strato limite turbolento su piastra piana esterno-tur.pdfnotare che il limite inferiore degli...
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STRATO LIMITE TURBOLENTO
SU PIASTRA PIANA
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-1
STRATO LIMITE TURBOLENTO - INTRODUZIONE
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-2
A una certa distanza dal bordo di attacco lo strato limite diviene turbolento.In prossimità della parete il moto rimane comunque laminare (sottrostrato laminare, laminar sublayer).La transizione, a seconda della geometria e dell’intensità di turbolenza del flusso in ingresso, avviene per Re*x = 2x105 - 3x106. In mancanza di informazioni più precise, si assume Re*x = 5x105.
STRATO LIMITE TURBOLENTO - VISUALIZZAZIONE
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-3
STRATO LIMITE TURBOLENTO - EQUAZIONILe equazioni dello strato limite turbolento su parete piana sono (richiamo)
0
1x x
x
x y
y
v vv
vv
x y
p
xv
x y
∂ ∂+
∂
∂∂+ =
∂ ∂
∂= −ρ ∂∂
( )
( )
1' '
0
1' ' " "
xx y mol eddy
y mol ex dyy d
p
vv v
y y y
p
y
Ta v T q q
y y
T Tv v
x yy c
∂ ∂+∂ ∂
∂∂ ∂+ υ − = − τ + τ ∂ ∂ ρ ∂
∂ = ∂
∂ ∂ ∂ = − = − + ∂ ∂ ρ ∂
In prossimità della parete (non in tutto
la componente
viscosa di τw e q” aumenta avvicinandosi alla parete
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-4
In prossimità della parete (non in tutto lo strato limite) il termine convettivo (in rosso) è basso, per cui, introducendo viscosità e diffusività turbolente:
( )
( )
0
"0
appxM
appH
p
v
y y y
qTa
y y y c
τ ∂∂ ∂= υ + ε = ∂ ∂ ∂ ρ
∂ ∂ ∂ = + ε = − ∂ ∂ ∂ ρ ne segue che τapp e q”app sono approx. costanti vicino alla parete
STRATO LIMITE TURBOLENTO – Profilo di velocità (1)
Nel sottostrato laminare τapp = τmol
x xmol app
v v
y y
∂ ∂τ =µ =ρυ ≅ τ∂ ∂
Integrando e supponendo τ =cost = τw
0 0d d
xv yw w
x xv y v yτ τ= → =ρυ ρυ∫ ∫
definendo
velocità di taglio(shear velocity)
* wvτ=ρ
praticamente Rey*v
y y+ =υ
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-5
si ha
2* *
*x
x
vv vv y y v y
v+ += → = → =
υ υ
Nel core turbolento invece la tensione di taglio è prevalentemente dovuta alla parte turbolenta; adottando il modello della lunghezza di mescolamento di Prandtl
2' ' x xtur x y app
v vv v
y y
∂ ∂τ = −ρ =ρ ≅ τ∂ ∂
ℓ e si assume 0.4K y y= =ℓ
è ragionevole che la turbolenza aumenti con la distanza dalla parete; K = 0.4 sperimentale
*xv
vv
+ =velocità adimensionale
STRATO LIMITE TURBOLENTO – Profilo di velocità (2)
Integrando dal limite del sottostrato laminare a y
* d *d ln '
' '
x
lam lam
v y
x xv
v y vv v y C
K y Kδ= → = +∫ ∫
2
2 2 d 1 *
dx x w
app w
v v vK y
y y K y K y
∂ ττ = τ =ρ → = = ∂ ρ
Da cui, supponendo τ =cost = τw
Adimensionalizzando
Notare che il limite inferiore degli integrali non è zero ma lo spessore del sottostrato laminare
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-6
sperimentalmente C = 5.5 (notare che C ≠ C’)
E’ necessaria un’espressione di raccordo tra le due, per cui si ricava infine il cosiddetto profilo universale di velocità o legge della parete
5 sottostrato laminare
3.05 5.00ln 5 30 buffer layer
5.5 2.50ln 30 500 core turbolento
v y y
v y y
v y y
+ + +
+ + +
+ + +
= <
= − + < < = + < <
1lnv y C
K+ += +
STRATO LIMITE TURBOLENTO – Profilo di velocità (3)
le ipotesi introdotte trovano conferma nell’esperienza
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-7
La legge della parete è valida nello strato limite fino a una distanza di 0.2 δ(oppure y+< 500): la cosiddetta inner region.
Per distanze superiori (outer region) si usa:(dove A dipende dalla geometria)
1ln
*xU v y
Av K
− = +δ
0
5
10
15
20
25
30
1 10 100 1000
v+
Legge parete
Prandtl 1/7
STRATO LIMITE TURBOLENTO – Profilo di velocità (4)
La legge della parete può essere approssimata come
17 τδ
178.7( )v y+ +=
Se la si estende fino al confine dello strato limite (y = δ, vx = U ) si ha
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-8
1 10 100 1000
y+
17
8.7*
wU
v
τδ= υ ρ
dividendo membro a membro le due precedenti
17
xv y
U = δ
da cui si ha una relazione per lo spessore di quantità di moto
0
71 d
72x xv v
yU U
δ θ = − = δ
∫
STRATO LIMITE TURBOLENTO – Determinazione di ττττw (1)
Per poter trovare la tensione di taglio alla parete è necessaria un’altra equazione che dia ττττw in funzione di δ.
1 17 7
8.7 8.7* /
w w
w
U U
v
τ τδ δ= → = υ ρ υ ρτ ρ
0
xw
y
v
y =
∂τ =µ∂
non si può usare per la inesattezza su vx alla parete (v. figura slide precedente)
elevando al quadrato e semplificando (con un po’ di lavoro)
Allora si riparte ricavando ττττw da
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-9
elevando al quadrato e semplificando (con un po’ di lavoro) 0.252
2 0.2514/8
0.0238.7w
UU Re
U−δ
ρ υτ = = ρ δ Questa relazione è stata confermata per via sperimentale da Blasius. Combinando questa espressione con il bilancio integrale e ric. Θ = 7/72 δ
e qui, una volta eliminato ττττw , si può trovare δ
0.25
2 2 2d 7 d0.023
d 72 dw U U Ux x U
− θ δ υτ = ρ = ρ = ρ δ
ATT: δ e Reδ sono ancora incogniti !!
semplificando e separando le variabili:
0.25d
0.237d
U
x
−δ δ = → υ
0.252 27 d
0.02372 d
UU U
x
−δ δ ρ = ρ υ
0.250.25d 0.237 dx
U
υ δ δ =
STRATO LIMITE TURBOLENTO – Determinazione di ττττw (2)
Quindi si ha:
N.B.: espressioni valide finchè è accettabile il profilo
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-10
E finalmente, integrando tra [0, δ] e [0, x ]
0.2
0.377
xx Re
δ =
Da cui si possono ricavare tutti gli altri valori (δ*, θ etc.) e in particolare
0.255/44
0.2375
xU
υ δ = 4 /5 1/5 1/5
4/550.237 0.377
4
xx
U x U
υ δ υ δ = → = →
2
0.2
0.029w
x
U
Re
ρτ =
finchè è accettabile il profilo di velocità 1/7, ovvero per
105 < Rex < 107
Laminare(Blasius)
Turbolento(105<Re <107)
x
δ0.2
0.377
xx Re
δ =0.5
4.91
xx Re
δ =
*
x
δ0.5
* 1.721
xx Re
δ =
0.5
0.664
x Re
θ =θ
0.2
* 0.047
8xx Re x
δ δ= =
0.2
0.037 7
72x Re x
θ δ= =
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-11
0.5xx Re
=x
wτ
,21
2
DD f
FC
U A=
ρ
212
wfc
U
τ=ρ 0.5
0.664f
x
cRe
=
2
0.5
0.332w
x
U
Re
ρτ =
, 0.5
1.328D f
L
CRe
=
0.2 72xx Re x= =
2
0.2
0.029w
x
U
Re
ρτ =
0.2
0.058f
x
cRe
=
, 0.2
0.072D f
L
CRe
=
Andamento dello spessore e della tensione di taglio nello strato limite
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-12
Notare che 4/5xδ ≡ deriva da aver supposto 1/7v y≡
valori diversi da 1/7 darebbero valori diversi dell’esponente di δ di τw
STRATO LIMITE TURBOLENTO – Determinazione di ττττw (3)
Per piastre scabre conta anche la rugosità superficiale, e si può usare la relazione semiempirica (valida nella parte a destra in alto del diagramma dove Cd,f è indipendente da Re)
2.5−ε
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-13
Una piastra è liscia finchè le asperità non escono dal sottostrato laminare (y+ = 5) da cui si ottiene la condizione
100U
υε <
2.5
, 101.89 1.62 logD fCL
−ε = −
ReL
In prossimità della parete, dove il temine convettivo è trascurabile abbiamo (v.slide 4)
STRATO LIMITE TURBOLENTO – Determinazione di hc (1)
( )
( )
0 cost
"0 " cost "
app xapp M w
appapp p H w
p
v
y y
q Tq c a q
y c y
τ ∂∂ = → τ =ρ υ + ε = = τ ∂ ρ ∂
∂ ∂ = → = − ρ + ε = = = ∂ ρ ∂
Introducendo, in analogia a Pr, il numero di Prandtl turbolentosupponendo Pr = 1, Pr = 1 si ha, dividendo m. a m. le precedenti
MT
H
Prε=ε
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-14
supponendo Pr = 1, PrT = 1 si ha, dividendo m. a m. le precedenti Hε
d1
d "x w
p w
v
c T q
τ= − e integrando fino al confine dello strato limite(non sarebbe rigorosamente possibile, in quanto le precedenti “valgono” solo nel sottostrato laminare)
"
( ) " ( )p ww w
cp w w w
cqUh
c T T q T T U∞ ∞
ττ= → = =
− −e dividendo per ρ cp U
2
1 1
2 2c w x
f x fp x
h Nuc St c
c U Re PrU
τ= = → = =
ρ ρANALOGIA DI REYNOLDS
numero di Stanton fattore di Fanning
dato che (v. slide 11)
Nel caso in cui Pr sia diverso da 1, l’analogia di Reynolds si modifica empiricamente in
2 /3 1
2x fSt Pr c= ANALOGIA DI REYNOLDS-COLBURN
0.20.058f xc Re−=
2/3 0.8 12 /30.0.02 0. 29 0 9x x x xx x Nu St Re Pr Re PS e rt Pr R − = == →
STRATO LIMITE TURBOLENTO – Determinazione di hc (2)
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-15
Nel calcolare il valor medio su tutta la piastra bisogna tener conto del tratto di ingresso laminare per cui
1/3 0.80.037 ( 23550)L LNu Pr Re= −
Piastra piana b = 1.5 m , L = 3 m, U = 7.5 m/s, aria (υ = 1.46x10-5, ρ = 1.23) q”= 200 W/m2
, T∞ = 20°C
Determinare: δ(x), δ(L) τw(x) , FD,, Tw(x)
Per x=L, si ha 61.54 10L
U LRe = = ×
υquindi lo S.L. è turbolento all’uscita
0.05
0.06
0.25
0.30delta(x)
Tau wall
La transizione avviene a x = 0.97 m (corrisp. a Rex = 500000)
4.91δ =20.332 Uρτ =
quindi per x < 0.97
ESEMPIO: calcolo di di ττττw e Tw su una piastra piana -1
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-16
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0 1 2 3
x [m]
delta
[m]
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
Tau
wal
l [P
a]
Per CD si considera solo la parte turbolenta
0.2
0.377
x
xRe
δ =
0.5
4.91
x
xRe
δ =0.5
0.332w
x
U
Re
ρτ =
2
, 1.28 N2D D f
UF C b L
ρ= =
e per x > 0.97
0.2
0.072.0042
LDfC
Re= = =
2
0.2
0.029w
x
U
Re
ρτ =
ESEMPIO: calcolo di di ττττw e Tw su una piastra piana -2
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0 1 2 3
x [m]
delta
[m]
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
Tau
wal
l [P
a]
delta(x)
Tau wall
0.8 1/30.029x xNu Re Pr=
per x < 0.97
per x > 0.97
0.5 0.330.453x xNu Re Pr=lam.
turb.
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-17
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x (m)
Nux
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
h [W
/m²
k], T
w [C
]
Nux
h(x)
Tw(x)
,x fx
x c xf
Nuh xNu h
x
λ= → =
λ
( ),,
"" c x w w
c x
qq h T T T T
h∞ ∞= − → = +
e infine si ricava hc