STATISTIKA

2. predavanje

Doc.dr. Tadeja Kraner Šumenjak

FREKVENČNE PORAZDELITVE

Frekvenčna porazdelitev je tabela, ki jo določajo

urejene vrednosti spremenljivke in pripadajoče

frekvence.

Spremenljivka X, ki določa frekvenčno

porazdelitev, je opisna ali številska.

Njene vrednosti v frekvenčni porazdelitvi imenujemo:

Skupine, če je X opisna.

Razredi, če je X številska.

Frekvenčno porazdelitev lahko

prikažemo s tabelo ali grafično

(histogram, poligon, strukturni

stolpci, krogi).

Idealna frekvenčna porazdelitev je

normalna porazdelitev.

Primer (X je opisna)

Frekvenčna porazdelitev

po spolu:

Spol Število

Moški 542

Ženske 405

Študenti po spolu

0%

50%

100%

ženske

moški

FREKVENČNA PORAZDELITEV ZA

ŠTEVILSKE SPREMENLJIVKE

Kot primer statistične množice si izberimo število

zaposlenih v podjetjih prehrambene panoge na

nekem področju.

328 17 66 437 51 41 58 320 96 141

7 8 66 303 85 146 147 267 129 68

193 85 370 276 119 225 160 89 131 116

258 36 436 208 3 22 44 275 99 26

129 44 23 135 28 107 62 74 92 14

344 49 156 159 64 61 66 54 47 458

60 56 100 167 171 65 251 148 162 48

Posamezne vrednosti razvrstimo v razrede. S tako

predstavitvijo pridobimo na preglednosti, vendar pa

istočasno zmanjšamo točnost podatkov.

Frekvenčno porazdelitev dopolnimo s

karakteristikami razredov. Denimo, da imamo p

razredov.

xk,min spodnjo mejo k-tega razreda

xk,max zgornjo mejo k-tega razreda

Pri tem velja:

xk,max= xk+1,min, k=1,2,…,p-1

xx x

k

k k,min ,max

2

fk frekvenco k-tega razreda

xk sredina razreda

ik širina razreda

ik = xk,max - xk,min

Pri razvrstitvi v razrede moramo predvsem paziti na:

b) Razredov ne sme biti preveč, saj se z večanjem števila razredov zmanjšuje preglednost. Običajno vzamemo 6-12 razredov (število podatkov nad 100).

c) Meje razredov morajo biti točno določene. Nikoli ne smemo biti v dvomih v kateri razred bomo razporedili kakšen podatek, katerega vrednost leži na meji med dvema razredoma.

Glede na postavitev meja ločimo predstavitve z

a) zveznimi mejami

b) nezveznimi mejami

V primeru, da imamo opravka z zveznimi

numeričnimi spremenljivkami, morajo biti tudi

meje zvezne. Običajno podamo v takih primerih

meje v obliki:

nad 10 do 12

nad 12 do 14 itd.

Kadar imamo opravka s količinami, ki zavzamejo le diskretne vrednosti, kot so število glav živine in podobno, lahko meje postavimo nezvezno na naslednji način:

1 do 5

6 do 10

11 do 15 itd.

S takimi mejami je enolično določeno kam sodi

vsaka vrednost spremenljivke.

Glede na širino razredov ločimo frekvenčne

porazdelitve

a) z enako širokimi razredi

b) z različno širokimi razredi

Vrednosti se pojavljajo

po celotnem območju

oz. se vrednosti

najpogosteje pojavljajo

v sredini območja.

Različno široke

razrede pa bomo

uporabili predvsem

tedaj, ko se vrednosti

v prvih (ali v zadnjih)

razredih pojavljajo z

večjo frekvenco kot v

ostalih razredih.

ENAKO ŠIROKI RAZLIČNO ŠIROKI

Število

zaposlenih

Število podjetij

do 100 37

nad 100 do 200 18

nad 200 do 300 7

nad 300 do 400 5

nad 400 do 500 3

Skupaj 70

Denimo da razvrstimo vrednosti gornje numerične

spremenljivke v pet enako širokih razredov. Ker je

najmanjše število zaposlenih 3 in največje 458, lahko

določimo meje razredov takole:

Število

zaposlenih

Število

podjetij

od 1 do 15 4

od 16 do 30 5

od 31 do 60 12

od 61 do 125 19

od 126 do 250 17

od 251 do 500 13

Skupaj 70

Iz prejšnje preglednice je razvidno, da je največje

število enot v prvih dveh razredih. Zato bomo dobili

boljšo sliko o razporeditvi, če razdelimo frekvenčno

porazdelitev v neenako široke razrede, kjer bodo

spodnji razredi ožji, zgornji pa širši. Na ta način

lahko dobimo frekvenčno porazdelitev prikazano

spodaj:

GRAFIČNO PRIKAZOVANJE FREKVENČNIH

PORAZDELITEV

Frekvenčne porazdelitve lahko prikazujemo na

dva načina in sicer s

a) histogrami

b) poligoni

Ob tem moramo najprej ugotoviti ali imamo

opravka s porazdelitvijo, ki ima enako ali

različno široke razrede. Prav tako je

potrebno paziti v primeru, ko imamo nezvezne

meje (naredimo popravek, da so meje zvezne).

HISTOGRAM je grafikon frekvenčne

porazdelitve intervalne ali razmernostne

spremenljivke v pravokotnem koordinatnem

sistemu s pravokotniki, ki se dotikajo drug

drugega. Širina pravokotnika je določena s

širino razreda. Višina pravokotnika pa je

določena na več načinov. Najlažje, kar s

frekvenco razreda. Toda to lahko storimo le v

primeru, ko imamo enako široke razrede. Če

so razredi različno široki je višina določena z

gostoto frekvence.

POLIGON je lomljena črta v pravokotnem

koordinatnem sistemu, kjer so točke lomljenja

določene s sredinami razredov (na abcisni osi) in

frekvencami ali gostotami frekvenc (na ordinatni

osi).

PRIKAZOVANJE FREKVENČNIH

PORAZDELITEV Z ENAKO ŠIROKIMI RAZREDI

Pred začetkom risanja moramo določiti meje

razredov. Kadar so meje določene tako, da je

zgornja meja predhodnega razreda enaka spodnji

meji naslednjega razreda ni težav.

Število

zaposlenih

Število podjetij -

fk

xk,min xk,max

do 100 37 0 100

nad 100 do 200 18 100 200

nad 200 do 300 7 200 300

nad 300 do 400 5 300 400

nad 400 do 500 3 400 500

Skupaj 70

0 100 200 300 400 5000

5

10

15

20

25

30

35

40

število zaposlenih

šte

vilo

podje

tij

HISTOGRAM FREKVENČNE

PORAZDELITVE

Število

zaposlenih

Število podjetij –

fk

xk,min xk,max xk

do 100 37 0 100 50

nad 100 do 200 18 100 200 150

nad 200 do 300 7 200 300 250

nad 300 do 400 5 300 400 350

nad 400 do 500 3 400 500 450

Skupaj 70

0 100 200 300 400 5000

5

10

15

20

25

30

35

40

število zaposlenih

šte

vilo

podje

tij

POLIGON FREKVENČNE

PORAZDELITVE

PRIKAZOVANJE FREKVENČNIH PORAZDELITEV Z

RAZLIČNO ŠIROKIMI RAZREDI

Število

zaposlenih

Število

podjetij fk

xk,min xk,max

od 1 do 15 4 0,5 15,5

od 16 do 30 5 15,5 30,5

od 31 do 60 12 30,5 60,5

od 61 do 125 19 60,5 125,5

od 126 do 250 17 125,5 250,5

od 251 do 500 13 250,5 500,5

Skupaj 70

Mejo med dvema sosednjima razredoma bomo

postavili na sredino njunega presledka. Spodnjo

mejo prvega razreda moramo zmanjšati za

polovični razmik, prav tako pa moramo zgornjo

mejo zadnjega razreda povečati za polovični

razmik.

Že na prvi pogled je očitno, da so enote v prvem

razredu "gosteje" porazdeljene, kot denimo v zadnjem

razredu. Res je, da je v zadnjem razredu približno

trikrat več enot, toda zadnji razred je več kot

desetkrat širši. Zato vpeljimo pojem gostote

frekvence gk. Ta je podana z obrazcem:

.kk

k

fg

i

Število

zaposlenih

Število podjetij -

fk

xk,min xk,max ik gk

od 1 do 15 4 0,5 15,5 15 0,267

od 16 do 30 5 15,5 30,5 15 0,330

od 31 do 60 12 30,5 60,5 30 0,400

od 61 do 125 19 60,5 125,5 65 0,290

od 126 do 250 17 125,5 250,5 125 0,140

od 251 do 500 13 250,5 500,5 250 0,050

Skupaj 70

0 100 200 300 400 5000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

število zaposlenih

gosto

ta fre

kve

nce

0 100 200 300 400 5000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

število zaposlenih

gosto

ta fre

kve

nce

Povejmo še, da bi tudi pri enako širokih razredih

lahko na ordinatno os nanašali gostoto frekvence

g. Brez težav ugotovimo, da ostane slika enaka

kot tedaj, ko nanašamo na ordinatno os

frekvence. Spremenijo se le oznake in merilo na y

osi.

KOMULATIVNE FREKVENČNE PORAZDELITVE

Včasih nas zanima, koliko enot ima vrednost pod

spodnjo mejo danega razreda. To dobimo tako, da

poiščemo ustrezno kumulativno frekvenco, ki

jo bomo označevali z oznako Fk. To dobimo tako,

da seštejemo vse frekvence do danega razreda.

Očitno dobimo kumulativno frekvenco tako, da

frekvence postopoma seštevamo. Prvi člen

(kumulativna frekvenca prvega razreda) je enaka

nič, ostale člene pa dobimo s pomočjo obrazca:

Fk+1 = Fk + fk

KOMULATIVNA FREKVENČNA PORAZDELITEV

Število zaposlenih Število podjetij Fk

od 1 do 15 4 0

od 16 do 30 5 4

od 31 do 60 12 9

od 61 do 125 19 21

od 126 do 250 17 40

od 251 do 500 13 57

Skupaj 70 70

Število 70 ni zapisano s krepkimi črkami, saj to število ni vsota

vrednosti v posameznih razredih. To število nam pove, koliko enot

ima manjšo vrednost spremenljivke od zgornje meje zadnjega

razreda.

PRIKAŽIMO SEDAJ KOMULATIVNO FREKVENČNO PORAZDELITEV

GRAFIČNO

Ogiva je lomljena črta v pravokotnem koordinatnem sistemu, ki se uporablja za prikazovanje komulativnih frekvenc. Abcise točk lomljenja so meje razredov, pripadajoče ordinate pa so komulative pripadajočega razreda.

0 100 200 300 400 5000

10

20

30

40

50

60

70

število zaposlenih

F

Primer

Na opazovanem območju je bila na dan 31.12. taka opremljenost s traktorji:

moč v kW št. Traktorjev

nad 21 do 25 362

nad 25 do 35 252

nad 35 do 55 674

nad 55 do 85 69

nad 85 do 150 76

Narišite:

a) histogram

b) poligon

c) ogivo

KVANTILI

Spremenljivka X je številska spremenljivka.

Njene vrednosti uredimo od najmanjše do

največje. Tako urejeno zaporedje imenujemo

ranžirna vrsta. Rang R je zaporedno mesto

vrednosti v ranžirni vrsti. Vsaki vrednosti v

ranžirni vrsti priredimo njen rang. Rang izrazimo

tudi relativno, navadno ga izrazimo v deležih.

Relativni rang označimo s P. Običajno se

uporablja formula:

PR

N

0 5,1

1

N

RP Nekateri,

uporabljajo to

formulo

Torej je

R = NP + 0,5.

Za tako izračunani relativni rang velja 0<P<1.

Popravek 0,5 se uporablja, ker je rang diskretna

količina, relativni rang pa ne. Če je število enot

veliko, je popravek zanemarljiv.

Kvantil razdeli ranžirno vrsto na dva dela. Glede

na to, na kolikšne dele razdeli kvantil ranžirno

vrsto, ločimo mediano, kvartile, decile, centile.

Kvartili (Q1, Q2 in Q3 ) delijo populacijo na štiri enake dele. V vsakem delu je četrtina populacije urejene po velikosti. Tako je denimo v prvem delu prva četrtina populacije z najmanjšo vrednostjo spremenljivke. Omenimo še, da je drugi kvartil enak mediani.

Kvartilni razmik je razlika med tretjim in prvim kvartilom Qr.

Mediana (Me) deli populacijo na dva enaka dela. V prvem je polovica populacije, ki ima vrednost spremenljivke manjšo od mediane, v drugem pa polovica populacije, ki ima vrednost večjo od mediane. Relativni rang za mediano je P=0,5.

Denimo, da smo zbrali podatke o povprečnem

pridelku desetih kultivarjev krompirja na

poskusnih poljih in dobili naslednje rezultate (v

tonah/ha):

Če te podatke uredimo po velikosti dobimo:

xk 28 17 33 26 41 37 28 25 18 22

xk 17 18 22 25 26 28 28 33 37 41

R 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

IZRAČUNAJTE Q1, Q2 IN Q3 , KVARTILNI RAZMIK….

75,0)(

50,0)(

35,025,0)R( 25,0)(

3

2

111

QP

QP

QnQQP

Včasih nas zanima, kako bi se neka nova

vrednost uvrstila v dano ranžirno vrsto. Recimo

na katero mesto bi se uvrstil pridelek 30 ton/ha.

Zanima nas pripadajoči relativni rang.

V takih primerih si pomagamo z linearno

interpolacijo:

00

11

1

0

01

01

0

0

vrednostirang

vrednostirang

vrednostirang

za takojje ki vrste,ranžirne izt vrednos

pred je ki vrste,ranžirne izt vrednos

zanima nas rang katere st, vredno

xR

xR

xR

xx

xx

x

RR

xx

RR

xx

x

x

Iz prejšnje enačbe izrazimo:

Nato uporabimo formulo

01

00

xx

xxRRx

N

RP x

x

5,0

Problem lahko tudi obrnemo. Denimo, da

poznamo rang in nas zanima, kateri vrednosti

pripada:

Denimo rang je 8,5. Izračunajmo vrednost.

))(( 0100 xxRRxx x

Grafično določanje kvantilov za

grupirane podatke:

0 100 200 300 400 5000

10

20

30

40

50

60

70

število zaposlenih

F

0

0

0

1

P

Me

OPREDELITEV OKVIRJA Z ROČAJI ( angl. box plot)

Osamelci so vrednosti spremenljivke, ki so zunaj

intervala (Q 1-1,5Qr, Q 3+1,5Qr), pri tem je Qr=Q3-Q1.

Spodnji ročaj določata vrednosti pogojni Min in Q1,

zgornji ročaj določata vrednosti Q3 in pogojni Max.

Pogojni Min in Max dobimo tako, da poiščemo najmanjšo

in največjo od vrednosti spremenljivke, ki niso osamelci.

Okvir določata kvartila Q1 in Q3, njegovo prečko pa

mediana Q2.

Okvir z ročaji zelo nazorno prikaže obliko porazdelitve

spremenljivke, njene kvartile, variacijski razmik in

kvartilni razmik, ki ga odčitamo v dolžini okvira. Širina

okvira nima nobenega pomena.

Okvir z ročaji je zelo ilustrativen grafični prikaz,

njegovo uporabo priporočamo. Še posebej je

koristen v primeru, ko grafično predstavimo

porazdelitev iste spremenljivke v različnih

skupinah, torej ko primerjamo več okvirjev na

isti sliki. Dobimo globalno sliko o vplivu skupine

na porazdelitev spremenljivke.

Študenti univerzitetnega študija so na kolokviju

iz matematike dosegli naslednje rezultate:

55, 30, 10, 45, 60, 50, 50, 42, 50, 55.

Narišite okvir z ročaji.