takuya tsuchiya

Einstein方程式の数値計算法—その手法と数値安定性について—

土屋拓也1

1 早稲田大学理工学術院数学科

2015年 3月 30日

土屋拓也 (早稲田大学理工学術院数学科 ) Einstein方程式の数値計算法 2015年 3月 30日 1 / 34

Table of Contents

1 数値相対論の概要

2 Einstein方程式の時空分解

3 拘束伝播方程式

4 振幅拡大ファクター

5 補正システム

6 C2-adjusted System

7 数値計算








7 数値計算


数値相対論とは

一般相対論における方程式に対して数値計算によって解析を行う分野▶ 広義には一般相対論における方程式全般, 測地線方程式や Einstein 方程式などに対して数値計算を用いて解析を行う, もしくは, そのための準備の計算を行うこと.

▶ 狭義にはEinstein 方程式の (時間) 発展計算の解析を行うこと (初期値構成は含まない).

ここでは, Einstein 方程式の数値計算 (初期値構成と発展計算)を数値相対論と呼ぶことにする.


Einstein方程式

Einstein方程式は

(時空の曲がり具合) = (物質の配置)

というつりあい式を表している.時空の曲がり具合は 4次元 Riemannテンソル (4)Rλ

µων により知ることができる ((µ, ν, · · · ) は (0, 1, 2, 3) を表す). 4次元計量 gµν を用いて表せば

(4)Rλµων = ∂ω

(4)Γλµν − ∂ν

(4)Γλµω + (4)Γλ

σω(4)Γσ

µν − (4)Γλσν

(4)Γσµω,

(4)Γλµν ≡ 1

2gλω(∂µgων + ∂νgων − ∂ωgµν),

となる. ただし, 上下の添え字が一致した場合は和をとる規則 (Einsteinの規約)を用いている. 以下も同様.


Einstein方程式と数値計算

Einstein方程式Gµν + Λgµν = 8πTµν , Gµν ≡ (4)Rµν −

1

2(4)Rgµν . (1)

ここで, (4)Rµν ≡ (4)Rλµλν は 4次元 Ricciテンソル, (4)R ≡ (4)Rµ

µ は 4次元スカラー曲率, gµν は 4次元計量, Λ は宇宙定数, Tµν はエネルギー運動量テンソルを表す.

▶ (1)を解くことで様々な宇宙的な現象を知ることができる.▶ しかし, (1)は非線形連立 2階偏微分方程式なので, 一般解を得ることは非常に困難. ⇒ 数値計算による Dynamicalな計算.

▶ 目的の 1つは重力波の数値計算. 現在, 重力波の直接観測のための大型低温重力波望遠鏡 (KAGRA)の建設が進行中. 観測したデータの解析には, 長時間の高精度な数値計算によって作られるテンプレートが必要.

▶ (1)は時間と空間の入り混じった4次元共変的な形式となっている. ⇒数値計算を行うには, 時間 1次元と空間 3次元に分解 (3+1分解)を行うのが一般的.


時空の分解の必要性とその流れ

▶ Einstein方程式(1)のまま数値計算はできないのか?▶ 数値計算による時間発展を行うには時間軸が固定されねばならない.

⇐ 4次元共変のままでは不可能.▶ 時間軸を取り出す必要がある.▶ Einstein方程式から時間軸を最初にうまく取り出したのは, Arnowitt,

Deser, Misnerによる Einstein方程式の正準形式 (本来は量子重力理論のため).⇒ この時空分解をADM Formulation とよぶ.

▶ 正準形式では幾何構造が良くわからない.⇒ 後に York, Smarr らが, 4次元 Riemann多様体M4 を時間一定面の 3次元 Riemann多様体M3 の連続体であると捉え直して時空分解を行った (現在ではこちらを普通 ADM Formulation とよぶ).


時空の分解

Figure: 時空分解の概念図.M4 を時間一定面のM3 で構築する.

gµν =

(−α2 + βℓβ

ℓ βjβi γij

),

gµν =

(−1/α2 βj/α2

βi/α2 γij − βiβj/α2

)(i, j, · · · ) は空間成分 (1, 2, 3) を表す. α はラプス関数と呼ばれ, 時間の間隔を表す. βi, はシフトベクトルと呼ばれ,空間座標のねじれを表す (α,βi はゲージ変数). γij はM3 上の3次元計量を表す.

また, M3 上の法線ベクトル nµ を用いて外部曲率を以下で定義:

Kij ≡ −Ln(γij)/2. (2)

Lv(Vij) は任意のテンソル Vij に対して, vi 方向に沿った Lie微分を表す.土屋拓也 (早稲田大学理工学術院数学科 ) Einstein方程式の数値計算法 2015年 3月 30日 8 / 34







7 数値計算


法線ベクトルと射影テンソル

接平面 Tp(M3) の法線ベクトル nµ と nµ に直交する射影テンソル

Pµν ≡ gµν + nµnν (3)

を用いると, 任意の 2階のテンソル Vµν は

nµnνVµν , nµP νiVµν , Pµ

iPνjVµν

の 3つの成分に分解できる.⇒ Einstein方程式 (1) (Gµν + Λgµν − 8πTµν = 0) を 3種の成分に分解する.


Riemannテンソルの分解

最初に 4次元 Riemannテンソル (4)Rµλνω を 3次元部分に分解する基本となるのは Gauss-Codazzi方程式と Codazzi-Mainardi方程式:

PµiP

λaP

νjP

ωb(4)Rµλνω = (3)Riajb −KijKab +KbiKaj (4)

nµP λaP

νjP

ωb(4)Rµλνω = −DbKaj +DjKab (5)

である (Di は γij に沿った 3次元共変微分).(4)Rµλνω の nµ, P ν

i を用いた分解は, (4)と(5)に加えもうひとつ

PµiP

νjn

λnω(4)Rµλνω = KjℓKℓi +

1

αDiDjα+

1

αLαn(Kij) (6)

である. これ以外は, Riemannテンソルの対称性から恒等的に 0になる.


Ricciテンソル, スカラー曲率の分解

次に, 4次元 Ricciテンソル (4)Rµν の PµiP

νj 方向, Pµ

inν 方向, nµnν 方

向の分解を考える.(4)-(6)を用いることでそれぞれ,

PµiP

νj(4)Rµν = (3)Rij +KijK − 2KℓiK

ℓj −

1

αDiDjα− 1

αLαn(Kij),

(7)Pµ

inν (4)Rµν = −DℓKi

ℓ +DiK, (8)

nµnν (4)Rµν = −KijKij +

1

αDℓDℓα+

1

αLαn(K), (9)

が得られる.スカラー曲率 (4)R は(7), (9)を用いると

(4)R = (3)R+K2 +KijKij − 2

αDℓDℓα− 2

αLαn(K). (10)


Einstein方程式の時空分解

以上から Einstein方程式 (1)を (γij ,Kij) に対する方程式系に再構築する.nµnν(Gµν + Λgµν − 8πTµν) = 0 に対して (9), (10)を用いると

H ≡ (3)R+K2 −KijKij − 2Λ− 16πρH ≈ 0,

を得る (ρH ≡ nµnνTµν). これはHamilton拘束方程式と呼ばれる.Pµ

inν(Gµν + Λgµν − 8πTµν) = 0 から (8)を用いると

Mi ≡ DjKji −DiK − 8πJi ≈ 0,

が得られる (Ji ≡ nµP νiTµν). これは運動量拘束方程式と呼ばれる.

(7)より

∂tKij = α((3)Rij +KKij − 2KiℓKℓj)−DiDjα+ Lβ(Kij)− Λγij

− 8π{Sij + (S − ρH)γij/2},

が得られる (Sij ≡ PµiP

νjTµν , S ≡ Si

j).土屋拓也 (早稲田大学理工学術院数学科 ) Einstein方程式の数値計算法 2015年 3月 30日 13 / 34

Einstein方程式の時空分解 (まとめ)

ADM Formulation(York-Smarr)H ≡ (3)R+K2 −KijK

ij − 2Λ− 16πρH ≈ 0, (11)Mi ≡ DjK

ji −DiK − 8πJi ≈ 0, (12)

∂tγij = −2αKij + Lβ(γij), (13)∂tKij = α((3)Rij +KKij − 2KiℓK

ℓj)−DiDjα+ Lβ(Kij)− Λγij

− 8π{Sij + (S − ρH)γij/2}. (14)

(13)は外部曲率の定義式 (2) より導ける.実際に数値計算を行う際には, 解くのは(13)と (14)であり, (11)と (12)は計算のチェック (正しく計算が行われているか)に用いる.


数値相対論における Formulation問題Einstein方程式から時空分解によって得られる発展方程式系は一意に決まらない (数学的には, ADM Formulation(11)-(14) の同値変形であれば何でも良いため).ただし, 発展方程式系の形によって数値安定性は当然異なる.

数値相対論では, 数値スキームや初期値, 境界値などの方程式系以外の条件をうまく設定したとしても, 拘束値の破れが増大し, 計算が止まってしまう.

これを数値相対論におけるFormulation問題と呼ぶ.ADM Formulation以外の Formulationを構築する必要がある.(最近では普通 Baumgarte-Shapiro-Shibata-Nakamura (BSSN)

Formulation が用いられる (今回は省略)).数値安定な方程式系をどのように構築すべきか.








7 数値計算


拘束伝播方程式

方程式系の数値安定性を解析する手段として, 拘束伝播方程式を用いるのが良い.拘束伝播方程式とは拘束値の時間発展方程式のこと.

拘束伝播方程式

∂tH = Lβ(H) + 2αKH− 2α(DiMi)− 4(Diα)Mi, (15)

∂tMi = Lβ(Mi)−1

2αDiH− (Diα)H+ αKMi. (16)

各発展方程式が拘束値の線形和で表現できているので, 初期に拘束値が満たされていれば (H = Mi = 0), 時間発展後も満たされる(∂tH = ∂tMi = 0) ことが保証されている.








7 数値計算


漸近安定な系の概念

a(= 0) を定数とするある発展方程式 ∂tu = au の解は, C0 を定数としてu = C0e

at となる. よって, t → ∞ で

a > 0 ⇒ uは発散,

a < 0 ⇒ uは0に収束,

となる.固有値 λi = 0 をもつ行列 A = (aij) を定係数とする, ある発展方程式系∂tu

i = aijuj の解は C0 を定数として ui = C0e

λit となる (ui はもとの発展方程式系を標準形にしたときの変数). よって, t → ∞ で

λi > 0 ⇒ 解は発散,

λi < 0 ⇒ 解は0に収束,

となる.⇒ ADM Formulationの拘束値 (H, Mi)が漸近的に 0に収束していくように同値変形してやればよい.


Constraint Amplification Factors(CAFs)

Constraint Amplification Factors(CAFs)解析 (米田 -真貝)拘束伝播方程式の係数行列の固有値によって, 数値安定性の構造を解析する方法.

拘束伝播方程式 ∂tCa(x, t) = g(Ca, ∂iC

a, . . . ) に対して, その Fourier変換した方程式

∂tCa = Ma

bCb, where Ca(x, t) =

∫C(x, t)a exp(ik · x)d3k (17)

の係数行列 Mab の固有値に対して,

▶ 固有値の real-partが負 ⇒ 安定▶ 固有値の real-partが正 ⇒ 不安定

固有値の imaginary-partは安定性を悪化させず, 数値誤差の伝播を担うと考えられる.また一般的には, 固有値の解析をするには背景時空を固定する必要あり.


ADM Formulationの CAFsの例拘束伝播方程式は

∂t

(HMi

)=

(2αK + Lβ −2Dj − 4(Djα)

−(Diα)− α(Di)/2 Lβδji + αKδj i

)(HMj

). (18)

▶ Fourier変換▶ flatな時空 (α = 1, βi = Kij = 0, γij = δij)

から以下が得られる:

∂t

(HMi

)=

(0 −2ikj

−12 iki 0

)(HMj

). (19)

係数行列の固有値 (CAFs)は

(0, 0,±i|k|) (20)

よって, 不安定ではないと考えられるが, 安定であるともいえない.土屋拓也 (早稲田大学理工学術院数学科 ) Einstein方程式の数値計算法 2015年 3月 30日 21 / 34







7 数値計算


補正システム

拘束条件付き発展方程式系において, 発展方程式に拘束値を付加する方法 (Constraint Damping Technique)は制御工学などでは一般的な方法(ペナルティー法など).拘束値付加による拘束伝播方程式の変化については, 以下が一般的.

補正システムある発展方程式に拘束方程式の任意の階数の微分の線形和で作られる項を付加する:

∂tui = [Original Terms] + f(Ci, ∂jC

i, · · · ) (21)

このとき, 拘束伝播方程式は

∂tCi = [Original Terms] + g(Ci, ∂jC

i, · · · ) (22)

と変化する.

(22)の CAFsの解析より, もとの方程式系よりも安定であるかがわかる.土屋拓也 (早稲田大学理工学術院数学科 ) Einstein方程式の数値計算法 2015年 3月 30日 23 / 34

ADM Formulationにおける補正システム例

ADM Formulationに対して, 以下のように修正する.

Detweiler System (Detweiler)H = [Original terms], (23)

Mi = [Original terms], (24)∂tγij = [Original terms]− κDα

3γijH, (25)∂tKij = [Original terms] + κDα

3(Kij −Kγij/3)H+ κDα

2[3(D(iα)Mj) − (Dℓα)Mℓγij ]

+ κDα3[D(iMj) −DℓMℓγij/3]. (26)

κD は実定数.


補正システム例 1の CAFs

Detweiler System(23)-(26) の▶ Fourier変換▶ flat背景

による拘束伝播方程式は以下:

拘束伝播方程式 (Detweiler System)

∂t

(HMi

)=

(−2κD|k|2 −2ikj−iki/2 −κD|k|2δij − κDkikj/6

)(HMj

). (27)

赤文字は補正項から生成された項.CAFsは

(−κD|k|2/2,−κD|k|2/2,−4κD|k|2/3±√

|k|2{−1 + 4κD|k|2/9}) (28)

κD > 0 であれば, 固有値すべてが負. よって, (κD > 0のもとで)安定である.


補正システムの問題点

補正システムでは, 拘束値付加による数値安定性の議論ができる.しかし,

▶ どのように付加項 f(Ci, ∂jCi, · · · ) を加えればよいか？

▶ 計算とともに背景時空が変化していく場合にこの解析は正しいのか？

という問題が生じている.そのため, ⇒ 背景時空に依存しない付加項を設定する 1つの方法として,C2-adjusted System.








7 数値計算


C2-adjusted System

ある拘束条件付き発展方程式{∂tu

i = f i(ui, ∂jui, . . . )

Ci = gi(ui, ∂jui, . . . ) ≈ 0

(29)

に対して, 以下のように発展方程式を修正する:

∂tui = f i(ui, ∂ju

i, . . . )−κijδC2

δuj(30)

where, C2 =

∫CiCid

3x, κij : Positive definite (31)

このとき, C2 の拘束伝播方程式は以下のようになる:

∂tC2 = [Original terms]−κij

(δC2

δui

)(δC2

δuj

)< 0 (32)

(この手法は Fiskeにより提案された)土屋拓也 (早稲田大学理工学術院数学科 ) Einstein方程式の数値計算法 2015年 3月 30日 28 / 34

C2-adjusted ADM Formulation

C2-adjusted Systemを ADM Formulationに適用する.

C2-adjusted ADM Formulation(土屋 -米田 -真貝)H = [Original Terms], (33)

Mi = [Original Terms], (34)

∂tγij = [Original Terms]− κγijmnδC2

δγmn, (35)

∂tKij = [Original Terms]− κKijmnδC2

δKmn. (36)

Lagrange乗数係数 κγijmn, κKijmn は正定値とする. ここで

C2 =

∫ {H2 + γijMiMj

}d3x (37)


拘束伝播方程式 (C2-adjusted ADM Formulation)

背景時空を flat, Lagrange乗数係数をκγijmn = κγδimδjn, κKijmn = κKδimδjn (κγ > 0, κK > 0) としたとき, 各拘束伝播方程式は以下のようになる:

拘束伝播方程式 (C2-adjusted ADM Formulation)∂tH = [Original Terms]−2κγ∆

2H (38)∂tMi = [Original Terms]+κK∆Mi + 3κK∂j∂i(M)j (39)

補正項の部分にdamping項が現れる. これが拘束値の破れ減少に大きな影響を与えると考えられる.


CAFs(C2-adjusted ADM Formulation)

κγ = κK = κ として, Fourier変換した拘束伝搬方程式は

∂t

(HMi

)=

(−4κ|k|4 −2ikj−1

2 iki κ(−|k|2δij − 3kikj)

)(HMj

). (40)

この係数行列の固有値は

(−κ|k|2,−κ|k|2, λ+, λ−), (41)where λ± = −2κ|k|2(|k|2 + 1)± |k|

√−1 + 4κ2|k|2(|k|2 − 1)2. (42)

このとき κ > 0 ならば

λ+ + λ− < 0 and λ+λ− > 0. (43)

そのため, λ± はともに実部が負 ⇒ 安定.








7 数値計算


Test計量

Polarized Gowdy waveds2 = t−1/2eλ/2(−dt2 + dx2) + t(ePdy2 + e−Pdz2) (44)P = J0(2πt) cos(2πx) (45)λ = −2πtJ0(2πt)J1(2πt) cos2(2πx) + 2π2t2[J2

0 (2πt)

+ J21 (2πt)]− (1/2){(2π)2[J2

0 (2π) + J21 (2π)]

− 2πJ0(2π)J1(2π)} (46)

ここで, Jn は Bessel関数.この Einstein方程式の真空の厳密解は, t = 0 から宇宙が膨張していく様子を表したもの.

▶ ゲージ条件 (座標条件) : ∂tα = −α2K, βi = 0.▶ 境界条件: 周期境界条件.▶ 数値スキーム: 差分法 +second order iterative Crank-Nicolson.


数値結果

▶ C2-adjusted ADM Formulationの場合 (青線)のほうが, StandardADM Formualtionの場合 (赤線)や Detweiler System(緑線) よりも計算時間が伸びた

▶ C2-adjusted ADM Formulationの拘束値の破れが減少した土屋拓也 (早稲田大学理工学術院数学科 ) Einstein方程式の数値計算法 2015年 3月 30日 34 / 34

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