teh. mehanika
TRANSCRIPT
-
7/27/2019 teh. mehanika
1/142
PREDGOVOR
Ovaj prirunik sastavljen je prema vaeem nastavnom programu
predmeta Tehnika mehanika preddiplomskog sveuilinog studijaPomorskanautika, koji se izvodi na Pomorskom fakultetu Sveuilita u Splitu alii svim
pomorskim visokim uilitima u Hrvatskoj. On obuhvaa sve sadrajekoji su
propisani programom Meunarodne pomorske organizacije (IMO) zanaobrazbu
pomorskih asnika.
U priruniku je dat saetak predavanja iz Tehnike mehanike, kojesam
odrao u prvom semestru akademske 2006./2007. godine. U skladu stim, u
tekstu su obraeni osnovni pojmovi i metode primijenjene mehanike upomorstvu,
pri emu mi je tenja bila da ukaem na praktino znaenjerazmatranih
problema, a da matematiki aparat koji je pri tome neophodan svedemna
primjenu osnovnih elemenata matematike analize i vektorskograuna. Iako ovajsaeti materijal ne moe zamijeniti udbenik i zbirku zadataka,vjerujem da eon pomoi studentima u pripremanju ispita iz ovog temeljnog predmetatehnikestruke.
Split, prosinac 2007.Autor
-
7/27/2019 teh. mehanika
2/142
Stranica
SADRAJI. Uvod 11. Zadatak i podjela mehanike 1
2. Elementi i osnovni zakoni mehanike 1
II. Statika krutih tijela 3
1. Osnovni pojmovi i zadaci 3
2. Aksiomi statike 63. Veze i njihove reakcije 7
4. Statika estice 94.1 Sastavljanje sila 9
4.2 Rastavljanje sile 11
4.3 Ravnotea sila 114.4 Rjeavanje zadataka ravnotee 12
5. Statika tijela 14
5.1 Moment sile 145.2 Momentno pravilo 15
5.3 Spreg sila 16
5.4 Redukcija sustava sila 17
5.5 Ravnotea sustava sila 195.6 Rjeavanje zadataka ravnotee tijela 19
6. Trenje 21
6.1 Trenje klizanja 216.2 Trenje kotrljanja 22
7. Nosai 247.1 Gredni nosai 24
7.1.1 Reakcije u osloncima 25
7.1.2 Unutranje sile 25
7.2 Reetkasti nosai 297.2.1 Metoda vorova 30
7.2.2 Metoda presjeka 31
8. Geometrijske znaajke tijela i povrina 32
8.1 Teite 328.2 Momenti tromosti i otpora 34
III. Statika elastinih tijela 37
1. Osnovni pojmovi i zadaci 37
2. Naprezanja i deformacije 38
3. Hookeov zakon 394. Aksijalno optereenje 41
5. Smicanje 43
6. Uvijanje 45
7. Savijanje 48
8. Izvijanje 52
-
7/27/2019 teh. mehanika
3/142
IV. Kinematika 54
1. Kinematika estice 54
1.1Osnovne kinematike veliine 54
1.2Pravocrtno gibanje 55
1.2.1 Jednoliko gibanje 57
1.2.2 Jednoliko promjenljivo gibanje 571.3 Krivocrtno gibanje 58
1.3.1 Prikazivanje u Descartesovom koordinatnom sustavu 58
1.3.2 Prikazivanje u prirodnom koordinatnom sustavu 60
2. Kinematika krutog tijela 62
2.1 Translacija tijela 62
2.2 Rotacija tijela oko nepomine osi 63
2.3 Ravninsko gibanje tijela 65
V. Dinamika 68
1. Dinamika estice 68
1.1Jednadbe gibanja 68
1.2 D'Alembertov princip 691.3 Rad i snaga 70
1.4 Kinetika i potencijalna energija 72
1.5 Impuls i koliina gibanja 74
1.6 Moment koliine gibanja 75
2. Dinamika krutog tijela 76
2.1 Geometrija masa 76
2.2 Translacija tijela 78
2.3 Rotacija tijela oko nepomine osi 78
2.4 Ravninsko gibanje tijela 80
VI. Mehanika fluida 82
1. Hidrostatika 82
1.2 Tlak 82
1.3 Hidrostatiki uzgon i plivanje 85
2. Hidrodinamika 87
2.1 Jednadba kontinuiteta 87
2.2 Bernoullijeva jednadba 88
2.3 Istjecanje kroz otvore 90
2.4 Protjecanje kroz cijevi 91
Dodatak 94
1. Mjerne jedinice u tehnikoj mehanici 94
2. Predmetci (prefiksi) SI jedinica 95
3. Grka slova 95
4. Upute za polaganje pismenog ispita 96
I. Primjer pismenog ispita 97UVOD
-
7/27/2019 teh. mehanika
4/142
1. ZADATAK I PODJELA MEHANIKE
Mehanika je znanost o gibanju tijela i njegovim
uzrocima. Gibanjeje promjena poloaja tijela u prostorui vremenu, a uzrokuju ga sile.
Dio mehanike koji razmatra tehnike problemezove se tehnika mehanika. Ona poiva na zakonimaklasine mehanike (Newton - 17. st.) i daje praktinarjeenja.
Pri gibanju, svako vrsto tijelo manje ili viemijenja svoj oblik i volumen odnosno, deformira se.
Meutim, takve se promjene u praksi esto moguzanemariti jer ne utjeu na gibanje tijela, pa se govori o
krutom tijelu. Ako su i dimenzije takvog idealiziranog tijela nebitne zarjeavanje problema njegovog gibanja, dolazi se do pojma estice. Za razliku od vrstih tijela, tekuine (kapljevine i plinovi) lako
mijenjaju
svoj oblik. Takva se tijela openito nazivaju fluidi i posebno seprouavaju.
Prema problemima kojima se bavi, uobiajena podjela tehnikemehanike
je:
1. Statika -prouava sile i ravnoteu tijela2. Kinematika -prouava gibanja tijela bez obzira na sile3. Dinamika -prouava gibanja tijela pod utjecajem sila2. ELEMENTI I OSNOVNI ZAKONI MEHANIKE
Osnovni elementi klasine mehanike su:Prostor. To je geometrijsko podruje u kojem se prikazuje poloaj
tijela.
On se uvijek odreuje u odnosu na neki pogodan koordinatni sustav, atemelji se
na mjerenju udaljenosti. Ako se koordinatni sustav vee za povrinuZemlje,
tada se on moe smatrati apsolutno nepominim i predstavlja tzv.referentni k.
sustav. Najee je to Descartesov pravokutni desni k. sustav, u komeje
poloaj neke toke odreen s tri koordinate (x, y, z), odnosno s triduine koje
se mjere od ishodita O u pravcima k. osi.Jedinica za duinu je metar [m].
-
7/27/2019 teh. mehanika
5/142
Poloaj neke toke moe seodrediti i vektorom poloaja r,
usmjerenom veliinom koja je odreenaduinom (OA) i orijentacijom u
prostoru (kutovi a, p iy prema k.
osima x,y i z).
Dakle, u mehanici postoje dvije
vrste veliina:skalari i vektori.Skalari su veliine odreene samosvojom brojanom vrijednou(veliinom), kao npr. duljina, vrijeme, masa, temperatura itd.Vektori su veliine za iji je opis osim brojane vrijednosti potreban i
poloaj uprostoru, kao npr. sila, pomak, brzina, ubrzanje itd.Vrijeme. Ono je mjera slijeda dogaanja. Univerzalno je jer tee
isto i
nepovratno u svim dijelovima prostora. Jedinica za vrijeme je sekunda
[s].
Masa. To je koliina materije koja ispunjava tijelo. Ona predstavljamjeru
otpora tijela prema promjeni gibanja, odnosno mjeru tromosti tijela.
Masa jekonstantna veliina i ima jedinicu kilogram [kg].
Sila. Ona je mjera meusobnog djelovanja tijela i nastojipromijeniti
njihovo gibanje ili izazvati deformacije.
Sila je vektorska veliina koju u opem sluaju odreuju sljedeipodaci:
1) veliina (intenzitet), 2) pravac, 3) smjer i 4) hvatite (napadnatoka).
Grafiki, sila se predstavlja u odreenom mjerilu (UF) pomouorijentirane duine. Pokraj ovako predoenog vektora stavlja senjegova oznaka
-
7/27/2019 teh. mehanika
6/142
- veliko slovo sa strelicom (kukicom) iznad, npr.F.
UF(N/cm)2
Jedinica za silu je njutn [N = kgm' ].
Polazei od osnovnih elemenata, Newton je postavio osnovnezakone
mehanike, koji glase:
-
7/27/2019 teh. mehanika
7/142
1. Zakon (zakon inercije)
Svako tijelo ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog pravocrtnog
gibanja, sve dok neka sila koja na njega djeluje to stanje ne promijeni.
2. Zakon (osnovni zakon dinamike)
Ubrzanje je proporcionalno sili koja djeluje na tijelo, a zbiva se u
njenom
pravcu i smjeru.
Njegov vektorski zapis glasi:
F = m a
gdje je:
Fvektor sile, mmasa tijela, avektor ubrzanja.
Prema ovom zakonu, teina tijela Gpredstavlja silu kojom Zemlja privlai tijelo premasvome sreditu i ima veliinu:G = m g2
gdje jeg= 9,81 m/s - gravitacijsko ubrzanje.
3. Zakon (zakon akcije i reakcije)Dva tijela djeluju jedno na drugo silama iste veliine i pravca a
suprotnog
smjera.
Prvi zakon mehanike jasno ukazuje na postojanje sile.
Drugi zakon mehanike definira veliinu sile.Trei zakon mehanike odreuje da izvor sile treba traiti umaterijalnim tijelima.
II. STATIKA KRUTIH TIJELA1. OSNOVNI POJMOVI I ZADACI
Silaje pojam koji u statici ima primarno znaenje.
Osim grafikog
prikaza, silu je mogue predstaviti i analitiki
preko svojih komponenata,
odnosno ortogonalnih (okomitih) projekcija na osi
izabranog k. sustava.
Razmotrimo silu Fiji pravac s osi x zatvara kut a
-
7/27/2019 teh. mehanika
8/142
.
Moemo pisati:(1)X = X igdje je:
X- komponenta sile (vektor) u pravcu osi x;
X- projekcija sile (skalar) na os x;
i -jedinini vektor osix(odreuje njen pravac i smjer).U prostornomk. sustavu, ijim su osima x,yi z, pridrueni jedinini
vektori i,j i k, vektor sile napisan u analitikom obliku glasi:(2)
F = X+ Y+Z = X i + Y j + Z kgdje su: X, YiZ- komponente sile u pravcima odgovarajuih k. osi;X, YiZ-projekcije sile na odgovarajue k. osi.
Iz slike je vidljivo da je silaFprostorna dijagonala kvadra, koja s k.
osima x,y i z zatvara kutove a,p iy, pa vrijedi:
X =Fcosa, Y=Fcosp, Z=Fcosy (3)
Na osnovi Pitagorina pouka, slijedi veliina sile:
-
7/27/2019 teh. mehanika
9/142
F= VX2 + Y2 +Z2
(4)
(5)
Pravac sile (kosinusi pravca), dobiva se na osnovi izraza (2):
X O Y Z
cosa =, cos O =, cosr =
F F F
Prema tome, sila je analitiki potpuno definirana izrazima (4) i (5).Skup sila F(i = 1,2,...,n) koje djeluju na tijelo naziva
se sustav sila.
Sustav sila je u ravnotei, ako se njegovimdjelovanjem stanje tijela (mirovanje ili jednoliko gibanje)
ne mijenja.
Dva sustava sila su ekvivalentna ako djelovanjem na isto tijelo
uzrokuju
jednaku promjenu njegovog stanja. Ako je sustav sila ekvivalentan
samo jednoj
sili, tada se ona naziva rezultanta takvog sustava sila.
Sile koje predstavljaju djelovanje drugih tijela
na promatrano tijelo, zovu se vanjske sile. Sile koje
se suprotstavljaju djelovanju vanjskih sila, a nastajuizmeu pojedinih estica tijela, predstavljajuunutranje sile.
-
7/27/2019 teh. mehanika
10/142
Prouavajui opa svojstva sila koja djeluju na kruto tijelo, u staticise
rjeavaju sljedea dva osnovna zadatka:1. Svoenje sustava sila na jednostavniji oblik2. Odreivanje uvjeta ravnotee sustava silaOvi se zadaci mogu rjeavati grafikim i analitikim metodama. Udaljnjem
razmatranju, analitikim metodama dat emo prednost.
-
7/27/2019 teh. mehanika
11/142
2. AKSIOMI STATIKE
To su istine koje su potvrene iskustvom i eksperimentima.1.Aksiom
Tijelo se nalazi u ravnotei pod djelovanjem dviju sila samo ako su
one
jednake veliine i pravca a suprotnog smjera.
^ Uravnoteen sustav sila2. Aksiom
Stanje tijela se ne mijenja ako mu se doda ili
oduzme uravnoteen sustav
sila.
Na osnovi slike oigledno je da se hvatite sile moe pomjerati du
pravcanjenog djelovanja. Prema tome, sila je klizei vektor ili vektor vezan za
pravac.
Kako se unutranje sile u tijelu uvijek pojavljuju u parovima akcijei reakcije,
one ine uravnoteen sustav sila, to znai da pri prouavanjuravnotee krutogtijela u obzir treba uzeti samo vanjske sile.
3. Aksiom
Rezultanta dviju sila koje djeluju u toki tijela, djeluje u istoj toki
a
jednaka je dijagonali paralelograma konstruiranog nad silama kao
-
7/27/2019 teh. mehanika
12/142
stranicama.
Paralelogram sila
Trokut sila
Pravilo paralelograma sila ili pravilo trokuta sila predstavlja
vektorsko
zbrajanje sila.
Veliinu rezultanteR te kutove a1 i a2koji odreuju njen pravac,dobivamo
mjerenjem. Meutim, njih je mogue i izraunati koritenjem poznatihpouakageometrije i to:
Kosinusni pouak:Sinusni pouak:4. Aksiom
Ravnotea deformabilnog tijela se ne mijenja, ako se ono ukruti.
Ovaj princip ukruivanja omoguuje dase uvjeti ravnotee krutog tijela primjene i nadeformabilno tijelo. Tako npr. kada savitljivo
ue pod djelovanjem sila zauzme deformiraniravnoteni oblik i poloaj, ono se moerazmatrati kao kruto tijelo.
5. Aksiom
Vezano tijelo moe se smatrati slobodnim ako se sve veze uklone, a
njihov
utjecaj zamijeni reakcijama tih veza.3. VEZE I NJIHOVE REAKCIJE
Tijelo ije su mogunosti gibanja ograniene drugim tijelimanaziva se
vezano tijelo. Tijela koji sprjeavaju gibanje nazivaju se veze, a silekojima
takve veze djeluju na tijelo predstavljaju reakcije veza.
Tijelo i veza meusobno djeluju jednakim silama istoga pravca asuprotnog
smjera (zakon akcije i reakcije).
Vanjske sile koje djeluju na vezano tijelo mogu biti aktivne i
reaktivne.
-
7/27/2019 teh. mehanika
13/142
Aktivne sile (i teina tijela) nastoje izazvati gibanje tijela, dok sureaktivne sile
zapravo reakcije veza koje se suprotstavljaju tom gibanju.
Odreivanje reakcija veza vaan je problem pri istraivanju
ravnotee tijela.Postoji vie vrsta veza, a najvanije veze (bez trenja) su sljedee:
R = V F,2 +F2 + 2 F,F2
(6)
(7)
cosa
F, _ F2
R
sin a2 sin a, sin a
1.Glatka povrina
-
7/27/2019 teh. mehanika
14/142
Reakcija vezeNdjeluje okomito na zajednikupovrinu u dodirnoj toki.2.Savitljivo tijelo
Ako je veza ostvarena pomou savitljivog tijela(ue, remen, lanac, opruga i sl.), reakcija veze Sima pravac osi zategnute veze.
3.Cilindrini zglobTo je veza dva tijela spojena osovinom kroz
otvore na njima. Ona doputa samo okretanje tijelau ravnini okomitoj na os zgloba (xy). Kako pravac
reakcije vezeA nije poznat (kuta), ona se
-
7/27/2019 teh. mehanika
15/142
predstavlja svojim komponentama:Ax
iAy
u
pravcima osi izabranog k. sustava.
4.tapAko je tijelo vezano tarpom sa zglobovima nakrajevima, reakcija veze Sima pravac spojnice
sredita zglobova.5.Oslonci
U tehnikim konstrukcijama, tijela se oslanjaju na podlogu(postolje, temelj.
leaj i sl.) pomou oslonaca. Najvaniji oslonci u ravnini su:a) Nepomini oslonacTo je zglobna veza koja doputa samo okretanje tijela oko toke oslanjanja u ravnini okomitoj na os zgloba.Reakcija vezeAjednaka je kao kod cilindrinog zgloba.c) Ukljetenje
b) Pomini oslonacNe doputa samo pomak tijela okomito na povrinu
klizanja. Reakcija vezeAje kao kod glatke povrine.
vrsta veza koja ne doputa bilo kakvogibanje tijela. Ako je ukljetenje u ravnini,
-
7/27/2019 teh. mehanika
16/142
reakcije veze su dvije komponente sile:Ax i
Ay (opiru se pomacima u pravcima k. osi) i
momentMA (opire se okretanju u ravnini).
4. STATIKA ESTICEAko se kruto tijelo prikae kao estica, tada se
pravci svih sile koje na njega djeluju sijeku u
jednoj toki. Takav sustav sila naziva se
konkurentni (sueljeni) sustav sila.SASTAVLJANJE SILATo je postupak odreivanja rezultante
sustava sila, to je mogue napravitigrafiki i analitiki.
Grafiko sastavljanje sila temelji se na pravilu paralelograma(trokuta sila)
koje se, poto se radi o veem broju sila, mora primijeniti vie putauzastopce.
Na taj se nain dobije pravilo poligona sila.
Poligon sila crta se nizanjem jedne sile na drugu,
tako da na kraj prethodne sile postavljamo poetaksljedee. Zavrna stranica tako dobivene izlomljenecrte je rezultanta. Ona je usmjerena od poetka prve
prema kraju zadnje sile u nizu.
O
Dakle, rezultanta konkurentnog sustava sila
jednaka je njihovom vektorskom zbroju, tj.:
pol i
gon s i la
-
7/27/2019 teh. mehanika
17/142
R = f+F2+...+F = Z F (8)
i=1
U posebnom sluaju kada sile imajuzajedniki pravac djelovanja,one inekolinearni sustav sila. Poligon takvog sustava sila je pravac, to znaida je
njihova rezultanta jednaka algebarskom zbroju veliina sila, tj.:R = Z F, (9)
i=1Predznak zbroja (X) odreuje smjer rezultante.Analitiko sastavljanje sila temelji se na
algebarskom zbrajanju projekcija
sila na osi izabranog k. sustava. Zbroj tih
projekcija na pojedinu k. os, predstavlja
odgovarajuu projekciju rezultante.
cos a
cos
(10)
gdje su: at,pt i Y - kutovi koje svaka od
silaFsustava zatvara s k. osimax,y iz.Rx = ZX, = Z F
Ry = ZY, =ZFcos O,Rz =Z
Zi =Z
FcosY
Projekcije rezultante na k. osi su:
Veliina rezultante je:R=1/R7^R7+R7 (11)a njen pravac
odreuju kutovi koje ona zatvara s k. osima:Rx O
R
y Rz (12)cos a R
, cos pR= -?-, cosrR=(12)
RR
RR
RV
'Posebno, u sluaju da sve sile djeluju u jednoj
-
7/27/2019 teh. mehanika
18/142
ravnini, vrijedi:Ry
RR
x =EX, =E
F,
cosa
Ry =E
Y=Z
Fsinai
R = , / Rx2
+ Ry2
tan aR=
4.1 (13)RASTAVLJNJE SILE
To je postupak obrnut sastavljanju sila. Rastaviti silu na
komponente znainai takav sustav sila kome je dana sila rezultanta.
U opem sluaju takva je zadaa neodreena i rjeiva je samo akosu poznati
dopunski podaci o traenim komponentama. Najee su to njihovi
unaprijed
poznati pravci. Na taj je nain silu mogue jednoznano rastaviti uravnini na
dvije, a u prostoru na tri komponente.
Grafiki, sila se rastavlja na komponente pomou paralelogramaodnosno
trokuta sila, a analitiki koritenjem izraza (10).Npr:
4.2 RAVNOTEA SILASustav sila koje djeluju na esticu je u ravnotei, ako je njihova
rezultanta
-
7/27/2019 teh. mehanika
19/142
jednaka nuli (R = 0). U tom sluaju estica ili miruje ili se gibajednoliko.
-
7/27/2019 teh. mehanika
20/142
Grafiki uvjet ravnotee: Poligon (trokut) sila mora biti zatvoren(kraj
posljednje sile poklapa se s poetkom prve).
Analitiki uvjeti ravnotee: Algebarski zbrojevi projekcija svih silana k.
osi moraju biti jednaki nuli.
(14)
Rx = 0 ^ 1. ZX, = 0
Rv = 0 ^ 2. Z Y, = 0
Rz= 0 ^ 3. ZZ, = 0
Posebno, ako sile djeluju u jednoj ravnini, vrijedi:
(15)
1.Z X, = 0*2.Z Y= 0
Za kolinearne sile, uvjet ravnotee glasi:(16)
ZF, = 0
4.4 RJEAVANJE ZADATAKA RAVNOTEEPri rjeavanju zadataka ravnotee estice ili krutog tijela, obino su
nepoznate reakcije veza. Da bi zadatak bio rjeiv, odnosno statikiodreen,
broj nepoznanica mora biti jednak broju uvjeta ravnotee (3 u prostoru,2 u
ravnini).
Za vei broj nepoznanica zadatak postaje statiki neodreen. U tomsluaju rjeenje se trai uzimanjem u obzir deformiranje tijela, ime seneemo
baviti.
-
7/27/2019 teh. mehanika
21/142
Postupak rjeavanja zadataka:1. Svaka tehnika konstrukcija obino predstavlja skup meusobno
vezanih
tijela. Zato je u ovisnosti od zahtijeva zadatka, potrebno izabrati
tijelo ijae se ravnotea razmatrati.
2. Izabrano tijelo treba osloboditi veza i prikazati slikom posebno.
Ucrtavaju se
sve aktivne sile i reakcije veza, pri emu se smjerovi reakcija moguuzeti
proizvoljno.
3. Postaviti uvjete ravnotee, Za vei broj sila koristiti njihov
analitiki oblik,za to je potrebno izabrati pogodan koordinatni sustav s ishoditemu
napadnoj toki konkurentnog sustava sila.4. Odrediti nepoznate veliine, pri emu negativna vrijednost
dobivene
reakcije znai da je njen stvarni smjer suprotan od pretpostavljenog. Pri rjeavanju zadataka vana je urednost, preglednost i postupnost.
Racionalno je rjeavanje provesti u opim brojevima, a zadane
brojanevrijednosti uvrstiti na kraju. Time je omoguena kontrola dimenzija ianaliza
dobivenih rezultata.
Primjer:
-
7/27/2019 teh. mehanika
22/142
-
7/27/2019 teh. mehanika
23/142
5.STATIKA TIJELA
5.1MOMENT SILE
Vektorska veliinakoja opisuje tenju sile da okrene tijelo okoneke tokenaziva se moment sile za toku.
(17)
Vektor momenta sile za toku O, definira se vektorskim (ex)produktom:
MO = rx F
gdje je: r- vektor poloaja hvatita A vektora sileFVektorMOprolazi kroz toku O, a okomit je na ravninu rotacije OAB
u
kojoj lee vektori F i r. Njegov je smjer odreenpravilom desne
ruke:Ako sila nastoji da okrene tijelo u smjeru savijenih prstadesne ruke, tada vektor momenta ima smjer ispruenog
palca.
(18)
Veliina momenta sile za toku je:MO = rF sin a = Fhgdje je: h - krak sile (udaljenost sile od momentne
toke O)
-
7/27/2019 teh. mehanika
24/142
Predznak momenta je pozitivan ako
sila tei da okrene tijelo u smjerusuprotnom gibanju kazaljke na satu.
Jedinica za moment sile je njutnmetar
[Nm].Valja primijetiti:MO = 0 ^F = 0 ili h =0 (sila prolazi tokomO).
Zakljuimo:Moment sile za toku je vektor vezan za toku.Skalarna veliinakoja opisuje tenju sile da okrene tijelo oko neke
osi
naziva se moment sile za os.
Definira se kao moment projekcije sile na ravninu okomitu na tu os, za
toku u kojoj os probija ravninu.
Prema slici, moment sile za oszglasi:
(19)
Mz= MF = F^ hgdje je:Fxy - projekcija sileFna ravninxy, h - krak sile u ravninixy.
Oito je:Mz=0 ^Fxy = 0 (silaFparalelna osi z) ilih = 0 (silaFsijee os z)
5.2 MOMENTNO PRAVILO
Razmotrimo sustav silaFts hvatitem utoki A. Njihova rezultanta je:
R = ZF (20)Njen moment za toku O glasi:
MRR
= rxR = rxZFt= MO1 +... +M,Fn
O
-
7/27/2019 teh. mehanika
25/142
ili:
(21)
To je momentno pravilo koje glasi: moment rezultante za neku
toku
jednak je zbroju momenata njenih komponenata za istu toku.
To pravilo vrijedi i za sustav sila s razliitim hvatitima, ako on imarezultantu. Posebno, ako sve sile lee u jednoj ravnini, vrijed i skalama
jednadba:
(22)Primjena momentnog pravila olakavaodreivanje momenta sileFza toku O, ako su
poznate njene komponenteXi Yte koordinate
x i y njenog hvatita A, tj:MO= Fh = Y x - X y (23)5.3SPREG SILA
Spreg sila ine dvije jednake paralelne sile suprotnog smjera. Iakonema
rezultantu (R = F -F =0), taj sustav sila nije u ravnotei ve on nastojiokrenuti
tijeko u svojoj ravnini.(24)
Moment sprega sila je vektor okomit na
ravninu sprega. Smjer toga vektora odreenje pravilom desne ruke, a njegova veliinaiznosi:
-
7/27/2019 teh. mehanika
26/142
M = F a
Moment sprega silaMje slobodan vektor i
moe se slobodno pomicati paralelno i du svogapravca. Zato se njegovo djelovanje u ravnini
prikazuje samo krunom strelicom.
gdje je: a - krak sprega (meusobnaudaljenost sila).
-
7/27/2019 teh. mehanika
27/142
Ako na tijelo djeluje viespregova sila s momentima
M (i = 1, 2, ..., n), oni se mogu
zamijeniti jednim rezultantnim
spregom sila momentaM, tj:
(25)
Uvjet ravnotee spregova sila je:M= Mi
i=1(26)
X M i= 0
i=1
U sluaju da spregovi sila djeluju u jednoj ravnini, tada vrijediskalarni
zapis izraza (25) i (26).
5.4 REDUKCIJA SUSTAVA SILADjelovanje sile na kruto tijelo nee se promijeniti ako je
pomaknemo
paralelno u drugu toku i dodamo spreg sila, iji je moment jednak
momentu
sile za tu toku.
Dokaz ovog pravila oigledan je na osnovi slike:(2. aks iom )
Ovaj postupak naziva se redukcija sile na toku i moe se
primijeniti ina bilo koji sustav sila F(i = 1,2,...,n).
Ako se sve sile nekog sustava reduciraju na proizvoljnu toku O,tada u
-
7/27/2019 teh. mehanika
28/142
njoj djeluju sustavi konkurentnih vektora silaFi i spregova sila
momenataMi .
Vektorski zbroj svih sila F naziva se glavni vektor sustava silaFR, a
vektorski
-
7/27/2019 teh. mehanika
29/142
zbroj svih momenata spregova sila Mi naziva se
glavni moment MR sustava
sila za toku O.
Vrijedi:FR =ZFi
MR = ZMi = ZM(27)
(28)
VeliineFR iMRodreuju se analitiki preko svojih projekcija nakoordinatne osi, tj:(29)
(30)
FRX=Z Xi , FRy =Z Yi,FRZ=Z Zi
FR = VFRX+ FRy + F2
MRX=Z Mix, MRy =Z My , MRz =Z Mu
MR =VMRX+ MR + MlKut 5izmeu vektoraFR iMR, moe seodrediti na osnovi izraza:
(31)
5FRx '
MRx +
FRy '
MRy +
FRz '
MRz
cos 5 = --------------- ----- -------------
FRMRZakljuimo:
Redukcija sustava sila na neku toku predstavlja svoenje takvog
sustava na jednostavniji oblik.
-
7/27/2019 teh. mehanika
30/142
5.5RAVNOTEA SUSTAVA SILASustav sila je u ravnotei, ako je:FR = 0 iMR = 0, tj.(32)FR =0 ^
FRx =
FRy =
FRz =0
MR =0 ^MRX= MRy = MRZ=0
Prema tome, na osnovi izraza (29) i (30), analitiki uvjeti ravnoteesustava
sila u prostoru glase:
(33)
1. 2X,. = 0, 2. 2Y = 0, 3. 2Z = 0
4.2Mix = 0, 5. 2M, = 0, 6. 2M, = 0
Ako sve sile djeluju u jednoj ravnini, tada uvjeti
ravnotee dobivaju oblik:
1.2 X, = 0
(34)
2.2 Y= 02MO =0Mogue je koristiti i druge oblike uvjeta
ravnotee, uz uvjet da budu
meusobno neovisni.Tako npr. vrijede i sljedei uvjeti
ravnotee:
1.2MA=0
(35)
2.2MB =0
5.62Mc =0RJEAVANJE ZADATAKA RAVNOTEE TIJELAPri rjeavanju zadaa ravnotee vezanog tijela, koje je optereeno
proizvoljnim sustavom sila, veze je potrebno ukloniti i zamijeniti
njihovim
reakcijama. Nepoznate reakcije odreuju se primjenom uvjeta
-
7/27/2019 teh. mehanika
31/142
ravnotee (33) ili(34).Zadatak je statiki odreen samo ako broj nepoznanica nije veiod broja
uvjeta ravnotee (6u prostoru, 3 u ravnini). Postupak rjeavanjazadataka
ravnotee krutog tijela, jednak je kao kod estice.Primjer:
-
7/27/2019 teh. mehanika
32/142
6.TRENJE
Dodirne povrine tijela u stvarnosti nisu glatke nego su hrapave, toznaida se pri meusobnom pomicanju dva tijela koja se dodiruju javljaotpor nazvan
trenje.
U ovisnosti od karaktera gibanja tijela u dodiru, razlikujemo trenje
klizanja i trenje kotrljanja.
6.1 TRENJE KLIZANJA
Kada jedno tijelo teine Gklie, ili tei da klie, po drugom tijeluhrapave povrine pod djelovanjem neke sileF, na mjestu dodira djelujenormalna silaNkao kod idealno glatke povrine, ali i tangencijalna silatrenja
Tkoja se suprotstavlja gibanju. Dakle, trenje predstavlja poseban oblik
veze.
(36)Eksperimenti pokazuju da u mirovanju
tijela (kada je silaFdovoljno mala) vrijedi
izraz:T
= UsN
gdje je: T = Tmax - sila statikog trenja (najveasila koja se pojavljuje neposredno prije poetkaklizanja), uS- koeficijent statikog trenja.
Ovaj izraz predstavlja Coulombov zakon
trenja, koji se koristi u tehnikoj praksi zasluaj suhog trenja.gibanje
-
7/27/2019 teh. mehanika
33/142
(37)
Ako silaFpostane dovoljno velika da
svlada otpor podloge, nastupa klizanje tijela. Pri gibanju tijela, izraz
(36) dobiva
oblik:T=MKN
gdje je: T- sila kinetikog trenjaUK- koeficijent kinetikog trenja
Koeficijenti trenja su bezdimenzionalne veliine koje ne ovise oveliinidodirne povrine, ve samo o njenom materijalu i hrapavosti. Odreujuse
eksperimentalno. Redovito je: uS>UK.(38)
Ukupna reakcijaRhrapave povrine na tijelo,ini s njenom normalom tzv. kut trenjap. Slijedi:
Kut trenja je najvei u graninom sluaju kada jeT = Tmax, odnosno u trenutku kada zapoinje klizanjetijela.
T
tanp == uN
Zato se prouavanje ravnotea tijela uz trenje i razmatra u takvomgraninom sluaju.^ gibanje
Trenje klizanja javlja se i pri
dodiru savitljivog tijela, npr. ueta s
-
7/27/2019 teh. mehanika
34/142
valjkastim krutim tijelom. Zbog trenja,
sile S1 i S2, koje zateu krajeve ueta,nisu jednake.
Za smjer gibanja ueta kao naslici, vrijedi Eulerova formula:
S2= S eua
(39)
gdje je: e - baza prirodnog logaritma ( = 2, 7183... )
u - koeficijent trenja klizanja (na dodiru savitljivo tijelo - kruto tijelo)
a - obuhvatnim kut savitljivog tijela [rad]
Valja uoiti da u idealnom sluaju kada trenja nema (u = 0), izraz(39)
glasi: S1 = S2.
6.2 TRENJE KOTRLJANJATo je otpor koji nastaje pri kotrljanju cilindrinog tijela po hrapavojpodlozi.
Ako na takvo tijelo polumjera rdjeluje silaF, zbog teine G tijelapodloga se lokalno deformira. Stoga je reakcijaR podloge na tijelo
pomaknuta
u toku B,za veliinu koja se naziva koeficijent trenja kotrljanjaf.Ovaj
koeficijent ima dimenziju duine ([m]), a ovisi od svojstava materijala
i stanjadodirnih povrina.
-
7/27/2019 teh. mehanika
35/142
Ako se reakcijaRreducira na toku A i rastavi na komponenteNiT,
pojavljuje se i spreg sila, koji se naziva moment trenja kotrljanjaMT.Kako jeMT= N f, iz ravnotee tijela slijedi veliina sileF
potrebna za
kotrljanje tijela:
F =f G (40)
r
Da bi nastupilo kotrljanje bez klizanja, sila trenja kotrljanja Tmora
biti
manja od sile statikog trenja klizanja Tmax , tj.:
T< Tmx ili
-
7/27/2019 teh. mehanika
36/142
znaenja za odreivanje potrebnih dimenzija nosaa, ime se osiguravada ne
nastupe prevelike deformacije ili lom.
Temeljne zadae statike analize nosaa su odreivanje reakcija u
osloncima i unutranjih sila.7.1GREDNI NOSAI
Osnovni tipovi grednih nosaa su:
Jednostavna
greda/
/
/
r\uiiuii
/
/
/
/
-
7/27/2019 teh. mehanika
37/142
7.1.1 REAKCIJE U OSLONCIMA
Grede mogu biti optereene razliitim vrstama optereenja, aosnovna
optereenja su:
Reakcije u osloncima i zadano optereenje grede moraju biti uravnotei,to znai da se reakcije u osloncima odreuju iz uvjeta ravnotee. Tosu
analitiki uvjeti ravnotee sustava sila u ravnini, pri emu se koristidesni
koordinatni sustav ija je oszpostavljena uzdu osi grede.
7.1.2 UNUTRANJE SILEUnutranje sile pojavljuju se u nekom zamiljenom poprenom
presjeku
optereene grede i razdvojene dijelove dre u ravnotei. To su:N- uzduna sila, Q -poprena sila,M- moment savijanja.
-
7/27/2019 teh. mehanika
38/142
Sve ove sile djeluju u teitu T presjeka. Za lijevi (L) i desni (D)dio
grede, unutranje sile se razlikuju samo po smjeru (zakon akcije ireakcije).
Veliine unutranjih sila mogu se odrediti iz uvjeta ravnotee, biloza
lijevi ili za desni dio grede (bira se onaj dio za koji je raunjednostavniji), tj:
N= ^Z(zbroj projekcija svih sila na uzdunu os z)Q = Z Y(zbroj projekcija svih sila na poprenu os y) (42)
M= MT(zbroj momenata svih sila za teita T presjeka)Da bi unutranje sile imale isti predznak s bilo koje strane presjeka,
uvodi
se dogovor o predznacima, koji se temelji na nainu deformiranjagrede.
Pozitivni smjerovi unutranjih sila u nekom presjeku z, gledano s lijeve(L) i desne (D) strane su:
Vidljivo je da silaNoptereuje gredu aksijalno (vlano ili tlano,ovisno o
predznaku), sila Qna smicanje (popreno klizanje), a momentMsavijagredu.
Veliine unutranjih sila ovise od poloaja presjeka z grede.
Grafikiprikaz promjene unutranjih sila du grede, prikazuju tzv. statikidijagrami.
-
7/27/2019 teh. mehanika
39/142
To su:N, Q iMdijagram.
-
7/27/2019 teh. mehanika
40/142
U tim dijagramima pozitivne vrijednosti unutranjih sila crtaju seiznad a
negativne ispod nul - linije (linija grede). Oblik statikih dijagramaovisi od
vrste optereenja izmeupromatranih presjeka grede.Za ilustraciju prikaimo statike dijagrame izmeu dva presjeka, za
osnovna optereenja grede:
Valja uoiti skokovite promjene u statikim dijagramima namjestima
djelovanja koncentrirane sileF(u Q dijagramu) odnosno momentaM
(uM
dijagramu). Vidljivo je da moment savijanjaMraste na dijelu grede na
kojem je
poprena sila Q pozitivna (Q > 0), a opada na dijelu na kojem jepoprena silanegativna (Q< 0). Na mjestu gdje poprena sila Q mijenja predznak(Q = 0),
moment savijanjaMpoprima ekstremnu vrijednost (maksimum ili
minimum).
Mjesto na gredi gdje moment savijanja ima maksimalnu vrijednostM
= M^,naziva se opasni presjek. Taj presjek je vaan za dimenzioniranjegrede.
Na osnovi gornjih slika i izraunatih vrijednosti unutranjih sila ukarakteristinim presjecima grede, mogue je nacrtati njene statikedijagrame.Primjer:
-
7/27/2019 teh. mehanika
41/142
-
7/27/2019 teh. mehanika
42/142
7.2 RESETKASTI NOSAIReetkasti nosa (reetka) je konstrukcija sastavljena od ravnih
tapovameusobno vezanih zglobovima na krajevima. Zglobne veze zovu se
vorovi ine prenose moment. Ako se uzme da vanjske sile djeluju u vorovima ida su
teine tapova zanemarive, slijedi da su tapovi reetke optereenisamo
aksiialno. na vlak ili na tlak.
Primjeri reetkastih nosaa
Da bi reetka bila nosa, ona mora biti geometrijski nepromjenljivaodnosno kruta. Zato njeni tapovi moraju biti spojeni tako da inetrokute.
Reetkasti nosa je statiki odreen ako je zadovoljen uvjet:
s = 2n - 3 (43)gdje je: s -broj tapova, n -broj vorova.
Ako je broj tapova vei, reetka je statiki neodreena, a za manjibroj
tapova reetka postaje labilna (mehanizam).Proraun reetkastih nosaa sastoji se od odreivanja reakcija u
osloncima
i unutranjih sila u tapovima.Reakcije u osloncima odreuju se na osnovi analitikih uvjeta
ravnoteesustava sila u ravnini, pri emu se reetka razmatra kao kruta ploaosloboenaveza.
-
7/27/2019 teh. mehanika
43/142
Sile u tapovima reetke obino se odreuju analitikim metodama,najee metodom vorova i metodom presjeka.7.2.1 METODA VOROVA
Sile u voru A
Ova se metoda temelji na uvjetu da sve sile, vanjske (aktivne sile ireakcije u osloncima) i unutranje (sile u tapovima), koje djeluju na
jedan vorreetke, moraju biti u ravnotei ako je i cijeli nosa u ravnotei. Prematome,
ako se iz reetke izdvoji neki vor te ucrtaju sve sile u njemu,nepoznate
unutranje sile S u presjeenim tapovima mogu se dobiti iz analitikihuvjeta
ravnotee konkurentnog ravninskog sustava sila.
Uvjeti ravnotee Sile u tapovima
1. Ix=o s,2. 1LY=0 ~S2
C - -S S58. 2Me=0 S6GEOMETRIJSKE ZNAAJKE TIJELA I PLOHA8.1 TEITE
Na svaki djeli tijela djeluje privlana sila sila Zemlje, kojapredstavlja
njegovu teinu Gt(i = 1, 2, ... , n). Rezultanta takvog sustava vezanihparalelnih
sila je teina tijela G, ija je veliina:
-
7/27/2019 teh. mehanika
46/142
G = G, (44)
Hvatite teine tijela naziva se
teite T. Njegov poloaj s obzirom natijelo ostaje uvijek nepromijenjen bez
obzira na poloaj tijela u prostoru.Primjenom momentnog pravila za
koordinatne osi, jednostavno je odrediti
poloaj teita tijela.Koordinate teita su:Z
G.x.. Z
G.y.. Z
G>
z>
(45)
x
yT
T
T
G
G
G
gdje su:xi ,,yi ,zi - koordinate i - tog djelia tijela.Kod homogenog tijela gustoa materijala jednaka je za sve njegove
djelie, tj.p = konst. Kako je Gmg = pVg, iz (45) slijede koordinateteitavolumena:
Z vx,
ZV z
x. Zvy
yT =
(46)xT
=
VV
V
-
7/27/2019 teh. mehanika
47/142
gdje
je:V- volumen itog djelia tijela; V = Zv - volumen tijela.
Ako je jedna dimenzija tijela mala u odnosu na ostale dvije, radi se
o
povrini (npr. tanka ploa). Koordinate teita povrine u njenojravnini,
dobivaju se analogno i iznose:
ZA x
> .
ZA
>y>
x
yT
A
A
gdje je: Ai -povrina itog djelia tijela. AZA, -povrinatijela.Izraz (47) koristi se i u sljedeem obliku:S
Sx_
A
y
xT
yr
A
(48)
gdje su:S
x =1A
,yS
y=1 A.xi - statiki momenti povrine za osi x iyJedinica statikog momenta povrine je [m ].
Zl>
x>
(49)
xT=
l
Ako su dvije dimenzije tijela zanemarive,
tijelo prelazi u liniju (npr. tap). Koordinateteita linije u ravnini glase:gdje je: lt- duina i -tog djelia tijela;l= Zl, - duina tijela.Z
l>y>
yT =
-
7/27/2019 teh. mehanika
48/142
l
Prema tome, teita homogenih tijela odreuju se kao teitavolumena,
povrina i linija, a ovise samo od geometrijskih svojstava tijela.Svi gornji izrazi su priblini. Toni izrazi dobivaju se ako se uzme
da
tijelo ima beskonano mnogo djelia i razmotri granini sluaj. Kako je zbrajanje beskonano malih veliina zapravo integriranje, u svimizrazima znak
zbroja (Z) treba zamijeniti znakom integrala (J). Takvi izrazi vrijede u
opemsluaju, dakle i za nehomogena tijela.
Tako npr. izraz (47) dobiva oblik:x(50)
A JxdA;yT = A JydA
AAgdje je: dA -povrina djelia tijela;A = JdA -povrina tijela.os simetrije
Postupak traenja poloaja teita tijela moe se znatnopojednostaviti ako
je tijelo simetrino, zatim pogodnim izboromkoordinatnog sustava, te odgovarajuom
zamiljenom podjelom tijela na jednostavnijedijelove.os simetrije
Kod simetrinih tijela teite se uvijeknalazi u ravnini, na osi ili u toki simetrije.Ako se tijelo moe rastavitina konaan broj dijelova iji je poloaj teita
poznat, tada se koordinate teita tijela odreuju na osnovi izraza (46),(47) i
(49). Kod tijela s izrezima, volumene i povrine takvih izreza treba uvrstiti s negativnim predznakom. Tako npr.,
ako su koordinate teita dijelova 1, 2 i 3 sloenog lika
-
7/27/2019 teh. mehanika
49/142
poznate: T1(x1;y1), T2(x2;y2), T3(x3;y3), koordinate teitaT sloenog lika glase:A
iX
i A1^1A2^2 + A3%3A A1A2 +A3^ Ai y i _A1y1A2y 2 + A3y 3yT _
AA1
A2 +
A3
8.2 MOMENTI TROMOSTI I OTPORA
U statici elastinih tijela koriste se karakteristine geometrijskeveliinenjihovih poprenih presjeka povrineA. To su:
1. Momenti tromosti povrine
Aksijalni momenti tromosti oko osi x iy :(51)1x _Jy2
dA; 1 y _Jx2
dA
Polarni moment tromosti oko pola P:
Jedinica momenata tromosti povrine je [m ].Polumjer tromosti oko
osi x i y:y
A
(53),X
1/A; iy
'Jedinica polumjera tromosti je [m].
Moment tromosti sloenog presjeka za neku os jednak je zbrojumomenata tromosti pojedinih njegovih dijelova za istu os.
Npr.
I=I+1-1-11 x 1x1^
1x 2 1 x 3 1 x 4
-
7/27/2019 teh. mehanika
50/142
Moment tromosti presjeka za os paralelnu
teinoj osi, mogue je dobiti na osnovi tzv.Steinerovog pravila.
(54)
Npr., ako je poznat moment tromosti presjeka
za njegovu teinu os x, za paralelnu osx1 naudaljenosti a, moment tromosti glasi:
Ix1 = Ix + a A
2.Momenti otpora povrine
Aksijalni momenti otpora oko osi x i yW
(55)
W,-^gdje su: xmax iymax - najvee udaljenosti konture presjeka odkoordinatnih osi.
Polarni moment otpora oko pola P:
Wh-p
r
max
-
7/27/2019 teh. mehanika
51/142
gdje je: r
najvei polumjer konture presjeka (vrijedi samo za krune iprstenaste presjeke).Jedinica za momente otpora je [m
3].
Valja naglasiti da se momenti otpora povrine ne mogu zbrajati.
Veliine momenata tromosti i otpora nekih jednostavnih povrina
presjeka:
bh3
12
I=
I=
I* _jy _ j _I: _
D
(1* * * 64 64 64
TnD4(1 4)
-
7/27/2019 teh. mehanika
52/142
jp _ ir(1 _ ^
) ;
"*_"=
i D 3(1 _ ^4) ;
wp _ n D "(1 _ ^
4)
j _T_nD4T_ nD4
* _ _ 64 ; p _ 32 ;" _ W _; Wp _
* 32 p 16gdje je
:y/_ D.
hb_
12
4
III STATIKA ELASTINIH TIJELA1.OSNOVNI POJMOVI I ZADACI
Svako vrsto tijelo pod djelovanjem vanjskog optereenja mijenjasvoj
oblik i volumen, a u njemu se pojavljuju unutranje sile. Promjenaoblika i
volumena tijela naziva se deformacija, a specifino optereenje tijelaizazvano
njegovim unutranjim silama predstavlja naprezanje.Nakon rastereenja deformacije mogu nestati (elastine
deformacije) ili
ostati trajne (plastine deformacije).Analizom naprezanja i deformacija elastinih tijela kao elemenata
tehnikih konstrukcija, bavi se elastostatika ili nauka o vrstoi. Njeniosnovni
zadaci su prouavanje vrstoe, krutosti i stabilnosti konstrukcija, kojemoraju
ispunjavati i zahtjeve sigurnosti i ekonominosti.vrstoa konstrukcije je njezina sposobnost da prenese optereenje
bezloma, trajnih deformacija ili oteenja (pukotina).Krutost konstrukcije podrazumijeva njezinu otpornost prema
deformiranju.
Stabilnost jest sposobnost konstrukcije da zadri poetni ravnotenioblik.
Pri analizi konstrukcija, uvode se odreene pretpostavke kojepojednostavljuju rjeavanje i osiguravaju inenjersku tonost (pogrekamanja
od 5%). Najvanije pretpostavke su izotropnost i homogenostmaterijala (ista
svojstva u svim tokama i pravcima), te male deformacije (u odnosu na
-
7/27/2019 teh. mehanika
53/142
veliinutijela).
Kakve e deformacije vrstog tijela nastupiti pod utjecajemvanjskih sila,
ovisi o vrsti optereenja. To se moe pokazati na primjeru tapa kaonajvanijeginajjednostavnijeg konstrukcijskog elementa.
Osnovne vrste optereenja:
-
7/27/2019 teh. mehanika
54/142
Aksijalno optereenje. Sile djeluju uzdu osi tapa, tako da njegovooptereenje moe biti vlano (rastezanje), to izaziva produljenje tapa,slika a,
ili tlano (sabijanje), koje proizvodi skraenje tapa, slika b.
Smicanje. Sile djeluju u ravnini poprenog presjeka tapa i nastojeizazvati
klizanje jednog njegovog dijela u odnosu na drugi, slika c.
Uvijanje (torzija). tap je optereen spregovima sila koji lee uravnini
njegovogpoprenog presjeka, slika d.Savijanje. Takvo optereenje tapa moe biti spregovima sila, slika
e, ili
silama u ravnini koja prolazi kroz njegovu os, slika f. U prvom sesluaju radi oistom savijanju,dok drugi sluaj predstavlja savijanje silama.
Izvijanje. Tlano optereenje vitkog tapa (dug i tanak tap), kadasila
prijee odreenu graninu vrijednost, dovodi do iskrivljenja osi tapa,tj. do
njegovog bonog izvijanja, slika g. Izvijanje je, zapravo, gubitakelastine
stabilnosti tapa.Za prikazana optereenja, navest emo izraze za odreivanje
naprezanja i
deformacija.
2.NAPREZANJA I DEFORMACIJE
Ako na neko tijelo djeluju vanjske sile, one nastoje da priblie ilirazdvoje
pojedine estice tijela, emu se suprotstavljaju unutranje sile kojedjeluju meu
esticama. Pretpostavimo da se tijelo pod djelovanjem vanjskih silaF(/ = 1, 2,..., n) nalazi u ravnotei. Ovo znai da je uspostavljenaravnoteaizmeu vanjskih i unutranjih sila i da je deformiranje zavreno.U nekoj toki O presjeka, naprezanje se definira vektorom:
U zamiljenom presjeku tijela ravninom djeluju unutranje sile,koje
predstavljaju utjecaj odstranjenog dijela. Mjera intenziteta ovih sila
naziva senaprezanje, i podrazumijeva veliinu unutranje sile svedenu na
jedinicu
-
7/27/2019 teh. mehanika
55/142
povrine.
dFp
(i)dAgdje je: dF- elementarna unutranja sila, dA - elementarna povrina
presjeka oko
toke O.2
Jedinica za naprezanje je paskal [Pa = N/m ].
U opem sluaju, vektorpmoe se rastaviti na dvije komponente:- normalno naprezanje o (okomito na presjek - pravac normale n) i
- tangencijalno naprezanje t(lei u ravnini presjeka - pravac tangente
t).Deformacija u nekoj toki tijela, moe se opisati
promjenom
elementarnih duina i kutova njezine okolice. Za
toku O i dva meusobno
okomita pravca povuena kroz nju, mjere
deformiranja su:
(2)
s
Duljinska deformacijas definira se kao relativnoproduljenje elementarne duine na pravcu, tj. kaoomjer produljenja i poetne duine:
-
7/27/2019 teh. mehanika
56/142
Kutna deformacijay definira se kao promjena
prvobitnog pravog kuta izmeu dva pravaca kroztoku:A(dl)
dl
a
Y
(3)Deformacije su bezdimenzionalne veliine. Duljinsku deformacijusizaziva
normalno naprezanje a, a kutnu deformacijuy izaziva tangencijalno
naprezanje
T.U tehnikoj praksi deformacije su vrlo male, reda veliine 10-3 i
manje.3. HOOKEOV ZAKON
Meusobna ovisnost izmeu naprezanja i deformacija svakogvrstog tijelaovisi o fiziko-mehanikim svojstvima materijala od kojeg je tijeloizgraeno, autvruje se eksperimentalno. Rezultati pokusa najee se prikazujudijagramom, u kojem se daje ovisnost naprezanja o deformaciji, tj.: a-
s ili T-
y.Prema obliku dobivenih dijagrama, tehniki materijali se dijele nakrhke i
rastezljive.Tijelo od krhkog materijala (npr. kaljeni elik,sivi lijev, beton itd.) prije loma dobiva male
elastine deformacije (eei), za razliku od tijelaizgraenog od rastezljivog materijala (npr. mekielik, bakar, bronca itd.), koje nakon poetnihelastinih deformacija pokazuje sposobnostznatnih plastinih deformacija (epi) prije loma.
Vane toke nadijagramu s odgovarajuimnaprezanjima su:
-
7/27/2019 teh. mehanika
57/142
cei
cfil
P ^ gp- granica proporcionalnosti (do te toke ovisnost naprezanja ideformacije je linearna, a deformacije su elastine);T ^ gt- granica teenja (od te toke zapoinju velike deformacije, tzv.teenje materijala, pri emu su takve deformacije plastine);
^ gm- granica vrstoe (najvee naprezanje koje materijal moepodnijeti
prije loma).
Prema tome, pri malim elastinim deformacijama (do toke P),postoji
proporcionalnost izmeu naprezanja i deformacija, tj.:a _ E s (4)
ili t_G y (5)
a
M
gdje je:E- modul elastinosti [Pa], G - modul smicanja [Pa]. To sukonstantne
veliine za odreeni materijal. Npr. za elik vrijedi:E= 210 GPa i G =80 GPa.
Izrazi (4) i (5) predstavljajuHookeov
zakon. To je temeljni zakon nauke ovrstoi, jer sva dobivena rjeenja vrijedesamo u njegovim granicama, tj. do granice
proporcionalnosti.
Da bi konstrukcija u radu bila sigurna
(bez loma ili trajnih deformacija), njeno
najvee naprezanja mora biti manje odnekog doputenog naprezanja, koje sedefinira kao:
a
ad_S~" krhki materijali; ad_^T- - rastezljivi materijali
4. gdje je: S- koeficijent sigurnosti (S> 1).AKSIJALNO
-
7/27/2019 teh. mehanika
58/142
OPTEREENJERazmotrimo tap proizvoljnog poprenog presjeka povrineA na
krajevima optereen silama F, koje djeluju du njegove osi z. U nekompoprenom presjeku tapa, pojavljuju se unutranje sile koje suparalelne
njegovoj osi. Njihova rezultanta je uzduna sila N. To znai da se usvakoj toki
presjeka pojavljuje samo normalno naprezanje a.
Na svakoj elementarnoj povrini dAdjeluje normalna unutranja silaa dA. Uvjet ravnotee dijela tapa glasi:ili(-)
N - F = 0
Ja dA = F
Kako je raspodjela naprezanja po presjeku jednolika, tj. a= konst.,
slijedi
naprezanje:
N
a =A
Z7 A T
(7)
a =iliA
-
7/27/2019 teh. mehanika
59/142
U sluaju vlanog optereenja tapa (N > 0), naprezanje jepozitivno (a >
0), a kod tlanog optereenja (N < 0), naprezanje je negativno (a < 0).Aksijalno optereenje
tapa duljine l, uzrokujepromjenu njegove duljine za
Al . Pri vlanomoptereenjuAl > 0 (produljenje) , a pri
tlanom Al< 0 (skraenje).
-
7/27/2019 teh. mehanika
60/142
Uzimajui u obzir Hookeov zakon (4), uzduna duljinskadeformacija
tapa iznosi:Al a
(8)Sl E
Ako se u izraz (7) uvrsti izraz (8), slijedi promjena duljine tapa:Al(9)
Nl
EAVeliina EAnaziva se aksijalna krutost tapa i
predstavlja mjeru opiranja
tapa deformiranju u pravcu njegove osi.
U sluaju da se popreni presjek tapa i/ilinjegovo optereenje mijenjaju skokovito, tadaukupno produljenje tapa iznosi:(10)
AlZ^ EAgdje je: lt- duljina i-tog dijela tapa na kojem jeNt= konst. iEiA t= konst.
Promjena duljine tapa moe nastati i zbog promjene njegovetemperature za
At i iznosi:
AlalAt (11)gdje je: a - koeficijent toplinskog rastezanja [K
-
1].
Pri tome je toplinska deformacija tapa:(12)
Al
sTaAt(13)Ako je promjena duljine tapa sprijeena, npr. zbog nepominih i
krutihstijenki izmeu kojih je tap uvren, tada se pojavljuje toplinskonaprezanje:
-
7/27/2019 teh. mehanika
61/142
aTsTEaEAt
Naprezanje u tapu je tlano (aT< 0), ako se temperatura povisi (At> 0). Pri
smanjenju temperature (At < 0), u tapu se pojavljuje vlanonaprezanje (aT>
0).
-
7/27/2019 teh. mehanika
62/142
Odreivanje dimenzija tapova ili njihova provjera za zadanooptereenje,izvodi se prema:
1.Uvjet vrstoe: ox = Nj-
-
7/27/2019 teh. mehanika
63/142
Iako je rasporedjela T naprezanja neravnomjerna po presjeku, u
praksi se
uzima da je T = konst., pa iz izraza (16) slijedi naprezanje:
F T Q
(17)
T = ili T = A A
Ovaj izraz je priblian, a koristi se kod dimenzioniranja ili kodprovjere
vrstoe konstrukcijskih elemenata izloenih istom smicanju.Uvjet vrstoe glasi:
T
-
7/27/2019 teh. mehanika
64/142
Trup zakovice bit e prerezan u tom presjeku, ako silaFbudedovoljno velika.
(20)
Uvjet vrstoe na smicanje zakovice je:T=
-
7/27/2019 teh. mehanika
65/142
6.UVIJANJE
Uvijanje tapa izazivaju momentiMtkoji djeluju u ravnini njegovog poprenog
presjeka. Kako su u praksi najei tapoviokruglog poprenog presjeka, moe se uzetida se pri uvijanju popreni presjeci nedeformiraju ve se zakreu kao krute figure oko osi tapa z. To znaida se u tim
presjecima pojavljuju samo tangencijalna naprezanja t.Prikaimo tap koji je uklijeten na jednom kraju, a na drugom
optereenvanjskim momentom uvijanjaMt. Eksperimenti pokazuju da se svaka
njegova
izvodnica nakon deformiranja zakree za konstantan kuty, kojipredstavlja
kutnu deformaciju (kut smicanja).
Kvadrat na povrini tapa poprima oblik romba, to znai da jeizloensmicanju tangencijalnim naprezanjima t. Meusobni zakret krajnjih
poprenihpresjeka tapa, opisuje kut uvijanja ^.
Na osnovi geometrijske analize gornje slike slijedi:Y = r3 (21)
pa Hookeov zakon (4) glasi:
-
7/27/2019 teh. mehanika
66/142
t= Gy = Gr 3 (22)
gdje je: 3 =- relativni kut uvijanja (analogans kod aksijalnogoptereenjadz
tapa).Izrazi (21) i (22) pokazuju day i T, rastulinearno od nule u osi tapa (r =0), do maksimalnevrijednosti na povrini tapa (r = R).
Na svaku elementarnu povrinu tapa dA djelujeunutranja sila T- dA, pa uvjet ravnotee jednog dijelatapa glasi:(23)
2 Mz= 0 JVdA - r - Mt= 0
Nakon uvrtavanja izraza (22) i rjeavanja slijedi:Relativni kut uvijanja:(24)gdje je:Ip - polarni moment tromosti
povrine presjeka.Veliina GIPnaziva se krutost na uvijanje (torzijska krutost).
Naprezanje:
(25)
Mt
T=- rIP
Za r = rmax = R(povrina tapa), slijedi veliina maksimalnog
naprezanja:M
tM
t
Wp(26)t=
max
-r_ =gdje je: Wp -polarni moment otpora povrine presjeka.
Na slici je pokazana raspodjela naprezanja u poprenom presjekutapa: a)kruni presjek, b) prstenasti presjek.
-
7/27/2019 teh. mehanika
67/142
Kut uvijanja:9 = 3-1 =Mt
- (27)
GIPy JJedinica za kut uvijanja je [rad].
U sluaju da se popreni presjek tapa i/ilinjegovo optereenje mijenjaju skokovito, vrijedi:(28)
^M
ti h.p=5~GJ7
iPi
gdje je: - duljina i-tog dijela tapa na kojem jeMtl= konst. i G. Ipi =
konst.
Dimenzioniranje ili provjera tapova optereenih na uvijanje,provodi se
na osnovi:
1. Uvjet vrstoe:
Tm = < Td (29)WP
d
gdje je: Td- doputeno tangencijalno naprezanje.2. Uvjet krutosti:
3max =
-
7/27/2019 teh. mehanika
68/142
-
7/27/2019 teh. mehanika
69/142
7. SAVIJANJE
Stap je optereen na savijanje kada vanjsko optereenje djeluje uravnini
koja prolazi kroz njegovu uzdunu osz. Konstrukcijski element oblika
tapaoslonjen o podlogu i optereen na savijanje naziva se greda, pri emuon dobiva
zakrivljeni oblik.
Ako u ravnini optereenja djeluju samo spregovi sila, tap je
optereen naisto savijanje. U sluaju da u njoj djeluju i sile, radi se o savijanjusilama.
Razmotrimo najei sluaj istog savijanja tapa, kada su teineosi
poprenog presjekax i y, ujedno i njegove osi simetrije. Ravninayzjeravnina
optereenja. Stap je na svojim krajevima optereen spregovima silamomentaM.
-
7/27/2019 teh. mehanika
70/142
Pod djelovanjem optereenja tap se deformira, a njegova uzdunaos
prelazi u zakrivljenu crtu koja se naziva elastina linija. U ovomsluaju
elastina linija ima oblik krunog luka (polumjer zakrivljenostip =konst.).
Ako su deformacije male, moe se pretpostavitida poprenipresjeci tapaostaju ravni i okomiti na elastinu liniju i nakon deformiranja. Pri tomse
uzduna vlakna na gornjoj strani tapa skrauju a na donjoj produljuju.Naravno,
postoje vlakna koja ne mijenjaju svoju duljinu a lee u neutralnoj liniji,
koja u
poprenom presjeku daje neutralnu os (n-n). Ona se poklapa s osi x.Prema tome, u poprenom presjeku tapa postoje samo normalna
naprezanja au pravcu osi tapa.Razmotrimo jedan
deformirani element tapa izmeudva bliska poprena presjeka kojameusobno zatvaraju kut da.Vlakno duljine dzna udaljenostiy
od neutralne linije produljuje se za
Adz, uslijed normalnog naprezanja
a.
-
7/27/2019 teh. mehanika
71/142
Uzduna deformacija togavlakna, prema definiciji je:
Adz = yda
dz p da
EE
a = Es =yp
Jednadba ravnotee elementa tapa glasi:2Mx = 0M -jadA - y = 0
Uvrtavanjem izraza (32), slijedi zakrivljenost elastine linije:P EIx
1M
gdje je:Ix - aksijalni moment tromosti povrine presjeka za os x(neutralna os).VeliinaEIXnaziva se krutost na savijanje.
Prema Hookeovom zakonu, naprezanje iznosi:y
p
(31)
s
(32)
(33)
(34)
Uvrtavajui izraz (34) u izraz (32), dobiva se naprezanje:T = Yy (35)Pomou ovog izraza mogue je odrediti naprezanje u bilo kojoj
toki
presjeka tapa. Moe se zakljuiti da je raspodjela normalnognaprezanja o
linearna po visini poprenog presjeka. U tokama neutralne osi (y = 0),
-
7/27/2019 teh. mehanika
72/142
naprezanja nema, dok se najvea naprezanja pojavljuju u tokamapresjeka koje
su najudaljenije od neutralne osi (y = ymax).
Maksimalno naprezanje ima veliinu:MMTmax T
ymax
(36)
Raspodjela normalnih naprezanja u poprenom presjeku prikazana jesljedeomslikom:
Kod savijanja silama, u poprenom presjeku tapa pojavljuje se i tangencijalno naprezanje Tizazvano poprenom silom Q. Meutim,
ono je u
pravilu mnogo manje od normalnog naprezanja o, pa ga neemoodreivati.
Prema tome, uvjet vrstoe na savijanje glasi:
MTmax
gdje je: Mmax - maksimalni moment savijanja u opasnom presjeku
tapa,
od- doputeno naprezanje na savijanje.
-
7/27/2019 teh. mehanika
73/142
Elastina linija predstavlja mjeru deformacije tapa pri savijanju.Poznavanje njezinog oblika vano je pri ispitivanju krutosti ovakooptereenihkonstrukcijskih elemenata.
Jednadba elastine linije u opem sluaju ima obliky = y (z).Vertikalni
pomak teita T presjeka tapa u nekoj toki naziva se progibf, a kutzakreta
tangente tna elastinu liniju naziva se nagib ^.Podaci o elastinim linijama za razliito optereene grede, mogu se
nai utehnikim prirunicima.Primjer:
cp = nagibmax
2EIX
progib7. IZVIJANJE
-
7/27/2019 teh. mehanika
74/142
B
Kod tlano optereenih tapova koji imajurelativno veliku duljinu u odnosu na dimenzije
poprenog presjeka (tzv. vitki tapovi), moe doi dosavijanja u stranu, odnosno izvijanja. Takvo krivljenje
tapa izazvano je aksijalnom a ne poprenom silom i predstavlja gubitak stabilnosti oblika. Gubitak
stabilnosti i pored ispunjenih uvjeta vrstoe i krutosti,neizbjeno vodi do loma tapa. To znai da sigurnostkonstrukcijskog elementa iji deformirani ravnotenioblik nije stabilan, zapravo i ne postoji. Prema tome,
osim vrstoe i krutosti konstrukcije, prvorazrednoznaenje ima i pitanje njezine stabilnosti. Ovo je
posebno izraeno u suvremenim konstrukcijama, gdjese do minimuma smanjuju poprene dimenzije zbog uporabe otpornijihmaterijala i nastojanja da se teina to vie smanji.
Najmanja sila pri kojoj se tap izvija, naziva se kritina silaFkr.Njena
veliina definirana je Eulerovim izrazom, koji glasi:(38)
F=n EI
min
kr i2lc\
gdje je:Imin - minimalni aksijalni moment tromosti presjeka tapa(izvijanje se
uvijek odvija oko osi presjeka za koju je krutost tapa najmanja,odnosno za koju je aksijalni moment tromosti najmanji),
l0 - slobodna duljina izvijanja.
Na slici su prikazani osnovni oblici i slobodne duljine izvijanja za
razliite
-
7/27/2019 teh. mehanika
75/142
naine uvrenja tapa.
-
7/27/2019 teh. mehanika
76/142
U trenutku izvijanja tapa, kritino naprezanje iznosi:* - T -9 (39)gdje je: 9 --bezdimenzijska karakteristika tapa koja se nazivavitkost
^min
tapa,
zm,n -J- minimalnipolumjer tromosti presjeka tapa.
Izrazi (38) i (39) vrijede samo u
elastinom podruju, tj. za naprezanja:akr 9E
gdje je: 9P-n -----------granina vitkost (npr. elik9P 100).a,
Priprovjeri stabilnosti oblika, mora se voditi rauna da tap imaizvjesnu
sigurnost protiv izvijanja, to znai da naprezanje mora biti manje oddoputene vrijednosti, tj.:(40)
gdje je: S- koeficijent sigurnosti (stabilnosti). On ovisi o materijalu,
vitkosti i
drugim faktorima (npr. za elik vrijedi S -1,5 * 3 i vie).
-
7/27/2019 teh. mehanika
77/142
IV. KINEMATIKAKinematika prouava geometrijska svojstva gibanja tijela ne
uzimajui uobzir njihovu masu i sile koje na njih djeluju.
Temeljni zadatak kinematike je odreivanje kinematikih veliina(putanja, brzina i ubrzanja) pojedinih toaka tijela. Kinematikeveliinefunkcije su vremena.
1.KINEMATIKA CESTICE
1.1 OSNOVNE KINEMATIKE VELIINESvaka toka tijela ili estica opisuje pri gibanju krivulju koja se naziva
putanja. Ovisno o njenom obliku, gibanje moe biti pravocrtno i
krivocrtno.
Poloaj estice u prostoru,odreen je vektorom poloaja r,(1)
ili vrh slijedi putanju estice.
Dakle rje funkcija vremena, tj.:r = r(t)
To je jednadba gibanja estice uvektorskom obliku.
U intervalu vremena At, esticaprelazi iz poloaja A1u poloajA2na putanji, pri emu se vektorrpromijeni za AF .Omjer prirasta vektora poloaja i prirasta pripadnogvremena, naziva se
srednja brzina estice Vsr:(2)
r Ar
-
7/27/2019 teh. mehanika
78/142
V =
sr
At
VektorVsr ima isti pravac i smjer kao i vektorAr.
V:
Granina vrijednost izraza (2), daje trenutnu brzinu estice(3)
r... Ar dr r
v = lim== r
AtAt dt
(4)a
sr
Dakle, vektor brzine jednak je prvoj derivaciji vektora poloaja povremenu. On
ima pravac tangente na putanju u datoj toki i smjer gibanja.Jedinica za brzinu je [ms
-1].
U promatranom intervalu
vremena At, promijenit e se i
vektor brzine Vza Av.
Omjer prirasta vektora brzine
i prirasta pripadnog vremena,
naziva se srednje ubrzanje esticeAv
At
sr
Vektorasr ima isti pravac i smjer
kao i vektor Av.
Granina vrijednost izraza (4), daje trenutno ubrzanje estice a:-Av
a = lim -----
-
7/27/2019 teh. mehanika
79/142
At 0At
dv
dt
(5)
=v=r
Prema tome, vektor ubrzanja jednak je prvoj derivaciji vektora brzine
po
vremenu, odnosno drugoj derivaciji vektora poloaja po vremenu.Vektor
ubrzanja uvijek je usmjeren u konkavnu
stranu putanje estice.Jedinica za ubrzanje je [ms
-2].
U opem sluaju, svakom trenutku
vremena todgovara odreeni vektorr, v ia.
1.2PRAVOCRTNO GIBANJE
Izvodi ga estica ija je putanja pravac. Ako se ishodite vektorapoloajaodabere u jednoj toki putanje, tada se vektori r, v i a, poklapaju s
putanjom,
pa vektorsko opisivanje nije potrebno.
Poloaj estice prikazuje se njenom udaljenou od ishodita O, koja senaziva puts.Vrijedi:
(6)
s = s(t)
To je zakon pravocrtnog gibanja
estice.
-
7/27/2019 teh. mehanika
80/142
Jedinica za put je [m].
Prema izrazu (3), brzina estice je:(7)
ds
v ==sdt
a prema izrazu (5), njeno ubrzanje iznosi:dv
a == v = sdt
(8)
Predznacis, v i a, odgovaraju
smjeru gibanja estice. Ako supredznaci v i a jednaki, gibanje
estice je ubrzano. U suprotnom,gibanje estice je usporeno.
U sluaju da je poznato ubrzanje aestice, tada se brzina v i putsmogu
odrediti integriranjem, tj.:dv
dt
dv = adt| |
= | adt + C1
= | vdt + C2
a =
(9)
dsv =^ ds = vdt
dt
s
gdje su: Cj i C2konstante integracije, za ije se odreivanje morajupoznavati
poetni uvjeti, odnosno vrijednosti s i v na poetku gibanja.Radipreglednosti,
esto se promjene
kinematikih veliina:s(t),v(t) i a(t), prikazuju
grafiki tzv. kinematikim
-
7/27/2019 teh. mehanika
81/142
dijagramima:
k " CL
i
1.2.1 JEDNOLIKO GIBANJE
Takvo gibanje izvodi estica ija je brzina konstantna (v = konst.), aubrzanja nema (a = 0).
Razmotrimo esticu kojazapoinje gibanje iz nekog
poloaja A0, udaljenog za s0od ishodita O. U tom
poetnom trenutku vremenat0, poetna brzina esticeiznosi v0.
Nakon vremena testica se pomjeri u poloaj A, pri emu njena brzinaostaje
ista. Na osnovi izraza (9) slijedi:
s = J vdt + C = vt + C
Poetni uvjeti glase: u trenutku t= 0, s = s0 ^ C = s0, to uvrteno ugornji
izraz daje prijeeni put:s = s0 + vt (10)
Kinematiki dijagramijednolikog gibanja estice imaju izgled:
1.2.2 JEDNOLIKO PROMJENLJIVO GIBANJE
Pri ovakvom gibanju, ubrzanje estice je konstantno (a = konst.).Na
osnovi izraza (9) moe se pisati:
-
7/27/2019 teh. mehanika
82/142
v
= J adt + C1 = at + C1
Poetni uvjeti glase: u trenutku t= 0, v = v0 ^ Cj = v0, to uvrteno ugornji izraz daje brzinu:
v = v0 + at (11)
-
7/27/2019 teh. mehanika
83/142
= | vdt + C2 =| (v0 + at )dt + C2 = v0t +a+ C
2~V0
l 121^2
s
Vrijedi i:
Poetni uvjeti glase: u trenutku t= 0, s =s0 ^ C2 = s0,to uvrteno ugornji izraz daje prijeeni put:(12)
at2
s = s0 + v0t + 2
Izrazi (11) i (12) vrijede za jednoliko ubrzano gibanje (a > 0). Za
jednoliko usporeno gibanje (a < 0), u te izraze treba ubrzanje uvrstiti s
negativnim predznakom.
Kinematiki dijagramijednoliko promjenljivog gibanja esticeimaju
izgled:
Tipini primjeri jednoliko promjenljivog gibanja estice su slobodanpad
2
(v0 = 0; a =g = 9,81 ms' - gravitacijsko ubrzanje) i vertikalni hitac
(prema
dolje: a = g; uvis: a = - g).
1.3KRIVOCRTNO GIBANJEKinematike veliine pri krivocrtnom gibanju estice obino se
prikazuju
u nekom koordinatnom sustavu. Najee se koriste pravokutniDescartesov
koordinatni sustav i prirodni koordinatni sustav.
1.3.1 PRIKAZIVANJE U DESCARTESOVOM K. SUSTAVU
Poloaj estice u ovom koordinatnom sustavu, odreen je njenimkoordinatama, koje ovise od vremena, tj.:
(13)
-
7/27/2019 teh. mehanika
84/142
x =x(t) ;y = y(t) ;z = z(t)
To su jednadbe gibanja estice uDescartesovim koordinatama.
Vektor poloaja estice u tom sluaju glasi:(14)
r = xi + yj + zk
gdje su: i,j, k-jedinini vektori koordinatnih osi x,y, z (ne ovise o vremenu t).
Vektor brzine je:
(15)
v = r = xi + yj + zk
gdje su veliine komponenata vektora brzine upravcima koordinatnih osi:
(16)
dxdt
& = dv
dt
dz
dt
Veliina i pravac vektora brzine su:v
= a/v2 + v2 + v2
(17)
v
cos av=; cosf3v=; cosyv =z
-
7/27/2019 teh. mehanika
85/142
v
v
va = v = r = xi + yj + zk
(18)
Vektor ubrzanja glasi:(19)
ax=
x =av = v =
az= z =
z
gdje su veliine komponenata vektora brzineu pravcima koordinatnih osi:
d2x
d2
d2y~dtY
d2 z
~dF
Veliina i pravac vektora ubrzanja su:=V
a
a
(20)
a
zcos
Ya =
acosa
a = ~ ;cos
Pa =
aaaX +
al+
aZ
y .
a
Ako se estica giba u ravnini, vektori poloaja, brzine i ubrzanjaimaju
samo po dvije komponente u toj ravnini.
-
7/27/2019 teh. mehanika
86/142
1.3.2 PRIKAZIVANJE U PRIRODNOM KOORDINATNOM
SUSTAVU
Prirodni koordinatni sustav vee se za esticu koja se giba, a inega dvije
meusobno okomite osi: tangenta Ti glavna normalaN, definiranesvojim
jedininim vektorima rT i eN.
s = s(t)
Pozitivan smjer osi Tbira se
proizvoljno, dok je pozitivan smjer
osiNonaj koji gleda prema sredituzakrivljenosti putanje C s
Tpolumjerom zakrivljenostiR.Poloaj estice A na putanji,
odreen je duljinom lukas, mjereno sobzirom na poetni poloaj A0. Dakles je krivocrtna koordinata i funkcija
je vremena, tj.:
(21)
To je jednadba gibanja estice u prirodnim koordinatama.Za beskonano male pomake estice na putanji vrijedi: dr * dseT, pa
vektor brzine estice glasi:(22)dr ds _
v = r =
=eT= seTdt dtVektor brzine poklapa se s osi T, a veliina brzine estice iznosi:v
= s
(23)Vektor ubrzanja estice je:a = v ==d
(seT) = SeT+ SeT
(24)
dt dt
Kako jedinini vektoreTmijenja svoj pravac tijekom vremena (pripadapominom k. sustavu), vrijedi:rS r
-
7/27/2019 teh. mehanika
87/142
eT = R
eN
pa izraz (24) dobiva oblik:a
=Se
T +eN
(25)
R
Oigledno je da vektor ubrzanja ima dvijekomponente u pravcima k. osi TiN.
Veliine komponenata ubrzanja su:(26)
tangencijalna komponenta aT= s
normalna komponenta aN = RVeliina i pravac vektora ubrzanja
iznose:a = \l a'T + a'Na
(27)
cosa
a
Vektori tangencijalnog ubrzanja aTi brzine V imaju isti pravac jer
leena osi T.Ako ti vektori imaju isti smjer, gibanje estice je ubrzano. U suprotnom, njeno je gibanje usporeno. U sluaju da je aT=0, gibanjeestice je
jednoliko (v = konst.). Vektor normalnog ubrzanja aNlei na osiNiuvijek je
usmjeren prema sreditu zakrivljenosti C putanje. Ako je putanjaestice pravac,tada je a
rN= 0 .
-
7/27/2019 teh. mehanika
88/142
2. KINEMATIKA KRUTOG TIJELA
Poloaj krutog tijela koje se moeslobodno gibati u prostoru, potpuno je
odreen koordinatama njegove tri proizvoljne
nekolinearne toke. Kako je meusobnirazmak tih toaka nepromjenljiv, ostaje estmeusobno neovisnih koordinata poloajakrutog tijela koje su funkcije vremena t, tj.:
*, = *,(t);yt= yt(t);
(t)
AiAj = konst. i, j = 1, 2, 3 (i ^j)
To sujednadbe opeg gibanja slobodnog krutog tijela. Meutim,slobodna tijela u tehnici praktiki ne postoje, jer su meusobno vezanakao
dijelovi najrazliitijih konstrukcija. Takve veze smanjuju mogunostigibanjatijela, to znai da se analiza gibanja pojednostavljuje. Zato emorazmotriti
samo neka od osnovnih gibanja tijela u tehnikoj praksi i to:translaciju,
rotaciju i ravninsko gibanje.
2.1 TRANSLACIJA TIJELA
To je gibanje krutog tijela kod kojeg svaki njegov pravac ostaje
paralelansvom prvobitnom poloaju. Ovo znai da sve toke tijela opisujusukladne
putanje, a prema njihovom obliku translacija moe bitipravocrtna ikrivocrtna.
Poloaj dviju proizvoljnih toaka tijela A i B, definiran jevektorima
poloaja rA i rB.Iz slike je vidljivo:
r r I d r r \d r rrB = rA + AB \^ vR= v A | ^ aB = aAdt dt
-
7/27/2019 teh. mehanika
89/142
Dakle, brzine i ubrzanja svih
toaka krutog tijela pri njegovojtranslaciji su jednaka.
Prema tome, dovoljno je
promatrati gibanje samo jedne toke
tijela, to znai da se translacija krutogtijela svodi na translaciju estice.ROTACIJA TIJELA OKO
NEPOMINE OSI Pri takvom gibanju sve toke tijela opisuju
krune putanje sa sreditem na nepominom
pravcu koji se naziva os rotacije. Pri tome nijenuno da ova os prolazi kroz tijelo.(28)
Poloaj tijelapotpuno je definirankutom rotacije o , to ga bilo koji pravactvezan za tijelo i okomit na os rotacije, zatvara
s poetnim poloajem, tj.:p = (p{t
)
To je jednadba rotacijskog gibanjakrutog tijela.
Kut rotacije je pozitivan ako raste u
smjeru suprotnom gibanju kazaljke na satu.
-
7/27/2019 teh. mehanika
90/142
Jedinica zap je [rad].Promjena kuta rotacije s vremenom, daje kutnu
brzinu w:
(29)
dp
(Q == p
dtJedinica za w je [ rad s-1
] ili [ s-1
].
Kao mjera brzine rotacije tijela u tehnikoj praksi slui i tzv. brzina vrtnje n [min
-1]. To je broj punih okretaja tijela (p = 2n) u minuti, pa
vrijedi:
(30)
2n n nn
O =
60 30Izraz (29) deriviran po vremenu daje kutno ubrzanje a:
(31)
dO
a == O = pdt
Jedinica za a je [ rad s-2
] ili [ s-2
].
Na osnovi gornjih izraza, moe se zakljuiti da postoji potpunaanalogija
izmeu kinematikih veliina kod rotacijskog i translacijskogpravocrtnog
gibanja krutog tijela, tj:
-
7/27/2019 teh. mehanika
91/142
Rotacijsko gibanje Translacijsko pravocrtno gibanje
s
D v
a a
Tako npr. za jednoliko promjenljivu rotaciju tijela (a = konst.),
vrijede
izrazi analogni onim kod pravocrtnog gibanja, tj.:
aV
2
(p = ^Q + G)01 +
(32)
gdje je: ^0 -poetni kut rotacije; d0 -poetna kutna brzina.(33)
(34)
Slijedei prirodni nain definiranjagibanja, lukskoji neke toka A tijela
prijee za vrijeme t, iznosi:s = ry
gdje je: r-polumjer putanje toke.
Brzina toke vima veliinu:v = s = ry = rm
Ova brzina naziva se i obodna brzina.Ubrzanje toke aodreeno je sdvije komponente, ije su veliine:tangencijalna komponenta aT= s = ry = ra(35)22
sv
R ~ R
= rmaN ~
normalna komponentaUkupno ubrzanje iznosi:
(36)
-
7/27/2019 teh. mehanika
92/142
2.2 . 22I2 4a = \ laT + aN = rV a + mKutnoj brzini i kutnom ubrzanju tijela, moese dati i vektorski smisao.
Oba vektora m i alee na osi rotacije, a smjer im je odreen pravilomdesne
ruke. Ako su smjerovi oba vektora jednaki, rotacija tijela je ubrzana a u
suprotnom, rotacija je usporena.RAVNINSKO GIBANJE TIJELA
Ako se sve toke krutog tijela gibaju paralelno nekoj nepominojravnini,
radi se o ravninskom gibanju. Zbog toga je pri prouavanju ravninskoggibanja
tijela mogue promatrati njegov presjek u takvoj referentnoj ravnini.
Moe se jednostavno pokazati da se ravninsko gibanje tijela sastojiod dvaosnovna gibanja u referentnoj ravnini i to: translaciie tijela s nekom
tokom irotacije tijela oko osi koja prolazi tom tokom okomito na referentnuravninu
(rotacija oko toke A).
Takva predodba omoguava da se poloaj tijela u ravnini odredikoordinatama x iyjedne toke A presjeka tijela (translacija) i kutom akoji
neka duina AB zatvara s osi x (rotacija). Sve tri koordinate funkcije suvremena
t, tj.:
x = x(t);y = y (t);p = (p(t) (37)
To su jednadbe ravninskog gibanja krutog tijela.Poloaj toke B tijela, odreen je vektorom poloaja rB, koji se
prema
slici moe zapisati kao:rB =
rA +
AB (38)
Deriviranjem ovog izraza po vremenu, slijedi vektor brzine vBtokeB:vB =
rB =
rA +
AB=
vA +
vBA
(39)
-
7/27/2019 teh. mehanika
93/142
gdje je: vA - vektor brzine toke A (translacija tijela s tokom A),vBA - vektor brzine toke B u odnosu na toku A (rotacija tijela oko
toke A),veliina: vBA =AB o, pravac: vBA 1 AB.
Vektorski izraz (39), mogue je prikazati slikom:
U ravnini gibanja tijela uvijek postoji toka ija je brzina u danomtrenutku vremena jednaka nuli. Ta se toka naziva trenutni pol brzinaP.
Iako toka P mijenja svoj poloaj tijekomgibanja, uvijek je vP=0. Okomica na bilo koji vektor
brzine tijela mora prolaziti kroz trenutni pol brzina, jer
prema slici vrijedi:vA = vAP=AP OvB = vBP=BP OvA B
O =
AP BP
Prema tome, ravninsko gibanje tijela moe sepredoiti i kao rotacija tijela oko trenutnog polabrzina P. Poznavanje poloaja toke P, omoguujejednostavno odreivanjebrzina pojedinih toakatijela. Tipian primjer ravninskog gibanja tijela jenjegovo kotrljanje bez klizanjapo podlozi, pri emuse toka P poklapa s tokom dodira tijela i podloge.
Deriviranjem izraza (39) po vremenu, dobiva se vektor ubrzanja aB
toke B:aB =
vB =
vA +
vBA =
aA +
aBA =
aA +
aBAT +
aBAN
gdje je: aA - vektor ubrzanja toke A (translacija tijela s tokom A),
aBA - vektor ubrzanja toke B u odnosu na toku A (rotacija tijela oko toke A),aBAT- tangencijalna komponenta vektora aBA ,
-
7/27/2019 teh. mehanika
94/142
a, pravac: aBAT1 AB.
ili
(40)
(41)
veliina: aBAT=AB aBAN- normalna komponenta vektora aBA,
2y
BA
AB
veliina:a
BAN
= AB o2, pravac: aBANII AB, smjer: B ^A.
Vektorski izraz (41), mogue je prikazati slikom:
Vektorske jednadbe (39) i (41) mogue je rijeiti analitiki,njihovim
projiciranjem na osi izabranog koordinatnog sustava u ravnini gibanja.
Na taj se
nain dobivaju po dvije skalarne (algebarske) jednadbe brzina i
-
7/27/2019 teh. mehanika
95/142
ubrzanja.
Grafiko rjeavanje vektorskih jednadbi (39) i (41), izvodi secrtanjem
plana brzina i plana ubrzanja. To su zapravo vektorski poligoni u
kojima vektori
brzina odnosno ubrzanja pojedinih toaka tijela, imaju zajednikipoetak.
V. DINAMIKADinamika prouava gibanja tijela pod utjecajem sila. Dakle, ona
dovodi u
vezu osnovne kinematike veliine (poloaj, brzina, ubrzanje) sosnovnom
statikom veliinom (sila).Zadaci dinamike dijele se u dvije skupine:
1. Poznato je gibanje tijela a treba nai sile koje djeluju na tijelo - prvizadatak
2. Poznate su sile a treba odrediti gibanje tijela - drugi (osnovni)
zadatak
1.DINAMIKA ESTICE1.1JEDNADBE GIBANJA
-
7/27/2019 teh. mehanika
96/142
Razmotrimo esticu mase m, iji jepoloaj u prostoru odreen vektorom poloajar. Ako je silaFrezultanta svih vanjskih sila
to djeluju na esticu, tada je njeno ubrzanje au pravcu sile.
Drugi Newtonov zakon glasi:
F = ma = mv = m r (1)
To je diferencijalna jednadba gibanjaestice u vektorskom obliku.
U opem sluaju sila je promjenljiva veliina i ovisi od vremena, poloaja i brzine estice, tj.F = F(t,r,v). Jednadba (1) izraava sepreko
skalarnih jednadbi u nekom od koordinatnih sustava:
Descartesov koordinatni sustavProjiciranjem vektorskog izraza (1) na k. osi, slijede komponente
sile:
Fx = max = mvx = mx
Fy = may = mvy = m y
y y yy
Fz= maz= mvz= mz (2)
To su diferencijalne jednadbe gibanja estice ovom koordinatnomsustavu.
-
7/27/2019 teh. mehanika
97/142
Komponente sile u pravcu tangente Ti
glavne normaleNsu:
Prirodni koordinatni sustav
FT = maT= mv = ms
(3)
2-2v s
FN = maN= m= mN N
R R
Izrazi (3) predstavljaju diferencijalne
jednadbe gibanja estice u ovom koordinatnom sustavu.Rjeavanje zadataka dinamike:
1.2 DALEMBERTOV PRINCIPOvaj princip omoguava u mnogim sluajevima jednostavno
rjeavanjedinamikih zadaa, tako da se jednadbe gibanja predstave u oblikustatikih
jednadbi ravnotee.
Jednadba gibanja estice moe se napisatiu sljedeem obliku:
F = ma iliF - ma =0
-
7/27/2019 teh. mehanika
98/142
iliF+Fn = 0 (4)
gdje je:Fin - fiktivna (zamiljena sila) koja se naziva inercijska sila.Ona je
uvijek usmjerena suprotno ubrzanju a.
Jednadba (1) poznata je pod nazivom jednadba dinamike
ravnotee
estice i predstavlja DAlembertov princip.Iskazan rijeima on glasi:Ako se svim silama to djeluju na esticu u
danom trenutku doda i inercijska sila, onda e takav sustav sila biti u
ravnotei i za njega vrijede zakoni statike.
Inercijska sila prikazuje se preko svojih komponenata u nekom od
koordinatnih sustava. Takve su komponente uvijek suprotne
odgovarajuimubrzanjima.
RAD I SNAGA
Rad sile karakterizira djelovanje sile
na esticu u gibanju.(5)
Elementarni rad sileFkoja djeluje
na esticu pri njenom elementarnom
pomaku drna putanji, definira se kaoskalarni produkt tih vektora, tj:
dW = F dr = Fdrcos a
(6)
Kako je dr * ds - pomak u pravcu
tangente Ti FT= Fcos a - tangencijalna
komponenta sile, slijedi:
dW = FTdsRad sile Wna nekom putu od poloaja 1 do poloaja 2estice na putanji,dobiva se integriranjem izraza (6):z z
(7)
-
7/27/2019 teh. mehanika
99/142
W= J dW= JFTds
1
Dakle, rad sile je skalama veliina, a daje ga samo tangencijalna
komponentasileFT. Rad normalne komponente sileFNjednak je nuli.
Za pravocrtno translacijsko gibanje estice, izraz (7) dobiva oblik:z
W= JFds
Ako jeF = konst., vrijedi:
(8)Analogno, pri rotacijskom gibanju estice okotoke O, rad momenta sile odnosno sprega sila je:
z, z, z,
(10)
W= |Fds = |Frdp = JMdp
(11)
Ako jeM = konst., vrijedi:
W = Mpgdje je:p - kut rotacije [rad].Jedinica za rad je dul [J = Nm].Snaga silePje brzina kojom sila obavlja rad. To je skalarna veliinakojaiznosi:(12)
_dW FTds
P = ---- ==FTvdt dtAko se rad obavlja jednoliko, tada je:(13)
(14)
W
P =
t
Analogno, snaga momenta sile odnosno sprega sila iznosi:
-
7/27/2019 teh. mehanika
100/142
dW Mdp , ^P = ----------------------------------- = ----=MOdt dtgdje je: O - kutna brzina [s
-1].
Jedinica za snagu je vat [W = Js-1
].
Pri radu nastaju gubici. Omjer korisne (dobivene) snagePKi
uloenesnagePU, naziva se iskoristivost:
P
1.3-i T TKINETIKA I POTENCIJALNA ENERGIJAElementarni rad sile moe se izraziti kao:dW = FTds = maTds = m
dvds
= mvdv = dT T
dt(16)
ilidW = dEKmv
gdje je:
kinetika energija(17)
EK=
2
Kinetika energija je energija gibanja i predstavlja skalarnuveliinu s
jedinicom dul [J = Nm].Integriranjem izraza (16) od poloaja 1 do poloaja 2 estice na
putanji,
slijedi:
22
E- E= =W
K2Kl 2 2
(18)
To je zakon kinetike energije, jedan od osnovnih zakona dinamike.On
pokazuje da je promjena kinetike energije estice na nekom putu,
jednaka
radu sile zbog koje se estica giba.
Taj zakon omoguava jednostavno rjeavanje dinamikih zadaa usluajuda sila ovisi samo od poloaja estice na putanji, tj. ako jeF = F(x,y,z).Takve
sile nazivaju se konzervativne sile i za njih vrijedi:(19)
dW = -dEv
gdje je:
-
7/27/2019 teh. mehanika
101/142
EP= EP(x, y, z)- potencijalna energija
Potencijalna energija je skalarna veliina i predstavlja energijupoloaja sjedinicom dul [J = Nm].
Integriranjem izraza (19) od poloaja 1 do poloaja 2 estice naputanji,
slijedi:
2
W= -J dEP= EP1 - EP2 (20)
Ovaj izraz pokazuje da rad konzervativne sile
(npr. gravitacijska, elastina, magnetska itd.) ne ovisiod oblika putanje estice, ve samo o poloaju njenih krajnjih toaka 1 i 2 na putanji.
To ne vrijedi za nekonzervativne sile (npr. trenje, otpor sredine
itd.), koje
nemaju potencijalnu energiju.Potencijalna energija u nekom poloaju estice izraunava se iz radasile.
Pri tome se nulti poloaj u kojem jeEP=0, odreuje dogovorno. Npr.:
Sila teine: G = mg(21)
Potencijalna energija:
EP= mgh
cs
Elastina sila:Fe =gdje je: c - krutost linearno elastine opruge [N/m],
s - promjena duljine opruge
-
7/27/2019 teh. mehanika
102/142
[m].
cs
(22)
2
Potencijalna energija:
EP =
Ako na esticu djeluju samo konzervativne sile, tada se na osnoviizraza
(18) i (20) moe napisati:EK1 +
EP1
EK2 +
EP2
ili EK + EP= konst. (23)
To je zakon odranja mehanike energije, koji pokazuje damehanika
energija (kinetika i potencijalna) u svakom poloaju estice ostaje
konstantna.
Drugi oblik ovoga zakona je:EK2
EK1 +
EP2
EP1 = 0
ili AEK+AEP=0 (24)
Dakle, poveanje kinetike energije estice dovodi do smanjenjanjene
potencijalne energije i obratno.
-
7/27/2019 teh. mehanika
103/142
Ako na esticu djeluju i nekonzervativne sile, tada vrijedi:(25)
AEk + A Ep = WT
gdje je: WT- rad nekonzervativnih sila (npr. rad sile trenja je
negativan).
1.4IMPULS I KOLIINA GIBANJAImpuls sile je dinamika veliina koja opisuje djelovanje sile na
esticutijekom vremena.
(26)
Elementarni impuls sile definira se kao produkt sileFi
elementarnog
intervala vremena dt, tj.:dI = Fdt
Integriranjem ovog izraza unutar nekog intervala vremena (t1 -12),
slijedi
impuls sile I:
(27)
Impuls sile je vektor i prikazuje se pomou komponenata u nekom koordinatnom sustavu.
Jedinica za impuls sile je [Ns].
2koliina gibanja.Koliina gibanjap predstavlja produkt mase m
i brzine v estice, tj.:(28)
p = mv
1Za opisivanje gibanja estice ija je brzina
poznata, koristi se dinamika veliina nazvanaKoliina gibanja je vektor, pravca i smjera kao i brzina. Prikazuje
se
pomou komponenata u nekom koordinatnom sustavu.Jedinica za koliinu gibanja je [kgms-1 = Ns].(29)
-
7/27/2019 teh. mehanika
104/142
Deriviranjem izraza (28) po vremenu, slijedi:
p = mv = ma = F
Dakle, derivacija vektora koliine gibanja po vremenu, jednaka jevektoru sile
koja izaziva to gibanje. Mnoenjem izraza (29) s dt, dobije se:
-
7/27/2019 teh. mehanika
105/142
dp = dl (30)
to nakon integriranja unutar razmatranog intervala vremena daje:p2 - p1 =
I
t2
ili mv2 - mv1 = JFdt (31)t1
Ovo je zakon koliine gibanja. On pokazuje da je promjenakoliine
gibanja estice u nekom intervalu vremena, jednaka impulsusile koja
djeluje
na esticu u istom intervalu vremena.
Oigledno je da bez impulsa sile nema promjene brzine. Prematome, ako
jeI =0, tada vrijedi:p1 = p2(32)
Taj izraz predstavlja zakon odranja koliine gibanja.1.5MOMENT KOLIINE GIBANJA
Analogno statikom momentu sile za tokuMO, u dinamici sedefinira
veliina koja se naziva moment koliine gibanja (ili kinetiki moment)za
tokuLO .
Vektor toga momenta za neku toku O, jednak je vektorskom (ex) produktu vektora poloaja ri vektora koliine gibanjapestice, tj.:
LO = rxp (33)
VektorLOokomit je na ravninu u kojoj leevektori rip(meusobno zatvaraju kut a). Veliinavektora momenta koliine gibanja estice za toku O je:o
LO = rmv sina (34)
a smjer mu je definiran je pravilom desne ruke. Jedinica momenta
koliine21
gibanja je [kgm s" = Nms].
Kako je koliina gibanja pogodna za opisivanje translacije estice,tako je
moment koliine gibanja pogodan za opisivanje njene rotacije.
-
7/27/2019 teh. mehanika
106/142
Deriviranjem izraza (33) po vremenu, slijedi:
-
7/27/2019 teh. mehanika
107/142
LO = r x F = MO (35)
To je zakon momenta koliine gibanja. Iskazan rijeima on glasi: Derivacija momenta koliine gibanja estice po vremenu za neku
toku,
jednaka je momentu sile koja djeluje na esticu za istu toku.
Izraz (35) vrijedi i za bilo koju os koja prolazi kroz toku O. Takonpr. za
osz, skalarni zapis ovog zakona glasi:
L, = Mz (36)
U posebnom sluaju kada jeMO = o (nema momenta vanjskih silaza tokuO), vrijedi: v
LO = konst. (37)Ovaj izraz predstavlja zakon odranja momenta koliine gibanja.2. DINAMIKA KRUTOG TIJELA
2.1 GEOMETRIJA MASA
Gibanje krutog tijela ovisi o masi ali i o ITI
njenoj raspodjeli.
Ukupna masa tijela je:
m = | dm (38)
m
gdje je: dm - masa djelia tijela.Sredite mase tijela je geometrijska toka C, koja se podudara s
teitemtijela T (samo zag = konst.). Njegov poloaj definiran je vektorom
poloaja:rC=[ rdm (39)m
m
gdje je: r- vektor poloaja djelia tijela.Masa tijela je mjera njegovog otpora prema translaciji, dok je mjera
otporaprema rotaciji moment tromosti mase tijela. Njime se uzima u obzir i
raspodjela
mase tijela, a definira prema nekoj osi. Npr. za oszvrijedi:
-
7/27/2019 teh. mehanika
108/142
| r2dm
(40)
sljedei nain:gdje je: r- udaljenost djelia mase dm od osi z.Jedinica momenta tromosti mase je [kgm ].
Moment tromosti mase tijela moe se izraziti i na(41)I7 = mi2
z zgdje je iz- polumjer tromosti [m].
Za tijela razliitih pravilnih oblika, veliine momenta tromosti za osikoje
prolaze kroz sredite njihove mase C, mogu se pronai u tehnikimprirunicima.
Npr.:
kruna ploa ili valjak
Z k
2*i
C
U praksi je esto potrebno odrediti moment tromosti
-
7/27/2019 teh. mehanika
109/142
tijela za neku paralelnu os. U tom se sluaju koristi Steinerovo pravilo:
lA = lz+d2m (42)
gdje je: d- razmak osiziz1(paralelna osiz).
z k
m C
l1 * r* itap
U
Npr.:if* 'fe * (
*lz
3Spomenimo jo da se momenti tromosti za istu os mogu zbrajati,
toolakava njihovo odreivanje kod tijela sloenog oblika koja susastavljena od
dijelova poznatih momenata tromosti.Ona nastupa kada rezultantavanjskih sila
to djeluju na tijelo, prolazi kroz sredite mase C(teite) tijela. Kako su putanje svih toaka tijela utom sluaju sukladne, a vektori brzina i ubrzanje
jednaki, kruto tijelo se moe smatrati esticomjednake mase.
2.2 TRANSLACIJA TIJELA
Prema tome, pri translaciji tijela izrazi i
zakoni dinamike, jednaki su kao i za esticu, a jednadbatranslacijskog gibanja
glasi:
FR = maC (43)
gdje je: aC- ubrzanje sredita mase C tijela.ROTACIJA TIJELA OKO NEPOMINE OSI(44)
-
7/27/2019 teh. mehanika
110/142
Ako kruto tijelo mase m ubrzano
rotira oko osizpod djelovanjem
momentaMz, na svaku njegovu esticumase dm djeluje inercijska silaFin, ijatangencijalna komponenta iznosi:
Mz= aJ r2dm
pa slijedi:Jednadba dinamike ravnotee
tijela u ovom sluaju glasi:YM: =0 Mz-JdFmT r =0
dFnT= aTdm = radmiliMz =
Iz
a=
I^ = hV
gdje su:Iz- moment tromosti mase tijela za os rotacijez,
a, o, (p - kutno ubrzanje, kutna brzina i kut rotacije tijela.
Izraz (45) predstavlja jednadbu rotacije tijela oko nepomine osi.
-
7/27/2019 teh. mehanika
111/142
Valja uoiti da je taj izraz analog