073 4

1

1 59 36 824 6

1. Escriu els deu primers múltiples de 10:

M(10) = { , , , , , , , , , }

Unitat 1 Múltiples d’un nombre

Recorda-ho La paraula múltiple ve de multiplicar. Per obtenir els múltiples d’un nombre, només cal multiplicar-lo per 1, 2, 3, etc., fins al nombre natural més gran que puguis escriure. És com fer el quadre de multiplicar de cada nombre, però la llista de múltiples no s’acaba mai. Fixa’t com es calculen i s’escriuen els 5 primers múltiples del nombre 3:

1 × 3 = 32 × 3 = 63 × 3 = 94 × 3 = 125 × 3 = 15 M(3) = {3, 6, 9, 12, 15…}

2. Vet aquí un quadre amb els cent primers nombres.Encercla de color vermell els múltiples de 2, de color verd els múltiples de 3 i de color blau els múltiples de 5.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

52 519 938 6 43 0 7

4

14. Observa la llista següent. Tots els nombres que hi surten són múltiples de 2.

15. Observa la llista següent. Tots els nombres que hi surten són múltiples de 5.

16. Com pots saber si un nombre qualsevol és a la vegada múltiple de 2 i de 5? Explica-ho amb una frase curta.

• Com pots saber si un nombre és múltiple de 2?Explica-ho amb una frase curta.

• Com pots saber si un nombre és múltiple de 5?Explica-ho amb una frase curta.

2 4 6 8 10 12 14 26 128 230 502 1.244 3.766

5 10 15 20 65 70 85 120 485

Ho és si acaba en 0, 2, 4, 6 o 8.

Ho és si acaba en 0 o en 5.

Ho és si acaba en 0.

073 4

7

1 59 36 824 6

2. Troba els divisors de 36.

D(36) = { , , , , , , , , }

3. Troba els divisors de 15.

D(15) = { , , , }

4. Troba els divisors de 7.

D(7) = { , }

5. Troba els divisors de 13.

D(13) = { , }

Hi ha nombres que només són divisibles per si mateixos i per 1.

Pensa en la resposta d’aquestes preguntes:• Per esbrinar els divisors d’un nombre, cal fer tantes divisions? • Un nombre tindrà més divisors com més gran sigui?• Es poden calcular els divisors d’un nombre d’una manera ràpida?Fes les activitats i trobaràs algunes respostes…

…

15 1 15 2 15 3 0 15 1 7 0 5

15 4 15 5 15 6 3 3 0 3 3 2

15 7 15 8 15 15 1 2 7 1 0 1

1 3 5 15

…

36 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 7 0 36 0 18 0 12 0 9 1 7 0 6 1 5

36 8 36 9 36 10 36 11 36 12 36 13 36 14 4 4 0 4 6 3 3 3 0 3 10 2 8 2

36 15 36 16 36 17 36 18 36 36 6 2 4 2 2 2 0 2 0 1

1 2 3 4 6 9 12 18 36

7 1 7 2 7 3 0 1 1 3 1 2

7 4 7 7 3 1 0 1

1 7

…

13 1 13 2 13 3 13 4 13 5 0 13 1 6 1 4 1 3 3 2

13 6 13 7 13 13 1 2 6 1 0 1

1 13

…

52 519 938 6 43 0 7

2

3. Observa el quadre de la pàgina anterior i escriu els deu primers nombres que són a la vegada múltiples de 2 i de 3:

M(2, 3) = { , , , , , , , , , }

4. Escriu els deu primers nombres que són a la vegada múltiples de 2 i de 5.

M(2, 5) = { , , , , , , , , , }

5. Escriu els tres primers nombres que són a la vegada múltiples de 3 i de 5.

M(3, 5) = { , , }

6. Escriu els cinc primers nombres que són a la vegada múltiples de 2, de 3 i de 5.

M(2, 3, 5) = { , , , , }

7. Com pots saber si el nombre 1.080 és múltiple de 24? Esbrina-ho utilitzant la calculadora i explica-ho amb una frase curta.

8. Fes servir la calculadora per calcular un nombre que sigui múltiple de 15, de 24 i de 36 a la vegada. Explica amb una frase curta com ho fas.

M(15, 24, 36) =

9. Esbrina quin és el nombre més petit de tres xifres que és a la vegada múltiple de 2 i de 5.

6 12 18 24 30 36 42 48 54 66

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

15 30 45

30 60 90 120 150

Dividint 1.080 entre 24, si el residu és zero, serà múltiple.

12.960

Multiplico els tres números 15 × 24 × 36.

El 100.

073 4

5

1 59 36 824 6

17. Observa el quadre de sota: tots els nombres que hi surten són múltiples de 3. Com pots sa ber si un nombre és múltiple de 3?

• Explica com se sap si un nombre és múltiple de 3.

12

36

99

123

561

459

1.002

5.211

10.200

142.011

1 + 2 = 3

3 + 6 = 9

Et donaré una pista: suma les xifres.

Observa els resultats de les sumes. De quin nombre són múltiples?

9 + 9 = 18

1 + 2 + 3 = 6

5 + 6 + 1 = 12

4 + 5 + 9 = 18

1 + 0 + 0 + 2 = 3

5 + 2 + 1 + 1 = 9

1 + 0 + 2 + 0 + 0 = 3

1 + 4 + 2 + 0 + 1 + 1 = 9

Ho és si, en sumar totes les seves xifres, el resultat és múltiple de 3.

52 519 938 6 43 0 7

8

6. Com pots saber si un nombre és divisible per 2?

• Com pots saber si un nombre és divisible per 3?

• Com pots saber si un nombre és divisible per 5?

7. Troba tots els divisors de 100. Caldrà fer 100 divisions?

D(100) = {1, 25, 50, 100}

Et donaré dues pistes: 1) 50 és la meitat de 100. Llavors, entre els divisors de 100 no n’hi pot haver cap de més gran que 50, excepte el 100. 2) 25 és la meitat de 50. Llavors…

Et donaré una pista: si un nombre és divisible per 2, també serà múltiple de 2.

Si és parell, és a dir, si acaba en 0, 2, 4, 6, 8.

Si en sumar les seves xifres, el resultat és múltiple de 3.

Si acaba en 0 o en 5.

No.

100 és parell divisible per 2.

100 no és múltiple de 3.

100 és múltiple de 5.

100 : 4 = 25; és divisible per 4.

2 × 5 = 10; és divisible per 10.

2 × 10 = 20 és divisible per 20.4 × 5 = 20

2, 4, 5, 10, 20

}

▶

073 4

3

1 59 36 824 6

10. Esbrina quin és el nombre més petit que és a la vegada múltiple de 12 i de 15. Fes servir la calculadora per calcular la llista ordenada d’uns quants múltiples.

M(12) = { }

M(15) = { }

El mínim comú múltiple de 12 i 15 és .

11. Troba el m. c. m. de 24 i 36:

M(24) = { }

M(36) = { }

m. c. m. (24, 36) =

12. Troba el m. c. m. de 21 i 14:

M(21) = { }

M(14) = { }

m. c. m. (21, 14) =

13. Troba el m. c. m. de 15, 30 i 40:

M(15) = { }

M(30) = { }

M(40) = { }

m. c. m. (15, 30, 40) =

Recorda-ho Comú vol dir ‘que està repetit’.Fixa’t com escrivim el mínim comú múltiple de 12 i 15:

m. c. m. (12, 15) = 60

12, 24, 36, 48, 60

15, 30, 45, 60, 75

60

24, 48, 72, 96

36, 72, 108

72

21, 42, 63, 84

14, 28, 42, 56

42

15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120

30, 60, 90, 120, 150

40, 80, 120, 160

120

52 519 938 6 43 0 7

6

1. Troba els divisors de 12.

12 1 12 2 12 3 12 4 12 5 12 6

12 7 12 8 12 9 12 10 12 11 12 12

D(12) = { , , , , , }

Unitat 2 Divisors d’un nombre

Recorda-ho Les paraules divisor i divisible venen de dividir. Diem que un nombre és divisor d’un altre si, en dividir aquest entre el primer, la divisió és exacta; és a dir, el residu és 0.

18 3 18 4 0 6 2 4

El 3 és un divisor de 18. El 4 no és un divisor de 18.El 18 és divisible per 3. El 18 no és divisible per 4.

Fixa’t que:

3 × 6 = 18 Per tant, el 3 i el 6 són divisors de 18 i el 18 és múltiple de 3 i de 6.

3 18

és divisor de

és múltiple de

0 12 0 6 0 4 0 3 2 2 0 2

5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 0 1

1 2 3 4 6 12

073 4

9

1 59 36 824 6

8. Troba els divisors de 128.

D(128) = { }

128 2

08 64 2

0 04 3 2

2

2

2

2

Ves dividint el 128 entre 2.

9. Troba els divisors comuns de 12 i 36. Copia’ls de les activitats anteriors.

D(12) = { }

D(36) = { }

D(12, 36) = { }

10. Quin és el màxim divisor que és comú a 12 i a 36?

Fixa’t com ho escrivim: m. c. d. (12, 36) =

11. Troba el m. c. d. dels nombres indicats. Fixa’t en les activitats anteriors.

m. c. d. (18, 12) =

m. c. d. (24, 128) =

m. c. d. (36, 128) =

2

0 12 16

0 0 8

0 4

0 2

0 1

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128

1, 2, 3, 4, 6, 12

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

1, 2, 3, 4, 6, 12

12

12

6

8

4

SOLUCIONARI • SOLUCIONARI • SOLUCIONARI • SOLUCIONARI

52 519 938 6 43 0 7

10

1. La suma de la quantitat d’alumnes de les dues classes de sisè d’una escola és un nombre entre 40 i 50. Si es fan grups de 3 alumnes, no en sobra cap; si es fan grups de 5, tampoc no en sobra cap. Quants alumnes hi ha?

2. En un poble hi ha dues escoles i una piscina. Els alumnes de l’escola A van a la piscina cada 4 dies i els de l’escola B, cada 3 dies. El dia 1 d’octubre totes dues escoles coincideixen a la piscina. Cada quants dies es trobaran? Fes un calendari.

Es trobaran cada dies.

Unitat 3 Problemes de mútiples i divisors

Pensa que la solució ha de ser un d’aquests nombres: 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50. I un d’aquests nombres és múltiple de 3 i de 5.

1 3 5 72 4 6A B B A

Et donaré una pista: quin és el múltiple més petit de 3 i de 4 alhora?

Calendari del mes d’octubre

Poden ser:

40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50

Serà a la vegada múltiple de 3 i de 5.

Només pot ser el 45.

El múltiple més petit de 3 i 4 és 12.

12

B 8 9 10 11 12 13 14 A B B A 15 16 17 18 19 20 21 B A B A 22 23 24 25 26 27 28 B A B B 29 30 31 A B

073 4

13

1 59 36 824 6

1. Troba els divisors dels nombres següents i digues si són primers o compostos: D(8) = { }

El 8 és un nombre

D(23) = { }

El 23 és un nombre

D(63) = { }

El 63 és un nombre

D(77) = { }

El 77 és un nombre

Unitat 4 Nombres primers

Recorda-ho Et deus haver adonat que hi ha nombres que només tenen dos divisors: l’1 i el nombre mateix. S’anomenen nombres primers. Ho són, per exemple, el 2 i el 13:

Aviat veuràs per què aquests nombres són tan especials. Se’n diuen primers perquè només es poden obtenir multiplicant el nombre mateix per 1. Amb els nombres primers es poden «construir» tots els altres nombres, que s’anomenen nombres compostos.

L’1 i el 0 són nombres encara més especials: no són ni primers ni compostos.

1 × 17 = 17El 17 és primer.

1 × 3 = 3El 3 és primer.

4 × 3 = 12 2 × 6 = 12El 12 és compost.

D(2) = {1, 2}D(13) = {1, 13}

1, 2, 4, 8 compost.

1, 23

primer.

1, 3, 21, 63

compost.

1, 7, 11, 77

compost.

52 519 938 6 43 0 7

16

1. Calcula les potències següents. Per fer-ho, utilitza la calculadora.

32 = 3 × 3 × 9

54 = =

76 = =

124 = =

106 = =

115 = =

153 = =

243 = =

1252 = =

1003 = =

252 = =

26 = =

132 = =

204 = =

Unitat 5 Potències

Recorda-ho La potència és una operació matemàtica en la qual un nombre es multiplica diverses vegades per si mateix. Per exemple:

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 25 25 es llegeix 2 elevat a 5

25 = 32

5 vegadesExponent

Base

5 × 5 × 5 × 5 625 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 117.649

12 × 12 × 12 × 12 20.736 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 1.000.000 11 × 11 × 11 × 11 × 11 161.051

15 × 15 × 15 3.375

24 × 24 × 24 13.824

125 × 125 15.625

100 × 100 × 100 1.000.000

25 × 25 625

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 64

13 × 13 169

20 × 20 × 20 × 20 160.000

073 4

11

1 59 36 824 6

3. Tres germans van a esplais diferents el cap de setmana. Cada 2 setmanes l’Anna va d’excursió; en Pau hi va cada 5 setmanes, i l’Adrià, cada 4 setmanes. Si aquest cap de setmana tots tres germans han sortit d’excursió, d’aquí a quantes setmanes tornaran a coincidir?

4. El transportista d’un magatzem de pilotes ha de portar 216 pilo-tes en la seva furgoneta. Per empaquetar les pilotes, al magatzem hi ha caixes de diverses grandàries: per a 6, 7, 8, 9 o 10 pilotes. Quines caixes li aniran més bé? Quines creus que triarà per carre-gar la furgoneta més de pressa?

5. Troba el nombre de tres xifres més petit que sigui a la vegada múltiple de 2, de 5 i de 3.

Quan siguin múltiples de 2, 5 i 4.

M(2) = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 … }

M(5) = { 5, 10, 15, 20, 25, 30 … }

M(4) = { 4, 8, 12, 16, 20, 24 … }

Després de 20 setmanes.

216 6 216 7 216 8 216 9 216 10 36 36 06 30 56 27 36 24 16 20 0 0 0

Li aniran bé, sense sobrar pilotes, caixes per a 6, 8 o 9 pilotes.

Triarà la de 9 pilotes.

2 × 5 × 3 = 30

30 × 2 = 60

30 × 3 = 90

30 × 4 = 120

52 519 938 6 43 0 7

14

2. Ratlla els nombres compostos del quadre i et quedaran els nombres primers més petits de 100.

• Et surten 26 nombres primers?

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Vet aquí la llista dels nombres primers més petits que 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 91 i 97.

Et donaré una pista: ratlla els múltiples de 2, de 3 i de 5, excepte el 2, el 3 i el 5, que són primers. Després, ratlla els múltiples de 7 i d’11, excepte el 7 i l’11.

Sí

073 4

17

1 59 36 824 6

2. Expressa en forma de potència les quantitats següents:

1.000.000 =

1.000.000.000 =

1.000.000.000.000 =

35.000 =

250.000 =

9.000.000.000 =

125.000.000.000.000 =

Recorda-ho Observa aquesta sèrie de potències:

65 = 6 × 6 × 6 × 6 × 6 64 = 6 × 6 × 6 × 6 63 = 6 × 6 × 6 62 = 6 × 6 61 = 6 60 = ?

Les potències de base 10 són molt útils perquè serveixen per entendre millor els nombres i permeten estalviar feina. Fixa-t’hi:

1.000 = 10 × 10 × 10; per tant: 1.000 = 103

50.000 = 5 × 10.000 = 5 × 104

60 = ?

En el món matemàtic, qualsevol nombre elevat a zero és 1.

60 = 13450 = 1

23.7490 = 1

Recorda com es desglossa una quantitat:2.369 = 2 x 1.000 + 3 x 100 + 6 x 10 + 9 x 1També es poden fer servir les potències de base 10:2.369 = 2 x 103 + 3 x 102 + 6 x 101 + 9 x 100

106

109

1012

35 × 103

25 × 104

9 × 109

125 × 1012

52 519 938 6 43 0 7

12

6. Tens 36 rajoles quadrades. Quants rectangles diferents podràs muntar?

Dibuixa aquests rectangles en aquesta quadrícula.

7. En una parada d’autobusos hi paren 4 autobusos diferents. Un passa cada 20 minuts; un altre, cada 15 minuts; un altre, cada 10 minuts, i un altre, cada 12 minuts. A les 9 del matí coincideixen tots quatre. A quina hora tornaran a coincidir?

Has d’esbrinar totes les parelles de nombres (iguals o diferents) que en multiplicar-los donin 36.

Has de trobar el m. c. m. de 20, 15, 10 i 12.

1 × 36 = 36

2 × 18 = 36

3 × 12 = 36

4 × 9 = 36

6 × 6 = 36

1 × 36

2 × 18

3 × 12

9 × 4

6 × 6

M(20) = { 20, 40, 60, 80, 100, 120 … }

M(15) = { 15, 30, 45, 60, 75, 90 … }

M(10) = { 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70 … }

M(12) = { 12, 24, 36, 48, 60, 72 … }

M(20, 15, 10, 12) = 60

60 minuts són 1 h. Tornaran a coincidir a les 10 h.

073 4

15

1 59 36 824 6

3. Un nombre compost sempre et sortirà sumant dos o tres nombres primers i també multiplicant-ne uns quants. Juga-hi.

Nombre compost Només nombres primers

36

12

25

55

28

74

68

17 + 19 = 36 2 × 2 × 3 × 3 = 36

Els nombres primers són «nombres de primera»!

5 + 7 = 12 3 × 4 = 12 5 + 7 + 13 = 25 5 × 5 = 25

2 + 53 = 55 5 × 11 = 55 23 + 5 = 28 2 × 2 × 7 = 28 3 + 71 = 74 2 × 37 = 74

7 + 61 = 68 2 × 2 × 17 = 68

52 519 938 6 43 0 7

18

3. Desglossa aquestes quantitats usant les potències de base 10:

4.718 =

23.895 =

456.721 =

207 =

80.906 =

4. Calcula mentalment aquestes operacions:

3 × 103 =

56 × 108 =

125 × 106 =

9 × 108 =

Recorda-ho Fixa’t que la quantitat de quadradets d’un quadrat és una potència:

82 = 8 × 8 = 64

Per això, quan una potència té el 2 com a exponent, s’anomena «al quadrat». Exemples: 52 es llegeix cinc al quadrat; 232 es llegeix vint-i-tres al quadrat…

8 quadradets

8 qu

adra

dets

8 files de 8 quadradets8 × 8 = 64 quadradets

4 × 103 + 7 × 102 + 1 × 101 + 8 × 100 2 × 104 + 3 × 103 + 8 × 102+ 9 × 101 + 5 × 100

4 × 105 + 5 × 104 + 6 × 103 + 7 × 102 + 2 × 101 + 1 × 100 2 × 102 + 0 × 101 + 7 × 100

8 × 104 + 0 × 103 + 9 × 102 + 0 × 101 + 6 × 100

3.000

5.600.000.000

125.000.000

900.000.000

SOLUCIONARI • SOLUCIONARI • SOLUCIONARI • SOLUCIONARI