Sveučilište J.J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike

Dragana Basarić

Učenje i podučavanje matematike

Diplomski rad

Osijek, 2013.

1

Sveučilište J.J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike

Dragana Basarić

Učenje i podučavanje matematike

Diplomski rad

MENTOR:

doc.dr.sc. Ivan Matić

KOMENTOR:

dr.sc. Ljerka Jukić Matić

Osijek, 2013.

2

Sažetak. Prva i osnovna zadaća dobrog učitelja matematike je da na pozitivan načinutječe na kognitivne i afektivne ishode učenja kod učenika kojima predaje. Dobar učitelj ma-tematike treba biti uključen i aktivan na svim područijma koji se odnose na njegovu profesiju.Kvaliteta rada nekog učitelja se u konačnici očituje na okruženje i ugođaj koji on stvara zavrijeme svog predavanja, zatim na lekcije koje odabire i koristi u svome radu, na njegovokorištenje tehnologija i drugih izvora znanja i njegovo povezivanje matematike sa praktičnimstvarima iz života te na načine kojima ocjenjuje i izvješćuje o učeničkim postignućima. Trebanapomenuti da su provedena mnoga istraživanja, koja su zasnovana na dugogodišnjem iskus-tvu i praksi prilikom poučavanja, kako bi se pokazalo na koji način podučavanje matematikeutječe na učenje matematike te na odnos prema matematici. Iako je znanstvenicima teškorazjasniti složene odnose između nastavne prakse,osobnosti svakog nastavnika i učeničkogpostignuća, jasno je da su te komponente međusobno zavisne te da učitelj utječe na učeničkapostignuća.Prilikom podučavanja mjerenja u matematici, bitno je učenike dovesti pred stvarne probleme,odnosno, da vide praktičnu primjernu onoga što uče. U tu svrhu je bitno uvesti u nastavuistraživanja i rad u grupama, čime se potiče angažiranost i poboljšava učenje u tom područjumatematike.

Ključne riječi: uvjerenja o matematici, uvjerenja o nastavnicima matematike, mate-matički koncept mjerenje

3

Sadržaj

1 Uvod 4

2 Podučavanje i učenje matematike 5

2.1 Uvjerenja o matematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.1 Uvjerenja o matematici prisutna kod učitelja matematike . . . . . . . 52.1.2 Uvjerenja o poučavanju i učenju matematike . . . . . . . . . . . . . . 72.1.3 Uvjerenja o matematici prisutna kod učenika . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Online ankete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.1 Kakvi su stavovi ”nematematičara”? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.2 Kakvi su stavovi matematičara? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Učeničko zapažanje učitelja matematike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 Istraživanje o provođenju nastave matematike . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5 Znanja potrebna za podučavanje matematike . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6 Izazovi pri poučavanju matematike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Podučavanje i učenje matematičkog koncepta mjerenje 22

3.1 Mjerenje u osnovnoj školi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Mjerenje u srednjoj školi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Nacionalni okvirni kurikulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4 Procjenjivanje i mjerenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.5 Opseg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.6 Površina i volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.7 Trigonometrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.8 Modeliranje i riješavanje problema vezanih uz mjerenje . . . . . . . . . . . . 33

4 Zaključak 34

4

1 Uvod

U ovome diplomskom radu na početku ćemo se općenito osvrnuti na poučavanje i učenjematematike, a drugi dio rada će se odnositi na specifičnosti vezane uz učenje i poučavanjemjerenja u matematici.

Raspravljati ćemo o tome što znači biti učitelj matematike u srednjoj školi te koje sveizazove i zahtjeve obuhvaća ovo zanimanje. Vidjet ćemo kakvi su sve stavovi i mišljenjaučenika i učitelja o matematici, te kako odnos učenika prema učitelju utječe na njegovopodučavanje matematike te njegovu komunikaciju sa učenicima.

Osvrnut ćemo se na srednjoškolsku nastavu matematike i rezultate dobivene proučava-njem nastavne prakse u srednjim školama. Ustanovit ćemo koje su to vrste znanja i vještinapotrebne za učinkovito podučavanje matematike. Također ćemo ustanoviti koji nam se sveizazovi nameću prilikom stvaranja nastavnog plana i programa za matematiku te do kojihučinkovitih i kvalitetnih načina podučavanja dolazimo provodeći različita istraživanja nas-tavne prakse.

Nakon što smo općenito sagledali značajke podučavanja i učenja matematike, osvrnutćemo se na matematički koncept mjerenje i načine na koje ga učitelji trebaju približiti uče-nicima radi lakšeg shvaćanja i razumjevanja. Pri tome ćemo se usredotočiti na pojmove ivještine vezane uz mjerenje u srednjoškolskoj matematici.

Prvo ćemo pogledati pozadinu, a to je učenje mjerenja u osnovnoj školi te izazove kojise postavljaju pred učenike srednjih škola. Teme i vještine o kojima ćemo raspravljati su:procjena, mjerenje, opseg, površina, volumen i trigonometrija.

Saznat ćemo koji su nastavni pristupi dobri za uvođenje i stvaranje veza između mjerenjai ostalih područja matematike te dati primjere problema preko kojih se učenici uključuju uaktivno riješavanje problema te se matematički osvrću na mjerenje.

5

2 Podučavanje i učenje matematike

2.1 Uvjerenja o matematici

Zadaća dobrog učitelja matematike je pozitivno utjecati na kognitivne i afektivne ishodeučenja kod učenika kojima predaje. Takvi učitelji matematike su stručni i odgovorni na svimpodručjima svoje profesije. Kvaliteta njihovog rada se prepoznaje po atmosferi u razredu kojustvaraju dok predaju, po lekcijama koje obrađuju, njihovom korištenju tehnologija i drugihizvora znanja, po njihovom poučavaju praktičnim stvarima, te po načinima na koje ocjenjuju iizvješćuju o učeničkim postignućima (Australian Association of Mathematics Teachers,2006).

Ova izjava se uzima kao profesionalan i normativan okvir koji opisuje koja su znanja ivještine potebne za kvalitetno poučavanje matematike. Sve je to rezultat mnogih istraživa-nja zasnovanih na nastavnoj praksi i iskustvu, a koja u konačnosti pokazuju na koji načinpodučavanje matematike utječe na učenje matematike i odnos prema matemematici.Iako je ponekad znanstvanicima teško razjasniti složene odnos između nastavne prakse, uči-teljeve osobnosti i učeničkog postgnuća, jedno je jasno, a to je da učitelj utječe na učeničkapostignuća i da te komponente međusobno zavise.

2.1.1 Uvjerenja o matematici prisutna kod učitelja matematike

Svjesno ili nesvjesno svatko od nas ima vlastito mišljenje o tome što je matematika izašto nam je potebna i važna.Kada se obuhvate sva istraživanja na ovom području, Barkatsa i Malone (2005) zaključujuda uvjerenja o matematici, prisutna kod učitelja matematike, utječu na situacije u razredu.Takve zaključke možemo donesti promatrajući rad učitelja, odnosno na koje načine poduča-vaju i procjenjuju sposobnosti i potencijale svojih učenika.Međutim, odnos između uvjerenja o matematici koja posjeduje svaki učitelj i nastavne praksenije tako striktno određen. Znanstvenici se slažu da se uvjerenja i praksa razvijaju zajednote da ta veza nije linearna.Raymondov model nam u ovom slučaju daje više informacija o vezi između uvjerenja i praksete njihovog međusobnog utjecaja, što se može vidjeti na Slici 2.1.(Raymond(1997.)). Mo-del nam pokazuje bitne čimbenike koji su uključeni u razumjevanje prisutnog uvjerenja naosnovu onoga što se u nastavnoj praksi događa te kako postoje nedosljednosti u onome štoučitelj žele postići i onog što pokazuju u praksi.U Tablici 2.1 možemo vidjeti objašnjene komponenti Raymondovog modela.Možemo zaključiti da nastavnici svojim učenicima kroz nastavu nameću, svjesno ili nes-vjesno, svoja vlastita uvjerenja o matematici. Stoga ćemo naglasiti da je važno imati svoje

6

vlastito uvjerenje i biti svjestan na osnovu čega je ono formirano i nastalo.

Slika 2.1: Raymondov model odnosa između uvjerenja o matematici i nastavne prakse

Uvjerenja o matematici: riječ je oprirodi matematike i o pedagogiji veza-noj za matematiku

Privatan život učenika: kućno okru-ženje, roditeljska uvjerenja o odgojudjece, o školi i matematici

Nastava matematike: matematičkizadatci, diskusije, atmosfera u razredu,napredovanje i uspjesi

Program za naobrazbu učitelja:

matematički tečajevi, količina iskustva

Atmosfera u razredu: učeničkesposobnosti, njihovo ponašanje i sta-vovi, vremensko ograničenje, matema-tičke teme koje približavaju matema-tiku učenicima

Iskustvo stečeno nakon školova-

nja: učenički uspjesi u matematici, pri-jašnji učitelji

Društvene norme o nastavi: škol-ska filozofija, administratori, standardi-zirani testovi, nastavni plan i program,udžbenik, ostali nastavnici, resursi

Iskustvo stečeno u obitelji: stavroditelja prema matematici, naobrazbaroditelja, interakcija s roditeljima oso-bito ona vezana uz matematiku

Profesorov privatni život: životneokolnosti, obaveze van škole i drugi iz-vori stresa

Osobnost učitelja: povjerenje, kre-ativnost, humor, otvorenost za pro-mjenu

Tablica 2.1: Komponente Raymondovog modela

7

2.1.2 Uvjerenja o poučavanju i učenju matematike

Kao što je važno kakvo uvjerenje o samoj prirodi matematike ima svaki učitelj, jednakotako su važna njihova uvjerenja o učenju i poučavanju matematike.U Tablici 2.2 je prikazano kako Beswick (2005) pokazuje veze između tih uvjerenja koristećirazvojne kategorije koje su načinili Ernest (1989) i Van Zoest (1994).

Uvjerenja o prirodi mate-

matike(Ernest, 1989)

Uvjerenja o poučavanju

(Van Zoest, 1994)

Uvjerenja o učenju mate-

matike(Ernest, 1989)

Instrumentalist: matema-

tika kao alat opremljena činje-

nicama,pravilima i vještinama

Sadržaj je usmjeren na izvedbu Vještina vladanja, pasivno usva-

janje znanja

Platonist: matematika kao

osnova koja obuhvaća određena

znanja uključujući apstraktne

entitete

Sadržaj je usmjeren na razumi-

jevanje

Aktivna izgradnja razumjevanja

Rješavatelj problema: ma-

tematika kao dinamično i pro-

širavajuće polje ljudskog stvara-

nja

Usmjereno prema učeničkim po-

trebama

Samostalno istraživanje vlasti-

tih interesa

Tablica 2.2: Odnos između uvjerenja o matematici, o podučavanju i učenju matematike

2.1.3 Uvjerenja o matematici prisutna kod učenika

Da bi se ustanovilo kakvo je mišljenje o matematici prisutno kod učenika često se uče-nicima postavljaju metaforička pitanja koja se potom analiziraju. Primjeri takih pitanja susljedeći:

Kada bi matematika bila hrana, kakva bi to hrana bila?Kada bi matematika bila boja, kakva bi to boja bila?Kada bi matematika bila glazba, kakva bi to glazba bila?

Učitelji koji su ova pitanja postavili učenicima nižih razreda srednje škole bili su iznena-đeni rezultatima. (Frid,2001.; Ocean i Miller-Reilly,1997)Na pitanje koja bi hrana bila matematika većina učenika su se složili da bi bila zeleno povrćekao što su brokule, kelj ili tikvice. Smatraju da to povrće ima užasan okus, ali ga je potrebno

8

konzumirati jer je zdravo i korisno za naše zdravlje. Iz toga se može zaključiti da učenicismatraju matematiku kao nešto što je potrebno, ali je neugodan dio „školske prehrane”.Učenici koji vole matematiku usporedili su je sa kruhom (poput „osnovne hrane”), voćnomsalatom („sadrži različite sastojke”) te s lazanjama („sastoji se od različite slojeva”).Ovi odgovori mogu sugerirati da učenici imaju različite percepcije o stjecanju matematičkogznanja koja su potrebna, raznolika i poredana u različitim slojevima složenosti.Što se tiče koja bi boja najbolje prezentirala matematiku, učenici misle da bi to bila crna(asocijacije na depresivno i zlo), crvena (asocira na bijes i boli) i smeđa (asocira na dosadu).Manji dio učenika koji imaju naklonost prema matematici najčešće su rekli da bi to bilaplava jer ju smatraju bojom inteligencije te osjećaj mira i spokoja.Pitanje kakva bi matematika bila glazba rezultiralo je vrlo različitim odgovorima. Mnogi surekli da je matematika poput klasične glazbe jer ju je teško razumjeti, neki su je usporedili sheavy metal glazbom jer takvu glazbu smatraju kao glazbu od koje „boli glava”, dok je jedanučenik odgovorio da je poput glazbe iz filma „Ralje” jer „unosi strah u kosti”.

2.2 Online ankete

Pitanja iz gornje studije sam preuzela i provela online anketu. Ispitanike sam podijelilau dvije skupine i prema tome načinila dvije ankete. Jedna anketa je bila namjenjena ”ne-matematičarima”, mogli su je ispuniti različiti profili ljudi bez obzira na dob i zanimanje.Druga anketa je bila namjenjena ”matematičarima”, odnosno studentima matematike.Ankete nisu provedene na velikom broju ispitanika i samim time na osnovu njih se ne mogudonositi i generalizirati zaključci vezani uz istraživanje stavova i mišljenja učenika i odraslihljudi o matematici, odnosno nisu pokazatelj općeg javnog mišljenja.Ankete služe prvenstveno da bi dale grubi i okvirni pregled kakvi su sve stavovi o matematicipristutni među učenicima i odraslim osobama te da podatke dobivene njihovim provođenjemmožemo usporediti sa vlastitima stavovima i mišljenjima.Cilj mi je bio ispitati kakvo uvjerenje o matematici imaju ”matematičari”, a kakvo ”nema-tematičari”. Željela sam saznati kakav je utjecaj na učenje matematike imao njihov učiteljmatematike, te kakvu su potporu što se tiče učenja matematike imali kod kuće od stranesvojih roditelja.Željela sam rezultate te dvije ankete usporediti te donesti konkretne zaključke i ustanovitida li se poklapaju s mojim očekivanjima.Moja očekivanja su bila da ”matematičari” imaju pozitivan stav i privrženost prema učite-ljima koji su im predavali matematiku tokom njihovog školovanja, da su učitelji pozitivnoutjecali, te pridonjeli i pomogli pri razvijanju njihovih matematičkih kompetencija te da sui kod kuće imali potporu i pomoć od roditelja pri učenju matematike.Očekivala sam da veći broj ispitanika ”nematematičara” ima neugodna iskustva vezana uz

9

učenje matematike te da za svoje učitelje matematike nemaju riječi hvale, da matematikuvide kao potrebu, a ne kao nešto što vole.

2.2.1 Kakvi su stavovi ”nematematičara”?

Na anketu je odgovorilo 89 ispitanika. O kakvoj je heterogenoj skupini ispitanika riječprikazano je na Slici 2.2.

Slika 2.2: Podatci dobiveni online anketom

Od ukupno 89 ispitanika 69% ispitanika je navelo da je završilo fakultet, odnosno da pohađajuneki fakultet. O kojim je fakultetima riječ prikazano je na Slici 2.3.

10

Slika 2.3: Fakultetska naobrazba ispitanika

Važnost i potrebu matematike u svakodnevnom životu najviše ispitanika (njih 33%) jeocjenilo ocjenom 4, a najviše njih (35%) misli da je znanje iz matematike izrazito bitno unjihovom zanimanju (Slika 2.4 ).

Slika 2.4: Važnost matematike

Ispitanici su izjavili (njih 27% ) da im je nastavnik iz matematike rijetko povezivao ma-tematiku sa situacijama iz svakodnevnog života, međutim u istom broju (njih 27%) je topitanje ocijenilo s ocjenom 3, iz čega bih ja zaključila da im je nastavnik pokazivao primjenumatematike, ali ne i dovoljno (Slika 2.5 ). Ispitanici (njih 21%) su se u potpunosti složili

11

da bi bili uspješniji da im je matematiku predavao neki drugi nastavnik, međutim 24% se stime uopće nebi složilo. Zatim, 25% ispitanika to pitanje ocjenilo s 3, na osnovu čega bihja rekla da su neodlučni što se tiče povezanosti njhovog uspjeha iz matematike i nastavnikakoji im je predavao matematiku (Slika 2.5 ).Izjavu da je nastavnik na pozitivan način utjecao na učenje matematike, najveći broj ispita-nika (njih 27%) je ocjenilo s ocjenom 3, dakle i tu bih zaključila da je prisutna neodlučnost(Slika 2.6 ).

Slika 2.5: Utjecaj nastavnika na učenje matematike

Slika 2.6: Utjecaj nastavnika na učenje matematike

12

Izjavu da nastavnici matematike svoj predmet smatraju važnijim od ostalih predmeta,ispitanici su u najvećem broju (njih 38%) ocijenili s ocjenom 5, čime su izrazili mišljenje da jeto prisutno kod većine nastavnika. Isto tako u nešto manjem broju od toga (34% ispitanika)također je ovu izjavu ocjenili s 3, dakle smatraju da nastavnici drže svoj predmet važnijimod ostalih, ali to nije slučaj kod većine nastavnika (Slika 2.7 ).Pitanje na kojem su ispitanici trebali iznijeti mišljenje smatraju li da su potrebne posebnevještine da bi se svladilo gradivo matematike, najveći broj ispitanika (njih 35%) je daloocjenu 3, te u neznatno manjem broju od toga (njih 34%) je dalo ocjenu 4. Iz toga bih jazaključila da se ispitanici slažu sa izjavom iako ne u potpunosti (Slika 2.7 ).

Slika 2.7: Mišljenje o nastavnicima i nastavi matematike

Prema podatcima ankete 43% ispitanika je tijekom svog školovanja išlo na dodatnu nastavuiz matematike, a 19% je išlo na dopunsku nastavu. Što se tiče instrukcija, podjednak je brojispitanika kojima su bile potrebne instrukcije i onih kojima nisu bile potrebne instrukcije.Na Slici 2.8 je prikazano od koga su ispitanici najčešće tražili pomoć iz matematike. Utome pitanju pod ostalom pomoći, ispitanici su naveli da su samostalno pokušavali shvatitinejasno pomoću dodatne literature, udžbenika i interneta.Prema anketi najviše ispitanika (njih 37%) je ocjenilo s 3 izjavu da su njihovi roditelji bilivrlo dobri u matematici, te kod većeg broja (kod njih 38%) su roditelji rijetko pomagali uučenju matematike (Slika 2.9 ).

13

Slika 2.8: Pomoć iz matematike

Slika 2.9: Utjecaj roditelja na učenje matematike

Postavila sam pitanje ”Da je matematike boja, koja bi to boja po Vama bila? ”.Najviše ispitanika je reklo da bi to bila crvena (njih 22%), a sljedeći najučestaliji odgovor jebila crna (njih 17%). Obrazloženja zašto baš crvena i crna su bila sljedeća:

”Crvena jer upozorava na to da ju treba vježbati!””Crvena jer je lijepa kao ruža, ali ispod latica se nalazi trnje. Redovitim zaljevanjem ćeprocvjetati.””Crvena jer je ponekad teška za svladati, ali kada ju svladaš onda se osjećaš moćno.””Crna. Po meni označava tmurnost, a tako se i ja osjećam za vrijeme učenja matematike.””Crna. Zato što je najružnija i najtužnija boja. Te mi je žao što su me mučili s matematikom

14

koja nije potrebna u mome životu.””Crna jer ju većina ljudi ne voli i smatra ju teškom, a crnu povezuju s nečim lošim.”

Meni najzanimljivije usporedbe su bile:”Plava. Razbuktana kao rijeka, bez nekog reda i smisla.””Bijela, jer mi je nekad sve jasno i čisto u njoj, a nekad sve kao prazan list bijelog papira””Ako bi trebao to objasniti kroz boju onda bih rekao da je za mene matematika - crvena,plava, zelena i žuta. Jer to su osnovne boje, a za mene je matematika osnova svih prirodos-lovnih znanosti.”

Anketa je pokazala da su ispitanici koji su privrženi matematici usporedili matematiku s cr-venom (vrlo bitna, upozorava), zelenom (povezanost s prirodom), narančastom (dinamična),dok su ispitanici manje skloni matematici izjavili da bi to bila crna (mračna, tmurna, tužna),siva (dosadna), žuta (živcira, stresna), smeđa(monotona).

Ispitanike sam pitala u kojim životnim situacijama najčešće koriste svoje znanje iz matema-tike te najučestaliji odgovor je bio trgovina. Izjavili su da su im, od svega stečenog znanja,osnovne računske operacije najpotrebnije u životu. Računanje s postotcima je također biločesti odgovor te meni osobno su se svidjeli odgovori u kojima su ispitanici naveli izravnu pri-mjenu znanja iz matematike u njhovom zanimanju (npr. stehiometrijsko računanje u kemiji,eksperimentalni izračuni u praktičnoj nastavi kemije i fizici, doziranje lijekova, konstrukcijaodjeće, izračunavanje kapaciteta proizvodnje odjeće).Bilo je odgovora da ispitanici nisu vidjeli primjenu matematike. Naviše me iznenadio sljedećiodgovor:”Ne upotrebljavam znanje iz matematike jer sam većinu stvari zaboravila, osim računanja, ačak i pri tome koristim kalkulator.”Stoga smatram da nastavnici iz matematike trebaju uvesti u nastavu matematike što višečiste primjene matematike u svakodnevnom životu kako bi ovakvih odgovora bilo što manje,odnosno kako ih uopće nebi bilo.

2.2.2 Kakvi su stavovi matematičara?

Na ovu anketu su odgovarali samo studenti matematike. Na anketu je odgovorilo 88ispitanika, među kojima je bilo 83% žena i 17% muškaraca. Od ukupnog broja ispitanikanajviše njih ( 85% ) je pohađalo gimnaziju, zatim 8% ekonomsku školu te 5% tehničku školu.Veći broj ispitanika je tijekom svog školovanja išlo na dodatnu nastavu iz matematike ( njih76% ), te samo 3% je išlo na dopunsku nastavu. Nadalje, 24% ispitanika je izjavilo da su imbile potrebne instrukcije iz matematike.

15

Matematičari (njih 73%) su se u potpunosti složili da je matematika potrebna u svakodnev-nom životu te se nitko od ispitanika nije izjasnio da misli suprotno (Slika 2.10 ).

Slika 2.10: Važnost matematike

Najveći broj ispitanika (njih 33%) se nije složilo s tvrdnjom da bi bili uspješniji, nego što susad, da im je matematiku predavao neki drugi nastavnik (Slika 2.11 ). Isto tako ispitanicisu u najvećem broju (njih 49%) mišljenja da je nastavnik iz matematike na pozitivan načinutjecao na njihovo učenje matematike (Slika 2.12 ). Takve razultate sam i očekivala jer suna ovu anketu odgovarali studenti matematike.Prema rezultatima ankete 36% ispitanika je ocjenilo s 3 izjavu da je nastavnik iz matematikekroz nastavu povezivao matematiku sa situacijama iz svakodnevnog života (Slika 2.12 ). Iztoga bih ja zaključila da ispitanici smatraju da je primjena matematike prisutna u nastavi,ali ne i u dovoljnoj mjeri.

Slika 2.11: Utjecaj nastavnika na učenje matematike

16

Slika 2.12: Utjecaj nastavnika na učenje matematike

Najveći postotak ispitanika (njih 47%) je pomoć pri učenju matematike najčešće tražilood prijatelja, a 28% je pak tražilo upravo od profesora koji im je predvao matematiku (Slika2.13 ).

Slika 2.13: Pomoć iz matematike

Pitanje da li nastavnici matematike svoj predmet smatraju važnijim od ostalih, najviše is-pitanika (njih 39%) je ocjenilo s 3, dakle smatraju, ali isto tako to nije slučaj kod većinenastavnika (Slika 2.14 ). Najviše ispitanika (njih 34%) je ocjenilo s 3 izjavu da su potrebneposebne vještine da bi se svladalo gradivo matematike, dakle ne bih se u potpunosti složilis time jer ocjenu 5 je dalo samo 2% ispitanika (Slika 2.14 ).

17

Slika 2.14: Mišljenje o nastavnicima i nastavi matematike

Većini ispitanika (njima 32%) su roditelji rijetko pomagali pri učenju matematike. Pitanjesmatraju li da su im roditelji vrlo dobri u matematici, najviše ispitanika (njih 42%) ocjeniloje s 3 (Slika 2.15 ).

Postavila sam pitanje ”Da je matematike boja, koja bi to boja po Vama bila? ”.Budući da se radi o ispitanicima koji su matematičari te samim time privrženi matematici,bilo je za očekivati da će matematiku povezati s vedrim bojama, s bojama koje su im dragei aociraju ih na nešto lijepo i dobro. Tako je najučestaliji odgovor bio crvena (26%), zatimplava (19%), zelena (16%), bijela (8%), a neka od obražloženja su bila:”Crvena jer je to boja ljubavi, a matematika je moja ljubav.””Crvena jer me asocira na krv bez koje ne možemo živjeti, a također ne možemo ni bez ma-tematike.””Plava, zbog strogosti, hladne logike, pouzdanosti.””Zelena. Jer je umirujuća, baš kao i samo učenje matematike i riješavanje njezinih pro-blema.””Bijela, jer je sve jasno i čisto.””Bijela jer ta boja u sebi sadrži sve dugine boje. Tako je i matematika sadržana u svimpodručjima.”

18

Slika 2.15: Utjecaj roditelja na učenje matematike

2.3 Učeničko zapažanje učitelja matematike

Tijekom školovanja kod učenika se stvaraju dugotrajne percepcije o matematici i učite-ljima matematike. Neke od percepcija uključuju sjećanja na određene učitelje, dok su drugepercepcije više stereotipne i nastale su na osnovu iskustva starijih učenika koji svoja iskustvadijele s mlađim generacijama. Zbog toga se događa da neke učitelje među učenicima prati„zao glas”, a neke „dobar glas”.Treba tako napomenuti da svi mi na kraju imamo svoju „vlastitu priču” vezanu uz učenjematematike u osnovnoj i srednjoj školi. Kakva će naša priča biti, ovisi o stečenom iskustvupri učenju matematike kod kuće, u školi, na fakultetu te o snažnom utjecaju učitelji mate-matike koji nam ovaj predmet predaju tijekom našeg školovanja. Tako će neki upravo zbogučitelja reći da vole matematiku i od takvih učenika često čujemo izjave poput ove : „ Izmatematike sam imao 5 uglavnom zahvaljujući mojoj izvrsnoj učiteljici”, dok će neki učeniciimati loše iskustvo popraćeno čestim izjavama kao što je ova : „Nisam volio svog nastavnikamatematike jer je bio strašan, dosadan i teško pristupačan te zbog toga mi je i matematikabila mrska za učenje”.

Kakvu percepciju imaju učenici prema matematici možemo saznati pozivajući ih da na-crtaju tipičnog nastavnika matematike. Upravo to je napravila jedna učiteljica. Učiteljica

19

je na ploči nacrtala „čiča glišu” te zahtjevala od učenika da joj kažu koje još detalje trebanadodati na sliku da bi u konačnici nacrtali tipičnog učitelja matematike. Gotov crtež za-jedno sa opisima koje je razred dao je dan na Slici 2.16.

Slika 2.16: Crtež tipičnog učitelja matematike kojeg su načinili srednjoškolci

Učenici su se također osvrnuli na tipične crte osobnosti koje karakteriziraju učitelje mate-matike. Istaknuli su da su učitelji matematike dosadni, stari, depresivni, nervozni i ružni.Do sličnih rezultata su došli i ostali učitelji koji su također zatražili od učenika da nacrtajutipičnog učitelja matematike. Isto tako lokalna i internacionalna istraživanja na ovu temusu pokazali da učenici učitelje matematike zamišljaju kao lude matematičare s nedostatkomzdravog razuma i modnog smisla, kao matematičare koji ne znaju podučavati, nisu dovoljnostručni te ne znaju kontrolirati situaciju u razredu te kao učitelje koji tjeraju na prisilu,koriste zastrašivanje i prijetnje (Picker i Berry, 2001; Grootenboer, 2001; Ryan, 1992).Iako se učitelji ne mogu prepoznati u ovim crtežima, jasna je poruka da učitelji imaju moćda učenike približe sebi ili da ih otuđe na osnovu čega ih se učenici sjećaju za cijeli život.

2.4 Istraživanje o provođenju nastave matematike

TIMSS Video Studija je 1999. provela istraživanje temeljeno na promatranju kojim jedala jasniju sliku o tome što se zapravo događa u učionicama na nastavnom satu matema-tike.Ova studiju je financiralo Ministarstvo obrazovanja Sjedinjenih Američkih Država s ciljemda opiše i usporedi nastavnu praksu u sedam zemalja (Australiji, Češkoj Republici, Hong

20

Kongu SAR, Japanu, Nizozemskoj, Švicarskoj i Sjedinjenim Američkim Državama).Te su države bile među 40 zemalja koje su 1995. sudjelovale na trećim internacionalnim ma-tematičkim i znanstvenim studijama (Third International Mathematics and Science Study-TIMSS), a riječ je o internacionalnoj komparativnoj studiji učeničkih postignuća na područjumatematike i znanosti. Prema matematičkim procjenama 1995. na TIMSS američki učenicisu pokazali najlošije rezultate, dok su japanski učenici imali najbolje rezultate.Ovim istraživanjem su prikupljeni podatci promatranjem učenika osmih razreda kroz 638nastavnih sati matematike. U Australiji se slučjanim odabirom odabralo 87 škola kao repre-zentantni uzorak svih australskih škola. Iz svake od tih škola izabran je jedan učitelj koji jesniman u jednom razredu tijekom predavanja nastavnog sata matematike.Analiza video snimaka je bila vrlo rigorozna i opsežna zbog toga nam studije daju detaljnepodatke o posebnostima svakog razreda koji je sudjelovao u ovome istraživanju. Jedna odanaliza se bazira na složenosti matematičkih problema koji se zadaju učenicima. Naime, ni-ska složenost problema zahtjeva od učenika nekoliko koraka ili odluka da bi došao do rješenjadok visoka složenost problema zahtjeva mnoge odluke te sadržava dva ili više podproblema.U većini zemalja osim u Japana najviše su se u matematičkim lekcijama postavljali probleminiske složenosti.Druga analiza se temelji na povezanosti između matematičkih lekcija te na međusobnomodnosu između niza zadataka koji se postavljaju učenicima. Ustanovilo se da je u lekcijamau većoj mjeri zastupljeno ponavljanje prethodnih problema, a u manjoj mjeri su bili mate-matički odnosi koji proširuju i izgrađuju prethodni matematički problem.Analize su otkrile da je u svim zemljama osim Japana u matematičkim lekcijama više zas-tupljeno suhoparna primjena naučenih postupaka. U Japanu je zapažena drugačija situacijate je tamo u matematičkim lekcijama više zastupljeno povezivanje svih matematičkih znanjada bi se uspješno riješio problem postavljen pred učenika.Kako bi se unaprijedila i učinila kvalitetnija nastava matematike, ovo istraživanje predlažeda učitelji matematike prilikom organizaciji nastavnog sata trebaju činiti sljedeće:

• Zadavati učenicima da riješavaju matematičke probleme koji zahtjevaju donošenjemnogih odluka te sadržavaju dva ili više potproblema.

• Pružati učenicima više mogućnosti gdje će pronalaziti veze između matematičkih ideja.

• Dovoditi učenike u situacije u kojima trebaju razumijeti matematičku pozadinu pro-blema na kojem rade.

Dovođenjem učenika pred što više izazova, traženjem od njih da uočavaju veze te dapovezuju i s razumjevanjem uče, može se smanjiti osjećaj otuđenosti koju doživljavaju mnogiučenici srednjih škola na satu matematike.

21

2.5 Znanja potrebna za podučavanje matematike

Znanje, atributi i praksa su tri komponente koje čine strukturu poučavanja matematikekao vještine, a bitni su da bi nastava matematike bila uspješna.Zadaća učitelja matematike je da u praksi pozitivno utječe na učenje u smislu stvaranjainkluzivnog i poticajnog okruženja za učenje, da koristiti pristupe koji učenike potiču narazmišljanje te da pravovremeno i informativno procjenjuje i izvješćuje o učeničkim postig-nućima.Atributi izvrsnog učitelja obuhvaćaju uvjerenje da svi učenici mogu naučiti matematiku,spremnost da se cijeli život profesionalno usavršava te da uspostavlja interakciju sa ostalimzajednica koje su relevantne za njegov rad u struci.Učitelji matematike moraju imati također potrebna znanja koja uključuju i znanje o spo-sobnostima učenika kojima predaju, znanje matematike koje odgovara razini učenika kojepodučavaju te znanje o tome kako učenici uče matematiku.Uz izvrsno znanje o matematici, svaki učitelj matematike mora posjedovati i pedagoškoznanje kako bi znao organizirati i prilagoditi pojedine teme, problemi ili pitanja različitiminteresima i sposobnostima učenika.

2.6 Izazovi pri poučavanju matematike

Učitelji matematike u srednjim školama se suočavaju sa dva specifična izazova.Prvi izazov je 1956. dao Ken Cunningham, direktor australskog vijeća za istraživanje obra-zovanja (ACER), koji je tvrdio da matematičkom planu i programu treba dodjeliti većuvažnost jer se mnogi učenici srednjih škola osjećaju otuđeni sudjelovanjem na satu matema-tike. Cunningham se osvrnuo na nešto što danas zovemo matematička pismenost ili preciznijestatistička pismenost. Tako, Steen (2001) tvrdi da je statistička pismenost vrlo važna za ak-tivno građanstvo i demokraciju, jer ljudi moraju biti u mogućnosti koristiti i interpretiratisve veću količinu informacija i podataka za donošenje odluka u svim aspektima života.Ove ideje su sada izraženije u matematičkom nastavnom planu i programu na svim razi-nama srednjoškolskog školovanja, u većini zemalja, osim Hrvastkoj (prema važećem planu iprogramu iz 1994.godine). Postavljen je naglasak na primjeni znanja i rješavanju problema,te se očekuje da će učenici istraživati matematičke fenomene koji ih okružuju u stvarnomživotu. Statistička pismenost je također uključena u cijelom srednjoškolskom obrazovanju,iako ne nužno u svim predmetima.Drugi izazov postavljen učiteljima matematike se odnosi na razumijevanje matematike. Ge-off Masters (2006.), kasnije ravnatelj ACER, tvrdi da je svrha matematičkog podučavanja iučenja pomoći učenicima da vide smisao i svrhu učenja matematike. To uključuje stvaranjeveza između matematičkih pojmova, primjenu matematike u svakodnevnom životu, nado-

22

građivanje prethodnog znanja, njeno povezivanje sa osobnim interesima te uzimanje u obzirpovijesni i kulturni razvoj matematičkih ideja.

3 Podučavanje i učenje matematičkog koncepta mjerenje

Istraživanje, rješavanje, i modeliranje problema vezanih uz mjerenje, a koji su uzeti izsvakodnevnog života, omogućuje matematici da uđe u život učenika te da se poveže s njihoviminteresima.Bitno je da učenici idu izvan učionice te iz prve ruke kroz praksu steknu vještine mjerenja iprocjenjivanja što će im pružiti socijalne vještine za rad na projektima i problemima vezanimuz stvarne probleme i situacije.Ulaskom u srednju školu učenici će proširiti temeljne pojmove te razviti vještine vezaneza mjerenje, međutim mnogi učenici to neće dovoljno dobro shvatiti, zbog toga ćemo sadarazmotriti pozadinu, a to je učenje mjerenja u osnovnoj školi.

3.1 Mjerenje u osnovnoj školi

Djeca se s mjerenjem susreću već u ranom razdoblju svoga života tako što izravno uspo-ređuju predmete. Postavljaju predmete jedan do drugog da bi vidjeli što je veće ili duže teodmjeravaju da bi ustanovili koji je predmet teži. Kada predmete ne mogu smjestiti jedando drugog, tada da bi usporedili veličine predmeta koriste neformalne jedinice.Učenici se tako u svijet mjerenja uvode korištenjem neformalnih jedinica, a nakon toga kakos vremenom napreduju, upoznajemo ih sa standardnim jedinicama i standardnim mjernimalatima.Određivanje dužine je obično prvo što učenici uče iz područja mjerenja i tu se naravno napočetku koriste neformalnim jedinicama radi boljeg shvaćanja i razumjevanja.Zanimljivi primjeri takvih neformalnih jedinica su:

• konop koji je vrlo prikladan za mjerenje zakrivljenih predmeta međuostalom i opsegakruga

• plastične slamke koje se rezanjem mogu na brz način pretvoriti u manje jedinice od-nosnu na jednostavan način im možemo po volji mjenjati veličinu po kojoj ćemo mjeriti

• čačkalice i spajalice za papir koje su prikladne za mjerenje manjih dužina

Korištenje neformalnih jedinica također pomaže mlađim učenicima prilikom određivanja po-vršina različitih predmeta. Primjer takvog učenja je prektivanje površine jediničnim kvadra-tima načinjenim o papira.

23

Tangram (Slika 3.17 ), jedna od najstarijih i najpoznatijih slagalica, isto tako može na zanim-ljiv način učenicima manjih uzrasta približiti pojam površine. Ova matematička zagonetkasastoji se od sedam standardnih dijelova, od kojih se slažu slike različitih objekata. Tangramu ovom slučaju omogućuje učenicima da istražuju različite oblike i veličine te da uoče kakorazličiti oblici mogu imati istu površinu.

Slika 3.17: Tangram

Praksa je pokazala da su neformalne jedinice nepouzdane i da se ne mogu koristiti zasigurnu i preciznu usporedbu te su zbog toga uvedene standardne mjerne jedinice. Zbogtoga je važno učenike upoznati i pomoći im da shvate pojam standardnih mjernih jedinica.Iskustvo vezano za procjenu i mjerenje koje učenici steknu u osnovnoj školi, pomaže im darazviju osjećaj za veličine standardnih jedinica te da cijene važnost i točnost pri mjerenju.Pokazalo se da učenici bolje razumiju pojam površine pravokutnika ako koriste konkretan ma-terijal koji se sastoji od više manjih dijelova te sami dođu do formule površine pravokutnikapreslagivajući te manje dijelove nekog konkretnog materijala. Tako je i sa razumijevanjemvolumena kvadra, važno je da učenici dođu sami do formule za volumen proučavajući kvadarnačinjen od nekog konkretnog materijala.Još jedan od izazova koji se postavlja pred učenike u osnovnoj školi je razumijevanje pojmakuta. Tu se javlja problem da učenici ne uočavaju gdje se sve kut pojavljuje u njihovomsvakodnevnom životu kao što je okretanje, sastavljanje, nagib, ugao, zavoj i usmjeravanje.

3.2 Mjerenje u srednjoj školi

Mjerenje nam omogućuje da opišemo i usporedimo svojstva koja obilježavaju predmete ilidogađaje u prostoru i vremenu. Svojstva koja obilježavaju neki objekt ili događaj uključujuduljinu, kut, masu, kapacitet, temperaturu, vrijeme, prostor, površinu, volumen, brzinu igustoću.Mjerenje nam također koristi za riješavanje problema u stvarnom životu kao što je recimo

24

izgradnja i projektiranje različitih objekata. Učenici u srednjim školama razvijaju osjećaj zamjerenje tako što ga povezivaju s gore spomenutim svojstvima koji obilježavaju predmete idogađaje.Razvijanje osjećaja za mjerenje također podrazumjeva da učenici razumiju strukturu sus-tava mjernih jedinica, te da bez poteškoća koriste te mjerne jedinice prilikom riješavanjakonkretnih problema i zadataka. Važno je istaknuti da su, kod učenja mjernih jedinica, bitnitemelji znanja na području poznavanja decimalnog sustava te množenja i dijeljenja s deset.S obzirom da mnogi učenici čine pogreške pri uspoređivanju i računanju s decimanim broje-vima, u višim razredima osnovne škole i u srednjoj školi potrebno je posvetiti veću pozornosti pažnju prilikom učenja pretvaranja jedne mjerene jedinice u drugu, naručito kada je riječo mjernim jedinicama za površinu i volumen.

3.3 Nacionalni okvirni kurikulum

Nacionalni okvirni kurikulum daje jasan pregled svih sastavnica odgojno-obrazovnog sus-tava od predškolskog razdoblja pa sve do završetka srednje škole.U njemu su kroz četiri odgojno obrazovna ciklusa navedena učenička postignuća za pojedinoodgojno-obrazovno područje, odnosno, iz NOK-a doznajemo koja su to očekivana znanja,vještine i sposobnosti, te vrijednosti i stavovi koje učenici trebaju steći i moći pokazati pouspješnom završetku određenog stupnja obrazovanja.Služi kao temelj za izredu predmetnih kurikuluma, udžbenika, priručnika za roditelje i uči-telje, standardnog mjerila za vrednovanje učeničkih postignuća, a prije svega vodi računa ooptimalnoj opterećenosti učenika.Dakle, vrlo je važan za planiranje i organizaciju rada u školi.U daljnjem tekstu za svaki od četiri odgojno-obrazovnog ciklusa nabrojani su ishodi učenjavezani uz mjerenje preuzeti iz Nacionalnog okvirnog kurikuluma za predškolski odgoj i obra-zovanje te opće obavezno i srednjoškolsko obrazovanje (2010.)Dakle, učenici će:1.ciklus (1.-4. razred)

• Usporediti i procijeniti duljinu, obujam, masu, vrijeme i temperaturu te ih izmjeritirabeći odgovarajuće mjerne uređaje i kalendar

• Navesti i rabiti standardne mjerne jedinice za duljinu, površinu, obujam (litre), masu,vrijeme i temperaturu u svakodnevnomu životu

• Izračunati opseg jednostavnih likova, osobito trokuta, pravokutnika i kvadrata te po-vršinu pravokutnika i kvadrata

25

• Približno ili točno izmjeriti površinu jednostavnih likova prebrojavanjem jediničnihkvadrata

• Računati s novcem (kune i lipe) u svakodnevnomu životu

• Odrediti mjeriva obilježja jednostavnoga objekta ili pojave u svakodnevnim situacijamai primijeniti mjerenje pri rješavanju problema

2.ciklus (5. i 6. razred)

• Usporediti, procijeniti i izmjeriti duljinu, obujam, masu, vrijeme, temperaturu i kut

• Preračunati standardne mjerne jedinice za duljinu, površinu, obujam, masu, vrijeme,temperaturu i kut te ih primijeniti u svakodnevnomu životu

• Približno i točno odrediti udaljenost dviju točaka, površinu likova i obujam jednostav-nih tijela brojanjem jediničnih dužina, kvadrata i kocaka te prelijevanjem tekućine

• Primijeniti formule za opseg, površinu i zbroj unutarnjih kutova trokuta i četverokutate obujam kocke i kvadra

• Računati s novcem u svakodnevnim situacijama

• Neizravno izmjeriti duljinu koristeći se proporcionalnošću (mjerilo karte)

• Odrediti mjeriva obilježja objekta ili pojave u svakodnevnim situacijama i primijenitimjerenje pri rješavanju problema

3.ciklus (7. i 8. razred)

• Usporediti, procijeniti i izmjeriti duljinu, obujam, masu, vrijeme, temperaturu i kut teizračunati površinu i prosječnu brzinu

• Preračunati standardne mjerne jedinice za duljinu, površinu, obujam, masu, vrijeme,temperaturu, kut i prosječnu brzinu te ih primijeniti u svakodnevnomu životu

• Primijeniti Pitagorin poučak i druge osnovne formule u svezi s mjerivim obilježjimajednostavnih likova i tijela

• Neizravno izmjeriti duljinu primjenjujući proporcionalnost i sličnost

• Odrediti mjeriva obilježja objekta ili pojave u svakodnevnim situacijama, odabratiprimjerene mjerne jedinice i mjerne uređaje te primijeniti mjerenje pri rješavanju pro-blema

26

4.ciklus (strukovne škole)

• Preračunati standardne mjerne jedinice za duljinu, površinu, obujam, masu, vrijeme,temperaturu, kut i prosječnu brzinu te ih primijeniti u svakodnevnomu životu

• Primijeniti proporcionalnost i sličnost u mjerenju

• Primijeniti Pitagorin poučak i druge osnovne formule u svezi s mjerivim obilježjimalikova i tijela

• Usporediti, procijeniti i izmjeriti duljinu, obujam, masu, vrijeme, temperaturu i kut teizračunati površinu i prosječnu brzinu

• Odrediti mjeriva obilježja objekta ili pojave u svakodnevnoj situaciji, odabrati primje-rene mjerne jedinice i mjerne uređaje te primijeniti mjerenje pri rješavanju problema

4.ciklus (gimnazije)

• Preračunati standardne mjerne jedinice za duljinu, površinu, obujam, masu, vrijeme,temperaturu, kut i brzinu te ih primijeniti u svakodnevnomu životu

• Odrediti mjeriva obilježja likova i tijela primjenjujući osnovne formule, proporcional-nost, sličnost, Pitagorin poučak, trigonometrijske omjere i poučke o sinusima i kosinusute ih rabiti u računanju duljine, mjere kuta, površine i obujma

• Odrediti mjeriva obilježja objekta ili pojave u svakodnevnoj situaciji te primijeniti mje-renje pri rješavanju matematičkih problema i problema u ostalim odgojnoobrazovnimpodručjima i svakodnevnomu životu

3.4 Procjenjivanje i mjerenje

Mjerenje uključuje:

• mjerne jedinice koje se koriste za određena svojstva koja obilježavaju objekte ili doga-đaje (npr. stupnjevi za mjerenje temperature)

• korištenje alata za mjerenje (npr. vaga, štoperica, termometar)

• korištenje odnosa između već poznatih svojstava da bi se izmjerilo druga svojstva kaošto su brzina, volumen, gustoća i opseg

Učenike treba prije svega usmjeriti da daju procjenu prije nego što započmu nešto mjeriti iračunati.Procjenjivanje koliko nečega ima je dio svakodnevnog života, tako npr. često procjenjujemo

27

koliko nam je potrebno vremena da bismo stigni do neko odredište. Time možemo zaklju-čiti da procjenjivanje ima važnu ulogu u životima ljudi bez obzira kojim se zanimanjembavili. Stoga je potrebno da učenici što više procjenjuju i mjere duljine, mase, kuteve, vri-jeme, površine, volumene i temperature kako bi dobili potrebno iskustvo za točnost prilikomprocjenjivanja te razvili strategije za davanje procjena. Da bi poboljšali svoju vještinu pro-cjenjivanja trebali bi prikupljati i analizirati podatke svoje procjene.Učitelji kod učenika mogu izoštriti vještinu za točnim procjenjivanjem, zahtjevajući od njihda objasne i opravdaju strategije i mjerila po kojima su izvršili procjenu.Učenike je također potrebno voditi van učionice kako bi mjerili i procjenjivali objekte i po-jave iz svoje okoline. Važno je dakle, da učenici koriste alate za mjerenje u svakodnevnomživotu, a ne samo u učionici za vrijeme sata matematike.Posebnu pozornost treba posvetiti razvoju vještine za procjenjivanje i mjerenje veličine ku-tova. Od velike je koristi da učenici razvijaju sposobnost uočavanja, opisivanja, uspoređiva-nja i uočavanja sličnosti između različitih kutova koji ih okružuju te da uz pomoć neformalnihjedinica mogu procjeniti i mjeriti veličine kutova.Bitno je da učenici znaju prepoznati i uočiti kut od 90o, da razumiju da takav kut činedvije okomite linije. Isto tako, kut od 45o je polovica pravog kuta te prema tome učeniciće lako moći procjenjivati i ostale kutove koji su veći, manji ili probližno 90o, odnosno 45o.Na anlalogan način možemo učenike naučiti kako procjenjivati kutove veće od 90o (bitno darazumiju veličinu kuta 90o, 135o, 180o).

3.5 Opseg

Zadatci otvorenog tipa su zadatci koji imaju više ispravnih rješenja i/ili više načinarješavanja, a za koje postupak rješavanja nije unaprijed poznat. Prilikom rješavnje takvihzadataka i rješavanjem problema iz svakodnevnog života, učenicima postaje jasniji pojamopsega geometrijskih likova te formula za opseg određenog geometrijskog lika.Primjeri zadataka otvorenog tipa koji su primjereni da bi učenici bolje shvatili pojam opsegai kako doći do formule za opseg:

1. Nacrtaj tri različita pravokutnika opsega 20 cm.

• Nakon toga je potrebno učenicima postaviti potpitanja i podzadatke koja će ihnavesti da sami dođu do formule za opseg pravokutnika (npr. Opiši način koji sislijedio dok si pokušavao nacrtati pravokutnik zadanog opsega.)

2. Koliko je vremena potrebno da bi se otrčano oko jednog nogometnog igrlišta?

• Ovdje bi učenicima bilo zanimljivo kada bi izašli van učionice te sami mjerili kolikometara je potrebno da bi se igrlište optrčalo te u kojem vremenu je to moguće.

28

3. Dobili ste zadataka da ogradite prostor u kojemu se vaš pas smije kretati te za to imatena raspolaganju 12 m žice. Koja je najveća dimenzija prostora koju možete ograditiod dane žice?

Prethodni primjeri su bazirani na izračunu opsega pravokutnika, međutim na analoganse način učenicima može približiti učenje opsega ostalih pravilnih i nepravilnih mnogokuta.Pri učenju opsega kružnice većina učenika se prvi put susreće sa iracionalnim brojem, a to jenaravno broj π. Zanimljivo je da je jedna australska učiteljica provela istraživanje u svomerazredu vezano uz opseg kružnice nakon što je otkrila da učenici u njenom razredu imajukrivu predodžbu o broju π. Učenici su mislili da je broj π povezan sa krugom jer su piteokruglog oblika.U ovom istraživanju učenici su dobili zadatak da mjere različte kružne objekte te da unoseu tablicu veličine polumjera i opsega koje su izmjerili. Učiteljica je naglasila učenicima damoraju obratiti pažnju na odnos između polumjera i opsega kružnice tj. na njihov omjer.Ovo istraživanje stvorilo je kod učenika potrebu za točnim mjerenjem te da na praktičannačin dolaze do promjera i opsega kružnice. Vrlo je važno bilo da u konačnosti, računajućiomjer između polumjera i opsega, uoče da dobiveni omjeri konvergiraju prema konstanti.Konstanta koju su učenici trebli otkriti je broj π.Prilikom provođenja ovakvog istraživanja bitno je da cijeli razred sudjeluje, odnosno da sene radi o individualnom radu. Učitelj treba voditi računa da pogreške koje se javljaju umjerenju ne utječu na to da učenici otkriju na kraju o kojoj je konstanti riječ.

3.6 Površina i volumen

Učitelji trebaju inzistirati na tome da učenici sami dođu do formula za površinu različitihmnogokuta. Pri tome im trebaju dati da koriste konkretne materijale i dinamičke programeza crtanje mnogokuta. Recimo, zadavati učenicima da istražuju površinu trokuta dobivenogpresavijanjem lista papira pravokutnog oblika ili da preko već poznate formule za površinupravokutnik dođu do, recimo, formule za površinu paralelograma.Treba imati na umu da će učenici pokušavaući doći do fomule bolje razumjeti sadržaj pos-tavljenog problema, stvarat će veze između već stečenog znanja i u konačnici biti uključeni uproces jednog zdravog matematičkog razmišljanja i djelovanja. Učenici koji razumiju odakleformula dolazi, neće imati potrebu učiti formule na pamet, nego će im matematika imatipuno više smisla i samim time će im biti zanimljivija.Na Slici 3.18 je pokazano kako učenici mogu doći od formule za površinu pravokutnika dofomule za površinu paralelograma, trokuta i trapeza.

29

Slika 3.18: Površine geometrijskih likova

Na Slici 3.19 je prikazano kako učenici mogu doći do formule za površinu kruga. Pret-postavimo da učenici znaju da je opseg kruga 2rπ. Krug je potrebno podjeliti na kružneisječke. Što veći broj isječaka napravimo, sve ćemo se više približavati obliku pravokutnikanakon čega će nam biti jasno čemu je jednaka površina kruga.

Slika 3.19: Površina kruga

Isto tako je bitno da učenici dobro razumiju pojam volumena geometrijskih tijela tesami dođu do formule za volumena prizme i valjka koja odgovara umnošku površine baze iodgovarajuće visine.Da bi učenici konkretno vidjeli da je volumen kocke jednak umnošku površine baze i visine,možemo im zadati da istraže koliko malih kockica veličine 1 cm3 stane u veliku kocku (Slika3.20 ). Cilj je da učenici prvo prekriju sa malim kockicama pod velike kocke te nakon togaistraže koliko još kockica potrebno da bi se do vrha napunila kocka tj. u koliko slojeva jepotrebno u vis na isti način poslagati kockice u veliku kocku.

30

Slika 3.20: Volumen kocke

Učitelji bi trebali navesti učenike da sami otkriju odnos između volumena prizme i pira-mide sa istom bazom i visinom te isto tako odnos između volumena valjka i stožca s istombazom i visinom.Taj odnos učenici mogu istražiti na plastičnim modelima prizme, piramide, valjka i stožca.Učenicima je potrebno zadati da istraže koliko piramida može stati u jednu prizmu te kolikostožaca može stati u jedan valjak. Do odgovora mogu doći tako da napune piramidu vodom,pjeskom ili rižom te sadržaj prespu u prizmu. Na isti način će postupiti kada je riječ o stošcui valjku. Cilj je da otkriju da točno tri priramide stanu u prizmu sa istom bazom i visinom,isto je s valjkom i stošcem. Dakle, volumen piramide je jednak jednoj trećini volumenaprizme, a volumen stožca je jednak jednoj trećini volumena valjka.Inzistiranje da učenici trebaju sami doći do formula za površinu i volumen, pomažemo uče-nicima da razviju svoje vještine zdravog razmišljanja te sposobnosti povezivanje i riješavanjaproblema u svakodnevnom životu.Prilikom rješavanja zadataka vezanih uz površinu i volumen, učenici često čine greške pri ra-čunanja s različitim mjernim jedinicama u kojima se nalaze dimenzije određenih geomerijskihlikova i tijela. Učenici moraju voditi računa u kojim mjernim jedinicama su navedene dimen-zije u svakom danom zadatku te donjeti odluku koju će mjernu jedinicu koristiti prilikomizračuna i rješavanja problema. Učenici koji ne razumiju dobro pojam površine i volumenate mjernih jedinica te oni koji imaju problema sa množenjem brojeva imaju taođer problemai sa pretvaranjem kvadratnih mjernih jedinica (kao što je 40000cm2 = 4m2) te kubičnih(prostornih) mjernih jedinica. Takvim učenicima je potrebno vizualno predočiti mjerenejedinice na modelima da bi nakon toga shvatili njihovu pretvorbu. Problemski zadatci, kojizahtjevaju primjenu znanja, također mogu biti pokazatelji lošeg razumjevanja samog pojmapovršine, volumena i mjernih jedinica te oslanjanje na dane formule bez stvarnog razumje-vanja problema i postupaka koji trebaju dovesti do rješenja.Razmotrimo sada sljedeći problem:

31

Limenke u kutiji

Koliko limenki coca-cole se može spremiti u kutiju ako znamo da limenke imaju promjer8cm, a visoke su 11cm? (Slika 3.21 )

Slika 3.21: Primjer: limenke u kutiji

Učenik koji misli proceduralno je učenik koji se oslanja na primjenu postupka umjesto da sebazira na razumjevanje sadržaja samog problema. Takav učenik ovaj problem će vjerojatnoriješiti tako što će izračunati volumen limenke te volumen kutije, a potom će dijeljenjemvolumena kutije sa volumenom limenke doći do konačnog rješenja.Ovakav način traženja riješenja, može navesti učenika da čini pogreške te da njegovo konačnoriješenje nema smisla. Učinkovitiji način traženja riješenja ovog problema bilo bi prilagođi-vanje dimenzija kutije promjeru i visini limenki.Nekim učenicima rješavanje ovog problema bi znatno olakšalo korištenje konkretnih matri-jala, odnosno kutije i limenke istih volumena i površina koje su zadane u zadatku.Činjenica je da mnogi učenici u srednjim školama imaju poteškoće pri riješavanju problem-skih zadataka vezanih uz površinu i volumen. Pogledajmo sada sljedeći primjer:U kojem slučaju će se bazen najbrže napuniti:

1. Bazen puni cijev promjera 60cm

2. Bazen pune dvije cijevi promjera 60cm

3. Bazen pune tri cijevi od kojih je svaka promjera 20cm

4. U sva tri slučaja će se bazen jednako brzo napuniti

Pri rješavanju ovakvih problema može se vidjeti kako učenici razmišljaju te njihovo razu-mjevanje samog problema. Kroz rješavanje ovakvih primjera može se ustanoviti da učenici

32

imaju krivo razmišljanje te su uvjereni da se površina geometrijskih likova i volumen geome-trjskih tijela, linearno povećava kada se povećavaju njhove dimenzije (npr. očekuju da sepovršina pravokutnika poveća dvostruko ako se stranice pravokutnika povećaju dvostruko).Zbog toga je potrebno učenicima uz pomoć modela, dijagrama i tablica pokazati da se povr-šina i volumen povećavaju eksponencijalno nakon što se povećaju dimenzije. Prezentiranjeproblema na konkretnim modelima pomaže učenicima da uoče u kojem se odnosu i kakoponašaju volumen i površina pri mjenjaju zadanih dimezija.

3.7 Trigonometrija

Quinal (2004) smatra da je bolje da učenici, pri učenju nečega novog iz matematike,krenuti od konkretnih stvari prema apstraktnim, odnosno od nečega određenog prema op-ćenitom. Primjer takvog učenja je promatranje sličnih trokuta da bi se učenike upoznalo satrigonometrijskim funkcijama. U tu svrhu, može nam poslužiti neki od softvera dinamičkegeometrije kao što je Sketchpad. Na Slici 3.22 je prikazan jedan takav primjer u kojem suse promatrali slični trokuti. Naime, nacrtan je trokut kojemu se vrhovi mogu pomicati tese time mjenjaju duljine njegovih stranica. Sa strane je u tablici prikazano što se događasa omjerom stranica prilikom mjenjanja njihovih veličina. Time se na jednostavan, zoran iučenicima prihvatljiv način učenike upoznaje s pojmom kosinus kuta.

Slika 3.22: Kosinus kuta 30.11o

Neki učitelji preferiraju korištenje jediničnog kruga kako bi uveli trigonometrijske funk-cije. Tako su Kendall i Stacey (1999) proveli istraživanje kako bi usporedili metodu jediničnogkruga te metodu sa sličnim trokutima koje učitelji koriste prilikom upoznavanja učenika satrigonometrijskim funkcijama. Učenicima su dali test te ustanovili da su bolje rezultate imaliučenici koji su se s trigonometrijom upoznali putem metode sličnih trokuta.

33

3.8 Modeliranje i riješavanje problema vezanih uz mjerenje

Rješavanje problema vezanih uz mjeru zahtjeva dobro poznavanje množenja, razumje-vanje omjera i geometrije te da učenici dobro uočavaju veze između matematike i stvarnihproblema. Učitelji trebaju organizirati nastavu tako da učenici u skupinama istražuju isurađuju te riješavaju zadane probleme kao što su:

• Na kojoj udaljenosti treba biti auto da bi se na siguran način moglo preći cestu?

• Načinite cijev valjanjem A4 papira po dužini i nakon toga načinite još jednu takvucijev od A4 papira, ali ovaj put valjajući po drugoj strani. Koja od cijevi ima većivolumen?

• Što bi bilo da je lubenica u obliku kvadrata, da li bi imali više ili manje za pojesti?

Treba time istaknuti da problemi koji uključuju istraživanje odnosa između udaljenosti ivremena, prostora i opsega, površine i volumena čine temelje za diferencijalni i integralniračun s kojim se učenici susreću u svome daljnem obrazovanju.

34

4 Zaključak

Kao zaključak naglasila bih već spomenuto u radu, a to je da učitelji u velikoj mjeri utječuna svoje učenike, na njihovo učenje i zainteresiranost za predmet. Tu međusobnu interakcijuizmeđu učenika i učitelja treba više istraživati te promatrati rad učitelja u praksi, a sve to,u svrhu unapređenja i poboljšanja kvalitete nastave.Bitno je dakle, ustanoviti koje su to kvalitete koje učitelji trebaju posjedovati da bi nastavabila uspješna te da bi učenici bili zainteresirani za učenje te u konačnici razumjeli i primjenilistečeno znanje. Treba istaknuti da učitelji osim što trebaju biti stručni i dobro poznavatipodručje svoje profesije, bitno je da imaju i dobru podlogu pedagoškog znanja.Znanje o mjerenju čini važnu komponentu u čovjekovu životu, stoga je važno da učenici shvatei razumiju to područje matematike te da budu sposobni sve naučeno na satu primjeniti usvakodnevnom životu.Učitelji matematike trebaju biti svijesni da podučavanjem matematike uče ujedno djecu inekim socijalnim vještinama te da stvaraju kritičko, racionalno, samoinicijativno društvo.Kroz učenje matematike, učenici trebaju dobiti puno više od pukog ponavljanja naučenihpostupaka za riješavanje danih zadataka.

35

Literatura

[1] Australian Association of Mathematics Teachers (2006.) Standards for excellence inteaching mathematics in Australian schools.

[2] Barkatsas, A. i Malone, J. (2005),Mathematics Education Research Journal, 17, 69-90.

[3] Beswick, K. (2005), Mathematics Education Research Journal, 17, 39–68.

[4] Cunningham, K.C. (2006). Mathematics as a subject in the school curriculum. In M.Stephens (ed.), Master classes in mathematics (Centenary publication of the Mathe-matical Association of Victoria, pp. 26–39). Melbourne: Mathematical Association ofVictoria.

[5] Ernest, P. (1989), Mathematics teaching: The state of the art ,249–53, New York:Falmer.

[6] Frid (2001),The Australian Mathematics Teacher, 57(1), 12–16.

[7] Grootenboer, P. (2001),The Australian Mathematics Teacher, 57(4), 14–16.

[8] Kendal, M. i Stacey, K. (1999), The Australian Mathematics Teacher 54(1),34–39.

[9] Masters, G. (2006), Mathematics as a subject in the school curriculum.,Melbourne.

[10] Nacionalni okvirni kurikulum (NOK), www.mzos.hr (pristupljeno 23.11.2013.)

[11] Ocean, J. Miller-Reilly, B. (1997),The Australian Mathematics Teacher, 53(4), 17–20.

[12] Picker, S. Berry, J. (2001),Proceedings of the 25th conference of the International Groupfor the Psychology of Mathematics Education 4, 49–56, Utrecht, The Netherlands: PME.

[13] Quinlan, C. (2004), The Australian Mathematics Teacher, 60(3), 17–20.

[14] Raymond, A. (1997), Journal for Research in Mathematics Education 28, 550–76.

[15] Ryan, M. (1992), The Australian Mathematics Teacher, 48(4), 36–37.

[16] Steen, L. (2001), Mathematics and democracy: The case for quantitative literacy, 1–22).

[17] Van de Walle, J., Elementary and Middle School Mathematics, Virginia CommonwealthUniversity, 2007.

[18] Van Zoest, L., Jones, G. i Thornton, C. (1994), Mathematics Education Research Jour-nal, 6, 37–55.