segnali stazionari: analisi spettrale -...
TRANSCRIPT
SEGNALI STAZIONARI:
ANALISI SPETTRALE Analisi spettrale: rappresentazione delle componenti in frequenza di un segnale (ampiezza vs. frequenza).
Fornisce maggiori dettagli rispetto all’analisi temporale (ampiezza vs. tempo).
Particolarmente utile nelle applicazioni biomediche per segnali quasi periodici (es: cuore, respiro, voce, ecc.).
Spettro: Vettore delle ampiezze delle componenti di un segnale, disposte in funzione della loro frequenza. Un segnale è in teoria rappresentato da una serie infinita di sinusoidi.
Come si stima lo spettro:
Metodo tradizionale (non parametrico): Trasformata di Fourier.
Metodo parametrico: basato su modelli (lineari) del segnale.
Perchè l’analisi in frequenza?
Ad esempio, in ottica, alcuni colori (rosso, giallo, blu), detti fondamentali,
ulteriormente sono puri, cioè non scomponibili.
A ciascuno di essi corrisponde una certa lunghezza d'onda (frequenza) del raggio luminoso, e il prisma (che scompone la luce bianca nei sette colori dello spettro luminoso) mostrerà solamente quella componente.
La medesima cosa avviene per gli altri segnali.
Es: il suono. A una certa lunghezza d'onda del suono corrisponde una certa “altezza” percepita. Se non è presente contemporaneamente nessun altra frequenza, il suono sarà puro.
SPETTRO
ES: SUONO - Ogni singola componente è un tono puro (sinusoidale: y = sin(x)).
3 componenti: 55Hz,125Hz,180Hz 1 componente: 100Hz
ANALISI DI FOURIER Qualunque segnale periodico può essere scomposto nella somma di un eventuale termine costante e di componenti sinusoidali, delle quali la prima, avente lo stesso periodo e quindi la stessa frequenza del segnale considerato, si chiama prima armonica o fondamentale:
a1cosx+b1senx
e le altre, aventi periodi sottomultipli e quindi frequenze multiple, si chiamano armoniche superiori:
akcoskx+bksenkx
In altri termini, con opportune interferenze (somme) di onde più semplici si può ricostruire l'onda originale (es: onda sonora).
x( t ) a0 ( am cosm0 t bm sinm0 t ) m1
Analisi di Fourier: rappresenta con una serie di armoniche, ciascuna dotata di una particolare ampiezza (e fase), qualsiasi forma d'onda.
ARMONICHE
Se le componenti sono in rapporto di frequenza intero con la componente di frequenza più bassa, si dicono armoniche. La componente a frequenza più bassa si chiama fondamentale o prima armonica e si indica con F0. La componente di frequenza doppia della fondamentale si chiama seconda armonica (y = sin(2x) ), chiama terza armonica
la (y
componente di frequenza tripla della fondamentale si = sin(3x) ), e così via.
RUMORE
Le frequenze non sono equispaziate, e i rapporti di frequenza con la più bassa non sono
interi, anzi sono addirittura irrazionali. L'onda risultante non è periodica.
SERIE DI FOURIER A seconda delle applicazioni, si possono usare altre rappresentazioni della serie di Fourier:
A
t ) 0 0 A m co s( m0 t m ) x( 2
m1
t ) c
e j m0 t x( m
Grafico ottenuto da una funzione
MATLAB che mostra i primi 10
termini della serie di Fourier in
forma esponenziale per l’onda
quadra vista in precedenza.
Coefficienti di Fourier in funzione
della frequenza armonica. Qui
sono necessari termini sia positivi
che negativi.
SERIE DI FOURIER Calcolare la serie di Fourier dell’onda quadra vista precedentemente ed implementare
una funzione MATLAB per le prime 10 componenti . Disegnare
ottenuto e quello dei coefficienti di Fourier. Si ha: il grafico del segnale
sin ( m / 2 ) 5
5m1
x( t ) co s( mt ) m / 2 2
Approssimazione
dell’onda quadra
con 10 termini
della serie di
Fourier su [-2, 2]
Coefficienti di
Fourier in
funzione della
frequenza
armonica
%Plotting Fourier series approximation
subplot(211)
time=-2:0.01:2; %Time axis
x=0; %Initializing signal
for m=-10:10
if m==0
x=x+5/2; %Term for m=0 else
x=x+5*sin(m*pi/2)/m/pi*2*exp(j*m*pi*time);
end
end
plot(time,real(x),'k') %Plotting and Labels
xlabel('Time (sec)')
ylabel('Amplitude')
set(gca,'Xtick',[-2:2]) % Visualizza estremi e valori intermedi
set(gca,'Ytick',[0 5]) %visualizza solo gli estremi
set(gca,'Box','off') %Non visualizza i bordi del grafico
Script
MATLAB
Fourier_series1.m
%Plotting Fourier magnitudes
subplot(212)
m=-10:10+1E-10;
A=[5/2*sin(m*pi/2)./m/pi*2]; %Fourier magnitudes
Faxis=(-10:10)*.5; %Frequency axis
plot(Faxis,A,'k.') % plotting
axis([-5 5 -2 4])
set(gca,'Box','off')
xlabel('Frequency (Hz)')
ylabel('Fourier amplitudes')
SERIE DI FOURIER
Coefficienti di Fourier (rappresentazione in serie
di coseni) del segnale di pressione aortica visto
(scala logaritmica). I coefficienti alle basse
Ricostruzione a vari livelli:
Media + 1 e 2 armonica = forma base della
pressione sistolica e diastolica; frequenze hanno ampiezza maggiore di quelli Ulteriori armoniche aggiungono dettagli ma alle alte frequenze, che quindi danno un contribuiscono in modo poco significativo alla
ricostruzione della forma d’onda. contributo poco significativo alla ricostruzione
del segnale
a
TRASFORMATA DI FOURIER
La trasformata (o integrale) di Fourier (FT)) è utile per decomporre un segnale
(continuo) nelle sue componenti in frequenza, analogamente alla serie di Fourier che
consente di decomporre un segnale periodico nelle sue componenti trigonometriche.
relazione inversa (IFT) consente di ricostruire il segnale dalla FT:
La
X( ) x( t )e jt dt X( )e jt d
t ) 1 x( 2
Es.: FT della funzione rettangolo unitario
a a 1,
jt t a
a
2 sina e e
jt dt
a
x( t ) X( ) 2a sinc( a ) j 0, t
Grafico della funzione sinc (cardinal sine)
L’implementazione numerica più nota ed efficiente della FT è la FFT (Fast Transform).
Fourier
ANALISI IN FREQUENZA
La trasformata di Fourier consente di approssimare funzioni complesse con altre più
semplici numerose applicazioni in matematica, fisica, ingegneria.
Un qualsiasi segnale (periodico di periodo T) può essere rappresentato da una combinazione
di sinusoidi con ampiezza e frequenza opportune.
Onda quadra (a)
approssimata da un
numero crescente di
sinusoidi: 1,2,3,4
rispettivamente in
(b),(c),(d),(e).
Le componenti a frequenze
via via più elevate sono
dette “armoniche”
FAST FOURIER TRANSFORM
FFT - E’ un efficiente algoritmo numerico per calcolare la trasformata di Fourier discreta
(DFT). Perché l’algoritmo sia particolarmente efficiente il numero di dati N deve
potenza del 2. Il rapporto delle velocità di esecuzione fra la DFT e l’FFT è:
essere una
DF T co mp u t in g t ime N2
N
N l og2 N F F T co mp u t in g t ime lo g2 N
Ad esempio, per N=1024, l’FFT è circa 100 volte più veloce della DFT.
Grafico MATLAB di |FFT| (in
radianti normalizzato fra 0
e 2π) della somma di 2
sinusoidi Funzione sinusoidale di freq. F=100Hz e
relativa FFT Funzione sinusoidale di freq. F=100Hz
con rumore additivo e relativa FFT
ES: SEGNALE VOCALE
Spettri ottenuti con la Fast Fourier Transform (FFT)
F F T - linear scale F F T - logarithmic scale 1 0
0.9
-20 0.8
0.7 -40
0.6
0.5 -60
0.4
-80 0.3
0.2 -100
0.1
0 -120 0 1000 2000 3000 4000
F req. (Hz)
5000 0 1000 2000 3000 4000
F req. (Hz)
5000
S ampling freq. F = 25000 s
S ampling freq. F = 25000 s
N o
rm. P
S D
N o
rm.
P S
D (d
B)
La Trasformata di Fourier (1)
scompone un segnale f(t) nelle sue componenti di diversa frequenza
dominio dei tempi dominio delle frequenze
• sinusoidali
•
PRINCIPALE LIMITE
risoluzione in frequenza, ma non nel tempo:
rivela quali frequenze sono presenti nel segnale ma non quando si verificano
Segnali non stazionari
Analisi nel tempo o in frequenza?
La rappresentazione più nota è lo spettrogramma: grafico tempo-
frequenza dell’intensità del segnale.
Nello spettrogramma, l’asse orizzontale corrisponde al tempo e l’asse verticale alla frequenza.
L’intensità ad un certo istante è data da un’apposita tonalità di colore (o livello di grigio).
Le armoniche vengono rappresentate da fasce orizzontali parallele.
Es: l’inflessione della voce nel parlato produce un aumento o una diminuzione della frequenza delle armoniche.
LO SPETTROGRAMMA
La potenza è una misura dell’energia totale prodotta al secondo, ed è misurata in Watt.
L’intensità è una misura della potenza per unità di area, misurata in Watt/m2, o in decibel (dB). La scala dei decibel è logaritmica, e consente di rappresentare grandi variazioni di potenza con piccole variazioni in dB.
Lo spettrogramma è il grafico tempo-frequenza dell’intensità del segnale
Nello spettrogramma, l’asse orizzontale corrisponde al tempo e l’asse verticale alla frequenza.
L’intensità ad un certo istante è data da un’apposita tonalità di colore (o livello di grigio) nello spettrogramma.
Le armoniche vengono rappresentate da fasce orizzontali parallele.
Es: l’inflessione della voce nel parlato produce un aumento o una diminuzione della frequenza delle armoniche.
SPETTROGRAMMA DI: /see-saw/
Spettrogrammi dei suoni vocalici "a" ed "i" pronunciati da un
madrelingua italiano e relative forme d'onda
1000
SPETTROGRAMMA
8000
7000
6000
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Time [ms] 5000
4000
3000
2000
0 10 10.5 11 11.5
F re q
ue n
cy
[H z
]
DOPPLER ARTERIA OMBELICALE
Stima della velocità
nell’
massima
arteria sanguigna
ombelicale materna. Si studia lo
spettrogramma del flusso
sanguigno. I massimi della PSD
sono legati alla velocità massima
del sangue.
Problema:
stazionario
segnale
richiede l’uso
non
di
tecniche adattative per stimare i
parametri di interesse su
intervalli di tempo ridotti (qualche
decina di ms).
La Short Time Fourier Transform (1)
La STFT applica la trasformata di Fourier a porzioni del segnale
Il segnale viene moltiplicato per una finestra w(t) che trasla nel tempo
Fornisce una frequenza
collocazione temporale di una certa banda di
“FINESTRAGGIO” DEI DATI
Il finestraggio dei dati (data windowing) consente di controllare gli effetti dovuti ai lobi laterali negli stimatori spettrali.
Si suppone che una sequenza nota e finita di dati (e/o di campioni dell’autocorrelazione) sia una parte di una sequenza di durata infinita, ottenuta da un finestraggio dei dati.
L’ipotesi implicita in questo ragionamento è che i dati non osservabili, esterni alla finestra allo studio, siano tutti uguali a zero.
La Short Time Fourier Transform (2)
f t Fissato il tipo di finestra, il prodotto * è costante,
w(t) a supporto ampio
w(t) a supporto stretto
Buona risoluzione in frequenza
Bassa risoluzione nel tempo
Bassa risoluzione in frequenza
Buona risoluzione nel tempo
STFT
Si dimostra che vale la seguente relazione fra durata
temporale Δt e larghezza di banda Δf:
STFT
DURATA COSTANTE SPETTRO TRASLATO IN FREQUENZA
FT PER SEGNALE DI DURATA FINITA
I segnali reali sono quasi sempre di durata finita. La FT di un segnale di durata finita si
ottiene dalla convoluzione della FT del segnale e quella di un’opportuna “finestra” x(t):
nessuna
distorsione
Modulo
finestra
|X(Ω)| e
sin(Ω0t),
della FT della
(rettangolare) x(t),
del segnale infinito
|Fsin(Ω0t)|
allargamento
lobo
principale
lobi laterali
Modulo della FT del segnale
finito y(t):
Y(Ω)=X(Ω) |Fsin(Ω0t)|
FINESTRAGGIO I lobi laterali della trasformata della finestra, anche detti “leakage” (dispersione), influenzano le ampiezze delle frequenze adiacenti.
Il leakage non solo produce una distorsione in ampiezza per segnali campionati, ma può mascherare impedirne l’individuazione.
la presenza di segnali deboli, ed
Esistono molte funzioni finestra, per ottenere livelli accettabili per i lobi laterali.
Una diminuzione dei lobi laterali consente infatti di ridurre la distorsione. Questo si ottiene però allargando la risposta in frequenza del lobo principale, che causa una riduzione della risoluzione spettrale.
E’ quindi necessario considerare soluzioni di compromesso fra l’ampiezza del lobo principale ed il livello di soppressione dei lobi laterali.
Le più note finestre per segnali campionati sono: rettangolare, triangolare, Hanning, Hamming, Nuttall, Gaussiana.
FINESTRE E RISOLUZIONE
(a-b) Rettangolare; (c-d) Triangolare; (e-f)
Hanning; (g-h) Hamming; (i-j) Nuttal; (k-l)
Gaussiana; (m-n) Chebyshev
FINESTRE E DTFT