presentacion capa limite

Teorıa de la CapaLımite Laminar

Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud

Ecuaciones decapa lımite

Flujo sobre unaplaca plana

Efecto delgradiente depresiones

Efecto del lasuccion/soplado

Teorıa de la Capa Lımite Laminar

Miguel Hermanns

Universidad Politecnica de Madrid, Espana

4 de diciembre de 2006


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud





Introduccion

U

L

Σ

ρ, µ y U constantes

Si el numero de Reynolds es grande

Re =ρUL

µ� 1

se obtienen las ecuaciones de Euler incompresibles

∇ · v = 0, ρv · ∇v = −∇p +∇ · τ

con las siguientes condiciones de contorno:

x ∈ Σ : v · n = 0, v · t = 0

|x| → ∞ : v → U, p → p∞


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud





Ludwig Prandtl

Antes the 1904:

Los teoricos y los experimentalistas no se entendıan

La teorıa y los experimentos no coincidıan

No era posible predecir la resistencia aerodinamica


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud





El concepto de capa lımite

U

L

Σ

δ

ρ, µ y U constantes

El flujo no cumple la condicion v = 0:

x ∈ Σ : |v| = ue(x) ⇒ pe +1

2ρu2

e = p∞ +1

2ρU2

Aparece una capa lımite, de espesor δ � L, en la cualla viscosidad no es despreciable

A traves de la capa lımite la velocidad decae hasta cero


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud





Multiplicidad de las soluciones no viscosas

Las ecuaciones de Euler presentan infinitas soluciones, yademas no predicen la fuerza que actua sobre el cuerpo:

D = 0 D = 0 D 6= 0

No se obtiene automaticamente la solucion de lasecuaciones de Navier-Stokes correspondiente al lımite deRe→∞

⇒ Hay que tener en cuenta la capa lımite


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud





Analisis de los ordenes de magnitud

L

U

p8

ρ, µ δ

yx

yx

yO

x

Uso de las coordenadas de capa lımite (x , y)

Curvaturas moderadas de la superficie: (R ∼ L)

Flujo plano e incompresible con viscosidad constante


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud






L

U

p8

ρ, µ δ

yx

yx

yO

x

Ecuacion de continuidad:

∂u

∂x+∂v

∂y= 0

U

L∼ vc

δ

Velocidad transversal caracterıstica en la capa lımite:

vc ∼ Uδ

L� U


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud






L

U

p8

ρ, µ δ

yx

yx

yO

x

Ecuacion de cantidad de movimiento segun x :

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

∂p

∂x+ ν

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)U2

L∼ Uvc

δ

∆xp

ρLν

U

L2� ν

U

δ2

Espesor caracterıstico de la capa lımite:

δ ∼√νL

U=

L

Re1/2� L


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud






L

U

p8

ρ, µ δ

yx

yx

yO

x

Ecuacion de cantidad de movimiento segun y :

u∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ O

(u2

R

)= −1

ρ

∂p

∂y+ ν

(∂2v

∂x2+∂2v

∂y2

)Uvc

L∼ v2

c

δ

U2

L

∆yp

ρδν

vc

L2� ν

vc

δ2

Variaciones de presion a traves de la capa lımite:

∆yp ∼ ρU2 δ

L� ρU2 ∼ ∆xp


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud






L

U

p8

ρ, µ δ

yx

yx

yO

x

Resumen del analisis de los ordenes de magnitud:

vc ∼U

Re1/2∆xp ∼ ρU2

δ ∼ L

Re1/2∆yp � ∆xp

La presion no varıa a traves de la capa lımite:

p(x , y) = pe(x)


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud





Ecuaciones de capa lımite

Ecuaciones de Navier-Stokes simplificadas:

∂u

∂x+∂v

∂y= 0

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

dpe

dx+ ν

∂2u

∂y2

Condiciones de contorno e ”inicial”:

u(x , y = 0) = 0

v(x , y = 0) = 0 u(x = 0, y) = u0(y)

u(x , y � δ) = ue(x)

Ecuacion de la region exterior:

uedue

dx= −1

ρ

dpe

dx


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud





Ecuaciones de capa lımite

Ecuacion de capa lımite para la funcion de corriente ψ:

∂ψ

∂y

∂2ψ

∂x∂y− ∂ψ

∂x

∂2ψ

∂y2= −1

ρ

dpe

dx+ ν

∂3ψ

∂y3

Condiciones de contorno e ”inicial”:

ψy (x , y = 0) = 0

ψ(x , y = 0) = 0 ψy (x = 0, y) = u0(y)

ψy (x , y � δ) = ue(x)

Ecuacion de la region exterior:

uedue

dx= −1

ρ

dpe

dx


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud





Propiedades de las ecuaciones de capa lımite

El problema planteado es parabolico

Las soluciones no cumplen que v → 0 cuando y →∞

Sus soluciones no dependen del numero de Reynolds:

u =u

U, x =

x

L, p =

p

ρU2, v =

v

vc, y =

y

δ

vc =U√Re, δ =

L√Re

∂u

∂x+∂v

∂y= 0,

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −dpe

dx+∂2u

∂y2,

u(x , y = 0) = 0

v(x , y = 0) = 0

u(x , y →∞) = ue(x)

u(x = 0, y) = u0(y)


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud





Resultados de la capa lımite

Proporciona el esfuerzo de friccion en la pared:

τw = µ∂u

∂y

∣∣∣∣y=0

∼ µU

δ∼ ρU2

Re1/2

Proporciona el punto de separacion de la capa lımite:

⇒ Resuelve el problema de la multiplicidad de soluciones

⇒ Determina la fuerza que actua sobre el cuerpo

Criterio de separacion de la capa lımite: τw = 0


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud





Resultados de la capa lımite

Proporciona el espesor de la capa lımite:

⇒ Espesor δ(x) basado en percentiles:

u(x , y = δ(x)) = 0.99ue(x)

⇒ Espesor de desplazamiento δ∗(x):

δ∗ =

∫ ∞

0

(1− u

ue

)dy

x

y = H

U

y = Y + δ∗

y = Y ue(x)


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud





Flujo sobre una placa plana

Up∞ ≈

xy

Ecuaciones de Euler:

∇ · v = 0, ρv · ∇v = −∇p

Condiciones de contorno:

y →∞ : u = U, v = 0, p = p∞

x > 0, y = 0 : v = 0

Solucion:u = U, v = 0, p = p∞


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud





Capa lımite sobre una placa plana

δ(x)8

U

p

Ecuaciones de capa lımite y condiciones de contorno:

∂u

∂x+∂v

∂y= 0

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

dpe

dx+ν

∂2u

∂y2

x > 0, y = 0 : u = 0, v = 0

y →∞ : u = U

x = 0 : u = u0(y) = U


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud






δ(x)

8

U

p

Ecuaciones de capa lımite y condiciones de contorno:

∂ψ

∂y

∂2ψ

∂x∂y− ∂ψ

∂x

∂2ψ

∂y2= −1

ρ

dpe

dx+ ν

∂3ψ

∂y3

x > 0, y = 0 : ψy = 0, ψ = 0

y →∞ : ψy = U

x = 0 : ψy = u0(y) = U


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud






δ(x)8

U

p

No existe longitud caracterıstica L (L⇔ x):

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= ν

∂2u

∂y2

U2

x∼ Uvc

δ∼ ν

U

δ2

Espesor caracterıstico de la capa lımite:

δ ∼√νx

U⇒ ψc ∼ Uδ ∼

√νUx


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud





Solucion de Blasius

δ(x)8

U

p

El problema de capa lımite a resolver es:

∂ψ

∂y

∂2ψ

∂x∂y− ∂ψ

∂x

∂2ψ

∂y2= ν

∂3ψ

∂y3

Este problema admite solucion de semejanza:

η = y

√U

2νx, ψ =

√2νUxf (η)

La ecuacion a resolver sera:

f ′′′ + ff ′′ = 0, f (0) = f ′(0) = 0, f ′(∞) = 1


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud





Solucion de Blasius

Las componentes de la velocidad vienen dadas por:

u = Uf ′(η), v =

√νU

2x

(ηf ′ − f

)


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud





Solucion de Blasius

experimental perfil de Blasius


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud





Solucion de Blasius


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud





Solucion de Blasius

Esfuerzo local en la pared:

τw = µ∂u

∂y

∣∣∣∣y=0

=f ′′(0)√

2

ρU2

Re1/2x

= 0.332ρU2

Re1/2x

Espesor de desplazamiento:

δ∗ =

∫ ∞

0

(1− u

U

)dy =

√2νx

Ulım

η→∞(η − f ) = 1.721

x

Re1/2x

Velocidad vertical:

v∞(x) =

√νU

2xlım

η→∞(η − f ) = 0.860

U

Re1/2x


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud





Efecto del gradiente de presiones

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

dpe

dx+ ν

∂2u

∂y2

uedue

dx= −1

ρ

dpe

dx

Nearlyinviscid

core flow

Boundarylayers

U(x)

Profile pointof inflection

Separationpoint

w = 0

x

Dividingstreamline

Backflow

Separation

Nozzle:Decreasing

pressureand area

Increasingvelocity

Favorablegradient

Throat:Constantpressureand area

Velocityconstant

Zerogradient

Diffuser:Increasing pressure

and area

Decreasing velocity

Adverse gradient(boundary layer thickens)

U(x) ( x)δ

( x)δ

τ


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud





Efecto del gradiente de presiones

∂2u

∂y2

∣∣∣∣y=0

=1

µ

dpe

dx

Criterio de separacion de la capa lımite: τw = 0


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud





Soluciones de Falkner-Skan

Si la distribucion de velocidades es de la forma

ue(x) = Axm ⇒ pe(x) ∼ x2m

entonces el problema tiene solucion se semejanza:

η = y

√m + 1

2

ue(x)

νx, ψ =

√2

m + 1νxue(x)f (η)


f ′′′ + ff ′′ + β(1− f ′2) = 0, f (0) = f ′(0) = 0, f ′(∞) = 1

con el siguiente parametro:

β =2m

m + 1πβU


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud






Casos especiales de las soluciones de Falkner-Skan:

β = 0: Solucion de Blasius:

ue(x) = U ⇒ δ ∼√

2νx

U

πβ = 0U

β = 1: Punto de remanso sobre un cuerpo romo:

ue(x) = Ax ⇒ δ ∼√ν

AπU


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud






Si β > 0 ⇒ la capa lımite se adhiere mas a la pared

Si β < 0 ⇒ aparece un punto de inflexion


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud





Efecto de la succion/soplado

Sin succion Con succion

Succion:

Retrasa la separacion de la capa lımite

Retrasa la transicion a la turbulencia

Aumenta los esfuerzos de pared

Soplado:

Favorece la separacion de la capa lımite

Reduce los esfuerzos de pared


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud






Si la distribucion de succion/soplado es de la forma

vw (x) = v∗wU

Re1/2x

entonces el problema tiene solucion de semejanza:

η = y

√U

2νx, ψ =

√2νUxf (η)


f ′′′ + ff ′′ = 0, f (0) = −√

2v∗w , f ′(0) = 0, f ′(∞) = 1

con el siguiente parametro:

v∗w


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud






Si v∗w < 0 ⇒ la capa lımite se adhiere mas a la pared

Si v∗w > 0 ⇒ aparece un punto de inflexion

Para v∗w = 0.619 se produce la separacion


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud





Efecto de una protuberancia localizada

U

p∞

L≈ ` � L

Re =UL

ν� 1

La teorıa de capa lımite deja de ser valida, porejemplo, cerca del borde de salida o cuando haydesprendimiento

En esos casos la teorıa del ”Triple-Deck”, o capalımite interactiva, permite estudiar dichos flujos


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud






U

p∞

L≈ ` � L

δ ∼q

νLU

Re =UL

ν� 1

La longitud ` de la protuberancia es pequena frente ala longitud de desarrollo L de la capa lımite

La altura h de la protuberancia es pequena frente alespesor δ de la capa lımite

Flujo plano e incompresible con viscosidad constante


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud






U

p∞

L≈ ` � L

δ ∼q

νLU

Re =UL

ν� 1

Como la longitud de la protuberancia es pequena, `� L,

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= ν

∂2u

∂y2

U2

`∼ Uvc

δ� ν

U

δ2

la viscosidad no actua en la mayorıa de la capa lımite (y ∼ δ)


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud






U

p∞

uc

L≈ ` � L

δ ∼q

νLU

δv � δ

Re =UL

ν� 1

La viscosidad solo actua en una subcapa viscosa de espesorδv , donde la velocidad caracterıstica es uc ∼ (U/δ)δv � U:

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= ν

∂2u

∂y2

u2c

`∼ ucvc

δv∼ ν

uc

δ2v⇒ δv ∼ δ

(`

L

)1/3


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud






A(x) ∼ δv

U

p∞

uc

u = U + δuv = δvp = p∞ + δp

L≈ ` � L

∼ `

δ ∼q

νLU

δv ∼ h

Re =UL

ν� 1

v = ∇φ

∇2φ = 0

La protuberancia de altura h ∼ δv desplaza verticalmentela capa lımite una distancia A(x) ∼ δv e induceperturbaciones en la corriente exterior:

(δu, δv) ∼ Uδv`

⇒ δp ≈ −ρUδu ∼ ρU2 δv`

La corriente exterior es irrotacional


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud






A(x) ∼ δv

U

p∞

uc

u = U + δuv = δvδp ∼ ρU2δv /`

L≈ ` � L

∼ `

δ ∼q

νLU

δv ∼ h

Re =UL

ν� 1

v = ∇φ

∇2φ = 0

Las perturbaciones en la presion δp afectaran a la delgadasubcapa viscosa si:

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

∂p

∂x+ ν

∂2u

∂y2

u2c

`∼ ucvc

δv∼ δp

ρ`∼ ν

uc

δ2v⇒ δv ∼

δ2

`


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud






A(x) ∼ δv

U

p∞

uc

u = U + δuv = δvδp ∼ ρU2δv /`

L≈ ` � L

∼ `

δ ∼q

νLU

δv � δ

Re =UL

ν� 1

v = ∇φ

∇2φ = 0

De las dos condiciones anteriores se obtienen las escalascaracterısticas del problema:

δv ∼ δ

(`

L

)1/3

δv ∼δ2

`

⇒

`

L∼ 1

Re3/8� 1

δvδ∼ 1

Re1/8� 1


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud





Efecto de una protuberancia localizadaEl problema a resolver en la subcapa viscosa es:

∂u

∂x+∂v

∂y= 0

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

dp

dx+ ν

∂2u

∂y2

donde la presion viene dada por:

p = −ρU2

π

∫ ∞

−∞

A′(x1)

x − x1dx1

y las condiciones de contorno a imponer son

y = h(x) : u = v = 0

y � δv : u = λ [y + A(x)]

x → −∞ : u = λy , v = 0

Las incognitas del problema son ahora u, v , p(x) y A(x)


Miguel Hermanns

Introduccion

Ordenes demagnitud






Propiedades del problema en la subcapa viscosa:

El problema ya no es parabolico sino elıptico

Admite desprendimientos locales de la capa lımite

La teorıa ”Triple-Deck” tambien es aplicable a:

Las cercanıas del punto de separacion

La region en torno al borde de salida de un perfil

La interaccion de ondas de choque con capas lımite

Cambios bruscos de las condiciones de contorno

presentacion capa limite

Documents