 -
f g∇ = λ∇
( ) 0=z,y,xg
16222 =++ zyx
r
Figura 12
Cálculo II – Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río Cuarto V.20
Si quisiéramos resolver este problema por composición de funciones deberíamos
parametrizar el plano, luego componer la función, encontrar los puntos críticos de la función
compuesta y por inspección determinar los máximos y mínimos.
Los dos ejemplos vistos hasta ahora tienen una sola condición. ¿Qué ocurre si tenemos dos
condiciones? Veamos una aplicación concreta analizando el siguiente ejemplo:
Ejemplo 8
Si ( ) zyxz,y,xf ++= representa la distribución de temperaturas en un alambre. Y los puntos
( )z,y,x del alambre están dados por la intersección de las superficies:
1221 =+ yx:S y 22 =z:S
ó ( ) 012211 =−+= yxz,y,xg:S y ( ) 0222 =−= zz,y,xg:S
Solución
Interpretemos el problema. Queremos obtener los valores extremos de una función que da la
distribución de temperaturas sobre un alambre representado por una curva C , obtenida
como la intersección de dos superficies ( ) 01 =z,y,xg y ( ) 02 =z,y,xg .
Los dos vectores gradientes ∇g1 y ∇g2 son normales a las superficies, luego también lo son a
la curva intersección. Ello implica que el gradiente ∇f está en el mismo plano que los
vectores, ∇g1 y ∇g2 , luego si ∇g1 y ∇g2 , son linealmente independientes podemos
expresar:
∇ = ∇ + ∇f g gλ λ1 1 2 2 (con 01 ≠λ ó 02 ≠λ )
z
x
y
2 -
( ) 01 =z,y,xg
( ) 02 =z,y,xg
( ) cz,y,xf =
∇g2
∇g1
Figura 13
f∇
Cálculo II - Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río Cuarto V. 21
Resolución por multiplicadores de Lagrange:
( ) ( ) ( ) ( )z,y,xgz,y,xgz,y,xf,,z,y,xh 221121 λ+λ+=λλ
( ) ( ) ( )21 222
121 −λ+−+λ+++=λλ zyxzyx,,z,y,xh
∇ =
∂∂
= + =
∂∂
= + =
UV||
W||
⇒ =
∂∂
= − =
∂∂λ
= + − = ⇒ = ⇒ = = ±
∂∂λ
= − = ⇒ =
R
S
||||||
T
||||||
h
hx
x
hy
yx y
hzh
x y x x y
hz z
0
1 2 0
1 2 0
1 0
1 0 2 1 12
2 0 2
1
2
2
1
2 2 2
2
λ
λ
λ
, . . . . . . , . . . . . .
, . . . . . .
( ) ⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= 2
21
21
000 ,,z,y,x máximo
( ) ⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−= 2
21
21
111 ,,z,y,x mínimo
Muchas veces no es posible componer funciones, ya que la ecuación auxiliar puede ser tan
complicada que no se puede despejar una de las variables en función de las otras, aunque
teóricamente esto sea posible. En estos casos se pone en evidencia el poder de los
Multiplicadores de Laplace.
Criterio de la segunda derivada para extremos restringidos
Estamos interesados en la naturaleza de los extremos obtenidos al restringir f a un conjunto
S que sea el conjunto de nivel de otra función ( ) 0=y,xg . La situación es complicada
porque no necesariamente los extremos restringidos coinciden con los de f y además
porque sólo se permite a las variables moverse en el conjunto S .
No obstante se puede dar un criterio de la segunda derivada en términos de lo que se llama
el Hessiano ampliado o bordeado que para ( )y,xfz = y ( ) 0=y,xg con ∇ ≠g 0 tiene la
siguiente forma:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂
∂∂∂
∂∂∂
−
∂∂∂
∂
∂∂∂
−
∂∂
−∂∂
−
=
2
22
2
2
2
0
yh
yxh
yg
yxh
xh
xg
yg
xg
H
Cálculo II – Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río Cuarto V.22
El signo del determinante de H , evaluado en los puntos críticos de h , nos indica el tipo de
extremo:
Si 0<H el extremo es un mínimo local.
Si 0>H el extremo es un máximo local.
Si 0=H el criterio no concluye.
Tal como sucede en el caso sin restricciones, hay un criterio de la segunda derivada para
funciones de más de dos variables.
Si buscamos los puntos extremos para ( )nx,,x,xfz 21= sujeta a la sola restricción
( ) 021 =nx,,x,xg con algunos de los jacobianos 0≠ , formamos el Hessiano ampliado para
la función ( ) ( ) ( )nnn x,,x,xgx,,x,xf,x,,x,xh 212121 λ+=λ , del siguiente modo:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂∂
∂∂
−
∂∂∂
∂
∂∂∂
∂∂
−
∂∂∂
∂∂
∂
∂∂∂
−
∂∂
−∂∂
−∂∂
−
=
nnn
n
n
n
xxh
xg
xxh
xh
xxh
xg
xxh
xxh
xh
xg
xg
xg
xg
H
2
2
2
22
2
21
2
2
1
2
21
2
21
2
1
210
Luego, examinamos los determinantes de las submatrices diagonales de orden 3≥ en los
puntos críticos de h .
Si todos los subdeterminantes son negativos, esto es si
0
0
22
2
21
2
2
21
2
21
2
1
21
<
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂
∂∂∂
∂∂
−
∂∂
∂
∂∂∂
−
∂∂
−∂∂
−
xh
xxh
xg
xxh
xh
xg
xg
xg
, 0
0
23
2
23
2
13
2
3
32
2
22
2
12
2
2
31
2
21
2
21
2
1
321
<
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
−
∂∂
∂
∂∂∂
∂∂
−
∂∂
∂∂
∂
∂∂∂
−
∂∂
−∂∂
−∂∂
−
xh
xxh
xxh
xg
xxh
xh
xxh
xg
xxh
xxh
xh
xg
xg
xg
xg
, ... ,
entonces, se trata de un mínimo local.
Cálculo II - Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río Cuarto V. 23
Si comienzan con un subdeterminante positivo de 33× y se alternan los signos (esto es,
,,,, 0000 <><> ), entonces se trata de un máximo local.
Si no son todos cero y no siguen estos patrones, entonces el punto no es un máximo ni
un mínimo (se llama de tipo silla).
Ejemplo 9
Hallar el valor máximo y mínimo de la función ( ) ( )2 4f x, y x y x y= − − en el triángulo limitado
por las rectas 0x = , 0y = , 6x y+ = .
Solución
Primero debemos encontrar los puntos críticos de la función que se encuentran en el
dominio dado, que es el triángulo de extremos ( )0 0, , ( )6 0, , ( )0 6, . No interesa, a los efectos
de obtener extremos absolutos, determinar la naturaleza de los puntos críticos, sino evaluar
la función en ellos. Planteamos:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
0 2 4 1 0 8 3 2 00
0 4 1 0 4 2 0
f xy x y x y xy x yxff x x y x y x x yy
∂⎧ = ⇒ − − + − = ⇒ − − =⎪∂⎪∇ = ⇒ ⎨∂⎪ = ⇒ − − + − = ⇒ − − =⎪∂⎩
Resolviendo el sistema de ecuaciones, vemos que todos los puntos con 0x = son críticos. Si
0x ≠ , tenemos las siguientes posibilidades para que ambas derivadas parciales sean nulas:
( )
( )
1
resolviendo
2
0 4 2 0 4 4 0
8 3 2 0 4 2 0 2 1
y x y x P ,
x y x y P ,↓
= ∧ − − = ⇒ = ⇒
− − = ∧ − − = ⇒
El primero de estos puntos pertenece a la frontera; por lo tanto lo consideraremos cuando
analicemos ésta. En cuanto al segundo punto, tenemos ( )2 1 2f , = .
Ahora analizamos qué pasa en la frontera. La frontera se compone de tres tramos rectos. En
0x = y 0y = la función asume el valor 0 . En 6x y+ = podemos escribir:
( ) ( ) ( )2 2 2 36 6 4 6 4 6 12 2x y y x x y x y x x x x x x+ = ⇒ = − ⇒ − − = − − − + = − + ,
donde x va variando de 0 a 6 . Para determinar en qué punto del segmento de recta
6x y+ = se produce un máximo o mínimo de esta función (en los extremos del segmento
asume el valor 0 ), podemos derivarla:
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( )2 3 212 2 24 6 0d x x x xdx
− + = − + =
( ) ( )0 6 4 2x y x y⇒ = ⇒ = ∨ = ⇒ =
De los dos puntos obtenidos, ( )0 6, es uno de los extremos del segmento, donde la función
vale 0 , mientras que ( )4 2, está dentro del segmento oblicuo.
Finalmente nos resta evaluar la función en los puntos obtenidos. Evaluando se tiene:
( )segmento 0 0f x = = ( )segmento 0 0f y = =
( )2 1 2f , = ⇒ máximo absoluto ( )4 2 2 64f , = − ⇒ mínimo absoluto
Observación: los puntos ( )0 0, , ( )0 6, y ( )6 0, , también deberán evaluarse, pero en este caso
están contenidos en 0x = y 0y = .
Ejemplo 10
La ecuación 4 42 3 32x y+ = representa el borde de la pantalla de un monitor. Si el campo
eléctrico viene dado por la función ( )2 2
1f x, yx y
=+
, hallar los valores máximo y mínimo de
éste sobre el borde de la pantalla utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange
Solución
Sea ( ) 4 42 3 32 0g x, y x y= + − = . Tenemos:
( )
( )
( ) ( )3
si 0 03 22 2 32 23 33
33 22 2
8
012
x ,y ,/
/
x xx y x xf g y x x
y y yyx y
≠↓
⎧ − = λ⎪+⎪
∇ = λ∇ ⇒ ⇒ = ⇒ = ± ∨ =⎨⎪− = λ⎪ +⎩
Para obtener este resultado dividimos ambas ecuaciones abarcadas por la llave, por lo cual
debemos considerar aparte el caso en que 0y = , para el cual dicha división no sería posible.
Analizando todos los casos posibles tenemos:
4 4 4 4 410 96 1922 4 4 4
3 3 3 10 452 3 2 32y x x y x x x x y= ± ⇒ + = + = = ⇒ = ± ⇒ = ±
Con estos valores tenemos ( ) 0 44f x, y .≅ .
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Los otros dos casos son:
( )( )
4 32 324 43 3
4 3242
0 3 32 0 0 55
0 2 32 2 2 0 0 5
x y y f , ,
y x x f , ,
= ⇒ = ⇒ = ± ⇒ ± ≅
= ⇒ = ⇒ = ± = ± ⇒ ± ≅
Comparando los tres valores obtenidos, el mínimo valor será 0 44. y el máximo valor será
0 55. .
Ejemplo 11:
Hallar el punto del paraboloide ( ) ( )2 22 +0 25 3 5 z x - . y -= + más próximo al plano 0x y z+ + =
Solución
En este problema, al igual que en el anterior hay que identificar tres cosas:
La función a maximizar o minimizar
Las incógnitas
Las restricciones
Sabemos que hay un punto sobre el paraboloide y uno sobre el plano tales que la distancia
entre ellos es menor que entre cualquier otro par de puntos sobre esas superficies.
Determinando cuáles son esos puntos, podremos hallar la distancia mínima. Por tanto
tenemos:
Función a minimizar: distancia entre dos puntos.
Incógnitas: las coordenadas de ambos puntos.
Restricciones: los puntos deben pertenecer a las superficies dadas.
Traduciendo esto a lenguaje matemático podemos escribir lo siguiente:
Llamaremos ( )x, y,z al punto que está sobre el paraboloide y ( )s,t ,u al perteneciente al
plano. La función a minimizar es la función distancia entre ambos, pero esto es equivalente a
minimizar la distancia al cuadrado, dado que la raíz cuadrada es una función creciente. La
distancia al cuadrado entre ambos puntos es:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2f x, y,z,s,t ,u x s y t z u= − + − + −
Con lo cual tenemos en claro la función y sus seis incógnitas.
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Las condiciones de restricción serán la pertenencia al paraboloide y al plano
respectivamente. Recordemos que una condición de restricción siempre se escribe como
una función igualada a una constante. Podemos escribir, entonces:
( ) ( ) ( )2 21 2 0 25 3 5g x, y,z,s,t ,u z x . y= − − − − =
( )2 0g x, y,z,s,t ,u s t u= + + =
Nótese que ambas restricciones tienen las mismas variables que la función a minimizar, a
pesar de que algunas de ellas no aparecen en las respectivas leyes. Para hacer una
analogía con casos de una variable, la función ( ) 5f x = no deja de ser una función de x ,
por más que la variable no aparezca en la ley.
Si ahora aplicamos multiplicadores de Lagrange a nuestro caso tendremos:
1 1 2 2f g g∇ = λ ∇ + λ ∇
Derivando variable por variable tendremos:
( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )
1
1
1
2
2
2
2 2 2 12 0 5 2 22 3
2 42 52 6
x s xy t , yz u
x sy tz u
⎧ − = − λ −⎪ − = − λ −⎪⎪ − = λ⎪⎨− − = λ⎪⎪− − = λ⎪− − = λ⎪⎩
Usamos este sistema de ecuaciones, juntamente con las restricciones, para despejar las
incógnitas. De esta manera, combinando (3), (6) y (4) es:
( ) 1 2 2 x s= − = −
Introduciendo este valor de 1λ en (1), sale que:
( )1 2 2 1 5x x .= − − ⇒ =
Combinando de manera similar (3), (6), (5) y (2) podemos despejar: 0y =
y, finalmente, introduciendo esto en la ecuación del paraboloide, tenemos: 7 5z .=
El punto buscado es, pues: ( ) ( )1 5 0 7 5x, y,z . , , .=
Estrictamente, ya hemos resuelto el ejercicio: hemos encontrado el punto del paraboloide
dado más próximo al plano dado. Queda para el lector despejar, del mismo sistema de
ecuaciones, el punto del plano más cercano al paraboloide, esto es, hallar los valores de s ,
t y u , así como la distancia entre ambos puntos.