százalékszámítás, törtek

MATEKOTTHON.BLOGSPOT.COM

2010.

Százalékszámítás Műveletek törtekkel,

százalékszámítás

Ivony Ildikó

C O P Y R I G H T 2 0 1 0 , I V O N Y I L D I K Ó

http:matekotthon.blogspot.com 2010, Ivony Ildikó oldal 2

Százalékszámítás

A matematika leggyakorlatiasabb része, a hétköznapokban leginkább használt területe a

százalékszámítás. Oda-vissza jól kell ismernie mindenkinek, például az árváltozások miatt, a

kamatok kiszámítása miatt, vagy a háztartási anyagok százalékos összetételének

meghatározása érdekében.

A százalékszámítási feladatok megoldásához előfeltétel a törtes műveletek helyes

elvégzése. Ezért a könyv első részében a törtszámokkal végzett műveleteket magyarázom

el.

A második részben a százalékszámítást értelmezzük, s rengeteg gyakorlati kérdésben

alkalmazzuk.

Tartalom Törtek értelmezése .............................................................................................................................3

Törtek összeadása...............................................................................................................................4

Szorzás, osztás ....................................................................................................................................8

Reciprok ........................................................................................................................................... 14

Törtrész kiszámítása.......................................................................................................................... 18

Százalékérték kiszámítása ................................................................................................................. 19

Egészrész kiszámítása ....................................................................................................................... 24

Százalékalap kiszámítása ................................................................................................................... 26

Százalékláb kiszámítása ..................................................................................................................... 30

Összefoglalás .................................................................................................................................... 35


Törtek értelmezése

Két tonna arany harmad részét szállították Piripócsra. Hogyan írjuk le, hogy mennyi aranyat

vittek Piripócsra?

Több lehetőség is van az elszállított arany mennyiségének leírására:

2:3 vagy 32

.

Mindkettő ugyanazt jelenti: valaminek a mennyisége 2, s ezt a mennyiséget 3 egyenlő részre

osztották, s egy ilyen harmadrésszel történik valami:

Másnap 3 tonna arany ötödrészét szállították Piripócsra:

2

32

3

53


Törtek összeadása Mennyi aranyat szállítottak összesen Piripócsra?

Erre a kérdésre összeadással tudjuk meg a választ: ?53

32

Másképpen: 2:3 + 3:5 = ?

Föl lehet-e írni másképpen is a 2:3 osztásnak az eredményét?

Ha kétszer több mennyiséget kétszer akkora részre osztunk, ugyanannyi lesz a hányados.

Ha ötször akkora mennyiséget ötször annyi felé osztunk, ugyanannyi lesz a hányados.

2:3 = 4:6 = 10:15

1510

64

32

4

2

2:3

4:6

10

10:15


Ezt a bővítést akármeddig folytathatjuk. Ha olyan példa adódik, ahol 400-zal kell bővíteni, az

így néz majd ki: 2:3 = 800:1200, azaz 1200800

32 .

Most nézzük a másik osztást is: 3:5

3:5 = 6:10 = 9:15 Kétszer akkora számot kétszer annyi felé osztunk, ugyanannyit kapunk.

Háromszor akkora számot háromszor annyi felé osztunk, ugyanannyit kapunk.

159

106

53

Ezekkel a bővítésekkel elérhetjük, hogy mind a két mennyiség ugyannyi felé legyen osztva:

159

53

1510

32

és

Az eredeti kérdés ez volt: 2 tonna arany harmad része meg 3 tonna arany ötöd része

mennyi. Ezt most átfogalmaztuk magunknak erre a kérdésre: tíz tonna arany tizenötöd

része meg kilenc tonna arany tizenötöd része mennyi arany?

3

6

9

3:5

6:10

9:15


Ezt az átfogalmazást nevezzük közös nevezőre hozásnak.

10:15 + 9:15 = (10 + 9):15 = 19:15

1519

15910

159

1510

Így Piripócson 19 tonna arany tizenötöd része lesz, röviden tizenkilenc tizenötöd tonna

arany.

Összefoglalva: Osztásokat úgy tudunk összeadni, hogy addig bővítünk, amíg azonos lesz

az osztó, majd az osztandókat összeadjuk.

Törteket úgy tudunk összeadni, hogy addig bővítünk, amíg azonos lesz a nevező, majd a

számlálókat összeadjuk.

A két mondat ugyanazt jelenti és ugyanazt az összefüggést fejezi ki. Fogsz még ilyennel

találkozni a matematikában, amikor ugyanannak a dolognak több neve is van. Például egy

szám második hatványát a szám négyzetének is nevezzük, vagy a harmadik hatványt

köbnek is nevezzük, vagy a századrészt százaléknak is nevezzük.

Törtek egyszerűsítése

A bővítés fordítottja az egyszerűsítés:

32

2:62:4

64

4

2

4:6

2:3


Példa

Mikor kap több szőlőt egy gyerek?

A) Ha 8 kg szőlőt 10 gyerek között osztunk szét?

B) Ha 4 kg szőlőt 5 gyerek között osztunk szét?

Fele annyi szőlőt fele annyi gyerek kap meg, így ugyanannyi jut egy gyereknek:

54

2:102:8

108

Röviden: tört egyszerűsítésekor ugyanazzal a számmal osztjuk a számlálót is, és a nevezőt is.

Példák

65

7:427:35

4235

43

8:328:24

3224

54

5:255:20

2520

Kivonás: ugyanúgy járunk el, mint összeadásnál, vagyis közös nevezőre hozunk, és a

számlálókkal elvégezzük a kivonást:

8

4

8:10

4:5


15115

910159

1510

53

32

Szorzás, osztás A) Tört szorzása egész számmal

.34912934

394

94

94

94

Törtet úgy szorzunk egész számmal, hogy a számlálóját szorozzuk az egész számmal. A

szorzás után, ha lehet, egyszerűsítjük a törtet.

(Ezt az egyszerűsítést szorzás előtt is megtehetjük:

34

3:943

94

Amikor a nevezőben maradék nélkül megvan a szorzótényező, akkor röviden úgy is

elvégezhetjük a műveletet, hogy a nevezőt osztjuk.)

4:9 + 4:9 + 4:9 = (4 + 4 + 4):9 = 12:9


Példák:

313219121713

72113

Másik példa:

14132826282628

)2(13

)2(2813

)2(28

821

)2(288

2821

272

43

313

7:21137

2113

Ha heted akkora számmal osztunk, akkor hétszer akkora lesz az eredmény.

-1 0

1413

1


B) Tört osztása egész számmal

10 alma negyedét Peti kapta, ő pedig az almái ötödét Évinek adta. Mennyi almája van

Évinek?

10:4:5 alma jutott Évinek.

10:4:5 = 10:20 = 1:2

21

2010

54105:

410

Peti a 10 alma negyedét kapta, azaz 2 és fél almát. Ezt felosztotta 5 egyenlő részre – ez így

öt darab fél alma. S egy ilyen fél almát adott Évinek.

Összefoglalva: törtet úgy (is) oszthatunk egész számmal, hogy a tört nevezőjét szorozzuk a

számmal.

Példa:

92184294

2:94

10

10:4

10:4:5 =

10:20

9292:4

2:94

Ez most egy olyan osztás, amikor a számlálóban maradék nélkül megvan az osztó. Ilyenkor úgy is kiszámolhatjuk a műveletet, hogy a számlálót osztjuk.


Tört szorzása törttel

41

41

41

43

Ha 3 egészet 4 felé osztunk ugyanannyit kapunk, mintha 1 egészet osztanánk 4-felé és 3

darab ilyen negyedrészt fognánk össze.

Törtek szorzását négyzet területével szemléltetjük:

A zöld négyzet területe negyede az eredeti egységnégyzet területének. Négyzet területét

pedig úgy számoljuk ki, hogy oldal szorozva oldallal:

41

21

21

0 1 2 3

41

41

41

43

1

1 21

21


Az eredeti egységnégyzet két hatod része zöld. Ezt a területet úgy számoljuk ki, hogy

62

32

21

Most az eredeti egységnégyzet területének hat tizenketted része zöld. Ezt a zöld területet

úgy kell, kiszámolni, hogy 126

43

32

.

A három példából azt szűrhetjük le, hogy törtek szorzásakor a számlálók szorzata, illetve a

nevezők szorzata lesz az eredmény számlálója, illetve nevezője.

Nézzük meg másképpen is törtek szorzását!

A törttel való szorzást visszavezethetjük egész számmal való szorzásra és osztásra. A

törtvonal osztást jelent, s ezt írjuk át:

1

1

21

32

1

1

32

43


4:332

43

32

Már láttuk, hogy egész számmal úgy szorzunk, hogy a tört számlálóját szorozzuk az egész

számmal:

363

32

Egész számmal úgy osztunk, hogy a tört nevezőjét szorozzuk az egésszel:

1264:

36

Természetesen ugyanazt az eredményt kaptuk, mint az előbb. Nézzünk meg egy másik

példát is:

3512

74

53

:35127:

512)

5124

53)

7:453

74

53

Tehát

b

a

Törtet törttel úgy szorzunk, hogy számlálót a számlálóval, nevezőt a nevezővel szorozzuk.

Bármilyen szám is az első tényező, mindig elvégezhetjük a törttel való szorzást így:

)0(

:

y

yxAyxA


Reciprok Van egy kitüntetett, fontos szorzás a törtek körében: amikor két törtszám szorzata éppen 1.

Például:

12424

38

83

122

12

21

14545

59

95

11212

34

43

Ha két törtszám szorzata 1, akkor a számokat egymás reciprokának nevezzük.

43

reciproka 34

, illetve fordítva is, 34

reciproka 43

.

Általánosan is: x és y számokat egymás reciprokának nevezzük, ha szorzatuk 1. A nullának

nincs reciproka (semmivel sem tudjuk úgy megszorozni, hogy 1 legyen az eredmény).

Osztás törttel

A törtszámmal való osztás megértéséhez nagyon jól kell ismerni az osztás tulajdonságait:

- Hogyan változik a hányados, ha az osztó fele akkorára változik?

8:8 = 1

8:4 = 2

8:2 = 4

8:1 = 8

8:½ = 16

8:¼ = 32

stb.

Ha egy osztásban az osztó felére változik, akkor a hányados a kétszeresére változik.

- Hogyan változik a hányados, ha az osztó a kétszeresére változik?

20:5 = 4

20:10 = 2


20:20 = 1

20:40 = ½

20:80 = ¼

Ha egy osztásban kétszeresére változik az osztó, akkor felére változik a hányados.

Általában is: ha egy osztásban felére, harmadára, stb. változik az osztó, akkor kétszeresére, háromszorosára, stb. változik a hányados.

Fordítva is: ha egy osztásban kétszeresére, háromszorosára, stb. változik az osztó, akkor felére, harmadára, stb. változik a hányados.

A törttel való osztáshoz ezt a két tulajdonságot kell alkalmazni:

Például:

3205

34

53:4

343:4

41:4

?53:4

Az utolsó lépés részletezve: 3 helyett 53

-del osztunk. Ez az ötöd része a 3-nak. Ezért írtam

a téglalapba, hogy ötöd részére változott az osztó. Ha ötöd akkora számmal osztunk, mint az

előbb, akkor ötször akkora eredményt kapunk, mint az előbb.

Összegezve: úgy osztunk egy számot 53

-del, hogy osztunk 3-mal, a számlálóval, majd

szorzunk 5-tel, a nevezővel. Ez pontosan az 35

-dal való szorzás:

320

354

Háromszorosára változott az osztó, harmadrészére változik a hányados.

Ötöd részére változott az osztó, ötször akkora lesz a hányados.


Másik példát is nézzünk:

7488

76

87:6

767:6

?87:6

Az utolsó sorban 7 helyett 87

-dal osztunk, vagyis egy nyolcad akkora számmal. Ezért lesz

nyolcszor akkora az eredmény.

786

7868

7687:6

87:6

Összegezve: úgy osztunk 87

-dal, hogy szorzunk a reciprokával, a 78

-del.

Természetesen bármilyen más törtszámot is választottunk volna osztónak, ugyanez derült

volna ki: törttel úgy osztunk, hogy szorzunk a reciprokával.

Eddig az osztandó egész szám volt. Most nézzük meg a törttel való osztást akkor is, ha az

osztandó is tört!

27205

274

53:

94

2743:

94

941:

94

?53:

94

Háromszor akkora az osztó, így harmad akkora lesz a hányados.

Ötöd akkora az osztó, így ötször annyi lesz a hányados.


Összegezve: teljesen mindegy, hogy egész vagy tört az osztandó – mindig az osztóra kell

figyelni. Most is úgy osztottunk törttel, hogy osztottunk a számlálóval, szoroztunk a

nevezővel:

35

943:5

9453:

94

53:

94

Törttel úgy osztunk, hogy szorzunk az osztó reciprokával.

A törtekkel végzett alapműveletek rutinos kiszámolásához sok gyakorlás kell. Nézzünk egy

összetettebb gyakorló feladatot!

1847

1848

189

188

38

21

94

38

1540

310

54

103:

54)

94

32

32

32)

103:

54

21

32

2

2

b

a


Törtrész kiszámítása

Keressük meg a számegyenesen a 43

helyét!

Az egységnek választott szakaszt 4 egyenlő részre osztjuk, megjelölünk az egyenlő

részekből 3-at. Így az egységnyi szakasz 43

részét határoztuk meg. Ugyanígy kell a

számegyenesen is megkeresni a 43

szám helyét, ezt mutatja a második ábra.

Az első ábráról mennyiség törtrészének a kiszámítását olvashatjuk le, ahol a mennyiség

most az 1 egység hosszú szakasz volt.

A második rajzon a 43

szám helyét rajzoltuk meg a számegyenesen.

Bármilyen más mennyiségnek is így kell a törtrészét kiszámolni, ahogy az egység szakasz

törtrészét meghatároztuk. Például:

52 kg 43

része = 52:4·3 kg = 13·3 kg = 39 kg

48 óra 43

része = 48:4·3 óra = 12·3 óra = 36 óra

0 1

1 egész rész

41

rész

43

rész

43


130 t 107

része = 130:10·7 t = 91 t

3800 m 1009

része = 3800:100·9 m = 342 m

Törtrészt úgy számolunk, hogy a mennyiséget osztjuk a nevezővel, majd szorzunk a

számlálóval. Ez éppen a törttel való szorzás:

34210034200

10093800

9110910

107130

364144

4348

394156

4352

Tehát röviden: törtrészt szorzással számolunk.

Százalékérték kiszámítása

Van egy kitüntetett törtrész, ami a gyakorlati életben sokszor fordul elő: a 100 egyenlő részre

osztás, vagyis a századrész kiszámítása. Ennek másik nevet is adtak: százalék. A századrészeket százaléknak nevezzük.

Az előbbi példákból az utolsóban 9 századrészt számítottunk ki. Ezt megkérdezhettük volna

úgy is, hogy mennyi 3800 méter 9 százaléka. Röviden: 9%. A %-jellel a századrészeket rövidítjük.

Elnevezések:

3800 m alap

9 százalékláb

342 m százalékérték.


A 3800m 9%-át többféleképpen is kiszámíthatjuk:

09,03800)10093800)

9100:3800)

c

b

a

Mind a három sor ugyanazt jelenti: a mennyiséget 100 egyenlő részre osztjuk, majd 9

darabot „összefogunk”, összeadunk az egyenlő részekből. Röviden ezt úgy mondjuk, hogy

kiszámoltuk a mennyiség 9%-át:

34209,03800)

34210034200

10093800

10093800)

3429389100:3800)

c

b

a

A feladatmegoldó dönti el, hogy a lehetőségek közül melyik úton-módon számítja ki a

mennyiség valahány százalékát.

Nézzünk egy másik példát is!

A 2 gigabájtos pendrive-nak 35% tárterülete foglalt. Mennyi adatot menthetünk még a pendrive-ra?

alap = 2GB = 100%

foglalt terület = 35%

szabad terület = 100% - 35% = 65%

százalékláb = 65

Átfogalmazva a kérdést: mennyi 2GB 65%-a?


3,165,02)

3,1100130

100652)

3,165100:2)

c

b

a

Tehát 1,3 GB szabad tárterületünk van még.

A továbbiakban a 3 számolási lehetőség közül a legegyszerűbbet alkalmazzuk majd: a

százalékláb tizedestört alakjával való szorzást: 65% 0,65 rész.

Százalékértéket röviden a százalékláb tizedestört alakjával való szorzással számolunk.

Példák:

a) 120 liter 89%-a = 120·0,89 liter = 106,8 liter.

b) 56000 forint 47%-a = 56000·0,47 forint = 26320 forint.

c) 8880 m 90%-a = 8880·0,9 = 7992 m.

Áremelkedés

Egy 7800 forintos album árát 10%-kal felemelték. Mennyibe kerül így az album?

alap = 7800 Ft

emelkedés = 10%

fizetendő = 100% + 10% = 110%

százalékláb = 110.

85801,17800)

8580100

8580001001107800)

8580110100:7800)

c

b

a

Tehát 8580 forint az album új ára.

110% 1,1-szeres


Példák:

160000 forintot teszünk a bankba, évi 8%-os kamatra. Mennyi pénzt vehetünk ki 1 év elteltével?

alap = 160000 Ft

emelkedés = 8 %

százalékláb = 100 + 8 = 108.

160000·1,08 = 172800

Tehát 172800 Ft-ot kapunk 1 év után.

A 2600 forintos könyv árát felemelték 12%-kal; majd két hónap múlva ismét felemelték az árát 3%-kal. Mennyibe kerül ezek után a könyv?

I. alap = 2600 Ft

emelkedés = 12%

százalékláb = 112

érték = 2600·1,12 = 2912

Az első emelkedés után 2912 Ft a könyv.

II. alap = 2912 Ft

emelkedés = 3%

százalékláb = 103

érték = 2912·1,03 = 2999,36

kerekítve: 3000 Ft.

Tehát a második áremelés után 3000 Ft a könyv ára.

Két megjegyzés:

1. Az áremelkedéses feladatokat úgy is ki lehet számítani, hogy első lépésben 1%-ot

számítunk, majd ezt szorozzuk az emelkedés mértékével, s végül hozzáadjuk az

alaphoz:

2600:100 = 26 (1%)

26·12 = 312 (12%) 2600 + 312 = 2912 (112%)


2. Ez a kétszeres áremelkedéses feladat egy sorban is megoldható:

112%, majd 103% kiszámítása:

2600·1,12·1,03 = 2999,36.

Árleszállítás

A 182000 forintos laptop árát 7%-kal leszállították. Mennyit kell így fizetni a gépért?

alap = 182000 Ft

árleszállítás = 7%

fizetendő = 100% - 7% = 93%

százalékláb = 93

érték = 182000·0,93 = 169260

Tehát 169260 Ft a laptop új ára.

A feladat úgy is megoldható, hogy először 1%-ot számítunk, majd 7%-ot, s ezt levonjuk az

eredeti árból:

182000:100 = 1820 (1%)

1820·7 = 12740 (7%)

182000 – 12740 = 168260 (93%)

A 2400000 forintos gép minden évben 15%-ot veszít értékéből (amortizálódik). Egy év elteltével mennyi a gép értéke?

alap = 2400000

csökkenés = 15%

százalékláb = 100 – 15 = 85

érték = 2400000·0,85 = 2040000

Tehát 1 év elteltével a gép értéke 2040000 Ft.


Egészrész kiszámítása

Egy kert területének 43 része 780m2. Mennyi az egész kert területe?

41

rész = 780:3 = 260

44

rész = 260·4 = 1040.

Tehát a kert területe 1040m2.

Az egész területet, az egészrészt úgy számoltuk ki, hogy a mennyiséget osztottuk a

számlálóval (3-mal), majd szoroztunk a nevezővel (4-gyel).

Ha visszalapozol a könyv elejére, akkor biztosan emlékszel majd, hogy amikor a tört

számlálójával osztunk, és a nevezőjével szorzunk, az éppen a törttel való osztás.

10403

312034780

34780

43:780

43:78043:780

278043

m

rész


Ha egy mennyiség törtrészét ismerjük, akkor a törttel való osztással számoljuk ki az egész

mennyiséget.

Másik példa:

Egy osztály 107 része fiú. Mennyi az osztálylétszám, ha 6 lány jár az osztályba?

Az egész osztály a 1010

rész. Ebből 107

rész a fiú. Így a lányok száma 103

része az

osztálynak.

103

rész 6 fő

101

rész 2 fő

1010

rész 20 fő.

Tehát az osztálylétszám 20.

Rövidebben is megoldható a feladat: az a kérdés, hogy melyik szám 103

része 6.

Egészrészt osztással számolunk:

20360

3106

103:6

rész107

6 lány


Százalékalap kiszámítása Ugyanígy kell számolni, ha a törtrész századokban van megadva, vagyis ha a százaléklábat

és az értéket ismerjük:

Egy kiránduláson 24km-t tettünk meg, ami a tervezett út 30%-a. Mekkora a tervezett útvonal?

kmrész

kmrész

kmrész

80100100

8,01001

2410030

Egész részt osztással számolunk:

80302400

3010024

10030:24

Ugyanez tizedestört alakkal:

24:0,3 = 80

Ha egy mennyiség 30%-át ismerjük, akkor legrövidebben 0,3-del való osztással számolhatjuk ki ezt a mennyiséget.

Példa:

A gomba 90%-a víz. Mennyi friss gombából lesz 1,5kg szárított gomba?

alap = ismeretlen (ezt keressük, az ismeretlen számokat betűvel jelöljük, pl.: x)

víztartalom = 90%

szárazanyag tartalom = 100% - 90% = 10%

érték = 1,5kg

10% 1,5,kg


1% 0,15 kg

100% 15kg.

Tehát 15 kg gombából lesz 1,5kg szárított gomba.

Oldjuk meg másképpen is a feladatot!

Egészrészt osztással számolunk:

151,0:5,1

15105,1101005,1

10010:5,1

Nézzük meg egyenlettel is ezt a feladatot! Az alap valahány %-át szorzással számítjuk, így

kapjuk a százalékértéket. Most nem ismerjük az alapot, ezért egy betűt használunk a

jelölésére:

x·0,1 = 1,5 /:0,1

x = 15

(Megjegyzés: az előző feladatot is megoldhatjuk a százalékérték kiszámításánál tanult

eljárással, egyenlet segítségével: x km 30%-a egyenlő 24 km.

x·0,3 = 24 /:0,3

x = 80)

Árleszállítás

30%-os árleszállítás után 4200 forintba kerül egy könyv. Mennyi volt a könyv eredeti ára?

alap = x

engedmény = 30%

százalékláb = 100 – 30 = 70

érték = 4200 Ft


70% 4200 Ft

1% 60 Ft

100% 6000 Ft

Tehát 6000 Ft volt a könyv eredeti ára.

Másképpen:

60007

420007104200

701004200

10070:4200

4200:0,7 = 42000:7 = 6000

Vagy egyenlettel:

x·0,7 = 4200 /:0,7

x = 6000

Áremelkedés

18%-os áremelkedés után 68440 forintba kerül egy ágy. Mennyi volt az eredeti ára?

alap = x

emelkedés = 18%

százalékláb = 100 + 18 = 118

érték = 68440

118% 68440

1% 580

100% 58000

Tehát 58000 Ft volt az ágy eredeti ára.

Másképpen:

Egészrészt osztással számolunk: 68440:1,18 = 58000.

Egyenlettel:

x·1,18 = 68440 /:1,18


x = 58000

Évi 7%-os kamatra tettem bankba a pénzemet. Két év elteltével 572450 forintot vettem ki. Hány forintot kötöttem le eredetileg?

alap = x

emelkedés = 7%

százalékláb = 107 (első év vége is, második év végén is)

érték = 572450

107% 572450 Ft

1% 5350 Ft

100% 535000 Ft (első év végén)

----------------------------------

érték = 535000 Ft

107% 535000 Ft

1% 5000 Ft

100% 500000 Ft

Tehát 500000 forintot kötöttem le a bankban.

Nézzük meg egyenlettel is a feladatot:

lekötés (alap) = x Ft

1. év végén a pénzem = x·1,07

2. év végén a pénzem (x·1,07)·1,07

(x·1,07)·1,07 = 572450 /:1,07

x·1,07 = 535000 /:1,07 x = 500000


Százalékláb kiszámítása

Százalékláb kiszámításánál azt mondjuk meg, hogy egyik szám hány százaléka a másiknak;

egyik mennyiség hány százaléka a másik mennyiségnek. Amelyik mennyiséghez a –nak, -

nek rag társul, az az alap, az a 100%.

Például:

12 perc hány százaléka az 1 órának?

1 óra = 60 perc

60 perc 100% /:10

6 perc 10% /·2

12 perc 20%

Másképpen: az a kérdés, hogy 12 perc hányad része a 60 percnek, majd ezt a törtrész

századokban kell megadnunk.

12 perc 6012

része a 60 percnek. (Ezt ellenőrizzük is le!

Törtrészt szorzással számolunk: 12601260

601260

)

A törtrészt adjuk meg századokban:

10020

51

6012

Tehát a 12 perc 10020

része a 60 percnek, másképpen 20%-a.

Tizedestörtekkel is nézzük ezt meg:

12:60 = 0,2

0,2 rész 20%


Áremelkedés

Hány %-os volt az áremelkedés, ha a 400 forintos bonbon új ára 520 forint lett?

alap = 400 Ft

új ár = 520 Ft

emelkedés = 120 Ft

Kérdésünk: 120 Ft hányad része a 400 Ft-nak?

10030

206

4012

400120

30%

Tehát 30%-kal emelkedett az ár.

Tizedestört alakkal is nézzük meg:

120:400 = 0,3

0,3·100 = 30.

Tehát százaléklábat úgy számolunk, hogy a százalékértéket osztjuk az alappal, majd ezt szorozzuk 100-zal.

Árleszállítás

Hány %-os volt az árleszállítás, ha a 400 forintos bonbon 380 forintba kerül?

alap = 400 Ft

új ár = 380 Ft

csökkenés = százalékérték = 20 Ft

Kérdés: 20 Ft hányad része a 400 Ft-nak?

1005

40020

5%

Tehát 5%-os volt az árleszállítás.

120:400·100 = 30


Nézzük meg másképpen is!

alap·y = százalékérték (itt y jelöli a százalékláb tizedestört alakját)

400·y = 20 /:400

y = 0,05

százalékláb = 5

Másképpen is megoldható a feladat:

400 Ft 100%

4 Ft 1%

20 Ft 5%

Bármelyik megoldási módot is választhatjuk, egyenértékűek, egyik megoldási mód sem

„jobb” a másiknál. Mindig a feladatmegoldó dönti el, hogy hogyan számolja ki az ismeretlent.

Pontozásnál is ugyanannyi pontot érnek vizsgán, vagy dolgozatokban.

A lényeg, hogy a lépések logikusan kövessék egymást, a levezetésből kiolvasható legyen a

feladatmegoldó gondolatmenete. A végén ne feledkezzünk meg a válaszadásról, s az

ellenőrzésről!

Nézzünk egy másik példát is százalékláb kiszámítására:

·5


Egy téglalap egyik oldalát 25%-kal növeltük. Hány %-kal kell csökkenteni a másik oldalát, hogy ne változzon a területe?

A ’b’ oldalt növeltük 25%-kal, így 1,25b lett a hossza.

Az ’a’ oldal változik valahányszorosára, ezt jelöli ’y’.

A terület nem változik, így erre írhatjuk fel az egyenletet:

a·b = ya·1,25b

Bal oldalon az eredeti téglalap területe, jobb oldalon az új téglalap területe látható.

Mindkét oldalt osztjuk a·b-vel:

1 = y·1,25

Mindkét oldalt osztjuk 1,25-dal:

0,8 = y

Az ’a’ oldal a 0,8-szeresére változott, vagyis az eredeti oldal 80%-a lett. De a feladat a

csökkenést kérdezi. Tehát 20%-kal kell csökkenteni az oldalt, s így nem változik meg a

terület.

a

ya

b 1,25b


Egy számológép árát a kereskedő 25%-kal csökkentette. Hány %-kal felemelnie ezt az árat, hogy ismét a régi áron adhassa a számológépet?

eredeti ár = x

25%-kal csökkentett ár (új ár) = 0,75x

y%-kal megemelt új ár = (0,75x)·

1001 y

Ez ismét az eredeti ár lesz:

3133

310031

100

34

1001

1100

175,0

100175,0

y

y

y

y

xyx

Tehát 3133 %-kal kell felemelni az árat, hogy ismét a régi áron adhassa a

számológépet.

eredeti ár

25%-kal csökkentett ár (új ár)

y%-kal megemelt új ár

mindkét oldalt osztjuk x-szel

mindkét oldalt osztjuk 0,75-dal

mindkét oldalból elveszünk 1-et

mindkét oldalt szorozzuk 100-zal


A feladat egyszerűbben is megoldható. A rajzról látszik, hogy az új árat az 31

részével kell

megemelni. %3133

31

rész .

3133

3100100

31

Összefoglalás

A százalékszámítás alap összefüggése:

alap:100·százalékláb = százalékérték

A három változó közül bármely kettőt is adják meg, ebbe behelyettesítve az ismeretlen

harmadik kiszámítható. Az összefüggésből kifejezve a változókat:

1. százalékérték = alap:100·százalékláb 2. alap = százalékérték:százalékláb·100

3. százalékláb = százalékérték:alap·100

Ebben a könyvben nem tárgyaltam az oldatok százalékos összetételére vonatkozó feladatokat, mert

Arányosság című e-könyvemben sok ilyen példát mutatok be.

Copyright 2010, Ivony Ildikó

Minden jog fenntartva.

százalékszámítás, törtek

Documents