FACULTAD DE INGENIERA, ARQUITECTURA Y URBANISMO ESCUELA DE INGENIERA MECNICA - ELECTRICA CURSO:MECNICA DE FLUIDOS TEMA:CAPA LIMITE EN EL ESCURRIMIENTO DOCENTE:NECIOSUP INCIO CARLOS ENRIQUE ALUMNO: BRAVO BRAVO IMER I.

CICLO:V PIMENTEL, 08 DE MARZO DE 2012 CAPA LMITE EN EL ESCURRIMIENTO INTRODUCCION Antes de 1860, aproximadamente, el inters de la ingeniera por la mecnica de fluidos se limitaba casi exclusivamente al flujo del agua. El desarrollo de la industria qumica durante la ltima parte del siglo XIX dirigi la atencin a otros lquidos y a los gases. El inters por la aerodinmica comenz con los estudios del ingeniero aeronutico alemn Otto Lilienthal en la ltima dcada del siglo XIX, y produjo avances importantes tras el primer vuelo con motor logrado por los inventores estadounidenses Orville y Wilbur Wright en 1903. La complejidad de los flujos viscosos, y en particular de los flujos turbulentos, restringi en gran medida los avances en la dinmica de fluidos hasta que el ingeniero alemn Ludwig Prandtl observ en 1904 que muchos flujos pueden separarse en dos regiones principales. Lareginprximaalasuperficieestformadaporunadelgadacapalmitedondese concentranlosefectosviscososyenlaquepuedesimplificarsemuchoelmodelo matemtico. Fuera de esta capa lmite, se pueden despreciar los efectos de la viscosidad, y pueden emplearse las ecuaciones matemticas ms sencillas para flujos no viscosos. TEORIA En realidad, la capa lmite es un invento humano, una forma de facilitar las cosas para que suslimitadascapacidadesmatemticasnoseveansobrepasadasporlascomplicadas ecuaciones que gobiernan el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones se conocen como ecuaciones de Navier-Stokes, y son tan difciles de resolver que los humanos slo saben hacerlo en determinados casos muy simplificados LateoradecapalimitefueintroducidaporPrandlt,estateoraestableceque,paraun fluidoenmovimiento,todaslasperdidasporfriccintienelugarenunadelgadacapa adyacente al contorno del solido (llamada capa limite) y que el flujo exterior a dicha capa puede considerarse como carente de viscosidad. En trminos generales se puede decir que, puesto que la viscosidad es bastante pequea en casi todos los fluidos, los esfuerzos cortantes deben ser apreciables nicamente en las regionesendondeexistangrandesgradientesdevelocidad;elflujoenotrasregionesse podra describir con gran exactitud por medio de las ecuaciones para flujo no viscoso. Las caractersticas mssobresalientesdelacapa lmitepuedendescribirseatravsdelcaso delflujosobreunasuperficieplanayfija,sobrelaquesehaceincidirunacorriente uniforme de velocidad. La capa lmite se entiende como aquella en la que la velocidad del fluido respecto al slido en movimiento vara desde cero hasta el 99% de la velocidad de la corriente no En un flujo a altos nmeros de Reynolds los efectos de la viscosidad del fluido y la rotacin se confinan en una regin relativamente delgada cerca de las superficies slidas o de las lneas de discontinuidad, tales como las estelas. Como la capa limite es delgada, se puede introducirciertassimplificacionesenlasecuacionesdelmovimiento;sinembargo,es necesarioretenertantolostrminosdeesfuerzo(viscoso),comolasinerciales (aceleracin). Lostrminosdepresinpuedenonoestarpresentes,dependiendodelanaturalezadel flujo fuera de la capa lmite. Como la verticidad del fluido de la capa limite no es cero, no existe funcin del potencial de velocidades para el flujo en la capa limite. La ecuacin del movimientosedebeatacardirectamente.Estaecuacin,aunincluyendolas simplificaciones de la capa limite, es mucho ms difcil de resolver que la ecuacin de flujo de potencial. Amedidaqueseavanzaenladireccinx,msymspartculassonfrenadasyporlo tantoelespesorddelazonadeinfluenciaviscosavaaumentando,conlaspartculas alineadasdireccionalmenteenloquesedenominacapalmitelaminarhastaque,enun cierto punto el flujo se hace inestable, dando lugar a un crecimiento ms rpido de la capa lmite acompaado de un aumento de la turbulencia, es la zona denominada capa lmite Prandtlestablecilasecuacionesparaelflujoenlacapalmitelaminar,apartirdelas ecuaciones de Navier-Stokes, con las siguientes hiptesis: el espesor de la capa lmite es pequeoencomparacinconotrasdimensionesgeomtricas,elflujoesestacionarioy bidimensional, y la presin es constante a travs de cualquier seccin transversal. Por qu surgi la teora Enlosantecedenteshistricosestadatadoqueapartirde1860,aproximadamente,se comenz el trabajo con otros fluidos, debido al desarrollo de la industria y el surgimiento de nuevas necesidades en los procesos; lo cual conlleva al conocimiento del comportamiento dedichosfluidosquecomparadosconelaguaoelairesonmsviscosos.Sinembargo ofrecen gran resistencia a un objeto que se mueva en su seno. Capa lmite laminar y turbulento Puesbien,existendostiposdecapalmite:lacapalmitelaminarylacapalmite turbulenta.Lasegundaesligeramentemsgruesaquelaprimera,ycomoelfluidose mueve en todas direcciones, disipa mayor energa, por lo que la fuerza de friccin derivada deellaesmayor.Asque,enprincipio,aunavinleinteresaquesucapalmitesea siempre laminar. Sinembargo,elqueunacapalmitesealaminaroturbulentadependedeltamaodel avin.Cualquier avinconvencionaltieneuntamaoqueobligaaquelacapalmitesea turbulenta,y,enrealidad,losnicosavionesquesonlosuficientementepequeoscomo paravolarencondicionesdeflujolaminarsonlosdeaeromodelismo.Sinembargo,una capa lmite turbulenta tiene una ventaja muy importante frente a una capa lmite laminar. El flujo laminar va perdiendo velocidad a lo largo de la capa lmite, hasta que finalmente se para o incluso retrocede, provocando que la capa lmite se desprenda y el flujo ya no siga la forma de la superficie. Este efecto es especialmente perjudicial en el ala de un avin, ya quelasustentacindependedequeelflujosigalaformadelperfildelala.El desprendimiento de la capa lmite de las alas es lo que ocurre cuando se dice que el avin entra en prdida, es decir, deja de sustentar y cae como una piedra, y si el piloto no es capaz de hacer que la capa lmite vuelva a adherirse al ala, el avin se estrellar (algo que seguramente no le har ninguna gracia al piloto). Comoserecordar,enelcaptulo4dellibroirvingH,shamesseanalizaroncasos donde se tenan flujos incompresibles e irrotacionales.Asimismo,seignorporcompletolaaccinviscosa.Seindicqueparafluidoscon viscosidadespequeas,comoelaireyelagua,avecespodaconsiderarse,conun altogradodeexactitud,queelflujonotuvierafriccinencasitodasuextensin excepto en regiones delgadas alrededor de los cuerpos mismos.Aqu,debidoalosaltosgradientesdevelocidad,nopodaignorarselafriccin,de maneraqueestasregionesseconsideraronapartedelflujoprincipalyseles denomincapaslmites.Elcasousualconsisteenqueencuerposaerodinmicos estascapassonextremadamentedelgadas,demaneraquepuedeneliminarsepor completoenelclculodelflujoirrotacionalprincipal.Unavezestablecidoelflujo irrotacional, puede calcularse el espesor de la capa lmite y el perfil de velocidad en la capa lmite, etc., primero encontrando las distribuciones de presin mediante la teora de flujo irrotacional que se present en el captulo 12, y luego utilizando los resultados de estas soluciones para evaluar el flujo en la capa lmite. En esta forma, algunas veces todava pueden seguir emplendose las ecuaciones de flujonoviscosoydetodasmaneras,medianteconsideracionesseparadas,puede tenerse en cuenta el arrastre, que siempre est presente. Severqueelflujodelacapalmiteesanmscomplejoquelosflujosestudiados hasta este momento. Por esta razn, el anlisis se limita a situaciones muy simples en esteestudiointroductorio.Ladificultadenlateoradecapalmitesecomprende rpidamentecuandoserecuerdaqueenflujosirrotacionaleseincompresiblesse elimin por completo la friccin y slo se tuvieron en cuenta los efectos inerciales del fluido. En el captulo 9 se tuvieron en cuenta los efectos friccionales, pero cuando se recuerdaquelosflujosparalelosestudiadostenanperfilesdevelocidadconstantes, esclaroquelosefectosinercialesnoeranimportantes.Enelcasopresente,aligual que en los flujos generales viscosos, se tienen tanto efectos friccionales con10 efectos inercialesimportantesy,porconsiguiente,sepresentaunasituacinmsdifcil.As, puedeexistirflujolaminaroturbulentoenlacapa,4elespesoryelperfildesta cambiarn a lo largo de la direccin del flujo. En general, se enfocar buena parte del anlisisaunflujopermanenteeincompresiblesobreunaplacaplanaconngulode ataquecero.Puedenhacerseextrapolacionesaotrascondicionesdemanera apropiada para tener en cuenta la complejidad inherente del flujo. Al examinar ahora la figura n 01 se considerar en forma cualitativa el flujo en la capa lmite sobre una placaplana. Ntese que una regin laminar empieza en el borde de ataque y aumenta su espesor, como se muestra en el diagrama. Luego se alcanza una regin de transicin laminar-a-turbulento donde el flujo cambia de laminar a turbulento, conengrosamientoconsiguientedelacapalmite.Msadelanteenelcaptulose plantea la pregunta de cundo ocurre la transicin. Se ver que la transicin depende parcialmente del nmero de Reynolds U ,donde x es la distancia hacia aguas abajo del borde de ataque. La transicin ocurre en el rango Re, = 3 x 105 a Re, = 106. Al igual queenelflujoentuberasdeloscaptulosanteriores,amedidaqueseacercaala fronteraenlareginturbulentasesuprimelaturbulenciahastaquelosefectos viscosospredominan,loqueconduceaformularelconceptodeunasubcapa viscosa. Esta regin muy delgada se muestra sombreada en el diagrama. Nodebetenerselaimpresindequediferentesregioneseneldiagramaforman demarcacionesdefinidasdeflujosdiferentes.Enrealidad,hayunavariacinsuave entrelasregionesdondeciertosefectospredominan,haciaotrasregionesdonde predominan otros efectos. Simplemente es ms fcil pensar en la accin en trminos de regiones diferentes separadas por fronteras definidas. A pesar de que la capa lmite es muy delgada, tiene un papel importante en dinmica de fluidos. El arrastre sobre buques y misiles, la eficiencia de compresores y turbinas en motores a reaccin, la efectividad de tomas para turborreactores y estatorreactores, son consideraciones esenciales que dependen del comportamiento de la capa lmite y sus efectos sobre el flujo principal. ESPESOR DE LA CAPA LMITE Yasehahabladoacercadelespesordelacapalmite,enunaformacuantitativa, comolaelevacinporencimadelafronteraquecubreunaregindelflujodonde existeungradientedevelocidadaltoy,enconsecuencia,efectosviscososquese tienen en cuenta. Como se seal, el perfil de velocidad se fusiona suavemente con el perfil de la corriente principal, como se muestra en la figura n 02, de manera que no hayunademarcacinobviaquepermitamedirelespesordelacapalmiteenuna formasimple.Sinembargo,existenvariasdefinicionesdelespesordelacapalmite quesonbastantetiles.Unadeestasmedidasesconsiderarqueelespesoresla distancia6desdelaparedhastadondelavelocidaddelfluidoesigualal99%dela velocidad de la corriente libre2. Otramedidaeselespesordedesplazamiento*,definidocomoladistanciaquela fronteratendraqueserdesplazadasitodoelflujosesupusierasinfriccinyse mantuviera el mismo flujo de masa en cualquier seccin. Luego,considerandounanchounitarioalolargodezatravsdeunaplacaplana infinita con un ngulo de ataque cero (vase la figura 03), para flujo incompresible se tiene: Esosresultadossemuestranenlafigura03.Elmotivoparacalcularelespesorde desplazamiento es permitir el uso de un cuerpo desplazado en lugar del cuerpo real, demaneraqueelflujodemasasinfriccinalrededordelcuerpodesplazadoseael mismo que el flujo de masa real alrededor del cuerpo real. Se hace uso del espesor de desplazamiento en el diseo de tneles de viento, en las tomas de aire para motores a reaccin, etc. Se presentarn varios problemas de tarea que involucran el espesor de desplazamiento. Otramedidaeselespesordemomentum.stesedefinecomoladistancia desdelafronterarealdemaneraquelatasadeflujodemomentumlinealdela velocidad uniforme U a travs de una seccin de altura (vaselafigura04a)esigualalatasadeflujodemomentumsobretodalaseccin paralacualseusaelperfilrealu(y)paraelflujodemasa,peroseusaeldficitde velocidad [U - u] para la velocidad al calcular este flujo de momentum (vase la figura 04b). Es decir, Enlaseccinsiguiente(sealadaconasterisco)sepresentaconalgndetalleel trabajodeBlasiusparacalcularelespesordelacapalmitelaminar.Paralos lectoresquenodeseenestadeduccindetalladaenestemomentosedarun pequeo resumen de la misma. SeempiezaconlasecuacionesdeNavier-Stokesparapelculasdelgadas, simplificadas en la seccin 10.7, y las ecuaciones de continuidad. Luego, para = 0 se tienen los resultados siguientes: Elprocedimientoesreducirlasecuacionesdiferencialesparcialesaunaecuacin diferencial ordinaria nica. Esto se hace introduciendo primero lafuncin decorriente , definida de acuerdo con las relaciones siguientes: Hayquerecordarquelaecuacindecontinuidad(06)sesatisfaceidnticamente cuandoseexpresaelcampodevelocidadenfuncinde,comosehizoantes. Luego, se introducen las siguientes variables nuevas: Eldesarrollodetalladodelaseccinsiguientemuestraquelaecuacin(05)puede escribirse como la ecuacin diferencial ordinaria para f dondeeslavariableindependiente.Estaecuacinseconocecomoecuacinde Blasius. Las condiciones de frontera apropiadas son Blasius resolvi esta ecuacin en forma analtica. No se han seguido los detalles de la solucinrealenestetexto,debidoaqueestnmsalldelniveldellibro.Sin embargo,enelcaptulo16seresuelveestaecuacinenformanumrica.Utilizando estasolucinanalticaparaf,Blasiusfuecapazdedarlossiguientesresultados exactos para capas lmites laminares, utilizando como espesor la altura para la cual u = 0.99U. Sepresentarallectorunametodologaaproximadaparaobtenerresultadosmuy cercanosalosanteriorespara/xy*/xenflujolaminar.Msimportantean:este mtodoofrecebuenosresultadosparacapaslmitesturbulentasenlascualesnose tiene una solucin exacta del espesor de la capa lmite. ECUACIONES SIMPLIFICADAS DE LA CAPA LMITE PARA FLUJO LAMINAR; ECUACIN DE BLASIUS UtilizandolasecuacionesdeNavier-Stokes,unconjuntodeecuacionessimplificadas paraunalminadelgadadeflujosobreunasuperficieplanaquepudoaplicarsea pelculas delubricacinal igual que a capas lmites. Se establecieron las ecuaciones siguientes: Ntesequeparafronterasligeramentecurvas,estasecuacionessonvlidasenun punto para el flujo en la capa lmite si se utilizan coordenadas curvilneas, una de las cuales se ajusta a la frontera y la otra es perpendicular a sta. Asimismo, en el anlisis de la seccin que el nmero de Reynolds denotado como Re, enlaformaUx/v,dondeladimensinlongitudinalesladistanciadesdeelbordede ataque de la placa hasta cualquier punto a lo largo de la frontera, tiene una magnitud de O(1/*). Esto se debe a que tanto U como x eran de un orden unitario en el anlisis yvresulttenerunamagnituddeO(2).Deacuerdoconestopuedeestablecerse, luego de notar que x = O(1), que el espesor de la capa lmite est relacionado con este nmero de Reynolds como Este resultado es independiente de las unidades involucradas. Se encontrar que ese valor del nmero de Reynolds es muy importante para determinar la posicin a lo largo delaplacaenlacualesprobablequeocurralatransicindeflujolaminaraflujo turbulento.Deloanteriorresultaevidentequeencualquierposicinfijax,cuanto mayorseaelnmerodeReynolds,esdecir,cuantomayorseaUomenorseav,el espesor de la capa lmite ser menor. Seconsiderarlacapalmiteformadasobreunaplacadelgadaenpresenciadeun flujonoviscosouniformedevelocidadUqueseaproximahacialaplaca(vasela figura 05). En este caso, la presin en el flujo uniforme es constante, de manera que noexistirgradientedepresindpldxenlacapalmite.Deacuerdoconesto,es necesario trabajar con el siguiente conjunto de ecuaciones: Considrese ahora el perfil de velocidad u(y) en la capa lmite. Se supone que puede encontrarse un par de factores de escala para cambiar la ordenada y y la abscisa X, respectivamente, de manera que en cualquier posicin x, del flujo el perfil a escala es congruente (idntico) con el perfil a escala en cualquier otra posicin X. Un flujo como stesedenominaflujoautosimilarosimplementeflujosimilar.Elcampode velocidad en la variable a escala nicamente ser una funcin de la misma; la abscisa noaparece.Porconsiguiente,enlugardetenerunaecuacindiferencialparcial [ecuacin (14a)l con dos variables independientes, se tendr una ecuacin diferencial ordinariaparalavelocidadaescalaconlaordenadaaescalacomovariable independiente.Medianteeltrabajosobrelaecuacin(14a)pararemplazarlaporuna ecuacindiferencialordinaria,seencuentranlosfactoresdeescalaapropiadosque vuelven el flujo autosimilar. Es de esperarse que en esta etapa temprana el campo de velocidad a escala debera ser (u/U) y la ordenada a escala debera ser y/. Adems, en la ecuacin (13b) es de esperarse que la ordenada a escala fuera [y/()]. Ahoraseprocederconesefincentrndoseenobtenerlaecuacindiferencial ordinariaqueeslamuyconocidaecuacindeBlasius.Comoprimerpaso,se reducirnlasecuaciones(14)aunaecuacinnica.Estosehaceintroduciendola funcin de corriente , de manera que Utilizandosesatisfaceautomticamentelaecuacindecontinuidad,comopuede verificarse, de manera que slo se trabajar con la ecuacin (14a). Sedeseaquemedianteunatransformacindevariablessimilaresseformeuna ecuacindiferencialordinariapararemplazarlaecuacindiferencialparcial.Para hacerlo, se transforman las variables independientes x y y, y la variable dependiente en las siguientes formas: Enelprocesoquesigueseconsiderarfcomoindependientedeynicamente comouna funcinde. Eltrabajoserencontrarlas funcionesh(X)y g(x)anteriores quellevanaqueftengaestacondicin,yenesaformaconducenaunaecuacin diferencialordinariaparafcomolavariabledependienteycomolavariable independiente. Al introducir las nuevas variables, utilizando la regla de la cadena para derivacin, se nota que Ntese en la ecuacin (16b) que Asimismo,seimponelacondicin()/t=0conlaexpectativadellegarauna ecuacindiferencialordinaria.Conayudadelasecuaciones(18)seconviertenlas ecuaciones (17) en Ahora, empleando las ecuaciones (15), (16) y (19), se expresan u y v como sigue: Superficie lisa Siexisteunfluidoidealconescurrimientopermanenteyuniformeyflujolaminare introducimosensuinteriorunaplacafinaparalelaalflujo(Fig.6.1)noseproducir alteracin alguna y la velocidad sera la misma al ingreso y al egreso. Enlarealidadnosucedeesopor causadelaviscosidad.Dondeel fluidocontactala placa a barlovento, V0 = 0, apareciendo esfuerzos tangenciales (Fig. 6.2) que provocan variedad de velocidad entre las capas. A una distancia a sotavento, cuando desaparece la influencia de la placa, el diagrama de velocidad vuelve a ser rectangular. Siseanalizaunaplacaconbordebiselado,paraevitarfenmenoslocalesenel extremo,sepuedeconstatarexperimentalmentequeaparecentreszonas diferenciadas,laprimeraconflujolaminar,lasegundadetransicinylaterceracon flujo turbulento. Si se trazan los diagramas de velocidad en cada tramo y se denomina oalaaltura,dondelavelocidadencadaseccinvuelveaserconstante,seobtiene unalneacurvaquesellamabordedelacapalmite,siendoestaltimaelespacio comprendido entre la curva y la placa. (Fig. 6.3). En realidad, el lmite de la capa en la zona turbulenta no es una lnea suave, sino que vara entre ciertos lmites (Fig. 6.4) que se puede fijar entre 0,4 y 1,2 o. Lapresindentrodela capalmitepuedeserconsideradaconstantea lolargodela placa e igual a la presin externa. En Fig. 6.5 vemos la superposicin de los diagramas de velocidad correspondientes a las capas laminar y turbulenta, donde el gradiente de velocidad es mayor en esta ltima. Capa lmite laminar Lasmolculasdelfluidoestnenagitacinpermanenteypenetranenlascapas adyacentes. Cercadelaplaca,lavelocidadesceroporefectodelaviscosidadqueprovocala adherencia del fluido, efectos que se va perdiendo a medida que aumenta z. Lamolculaquepasaporunacapamsrpidaalamslentasuministrauna determinada cantidad de movimiento, que es mayor que la que poseen las molculas de esta ltima. Viceversa, la molcula que pasa de una capa lenta a otra ms rpida, entrega una cantidad de movimiento que es menor que el que posee las molculas de esta capa. Consecuencia: La capa ms veloz pierde cantidad de movimiento y la ms lenta gana. Aparece as una fuerza constante que origina la viscosidad molecular. Laslneasdecorrientetienenpocainclinacinprximaalahorizontalyelflujoes laminar. v v Fig. 6.5.- Perfiles de velocidad media de las capas lmites laminar y turbulenta Podemoshallarladistanciaxdondefinalizaestacapa.SiseconsideraelN de Reynolds. Re =x . VDatos : Re =4.105 = 0,145 cm2/seg. V =40 m/seg. cm. 5 , 14 =4000145 , 0 . 400000=V . Re= x Capa lmite de transicin Endeterminadomomento(apartirdex)elflujocomienzaaserinestableyno comportarse como laminar. La velocidad no es constante en un mismo punto. Capa lmite turbulenta Enestazona,yanosolamentehayintercambiodemolculassinodepartculasde fluido que se desplazan caticamente, entre las cuales existen gradientes de velocidad importantes que provocan remolinos. Estacapaseextiendeindefinidamenteyeslaquemsinteresaenelanlisis estructural. La velocidad es un valor medio sobre un intervalo corto y no instantnea. Subcapa laminar (viscosa) En la zona turbulenta, existe una capa de muy pequeo espesor (Fig. 6.5) o donde el elevado gradiente de velocidad impide la formacin de remolinos al incrementarse V y no permitir el intercambio de partculas, por influencia de la viscosidad. Partiendo de los datos de 4.1.1. el valor de o = 0,007 cm Ley potencial. a)Adems de la ley de Prandtl hay diversas expresiones tericas deducidas para determinarlaleydevariacindelasvelocidadesmediasdelvientoconla altura.Lasmascorrectassebasan,comolaleydePrandtl,aefectosdel intercambiodecantidadesdemovimientodeunacapalmiteturbulenta, aplicando el problema meteorolgico los estudios hechos en la teora de capa lmite.Estassolucionesdifierenentresporlashiptesisadmitidasparael intercambiode cantidad de movimiento. b)Entretanto,unabuenaconcordanciaconlosdatosexperimentalespuedeser obtenida por una simple ley de potencia del tipo: |.|

\|=z`zVV(z`)(z) 14 , 0 : C . Exp0,25 : B Exp.0,35 : A Exp

|.|

\|=10 10z) ( i , V) z ( i , Vzt (6.3) PROBLEMA DE APLICACION Un tanque de sedimentacin para suministro de agua a un municipio tiene 3 m de profundidad, existiendo un flujo horizontal continuo de 30 cm/s. Si se desea que sedimenten todas las partculas (supuestas esfricas) de dimetro superior a 1 mm antes de que el agua salga del tanque: cul debe ser la longitud mnima, L, del tanque? DATOS: Densidad del agua, = 1000 kg/m3; densidad de las partculas, P = 2600 kg/m3; viscosidad cinemtica del agua, = 1.2110-6 m2/s; sese el diagrama del problema anterior del CD = CD (Re) para esferas. RESOLUCIN La velocidad terminal de cada se alcanza cuando se igualan el peso de la esfera y la suma del empuje ms la fuerza de arrastre sobre la misma. Realizando el balance de fuerzas cuan do se ha alcanzado dicha velocidad: