stetige modifikationen komplexer mannigfaltigkeiten

KREYSZIG, E. Math. Ann~len, Bd. ]28, S. 479--492 (1955).

Stetige Modifikationen komplexer Mannig[altigkeiten. Von

ERWIN KI~EYSZlG in Miinster i. W.

1. Einleitung.

In der algebraischen Geometric kcnnt man seit l~ngerer Zeit das Ver- fahren, eine Funktion ](zl,zz) zwcier komplexer Variablen, die in einem Punkte P eine aul3erwesentlich singul~re Stelle zweiter Art 1) besitzt, sich also dort als Quotient zweier holomorphcr und tcilerfremder Funktionen dar- stellen l~Bt, die beide im Punkt P verschwinden, eindeutig zu maehen. ~Iierzu entfernt man auf dem Riemannschen Gebiete yon / (dem zweidimension&len 2) Analogon der Riemannschen Fl~che) den Punkt P und ersetzt ihn mittels einer oder mehrerer quadratischer Transformationen durch eine oder mehrere eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten, deren jede homSomorph einer komplexen projektiven Geraden ist. H. HOrF a) hat diese Methode auf topo- ]ogische Fragen iibertragen, indem er fiir zweidimensionale komplexe Mannig- faltigkeiten M 2 den sog. ,,a-ProzeB im Punkte P C M 2'' definierte. Dieser Proze6 besteht darin, dal~ der Punkt P ohne ~nderung der komplexen Struktur yon M ~ - P dureh eine komplexe Mannigfaltigkeit S 1 (P), die einer komplexen projektiven Geraden homSomorph ist, derart ersetzt wird, daft der dadurch entstehende R a u m ~M~= (M 2- P ) u SI(P) wiedcr eine komplexe Mannig- faltigkeit ist. Es handelt sich also um einen lokalen Vorgang im Punkte P. Der Repr~sentant yon SI(P) ist das Bfisehel der Linienclemente mit dam Tr~ger P. - - H. B~H~KE und K. STEI~ 4) haben dann kiirzlich den Begrfff dar Modffikation einer komplexen Mannigfaltigkait M n und eines Riemann- sehen Gebiet~s eingefiihrt, dem sich der a-ProzeB als Sonderfall unterordnat. Es handelt sich datum, einen abgeschlossenen Teil N aus M n herauszunahman und dann zu fragen, in welchar Weise der Rest M " - N zu einar umfassendan MannJgfattigkcit ' M n erg~inzt werden kann, also um ein Fortsetzungsproblem 5).

1) Vgl. z . B . H . BE~'~K~ und P. THV~EN: Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Verfia~der]iehen. Erg. Math. 8, 3 (1934).

2) Die Dimension bezeichnet durchweg die Anzaht der komptexen VerAnderlichen. Die (hier nieht interessierende) topologische Dimension des Riemannsehen Gebietes yon I is t also 4.

a) H. HOeF: t~ber komplexe-analytische Mannigfaltigkeiten. Rend. Mat. Roma 10, 169--182 (1951).

4) H. BEHNXE und K. STEIn: Modifikationen komplexer Mannigfaltigkeiten und Rie- ma~nscher Gebiete. Math. Ann. 124, 1~16 (1951). Den Verfassern danke ich sehr fiir die Anregung und Ftirderung der vorliegenden Untersuchungen.

s) Beziiglich entsprechender Fragen bei Funktionen yon einer komplexen Ver~nderlichen siehe S. Boomers: ~'ortsetzung Riemannacher Flachen, Math. Ann. 98, 40e ~21 (1927); M. HEIRS: On the continuation ofa Riemann surface, Ann. of Math. 48, 280--297 (1942); L. S ~ o : (~ber Riemannsehe Flaehen mit hebbarem Rande, Ann. Acs~I. Sci. fenn. No. 50 (1948).

480 ERWIN KREYSZIG :

Genauer: (DeLl ) M n u~d 'M" seien komplexe Mannig/altigkeiten. N ( M n und

'N ( " M ~ seien abgeschlossene Mengen. Dann heiflt 'M neine Modi/ikation yon M ~ in N, wenn

1. eine eineindeutiye analytische Abbildung T" yon " M n - ' N au/ M ~ - N exkstiert und wenn es

2. zu ]eder beliebigen Umgebung U(N) und zu ]edem Punkte 'P ( ' N eine Umgebung gibt, deren Durchschnitt rnit ' M ' - ' N in U(N) - N abgebildet wird.

Die besondere Bedeutung des Modifikationsbegriffes erhellt unmittelbar, wenn man sich die Frage vorlegt, in welcher Weise der n-dimensionale kom. plexe Raum C n d e r Ver~nderlichen Zl, z 2 . . . . , Zn abgeschlossen werden kann; durch diese Frage wurden die genannten Verfasser angeregt, den Modifi- kationsbegriff einzufiihren. Sie gaben eine wichtige und tiefliegende Er- weiterung eines Satzes yon T. RADO a) und bewiesen mit deren Hilfe den folgenden Satz: Das Riemannsche Gebiet 'G n sei eine Modifikation des Rie- mannsehen Gebietes G ~ in der kompakten Menge N ( G n. In einer Umgebung U(N) existiere eine eindeutige holomorphe Funktion, die nirgends identisch versehwindet und iiberall auf 5 / d e n Wert Null annimmt. Dann unterscheidet sich "G ~ von G ~ - N nur durch Stiicke eines analytischen Gebildes. - - Sodann hat F. I-In~ZEB~UC~ :) das Verfahren der Modifikation mit groBem Erfolg ver- wendet, um zweidimensionale Riemannsche Gebiete zu komplexen Mannig- faltigkeiten zu machen; modifiziert wird hierbei in den (in diesem Fall isoliert liegenden) nichtuniformisierbaren Punkten. Ob dieses Problem fiir hShere Dimensionen stets eine LSsung zul~Bt, ist noch unbekannt. Die topologischen Prozesse korrespondieren dabei mit algebraisch-geometrischen~ die von H. JUNG s) herriihren. - - Aus alledem ergibt sich die fundamentale Wichtigkeit des neuen Prozesses der Modifikation.

Bei verschiedenen Problemen ist es seh~ oft mSglich, eine stetige bzw. eine analytische Abbildtmg der modifizierten Mannigfaltigkeit in die urspriingliche anzugeben. Man ist dann in der I~ge , hieraus eine Reihe wesentlicher Folge- rungen zu erschlieBen. D e s h a l b gilt unsere Untersuehung besonderen Formen der Modifikation, die wir folgendermaBen definieren :

(Def. 2) Ldflt 8ich bei einer Modi/ikation nach De/. 1 die eineindeutlge ana. lyti~che Abbildung T' des ,,Res~ereiches" 'M n - ' N au/ den Restbereich M n - N zu einer stetigen bzw. analytischen bzw. elgentlichen Abbildung T van 'Mn in M n ]ortsetzen, so heifle die betre//ende Modi/ikation stetig bzw. analytisch bzw.

*) T. RADO : ]~ber eine nicht fortsetzbare Riemannsche Mannigfaltigkeit. Math. Z. 20,

~) F. HIRZEBRUCH: ~ber vierdimensionale Riemannsche Flachen mehrdeutiger analytischer Funktionen yon zwei komplexen Ver~nderlichen. Diss. Miinster 1950. Vgl. aueh das Expos~ eines VorCxages yon H. C~aTA~ im S~minaire Bourbaki, Fonctions et variSt~ algebroides, d'apr~s HmZE~R~C~ Dezember 1953.

8) H. Ju~G: Darstellung der Funktionen eines algebraischen KSrpers zweier unab- hg~dger Ver~nderlichen x, y in der Umgehung einer SteUe x ~- a, y == b, J. mine u. angew. Math. 188, 289--314 (1908). Vgl. auch die Literaturangaben bei B. L. vA~ DEI~ WA~D~: Die Bedeutung des Bewertungsbegriffes fiir die algebraische Geometrie. Jber. dtsch. Math.Vet. 52, 161~172 (1942).

Stetige Modifikationen komplexer Mannigfaltigkeiten. 481

eigentlich. T heiflt die zu der Modi/ikation geh6rende Modi]ika~ionsabbildung. Ist T eineindeutig und analytisch, so heiflt die Modifikation trivial. Dabei bezeichnet man eine Abbildung als eigenttich (propre im Sinne yon N. BOUR- BAKIg)), wenn das Urbild jeder kompakten Menge im Bildbereich wieder kompakt ist. Gem~i~ Forderung (2) yon Definition 1 wird 'N in N abgebildet.

Wir kSnnen damn fiir diese besonderen Formen der Modffikation folgende Eigenschaften beweisen: Eine analytisehe Modifikation ist trivialerweise immer eine stetige. Ist N eine analytische Menge, so gilt auch die Umkehrung, und 'N muB ebenfalls eine analytische Menge sein, wie Satz 1 besagt. Aus den S~tzen 2 bis 5 und 7 ergibt sich, dab die Ringe der holomorphen und die KSrper der meromorphen Funktionen von M n und 'M n isomorph sind und dab die natiirliche Isomorphic der Verbi~nde der analytischen Mengenkeime von M n - N und ' . l ~n - 'N zu einer ~Iomomorphie des genannten Verbandes von 'M n auf denjenigen yon M n erweitert wird, wenn sine eigentliche analytische Modffikation vorliegt. Der ttilfssatz 6 besagt u. a., dab bei derartigen Modi- fikationen sine Abbildung yon 'M n au t M n vorliegt. Sind fiberdies N und 'N irreduzible analytische Mengen gleicher Dimension, so ist nach Satz 8 die be- treffende Modifikation trivial.

Im zweiten Teil der Arbeit, der die Abschnitte 3 und 4 umfaflt, wird gezeigt: Die verschiedenen n-dimensionalen einfaeh oder mehrfach projektiven R~ume, die man durch die AbschlieBung des n-dimensionalen affinen Raumes unter Zugrundelegung verschiedener Transformationsgruppen gewinnen kannl), gehen dutch eine Folge yon analytischen Modffikationen, die wit unter dem Begriff der mehrfachen Modifikation zusammenfassen, in ganz bestimmter Weiss auseinander hervor, wie in Satz 13 angegeben ist. Zur Behandlung dieser verschiedenen Abschliettungen vom Standpunkt der Modifikationen aus definieren wir den ,,an, k-ProzeB ' ' , e i n e Verallgemeinerung des Hol~lrschen a-Prozesses. Das algebraisch-geometrische Analogon dieses Prozesses ist als monoidale Transformation bekannt. Der an,~-Prozet~ ist nach Satz 9 sine analytisehe Modifikation und nach Satz 10 koordinateninvariant, Satz 11 betrifft die Auswirkungen des a~"k-Prozesses auf Teilmannigfaltigkeiten yon M ~. Wie sich die Aussagen der S/~tze 1 bis 6 auf mehrfache Modifikationen iibertragen lassen, ist in Satz 12 angegeben.

2. Das Verhalten holomorpher und meromorpher Funktionen und analytischer Mengen bei Modifikationen.

Abkiirzend setzen wir (Zl, Z 2 . . . . . zn) = (z) und ('zl, 'z~ . . . . . 'zn) = ('z). Eine analytische Modifikation ist immer eine stetige. Die Umkehrung gilt, wenn N sine analytische Menge ist:

Satz 1. ' M n 8ei sine stetlge Modi/ikation yon M" in N . Ist N sine analytische Menge, so ist ' N sine ebensolche, und 'M nie$ elne analytisehe Modi/ilcation yon M n. (Fiir die Bezeichnungen vgl. Def. 1 und 2.)

o) N. BOURBAKI: Topologie generals, Kap. I.

482 ERW1N KRt~YSzIo:

Beweis. U(P) sei eine Koordinatenumgebung eines Punktes P E N mit den Koordinaten (z). Jedes Urbitd ' P yon P gehSrt zu 'N. Die Modifikations- abbildung T ist stetig. Also gibt es zu U(P) eine Umgebung 'U( 'P) , deren Bild U(P) in ~ ( P ) liegt. "U('P) liegt dann in einer Koordinatenumgebung yon 'M"; deren Koordinaten bezeichnen wir mit ('z). ~ U(P) f~ N ist nach Voraussetzung identisch mit dem gemeinsamen Nullstellengebitde yon in U(P} holomorphen Funktionen g~(z) ~z O, s = 1, 2 . . . . , S. Hi~tte 'N innere Punkte, so enthielte jede Umgebung 'U('Q) eines beliebigen Randpunktes 'Q E 'N inhere Punkte von 'N. AuBerdem ist sicher " U ( ' Q ) ~ ( ' M n - ' N ) = ~ 0 . Die Abbildung T ~1 existiert im Rest M ~ - N. Folglich haben wir in 'U f~ ( ' M ~ - ' N } holomorphe Funktionen 1°) 'g~= gsT, die genau ffir diejenigen Punkte von 'M n verschwinden, fiir deren Bildpunkte auch gs= 0 wird. Die Voraussetzungen der BE~NKE-STEINschen Erweiterung des RADoschen Satzes 4) sind also fiir alle Funktionen gs erfiillt; dem Teilgebiet G' bei BE~N~E und STEIN entspricht bier ein in 'U - ( 'U ¢~ 'N) enthaltenes maximales Teilgebiet. Also sind die Funktionen 'gs in ganz 'U holomorph fortsetzbar und haben genau ' N ~ 'U als gemeinsame Nullstetlenmenge. "N ist also analytisch in dem beliebig ge- wi~hlten Randpunkte 'Q E 'N, besitzt also keine inneren Punkte. 'N ist abgeschlossen. 'N ist folglich eine analytische Menge und es liegt, wie behauptet, eine analytische Modifikation vor.

Satz 1 hat eine unmittelbare wesentliche Folge: ]st 'M '~ eine stetige Modi/ikation in der analytischen Menge N, so

kann 'N niemals n.dimensional sein. Da die Einsetzung einer holomorphen Funktion in eine ebensolehe wiederum

eine holomorphe Funktion liefert und da jede meromorphe Funktion lokal als Quotient zweier holomorpher Funktionen darstellbar ist, so folgt mit Hflfe von Satz 1 unmittelbar der

Satz 2. Ist 'M '~ eine stetige Modi]ikation von M n in der analytisehen Menge N , so ent~pricht ~eder in M" holomorphen bzw. meromorphen Funktion 9 (z) eine in ' M ~ holomorphe bzw. meromorphe Funktion 'g('z) derart, daft die BeschrSnkung '~ yon ' gau] 'Mn- '2¢ und die Besehriinkung ~ von g a u f M n - N analytiseh dquivalent sind, '~] = ~ T.

Die entsprechende Frage bezfiglich einer in der modifizierten Mannig- faltigkeit "M n gegebenen Funktion stellen wir zurfiek, da wir zu ihrer Beant- wortung die folgenden Satze fiber die Fortsetzung analytischer Mengen heran- ziehen werden.

Satz 3. ' M n sei eine stetige Modi/ikation yon M ~ in der analytischen Menge N. Dann existiert zu ]eder analytischen Menge A C M ne ine analytisehe Menge "A C 'M~ derart, daft 'A ~ ("M n - ' N ) und A f~ ( M '~- N) analytisch aquivalent sind.

Beweis . ' M n ist nach Satz 1 eine analytische Modifikation yon M ". Die Menge A ist in M" lokal als gemeinsame l~ullstetlenmenge yon Systemen holomorpher Funktionen umgebungsweise definiert, etwa in U C M n dureh F~(z ) = 0 , k = 1, 2 . . . . . K. Naeh Satz 2 existieren dann in 'U := T -I U C "M ~ holomorphe Funktionen 'Fk('z), k = 1, 2 . . . . . K , deren Beschr~nkung a u f

t.) Derartige Zusammensetzungen sind yon reehts nach links zu lesen.


'Uf~ ( 'Mn- 'N) analytisch ~quivalent zu der Besehr~nkung der Funktionen Fk(z) auf U (~ (M ~ - N) ist und deren gemeinsames NullsteUengebilde in 'U eine analytische Menge 'A ~ 'U mit den behaupteten Eigenschaften lokal definiert.

Wir benStigen nun den folgenden Satz yon R. REMMERTll). E8 sei T eine eigenttiche analytische Abbildung

der komplexen Alannig]attigkeit 'M n in die komplexe Mannigfattigkeit M n. ])ann ist T ( ' M n) eine in M n analytisehe Menge. Hat T den Rang r, so hat T ( ' M n) in ]edem ihrer Punl~e die Dimension. r. Jede anatytische Menge 'A C 'Mn wird dutch T au/ eine anaZytische Menge A in M n ahgebildet.

Aus diesem Satz und Satz 1 folgt der Satz 4. Ist "M" eine eigentliehe Modifikatiou yon M n in der analyti~chen

Menge N, so gibt es zu ]eder analytischen Menge 'A ( 'M n eine analytische Menge A ( M ~ derart, daft A f~, (M n - 1V) und 'A ~ ( 'M n - 'N) anatytisch i~quivalent sind.

Mit Hilfe des Satzes 4 gewinnen wir nun ein Gegenstiick zu Satz 2. Fiir meromorphe Funktionen gilt

Satz 5. 'M n sei eine eigentliche Modi/ikatlon von M n in der analytischen Menge N. Dann gibt es zu ]eder in 'M n meromorphen Funktion 'h('z) eine in M n meromorphe Funktion h(z), deren Beschrdnkung ~(z) au/ M " - N analytiseh dquivalent zu der Beschrdnkung '~('z) yon 'h('z) au/ ' M n - ' N ist, h = ']~T-L

Beweis. Nach Satz 1 liegt eine eigentliche analytische Modifikation vor, und 'N ist eine analytische Menge. I m Rest M n - N ist die Modifikations- abbildung T eineindeutig, also ist h = ' h T -1 eine dort meromorphe Funktion. W~re ~ nicht zu einer in M" meromorphen Funktion h tbrtsetzbar, so miiBte jede wesentliche Singulariti~t P ~ N von h nach einem Satz von E. E. LEVI und F. HARTOGS TM) in einer Umgebung U ( P ) ( M" einer oder mehreren n - - 1- dimensionalen Komponenten K yon N ~ U angehSren, die nur aus wesentlichen Singulariti~ten yon h bestiinden. Wir zeigen, dab es kein derartiges K gibt. Bezeiehnet F die Menge der Pol- und Unbestimmtheitsstellen yon h in U, so ist h holomorph in " U = U - (K ~ F ) und wesentlich singular in jedem Punkte yon K f~ (U - F). Nach einem Satz von P. THULLEN la) miiBten dann alle a-Stellenfl~chen yon h, mit Ausnahme hSchstens eines Wertes a = a0, jeden Punkt yon K f~ ( U - F) Ms wesentliehe Singularit~t besitzen. Dies ist nn- mSglich, weft die Urbilder dieser Fl~ehen analytisehe Menge in dem Dureh- schnitt des Urbildes 'U von U mit dem Rest 'M n - ' N und damit nach Satz 3 in ganz 'U sind und diese nach Satz 4 als Bilder analytische Menge in M" he- sitzen. Da P beliebig aus N gew~hlt war, so ist h nicht wesentlich singular in M".

'P ~ 'N heiBe ein nichttrivialer Punk~ beziiglieh einer analytischen Modi- fikation 'M n yon M", wenn die Modifikationsabbildung T in keiner Umgebung

11) 1~. I:~EMMERT: Holomorphe und meromorphe Abbildungen analytischer Mengen. Diss. Mfinster 1954.

I~) Vg]. H. BEttNKE und P. THULLEN, siehe Anm. 1, Kap. IV. is) p. TnlYLLEI~: ?~ber die wesentlichen Singularitgten analytischer Funktionen

und Fl~chen im Raum yon n komplexen Veranderlichem Math, Ann. 111, 137~157 (1935).

4 8 4 E~wI~ KREYSZIG :

'U( 'P) eineindeutig ist. Trffft diese Eigenschaft ffir jeden Punkt yon 'N zu, so sagen wir, N wird in nichttrivialer Weise durch 'N ersetzt.

Die Beweise der Si~tze 7 und 8 stfitzen sich auf den folgenden Hillssatz 6. Ist 'M n eine analytische Modi/ikation von M n in N und u~rd N

,in nichttrivialer Weise dutch 'i¥ ersetzt, so ist 'N eine n - 1-dimensionale analytische Menge. Ist die Modifikation auflerdem eigentlich, so gilt: a) Die Modi- ]ikationsabbildung T ist eine Abbildung yon 'M n au] M n. b) N ist eine analytische Menge. c) Ist N reduzibet, so ist auch "N reduzibel.

Beweis. Der Beweis der ersten Aussage ist klar. Zu a): 'N wird in N abgebildet. Wir zeigen, daff jeder Punkt Q von 2V Bildpunkt von Punkten 'Q von 'N ist. (Qm) sei eine gegen Q E N konvergierende Folge yon Punkten aus M n - N. Diese ist mit Einschlul~ yon Q eine kompakte Menge. Folglich ist T-I((Qm)~J Q) kompakt in 'M ~ und enth~lt eine konvergente Teilfolge. Letztere konvergiert wegen der Eineindeutigkeit von T i m Rest 'M n - ' N und der Separabilitat der vorliegenden Mannigfaltigkeiten gegen einen Punkt 'Q C T - 1 Q ( ' N und nicht gegen einen Punkt T-1Qm. b) folgt aus Satz 4. Zu c): Jeder irreduziblen Komponente N~ yon N = 13 N~. entspricht nach

i

Satz 3 eine analytische Menge 'N i als Urbild, und 'N i wird a u f N~ abgebildet. Da auch jeder Punkt P E Nk, P ~ N,, i =~ k, Bildpunkt von Punkten von 'N sein muff, aber nicht Bildpunkt von Punkten von 'N i sein kann, so gibt es Punkte von 'N, die nicht zu 'N~ geh6ren, d. h., 'N muff reduzibel sein.

Die Umkehrung der Aussage c) kann falsch sein; man denke z. B. an den HoPFschen iterierten a-Prozeffa), bei dem ein Punkt durch eine Anzahl komplexer Mannigfaltigkeiten ersetzt wird, die homSomorph einer komplexen projektiven Geraden sind. Das Gegenstfick zu Satz 2 bildet beziiglich holomorpher Funktionen der

Satz 7. Unter den Voraussetzungen des Satzes 5 gibt es zu ]eder in 'M" holomorphen Fun~ion "/('z) eine in M n holomorphe Funktion ](z), deren Be- schrdnkung au] M'*- N analytisch iiquivalent zu der Beschriinkung yon ']('z) a u / " M ' - ' N ist.

Beweis. Nach Satz 1 liegt eine eigentliche analytische Modifikation vor. Nach Hilfssatz 6 ist die zugehSrige Modffikationsabbildung eine Abbildung yon "M '~ a u / M '~, die 'N auf N abbildet. Nach Satz 5 kann ] (z) nicht wesentlich singular, sondern hSehstens meromorph sein und hatte dann Pole und Unbestimmtheitsstellen auf ~V. Ist die Dimension yon N kleiner als n - 1, so ist ~ holomorph in M~. Wir zeigen, dab / auch dann holomorph ist, wenn N die Dimension n - I besitzt. Ad absurdum nehmen wir an, P E 2/ sei ein (beliebiger) Pol yon ]. Es sei U(P) eine kompakte Umgebung yon P und 'U( 'P) deren Urbfld, wobei ' P ein Urbfld des Punktes P ist. 'U( 'P) ist kom. pakt. Einerseits wfiehse nun ~ bei Ann~herung an P gleichmi~ffig fiber alle Grenzen, w~hrend andererseits '~ in jeder Umgebung yon ' P beschriinkt bleibt. Dies kann nAcht sein, da die Modifikationsabbildung analytisch ist. P kann also nicht Pol yon ] sein. Da P beliebig gewiihlt war, so besitzt iiberhaupt keine Pole, ist also, wie behauptet, holomorph in M n.

Stetige Modifikationen komplexer MannigfMtigkeiten. 485

Man bemerkt, da f in Satz 4, 5 und 7 eine sch~rfere Voraussetzung als in Satz 2 und 3, n~mlich die der Eigentliehkeit der Modifikation, notwendig ist.

Satz 3 und 4 besagen zusammen, daft unter den fiir ihre Giiltigkeit not- wendigen Voraussetzungen die natfirliche Isomorphie der Verb~nde der analytischen Mengenkeime yon 'M n - ' N und M n - N zu einer Homomorphie des genannten Verbandes yon "M n auf denjenigen yon M n erweitert werden kann. Aus Satz 2, 5 und 7 folgt die Isomorphie der Ringe der holomorphen und der KSrper der meromorphen Funktionen in 'M n und M '~.

Schliel]lich wollen wit ein Kriterium fiir das Vorliegen einer triviaten Modifikation angeben. Hierfiir benStigen wit beim Beweis den Begriff des gew6hnlichen P u n k , s P einer m.dimensiona~n analytischen Menge NmC M ' . Ein sotcher liegt vor, wenn das N TM (lokal) defiiaierende Gleiehungssystem in der Koordinatenumgebung U ( P ) von P den Rang n - m besitzt. Es gilt nun

Satz 8. Is t '~f" eine eigentliche analytische Modi/ ikat ion von M ~ in N und sind ' N und N beides irreduzible anal~ische Mengen gleicher Dimension, so liegt eine triviale Modi]ikation vor.

Beweis. Nach Hflfssatz 6 ist die Modifikationsabbildung eine Abbildung yon ' M n a u ] M ~, die 'N auf N abbildet. Fiir Dimensionen yon 'N (und N), die kleiner als n - 1 sind, folgt die Behauptung unmittelbar aus dem Hilfs- satz 6. Es seien nun 'N und N beides n - 1-dimensionale Mengen. Die Modifikationsabbildung T ist auf ' M ' - - ' N eineindeutig, ihre Jacobische Determinante D k6nnte also hSehstens auf ' N verschwinden, und dies miii~te dann, da 'N irreduzibel sein soll, auf ganz ' N eintreten. Wir zeigen, daft dies nicht sein kann. Es gibt gewShnliche Punkte yon N, deren Urbilder gewShn- liche Punkte yon ' N sind. Denn ist P E N ein gewShnlicher Punkt, so liegen in einer (hinreichend kleinen) Umgebung U ( P ) dieses Punktes nut gewShn- liche Punkte yon N. ' P sei ein Urbild yon P. Zu ' P existiert in einer Um- gebung 'V ( 'P) ein gewShnlicher Punkt 'Q derart, dag 'Q saint einer Umgebung 'W ('Q), die nur gewShnliche Punkte yon 'N enth~lt, in U (P) abgebildet wird, so dag also das Bfld W(Q) yon 'W( 'Q) ebenfalls nur gewShnliehe Punkte von N enthi~lt. Fiir Punkte Q mit den soeben angegebenen Eigenschaften ist die Beschriinkung der Modifikationsabbildung T auf 'IV eine analytische Ab- bildung T, und die zugehSrige Jacobische Determinante / ) kann, weil 'N und N beide n - 1.dimensional sind, nach dem Satz von R. REMYmRT (S. vorn) aus Dimensionsgriinden nieht identisch versehudnden. Wir k5nnen D 4= 0 im Punkte 'Q E "W('Q) annehmen. Sind zl, z~ . . . . . ~, lokale Koordinaten in W(Q) und ist N f~ W durch

(1) /(~, ~ . . . . . ~) = 0

gegeben, so k6nnen wit, da N ~ W aus lauter gewfhnlichen Punkten besteht, die Gleiehung (1) z. B. naeh ~, auflSsen, ~ , = g(~t, z'z . . . . . z~_1) , und in W(Q) neue Koordinaten z~= ~s, s = 1, 2 . . . . , n -- 1, z n-- z~-- ~/(~1, z2 . . . . . z~-1) ein. f'tihren. Dann ist h r ~ W durch z n = 0 gegeben. Entspreehend kann man in ' W (' Q) Koordinaten 'za, 'z~ . . . . . 'z~ so einfiihren, dab 'h r c~' W ('Q) dureh 'z~ =~ 0 gegeben ist und die Abbfldung T die Gestalt z,~= 'z,n, m = 1, 2, . . . . n - 1, z,,= F ('za,'z s . . . . . 'z,) hat. Hierbei kann aus der Poter~zreihe F ('za,'z ~ . . . . ',z,} M a t h . Ann. 128. ~'~3

486 EI~WlN K ~ r s z m :

ein Fak tor 'z~ derar t herausgezogen werden, F = "z~F, dab F keine allen Gliedern gemeinsame Potenz von '% mehr enth~lt. In dem dutch "zm= 'z,,(O) -- konst, m = 1, 2 . . . . . n - 1, gegebenen eindimensionalen Ebenenstiiek, das '2V f~ 'W punkthaf t schneider, muB die Abbildung auBerhalb dieses Sehnitt- punktes eineindeutig sein. Dies kann nur eintreten, wenn in

F = a , ~ ( % , ' z ~ . . . . . ' z~_~) 'z~ + . . .

s = 1 ist. Es hat also die zu T gehSrige Jaeobisehe Determinante D nun die Gestalt

D = ] I 1 = - F + ' ~-P ! 1

1

wobei alle nicht explizit angegebenen oder nicht durch Punkte gekennzeich- neten Elemente von D versehwinden. Fiir 'z, = 0 wird D = F. Damit D iiberall auf 'N verschwindet, miiBte F einen Faktor 'z n enthalten, was nach obigem nicht zutrifft. D kann also iiberhaupt nicht verschwinden, die Modi- fikation ist trivial.

3. Der o ~, 1~.ProzeB. War das bisherige allgemeiner Natur, so definieren wir nun eine spezielle

analytische Modifikation, eine Verallgemeinerung des von It . HoPF a) einge- fiihrten a-Prozesses, die wir als ,,an, k-ProzeB ' ' bezeichnen. Dieser ProzeB, der ein Analogon zu der aus der algebraischen Geometrie bekannten mono. idalen Transformation darstellt, ist u .a . geeignet, die eingangs formulierte Frage naeh der versehiedenartigen AbsehlieBbarkeit des n-dimensionalen affinen komplexen Raumes C n vom Standpunkt der Modifikationen aus zu beantworten. Wie gezeigt wird, kann man mit seiner Hilfe jede k-dimensionale irreduzible singularit~tenfreie analytische Menge 2¢ k, 0 ~ k ~ n - 1, in einer komplexen Mannigfaltigkeit M n dureh einen n - l-dimensionalen Faserraum mi t k-dimensionaler Basis und einem n - k - 1-dimensionalen projektiven l ~ u m als Faser in der Weise ersetzen, dab das Ergebnis "M'* dieses Vorganges eine analytische Modifikation von M n in 2V *, also insbesondere wieder eine komptexe Mannigfaltigkeit ist. Er gilt entspreehend aueh fiir reell-analyti~,ehe Mannigfaltigkeiten. Bei der Bezeichnung ,,an, ~'' ist also k die Dimension der zu ersetzenflen Menge N ~ und n die der Mannigfaltigkeit, in der N k liegt. - - Dabei heil]t eine analytisehe Menge N k ( M n s ingu lar i~ ten / re l , wenn sie nur aus gew6hnliehen Punkten besteht. Dann gibt es in jeder Umgebung U, U ~ Nk= hr~v =~ 0, Koordinaten, beziiglich deren iV~ dutch zm= O, m = 1, 2 , . . . , n - k, gegeben ist. Diese nennen wir ,,beziiglich 2Vv ausgezeichnete Koordinaten .

(A) Die Definition des a ~,o-Prozes~es.

Wir definieren zuerst den a ~, °.ProzeB, der eine Modifikation einer h-dimen. sionalen komplexen ~ n n i g f a l t i g k e i t in einem Punkt 0 ist, und fiihren sp~ter


die Def in i t ion fiir a l lgemeines k au f diesen Sonderfa l l zuri ick. 0 sei de r Null- p u n k t e iner K o o r d i n a t e n u m g e b u n g U h ( M h mi t den lokalen K o o r d i n a t e n zl, z 2 . . . . . z~. S h-1 sei ein h - 1-dimensionaler p ro j ek t ive r R a u m mi t den homogenen K o o r d i n a t e n Pl, P, . . . . . Ph- W i r b i lden den P r o d u k t r a u m p ~ h - 1 = U h × S h - 1, dessen P u n k t e P = (U ; S), U C U h, S ~ S n - 1, d a n n die Koord i - n a t e n (z 2 . . . . . zn; Pl . . . . . Ph) besitzen. I n p2 ~-1 is t du rch die F o r d e r u n g

(1) R a n g ( Z" p,, . . . . . PhZh ) = 1

eine i r reduzible ana ly t i sehe Menge H def inier t . H is t h-d imensional und ist s ingular i t~tenfre i in p 2 n - 1 e ingebet te t , wie m a n sieht , wenn m a n (1) in seiner e infachs ten F o r m

(1') z i p h - znp i = 0, i = 1, 2 . . . . . h - 1,

schreibt . Die nat i i r l iche P ro jek t ion T yon p ~ n - 2 au f seinen e rs ten F a k t o r U n induzier t eine P ro j ek t i on T H yon H au f U n. T H is t e ine indeut ig fiir U h - 0 und bi ldet 0 × S ~-1 a u f 0 ab. Die modif iz ier te Umgebung ' U a is t def in ier t als die Menge H, wobei P u n k t e von H und U n zu ident i f iz ie ren sind, die e inander vermSge der P ro j ek t i on T H entsprechen. Das hell , t , du t ch den a n, °-ProzeB wird der N u l l p u n k t 0 ~ U n du tch einen n - 1-dimensionalen pro- j ek t iven R a u m S n-2 erse tz t und sonst n ichts ver~nder t .

Der a n, °-ProzeB l~{~t die folgende geometrische Deu tun9 zu: E r bewirk t , dab der N u l l p u n k t 0 ~ U h durch das Bfindel B a l l e r L in iene lemente m i t dem Tri~gerpunkt 0 e rse tz t wird. B ist e inem h - 1-dimensionalen p r o j e k t i v e n R a u m isomorph.

(B) Satz 9. Der durch e inen a a, °-Prozefl aus M n entstehende R a u m ' M ~ ist eine analy t i sche Modi] ika t ion von M h in e inem P u n k t 0 ~ M h.

Beweis. Zu zeigen ist , dab ' M n eine komplexe MaImigfa l t igke i t bf ldet , und die ana ly t i sche Modi f ika t ionsabb i ldung yon ' M n in M a is t anzugeben. - - Es gel ten die vorhe rgehenden Bezeichnungen. - - I n einer U m g e b u n g V (P) eines P u n k t e s P ~ H ( p ~ a - 1 sei e twa Pn~ 0. D a n n setzen wir

(2) s j = p~ pn=~0, ~ = 1 , 2 , . . h - 1. Ph ' "~

So gewinnen wi t in V ( P ) lokale K o o r d i n a t e n (zl, z~ . . . . . zn; s2, s 2 . . . . , sn_l) . Aus (1') folgt d a n n u n m i t t e l b a r die koordinatenm/~Bige Dars te l lung der Pro- j ek t ion

(3) TH: z¢= z h s s = z n-~'~-, P n # 0, j = 1, 2 . . . . . h - 1.

Diese s te l l t nach Def in i t ion zugleich die Modf f ika t ionsabb i ldung yon ' U a a u f die urspr i ingl iehe U m g e b u n g U a dar. (si, s 2 . . . . . sn - 2, zn) is t also ein lokales K o o r d i n a t e n s y s t e m in ' U a. Die fibrigen der insgesamt h -Sys t eme in ' U a erh~l t man , indem m a n in (2) ein anderes p ,~= 0, m = 1, 2, . . . , h - 1, a n n i m m t . U - 0 is t das Res tgeb ie t de r Modff ikat ion. Die K o o r d i n a t e n i n v a r i a n z des Modff ikat ionsprozesses wird spi~ter und d a n n gleieh f'tir a l lgemeine W e r t ¢ yon k gezeigt .

33*

488 ERw~ KR~:YSZI~I :

(C) Die Definition des a~,k-Prozesses fiir allgemeines k, 0 ~ k ~ n - - 1.

NkC M n sei eine singularit/~tenfreie irreduzible k-dimensionale analytische Menge, U C M ne ine Koordinatenumgebung mit den beziiglich N ~ = N ~ U ausgezeichneten Koordinaten zl, z, . . . . . zn, also N ~ dutch

( 4 ) z l = z~ . . . . . z ~ _ k = 0

in U lokal gegeben. Abkiirzend setzen wir im folgenden

(5) n - k = h.

Da N k C M s lokal gegeben ist, miissen wit den o ~, k-ProzeB, den wir nun definieren, zu Definitionszwecken in eine Anzahl yon Teflprozesse aufgliedern, die je in einer Koordinatenumgebung ausgefiihrt werden, die mit N ~ nichtleeren Durchschnitt hat. Es geniigt, eine davon, etwa U, zu betrachten. Den in U ausgefiihrten ProzeB bezeiehnen wit als a~:k-Tei lprozef l .

Dutch die Beziehung za + 1 = zh + , . . . . . z n = 0 ist ein h-dimensionales analytisches Ebenenstiick UaC U festgelegt, das mit 2v "k genau den Nullpunkt 0 ~ N ~, gegeben durch z 1 = z 2 . . . . . z n = O, gemeinsam hat. Wir kSnnen U als Produkt

(6 ) u = N ~ . × v h

w~hlen. Der a~k,-TeilprozeB besteht darin, dab in dem Ebenenstiick UhC U ein ~h, o ProzeB beziiglieh 0 ausgefiihrt wird, wodurch U a in das modifizierte Ebenenstiick 'U a iibergeht, das sieh yon U a nur dadurch unterscheidet, dab s tar t des Punktes 0 ~ U ein h - 1-dimensionaler projektiver Raum S a-~ eingesetzt ist. So haben wir verm6ge (6) die modifizierte Umgebung ' U unmittelbar in der Form

(7) ' U ,k = A v × ' U ~ ,

und den s tar t N~ eingesetzten Raum

Wegen (7) und (4) bildet (sl, s 2 . . . . . sh- 1, Zh, Zh+ 1 . . . . . Zn) ein lokales Koordi- natensystem in der modifizierten Umgebung 'U, und die iibrigen der insgesamt h Systeme erhiflt man wie in (B).

So wird N k infolge des o ~, ~-Prozesses, d .h . infolge der Gesamtheit der lokalen Teilprozesse, durch einen n - 1-dimensionalen Faserraum 'N n- ~ mit der k-dimensionalen Basis N k und einem h - 1-dimensionalen projektiven Raum S h-1 als Faser ersetzt. - - I m Durehschnitt U i ~ U j zweier lokater Koordinatenumgebungen mit derEigenschaft Ut r~ U i ~ Nk:V 0 fiihren beideTeil- prozesse zu Ergebnissen, die analytisch hom6omorph sind: Die eineindeutige holomorphe Koordinatentransformation in U t r~ U , die wir mit B bezeiehnen wollen, hat im Rest ( ' U ~ - ' N ~ I ) f ' ~ ( ' U j - ' N ~ 1) eine ebensolche Transfor-

mation A ' zwischen den lokalen Koordinaten der modffizierten Umgebungen 'U~ und 'U~ zur Folge, die sleh zu einer in ganz 'U,: ~ 'U~ eineindeutigen holomorphen Koordinatentransformation fortaetzen l~flt, wie sogteich gezeigt wird. Damit gilt in Erweiterung yon Satz 9 der


Satz 9'. Der dutch einen a n, k-Prozefl aus M n entstehende R a u m ' M '~ ist eine analytische Modif ikat ion you M'* in N k.

Aus (A) folgt, datt sich der a~;k-TeilprozeB geometrisch deuten l~iBt als der Ersatz der Menge N ~ durch das Biischel C a l l e r k + 1-dimensionalen analytischen Ebenenstiicke, die N~ enthalten und mit Punkten Q E U - 2v'~ verbinden. C ist isomorph dem h - 1-dimensionalen komplexen projektiven Raum S a- I

(D) Die Koordinateninvarianz des o ~, ~.Prozesses.

Satz 10. Der an, k.Prozefl ist unabhdngi9 v o n d e r Wahl der lokalen Ko- ordinaten au/ M n.

Beweis. Eine Umgebung eines Punktes P ~ N k ( M n versehen wir auf zwei verschiedene Weisen mit beziiglich N k ausgezeichneten Koordinaten (zl, z~ . . . . . zn) bzw. {Yl, Y~ . . . . . y,~) und bezeichnen sie dann mit U bzw. U. N~ ist in U durch

(9) z 1 = z~ . . . . . z h = 0

und in U, wo wir diese Menge mit Nkc~ bezeichnen, durch

(10) Yl = Y2 . . . . . Yh= 0

gegeben. Es existiert eine eineindeutige holomorphe Koordinatentransfor- mation

(11) B: y , = ],(zl, z~ . . . . . z,), v = 1, 2 . . . . . n.

Es seien 'U bzw, 'U die modifizierten Umgebungen und [vgl. (2)]

(12) T~: z~ = s j z a = P-)-z ph h ' P a # 0 ' ] = 1,2 . . . . . h - l,

bzw.

(13) TH: y j = t j y ~ = qqi~-ya, qa4 :0 , ] = 1,2 . . . . . h - l,

die zugehSrigen Modffikationsabbildungen, wobei ql, q~ . . . . . qa die homogenen Koordinaten der Faser ~ - 1 des s ta t t ~ eingesetzten Raumes ' ~ - 1 = N~r X × ~ a - 1 bedeuten. Dann gilt fo]gendes Abbildungsschema:

'U A ~. 'U

Anzugeben ist die eineindoutige analytische Abbitdung A yon 'U auf '~Tr In den Restgebieten der Modffikationen, wo T~ und T H eineindeutig sind, liogt eine solche Abbfldung unmittelbar vor, und diese ist zu einer in ganz ' U eineindeutigen holomorphen Abbildung A fortzusetzen. - - Hierzu betrachten wit die Abbildung B. Aus (9) und (10) folgt

)t~(0, 0 . . . . . 0, za+v za+ a . . . . ,z~) = 0, m = 1,2 . . . . . h.

Ferner sollen die l~ullpunkte beider Koordinatensysteme einander entsprechen, ~,(0, 0 . . . . . 0) = 0, v = 1, 2, . . . . n. So gilt ffir (11)

h (11') y,n = amlZl+ a,n~z~+ • • " + a,naza+ ~ z i P r a t ( z ), m = 1, 2 . . . . . h,

490 ERwI~ KREYSZI:(; :

wobei die Pmi(Z) Potenzreihen in allen zl, z 2 . . . . . zn ohne kons tan te Glieder sind und die Matrix (ami) den Rang h hat. Aul]erdem fehlen in s/~mtlichen ],(z) ebenfalls die kons tan ten Glieder. (11') ergibt, in (13) eingesetzt,

h Z a~izi + zi P~i (z)

yj i = l tj . . . . . . . . ti ............................. •

Yh X at~i zi + zi Phi(z)

i = 1

Wir ersetzen hierin die z, nach (12) und erhalten, indem wir durch z h kiirzen, die Abhgngigkei t der Koord ina ten in ' U von denen in 'U,

h---t

(14) t~ = --~ ......................... i_=. 1 . . . . . . . . . . . . Yh h-- 1

ahh + Phh + X (ah~si + s~ Phi) i = J

Es bleibt nur noeh zu zeigen, dab sieh (14) fiir jeden beliebigen und d a n a festen P u n k t Q der Basis N ~ auf eine projektive Transformat ion zwisehen den Koordina ten der Fasern S a - I(Q) und S h- ~ (~), ~) = B Q, reduziert.

2V~ ist dureh za = 0 gegeben, womit in den P ~ und Phi alle Glieder verschwinden, die z~ als Fak to r enthalten. Die fibrigen h~ngen wegen (12) nur von den fiir festes Q kons tan ten Koordina ten z~+ ~, z h ~ ~ . . . . , z~ ab, k5nnen also zu den %i und a~i hinzugenommen werden. Obrig bleibt eine projektive Transformat ion

h- ,1

(15) q~ i =

Ah~ + ~ At,~si i = l

zwisehen den lokalen Koordina ten t s yon $~" ] und den lokalen Koordina ten s~ yon S a-1. Dabei sind die Koeffizienten Ai~ holomorphe Funkt ionen der Koordinaten z~ + 1, z~ + 2 . . . . , z~, hgngen also yon der Wahl des Basispunktes Q ab. Dami t ist gezeigt, dab der 0 ~, ~-Proze8 in beiden Umgebungen zu analytiseh hom6omorphen Ergebn]ssen geftihl~ hat.

(E) Die Wirkung des o ~, k-Prozesses in Teilmannigfaltigkeiten.

Satz 11. M " sei eine m-dimensionale Teitmannig/alt igkeit der komplexen Mannig/al t igkei t M n. N k C M n 8el eine k.dimensionale irreduzible singularit~ten- /reie analytische Menge, die mi t M m einen d.dimensionalen Durehschnitt N d, 0 < d < k, derart gemeinsam babe, daft / i ir alle Punk te von N d die k-dimensionate Tangentlalebene yon N k nicht in der m.dimensionalen Tangentlalebene yon M " enthalten sei oder umgekehrt. Dann induziert die Aus/ i ihrung eines ~n,k-Pro- ze,ses in M '~ bezi2glich N ~ einen a m, a.Prozefl in M m beziiglich N d.

Beweis. U sei eine Umgebung des Punktes P E N a mi t den beziiglich N ~ = N~(~ U ausgezeichneten Koord ina ten z v z~ . . . . . zn, die a u f Grund der obigen Voraussetzungen so gew~hlt werden kSnnen, dab N~, dureh z l ~ z~ . . . . . z ._ ~ = 0 und U~n= U ~ M m durch

(16) z l = z 2 . . . . . z n _ k _ m ÷ e = z n _ k + l = zn-~+o , . . . . . z~_a= 0


gegeben ist. Gem/~l] (A) und (C) ist die modifizierte Umgebung 'U als die Menge H definiert, die im Produktraum U × S n - k - 1 dureh die Forderung

R a n g (z~, ~ . . . . . z'~-~] = 1, \ P l , p ~ , • • . , P n - k ]

also z. B. durch

(17) z i P s - k - Zn-,pi = O, i = 1, 2 . . . . . n - k - 1,

gegeben ist, wobei Punkte yon H mit denen von U zu identffizieren sind, die einander verm6ge der natiirlichen Projektion T~ von H auf U entsprechen. Dureh (16) ist zugleich im Produktraum U × S '*- ~-1 diejenige m-dimensionale Teilmenge H m ( H bestimmt, die durch T~ auf U ~ abgebildet wird. Wie in (A) und (C) gezeigt wurde, ist T/~ eineindeutig aul]erhalb N~ und bfldet ,Nvl-n- = N ~ × S " - ~ - 1 auf N k ab, also den m - 1-dimensionalen Raum 'N~ -1 = (Na ~ U ~) × S m a- 1 auf N a f~ U" , denn es ist, indem von den in (16) auf- tretenden z~- nut zl, z, . . . . . z, - e - ~ +a auch in (17) vorkommen, ~n - k - l) - - ( n - k - m + d ) = m - - d - 1 die Dimension des projektiven Raumes S m - a- 1 ( S~ - ~.- 1, durch den jeder Punkt yon N a C M'* bei der Modifikation ersetzt wird. Das bedeutet aber, der a~ k-TeflprozeB in U induziert, wie behauptet, in U "* einen a'*~.TeilprozeB. Entsprechendes gilt in den tibrigen u

Koordinatenumgebungen, die mit N ~ nichtleeren Durehschnitt haben. SehlieBt man in umgekehrter Richtung, so erh~lt man entspreehend den Satz l l ' . E i n a n, k.Prozefl beziiglich ]Vk C M " liiflt sich zu einem aq, r.Prozefl

beziiglich N r ( Mq erweitern, wenn N ~ f~ M ~ = N k und M " C M q ist und ]iir keinen P u n k t von N k der Tangentialraum yon M n (beziiglich M q) in dem]enigen van N ~ enthalten ist oder umgekehrt.

4. Der Begriff der mehrfaehen Modifikation und die AbschlieBung des affinen Raumes.

Mit Hilfe des o ~, ~-Prozesses wollen wir nun die einleitend angedeutete Frage nach der Absehliel]ung des n-dimensionalen (komplexen oder reellen) affinen Raumes zu einem einfach oder mehrfach projektiven Raum vom Standpunkt der Modifikationen aus behandeln, ttierbei wird sieh zeigen, dab mehrere Modifikationen notwendig sind, um zum Ziel zu kommen. Des- halb definieren wir:

(Def. 3) Die komplexe Mannigfaltigkeit (R)Mn heiBt eine R-lathe Modi- f ikation der komplexen Mannigfaltigkeit (°)Mn, wenn es eine Folge (°)M~, ¿I)M~ . . . . . R-1M~, (R)Mn von komplexen Mannigfaltigkeiten derart gibt, dab jede dieser (~)M ne ine Modifikation der vorhergehenden oder der hath . ~olgenden ist. Jede einzelne Modifikation bezeiehnen wir als Schritt der mehrfaehen Modifikation und nennen die letztere stetig bzw. analytisch, wenn jeder Sehritt eine stetige bzw. eine analytische Modffikation ist.

Wie sich die S~tze der Abschnitte 2 und 3 auf mehrfache Modffik~tionen iibertragen, ist unmittelbar klar; es gilt zusammenfmssend der

Satz 12. (R)M" sei eine R-/ache stetige Modil ikat ion yon (°)Mn; aUe Modi . ~ikationsabbildungen seien eigentlich u n d e s werde bei ~edem Schritt beziiglivh

492 ERWI~ KR~YSZm: Stetige Modifikationen komplexer Mannigfaltigkeiten.

einer analytischen Menge modi/iziert. ])ann gibt es zu jeder holomorphen Funlction, meromorphen Funktion bzw. analytischen Men@e in (°)Mn eine ebensolche Funktion bzw. Menge in (R)Mn, die im Restgebiet yon (R)Mn zu der Beschrgnkung der in (°)Mn gegebenen Funktion bzw. Menge auf das Restgebiet yon (°)Mn analytisch 5quivalent ist.

Das bedeutet also, dal~ unter den obigen Voraussetzungen die Ringe der holomorphen und die KSrper der meromorphen Funktionen bei mehrfachen Modifikationen isomorph sind.

Aus dem tokalen Charakter des o ~, k-Prozesses folgt unmittelbar, dab man in ein und derselben Mannigfaltigkeit an,~i.Prozesse beziiglich beliebig vieler ki-dimensionaler irreduzibter und singularit~tenfreier analytischer Mengen Nk~ ausfiihren kann, wenn diese punktfremd zueinander sind. Diese einfache Tat- sache ist wichtig fiir die Modifikationen mehrfaeh projektiver R~ume. fiir die folgender Satz gilt:

Satz 13. Jeder mehr/ach pro]elctive Raum S(1 ) ist eine dutch an, k-Prozesse erzeugbare mehrfache analytische Modi[ikation jedes anderen mehr/ach pro- ~eki, iven Raumes S(2) gleicher Dimension.

Beweis. Es geniigt zu zeigen, dab ein zweifach projektiver Raum, etwa Sh× S k eine analytische Modifikation eines einfaeh projektiven Raumes S a+ k ist, die sieh dutch a n. k-Prozesse erzeugen l~Bt. Denn daraus folgt, dab man die Faktoren yon S(1 ) und ebenso die yon S(2 ) in aufeinanderfolgenden Schritten vereinigen kann, bis man je einen (einfaeh) projektiven Raum erh~lt. Wit geben nur den Gedankengang des weiteren Beweisverlaufes und ersparen uns die relativ einfache Rechnung. Das uneigentliehe Gebilde yon S h+k besteht aus einer h ÷ k - 1-dimensionalen Ebene E, dasjenige yon Sa× S ~ ist reduzibel und besteht aus zwei h + ]c - 1-dimensionalen Ebenen E 1 und E~. Ver- sucht man die kanonische Abbfldung T" von S a+ k.E auf S a x S k - (E I ~ E~) zu einer Abbfldung T yon S a+ ~ in Sa× S k fortzusetzen, so sieht man, dab T fftr zwei Teilmengen A bzw. B yon E unbest immt wird, die k - 1 - bzw. h - 1-dimensionM und punktfremd zueinander mind. T fist also keine analytisehe Abbfldung, sondern nur noeh eine , ,meromorphe". In A fist ein a a+k, k - i . Prozefl und in B ein a a+~, a-l-ProzeB auszuffihren, das ergibt die komplexe Mannigfaltigkeit M a+ ~, und die der Abbfldung T entspreehende Abbildung yon M ~+ k in S a × S ~ fist dann eine analytisehe Abbildung. Andererseits kann T ' -1 auch nur zu einer meromorphen Abbildung T -1 yon S a x S ~ in S h+k fortgesetzt werden, die fiir E 1 ~ E~ unbest immt wird. Ein a a+ ~,a+ k-2-Prozei~ in dieser Menge ergibt ebenfalls die komplexe Mannigfaltigkeit M a + k und die der Abbildutig T - I entmpreehende Abbfldung yon M a+~ in S h+~ fist ana- lytfiseh. Dam bedeutet, dab M a+~ eine analytfisehe Modifikation sowohl yon @ a+ ~ wie auch yon S a × S ~ fist, und man hat damit unmit telbar die mehrfache Modifikation samt den zugehSrigen analytischen Modffikationsabbildungen gewonnen: Si~ fist yon der Gestalt

S a + ~ , - M a + ~ - , Sax S ~.

(Einqe~ngen am 1. Jull 1954.)

stetige modifikationen komplexer mannigfaltigkeiten

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