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MC / IO Modelos para Toma de decisiones Ejemplo Anlisis Bayesiano

Problema Nmero 5 Prof. V. Garcia T. Fuente: Bibliografa propuesta Pg. 1

Ejemplo 5 clase._ Para el caso de Pemex, cuya matriz de pagos se muestra abajo (millones de pesos mensuales),

considere que han sido estimadas las probabilidades a priori ah mismo mostradas. Haciendo uso de esta probabilidad,

aplique el criterio de Bayes para seleccionar una alternativa.

Alternativas de

pemex.

Estados de la naturaleza

E1: Existen yacimientos del

orden de un

milln de

barriles diarios

E2: Existen yacimientos del

orden de 200

mil barriles

diarios.

E3: Slo existe gas.

E4: Regin seca

A1: No hacer nada - 500 - 100 - 50 0

A2: Explorar y explotar 500 100 50 - 900

A3: Realizar estudios

ms completos - 30 - 30 - 30 - 30

Probabilidad P(Ej) 0.55 0.30 0.10 0.05

Clasificacin

ssmica:

E1

E2

E3

E4

Total

de

estudios

I: estructura

geolgica cerrada

(altamente favorable)

20 40 100 10

II: Un poco ms

abierta

8 20 25 20

III: Estructura

abierta

2 5 5 30

IV: no existe

estructura

geolgica

0 5 20 190

Total 30 70 150 250 500

SOLUCIN .

a) Haciendo uso de esta probabilidad, aplique el criterio de Bayes para

seleccionar una alternativa.

1.- Clculo de valores esperados para cada alternativa: E(A1)= (-500)(0.55)+(-100)(0.30)+(-50)(0.10)+0(0.05) = - 310 mpm

E(A2)= 500(0.55)+100(0.30)+50(0.10)+(-900)(0.05) = 265 mpm * E(A3)= (-30)(0.55)+(-30)(0.30)+(-30)(0.10)+(-30)(0.05) = - 30 mpm

* El criterio de Bayes selecciona la mnima prdida esperada, o su equivalente, la mxima ganancia esperada; en este caso, se elige A2.

2.- Clculo del valor esperado con informacin perfecta: (Para cada estado de la naturaleza se escoge el valor ms alto (caso de beneficio))

E1=500

E2=100

E3=50

E4=0

E(IP)= 500(0.55)+100(0.30)+50(0.10)+0(0.05) = 310 mpm

3.- Clculo del valor de la informacin perfecta:

VIP= E(IP) E(A2*)= 310 265 = 45 mpm

b) Suponga que Pemex realiza estudios ssmicos de la regin a un costo de

112 millones de pesos. Estos estudios

(sondeos ssmicos) producen

resultados que pueden clasificarse en

cualquiera de los siguientes cuatro

grupos I, II, III o IV; de 500 estudios

realizados, se tiene la siguiente matriz

de frecuencias:

Considere tambin que se tiene la siguiente poltica arbitraria

(regla de decisin): Si la CS es I o II, se elige la alternativa 2; Si es

III, se escoge la alternativa 3; si es IV se escoge la alternativa I.

Realice el clculo del riesgo esperado.

c) Haciendo uso de estos estudios, podra cambiar su decisin a

priori?

d) Es conveniente estar haciendo uso de informacin adicional?

( ) ( ( ))E x x f x

(Esto es lo que se estara dispuesto a pagar por conocer con

anticipacin el mejor resultado)



c) Haciendo uso de estos estudios, podra cambiar su decisin a priori?

1.- Matriz de Probabilidades condicionales P(xi l Ej )

E1 E2 E3 E4

XI 20/30 = 0.666 40/70 = 0.571 100/150 = 0.666 10/250 = 0.040

XII 8/30 = 0.266 20/70 = 0.285 25/150 = 0.166 20/250 = 0.080

XIII 2/30 = 0.068 5/70 = 0.072 5/150 = 0.035 30/250 = 0.120

XIV 0/30 = 0.0 5/70 = 0.072 20/150 = 0.133 190/250 = 0.760

2.- Clculo de probabilidades a posteriori, para cada valor de xi

Para xI: P(Ej l xI )

P(Ej ) P(xI l Ej ) ( )j IP E x P(Ej l xI )

E1 0.55 0.666 0.3663 0.6043 E2 0.30 0.571 0.1713 0.2826 E3 0.10 0.666 0.0666 0.1099 E4 0.05 0.040 0.0020 0.0032 0.6062

Clculo del valor esperado de cada alternativa: (Si el experimento resulta del tipo I)

E(A1 l xI )= (-500)(0.6043)+(-100)(0.2826)+(-50)(0.1099)+0(0.0032) = - 335.91 mpm

E(A2 l xI )= 500(0.6043)+100(0.2826)+50(0.1099)+(-900)( 0.0032) = 333.025 mpm * E(A3 l xI )= (-30)( 0.6043)+(-30)( 0.2826)+(-30)( 0.1099)+(-30)( 0.0032) = - 30 mpm

* Mxima ganancia esperada, se elige A2.

Para xII: P(Ej l xII )

P(Ej ) P(xII l Ej ) ( )j IIP E x P(Ej l xII )

E1 0.55 0.266 0.1463 0.5796 E2 0.30 0.285 0.0855 0.3387 E3 0.10 0.166 0.0166 0.0658 E4 0.05 0.080 0.0040 0.0159 0.2524

Clculo del valor esperado de cada alternativa: (Si el experimento resulta del tipo II)

E(A1 l xII )= (-500)(0.5796)+(-100)(0.3387)+(-50)(0.0658)+0(0.0159) = - 326.96 mpm

E(A2 l xII )= 500(0.5796)+100(0.3387)+50(0.0658)+(-900)( 0.0159) = 312.65 mpm * E(A3 l xII )= (-30)( 0.5796)+(-30)( 0.3387)+(-30)( 0.0658)+(-30)( 0.0159) = - 30 mpm

P( xI )=0.6062

0.55 X 0.666 = 0.3663

0.3663/0.6062=0.6043

P( xII )=0.2524




Para xIII: P(Ej l xIII )

P(Ej ) P(xIII l Ej ) ( )j IIIP E x P(Ej l xIII )

E1 0.55 0.068 0.0374 0.5460 E2 0.30 0.072 0.0216 0.3153 E3 0.10 0.035 0.0035 0.0511 E4 0.05 0.120 0.0060 0.0876 0.0685

Clculo del valor esperado de cada alternativa: (Si el experimento resulta del tipo III)

E(A1 l xIII )= (-500)(0.5460)+(-100)(0.3153)+(-50)(0.0511)+0(0.0876) = - 307.085 mpm

E(A2 l xIII )= 500(0.5460)+100(0.3153)+50(0.0511)+(-900)( 0.0876) = 228.25 mpm * E(A3 l xIII )= (-30)( 0.5460)+(-30)( 0.3153)+(-30)( 0.0511)+(-30)( 0.0876) = - 30 mpm


Para xIV: P(Ej l xIV )

P(Ej ) P(xIV l Ej ) ( )j IVP E x P(Ej l xIV )

E1 0.55 0 0 0 E2 0.30 0.072 0.0216 0.2963 E3 0.10 0.133 0.0133 0.1824 E4 0.05 0.760 0.0380 0.5213 0.0729

Clculo del valor esperado de cada alternativa: (Si el experimento resulta del tipo IV)

E(A1 l xIV )= (-500)(0. 0)+(-100)(0.2963)+(-50)(0.1824)+0(0.5213) = - 38.75 mpm

E(A2 l xIV )= 500(0. 0)+100(0.2963)+50(0.1824)+(-900)( 0.5213) = - 430.42 mpm

E(A3 l xIV )= (-30)( 0. 0)+(-30)( 0.2963)+(-30)( 0.1824)+(-30)( 0.5213) = - 30 mpm *


3.- Clculo del valor esperado de la decisin empleando informacin adicional: E(IA)=0.6062(333.025)+0.2524(312.65)+0.0685(228.25)+0.0729(-30) = 294.24074mpm

4.- Clculo del valor neto de la informacin adicional:

VEIA= E(IA) E(A2*)= 294.24074 265 = 29.24074 mpm (beneficio adicional esperado)

*A2 fue la mejor opcin, sin considerar informacin adicional.

P( xIII )=0.0685

P( xIV )=0.0729



En este caso, el VEIA < VIP (esto es, 29.24074< 45); pero slo se justifica la adquisicin de informacin

adicional, si su beneficio esperado es mayor al costo de esta informacin adicional. En este ejemplo, se

tiene el dato de que el costo de la informacin adicional es de 112 mpm. Entonces, como 29.24074



5.- Seleccionar Resuelva y analice, Resuelva el problema, Aceptar y se tendr la tabla siguiente:

6.- En Resultados puede obtener las siguientes tablas:

** Alternativa seleccionada,

segn los diferentes criterios

de modelos Sin Datos Previos.

Criterios de anlisis Sin

datos previos

Resultados obtenidos segn el

anlisis Bayesiano arriba

descrito.

Valores esperados de cada

alternativa, usando

probabilidades a Posteriori



Matriz de probabilidades a posteriori

Matriz de probabilidades marginales (de los eventos xi)

Matriz de probabilidades conjuntas ( )j iP E x

rbol de decisin:

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