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ENIM TC 1 re Anne A. LAMBARKI
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SOLUTION_ EXERCICE N5
En appelant z la profondeur ( partir de la surface libre), on a :
zgPPP
zgPP
atmD
atmG r=D
=
r+=
1) Hauteur de chaque panneau pour que chacun supporte la mme force hydrostatique Soit l la largeur des panneaux. Les forces appliques sur chaque panneau sont donnes par : Llment de surface considr est dzldS= . On a hzetzz;zz;0z D2C1BA ====
Panneau AB : 2z
lgdzlzgdSzgPdSF21
z
zSS1
B
A
r=r=r=D=
Panneau BC : 2
zzlgdSzgPdSF
21
22
SS2
-r=r=D=
Panneau CD : 2
zhlgdSzgPdSF
22
2
SS3
-r=r=D=
La force totale agissant sur les trois panneaux est donne par :
2h
lgdSzgPdSF2
SS
r=r=D=
Les trois panneaux supportent la mme force :
=++
===
FFFF3F
FFF
321
321
33h
z3F
F 11 ==
32
hz3F
F 22 ==
Les hauteurs des trois panneaux sont :
Panneau AB : m20.53
3hzzzh 1AB1 ==-=
Panneau BC : m15.23
3h32
hzzh BC2 -=-=
Panneau CD : m65.132
1hzhh C3
-=-=
2) Positions des centres de pousses Les positions des centres de pousses au niveau des panneauxAB , BC et CD sont notes1pz ,
2pz et 3pz respectivement.
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On a :
L=LS
dFOMFOA
Appliquons cette relation pour dterminer la position du centre de pousse au niveau de chaque panneau. Soit : Panneau AB : 1pz
( ) ( ) =L=LS
111pS
2112111p dFzFzeedFzeeFz
m46.39
3h2z 1p =
Panneau BC : 2pz
( ) ( ) =L=LS
222pS
2122122p dFzFzeedFzeeFz
( )m33.6
12
239
h32z 2p
+
+=
Panneau CD : 3pz
( ) ( ) =L=LS
333pS
2132133p dFzFzeedFzeeFz
( )m20.8
32
23359h2
z 3p +
+=
Ces profondeurs correspondent celles o lon doit mettre les renforts. 3) Force par unit de largeur agissant sur chaque panneau Les forces de pression qui agissent sur chaque panneau sont gales : Par exemple la force par
unit de largeur qui agit sur le premier est donne par lF
f 11 = :
152
11 mN1035,16
hg
lF
f -=r==
4) Si la porte nest constitue que par un seul panneau, les renforts doivent occuper les positions calcules prcdemment, cest dire:
m46.3z 1p
m33.6z 2p
m20.8z 3p
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SOLUTION_ EXERCICE N7 Analyse physique du problme : Pour la valeur de h cherche (basculement de la cornire), les seuls moments par rapport laxe de rotation non nuls sont les moments de de vF
et
hF
. 1) Moment des forces rsultantes sur la paroi verticale Daprs le cours, on sait que pour un barrage rectangulaire vertical, la rsultante des forces
hydrostatiques vaut : SghF Gv r=
o Gh est laltitude du centre de gravit du rservoir (par
rapport la surface libre). Donc : x2
hLgF
2
v
r-= .
De plus, le point dapplication de cette force est situ 3h2
en-dessous de la surface libre
(donc 3h
au-dessus de laxe de rotation). Donc le moment de cette force rsultante par
rapport laxe Oz vaut :
6hLg
Mz6
hLgM
3
v
3
v
r=
r=
.
2) Moment des forces rsultantes sur la paroi horizontale La force rsultante vaut :
( ) ( ) y4D
ghy4D
hLghP4D
PhLghPF22
atm
2
atmatmh
pr-=
p-r++
p+r+-=
4D
ghF2
h
pr=
Le point dapplication de cette force est situ une distanceade laxe, au centre du disque (par raison de symtrie); donc le moment de cette force rsultante est :
4Dhag
Mz4
DhagM
2
h
2
h
pr=
pr-=
3) Equilibre mcanique de la vanne : la somme des deux moments tant nulle, on trouve:
m53.0L2a3
Dh04
Dhag6
hLg0MM
23
hv p
==pr
-r
==+
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SOLUTION_EXERCICE N9
1) Rsultante des forces de pousse On calculera son intensit et on dterminera sa direction. La hauteur deau dans la partie A est lh = .
Au niveau de la partie ( ) ( )( )
( ) ( )zhgzPPzP
zhgPzP
B
A
atmD
atmG -r=D
=
-r+=
Soit un lment de surface de la vanne LdRdS q= . La force lmentaire
( ) dSzPdF D= sexerant sur dSa pour composantes :
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
qq-r=q-r=qD=q=
qq-r=q-r=qD=q=
dsinzhLRgdSsinzhgdSsinzPsindFdF
dcoszhLRgdScoszhgdScoszPcosdFdF
z
x
Or ( ) ( ) q=--=q sinRzh
Rzh
sin
qqr=
qqqr=
dsinLRgdF
dsincosLRgdF22
z
2x
Langle qvarie de 1q 2q dfinie comme suit :
Pour
=p
=q
=q
===qq=q
=qq=q
=
=
306
0
21
55.2
Rh
sinet
0sinet
0z
hz
2
1
22
11
==r
=
q-r
=qqr
=qqqr=
ppq
q
N12500084
510108
LRgF
22cos
2LRg
d2sin2
LRgdsincosLRgF
232
x
6
0
26
0
22
x
2
1
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( ) ( )
-
p=
-
pr=
-
pr=
q-qr
=
qq-r
=qq-
r=qqr=
p
ppq
q
N4529383
12451010F
83
12LRg
43
62LRg
22sin
2LRg
F
d2cos12
LRgd
22cos1
LRgdsinLRgF
23z
226
0
2
z
6
0
26
0
222z
2
1
N13295343
641
2LRg
FFF222
2z
2x
-
p+
r=+=
La direction est dfinie par langlea , tel quex
z
FF
tg =a . Langlea en ( ) est donn par :
p
=a 20
180FF
arctgx
z
2) Rsultante des forces de pousse On calculera son intensit et on dterminera sa direction. La hauteur deau dans la partie A est H .
Au niveau de la partie ( ) ( )( )
( ) ( )zHgzPPzP
zHgPzP
B
A
atmD
atmG -r=D
=
-r+=
Soit un lment de surface de la vanne LdRdS q= . La force lmentaire
( ) dSzPdF D= sexerant sur dSa pour composantes :
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Or ( )
q+r=Dq-=
-=q sinR
2H
gzPsinR2H
zR
z2H
sin
( )
( )
qq
q+r=q
q+r=qD=q=
qq
q+r=q
q+r=qD=q=
dsinsinR2H
LRgdSsinsinR2H
gdSsinzPsindFdF
dcossinR2H
LRgdScossinR2H
gdScoszPcosdFdF
z
x
Langle qvarie de 1q 2q dfinie comme suit :
Pour
p=q
p-=q
=
==qq=q
-=
-=-
=qq=q
=
=
6
6
21
525
R2H
sinet
21
525
R2H
sinet
0z
Hz
2
1
22
11
==
=r
=
N50000024
51010F
F42
LRgF
23x
x
2x
-
p=
=
-
pr=
N9058633
6451010F
F243
6LRgF
23z
z2
z
( ) ( ) N508140FFF 2z2x =+=
La direction est dfinie par langlea , tel quex
z
F
Ftg =a . Langlea en ( ) est donn par :
p
=a 10
180F
Farctg
x
z
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SOLUTION_EXERCICE N10
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SOLUTION_EXERCICE N3 (Dynamique des fluides parfaits)
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SOLUTION_EXERCICE N5 (Dynamique des fluides parfaits)
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EXERCICES SUPPLEMENTAIRES CORRIGES
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EXERCICE N11 : Pour connatre la pression absolue lintrieur dune conduite ou circule un fluide de masse volumiquer , on dispose cte cte un baromtre et un manomtre tous deux remplis de mercure de masse volumique 0r et on lit les ctes
210 , HetHH . Calculer la pression sur laxe de la conduite (Figure S.11).
Figure S.11
Application numrique : m 0.75650 =H ; m 0.32451 =H ; m 0.19252 =H ; -33 mKg 10=r ; -330 mKg 1059.13=r .
SOLUTION_EXERCICE N11 On demande de calculer la pression absolue dans la conduite. Le baromtre nous permet davoir la pression atmosphrique : 00atm HgP r= On applique la relation fondamentale de la statique ( )cstezgP =r+ entre deux points dun mme fluide. Au pointC , on a 2C HgPP r+=
Au point C , on a ( )210atmC HHgPP +r+= Or CC PP = (Relation fondamentale de la statique).
( ) ( )21000210atm2 HHgHgHHgPHgP +r+r=+r+=r+
( ) ( ) 20100 HgHHgP r-r++r=
Application numrique : si on prend 2sm81.9g -= , on aura :
( ) ( )
=-++=
bar68.1P
Pa9.1678911925.081.910159.133245.07565.081.91059.13P 33
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EXERCICE N12 : Calculer la hauteur h du mercure dans le tube transparent si la pression absolue est bar 0.1471 =p (Figure S.12).
Figure S.12
Application numrique : mmHgp 7750 = ; m 10 =H ; m 8.0=H . SOLUTION_ EXERCICE N12
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EXERCICE N13 : Un manomtre mercure attach une cuve remplie deau jusqu une hauteur H , indique les hauteurs mh 3.01 = et mh 2.02 = . Soit h la position du point dattache du manomtre la cuve (Figure S.13). Dterminer lexpression de H en fonction de hethh 21, et des caractristiques des deux fluides. Donnes :
3310 -= mKgeaur ; -33 mKg 1060.13=mercurer ;
mh 8.0= ;
mh 3.01 = ;
mh 2.02 = .
Figure S.13
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SOLUTION_EXERCICE N13
EXERCICE N14 Un canal de section droite semi-circulaire, de rayon R , est barr par une paroi plane verticale. Dterminer la force de pression et la position du centre de pousse (Figure S.14).
Figure S.14
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SOLUTION_EXERCICE N14
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EXERCICES SUPPLEMENTAIRES NON CORRIGES
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EXERCICE N15 : La figure S.15 reprsente une vanne rectan-gulaire (L x l) en coupe verticale destine fixer le niveau deau (hauteur h) dune retenue. Cette vanne est articule sa base sur un axe OO et maintenue au sommet par 2 chanes parallles manoeuvres par un treuil. En position haute (anglea ) on supposera la direction des chanes perpendiculaire la vanne.
Figure S.15
- Calculer la pousse sur la vanne due la pression hydrostatique et son centre dapplication.
- Calculer les efforts transmis aux chanes (on ngligera le poids propre de la vanne) et la raction de laxe OO.
Application numrique : h = 4m ; L = 5m ; l = 6m
EXERCICE N16 : Une vanne de vidange est constitue par un disque de rayon R pivotant autour dun axe horizontal. Le centre O du disque est positionn une hauteur h par rapport au niveau deau (Figure S.16).
- Calculer la pousse sur le disque et la position du centre de pousse ; - Reprendre le calcul dans le cas o le disque est noy (eau de chaque cot du disque). Ce
cas est celui dune cluse.
Application numrique : h = 2m ; R = 0,5m
Figure S.16
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EXERCICE N17 : Etude succincte dun barrage (Figure S.17) vote en forme de cylindre (paisseur de paroi e, rayon moyen R, hauteur h ; e/R
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EXERCICE N19 : Dterminer la grandeur de la force F, agissant au point A, ncessaire pour maintenir la vanne carre AB dans sa position ferme (Figure S.19). La vanne est fixe en B par une rotule. Le liquide considr est de leau ( 3mkg1000 -=r ) On ne tiendra pas compte du poids de la vanne.
Figure S.19
EXERCICE N20 : La cloison AB sparant les deux rservoirs, reprsents sur la figure S.20 est fixe en A. Sa largeur est de 1,2 m. Le manomtre indique -1,5 N/cm (pression effective). On demande de dterminer la force horizontale appliquer en B pour que la cloison soit en quilibre. On donne :
3alcoola mkg800
-=r=r 3
huileh mkg750-=r=r 3
eaue mkg1000-=r=r
ha = 4,50 m he = 1,50m hh = 2 m
Figure S.20
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EXERCICE N21 : Trouver la pression relative au fond du rservoir contenant de leau sous
pression (Figure S.21). La pression manomtrique ( )mP est la diffrence entre la pression absolue( )absP et la pression atmosphrique( )atmP .
2ms81.9g -= et 3kgm1000 -=r
Figure S.21
EXERCICE N22 : Calculer la pression manomtrique mP en bars enA due la dnivellation du mercure, de densit 57.13dHG = dans le manomtre enU (Figure S.22).
2ms81.9g -= et 3kgm1000 -=r
Figure S.22
EXERCICE N23 : Les rcipients A et B contiennent de leau aux pressions respectives
80.2 et 40.1 . Dterminer la dnivellation h du mercure du manomtre diffrentiel (Figure S.23).
2ms81.9g -= , 57.13dHG = et 3kgm1000 -=r
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Figure S.23
EXERCICE N24: Trouver la diffrence de pression entreA et B (Figure S.24).
2ms81.9g -= , 8.0dh = et 3kgm1000 -=r .
Figure S.24
EXERCICE N25: Pour une pression manomtrique enA de bar110.0- , trouver la densit
LBd du liquide B contenu dans le manomtre de la figure S.25. 2ms81.9g -= et 3kgm1000 -=r .
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Figure S.25
EXERCICE N26: Le rservoir surface libre de la figure ci-dessous possde deux pizomtres A et B et contient deux liquides non miscibles. Trouver la hauteur de la surface liquide dans le pizomtreA etB ainsi que la pression au fond du rservoir (Figure S.26). Les densits des liquides A et B sont LAd et LBd respectivement.
2ms81.9g -= , 3kgm1000 -=r , 72.0dLA = et 36.2dLB =
Figure S.26
EXERCICE N27 : Pour un manomtre affichant enA aP17650- , dterminer la hauteur des liquides dans les colonnes ouvertes du pizomtreE , Fet G ainsi que la hauteur de mercure dans le manomtre en U (Figure S.27).
2ms81.9g -= , 57.13dHG = et 3kgm1000 -=r .
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Figure S.27
EXERCICE N28 : Un manomtre diffrentiel est fix entre deux sectionsA et B dun tuyau horizontal o scoule de leau (Figure S.28). La dnivellation du mercure dans le manomtre est de m60.0h = . Quelle condition faut-il respecter pour appliquer lquation de lhydrostatique ? Calculer la diffrence de pression en aP entre les sectionsA et B .
2ms81.9g -= , 57.13dHG = et 3kgm1000 -=r .
Figure S.28
EXERCICE N29 : La chute de pression travers le dispositif X o scoule de leau, doit tre mesure laide dun manomtre diffrentiel utilisant de lhuile de densit 75.0d = comme fluide manomtrique (Figure S.29). Trouver la diffrence de hauteur de pression entreA et B .
2ms81.9g -= et 3kgm1000 -=r .
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Figure S.29
EXERCICE N30 : Un bloc dacier paralllpipdique flotte a une interface eau - mercure (Figure S.30). On note ad et md les densits respectives de lacier et du mercure.
Figure S.30
- Calculer le rapport des distances ab
;
- Application numrique : 85.7da = et 13dm = . EXERCICE N31 : Un siphon permet lcoulement de leau dun rservoir de grandes dimensions. Il est constitu par un tuyau de cm10 de diamtre dont la ligne centrale slve
m3 au dessus du niveau de la surface libre (Figure D.1).
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Figure D.1
- Quel dbit maximal peut-on obtenir avec ce dispositif sans quil se produise de
cavitation?; - Quelle doit tre alors la cote de sortie S?; - Tracer les lignes de charge et pizomtrique de linstallation. On prendra 210 -= smg et
on admettra que la pression vapeur deau est ngligeable dans les conditions exprimentales.