solution_exercices mdf 2013 2014

ENIM TC 1 re Anne A. LAMBARKI

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SOLUTION_ EXERCICE N5

En appelant z la profondeur ( partir de la surface libre), on a :

zgPPP

zgPP

atmD

atmG r=D

=

r+=

1) Hauteur de chaque panneau pour que chacun supporte la mme force hydrostatique Soit l la largeur des panneaux. Les forces appliques sur chaque panneau sont donnes par : Llment de surface considr est dzldS= . On a hzetzz;zz;0z D2C1BA ====

Panneau AB : 2z

lgdzlzgdSzgPdSF21

z

zSS1

B

A

r=r=r=D=

Panneau BC : 2

zzlgdSzgPdSF

21

22

SS2

-r=r=D=

Panneau CD : 2

zhlgdSzgPdSF

22

2

SS3

-r=r=D=

La force totale agissant sur les trois panneaux est donne par :

2h

lgdSzgPdSF2

SS

r=r=D=

Les trois panneaux supportent la mme force :

=++

===

FFFF3F

FFF

321

321

33h

z3F

F 11 ==

32

hz3F

F 22 ==

Les hauteurs des trois panneaux sont :

Panneau AB : m20.53

3hzzzh 1AB1 ==-=

Panneau BC : m15.23

3h32

hzzh BC2 -=-=

Panneau CD : m65.132

1hzhh C3

-=-=

2) Positions des centres de pousses Les positions des centres de pousses au niveau des panneauxAB , BC et CD sont notes1pz ,

2pz et 3pz respectivement.


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On a :

L=LS

dFOMFOA

Appliquons cette relation pour dterminer la position du centre de pousse au niveau de chaque panneau. Soit : Panneau AB : 1pz

( ) ( ) =L=LS

111pS

2112111p dFzFzeedFzeeFz

m46.39

3h2z 1p =

Panneau BC : 2pz

( ) ( ) =L=LS

222pS


( )m33.6

12

239

h32z 2p

+

+=

Panneau CD : 3pz

( ) ( ) =L=LS

333pS


( )m20.8

32

23359h2

z 3p +

+=

Ces profondeurs correspondent celles o lon doit mettre les renforts. 3) Force par unit de largeur agissant sur chaque panneau Les forces de pression qui agissent sur chaque panneau sont gales : Par exemple la force par

unit de largeur qui agit sur le premier est donne par lF

f 11 = :

152

11 mN1035,16

hg

lF

f -=r==

4) Si la porte nest constitue que par un seul panneau, les renforts doivent occuper les positions calcules prcdemment, cest dire:

m46.3z 1p

m33.6z 2p

m20.8z 3p


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SOLUTION_ EXERCICE N7 Analyse physique du problme : Pour la valeur de h cherche (basculement de la cornire), les seuls moments par rapport laxe de rotation non nuls sont les moments de de vF

et

hF

. 1) Moment des forces rsultantes sur la paroi verticale Daprs le cours, on sait que pour un barrage rectangulaire vertical, la rsultante des forces

hydrostatiques vaut : SghF Gv r=

o Gh est laltitude du centre de gravit du rservoir (par

rapport la surface libre). Donc : x2

hLgF

2

v

r-= .

De plus, le point dapplication de cette force est situ 3h2

en-dessous de la surface libre

(donc 3h

au-dessus de laxe de rotation). Donc le moment de cette force rsultante par

rapport laxe Oz vaut :

6hLg

Mz6

hLgM

3

v

3

v

r=

r=

.

2) Moment des forces rsultantes sur la paroi horizontale La force rsultante vaut :

( ) ( ) y4D

ghy4D

hLghP4D

PhLghPF22

atm

2

atmatmh

pr-=

p-r++

p+r+-=

4D

ghF2

h

pr=

Le point dapplication de cette force est situ une distanceade laxe, au centre du disque (par raison de symtrie); donc le moment de cette force rsultante est :

4Dhag

Mz4

DhagM

2

h

2

h

pr=

pr-=

3) Equilibre mcanique de la vanne : la somme des deux moments tant nulle, on trouve:

m53.0L2a3

Dh04

Dhag6

hLg0MM

23

hv p

==pr

-r

==+


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SOLUTION_EXERCICE N9

1) Rsultante des forces de pousse On calculera son intensit et on dterminera sa direction. La hauteur deau dans la partie A est lh = .

Au niveau de la partie ( ) ( )( )

( ) ( )zhgzPPzP

zhgPzP

B

A

atmD

atmG -r=D

=

-r+=

Soit un lment de surface de la vanne LdRdS q= . La force lmentaire

( ) dSzPdF D= sexerant sur dSa pour composantes :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

qq-r=q-r=qD=q=

qq-r=q-r=qD=q=

dsinzhLRgdSsinzhgdSsinzPsindFdF

dcoszhLRgdScoszhgdScoszPcosdFdF

z

x

Or ( ) ( ) q=--=q sinRzh

Rzh

sin

qqr=

qqqr=

dsinLRgdF

dsincosLRgdF22

z

2x

Langle qvarie de 1q 2q dfinie comme suit :

Pour

=p

=q

=q

===qq=q

=qq=q

=

=

306

0

21

55.2

Rh

sinet

0sinet

0z

hz

2

1

22

11

==r

=

q-r

=qqr

=qqqr=

ppq

q

N12500084

510108

LRgF

22cos

2LRg

d2sin2

LRgdsincosLRgF

232

x

6

0

26

0

22

x

2

1


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( ) ( )

-

p=

-

pr=

-

pr=

q-qr

=

qq-r

=qq-

r=qqr=

p

ppq

q

N4529383

12451010F

83

12LRg

43

62LRg

22sin

2LRg

F

d2cos12

LRgd

22cos1

LRgdsinLRgF

23z

226

0

2

z

6

0

26

0

222z

2

1

N13295343

641

2LRg

FFF222

2z

2x

-

p+

r=+=

La direction est dfinie par langlea , tel quex

z

FF

tg =a . Langlea en ( ) est donn par :

p

=a 20

180FF

arctgx

z

2) Rsultante des forces de pousse On calculera son intensit et on dterminera sa direction. La hauteur deau dans la partie A est H .

Au niveau de la partie ( ) ( )( )

( ) ( )zHgzPPzP

zHgPzP

B

A

atmD

atmG -r=D

=

-r+=

Soit un lment de surface de la vanne LdRdS q= . La force lmentaire

( ) dSzPdF D= sexerant sur dSa pour composantes :


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Or ( )

q+r=Dq-=

-=q sinR

2H

gzPsinR2H

zR

z2H

sin

( )

( )

qq

q+r=q

q+r=qD=q=

qq

q+r=q

q+r=qD=q=

dsinsinR2H

LRgdSsinsinR2H

gdSsinzPsindFdF

dcossinR2H

LRgdScossinR2H

gdScoszPcosdFdF

z

x

Langle qvarie de 1q 2q dfinie comme suit :

Pour

p=q

p-=q

=

==qq=q

-=

-=-

=qq=q

=

=

6

6

21

525

R2H

sinet

21

525

R2H

sinet

0z

Hz

2

1

22

11

==

=r

=

N50000024

51010F

F42

LRgF

23x

x

2x

-

p=

=

-

pr=

N9058633

6451010F

F243

6LRgF

23z

z2

z

( ) ( ) N508140FFF 2z2x =+=

La direction est dfinie par langlea , tel quex

z

F

Ftg =a . Langlea en ( ) est donn par :

p

=a 10

180F

Farctg

x

z


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SOLUTION_EXERCICE N3 (Dynamique des fluides parfaits)


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SOLUTION_EXERCICE N5 (Dynamique des fluides parfaits)


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EXERCICES SUPPLEMENTAIRES CORRIGES


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EXERCICE N11 : Pour connatre la pression absolue lintrieur dune conduite ou circule un fluide de masse volumiquer , on dispose cte cte un baromtre et un manomtre tous deux remplis de mercure de masse volumique 0r et on lit les ctes

210 , HetHH . Calculer la pression sur laxe de la conduite (Figure S.11).

Figure S.11

Application numrique : m 0.75650 =H ; m 0.32451 =H ; m 0.19252 =H ; -33 mKg 10=r ; -330 mKg 1059.13=r .

SOLUTION_EXERCICE N11 On demande de calculer la pression absolue dans la conduite. Le baromtre nous permet davoir la pression atmosphrique : 00atm HgP r= On applique la relation fondamentale de la statique ( )cstezgP =r+ entre deux points dun mme fluide. Au pointC , on a 2C HgPP r+=

Au point C , on a ( )210atmC HHgPP +r+= Or CC PP = (Relation fondamentale de la statique).

( ) ( )21000210atm2 HHgHgHHgPHgP +r+r=+r+=r+

( ) ( ) 20100 HgHHgP r-r++r=

Application numrique : si on prend 2sm81.9g -= , on aura :

( ) ( )

=-++=

bar68.1P

Pa9.1678911925.081.910159.133245.07565.081.91059.13P 33


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EXERCICE N12 : Calculer la hauteur h du mercure dans le tube transparent si la pression absolue est bar 0.1471 =p (Figure S.12).

Figure S.12

Application numrique : mmHgp 7750 = ; m 10 =H ; m 8.0=H . SOLUTION_ EXERCICE N12


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EXERCICE N13 : Un manomtre mercure attach une cuve remplie deau jusqu une hauteur H , indique les hauteurs mh 3.01 = et mh 2.02 = . Soit h la position du point dattache du manomtre la cuve (Figure S.13). Dterminer lexpression de H en fonction de hethh 21, et des caractristiques des deux fluides. Donnes :

3310 -= mKgeaur ; -33 mKg 1060.13=mercurer ;

mh 8.0= ;

mh 3.01 = ;

mh 2.02 = .

Figure S.13


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EXERCICE N14 Un canal de section droite semi-circulaire, de rayon R , est barr par une paroi plane verticale. Dterminer la force de pression et la position du centre de pousse (Figure S.14).

Figure S.14


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EXERCICES SUPPLEMENTAIRES NON CORRIGES


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EXERCICE N15 : La figure S.15 reprsente une vanne rectan-gulaire (L x l) en coupe verticale destine fixer le niveau deau (hauteur h) dune retenue. Cette vanne est articule sa base sur un axe OO et maintenue au sommet par 2 chanes parallles manoeuvres par un treuil. En position haute (anglea ) on supposera la direction des chanes perpendiculaire la vanne.

Figure S.15

- Calculer la pousse sur la vanne due la pression hydrostatique et son centre dapplication.

- Calculer les efforts transmis aux chanes (on ngligera le poids propre de la vanne) et la raction de laxe OO.

Application numrique : h = 4m ; L = 5m ; l = 6m

EXERCICE N16 : Une vanne de vidange est constitue par un disque de rayon R pivotant autour dun axe horizontal. Le centre O du disque est positionn une hauteur h par rapport au niveau deau (Figure S.16).

- Calculer la pousse sur le disque et la position du centre de pousse ; - Reprendre le calcul dans le cas o le disque est noy (eau de chaque cot du disque). Ce

cas est celui dune cluse.

Application numrique : h = 2m ; R = 0,5m

Figure S.16


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EXERCICE N17 : Etude succincte dun barrage (Figure S.17) vote en forme de cylindre (paisseur de paroi e, rayon moyen R, hauteur h ; e/R


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EXERCICE N19 : Dterminer la grandeur de la force F, agissant au point A, ncessaire pour maintenir la vanne carre AB dans sa position ferme (Figure S.19). La vanne est fixe en B par une rotule. Le liquide considr est de leau ( 3mkg1000 -=r ) On ne tiendra pas compte du poids de la vanne.

Figure S.19

EXERCICE N20 : La cloison AB sparant les deux rservoirs, reprsents sur la figure S.20 est fixe en A. Sa largeur est de 1,2 m. Le manomtre indique -1,5 N/cm (pression effective). On demande de dterminer la force horizontale appliquer en B pour que la cloison soit en quilibre. On donne :

3alcoola mkg800

-=r=r 3

huileh mkg750-=r=r 3

eaue mkg1000-=r=r

ha = 4,50 m he = 1,50m hh = 2 m

Figure S.20


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EXERCICE N21 : Trouver la pression relative au fond du rservoir contenant de leau sous

pression (Figure S.21). La pression manomtrique ( )mP est la diffrence entre la pression absolue( )absP et la pression atmosphrique( )atmP .

2ms81.9g -= et 3kgm1000 -=r

Figure S.21

EXERCICE N22 : Calculer la pression manomtrique mP en bars enA due la dnivellation du mercure, de densit 57.13dHG = dans le manomtre enU (Figure S.22).

2ms81.9g -= et 3kgm1000 -=r

Figure S.22

EXERCICE N23 : Les rcipients A et B contiennent de leau aux pressions respectives

80.2 et 40.1 . Dterminer la dnivellation h du mercure du manomtre diffrentiel (Figure S.23).

2ms81.9g -= , 57.13dHG = et 3kgm1000 -=r


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Figure S.23

EXERCICE N24: Trouver la diffrence de pression entreA et B (Figure S.24).

2ms81.9g -= , 8.0dh = et 3kgm1000 -=r .

Figure S.24

EXERCICE N25: Pour une pression manomtrique enA de bar110.0- , trouver la densit

LBd du liquide B contenu dans le manomtre de la figure S.25. 2ms81.9g -= et 3kgm1000 -=r .


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Figure S.25

EXERCICE N26: Le rservoir surface libre de la figure ci-dessous possde deux pizomtres A et B et contient deux liquides non miscibles. Trouver la hauteur de la surface liquide dans le pizomtreA etB ainsi que la pression au fond du rservoir (Figure S.26). Les densits des liquides A et B sont LAd et LBd respectivement.

2ms81.9g -= , 3kgm1000 -=r , 72.0dLA = et 36.2dLB =

Figure S.26

EXERCICE N27 : Pour un manomtre affichant enA aP17650- , dterminer la hauteur des liquides dans les colonnes ouvertes du pizomtreE , Fet G ainsi que la hauteur de mercure dans le manomtre en U (Figure S.27).

2ms81.9g -= , 57.13dHG = et 3kgm1000 -=r .


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Figure S.27

EXERCICE N28 : Un manomtre diffrentiel est fix entre deux sectionsA et B dun tuyau horizontal o scoule de leau (Figure S.28). La dnivellation du mercure dans le manomtre est de m60.0h = . Quelle condition faut-il respecter pour appliquer lquation de lhydrostatique ? Calculer la diffrence de pression en aP entre les sectionsA et B .

2ms81.9g -= , 57.13dHG = et 3kgm1000 -=r .

Figure S.28

EXERCICE N29 : La chute de pression travers le dispositif X o scoule de leau, doit tre mesure laide dun manomtre diffrentiel utilisant de lhuile de densit 75.0d = comme fluide manomtrique (Figure S.29). Trouver la diffrence de hauteur de pression entreA et B .

2ms81.9g -= et 3kgm1000 -=r .


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Figure S.29

EXERCICE N30 : Un bloc dacier paralllpipdique flotte a une interface eau - mercure (Figure S.30). On note ad et md les densits respectives de lacier et du mercure.

Figure S.30

- Calculer le rapport des distances ab

;

- Application numrique : 85.7da = et 13dm = . EXERCICE N31 : Un siphon permet lcoulement de leau dun rservoir de grandes dimensions. Il est constitu par un tuyau de cm10 de diamtre dont la ligne centrale slve

m3 au dessus du niveau de la surface libre (Figure D.1).


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Figure D.1

- Quel dbit maximal peut-on obtenir avec ce dispositif sans quil se produise de

cavitation?; - Quelle doit tre alors la cote de sortie S?; - Tracer les lignes de charge et pizomtrique de linstallation. On prendra 210 -= smg et

on admettra que la pression vapeur deau est ngligeable dans les conditions exprimentales.

solution_exercices mdf 2013 2014

Documents

chaque panneau

panneau bc

panneau cd

panneau ab

seul panneau

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