mehanika ukratko

1

1

MEHANIKA II

10. dio:D´Alembertov princip

Zakoni dinamike

2

Newtonovi aksiomi:

• I. aksiom: Zakon inercije

• II. aksiom: Zakon gibanja

• III. aksiom: Zakon akcije i reakcije

(ponavljanje iz statike)

3

I. Aksiom: Zakon inercije

Materijalno tijelo ili to�ka bez djelovanja vanjskih sila zadržava stanje mirovanja ili jednolikog pravocrtnog gibanja sve dok ga vanjske sile ne prisile da takvo stanje promijeni.

Gibanje materijalnog tijela bez djelovanja vanjskih sila naziva se gibanje po inerciji. 4

II. Aksiom: Osnovni zakon dinamike

Produkt mase i ubrzanja materijalnog tijela ili to�ke

kojeg tijelo (to�ka) dobiva djelovanjem sile jednak je

po intenzitetu toj sili. Pravac i smjer ubrzanja

podudara se s pravcem i smjerom sile.

→→

→

→⋅=⋅=

��

��

� ⋅= am

dtv d

mdt

vm dF

5

III. Aksiom: Zakon akcije i reakcije

Dva materijalna tijela (to�ke) djeluju jedan na drugi silama istih intenziteta, na istom pravcu djelovanja, ali suprotnog smjera.

6

Zadaci dinamike:

Prvi zadatak dinamike:Poznat je zakon gibanja materijalne to�ke potrebno je odrediti silu koja djeluje na materijalnu to�ku (F=?; D´Alembertov princip)

Drugi zadatak dinamike:Poznate su sile koje djeluju na materijalnu to�ku, potrebno je odrediti zakon gibanja materijalne to�ke [s=f(t) =?].

2

7

D’Alembertov principD’Alembert je uveo u mehaniku pojam

sile inercije Fin t.j. sile kojom se tijelo

odupire promjeni gibanja.

8

Sila inercije

jednaka je produktu mase m i ubrzanja

i usmjerena je u suprotnom smjeru od

smjera ubrzanja a materijalne to�ke.

)a(mF in→→

−⋅=

inF�

→a

9

( ) 0amam

0FF

)a(mF

aksiom) Newtonov (II. amF

in

in

=−⋅+⋅

=+

−⋅=

⋅=

→→

→→

→→

→→

10

D’Alembertov princip

• Dodamo li nekom sustavu sila i silu inerciju, sustav �e biti u ravnoteži.

• Time zadatak dinamike možemo rješavati pomo�u stati�kih uvjeta ravnoteže.

11

D’Alembertov principSlobodna to�ka:

• Vanjske sile koje djeluju na materijalnu to�ku u ravnoteži su sa silom inercije.

Neslobodna to�ka:

• Vanjske sile (aktivne i reaktivne-sile veza ) koje djeluju na materijalnu to�ku u ravnoteži su sa silama inercije.

0FF in =+→→

0FRF inreakakc =++��

12

Op�i zakoni dinamike materijalne to�ke:

• Zakon o promjeni koli�ine gibanja

• Zakon o promjeni kineti�ke energije

• Zakon o o�uvanju mehani�ke energije

• Zakon o promjeni momenta koli�ine gibanja

3

13


1. Zakon o promjeni koli�ine gibanja

Promjena koli�ine gibanja jednaka jeimpulsu sile.

tFIvmvm 01 ⋅==⋅−⋅→→→→

14

Izvod:

? vmvm

? vmvm

01

01

=⋅−⋅

+⋅=⋅→→

→→

15

�=⋅−⋅� � ⋅=�

� ⋅�=⋅−⋅⋅�=

⋅� �=−�==⋅

⋅� �=�=⋅

�=⋅

→→→→→

→→→→→

→→→→→→

→→→→

→→

i01

t

0i

1

0

t

0i01i

t

0i0

1i

t

0i

10i

i

Ivmvm dtFKd

dtFvmvm dtFKd

dtFKK FdtKd

dt)vm( d

dtF K Fdt

vdm

Fam

16


2. Zakon o promjeni kineti�ke energije

Promjena kineti�ke energije jednaka je radu sila.

→→⋅==⋅−⋅

sFA2vm

2vm 2

021

17

Izvod: Pravac sile F i puta s se podudaraju

�→→

=⋅ iFam

1 cos 0 =α→=α �

18

dsFvdvm

Fvdsdv

m

sFvm21

vm21

Fdtds

dsdv

m

sF2v

m Fdtvd

m

dsFdvvm Fam

i

i

20

21i

si

vv

2

i

s

0i

v

vi

0

1

0

1

0

⋅�=⋅⋅

�=⋅⋅

⋅=⋅−⋅�=⋅⋅

⋅=⋅�=⋅

� ⋅�� =⋅⋅�=⋅

→→

→→

4

19

sFEEE AE 0k1kkk ⋅=−=∆=∆

sRsFEEE t0k1kk ⋅−⋅=−=∆20


3. Zakon o o�uvanju mehani�ke energije

Suma kineti�ke i potencijalne energije pri gibanjumaterijalne to�ke pod djelovanje konzervativnih sila

(bez trenja) je konstantna.

konstantan E E pk =+

0

20

1

21 hgm

2vm

hgm 2vm ⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅

21

2

vm

2

vm0EEE

22

kp00 ⋅

=⋅

+=+=

vm 21

0 hgmEEE 20kp ⋅=+⋅⋅=+=

2vm

2vm

sgmEEE20

2s

kp⋅=⋅+⋅⋅=+=

Iz kinematike vertikalan hitac: g

vh

⋅=

2

20

22


4. Zakon o promjeni momenta koli�ine gibanja

Promjena momenta koli�ine gibanja u vremenu

obzirom na neku to�ku jednaka je stati�kom

momentu sile obzirom na tu istu to�ku.

→→

→→

→→

×=��

��

� ⋅×= Fr

dt

vmr d M

dtLd

OO

23

→→→⋅×= vmrLO

24

Primjeri za:

• D´Alembertov princip• Zakone dinamike:

1. Zakon o promjeni koli�ine gibanja 2. Zakon o promjeni kineti�ke energije3. Zakon o o�uvanju mehani�ke energije4. Zakon o promjeni momenta koli�ine gibanja

5

25

Primjer: D´Alembertov princip

Zbog vlastite težine tijelo M, bez po�etne brzine pada s visine h = 1 500 m uz otpor zraka. Ako je sila otpora jednaka polovici težine odredite:

a) ubrzanje tijela a = ?b) brzinu v nakon 5 sekundi od

po�etka padanja (v = ?) c) vrijeme padanja (T = ?).(Na tijelo djeluju konstantne sile pa �e se

ono gibati jednoliko ubrzano.)

Slobodan pad

26

0v ;0t 0 ==

Fw = 0,5 . Gs = H

2

w

win

y

sm

9,4g21

a 2

gmam

G21

G21

GFGam

0GFF

0F )a

==⋅=⋅

⋅=−=−=⋅

=−+

=�

27

Hs

ta21

tvss :put -

m/s 5,2459,40v

tav v:brzina- konst.a ; 0 a ubrzanje -

gibanje ubrzano jednoliko b)

200

0

=

⋅⋅+⋅+=

=⋅+=

⋅+==>

s 7,2434,6129,4500 12

T aH2

Tt

ta21

00H ta21

tvss :put )c 2200

==⋅=⋅==

⋅⋅++=⋅⋅+⋅+=−

28

Primjer: Kojom �e brzinom tijelo pasti na zemlju ako sezanemarimo otpor zraka, a vrijeme padanja iznosi 3,5 sekunde?

Po�etni uvjet: t = 0 s ; v0 = 0t1 = 3,5 s ; v1 = ?

Zakon o promjeni koli�ine gibanja

s/m 3,345,381,9tgv

tgvv

tgmmvmv

tGmvmv

tFvmvm

1

01

01

01

01

=⋅=⋅=⋅=−

⋅⋅=−⋅=−⋅=−

→→→

29

Primjer: Zaustavljanje automobila

Odredite za koji �e se vremenski interval zaustaviti automobil koji je po�eo ko�iti pri brzini 80 km/h? Koeficijent trenja kota�a na putu iznosi 0,25. 30

? = 0,25 = µ

=

===

t

0 v

m/s 22,223600

80000 km/h 80 v

1

0

�=�=4

1tit

4

1nin RR ; RR

GR RR .2

GR 0GR

0F .1

tnt

nn

y

⋅µ=→⋅µ==→=−

=�

3. Zakon o promjeni koli�ine gibanja

s 981,925,0

22,22g

vt

tGvgG

tGvm0

tRvmvm

0

0

0

t01

=⋅

=⋅µ

=

⋅⋅µ−=⋅−

⋅⋅µ−=⋅−⋅−=⋅−⋅

[ minus (-) jer su sila Rt i put su suprotnom smjeru ]

6

31

Primjer: KosinaSkijaš mase 80 kg iz stanja

mirovanja po�inje s vrha kosine klizati niz kosinu. Duljina kosine je 20 m a visina 1,5 m.

a) Odredite brzinu koju skijaš postigne pri dnu kosine ako koeficijent trenja iznosi 0,05

b) Odredite brzinu koju bi skijaš postigao pri dnu kosine uz pretpostavku da nema trenja (µ = 0)

32997,0cos

075,020

5,1lh

sin

=α

===α

Zadano:m = 80 kgµ = 0,05h = 1,5 ml = 20 m

33

cosGR

RR renja Zakon t2.

cosGR

0cosGR

0F .1

t

nt

n

n

y

α⋅⋅µ=⋅µ=

α⋅==α⋅−

=�

34

( )

( )

( )

m/s 14,3)997,02005,050,1(81,92)coslh(g2v

lcosgmhgm2vm

lcosgmhgm02vm

sinlh lRlsinG2vm

2vm

A2vm

2vm

1

21

21

t

20

21

20

21

=⋅⋅−⋅⋅=α⋅⋅µ−⋅⋅=

⋅α⋅⋅⋅µ−⋅⋅=⋅

⋅α⋅⋅⋅µ−⋅⋅=−⋅

α⋅=⋅−⋅α⋅=⋅−⋅

=⋅−⋅

3. Zakon o promjeni kineti�ke energije:

35

m/s 42,550,181,92hg2v

hgm02vm

hG2vm

2vm

1

21

20

21

=⋅⋅=⋅⋅=

⋅⋅=−⋅

⋅=⋅

−⋅

b) bez trenja µ = 0

Zakon o promjeni kineti�ke energije:

36

b) bez trenja µ = 0

ili Zakon o održanju mehani�ke energije:

)rješenje! (jednako m/s 42,550,181,92hg2v

hgm002

vm

hgm2

mvhgm

2

vm

EEEE

1

0

2

0

2

1

2

0p0k1p1k

1

01

=⋅⋅=⋅⋅=

⋅⋅+=+⋅

⋅⋅+=⋅⋅+⋅

+=+

0h ?v

m 5,1h 0v

11

00

====

7

/ 34 37

Primjer: Pad �ovjeka na bok

Odredite brzinu v1 kojom �ovjek pri padu iz uspravnog položaja padne na bok ako je zadano:- masa �ovjeka m = 100 kg- visina težišta �ovjeka u

uspravnom položaju h = 0,95 m- visina težišta pri padu na bok

hb = 0,15 m

/ 34 38

m/s 96,3696,15v

8,081,92hgm2v

hgm02vm

hG2vm

2vm

m 80,015,095,0hhh

0v ;0t

1

1

21

20

21

b

0

==

⋅⋅=∆⋅⋅⋅=

∆⋅⋅=−⋅

∆⋅=⋅−⋅

=−=−=∆

==

Zakon o promjeni kineti�ke energije:

39

Primjer: Tijelo mase m = 5 kg ba�eno je vertikalno uvis po�etnom brzinom od 25 m/s. Odredite:a) koju visinu dostigne tijelo (h = ?)b) potencijalnu energiju tijela u najvišem položaju (Ep1 = ?).

Zadano:m = 5 kgv0 = 25 m/s h0 = 0

a) v1 = 0 h1 = h = ?

b) Ep1= ?

40

Zadano:m = 5 kgv0 = 25 m/s h0 = 0v1 = 0 h1 = h = ?

a) Zakon o održanju mehani�ke energije:

m85,3181,92

25g2

vhh

2vm

mgh

02vm

mgh0

mgh2vm

mgh2vm

EEEE

220

1

20

1

20

1

0

20

1

21

0p0k1p1k

=⋅

===

⋅=

+⋅

=+

+⋅

=+⋅

+=+

J 5,156285,3181,95E

mghE

?E )b

1p

1p

1p

=⋅⋅=

=

=

41


Ovo je jedan od Keplerovih zakona.

→→

→→

→→

×=��

��

�⋅×

= Frdt

vmr d M

dtLd

OO

42


Primjer 1: Gibanje planeta oko Sunca i sila kojom Sunce privla�i planete

• Putanja planeta je elipsa a Sunce se nalazi u fokusu elipse – to je gibanje pod djelovanjem centralne sile kod koje pravac sile za cijelo vrijeme gibanja prolazi kroz jednu te istu to�ku O.

8

43 44

.konstvdvdvd.konstvd

.konstmvd

.konstsinmvrL

.konstvmrL

0dt

vmrd

dtLd

0FrM

BBAA

0

0

O

O

=⋅=⋅=⋅=⋅

=⋅=α⋅⋅=

=⋅×=

=��

��

� ⋅×=

=×=

→→→

→→→

→→→

To�ka O – Sunce

To�ka M – Zemlja

masa Zemlje m = konstanta

45

Površine moraju biti jednake !

brzina najve�av

brzina najmanja- v

N

A

−

.konstvd =⋅

46

Primjer 2: Prandtlov stolac

• Piruete kod klizanja.konstL

dtLd O ==

→→

0

konst. v mrL =⋅=

konst. v r =⋅

47

Primjer 3:

• Kuglica Mprivezana na nit koja se namotava na tanki vertikalni štap.

100 mvr mvr 1 ⋅=⋅

48

Primjer 4: Matemati�ko njihalo

lg

0lg

sin kut mali za 0sinlg

mgsin l dtd

l m

dinamike)zakon (4. MdtLd

mgsin l mgd Mdtd

l mdtd

lmlL

dtd

lr v;lr

Fr M vmrL

2

22

OO

O

2O

OO

=ω→=ϕ⋅+ϕ

ϕ≅ϕϕ=ϕ⋅+ϕ

⋅ϕ−=ϕ

=

⋅ϕ−=⋅−=

ϕ=ϕ⋅=

ϕ=ω⋅==

×=×=

••

••

→→

→→→→→→

9

49

Diferencijalna jednadžba (oscilacijskog) gibanja matemati�kog njihala:

0 2 =ϕ⋅ω+ϕ••

ti tr2

titr1

21

22

rtrt2rt2

2

rt2

ee ee

i r ir :Rješenja 0r

e:/ 0eer

0

er

21 ⋅ω−⋅ω

••

••

==ϕ==ϕ

⋅ω−=⋅ω==ω+

=⋅ω+⋅

=ϕ⋅ω+ϕ

⋅=ϕ

Rješenje u obliku:rte=ϕ

50

Op�e rješenje diferencijalne jednadžbe sastoji se od zbrojapojedina�nih rješenja pomnoženih konstantama:

Pošto je

te uz

Dobivamo op�e rješenje diferencijalne jednadžbe matemati�kognjihala:

Konstante A i B odre�ujemo iz po�etnih uvjeta gibanja.

ti 2

ti12211 eCeCCC ⋅ω−⋅ω ⋅+⋅=ϕ⋅+ϕ⋅=ϕ

tsintcose ti ω±ω=⋅ω±

tcosBtsinA ω⋅+ω⋅=ϕ

2121 CCB i CCA +=−=

51

Supstitucija za konstante A i B:

�sin RB� cosRA

⋅=⋅=

tcosBtsinA ω⋅+ω⋅=ϕ

( )α+ω⋅=ϕ t sinR

mehanika ukratko

Documents