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Musica, Teoria Spettrale e Analisi Armonica

Valter Moretti - Sara Coser

Dipartmento di Matematica,Universita di Trento

Trento, 8 Settembre 2011

Valter Moretti - Sara Coser Musica, Teoria Spettrale e Analisi Armonica

Contenuto

0. Due parole sul violoncello.

1. Rumore, Suoni, Note.

2. Il timbro e le corde, analisi armonica 1.

3. La cassa armonica, analisi armonica 2.

4. Consonanza e Dissonanza


0.1 Rumore, Suoni, Note. (1, 2)

Due parole sul violoncello

Il violoncello fa parte della famiglia degli strumenti ad arco,famiglia che comprende anche il violino, la viola e il contrabbasso.Questo gruppo di strumenti si chiama in questo modo perche essivengono suonati principalmente con l’archetto.Il violoncello e nato in Italia circa nella seconda meta del XVIsecolo.


1.1 Rumore, Suoni, Note. (3,4,5,6)

Che differenza c’e tra rumore e suono?

Ascoltiamo:

• La del violoncello (440 Hz)

• La del diapason (440 Hz)

• rumore.


1.2 Rumore, Suoni, Note. (7)

• Rumori e suoni: perturbazioni di pressione nel tempo t:

p = p(t, x) + p0

p0 pressione all’equilibrio, x punto nello spazio (timpano)

Differenza suono-rumore

Rumore: t 7→ p(t, x) non periodica.

Suono: t 7→ p(t, x) periodica: p(t + T , x) = p(t, x)

• Periodo T , Frequenza ν := 1/T , Pulsazione ω := 2πν.

• Unita per ν e ω: Hertz (Hz) una ripetizione al secondo.

• p dipende da x, ω non dipende da x.

• Suoni udibili dall’uomo: ∼ 15Hz - 12.000Hz circa.


1.3 Rumore, Suoni, Note. (8)

Cos’e la musica?

Suoni strutturati in frequenza. Struttura musicale: essenzialmentestruttura dei rapporti tra le frequenze dei suoni (ma non solo!).

• Sistema nervoso distingue rapporti di frequenza tra suonipercepiti insieme o quasi insieme. Differenze tra i suoni musicaliper lo piu legate a rapporti di frequenze.

• Orecchio assoluto: distingue le singole frequenze.

Il rapporto fondamentale

Rapporto fondamentale in tutte le culture musicali: intervallo diottava, ω2/ω1 = 2.

• Conviene pensare in termini di logaritmi di frequenze: i rapportidiventano differenze e “intervallo” ha un significato concreto.

• Intervalli di ottava belli a sentirsi: consonanti


1.4 Rumore, Suoni, Note. (9,10)

Estensione frequenza voce umana e alcuni strumenti musicali

• Due Do consecutivi sono sempre in rapporto di un’ottava.

• Ascoltiamo qualche intervallo di ottava.


1.5 Musica e Note (11,12,13)

Principo generale: ogni nota corrisponde ad un valore di frequenza

Come si fissano le note (nella musica occidentale) partendo da unanota, Do, di frequenza assegnata?

• Scala diatonica. Si divide l’ottava Do-Do’ in 7 partiassegnando 7 note con un certo algoritmo che diremo. Ascoltiamo• Scala cromatica. Si dividono in due i 5 intervalli piu lunghidella scala diatonica ottendo 12 note. Rapporti tra frequenzeconsecutive: intervalli di semitono. Ascoltiamo• Si “trasla” tutto all’infinito per ottave successive e precedenti.

DO

1 2 3 4 5 6 7

DO’


1.6 Musica e Note (14,15)

Scala Pitagorica diatonica. Due note fissate subito: Fa e Sol:

ωFa = 4/3 ωDo (Do-Fa intervallo di quarta giusta )

ωSol = 3/2 ωDo (Do-Sol intervallo di quinta giusta ).

Algoritmo pitagorico per le rimanenti 4 note.

Quattro note: Re, Mi, La, Si con frequenze rm,n,p ωDo , dove:

rm,n,p := (4/3)n(3/2)p2m con m, n, p ∈ Z t.c. rm,n,p ∈]1, 2[

Infinite possibilita!

• Principio di Pitagora: i razionali rm,n,p devono essere tali che irapporti tra le frequenze delle note ottenute siano della forma M/Ncon M,N ∈ N piu piccoli possibili. Se i rapporti sono di questo tipole note suonate insieme sono consonanti (sono belle a sentirsi)

• Ascoltiamo qualche intervallo consonante e dissonante.


1.7 Musica e Note (16)

• Scala cromatica di Pitagora: proseguendo con l’algoritmopitagorico, inserisce altre 5 note chiamate diesis o bemolle“spezzando in due” i 5 intervalli 8/9 producendo intervalli disemitono vicini a 243/256, cercando di ottenere un rapporto disemitono costante.

• E impossibile fissare un numero razionale r tale che r 12 = 2.Non si puo fissare in modo unico il rapporto di semitono: piurapporti di semitono⇒ Non si puo cambiare la tonalita di una melodia.


1.8 Musica e Note (16)

• Scala Naturale: (Tolomeo 100dC - Zarlino 1500) e introdottol’intervallo di Terza maggiore 5/4 (ωMi/ωDo) e di SestaMaggiore 5/3 (ωLa/ωDo) nell’algoritmo pitagorico.

• Frequenze delle note spostate un po’. Rapporti tra le frequenzepiu vicini al principio di Pitagora: es. la terza (Mi/Do) = 81/64=1.26...scala di Pitagora passa a 5/4 = 1.25.

• Con lo sviluppo della tecnologia nascono problemi pratici con glistrumenti ad accordatura fissa (clavicembali, pianoforti), difficili dagestire se accordati con la scala naturale.


1.9 Musica e Note (16, 17)

• Temperamento equabile (Andreas Werckmeister 1692):dividere l’ottava in 12 intervalli di semitono uguali.

ωn+1

ωn= 21/12

(cioe: log2 ωn+1 − log2 ωn =

1

12

)• Clavicembalo ben temperato (1722), J.S. Bach mostra comesfruttare al meglio il temperamento equabile.

• Quasi tutti gli strumenti musicali moderni (in particolare quelliad accordatura fissa) sono accordati con il temperamento equabile.Non lo sono gli strumenti a fiato e la voce umana che usano lascala naturale. Si e anche fissato ωLa

2π = 440Hz .

• Con il temperamento equabile e possibile cambiare tonalitasenza alterare una melodia: ascoltiamo un esempio.


2.1 Il timbro le corde, analisi armonica 1 (18, 19, 20)

Perche la stessa nota (La ω2π = 440Hz) suonanta dal violoncello

oppure dal diapason sembrano diverse? In che cosa differiscono?

• Bisogna capire come e prodotto il suono. Primaapprossimazione: nel cello e prodotto dalle corde. Oscillano confrequenza ω

2π e frustano l’aria producendo un’onda di pressione conla stessa frequenza ω

2π .

• 4 corde La-Re-Sol-Do accordate per intervalli successivi diquinta. La un’ottava sotto quella del La del diapason. Corde dimetallo (un tempo di budello), di diametro e tensione differente.

• Le corde escono dalla cordiera, passano sul ponticello (acerotraforato), sulla tastiera (di ebano) e finiscono nel riccio dovesono avvolte e tenute in tensione per l’accordatura.

• Il suono e prodotto strofinando le corde con l’archetto (dicrini) o pizzicando le corde. Con l’archetto suono tenuto(ascoltiamo...)


2.2 Il timbro le corde, analisi armonica 1 (21, 21’)

• La corda smette di oscillare in tempo breve a causa degli attritiinterni e dovuti all’aria (evidente pizzicandola).

• L’archetto continua invece a fornire l’energia dissipata dagliattriti.

• Il modello matematico di corda tenuta in oscillazionedall’archetto e tenuto conto della dissipazione di energia e moltocomplicato.

• Helmholtz ha provato che e, per molti aspetti, equivalente aduna corda ideale, senza dissipazione e forzante esterna, che oscillaad estremi fissati con un’onda di deformazione triangolare nelcaso piu semplice. Fondamentale nel modello, l’attrito tra corde earchetto. (Animazione).

• L’attrito tra archetto e corde e fondamentale se l’archettoscivola troppo si ottiene un cattivo suono. L’archetto viene resoscabro passandoco sopra della pece.


2.3 Il timbro le corde, analisi armonica 1 (21)

Modello di una corda ideale: Equazione di D’Alembert.

Deformazioni trasversali u = u(t, x) corda di lunghezza L:

1

v 2

∂2u

∂t2− ∂2u

∂x2= 0 , u(0) = u(L) = 0 estremi fissati.

Velocita propagazione perturbazioni v =√τ/µ, µ densita di

massa,τ tensione.

• u soluzione classica ⇒ u ∈ C 2(R; L2([0, L], dx)) e soddisfa

l’equazione astratta:

d2

dt2u(t) + v 2Au(t) = 0 ,

u ∈ C 2(R; L2([0, L], dx)) , A = − d2

dx2 Dirichlet.



• A = A∗ non limitato, ma limitato dal basso A ≥ cI > 0,

Soluzione dell’equazione astratta dalla Teoria Spettrale:

u(t) = sin(vt√

A)u(0) + A−1/2 cos(vt√

A)du

dt(0)

per condizioni iniziali u(0) ∈ D(A), dudt (0) ∈ D(

√A),

• (heat kernel su manifold) (A− sI )−1 compatto se s 6∈ σ(A)⇒ σ(A) = σp(A) e base hilbertiana di autovettori.

autovalori ed autovettori per A = − d2

dx2 Dirichlet

σp(A) =

(πn

L

)2∣∣∣∣ n = 1, 2, . . .

, φn(x) =

1√L

sin(πnx

L

)⇒ Possiamo dare la soluzione come sviluppo in modi oarmoniche:


2.5.a Il timbro le corde, analisi armonica 1 (21)

Sviluppo in armonche della soluzione

u(t, x) =+∞∑n=1

un sin (ωnt + γn) sin(πnx

L

)* ωn

2π = n2L

√τµ frequenza dell’armonica n-esima

* un e γn dalle componenti di u(0) e dudt (0) sulla base delle φn.

• Suonando una corda ci sono sempre 10− 15 ωn udibili.Essenzialmente: ω1 (fondamentale ) nota che si ascolta,rimanenti ωn = nω1 (armoniche) definiscono il timbro della nota.

• La struttura delle armoniche si trasferisce all’onda sonora:

p(t, x) = p0 +∑

pn(x) sin (ωnt + δn(x))

• Il diapason produce un suono puro - c’e solo ω12π = 440Hz - per

questo il La del diapason e diverso da quello del violoncello.Valter Moretti - Sara Coser Musica, Teoria Spettrale e Analisi Armonica

2.5.b Il timbro le corde, analisi armonica 1 (21)

Spettro del Sol# suonato sulla corda Re. In ordinata |un|.



Come si suonano tante note con 4 corde?

• Ogni corda ha fondamentale diversa ν1 = 12L

√τµ : stessa L,

differenti τ e µ.

• L’armonica n-esima si annulla ∀t in nei nodi xn,k = kLn ∈]0, L[,

k = 1, 2, . . . , n − 1. Il primo nodo individua la frequenza

dell’armonica ωn2π = 1

2xn,1

√τµ in modo inversamente proporzionale.

• Schiacciando la corda con un dito su un nodo vengonoselezionate solo le armoniche compatibili con quel nodo: Lafrequenza compatibile piu bassa diventa la nuova fondamentale.

* Schiacciando a L/2 la corda La ⇒ fondamentale con frequenzadoppia: La un’ottava sopra.* Schiacciando a L/3 la corda Sol (99Hz) ⇒ fondamentale confrequenza tripla (297 Hz): Re due ottave sopra.


2.7 Il timbro le corde, analisi armonica 1 (22,23)

• Si possono suonare molte note e suonare alcune note in duemodi differenti: come fondamentale di una corda senza premerecon il dito – corda vuota – oppure premendo il dito su una cordacon diversa fondamentale – corda diteggiata. Cambia il timbro.Attraverso il movimento delle dita si possono anche dare effettiparticolari al suono come il vibrato.

• Ascoltiamo esempi della stessa nota suonata vuota o diteggiata.Sugli spartiti non e indicato se suonare vuota o diteggiata.Eventuali suggerimenti da curatori dei singoli brani musicali.L’esecutore e libero nella scelta: per comodia, espressivita, omotivi storici (musica barocca largo uso delle corde vuote).

• Il fatto che le armoniche siano diverse se si suona la stessa notavuota o diteggiata produce fenomeni di “simpatia” cioe risonanza(esempio). “Viola d’amore” strumento Barocco a 14 corde in cui 7corde venivano suonate e le altre 7 suonavano per “simpatia”.


2.8.a Il timbro le corde, analisi armonica 1 (23, 24)

• Decomposizione in modi per il La (220 Hz) vuoto o diteggiato:

• Il vibrato (ascoltiamolo) e un effetto che si ottiene facendooscillare il dito sulla corda per abbellire il suono.

• Vediamo l’analisi in frequenza del vibrato.


2.8.b Il timbro le corde, analisi armonica 1 (24)


2.8.b Il timbro le corde, analisi armonica 1 (25, 26)

• Il timbro viene alterato anche strofinando l’archetto in puntidifferenti delle corde: ponticello e tastiera. Ascoltiamo.

• Energia distribuita differentemente sulle armoniche della stessanota a seconda di dove si strofina l’archetto.

Archetto sulla tastera: energia sulle prime armoniche

Archetto sul ponticello: energia anche su armoniche piu alte.

* prima armonica (dopo la fondamentale) “suono pieno”,* seconda “suono limpido”,* sesta-ottava “suono squillante”,* settima - nona “suono metallico”


2.8.c Il timbro le corde, analisi armonica 1 (26)


3.1a cassa armonica, analisi armonica 2. (27, 28, 29)

• Ascoltiamo la differenza tra suono prodotto pizzicando la cordaoppure strofinandola.

• Nel secondo caso e piu potente e piu pieno. Cio e dovuto allacassa armonica che risuona meglio con le note prodotte conl’archetto.

A cosa serve la cassa armonica e cos’e?

• Corda: taglia l’aria e la spinge poco, suono debole.• Cassa armonica: spinge l’aria con una grande superficie, suonoforte.• La cassa armonica e un tamburo comandato dalle corde.

• Struttura della cassa del Violoncello: Cassa armonica formata datavola armonica (faccia superiore), fasce (lati del cello) e fondo. Latavola e in abete armonico, le fasce e il fondo sono di acero. Ilvioloncello nel complesso pesa circa 3kg


3.2 cassa armonica, analisi armonica 2. (30)

Equazione delle deformazioni trasversali di una superfcie con bordofisso di base G ⊂ R2 aperto limitato:

1

c2

d2s(t)

dt2+ Ls(t) = 0 , s ∈ C 2(R, L2(G , d2x)) , c cost.

L = −∆Dirichlet senza tensioni interne a riposo (tamburo,timpani)

L = ∆2Dirichlet con tensioni interne a riposo (tavola armonica,

fondo cello, piatti)

• L = L∗, non limitato, ma L ≥ aI > 0.

• (L− zI )−1 compatto se z 6∈ σ(L) ⇒ σ(L) = σp(L), basehilbertiana di autovettori Φλλ∈σp(L) ⊂ C∞(G ) (reg. ellittica)

s(t, x , y) =∑

λ∈σ(L)

sλ sin (Ωλt + γλ) Φλ(x , y) , Ωλ = 2πc√λ



p(t, x) = p0 +∑

λ∈σp(L)

pλ(x) sin (Ωλt + δλ(x)) , Ωλ = 2πc√λ

• ΩλΩλ′6∈ N in generale, no fondamentale, suono non armonico.

• Da p si ricavano le Ωλ e quindi σp(L): questo determina G ?

Problema di Kac (1966): possiamo udire la forma del tamburo?

Gordon, Webb e Wolpert (1992): NO, per L = −∆Dirichlet eG ⊂ R2 con ∂G regolare a tratti. L ha lo stesso spettro su:



Come fanno le corde con pulsazioni armoniche ωn = nω1 adimporre alla cassa di suonare con tali pulsazioni “dimenticando” lesue pulsazioni non armoniche Ωλ?

Vediamo la struttura meccanica di trasmissione delle oscillazioni.sound post = anima, bass bar = catena.

d2s(t)

dt2+ 2γ

ds(t)

dt+ Ls(t) =

∑n

e iωnt fn

2γ ds(t)dt termine dissipativo, e iωnt fn ∈ L2(G , d2x) termini forzanti

c = 1, γ ≥ 0, L− γI ≥ εI > 0,



• Soluzione, dove ||Zn,t || ≤ Kn < +∞ unif. in t ∈ [0,+∞):

s(t) = e−γt

cos(

t√

L2 − γI)

s0 +sin(

t√

L2 − γI)

√L2 − γI

(s0 + γs0)

+e−γt

∑n

Zn,t fn +∑n

e iωnt

L− (ω2n − 2iγωn)I

fn

• Per t → +∞ no dipendenza condizioni iniziali s0, s0

• Essendo σ(L) = σp(L), usando la base hilbertiana Φλλ∈σp(L):

s(t→+∞)(t, x , y) =∑n,λ

e iωnt〈fn|Φλ〉Ω2λ − ω2

n + 2iγωnΦλ(x , y)

• il suono oscilla con le ωn delle corde e non le Ωλ della cassa:

p(t→+∞)(t, x) = p0 +∑n,λ

pλ,n(x) sin(ωnt + δλ,n(x))√(Ω2

λ − ω2n)2 + 4γ2ω2

n



• La cassa reagisce molto diversamente a seconda di ωn.

• la “strana” forma della cassa del violoncello mette gli Ωλ neiposti giusti rispetto alle ωn.



• Se qualche Ωλ e troppo vicino a qualche ωn e γ e troppopiccolo si ha risonanza incontrollabile seguita da altri fenomeniindesiderati (decomposizione della fondamentale in due frequenze eproduzione di battimenti): wolf tones.

• Fenomeno teoricamente abbastanza oscuro e con tentativi dispiegazioni contrastanti poco rigorosi matematicamente.

• Il problema delle note lupo appare nell’esecuzione di note lunghe.Si usano “macchinette antilupo” (smorzatori di oscillazione postisulla corda dopo il ponticello) che pero abbassano il suono. Metodipiu personali: stringere di piu la bacchetta dell’arco tra le dita.


4.1 Consonanza e dissonanza. (32, 33)

• Intervalli (coppie di note) dal piu al meno consonante.Nome esempio ω2/ω1

Unisono Do-Do 1/1Ottava Do-Do’ 1/2Quinta perfetta (V) Do-Sol 2/3Quarta perfetta (IV) Do-Fa 3/4Sesta maggiore (VI M) Do-La 3/5Terza maggiore (III M) Do-Mi 4/5Terza minore (III m) Mi-Sol 5/6Sesta minore (VI m) La-Fa’ 5/8Settima minore (VII m) Mi-Re’ 5/9Tono grande Do-Re 8/9Tono piccolo Re-Mi 9/10Settima maggiore (VIIM) Do-Si 8/15Settima minore grave Re-Do’ 9/16Semitono Mi-Fa 15/16


4.2 Consonanza e dissonanza. (34)

• Fenomeno sicuramente culturale.

Ma c’e qualche parametro oggettivo legato alla consonanza di unintervallo?

• Teoria fisologica/fisica di Helmholtz basata sui battimenti e sullabanda critica

• Teoria moderna: due note di un intervallo consonante hanno lestesse frequenze di alcune armoniche tra le prime dieci/quindici(quelle udibili)

Consonanza quinta perfetta (Do-Sol):ωDo

3 = ωSol2 , ωDo

6 = ωSol4 , ωDo

9 = ωSol6 ,

Dissonanza settima maggiore (Do-Si): ωDo15 = ωSi

8


4.3 Consonanza e dissonanza. (34)


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