spettrale doplicher

Capitolo 10

TEORIA SPETTRALE

In questo capitolo affrontiamo la teoria spettrale nelle C∗-algebre: questa euna profonda generalizzazione della teoria spettrale delle matrici (l’algebra dellematrici complesse e una C∗-algebra), che consente di trattare gli elementi di unaC∗-algebra come dei numeri: possiamo cioe calcolare su di essi classi di funzionisempre piu generali. Cominceremo con le funzioni analitiche, per passare a quellecontinue ed infine a quelle boreliane: questo rende in grado, nelle applicazioni,di dare senso a leggi fisiche in cui gli osservabili siano operatori in uno spaziodi Hilbert piuttosto che valori assunti da funzioni differenziabili, come nel casoclassico. Discuteremo come esempi alcuni classici tipi di operatori: gli operatoricompatti, gli operatori di Hilbert–Schmidt e gli operatori nucleari.

10.1 Teorema della Mappa Spettrale

Iniziamo generalizzando l’ultimo risultato ottenuto nel capitolo precedente:

10.1.1 Proposizione Se (A, ||-||1) e una C*-algebra, che sia un’algebra di Ba-nach rispetto alla norma ||-||2 allora

∀A ∈ A ||A||1 ≤ ||A||2

che segue immediatamente dal

10.1.2 Lemma Se A e una *-algebra di Banach e C una C*-algebra, e ρ : A −→B e uno *-omomorfismo allora

∀A ∈ A ||ρ(A)|| ≤ ||A||

Dimostrazione: Se A ∈ A:

||ρ(A)||2 = ||ρ(A)∗ρ(A)|| = ||ρ(A∗A)|| = spr(ρ(A∗A))

343

344 Capitolo 10. Teoria spettrale

(essendo ρ(A∗A) autoaggiunto in B e quindi normale). Ora, se A ∈ A−1 e η :A −→ B e un morfismo (con η(I) = I) allora

η(A−1)η(A) = η(A−1A) = I

i.e. η(A−1) ⊂ B−1 (si noti che non vale l’inclusione opposta). Quindi A−λI∈A−1,cioe η(A−λI)∈B−1 ovvero η(A)−λI ∈B−1. In altri termini, se λ∈P (A) alloraλ ∈ P (η(A)) e quindi σ(η(A)) ⊂ σ(A):

spr ρ(A∗A) ≤ spr(A∗A) ≤ ||A∗A|| ≤ ||A||2

(vale solo il segno ≤ perche A non e necessariamente una C*-algebra). Neconcludiamo che

||ρ(A)|| ≤ ||A||qed

Osserviamo che, se A ⊂ B e A e unitaria (con la stessa unita di B) alloraper A∈A−1 invertibile, A−1 e l’inverso di A anche in B; potrebbe tuttavia aversiA−1∈B\A, nel qual caso si avrebbe A−λI∈B−1\A−1. Si deve quindi considerarePA(A), il risolvente relativo ad A (di A). Ovviamente

PA(A) ⊂ PB(A) e σB(A) ⊂ σA(A)

(ma non necessariamente il viceversa).

Se A e un’algebra di Banach commutativa con unita e se Ai e un suoinsieme di generatori, allora la funzione

Φ : σ(A) −→∏

i

σ(Ai)

ϕ 7−→ ϕ(A1)

e (per definizione delle topologie su σ(A) e sul prodotto) continua, sebbene in ge-nerale non sia suriettiva. L’immagine dello spettro di A per tramite della mappaΦ e quindi un compatto in

∏σ(A).

10.1.3 Definizione L’immagine Φ(σ(A)) si dice spettro congiunto di A e sidenota con jσ(Ai).

Dato che gli Ai generano A, la mappa

Φ : σ(A) −→ jσ(A)

e iniettiva: infatti da ϕ1 = ϕ2 sugli Ai allora ϕ1 = ϕ2 sull’algebra generatadagli Ai (cioe i polinomi nelle Ai) e quindi, la chiusura di questa algebra

10.1. Teorema della Mappa Spettrale 345

e A per definizione, per continuita dei ϕi, ϕ1 = ϕ2 su A. Dunque la mappa inquestione e un omeomorfismo1.

Ad esempio, se A e generata da un solo elemento A, allora

Φ : σ(A) −→ σ(A) ⊂ C

e un omeomorfismo. Se A ∈ A (algebra di Banach con unita) consideriamo

A := 〈A, I〉

(con le parentesi acute denotiamo l’algebra generata dagli elementi che racchiu-dono: in questo caso l’algebra generata da A e I) che e esattamente la chiusura(uniforme) dell’algebra dei polinomi in A.

Dunque A e una sottoalgebra di Banach commutativa con unita e si ha

σ(A) = σA(A) ⊂ σA(A)

10.1.4 Teorema Se A∈A (algebra di Banach con unita) e A e la sottoalgebragenerata da A e I in A allora PA(A) e un aperto e, se P ′

∞(A) e la componenteconnessa del punto2 ∞ in PA(A), allora

PA(A) = P ′∞(A) ∪ U

(ove U denota le rimanenti componenti connesse) e

σA(A) = C \ P ′∞(A)

Dimostrazione: e facile rendersi conto che

P ′∞(A) ⊂ PA(A)

Infatti la mappa PA(A) 3 λ 7−→ (A − λI)−1 e olomorfa, e

||A|| < |λ0| ⇒ (A − λI)−1 =∑

(λ − λ0)nRA(λ)n+1

=∑

(λ − λ0)n

(−1

λ

∑k

Ak

λk

)n+1

Ma, per definizione di A:

−1

λ

∑k

Ak

λk∈ A

1Essendo continua da un compatto in un compatto di Hausdorff ed iniettiva.2Cioe la componente connessa che contiene i punti di modulo opportunamente grande.


quindi per ogni λ che soddisfi la relazione precedente, la serie∑(λ − λ0)

nRA(λ0)n+1 ∈ A

converge e, per continuazione analitica, si trova che P ′∞(A) ⊂ PA(A).

Viceversa dimostriamo che PA(A) ⊂ P ′∞(A), cioe che se λ /∈ P ′

∞(A) alloraλ /∈ PA(A).

Per assurdo sia λ∈PA(A), i.e. (A−λI)−1∈A cioe esistano i polinomi complessipn ∈ C[z] tali che

||pn(A) − (A − λI)−1|| −→ 0

il che, per continuita del prodotto, implica

||(A − λI)pn(A) − I|| −→ 0

Ma seqn(z) := (z − λ)pn(z) − 1

evidentemente ||qn(A)|| −→ 0, e tuttavia

∀p ∈ C[z] ∀ϕ ∈ σ(A) ϕ(p(A)) = p(ϕ(A))

(per linearita e moltiplicativita delle ϕ), quindi (si rammenti che ||ϕ|| = 1):

|p(ϕ(A))| ≤ ||p(A)||

ovvero, per ogni z ∈ σA(A): |p(z)| ≤ ||p(A)||.Supponiamo ora che λ appartenga ad una componente connessa che non sia

P ′∞(A): per il principio del massimo 9.6.24, in questa componente connessa (che

per definizione e chiusa ma anche aperta): |p(z)| ≤ ||p(A)||; in particolare cio evero nel punto λ. Ma

||qn(A)|| −→ 0

mentre qn(λ) = 1 il che viola il principio del massimo per qn (che ovviamentesono olomorfe, essendo polinomi!). L’assurdo e derivato dall’aver supposto falsal’inclusione PA(A) ⊂ P ′

∞(A).qed

10.1.5 Proposizione Se A e una C*-algebra con unita I, A ∈ A e A ∈ B ⊂ B(C*-sottoalgebra con unita I) allora

σA(A) ⊂ σB(A)

Se A e autoaggiunto vale il segno di uguaglianza.


Dimostrazione: Se A e autoaggiunto allora σA(A) ⊂ R e compatto e quindic’e solo la componente connessa P ′

∞(A).Nel caso generale, certamente A∗A e autoaggiunto e quindi

σB(A∗A) = σA(A∗A)

Ora osserviamo che se A ∈ B e invertibile in A allora basta dimostrare che ilsuo inverso appartiene a B; infatti cio equivale a PA(A) = PB(A) i.e. a σA(A) =σB(A).

Ma in questo caso A∗−1 = A−1∗ e (A∗A)−1 = A−1A−1∗ in A e, essendo A∗Aautoaggiunto, A∗A ∈ B (l’unita I e la stessa sia in A che B). Quindi

A−1 = (A∗A)−1A∗

e, dato che (A∗A)−1, A ∗ ∈B, anche A−1 ∈ B.qed

Consideriamo ora una C*-algebra A con unita I ed un suo elemento A; sidefinisce

A = C∗(A, I) := 〈A,A∗, I〉

i.e. come la chiusura uniforme dei polinomi in A e A∗:

p(A) =∑

cnmAnA∗m

ove le cnm sono nulle tranne che per un numero finito di coppie (n,m). A eovviamente una C*-algebra commutativa con unita I e quindi, per il teorema diGel’fand–Najmark:

∀ϕ ∈ σ(A) ϕ(A∗) = ϕ(A)

Si ha cioe l’omeomorfismo

σ(A) ∼= σA(A) = σA(A)

Dunque la trasformata di Gelfand e uno *-isomorfismo isometrico di A su C(σ(A)).D’altro canto abbiamo anche l’omeomorfismo ϕ : σ(A) ∼= σ(A) (che mandaλ 7−→ ϕλ in ϕλ(A) = λ) e quindi, per funtorialita, si ha uno *-isomorfismoisometrico che rende commutativo il diagramma seguente:

A //

##HHHH

HHHH

HHC(σ(A))

ϕ∗

²²C(σ(A))


(dove ϕ∗(f)(λ) = f(ϕλ)). Se definiamo una mappa C(σ(A)) −→ A come

f 7−→ f(A)

allora f(I) = I (per unitarieta dello *-isomorfismo ϕ∗) e, se f(λ) = λ allora

f(A) = A: infatti in questo caso, se B e tale che B(ϕλ) = λ deve essere ϕλ(B) =λ = ϕλ(A) i.e. ϕλ(B − A) = 0 e quindi B = A.

Quindi la freccia diagonale C(σ(A)) ←→ A nel diagramma commutativoprecedente e l’unica estensione isometrica della mappa C[z] −→ A di valutazionedi un polinomio su A (p 7−→ p(A)) alla chiusura (uniforme) dello spazio deipolinomi e di A, per il teorema di Stone–Weierstrass.

La mappa C(σ(A)) −→ A che abbiamo ottenuto si dice calcolo funzionalecontinuo per un operatore normale A. Infatti ci consente di calcolare il valore diuna funzione continua su un operatore normale, analogamente a quanto accadeper i polinomi.

10.1.6 Teorema della Mappa Spettrale Se A e un operatore normale in unaC*-algebra A, per ogni f ∈ C(σ(A)) si ha che

σ(f(A)) = f(σ(A))

Dimostrazione: A questo punto e una facile verifica:

σ(f(A)) = ϕ(f(A))ϕ∈σ(A) = f(A)(ϕ)ϕ∈σ(A)

= f(A)(ϕλ)λ∈σ(A) = f(λ)λ∈σ(A) = f(σ(A))

qed

Se la C*-algebra A e commutativa, allora ogni operatore e normale e quindiil teorema della mappa spettrale ci consente di calcolare funzioni continue su ele-menti di A: da questo punto di vista, gli operatori di A sono una generalizzazionedei numeri complessi.

10.1.7 Esempio Se f e una funzione olomorfa intera, allora

∀λ ∈ C f(λ) =∞∑

n=0

cnλn

(la somma converge assolutamente in tutto il piano complesso) e quindi

∀A ∈ A f(A) =∞∑

n=0

cnAn

converge assolutamente, quindi (A e uno spazio di Banach) converge in A.


Se A e commutativa, possiamo valutare su f(A) un funzionale moltiplicativoϕ (si rammenti che un tale funzionale e continuo):

∀ϕ ∈ σ(A) ϕ(f(A)) = f(ϕ(A))

In realta non e necessario limitarsi a funzioni intere. Piu precisamente, sia f ∈O(Ω) ove Ω e un dominio regolare (cioe un aperto connesso il cui bordo siauna curva regolare Γ) del piano complesso, con chiusura Ω compatta, contenenteσ(A), e sia A(Ω) l’insieme delle funzioni olomorfe su Ω e continue su Ω = Ω∪ Γ;si tratta di una sottoalgebra di Banach di C(Ω) per la norma

||f ||A(Ω) = maxz∈Ω

|f(z)| = maxz∈Γ

|f(z)|

Per la formula di Cauchy 9.6.6:

∀z ∈ Ω f(z) =1

2π

∮Γ

f(w)

w − zdw

dunque e naturale definire l’integrale di Dunford

f(A) :=1

2π

∮Γ

f(λ)RA(λ)dλ

(RA(λ) denota al solito il risolvente). Dato che la funzione f(λ)RA(λ) e olomorfain Ω, questo integrale non dipende da Γ.

10.1.8 Lemma Se A ∈ A (algebra di Banach con unita) allora l’integrale diDunford induce un morfismo continuo f 7−→ f(A) tale che

• Se f(z) = 1 su Ω allora f(A) = I.

• Se f(z) = z su Ω allora f(A) = A.

• Se f(z) =∑

n≥0 cnzn e una serie assolutamente convergente in Ω allora

f(A) =∞∑

n=0

cnAn

Dimostrazione: La mappa f 7−→ f(A) e ovviamente lineare e limitata, datoche

||f(A)|| ≤ 1

2π|Γ|max ||R(λ)|| ||f ||A(Ω)


(|Γ| denota la lunghezza della curva Γ), ed e un omomorfismo di algebre: di piu,verifichiamo che se Γ1 e Γ2 sono curve regolari chiuse in Ω, allora

∀f1, f2 ∈ A(Ω) f1(A)f2(A) = f1f2(A)

Intanto, dato che f2(A) non dipende dalla scelta di Γ1, possiamo supporre chesia Γ2 ⊂ Ω1 (le curve regolari chiuse delimitano domini regolari) e quindi

f1(A)f2(A) =

(1

2πi

)2 ∮Γ1

f1(λ1)R(λ1)dλ1

∮Γ2

f2(λ2)R(λ2)dλ2 =

=

(1

2πi

)2 ∮Γ1

f1(λ1)f2(λ2)R(λ1) − R(λ2)

λ1 − λ − 2dλ1dλ2

(si ricordi che R(λ1) − R(λ2) = (λ1 − λ2)R(λ1)R(λ2)). Ma la funzione

λ2 7−→R(λ1) − R(λ2)

λ1 − λ2

e olomorfa in Ω2 e quindi, per la formula integrale di Cauchy:

f1(A)f2(A) =

(1

2πi

)2 ∮Γ1

f1(λ1)

∮Γ2

f2(λ2)R(λ1) − R(λ2)

λ1 − λ2

dλ2dλ1

= −(

1

2πi

)2 ∮Γ1

f1(λ1)

∮Γ2

f2(λ2)R(λ2)

λ1 − λ2

dλ2dλ1

= − 1

2πi

∮Γ2

f2(λ2)R(λ2)

(1

2πi

∮Γ1

f1(λ1)

λ1 − λ2

dλ1

)dλ2

= − 1

2πi

∮Γ2

f2(λ2)f1(λ2)R(λ2)dλ2

= f1f2(A)

Ora la (3) del teorema e immediata. La (2) e un facile calcolo:

f(A) = − 1

2πi

∮Γ

λR(λ)dλ = A +1

2πi

∮Γ

(A − λI)R(λ)dλ = A

mentre la (1) si dimostra osservando che, essendo una funzione identicamente 1intera, possiamo scegliere Γ come una circonferenza di centro l’origine del piano


complesso e raggio arbitrariamente grande, ottenendo quindi

||f(A) − I|| =1

2π

∣∣∣∣∣∣∣∣ ∮Γ

1 · R(λ)dλ −∮

Γ

I

λ−1dλ

∣∣∣∣∣∣∣∣=

1

2π

∣∣∣∣∣∣∣∣ − ∮Γ

(R(λ) +

I

λ−1

)dλ

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣ 1

2π

∮Γ

((I − A

λ−1

)−1

− I

)dλ

λ

∣∣∣∣∣∣∣∣≤ max

λ∈Γ

∣∣∣∣∣∣∣∣ (I − A

λ−1

)−1

− I

∣∣∣∣∣∣∣∣ 1

2π

∮Γ

1

|λ|dλ

≤ maxλ∈Γ

||A|||λ| − ||A||

che tende a zero per |λ| −→ ∞.qed

Questo teorema si estende immediatamente al caso in cui σ(A) sia scon-nesso: infatti se σ(A) = σ1(A) ∪ σ2(A) sono le componenti connesse, possiamoconsiderare l’integrale di Dunford

f(A) = − 1

2πi

∮Γ

f(λ)R(λ)dλ

ove Γ e una curva regolare chiusa, che delimiti3 un dominio regolare contenenteσ1(A) e il cui complementare (illimitato) contenga σ2(A), e l’algebra A(Ω) equella delle funzioni olomorfe in Ω continue in Ω. In questo caso, se f = 1, alloraf(A) e un proiettore (continuo), cioe f(A)2 = f(A) che commuta con A e taleche Af(A) = f(A).

Dunque, se σ(A) e sconnesso, A possiede un idempotente e quindi una pro-prieta topologica dello spettro ne implica una algebrica dell’algebra.

10.1.9 Teorema della Mappa Spettrale Olomorfo Se A e un’algebra di Ba-nach con unita, A ∈ A e Γ una curva regolare che delimiti un dominio regolareΩ tale che σA(A) ⊂ Ω, allora per ogni funzione f ∈ A(Ω):

σA(f(A)) = f(σA(A))

Dimostrazione: Se A e commutativa, allora, per ogni ϕ ∈ σ(A):

ϕ(f(A)) = − 1

2πiϕ

(∮Γ

f(λ)R(λ)dλ

)= − 1

2πi

∮Γ

f(λ)

ϕ(A) − λdλ = f(ϕ(A))

3In tutti questi ragionamenti si assume il teorema di Jordan secondo il quale una curvasiffatta divide in piano in due parti: una limitata ed una illimitata.


e quindi il teorema segue immediatamente dal lemma.Se A non e commutativa, possiamo, per ogni A ∈ A considerare l’algebra

commutativa massimale che contiene A (intersezione di tutte le sottoalgebrecommutative B ⊂ A che contengano A). Una costruzione di B e la seguente:consideriamo l’algebra generata da A, I e dagli elementi

RA(λ)λ∈P (A)

Dato che i risolventi commutano fra loro, quest’algebra e commutativa e, perdefinizione, tale che

σB(A) = σA(A)

Quindi, dato che il teorema vale per B, vale anche per A.qed

10.2 Calcolo funzionale continuo

Sia A una C*-algebra con unita I e A un elemento autoaggiunto A = A∗ diA. Allora

σ(A) ⊂ R

10.2.1 Teorema Se A e una C*-sottoalgebra dell’algebra B(H) degli operatoricontinui su uno spazio di Hilbert allora le seguenti condizioni sono equivalenti:

• Per ogni x ∈H: (x,Ax) ≥ 0 (i.e. A e positivo).

• Esiste B ∈ B(H) tale che A = B∗B.

• A e autoaggiunto e σ(A) ⊂ [0,∞].

Dimostrazione: (3) ⇒ (2): se A = A∗ allora per ogni funzione f ∈ C([0,∞])possiamo usare il calcolo funzionale continuo: in particolare per f(t) := +

√t,

abbiamo chef(A) ∈ A ⊂ A

e, avendo f valori reali: f(A)∗ = f(A) i.e. f(A)2) = f2(A) = A. Prendiamoallora semplicemente

B := f(A)

ottenendo B = B∗ e B∗B = f(A)2 = A.(2) ⇒ (1) e ovvio: per ogni x ∈H:

(x,B∗Bx) = (Bx,Bx) ≥ 0

10.2. Calcolo funzionale continuo 353

(1) ⇒ (3): Se (x,Ax) ∈ R:

(x, Ax) = (x,Ax) = (Ax, a)

quindi A = A∗ e autoaggiunto. Allora σ(A)∈R e, per λ > 0, vogliamo dimostrareche (A + λI)−1 ∈ B(H) (il che implichera che (A + λI)−1 ∈ A avendo A e B(H)la stessa unita I). Ma

λ(x, x) < (x, (A + λI)x) ≤ ||x|| ||(A + λI)x||

e quindi λ||x|| ≤ ||(A + λI)x|| cioe ker(A + λI) = 0. Esiste dunque l’inverso di(A + λI) e quello che vogliamo dimostrare e che questo operatore e definito intutto H.

Di certo il suo dominio e denso, ed inoltre:

Dom(A + λI)−1 = Im(A + λI)

Infatti, dato che ker(A + λI) = 0:

∀x ∈H (y, (A + λI)x) = 0 ⇒ y = 0

Consideriamo ora z ∈ im(A + λI):

z = limn

zn = limz

(A + λI)xn

Dunque (A + λI)xn e di Cauchy, da cui

λ|xn − xm|| ≤ ||(A + λI)(xn − xm)|| < ε

cioe xn pure e di Cauchy, e deve quindi convergere a un x ∈H.Questo dimostra che z∈ im(A+λI), che quindi risulta essere chiuso; dato che

e anche denso in H segue che H = im(A + λI), e quindi l’operatore (A + λI)−1

e definito ovunque.Ora si noti che

(A + λI)−1z = (A + λI)−1(A + λI)x = x

e, dato che λ||x|| ≤ ||z||:||x|| ≤ ||(A + λI)−1z||

Ne concludiamo che (A+λI)−1 e lineare e continuo su H, ed e un inverso sinistro(e anche destro) di A + λI, il che significa che λ ∈ P (A).

Abbiamo quindi dimostrato che σ(A) ⊂ [0,∞).qed


Osserviamo che se A e autoaggiunto, dato che (x,Ax) ∈ R, per la disugua-glianza di Schwartz:

(x,Ax) ≤ ||A||(x, x)

Ma vale ovviamente anche la disugualianza opposta. Quindi e naturale chiedersiquali a e b possano scegliersi in modo che

a(x, x) ≤ (x,Ax) ≤ b(x, x)

10.2.2 Proposizione Se A∈B(H) e autoaggiunto allora una coppia di numerireali (a, b) soddisfa alla

∀x ∈H a(x, x) ≤ (x,Ax) ≤ b(x, x)

se e solo se l’intervallo [a, b] contiene lo spettro σ(A).

Dimostrazione: L’equivalenza (1) ⇐⇒ (3) del teorema precedente, con lascelta A − aI e bI − A fornisce immediatamente la tesi.

qed

In particolare si possono considerare a = min σ(A) e b = max σ(A).

10.2.3 Definizione Se A ∈ A (C*-algebra con unita I) allora (essendo A∗ unoperatore autoaggiunto e positivo), il modulo di A e l’operatore autoaggiunto

|A| :=√

A∗A ∈ A

Dato che ker |A| = ker A (infatti (|A|x, |A|x) = 0 ⇐⇒ (x, |A|2x) = 0 ⇐⇒(x,A∗Ax) = 0) si ha il

10.2.4 Teorema Se A e una C*-sottoalgebra di B(H) esiste un’unica isometriaparziale V in H tale che ker V = ker A e

A = |A|V

Il seguente teorema e una generalizzazione della decomposizione polare dellematrici:

10.2.5 Teorema Se A ∈ B(H) esiste un’unica coppia (V,H) di operatori in H,ove V e un’isometria parziale e H un operatore autoaggiunto positivo tali cheker A = ker V = ker H e

A = V H


Dimostrazione: Ovviamente poniamo H = |A|; dato che, per ogni x ∈H:∣∣∣∣ |A|x∣∣∣∣2 = ||Ax||2

si ha quindi che la corrispondenza |A|x ←→ Ax e una isometria e

(im |A|)⊥ = ker |A| = ker A

(infatti (im B)⊥ = ker B∗ sempre). Possiamo dunque estendere la corrispondenza|A|x ←→ Ax ponendola zero su im |A|⊥ = ker A.

Infine vediamo l’unicita della decomposizione: se fosse A = V H = V ′H ′

sarebbe ancheA∗ = H ′V ′∗ ⇒ A∗A = H ′2 ⇒ H ′ = |A|

ed inoltre A = V ′H = V |A| da cui V = V ′.qed

Se A1, ..., An ∈ A sono tali che

∀i, k = 1, ..., n AiAk = AkAi e AiA∗k = A∗

kAi

allora la C*-algebraA = C∗〈I, A1, ..., An〉

generata da I, A1, ..., An e commutativa e quindi, per il teorema di Gelfand–Najmark, isomorfa alla C*-algebra C(σ(A)), ove lo spazio σ(A) e omeomorfoallo spettro congiunto jσ(A1, ..., An).

Notiamo che, in generale jσ(A1, ..., An) * σ(A1)× ...×σ(An) (ad esempio perA1 = A e A2 = A∗); un caso in cui vale invece il segno di = e per A = C[0, 12]con A1 = f1 e A2 = f2, ove f1(s, t) = s e f2(s, t) = t.

Possiamo comunque estendere la teoria svolta per un solo operatore A allafamiglia di operatori A1, ..., An ottenendo il calcolo funzionale continuo (lafreccia diagonale nel seguente diagramma):

A //

##HHHH

HHHH

HHC(σ(A))

ϕ∗

²²C(σ(A))

(dove ϕ∗(f)(λ) = f(ϕλ)) in piu variabili:

f 7−→ f(A1, ..., An)

come l’unico *-isomorfismo isometrico C(jσ(A1, ..., An)) ∼= A tale che


• Se f = 1 allora f(A1, ..., An) = I.

• Se f(λ1, ..., λn) = λi allora f(A1, ..., An) = Ai.

Osserviamo che, A∗A = AA∗ e A = A1 + iA2 se e solo se A1A2 = A2A1 equindi σ(A) = jσ(A1, A2), dato che

jσ(A1, A2) = (ϕ(A1), ϕ(A2))ϕ∈σ(A) ←→ ϕ(A) = ϕ(A1) + iϕ(A2)ϕ∈σ(A)

10.2.6 Definizione Lo spettro puntuale di un operatore A∈A (C*-algebra conunita) e l’insieme

σp(A) := λ ∈ C | ∃x 6= 0 Ax = λx

e lo spettro continuo di A e l’insieme

σc(A) := λ ∈ C |∀ε > 0∃x ||Ax − λx|| < ε

Ovviamente

σ(A) = σp(A) ∪ σc(A)

10.2.7 Esempio Sia X uno spazio topologico separabile e consideriamo unamisura atomica µ su X (o meglio sulla σ-algebra dei boreliani di X), cioe costruitaprendendo una successione xn ⊂ X densa e ponendo

µ =∞∑

n=0

cnδxn

(ove δx e la misura di Dirac concentrata in x e i cn sono positivi e normalizzati inmodo che

∑n cn = 1). Per il teorema di Riesz–Markov 9.2.2, esiste un funzionale

Fn associato alla misura δxn tale che

Fn(f) =

∫X

f(x)dδxn(x)

Se consideriamo l’operatore di moltiplicazione per f : Mf allora

σp(Mf ) = σ(Mf )


10.2.8 Lemma Se A1, ..., An ∈ A (C*-algebra con unita I) soddisfano alle


kAi

allora lo spettro congiunto jσ(A1, ..., An) e l’insieme(λ1, ..., λn) ∈ Cn | ∀ε > 0 ∃B ∈ A \ 0

||(Ak − λk)B||||B||

< ε

Dimostrazione: Se λ = (λ1, ..., λn) ∈ Cn non appartiene a jσ(A1, ..., An) deveaversi

d(jσ(A1, ..., An), λ) = δ > 0

Per z ∈ jσ(A1, ..., An) consideriamo la funzione

f(z) :=1

||λ − z||=

1

d(λ, z)

Allora f : jσ(A1, ..., An) −→ C e continua e ||f || < 1/δ, quindi, se C :=f(A1, ..., An) sta in A e

||λ − z||2 =n∑

i=1

|λi − zi|2 ⇒n∑

i=1

|(λi − zi)f(z)|2 = 1

Applicando il calcolo funzionale continuo:

n∑i=1

C∗(Ai − λiI)∗(Ai − λiI)C = I

Dunque, se B ∈ A:

B∗B =n∑

i=1

(CB)∗(Ai − λiI)∗(Ai − λiI)CB

=n∑

i=1

((Aiλi)B)∗C∗C(Ai − λiI)B

(dato che C commuta con gli Ai per definizione). Quindi

||B∗B|| = ||B||2 ≤n∑

i=1

||C(Ai − λiI)B||2 = ||C||n∑

i=1

||(Ai − λiI)B||2

=1

δ

n∑i=1

||(Ai − λiI)B||2


Questo vale per ogni B e λ /∈ jσ(A1, ..., An), percio l’insieme

(λ1, ..., λn) ∈ Cn | ∀ε > 0∃B ⊂ A \ 0 ||(Ak − λk)B|| < ε||B||

e contenuto in jσ(A1, ..., An).Viceversa, sia λ ∈ jσ(A1, ..., An); allora, se g : [0,∞) −→ R e continua e tale

che∀t ≥ ε g(t) = 0 e g(0) = 1

abbiamo che la funzionef(z) := g(||λ − z||)

verifica la f(A1, ..., An) ∈ A \ 0. Dunque

|(zi − λi)f(z)| < ε =⇒ ||(Ai − λiI)B|| ≤ ε||B||

se B = f(A1, ..., An) (si rammenti che ||f || = 1).qed

10.2.9 Teorema Se A ⊂ B e una C*-sottoalgebra e A1, ..., An ∈A sono tali che


kAi

allora lo spettro congiunto jσ(A1, ..., An) e(λ1, ..., λn) ∈ Cn | ∃xn ⊂ H1 lim

n−→∞||Akxn − λkxn|| = 0

(ove H1 = x ∈H | ||x|| = 1).

Dimostrazione: Per il lemma sappiamo che

λ ∈ jσ(A1, ..., An) ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃B ∈ A ||B|| = 1 e ||(Ak − λk)B|| ≤ ε

Se A ⊂ B(H) allora ||B|| = supx∈H1||Bx|| quindi

||(Ak − λkI)Bx|| ≤ ε

e, per ogni δ > 0 esiste un xδ ∈H1 per il quale

||Bxδ|| > 1 − δ

Dunque, per

y :=Bxδ

||Bxδ||


troviamo che||(Ak − λkI)y|| ≤ ε

||Bxδ||<

ε

1 − δ

ovveroλ ∈ jσ(A1, ..., An) ⇐⇒ ∀ε > 0 ||(Ak − λk)x|| ≤ ε

Per ogni n possiamo quindi scegliere un xn che soddisfi la relazione precedenteper un εn arbitrario.

qed

Osserviamo che, se esiste x ∈ H \ 0 tale che, per ogni k, (Ak − λkI)x = 0,allora

K :=⋂k

ker(Ak − λkI) 6= 0

Se la dimensione di H non e finita, possiamo scegliere gli xn del teorema prece-dente in modo che formino una base ortonormale; nella costruzione si consideranole εn (tendenti a zero) e le gn : [0,∞) −→ R tali che

∀z εn < ||z − λ|| =⇒ g(z) = 0 e gn(0) = 1

ma sarebbe lo stesso porre, per n 6= m:

gn(z)gm(z) = 0

con ||gn|| = 1, in modo che B∗nBm = 0 e quindi:

n 6= m =⇒ (Bnx,Bmx) = 0

Questo e possibile perche λ non e un punto isolato dello spettro congiunto ed ipunti isolati dello spettro congiunto fanno parte in realta della sua componentepuntuale, come dimostreremo ora.

10.2.10 Definizione Se A e normale in B(H), il suo spettro essenziale e l’in-sieme

σess(A) := λ ∈ σ(A) | λ punto isolato e dim ker(A − λI) < ∞

10.2.11 Proposizione Se λ e un punto isolato in σ(A) allora λ ∈ σp(A).

Dimostrazione: Ovviamente λ e un chiuso (essendo lo spettro uno spaziodi Hausdorff) ed aperto (essendo un punto isolato), il che vuol dire che la suafunzione caratteristica χx e continua. Quindi χx(A)∈A se e solo se χx e unidempotente autoaggiunto E nell’algebra C(σ(A)). Se A∈B(H) e normale allora


E e un proiettore sul sottospazio ker(A − λI); infatti (z − λ)χx = 0 e quindi(A − λI)E = 0.

Applicando il calcolo funzionale continuo si ottiene (ricordando che se x ∈ker(A − λI) allora A∗x = λX):

∀p ∈ C[x, y] p(A,A∗)(x) = p(λ, λ)(x)

Ma, dato che per il teorema di Stone–Weierstrass 9.2.9 esiste una successionepn di polinomi che approssimano la funzione continua χx, si ha

||pn(A) − E|| −→ 0

e, dato che pn(A)X −→ Ex, pn(λ)x −→ x e pn(A)x = pn(λ)x, ne viene Ex = x.Quindi l’immagine di E e ker(A − λI).

qed

Lo stesso ragionamento puo farsi per un numero finito qualsiasi di operatoriA1, ..., An, che commutino con i loro aggiunti: in questo caso χx corrisponde adun operatore E la cui immagine e

⋂i ker(Ai − λiI). Dunque si ha il

10.2.12 Teorema (Weyl)

σess(A) = λ ∈ C | ∃xn base ortonormale ||Axn − λxn|| −→ 0

10.3 Calcolo funzionale boreliano

Prendiamo spunto da un esempio: sia H uno spazio di Hilbert di dimensionefinita (spazio euclideo); allora se A e normale, per ogni λ∈C tale che A∗x = λx:

ker(A − λI)⊥ ⊂ N (A − λI)⊥

Se Pλ e l’operatore di proiezione Eker(A−λI) si ha che

•∑

λ∈σ(A) Pλ = I.

• Se λ 6= λ′: PλPλ′ = 0.

• A =∑

λ∈σ(A) λPλ.

Questo non e che un altro modo di esprimere la nota proprieta di diagonaliz-zazione delle matrici hermitiane. Il calcolo delle funzioni su tali matrici si riducea quello sui suoi autovalori:

∀p ∈ C[z] p(A) =∑

p(λ)Pλ

10.3. Calcolo funzionale boreliano 361

Ad esempio se f |σ(A) = χλ allora Pλ = f(A).Se A e autoaggiunto allora il suo spettro e reale e possiamo definire

E(λ) :=∑λ′≤λ

Pλ′

La proprieta (3) si esprime allora come

A =

∫λdE(λ)

ove la misura E e definita sugli intervalli come

E(λ, λ′] := E(λ) − E(λ′)

OvviamenteE(λ) = χ(−∞,λ](A)

Questa funzione e continua solo se la dimensione dello spazio H e finita.Nel caso generale, che e quello che ci interessa, non possiamo quindi usare

il calcolo funzionale che abbiamo fin qui sviluppato: dobbiamo percio cercare diestenderlo ad una classe di funzioni piu vasta di quelle continue.

Consideriamo quindi uno spazio di Hilbert H ed un operatore A continuo enormale su H; allora esiste un isomorfismo isometrico

C(σ(A))∼=−−−−→ A = C∗〈A, I〉

Ora osserviamo che, per il teorema di Tietze 2.3.4, gli elementi di C(σ(A)) siottengono da quelli di Co(C) (funzioni continue e limitate su C) per restrizionea σ(A), e quindi che il calcolo funzionale continuo induce una mappa (che non eun isomorfismo):

Co(C) −→ A

al solito ponendo f 7−→ f(A). Quindi, dare un operatore normale e equivalente adassegnare un morfismo di C*-algebre (un tale morfismo verra in seguito chiamatorappresentazione della C*-algebra A)

π : A −→ B(H)

(con A := Co(C)) il cui nucleo e

ker π = f ∈ Co(C) | f |σ(A) = 0

Infatti, data π, se f0 ∈ Co(C) e tale che f0(λ) = λ su σ(A), e se

A := π(f0)


si trova che, per ogni altra f ∈ Co(C) con f |σ(A) ∈ C(σ(A)) si ha

π(f) = f(A)

(questo e vero ovviamente per f costante, e quindi, per linearita e moltiplicati-vita, sui polinomi ed infine, per continuita, sulle funzioni continue qualsiasi).

Osserviamo che, se A1, A2 ∈ B(H) sono operatori normali allora

σ(A1) = σ(A2) ⇐⇒ ker π1 = ker π2

10.3.1 Definizione Due operatori A1 e A2 si dicono unitariamente equivalenti,e si scrive A1

∼= A2, se esiste un operatore unitario U in H tale che

UA1U−1 = A2 e UA2U

−1 = A1

E immediato verificare che se A1∼= A2 allora σ(A1) = σ(A2) e, di piu,

σp(A1) = σp(A2).Torniamo ora alla nostra rappresentazione

π(f) = f(A)

Se A1∼= A2 le rappresentazioni associate si dicono unitariamente equivalenti e si

scrive π1∼= π2: cio significa che esiste un operatore unitario U in H tale che

Uπ1(f) = π2(f)U

Inoltre possiamo definire

(π1, π2) := T ∈ B(H) | ∀f ∈ Co(C) Tπ1(f) = π2(f)T

Gli elementi di questo insieme si dicono operatori di allacciamento. Dato che duerappresentazioni equivalenti hanno gli stessi nuclei, segue che gli spettri deglioperatori associati sono equivalenti e, di piu, gli operatori sono unitariamenteequivalenti.

Vale anche il viceversa: se UA1U−1 = A2 allora

UAn1U

−1 = An2 ⇒ Up(A1)U

−1 = p(A2)

con p∈C[z]. Di nuovo per continuita e per il teorema di Stone–Weierstrass 9.2.9:

Uf(A1)U−1 = f(A2)

per ogni funzione continua sullo spettro di A1 (che poi coincide con lo spettro diA2). Quindi

Uπ1(f)U−1 = π2(f)

In questo modo lo studio degli operatori e delle rappresentazioni si equivale:in effetti, rappresentare un’algebra vuol dire proprio presentarla concretamentecome l’algebra degli operatori di qualche spazio.


Studiamo ora le rappresentazioni di A = C(X), ove X e uno spazio topologicodi Hausdorff compatto in uno spazio di Hilbert H:

π : A −→ B(H)

Vogliamo associare a π delle misure (boreliane) su X.Preliminarmente osserviamo che, per x, y ∈H, la mappa

f 7−→ (x, π(f)y)

e un funzionale lineare su A, continuo in virtu della

|(x, π(f)y)| ≤ ||x|| ||y|| ||π(f)|| ≤ ||x|| ||y|| ||f ||

Allora, per il teorema di Riesz–Markov 9.2.2:

F ∈ C(X)∗ ⇐⇒ F (f) =

∫X

f(t)dµ(t)

ove µ e una misura boreliana complessa regolare e limitata (cioe e una combina-zione lineare finita di misure regolari di probabilita).

Quindi

(x, π(f)y) =

∫X

f(t)dµx,y(t)

10.3.2 Definizione Gli elementi della famiglia

µx,yx,y∈H

si dicono misure spettrali associate alla rappresentazione π.

Consideriamo ora lo spazio B(X) delle funzioni boreliane limitate su X avalori complessi: sappiamo che, con la norma

||f || := supx∈X

|f(x)|

e un’algebra di Banach4: ovviamente l’involuzione

f∗(x) := f(x)

la rende una C*-algebra commutativa. Per il teorema di Riesz–Markov esistel’estensione

π : B(X) −→ B(H)

4Se fn sono boreliane ed equilimitate e convergenti puntualmente in X il loro limite euna funzione boreliana limitata.


(tale che π|C(X) = π). Infatti, se µ e la misura che corrisponde al funzionale Fper mezzo del teorema di Riesz–Markov, allora l’integrale∫

X

f(t)dµ(t)

e definito sugli elementi di B(X) e quindi per ogni funzione boreliana f ed ognimisura spettrale µx,y ha senso l’espressione∫

X

f(t)dµx,y(t)

Si tratta di una funzione sesquilineare nelle x e y, dato che

µx,ay1+by2 = aµx,y1 + bµx,y2 e µax1+bx2,y = aµy1,x + bµx2,y

Dato che, per definizione, ||µ| := ||F ||, questa forma sesquilineare e limitata(||µ|| ≤ ||x|| ||y||), deve esistere π tale che∫

X

f(t)dµx,y(t) = (x, π(f)y)

Questa π e ovviamente lineare in f , ed e uno *-morfismo, dato che

(x, π(f)y) =

∫X

f(t)dµx,y(t) =

∫X

f(t)dµy,x(t) = (y, π(f)x)

Effettivamente e proprio una rappresentazione, avendosi

π(fg) = π(f)π(g)

sulle funzioni continue, e quindi∫X

f(t)g(t)dµx,y(t) = (x, π(fg)y) = (x, π(f)π(g)y) =

∫X

f(t)dµx,π(g)y(t)

da cui µx,π(g)y) = gµx,y; integrando quindi una funzione boreliana rispetto aquesta misura si trova

(x, π(fg)y) = (x, π(f)π(g)y)

per ogni boreliana f ed ogni funzione continua g, vale a dire

π(fg) = π(f)π(g)


Ma inoltre

(x, π(f)π(g)y) = (π(f)∗x, π(g)y) =

∫X

g(t)dµeπ(f)∗x,y(t)

Ne concludiamo che∫X

f(t)g(t)dµx,y(t) =

∫X

g(t)dµeπ(f)∗x,y(t)

e quindi µeπ(f)∗x,y = fµx,y. Di nuovo integrando sulle boreliane queste misure si

ottieneπ(fg) = π(f)π(g)

stavolta con f, g ∈ B(X).Questo conclude la verifica che π e una rappresentazione della C*-algebra

B(X): si noti che ||π(f)| ≤ ||f ||.

10.3.3 Teorema Se fn e una successione in B(X) equilimitata e convergentepuntualmente, allora la successione π(fn) converge fortemente.

Dimostrazione: Si tratta di applicare il teorema della convergenza dominatadi Lebesgue 4.3.12: basta infatti dimostrare che, per ogni x ∈ X:

||π(fn)(x) − π(f)(x)||2 −→ 0

ove f = lim fn. Ora notiamo che

||π(fn)(x) − π(f)(x)||2 = ||π(fn − f)(x)||2 = (π(fn − g)(x), π(fn − f)(x))

= (x, π((fn − f)∗(fn − f))(x)) = (x, π(|fn − f |2)(x))

Ma |fn − f |2 e equilimitata per ipotesi e tende a zero puntualmente: quindi ilteorema della convergenza dominata implica che

limn

∫X

|(fn − f)(t)|2dµx,y(t) =

∫X

limn

|(fn − f)(t)|2dµx,y(t) = 0

qed

Consideriamo di nuovo la rappresentazione π associata all’operatore normaleA; sappiamo che

π(C(X)) = A

e naturale chiedersi cosa sia π(B(X)): vedremo che questo insieme e contenutonella chiusura forte dell’algebra A e per dimostrarlo ci occorrera un notevolerisultato, il teorema di densita di von Neumann, che verra dimostrato in seguito.


10.3.4 Definizione Se S ⊂ B(H) e un sottoinsieme qualsiasi, il commutantedi S (o centralizzante di S) e l’insieme

S ′ := T ∈ B(H) | ∀A ∈ S TA = AT

Evidentemente il commutante S ′ e un’algebra che contiene l’unita I.

10.3.5 Esempio Se consideriamo un operatore T ∈ B(H) tale che

Tπ(f) = π(f)T

possiamo esprimerlo scrivendo T ∈ A′.

10.3.6 Proposizione Il commutante S ′ di un insieme e un’algebra chiusa nellatopologia debole di B(H).

Dimostrazione: Ricordiamo qualche proprieta della topologia debole su B(H):se A ∈ B(H) e x, y ∈H i funzionali lineari

fx,y(A) := 〈fx,y, A〉

sono continui (||fx,y|| ≤ ||x|| ||y||), quindi l’insieme

M0 := fx,yx,y∈H

e un sottospazio vettoriale di B(H)∗. Ricordiamo che la topologia debole su B(H)e definita in modo equivalente dalle seguenti proposizioni:

• e la piu debole topologia su B(H) per la quale gli elementi di M0 sonofunzioni continue.

• e la (σ(B(H),M0)-topologia.

• e la topologia definita dalle seminorme

px−1,...,xn(A) :=

∣∣∣∣ ∑i

(xi, Axi)

∣∣∣∣Torniamo ora alla dimostrazione della proposizione: T ∈ S ′ se e solo se, per ogniA ∈ S, AT = TA, cioe

∀x, y ∈ X∀A ∈ S (x, TAy) = (x,ATy) = (A∗x, Ty)

se e solo se (x, TAy) − (A∗x, Ty) ∈M0, il che equivale a

T ∈⋂

x,y∈H;A∈S

ker(fx,Ay − fA∗x,y)

il che significa esattamente che S ′ e debolmente chiusa.qed


Notiamo che, in generale, S ′ non e una *-algebra.

10.3.7 Definizione Una *-sottoalgebra A ⊂ B(H) si dice non degenere se

∀x ∈H Ax = 0 =⇒ x = 0

Evidentemente

A e non degenere ⇐⇒ (AH)⊥ = 0

Ovviamente se I ∈ A allora A e non degenere.

10.3.8 Proposizione Se A ⊂ B(H) e una *-sottoalgebra e N := x∈H | Ax =0 allora A|N⊥ e non degenere.

Dimostrazione: Basta osservare che A(N⊥) ⊂ N⊥, dato che

(Ax, y) = (x,A∗y) = 0 ⇒ Ax⊥N

qed

Possiamo ora enunciare il

10.3.9 Teorema di Densita (von Neumann) Se A ⊂ B(H) e una *-sottoalgebranon degenere allora

Af= A′′

(la chiusura forte di A e il doppio commutante di A stesso).

La dimostrazione verra data in seguito (cfr. teorema 11.4.1: qui osserviamosemplicemente che, con questo risultato a disposizione, possiamo dimostrare che

π(B(X)) ⊂ Af

Questo segue direttamente dal teorema di densita e dal risultato seguente:

10.3.10 Lemma Se f ∈ B(X) e T ∈ A′ allora

π(f)T = T π(f)

Dimostrazione: Per ogni T ∈ A′:

π(f)T = Tπ(f) =⇒ (y, π(f)Tx) = (y, Tπ(f)x) = (T ∗y, π(f)x)

cioe µy,Tx = µT ∗y,x.qed

Questo lemma implica che π(B(X)) ⊂ A′′ che e proprio Af

per il teorema didensita.

Osserviamo una conseguenza del teorema di densita di von Neumann:


10.3.11 Corollario Se A ⊂ B(H) e una *-sottoalgebra non degenere allora

Af= Ad

(la chiusura forte e la chiusura debole di A coincidono).

Dimostrazione: Infatti si ha sempre la

Af ⊂ Ad

Ma A′ e debolmente chiusa (per ogni A) e quindi il teorema di densita implicache

Af ⊂ Ad ⊂ A′′ = Af

qed

La discussione precedente e l’esempio dell’algebra A rendono naturale laseguente definizione:

10.3.12 Definizione Una *-sottoalgebra debolmente chiusa A ⊂ B(H) che pos-sieda l’unita I si dice algebra di von Neumann.

Per il teorema di densita, una caratterizzazione immediata e

A di von Neumann ⇐⇒ A = A′′

o, come si dice, le algebre di von Neumann sono quelle che verificano la proprietadel doppio commutante.

10.3.13 Esempio Le algebre di matrici Mn(C) sono algebre di von Neumann:in effetti sappiamo che l’algebra A = Mn(C) e semplice (cfr. teorema 5.5.14) eche quindi il suo commutante A′ e ridotto alle sole matrici scalari (multipli dellamatrice identita):

∀A ∈ Mn(C) AX = XA =⇒ ∃a ∈ C X = aI

Questo stesso enunciato ci dice che (A′)′ = A (le matrici che commutano con lematrici scalari sono tutte le matrici).

10.4 Misure spettrali

Consideriamo un operatore normale A su uno spazio di Hilbert H, a l’algebraA = C∗〈A, I〉 = ϕ(A)ϕ∈C(σ(A)). Ovviamente, se f e una funzione borelianain H (essendo uno spazio topologico e anche uno spazio misurabile rispetto allaσ-algebra di Borel) allora f(A) ∈ A′′.

10.4. Misure spettrali 369

Osserviamo che, se ∆ e un boreliano in C allora χ∆ e boreliana e quindil’operatore χ∆(A), avendo valori in R e autoaggiunto. In particolare:

χ∗∆χ∆ = χ∆

quindi E∆ := χ∆(A) e un idempotente tale che

E∗∆E∆ = E∆

e pertanto e un proiettore; dunque esiste un sottospazio chiuso H∆ ⊂ H tale cheE∆ = EH∆

.Per definizione, E∆ commuta con tutte le funzioni di A, ed in particolare

AE∆ = E∆A, da cui segue che AH∆ ⊂ H∆; quindi, dato che H = H∆ ⊕H⊥∆ A

si decompone in somma diretta di operatori.Osserviamo tre proprieta interessanti, anche se immediate, della mappa ∆ 7−→

E∆:

• EC = I (dato che χC = 1).

• Se ∆1, ∆2 sono boreliani in C allora E∆1∩∆2 = E∆1E∆2 .

• Se ∆n e una famiglia numerabile di boreliani disgiunti allora

ES

n ∆n =∑

n

E∆n

(La (2) segue da χAχB = χA∩B e la (3) dal fatto che le χ∆n sono equilimitate).Quindi la mappa

E : Boreliani di C −→ Proiettori di H

ha le proprieta di una misura, con la differenza che non assume valori in C main uno spazio di Hilbert.

10.4.1 Definizione Una funzione E che soddisfi le (1)–(3) si dice misura spet-trale associata all’operatore A.

Osserviamo che σ(A|H∆) ⊂ σ(A) ∩ ∆. Infatti la restrizione e uno *-omomorfismo,

quindiσ(A|N) ⊂ σ(A)

per ogni sottospazio N ; se poi g|∆ = 0 allora g(A)χ∆(A) = 0 e, per g continua:

g(A|H∆) = g(A)|H∆

Quindi σ(A|H∆) ⊂ σ(A) ∩ ∆. In realta l’inclusione non e stretta, ma si ha

σ(A|H∆) ⊂ σ(A) ∩ ∆: la dimostrazione e pero molto piu complicata.


10.4.2 Teorema χλ(A) = Eλ = Ex |Ax=λx.

Dimostrazione: Se x ∈ ker(A− λI) allora A∗x = λx (dato che A e normale) equindi per ogni funzione continua f :

f(A)x = f(λ)x

In particolare, se f(λ) = 1 si trova f(A)x = x.Consideriamo le funzioni

gn(t) :=

0 se t < 0 oppure t > 1

n1−tn

se 0 ≤ t ≤ 1n

e quindi le

fn(z) = gn(|z − λ|)

che sono equilimitate su σ(A) e tendenti a zero per z 6= λ, mentre sono ovvia-mente identicamente 1 se z = λ. Dunque la successione fn converge a χλ,i.e.

fn(A) −→ Eλ

Ma fn(A)x = x e quindi Eλx = x:

ker(A − λI) ⊂ Hλ

Inoltre (z − λ)χλ(z) = 0: allora applicando il calcolo boreliano si trova che

(A − λI)Eλ = 0

ovvero

Hλ ⊂ ker(A − λI)

qed

Dunque il calcolo funzionale boreliano in un punto fornisce gli operatori

Ex |Ax=λx

e pertanto una funzione f che si annulli su A deve essere della forma

f =∑

n

cnχλn

(con λn /∈ σp(A)).


10.4.3 Corollario Se T e un operatore su H tale che

∀x ∈H 0 ≤ (x, Tx) ≤ (x, x)

allora T e autoaggiunto e 0 ≤ T ≤ I, il suo spettro e quindi contenuto nell’in-tervallo [0, 1] e si ha la convergenza forte:

T n f−−−−→ Eker(I−T )

Dimostrazione: Se t ∈ [0, 1], tn e equilimitata e convergente a zero, per cuitn −→ χ1(t).

qed

10.4.4 Teorema Se definiamo

E ∧ F := EEH∩FH

allora

E ∧ F = s-limn−→∞

(EF )n = s-limn−→∞

(FE)n

(s-lim indica il limite nella topologia forte).

Dimostrazione: Intanto

(∗) (EFE)n f // E ∧ F

Infatti, per T = EFE = (FE)∗(FE) si ha 0 < T ≤ I (dato che (x, Tx) =||FEx||2 ≤ ||x||2) e, per il corollario precedente:

lim T n = Eker(I−T )

Allora, se x∈ (E ∧ F )H segue che EFEx = x e quindi Ex = x, ovvero x∈ im Eda cui

||x|| = ||EFEx|| ≤ ||Fx|| ≤ ||x||

cioe, Fx = EFx = x, dunque x∈im F . Ma era anche x∈im E, quindi x∈(E∧F )H.Cosı abbiamo che

x ∈ (E ∧ F )H ⇐⇒ EFEx = x

e la (*) segue. Ma Fxn −→ Fx se xn −→ x e quindi si ha il teorema.qed


10.4.5 Corollario Se U ∈B(H) e un operatore unitario (e quindi normale) conσ(U) ⊂ T (circonferenza unitaria del piano complesso) si ha che, se χ1(U) =Eker(I−U) =: E0:

E0 = s-limN−→∞

1

N

N∑n=0

Un = s-limN−→∞

1

2N

N∑n=−N

Un

Dimostrazione: Consideriamo la funzione

fN(z) :=1

N + 1

N∑n=0

zn =

(1 − zN+1

1 − z

)1

N + 1

Allora, per z 6= 1:

limN

fN(z) = limN

1

N + 1

N∑n=0

zn = limN

(1 − zN+1

1 − z

)1

N + 1= 0

dato che ∣∣∣∣ 1

N + 1

N∑n=0

zn

∣∣∣∣ ≤ 1

e, essendo fN(1) = 1: ∣∣fN(z)∣∣ ≤ 1

N + 1

2

|1 − z|Ma la famiglia fN e equilimitata, quindi

s-limN

fN(U) = E0

Analogamente

s-limN

1

N

N∑n=0

U∗n = Eker(I−U∗) = E0

Quindi

1

2(E0 + E0) = E0 = s-lim

N

1

2

(1

N

N∑n=0

Un +1

N

N∑n=0

U−n

)

= s-limN

1

2N

(1

2N

N∑n=N

Un

)qed


10.4.6 Corollario Se G e un sottogruppo del gruppo U(H) degli operatori uni-tari, allora

E0 := Ex | ∀U∈G Ux=x ∈ Conv(G)f

(chiusura forte dell’inviluppo convesso di G).

Dimostrazione: Si ha che

E0 =∧

U∈G

Ex |Ux=x =∧

U∈G

s-limN−→∞

1

N

N∑n=0

Un

Ad esempio, nel caso di due elementi U1, U2 ∈ G si ha

Eker(I−U1) ∧ Eker(I−U2) = s-limn

(E0(U1)E0(U2))n = s-lim

N

1

2N12N2

N1N2∑

n1=−N1n2=−N2

Un11 Un2

2

La combinazione lineare sotto il segno di limite e convessa ad elementi in G,quindi

m∧N=1

Eker(I−UN ) ∈ Conv(G)f

Ma ogni elemento di∧

U∈G Ex |Ux=x e limite forte di elementi di questo spazio.qed

Consideriamo ora un operatore A autoaggiunto su H: il suo spettro e con-tenuto in un certo intervallo [a, b] ⊂ R; dato che le funzioni fλ := χ(−∞,λ] sonoboreliane limitate, applicando il calcolo funzionale boreliano ad A otteniamol’operatore idempotente autoaggiunto

fλ(A) = E(λ)

Osserviamo che

• E(λ) = 0 se λ < a.

• E(λ) = I se λ ≥ b.

• Se λ1 ≤ λ2 allora scrivendo (−∞, λ2] = (−∞, λ1] ∪ (λ1, λ2] otteniamo

E(λ2) = E(λ1) + E(λ2,λ1]

In particolare:E(λ1) ≤ E(λ2)


• Se fλn e tale che λn −→ λ con λ ≤ λn, allora per ogni t ≤ λ:

fλn(t) = 1 = fλ(t)

e, per ogni t > λ, fλn(t) = 0, sicche la successione fλn e equilimitata equindi converge puntualmente a χ(−∞,λ]. Ne segue che

s-limλn−→λ

E(λn) = E(λ)

vale a dire, E(λ − 0) = s-lim E(λn) = E(−∞,λ], pertanto

E(λ) − E(λ − 0) = χλ(A) = Eker(A−λI)

10.4.7 Definizione Una famiglia spettrale sullo spazio di Hilbert H e una fun-zione

E : R −→ Operatori autoaggiunti di H

tale che

• E sia fortemente continua superiormente.

• E sia monotona non decrescente.

• s-limλ−→−∞ E(λ) = 0.

• s-limλ−→+∞ E(λ) = I.

Ad esempio, dato un operatore continuo A∈B(H) autoaggiunto, la funzione

E(λ) := χ(−∞,λ](A)

definisce una famiglia spettrale.

Osserviamo che le (1)–(3) sono le proprieta che caratterizzano le funzionidi distribuzione associate alle misure di Radon (teorema 4.5.8: possiamo cioeconsiderare l’integrale di Stieltjes di una funzione boreliana (limitata) f :∫

f(λ)dE(λ)


10.4.8 Teorema Se A e un operatore continuo autoaggiunto sullo spazio diHilbert H allora esiste un’unica famiglia spettrale E(λ) tale che

A =

∫λdE(λ)

(integrale di Stieltjes) e per ogni f ∈ B(R) (boreliana) limitata

f(A) =

∫f(λ)dE(λ)

Cio vale, in particolare, per ogni f ∈ C(σ(A)).

Dimostrazione: Consideriamo una funzione f ∈ C(σ(A)); dato che A = A∗ lospettro σ(A) e contenuto in un intervallo [a, b] ⊂ R. Consideriamo una famigliafinita di valori

λ0 < a < λ1 < ... < λn−1 < b ≤ λn

e le funzioni boreliane

χ(λi−1,λi] = E(λi−1,λi] = E(λi) − E(λi−1)

Per λ′i ∈ (λi−1, λi]: ∑

sup |λi−λi−1|−→0

f(λi)χ(λi−1,λi]uniformemente−−−−−−−−→ f

per il teorema di Heine–Cantor. Quindi

supλ

∣∣∣∣f(λ) −∑

f(λi)χ(λi−1,λi](λ)

∣∣∣∣ ≤ δ

(ove δ e e il valore dell’enunciato del teorema di Heine–Cantor5). Dunque∑i

f(λ′i) (E(λi) − λi−1))

converge a f(A): ∣∣∣∣∣∣∣∣f(A) −∑

i

f(λ′i) (E(λi) − λi−1))

∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤ δ

5Per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che per x non dipendente da δ con |x − x0| < δ si ha|f(x) − f(x0)| < ε (continuita uniforme delle funzioni continue in un compatto).


cioe

f(A) =

∫f(λ)dE(λ)

(si noti che questo e l’integrale di una funzione continua, quindi definito allaRiemann).

Passiamo ora al caso di una funzione boreliana limitata qualsiasi: f ∈ B(R).Per la limitatezza di f , f(λ) ∈ D||f || (disco di raggio ||f ||); certamente possiamoscrivere

D||f || ⊂¦⋃j

Dj

come unione disgiunta finita di boreliani Dj tali che diam Dj ≤ δ (ad esempiopossono prendersi Dj = (z1, z

′1] × (z2, z

′2]).

Dato che f e boreliana, gli insiemi ∆j := f−1(Dj) sono boreliani e quindi loe la funzione ∑

j

f(λj)χ∆j

Ma ∣∣∣∣f(λ) −∑

j

f(λj)χ∆j

∣∣∣∣ ≤ δ

e quindi, usando il calcolo funzionale boreliano sul primo membro di questaeguaglianza: ∣∣∣∣∣∣∣∣f(A) −

∑j

f(λj)E∆j

∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤ δ

cioe, per definizione dell’integrale di Lebesgue–Stieltjes:

f(A) =

∫f(λ)dE(λ)


Dimostriamo ora l’unicita della famiglia spettrale E(λ): se

A =

∫λdF (λ)

con F famiglia spettrale, dato che σ(A) ⊂ [a, b] deve essere

F (λ) =

0 se λ < a

I se λ ≥ b

Ma una famiglia spettrale e commutativa (i suoi elementi commutano fra lorodato che F (λ)F (λ′) = F (λ ∧ λ′)) e quindi

AF (λ) = F (λ)A

poiche A si approssima con combinazioni lineari finite in F (λ) e ne e limite innorma. Allora, dato che per λ′ ≤ λ si ha F (λ)F (λ′) = F (λ′), troviamo che∑

j

λ′j(F (λj) − F (λj−1))F (λ) −→

∫ λ

−∞λ′dF (λ)

e, per x ∈ F (λ)H otteniamo d(x, F (λ)x) e una misura sulla retta reale):

(x,Ax) =

∫ λ

−∞λ′d(x, F (λ)x) =

∫ λ

−∞d(x, F (λ)x) = (x, F (λ)x) = (x, x)

Dunque

(x,Ax) ≤∫ λ

−∞λ′d(x, F (λ)x) ≤ sup

(∫ λ

−∞λ′d(x, F (λ)x)

)= λ(x, x)


Se x ∈ (I − F (λ))H allora

(x,Ax) =

∫ ∞

λ

λ′d(x, F (λ)x) ≥ λ(x, x)

Quindi (aI ≤ A ≤ bI):

σ(A|F (λ)H

)⊂ σ(A) ∩ (−∞, λ] e σ

(A|(I−F (λ))H

)⊂ σ(A) ∩ [λ,∞)

cioe

F (λ) =

0 se λ < a

I se λ ≥ b

Se ora F soddisfa alle conclusioni del teorema:

A =

∫λdF (λ) =

∫λdE(λ)

allora A2 =∫

λ2dE(λ); A2 e approssimato da∑

j λjPj ove

Pj := F (λj) − F (λj−1)

e quindi PjPk = δjkPj, quindi(∑j

λjPj

)2

=∑

j

λ′j2P 2

j =∑

j

λ′j2Pj

Per induzione, An e quindi approssimato da∑

j λ′jnPj e quindi, per ogni polino-

mio p ∈ R[x]:

p(A) =

∫p(λ)dE(λ) =

∫p(λ)dF (λ)

i.e.

(x, p(A)x) =

∫p(λ)d(x,E(λ)x) =

∫p(λ)d(x, F (λ)x)

Per il teorema di Stone–Weierstrass in C[a, b] abbiamo quindi che questa identitavale per ogni funzione continua, per cui le misure d(x,E(λ)x) e d(x, F (λ)x) sonouguali, dunque

∀x ∈H (x,E(λ)x) = (x, F (λ)x)

e, per le identita di polarizzazione:

∀x, y ∈H (x,E(λ)y) = (x, F (λ)y)

Ne concludiamo che E = F .qed


10.4.9 Corollario Ogni operatore continuo autoaggiunto e limite (in norma) dicombinazioni lineari di operatori il cui spettro sia finito.

Dato che se A ∈ B(H) e qualsiasi allora

A =1

2(A + A∗) +

1

2i(A − A∗)

segue piu in generale che

10.4.10 Corollario Ogni operatore continuo A e limite (in norma) di combi-nazioni lineari di operatori il cui spettro sia finito.

10.4.11 Corollario Se R ⊂ B(H) e un’algebra di von Neumann allora R coin-cide con lo spazio di Banach generato dagli insiemi

Rp := E ∈R | E∗E = E

Vogliamo infine dimostrare il teorema spettrale per gli operatori unitari inuno spazio di Hilbert, ricordando che se U ∈ U(H) allora σ(U) ⊂ T = S1, lacirconferenza unitaria del piano complesso.

10.4.12 Teorema Spettrale per Operatori Unitari Se U∈U(H) allora esi-ste un’unica famiglia spettrale F (λ) tale che∫

eiλdF (λ)

e F (λ) = 0 se λ < 0 e F (2π − 0) = I.

Dimostrazione: Consideriamo

Γλ := eitt∈[0,λ] ⊂ T

Ovviamente χΓλ(U) = F (λ) e

• Se λ < 0 allora F (λ) = 0;

• Se λ ≥ 2π allora F (λ) = I;

• Se λ ≤ λ′ allora F (λ) ≤ F (λ′);

• Se λ ≤ λn per ogni n ∈ N allora

limn−→∞

χΓλn= χΓλ


Da queste asserzioni segue immediatamente che F e una famiglia spettrale e

∀f ∈ C(T) f(U) =

∫f(eiλ)dF (λ)

L’unicita si dimostra esattamente come nel caso delle funzioni continue suglioperatori autoaggiunti, verificando prima il risultato sui polinomi e sfruttandola densita dei polinomi nelle funzioni continue.

qed

Ovviamente, la misura di (0, 2π) secondo dF (λ) e 1 se e solo se

1 ∈ σp(U) ⇐⇒ ker(I − U) = 0 ⇐⇒ χ1(U) = 0

10.5 Operatori compatti, Hilbert–Schmidt e nucleari

La teoria spettrale degli operatori continui ci fornisce molte informazionisu di essi: in questo paragrafo studiamo una sottoclasse importantissima deglioperatori continui e ne analizziamo la teoria spettrale.

10.5.1 Definizione Se X e Y sono spazi di Banach un operatore lineare A :X −→ Y si dice compatto se per ogni insieme F limitato in X A(F ) e uninsieme a chiusura compatta in Y . L’insieme degli operatori compatti si denotaK(X,Y ).

Equivalentemente, A e compatto se e solo se A(X1) (immagine della pallaunitaria di X) ha chiusura compatta in Y .

Si vede immediatamente che un operatore compatto e continuo:

K(X,Y ) ⊂ B(X,Y )

10.5.2 Proposizione K(X,Y ) e un sottospazio chiuso di B(X,Y ).

Dimostrazione: Intanto verifichiamo che e un sottospazio vettoriale: che A ∈K(X,Y ) implichi λA∈K(X,Y ) per ogni λ∈C e ovvio; inoltre se A,B∈K(X,Y ):

Ax + Bxx∈X1 ⊂ Ax + Byx,y∈X1

la cui chiusura e compatta (dato che la chiusura di AX1 × BX1 lo e in Y × Y el’operazione + : Y × Y −→ Y e continua).

Vediamo infine che K(X,Y ) e un sottospazio chiuso di X: se An e unasuccessione in K(X,Y ) convergente (ad un elemento A ∈ B(X,Y )); vogliamodimostrare che A ∈ K(X,Y ).

10.5. Operatori compatti, Hilbert–Schmidt e nucleari 381

Consideriamo allora la successione xn ⊂ X1: per compattezza di A1 deve

esistere una sottosuccessione x(1)nk1

⊂ xn tale che A1x(1)nk1

sia convergen-te. Questa scelta di sottosuccessioni puo farsi per ogni operatore compatto An,ottenendo cosı una famiglia x(i)

nkiik di sottosuccessioni della xn tali che

per ogni n la successione Aix(i)nki

i sia convergente in Y . Allora consideriamo lasuccessione “diagonale”

zi := x(i)ni

Per definizione zii ⊂ xnn e Anzii e di Cauchy per ogni n.Ora scegliamo un indice n tale che sia

||A − An|| <ε

3

Dato che Anzii e di Cauchy, deve esistere kε tale che

∀h, k > kε ||Anzk − Anzh|| <ε

3

e quindi

||A(zh − zk)|| ≤ ||(A − An)(yh − yk)|| + ||An(yh − yk)||

≤ ||An(yh − yk)|| ≤ 2ε

3+

ε

3= ε

Percio A e compatto.qed

10.5.3 Proposizione K(X,Y ) e un B(X)-modulo a destra e un B(Y )-moduloa sinistra.

Dimostrazione: Basta osservare che, se A : X ′ −→ X e B : Y −→ Y ′ sonocontinui e T : X −→ Y e compatto allora l’operatore

X ′ A // XT // Y

B // Y ′

e compatto. Ed infatti BT (X1) e compatto dato che B e continuo e T (X1) ecompatto; quindi (un sottoinsieme compatto in uno spazio normato e chiuso

ABT (X1) ⊂ ABT (X1) = ABT (X1)

e quindi ABT (X1) e chiuso in un compatto e quindi e compatto.qed


10.5.4 Corollario Se T ∈ K(X,Y ), A ∈ B(Y ) e B ∈ B(X) allora

AT, TA ∈ K(X,Y )

Naturalmente se X = Y scriviamo K(X) = K(X,Y ).

10.5.5 Corollario K(X) e un ideale bilatero chiuso nell’algebra B(X).

10.5.6 Esempio Se dim X < ∞ ogni operatore continuo e compatto6:

K(X) = B(X) = End(X)

Piu in generale, un operatore A ∈ B(X) tale che dim im A < ∞ e compatto:infatti la sua immagine e uno spazio isomorfo a Cn: non vale il viceversa; se

Tx := f(x)x0

ove x0 ∈ X e f : X −→ C e un funzionale lineare ma non continuo allora T none continuo e quindi non puo essere compatto: tuttavia dim im T = 1.

In generale:

A ∈ B(X) | dim im A < ∞ ⊂ K(X)

Se X e uno spazio di Hilbert questi due sottospazi di B(X) sono effettivamenteuguali, mentre se X e solo uno spazio di Banach, l’inclusione e stretta.

Osserviamo inoltre che, se al solito I e l’operatore identico:

I ∈ K(X) ⇐⇒ dim X < ∞ ⇐⇒ X1 e compatto

In altri termini, se dim X = ∞ un operatore compatto A non e invertibile (questoe anche evidente dal fato che K(X) e un ideale: se contenesse un invertibileconterrebbe I e quindi ogni elemento di B(X), e questo e possibile solo, appunto,nel caso di dimensione finita).

Dato che K(X) C B(X) lo spazio di Banach B(X)/K(X) e un’algebra diBanach.

10.5.7 Teorema Se H e uno spazio di Hilbert (di dimensione infinita) e seA ∈ K(H) allora A∗ ∈ K(H).

6Ad esempio perche X1 e compatto...


Dimostrazione: Sappiamo che A∗ ∈ B(H); dato che A e compatto (e K(H) CB(H)) anche A∗A∈K(H). A∗A e autoaggiunto, quindi possiamo usare il calcolofunzionale continuo: se f ∈Cc(R) allora e limite di polinomi privi di termine noto(i.e. di elementi dell’ideale xR[x] nell’algebra dei polinomi) in σ(A∗A) e quindi

√A∗A = |A|

e compatto. Abbiamo quindi dimostrato che se A e compatto lo e anche |A|e quindi, considerando la decomposizione polare A∗ = |A|V ∗ di A∗, di nuovoessendo K(H) C B(H), deve aversi

A∗ = |A|V ∗ ∈ K(H)

qed

Osserviamo che se A e autoaggiunto allora

A = A∗ =

∫λdE(λ)

e σ(A|E(−ε,ε]H

)⊂ [−ε, ε], per cui∣∣∣∣∣∣∣∣A|E(−ε,ε]H

∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤ ε

Quindi, se A = A∗ ∈ K(H):

A − AE(−ε,ε] = A(I − E(−ε,ε])||.||−−−→

ε−→0A

Se Hε := E(−ε,ε]H, allora σ(A|H⊥

ε

)⊂ σ(A) ∩ (−ε, ε]: infatti

H⊥ε = im

(I − E(−ε,ε]

)= im(I − E(ε) + E(−ε))

e quindiA|H⊥

ε= A|(I−E(ε))H ⊕ A|E(−ε)H

Ma se A1 ⊕ A2 = A evidentemente σ(A) ⊂ σ(A1) ∪ σ(A2) (basta osservare irisolventi per convincersene immediatamente) e quindi

σ(A|(I−E(ε))H

)∩ (−ε, ε) = ∅

Cioe 0 sta nel risolvente di A|(I−E(ε))H che risulta percio essere invertibile.Si noti che se A e compatto, la sua restrizione ad un sottospazio pure e un

operatore compatto; quindi A|(I−E(−ε,ε])H e invertibile ed e compatto, il che puo

solo avvenire (essendo K C B) se dimH⊥ε = dim(I − E(−ε,ε])H < ∞.


Abbiamo cioe che la restrizione A|H⊥ε

e un operatore autoaggiunto su unospazio di dimensione finita e quindi possiamo esprimerlo come

A|H⊥ε

=∑

λ∈σş

A|H⊥ε

ť

λPλ

ove i Pλ sono definiti su spazi di dimensione finita: ma si ha∣∣∣∣∣∣∣∣A|E(−ε,ε]H

∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤ ε ⇒∣∣∣∣∣∣∣∣A −

∑λPλ

∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤ ε

e quindi, per ε −→ 0:

10.5.8 Teorema Se A e un operatore compatto autoaggiunto:

A =∑

λ∈σ(A)

λPλ

Questa e la forma del teorema spettrale per un operatore compatto: osservia-mo che sussiste quindi la decomposizione

H =⊕

λ∈σ(A)

ker(A − λI)

10.5.9 Definizione Il numero

ν(λ) := dim Pλ = dim Eker(A−λI)

si dice molteplicita del valore λ.

10.5.10 Corollario Se A e un operatore compatto autoaggiunto allora,

∀λ 6= 0 ν(λ) < ∞In virtu del teorema, possiamo disporre gli autovalori σ(A) di A in una suc-

cessione di modulo non crescente, nella quale ogni λ figuri tante volte quanta ela sua molteplicita

λ1 = ... = λν(λ1), λ2 = ... = λν(λ2), ...

con |λ1| ≥ |λ2| ≥ .... Dato che i numeri ν(λ) sono finiti e allora chiaro che


10.5.11 Corollario Se A e un operatore compatto autoaggiunto allora l’unicopunto di accumulazione in σ(A) puo essere lo zero.

In generale possiamo dare la

10.5.12 Definizione Se A ∈ B(H) si dice che

• A e privo di molteplicita se A e normale ed esiste un vettore ciclico per laC*-algebra generata da A e I.

• A ha molteplicita uniforme pari a n se esiste un operatore normale B privodi molteplicita e tale che A = B ⊕ ... ⊕ B (n volte).

Il seguente risultato sara dimostrato piu in generale come teorema conclusivodel §1 del prossimo capitolo:

10.5.13 Teorema Un operatore normale privo di molteplicita e sempre un ope-ratore di moltiplicazione M su L2(σ(A), µ) (ove µ e una misura regolare diprobabilita):

∀f ∈ L2(σ(A), µ) Mf(z) := zf(z)

Se A1 e A2 sono operatori normali privi di molteplicita allora sono unitariamenteequivalenti se e solo le le misure µ1 e µ2 su σ(A1) e σ(A2) associate dal teoremasono equivalenti (cioe µ1 ¿ µ2 e µ2 ¿ µ1).

Questo teorema e un caso particolare di un risultato piu profondo, che peronon dimostreremo (cfr. [23], pp. 82–97).

10.5.14 Esempio Gli operatori di Volterra sono compatti. Sia H = L2[0, 1] e,per f ∈H:

(Af)(s) :=

∫ s

0

K(s, t)x(t)dt

Evidentemente σ(A) = 0, inoltre, se K ∈ C1([0, 1] × [0, 1]) e, per ogni s, ilnucleo K(s, s) 6= 0 allora σp(A) = ∅. Infatti, se Ax = 0, allora∫ s

0

K(s, t)x(t)dt = 0

e, derivando,

K(s, s)x(s) +

∫ s

0

∂

∂sK(s, t)x(t)dt = 0

Ma allora K(s, s)−1∂K(s, t)/∂s ∈ C([0, 1] × [0, 1]) e il nucleo di un operatore diVolterra B e

Bx + x = 0 ⇒ x = 0

(a meno che −1 ∈ σp(B) che e assurdo, avendosi σ(A) = 0. Quindi 0 /∈ σp(A).


10.5.15 Teorema Se A1 e A2 sono operatori compatti allora

A1∼= A2 ⇐⇒ ν1 = ν2

Dimostrazione: Se ν1 = ν2 allora

A2 =∑

λnP2λ e A2 =

∑λnP

2λ

Se e(1)n e la base ortonormale di H formata con i vettori che generano gli spazi

ker(A1 − λI) al variare di λ ∈ σ(A1) (ed analogamente per A2) allora possiamodefinire

Ue(1)n = e(2)

n

Si tratta di un operatore unitario e quindi

UA1e(1)n = Uλne

(1)n = λne

(2)n = A2e

(2)n = A2Ue(1)

n

cioe A1 e A2 sono unitariamente equivalenti.Viceversa, se A1

∼= A2 allora esiste U ∈U(H) tale che A2 = UA1U−1 e quindi

∀f ∈ C(σ(A1) ∪ σ(A2)) f(A2) = Uf(A1)U−1

Per λ 6= 0 si ha Pλ = f(A) (per continuita di f , se f(0) = 0) e quindi

P(2)λ = UP

(1)λ U−1

da cui ν1 = ν2.qed

10.5.16 Definizione Se A∈K(H) e autoaggiunto e se, per ogni λ∈ σ(A) si haν(λ) ∈ 0, n (con n ∈ N costante fissata), allora si dice che A ha molteplicitauniforme n. Se n = 1 allora A si dice privo di molteplicita.

Ad esempio, si puo verificare che A ha molteplicita uniforme n se e solose esiste un operatore B ∈ K(H) autoaggiunto privo di molteplicita e tale cheA = B ⊕ ... ⊕ B.

Osserviamo ora che, per ogni x ∈H, dal teorema di Stone–Weierstrass 9.2.9,segue che:

Anxn∈N = f(A)xf∈Cc(R)

10.5.17 Definizione Se A ⊂ B(H), un vettore x ∈ H si dice ciclico per A seAx = H.


10.5.18 Lemma Se A e un operatore autoaggiunto compatto in H allora esisteun vettore x∈H ciclico per Anxn∈N (i.e. tale che Anxn∈N = H) se e solo seA e privo di molteplicita.

Dimostrazione: Poiche A e compatto autoaggiunto possiamo scrivere

f(A) =∑

f(λ)Pλ

i.e. f(A)x =∑

f(λ)Pλx; dunque

x e ciclico ⇐⇒ ∀y ∈H∀f ∈ Cc(R) y⊥f(A)x ⇒ y = 0

che vale se e solo se dim PλH = 1.Infatti se x e ciclico allora per ogni λ ∈ σp(A):

f(A)x = f(A)Pλx = f(λ)Pλx

e quindi dim PλH = 1. Viceversa, se dim PλH = 1 allora, essendo ogni punto diσp(A) \ 0 isolato, esiste una f ∈ C(σ(A)) tale che f(|El) = 1 e f(λ′) = 0 conλ′ ∈ σ(A) \ λ. Quindi Pλ = f(A) e, per x ∈ H tale che Pλx 6= 0 per nessunλ ∈ σ(A), deve aversi

f(A)x = Pλx = ||Pλx||eλ

ove eλ e una base ortonormale; quindi

∀λ ∈ σ(A) \ 0 eλ ∈ f(A)xf∈C(σ(A))

e

χ0(A)x = c0e0 ∈ f(A)xf∈C(σ(A))

Si osservi infatti che eλλ∈σp(A) e una base ortonormale di H e, dato che Card σp(A) =ℵ0 allora esiste cλ ∈ C tale che∑

λ∈σp(A)

|cλ|2 = 1 ⇒∣∣∣∣∣∣∣∣ ∑

λ∈σp(A)

cλEλ

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1

Quindi Pλx = cλeλ, cioe x e un vettore ciclico.qed

Consideriamo ora un operatore autoaggiunto A ∈ B(H) e ricordiamo che

σess(A) := λ ∈ σ(A) | λ punto isolato e dim ker(A − λI) < ∞


10.5.19 Teorema (H. Weyl) Se A∈B(H) e un operatore autoaggiunto e K∈K(H) e autoaggiunto allora

σess(A + K) = σess(A)

Dimostrazione: Osserviamo che

• λ ∈ σess(A) se e solo se esiste un sistema ortonormale en in H tale che||Aen − λen|| −→ 0.

• K∈B(H) e compatto se e solo se per ogni successione xn ⊂ H convergentenella topologia debole, Kxn converge in norma.

La (1) e un fatto noto (teorema 10.2.12); dimostriamo la (2). Se K e compattoe xn converge debolmente a x allora

∀n ||xn|| ≤ M

(per il teorema di Banach–Steinhaus 6.5.14) e quindi esiste una sottosuccessionedi Kxn convergente; se per assurdo Kxn non convergesse dovrebbe possedereuna sottosuccessione Kxnk

tale che

(∗) ||Kxnk− Kx|| ≥ ε > 0

Passando ad una ulteriore sottosuccessione yi := xnki tale che Kyi −→ z ∈ H

(K e compatto!) avremmo z = Kx; infatti

∀x′ ∈H (x′, Byi) = (B∗x′, yi)debolmente−−−−−−→ (B∗x′, x) = (x′, Bx)

cioe Byi −→ Bx per ogni B ∈ B(H). Quindi

Kyidebolmente−−−−−−→ Kx

il che contraddice la (*). Dunque Kxn e convergente e la (2) e dimostrata.Passiamo ora al teorema: se en e un sistema ortonormale, ovviamente con-

verge debolmente a zero (gli elementi (x, en) sono i coefficienti di Fourier di x,che sono a quadrato sommabile); quindi, per la (2):

Ken||.||−→ 0

Ma λ ∈ σess(A) ⇐⇒ ||Aen − λen|| −→ 0 e quindi

||(A + K)en − λen|| = ||Aen − λen + Ken|| ≤ ||Aen − λen|| + ||Ken||

Ma ||Aen − λen|| −→ 0 e ||Ken|| −→ 0 (per compattezza di K), quindi λ ∈σess(A+K) (viceversa, se λ∈σess(A+K), posto A′ = A+K e K ′ = K lo stessoragionamento mostra che λ ∈ σess(A)).

qed


10.5.20 Teorema (von Neumann) Se A,B ∈ B(H) sono operatori autoag-giunti e σess(A) = σess(B) allora esiste un operatore compatto K ∈ K(H) taleche

∀ε > 0 tr(K∗K) < ε2

e tale che A + K ∼= B.Gli operatori come il K coinvolto nel teorema di von Neumann rientrano in

una classe notevole:

10.5.21 Definizione Un A si dice operatore di Hilbert–Schmidt se esiste unsistema completo ortonormale eα in H tale che la serie∑

α

||Aeα||2

converga.

Notiamo che la definizione implica che solo una quantita numerabile di ||Teα||2puo essere diversa da zero.

Se A e di Hilbert–Schmidt allora il valore

||A||HS :=

√∑α

||Aeα||2

non dipende dalla scelta della base: infatti se fα e un’altra base, possiamoscrivere∑

β

||Afβ||2 =∑

β

∑α

|(Afβ, eα)|2 =∑

α

∑β

|(fβ, A∗eα)|2 =∑

α

||A∗eα||2

(identita di Parseval); ma se scriviamo questa formula per eα = fα otteniamo||A||HS = ||A∗||HS e quindi, ancora per la formula, ||A||HS non dipende dalla basefissata. Osserviamo inoltre che, se ||x|| = 1 allora, se A e di Hilbert–Schmidt:

||Ax|| ≤ ||Ax||HS

cioe ||A|| ≤ ||A||HS. Infine si noti la

||A||HS =

√∑α,β

|(Aeα, eβ)|2

che segue dalla ||Aeα||2 =∑

β |(Aeα, eβ)|2.


10.5.22 Teorema ||.||HS rende gli operatori di Hilbert–Schmidt un’algebra diBanach.

Dimostrazione: Se A e di Hilbert–Schmidt anche λA lo e per ogni λ ∈ C;inoltre, se A e B sono di Hilbert–Schmidt:

||A + B||2HS =

√∑α,β

|(A + B)eα, eβ)| ≤√∑

α,β

|(Aeα, eβ)| +∑α,β

|(Beα, eβ)|

=||A||HS + ||B||HS

Dimostriamo che la ||.||HS e una norma di Banach: se An e una successione diCauchy allora

||An − Am|| ≤ ||An − Am||HS −→ 0

e quindi An converge a A ∈ B(H): dimostriamo che A e di Hilbert–Schmidt.Basta notare che

||A||HS ≤∑

α

||Aeα||2 ≤ supn

||An||HS < ∞

Infine notiamo che, se A e di Hilbert–Schmidt e B ∈ B(H) allora

||BA||2HS =∑

α

||BAeα||2 ≤ ||B||2∑

α

||Aeα||2 = ||B|| ||A||HS

e quindi anche ||AB||HS = ||(AB)∗||HS = ||B∗A∗||HS ≤ ||B|| ||A||HS. In partico-lare, se B e di Hilbert–Schmidt allora ||B|| ≤ ||B||HS e quindi gli operatori diHilbert–Schmidt formano un’algebra di Banach.

qed

Dalla dimostrazione segue che gli operatori di Hilbert–Schmidt sono un idealebilatero (ovviamente non chiuso) in B(H): la chiusura di questo ideale e ovvia-mente ancora un ideale di B(H), e deve quindi coincidere con B(H) oppure conK(H); vale questo secondo caso: intanto

10.5.23 Proposizione Un operatore di Hilbert–Schmidt e compatto.

Dimostrazione: Basta mostrare che si approssima con operatori di rango finito:sia eα un sistema ortonormale completo in H e A un operatore di Hilbert–Schmidt. Allora ||Aeα||2 6= 0 al piu per una famiglia numerabile di indici α e, sen ∈ N allora esiste un insieme di indici finito An tale che∑

α/∈An

||Aeα||2 <1

n2


Ma se definiamo

Aneα =

Aeα se α ∈ An

0 se α /∈ An

e ovvio che gli An hanno rango finito e approssimano A:

||A − An|| ≤ ||A − An||HS =

√ ∑α/∈An

||Aeα||2 <1

n

qed

Non ogni operatore compatto di e di Hilbert–Schmidt: basti prendere in unospazio separabile Aen = n−1/2en.

10.5.24 Corollario L’algebra degli operatori compatti e la chiusura dell’algebradegli operatori di Hilbert–Schmidt.

Gli operatori di Hilbert–Schmidt sono ancor piu simili agli operatori neglispazi di dimensione finita di quanto non lo siano i compatti: comunque nonpossiamo estendere tutte le proprieta desiderate degli operatori finiti al caso diHilbert–Schmidt: ad esempio non riusciamo in generale a definire la traccia diun operatore. Per farlo dobbiamo ulteriormente restringere la classe di operatoriin esame: l’idea e che, in uno spazio vettoriale di dimensione finita V , vale l’iso-morfismo End(V ) = V ∗ ⊗ V ; cioe gli operatori si possono pensare come tensorie questo permette di definire la traccia di un operatore in modo intrinseco: seT ∈End(V ) e se ϕ⊗ v e la sua immagine per mezzo dell’isomorfismo precedenteallora basta porre tr T = ϕ(v). Naturalmente in dimensione infinita non possia-mo aspettarci l’isomorfismo precedente, ma lo spazio V ∗⊗V sara un sottospaziodello spazio degli operatori, sottospazio i cui elementi andiamo ora a definire.

10.5.25 Definizione A si dice operatore nucleare se si puo esprimere come ilprodotto A = BC di due operatori di Hilbert–Schmidt B e C.

10.5.26 Proposizione Se A = BC e un operatore nucleare e eα e un sistemacompleto ortonormale in H allora la serie∑

α

(Ceα, B∗eα)

converge assolutamente ad un valore che non dipende dal sistema ortonormalescelto.


Dimostrazione: Se fα e un altro sistema ortonormale allora

∑α,β

|(Ceα, fβ)(B∗eα, fβ)| ≤√∑

α,β

|(Ceα, fβ)|2√∑

α,β

|(B∗eα, fβ)|2

=

√∑α

||Ceα||2√∑

α

||B∗eα||2

= ||C||HS ||B∗||HS

Quindi la serie doppia esiste e, in particolare∑α

(Ceα, B∗eα) =∑α,β

(Ceα, fβ)(B∗eα, fβ) =∑β,α

(Bfβ, eα)(C∗fβ, eα)

=∑

β

(Bfβ, C∗fβ)

Di nuovo l’indipendenza dalle basi segue usando questa formula prima con eα =fα e poi nel caso generale.

qed

Il numero

tr A =∑

α

(Ceα, B∗eα)

si dice traccia dell’operatore nucleare A. Dalla dimostrazione della proposizionesegue immediatamente che

10.5.27 Proposizione La traccia e un operatore lineare e continuo dallo spaziodegli operatori nucleari in C ed inoltre

tr AB = tr BA || tr AB|| ≤ ||A||HS||B||HS tr AA∗ = ||A||2HS

10.5.28 Teorema Lo spazio N (H) degli operatori nucleari su uno spazio diHilbert H e uno spazio di Banach rispetto alla norma

||A||N = tr |A|

ove A = |A|U e la decomposizione polare dell’operatore nucleare A. Lo spazio diBanach N (H) e isomorfo al duale di K(H) ed il duale di N (H) e isomorfo aB(H).


Dimostrazione: Per vedere che si tratta di una norma di Banach, notiamo che

||A||N = supU,V

| tr UAV |

al variare di U, V nelle isometrie parziali: infatti

| tr UAV | =

∣∣∣∣∣∑α

(UAV eα, eα)

∣∣∣∣∣ ≤ ∑α

|(AV eα, U∗eα)| = tr |A| = ||A||N

per U e V tali che A = |A|V ∗U∗.Per ottenere gli isomorfismi basta osservare che un elemento A∈N (H) induce

in modo unico un operatore lineare su K(H) definito come K 7−→ tr AK, e che unelemento B ∈B(H) induce in modo unico un operatore lineare su N (H) definitocome A 7−→ tr AB.

qed

spettrale doplicher

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