sliding mode control (revised march, 2012)

SSMMCC Copyright © (October, 2011) Revised ed. March, 2012 by Ittidej Moonmangmee

VVaarriiaabbllee SSttrruuccttuurree SSyysstteemmss::

SSlliiddiinngg MMooddee CCoonnttrrooll

1. บทน ำ (Introduction)

2. แนววถของกำรเคลอนทแบบแผนเลอน (Trajectory of Sliding Mode)

3. ปรำกฎกำรณของกำรเคลอนทแบบแผนเลอน (Sliding Phenomena)

4. โดเมนของกำรดงดด (Region of Attraction)

5. กำรก ำจดกำรสน (How can we reduce or Eliminate Chattering?)

6. How can we analyze the system?

ภายนอกชนชดผว (Onside the Boundary Layer)

ภายในชนชดผว (Inside the Boundary Layer)

7. กำรวเครำะหเสถยรภำพของกำรควบคมแบบ SMC

What happens inside ?

8. OPTIONAL

Mismatched Uncertainties

9. เปรยบเทยบจดเดนและจดดอยของกำรควบคมแบบ SMC


1. บทน ำ (Introduction)

Variable Structure System (VSS) เปนค ำทใชเรยกทวไปของระบบพลวต (dynamical system) ทม

สวนของโครงสรำงแบบ “Switching Logic” ภำยในโครงสรำงทำงคณตศำสตรนนประกอบดวยอลกอรธม

ของกำรสวตชซงขนอยกบสถำนะ (state) ของระบบในขณะนน โครงสรำงแบบ Switching Logic นจะ

ท ำงำนรวมกนหรอมควำมสมพนธกบระบบยอยอน ๆ ภำยในระบบพลวต ระบบควบคมอตโนมตซงกฎกำร

ควบคม (Control law) มสวนของโครงสรำงแบบ Switching Logic เชน มฟงกชนไมตอเนองซกนม (signum

funtion) ซงใหกำรท ำงำนแบบสวตทกลบไปมำดวยควำมถสง จะเรยกกำรควบคมนนวำ การควบคมแบบ

แผนเลอน (Sliding Mode Control; SMC)

ในทนเรำสนใจกำรประยกตใชโครงสรำงของกำรสวตชดงกลำวในกำรควบคมระบบพลวตไมเชง

เสนทถกจ ำลองขนโดยยอมใหมเทอม “ควำมไมแนนอนของพลำนต (plant uncertainty)” อยในระบบได

ดงนน วธกำรออกแบบระบบควบคมโดยใชกำรควบคมแบบแผนเลอน (SMC) จงเรยกไดวำเปนเทคนคหนง

ของ การควบคมแบบคงทน (Robust Control)

2. แนววถของกำรเคลอนทแบบแผนเลอน (Trajectory of Sliding Mode)

เพอแสดงใหเหนถงแนววถของ Sliding Mode บนระนำบสถำนะ (phase plane) เรมจำกพจำรณำ

ระบบเชงเสนอนดบสอง ไมเปลยนตำมเวลำ (2nd-order Linear Time Invariant (LTI) System) ทมหนงอนพต

และหนงเอำทพต (SISO) ดงรปท 1

รปท 1 Variable Inertia System

สมกำรพลวตของระบบก ำหนดโดย 2y k u เมอ k เปนคำคงท ให 1 2,x y x y เปนตวแปรสถำนะ

(state variables) ของระบบ จะได สมกำรสถำนะเชงเสน (linear state equation) ในรป


1 22

2

x x

x k u

เมอ u เปนสญญำณควบคม (control signal) ซงถำออกแบบกำรควบคมใหมโครงสรำงเปน

1

1

1

, 0

sgn( ) 0, 0

, 0

x s

u x s s

x s

โดยท 1 2

0, 0s ax x a เรยกวำ Sliding (หรอ Switching) Surface (หรอ Manifold) เนองจำก

แสดงถงลกษณะของกำรควบคมทมกำรเคลอนทสลบไปมำระหวำง 0s และ 0s พฤตกรรมของ

ระบบทถกควบคมโดยกฎกำรควบคมนเรยกวำ Sliding Mode และกำรควบคมนเรยกวำ Sliding Mode

Control (SMC) ท ำใหเกดแนววถ (trajectory) ของระบบปด (closed-loop system) ซงสำมำรถแสดง Phase

Portrait บนระนำบสถำนะได โดยกำรวเครำะหหำผลเฉลยของสมกำรปรพนธ (integral equation) คอ

222 2

2 2 1

1 1 2

/0

/

dx dt dx k ux dx k udx

dx dt dx x

เมอพจำรณำบนระนำบสถำนะ ซงแบงออกเปน 4 สวน (หรอ 4 จตภำค (quadrant)) จะไดวำ

ส ำหรบจตภำคท 1 และ 3 จะไดเงอนไขของสญญำณควบคม 1 1 2sgn( ) 0x ax x นนคอ

1u x และสมกำรปรพนธ ก ำหนดโดย

22 2 1 1

0x dx k x dx

ซงใหผลเฉลยเปน แนววถในรปของวงร (ellipse) ทมจดศนยกลำงอยทจดก ำเนด คอ

2 2 2

1 2 1constk x x

ส ำหรบจตภำคท 2 และ 4 จะไดเงอนไขของสญญำณควบคม 1 1 2sgn( ) 0x ax x นนคอ

1u x และสมกำรปรพนธ ก ำหนดโดย

22 2 1 1

0x dx k x dx

ซงใหผลเฉลยเปน แนววถในรปของไฮเพอรโบลำ (hyperbola) ทมจดศนยกลำงอยทจดก ำเนด และ

2 1x ax เปนเสนก ำกบกรำฟ (asymptotes) คอ


2 2 2

1 2 2constk x x

ดงนน แนววถของระบบทถกควบคมโดยฟงกชนซกนม (signum function) จงมลกษณะดงรปท 2

รปท 2 แนววถของ Sliding Mode ส ำหรบระบบเชงเสน 2 2/k s

เนองจำกระบบขำงตนทพจำรณำเปนระบบเชงเสน ดงนน จงมจดสมดลเพยงจดเดยว (unique

equilibrium point) อยทจดก ำเนด (origin) อยำงไรกตำม แนววถของระบบทไดจำกกำรวเครำะหผลเฉลย

ของสมกำรปรพนธดงตวอยำงขำงตนนน ไมไดใหขอมลเสถยรภำพของจดสมดลแตอยำงใด นนคอเรำไม

สำมำรถระบทศทำงของแนววถวำก ำลงเคลอนทเขำหำ (หรอออกจำก) จดสมดลนนได ในหวขอถดไปเรำ

จะน ำทฤษฎเสถยรภำพของเลยปนอฟ (Lyapunov’s Stability Theory) มำใชในกำรวเครำะหพฤตกรรมทำง

พลวตและเสถยรภำพของระบบทควบคมแบบ SMC

3. ปรำกฎกำรณของกำรเคลอนทแบบแผนเลอน (Sliding Phenomena)

ในตอนนเรำจะใชระบบไมเชงเสนอนดบสอง (ทมรปแบบเฉพำะรปแบบหนง) ในกำรอธบำย

เนองจำกใหผลลพธเปนกรณทวไปมำกกวำระบบเชงเสนจำกตวอยำงขำงตน พจำรณำระบบไมเชงเสน

อนดบสอง ในรป

1 2

2( ) ( )

x x

x h x g x u


โดยท h และ g เปนฟงกชนไมเชงเสนทไมทรำบคำ (unknown nonlinear function) และ 0

( ) 0g x g

ส ำหรบทกคำ x ดงนนระบบจงยอมใหมควำมไมแนนอนเกดขนไดในเทอมของ h และ g (เงอนไขของ

ความไมแนนอนนเรยกวา Matching Condition และเรยกความไมแนนอนวา Matched Uncertainty กลาวคอ

เปนเทอมของความไมแนนอนทอยบนสมการสถานะเดยวกบ u เทานน ซงสามารถควบคมไดโดยตรง)

และสอดคลองกบเงอนไข

1 2( )

( )

a x h x

g x( )x , 2x และส าหรบบางฟงกชน ( )x ททราบคา

ดงททรำบในตอนตนวำ สญญำณควบคมทมโครงสรำงแบบฟงกชนไมตอเนอง เชน ฟงกชนซกนม (signum

function) ซงใหการท างานแบบสวทชสลบไปมาอยางรวดเรวท ำใหเกดกำรเคลอนททเรยกวำ Sliding Mode

ไปบนพนผว 0s เนองจำกกำรสวตชกลบไปมำของสญญำณควบคม

ดงนน แนวคดหลกของกำรออกแบบตวควบคมแบบ SMC จงม 2 เฟสคอ 1) Reaching Phase เปน

กำรท ำใหแนววถของระบบทมสถำนะเรมตน 0: (0) 0x x ใด ๆ ซงสมนยกบพนผว 0 0

: ( ) 0s s x

บนระนำบสถำนะ (phase space, 2 ) (ในกรณทวไปคอปรภมสถำนะ (state space, n ) เคลอนทเขำหำชน

ชดผว (boundary layer) {| | }s ซงเปนเซตไมแปรผน (invariant) ดงนน แนววถของระบบจงอย

ภำยในเซตนนตลอดไป 2) Sliding Phase คอกำรเคลอนทของแนววถของระบบภำยในชนชดผว

{| | }s ในทนจะตองออกแบบ Sliding Surface ใหมเสถยรภำพเชงเสนก ำกบ หรอ Stable Sliding

Surface จงจะท ำใหสถำนะของระบบทเคลอนทอยบนพนผว 0s (หรอภำยในเซตไมแปรผน {| | }s

) นมเสถยรภำพ (stable) เปนอยำงนอย อยำงไรกตำม ในทำงปฏบตแลวเสถยรภำพของสถำนะของระบบ

อำจเปน Uniformly Ultimately Bounded หรออำจท ำไดถง เสถยรภำพเชงเสนก ำกบ (Asymptotically Stable;

AS) กไดขนอยกบแตละระบบทควบคม ขนตอนการออกแบบกฎการควบคมแบบ SMC แสดงดงตอไปน

Sliding Phase: ก าหนด Sliding Surface: ( ) 0s s x เปนพนผวทผานจดก าเนดและเปนฟงกชนของ

สถานะทกตวของระบบ การออกแบบ Sliding Surface นจะสมมตวำ “แนววถของระบบอยบน Sliding

Surface ( 0)s ไดอยางสมบรณ” กำรเคลอนทของระบบบนพนผว 0s นจะลดรปเหลอเพยงสมกำร

1 1 20a x x หรอ

1 1 1x a x เพยงสมกำรเดยว (เรยกวำ reduced-order model ซงเปนขอดของวธน) จะ

พบวำระบบบนพนผว 0s เปนเสมอนระบบอสระ (free system) 0u ดงนนเสถยรภำพของระบบจะ

ขนอยกบคำพำรำมเตอร 1a ของพนผว ถำเรำออกแบบให 1 0a แลวจะท ำให

10x เมอ t ซง


ใหผลทตำมมำคอ 20x ทเวลำเดยวกน ดงนนดวยกำรออกแบบ Sliding Surface ใหมเสถยรภำพเชงเสน

ก ำกบ (AS) จะท ำใหสถำนะของระบบบนพนผวนนเขำหำจดก ำเนด สรปวาการออกแบบในขนตอน Sliding

Phase กคอการออกแบบ Sliding Surface ใหมเสถยรภาพเชงเสนก ากบ (AS) นนเอง

หมำยเหต:

ขอควรระวงในขนตอน Sliding Phase คอ พลวตของระบบในสวนนจะไมถกตวควบคม SMC

ควบคมโดยตรง ดงนนระบบจงไมสำมำรถยอมใหมเทอม Mismatched Uncertainty ขณะทพลวตในสวนท

ถกควบคมโดยตรงจำกตวควบคม SMC สำมำรถยอมใหม Uncertain Terms ได ท ำใหกำรควบคมแบบ SMC

เปน การควบคมแบบคงทน (Robust Control) ดงนนกลำวโดยสรปคอ การออกแบบตวควบคมแบบ SMC

สามารถใชกบระบบทเปน Matching Condition เทานน

Reaching Phase: หำกฎกำรควบคมทท ำใหระบบซงมสถำนะเรมตน 00x ใด ๆ (สมนยกบพนผว

00s ) บนระนำบหรอปรภมสถำนะ เคลอนทเขำไปยงพนผว 1 1 2

0s a x x (หรออยภำยในเซตไม

แปรผน {| | }s ) ซงครอบคลมจดก ำเนด โดยก ำหนดฟงกชนเลยปนอฟ 2(1 / 2)V s และส ำหรบ

1 1 2s a x x

1 2( ) ( )a x h x g x u จะได

1 2( ) ( ) ( ) | |V ss s a x h x g x su g x s ( ) ( )x g x su

เปำหมำยในขนตอนนคอ พยำยำมก ำจดเทอมททรำบคำแนนอนออกจำก V ซงอำจท ำไดหลำยวธขนอยกบ

รปแบบของระบบ รวมกบกำรออกแบบกฎกำรควบคมแบบ SMC ในรป

( )sgn( )u x s

ในทน เปนฟงกชนไมเชงเสนซงเรำตองเลอกในภำยหลงเพอก ำจดเทอมไมเชงเสนนนออก ดวยกำร

ควบคมน จะได

( ) | |V g x s ( ) ( ) ( ) sgn( ) ( ) ( )x g x x s s g x x ( ) | |x s

เพอให 0V จงออกแบบ ( )x 0 0

( ) , 0x และเนองจำก 0

( ) 0g x g ผลทไดคอ

0 0| | 0V g s


แสดงใหเหนวำ แนววถเรมตนของระบบจะเคลอนทเขำหำ Sliding Surface 0s ในเวลำจ ำกด และวธการ

ทงายทสดของการออกแบบ SMC ถำในโดเมนทเรำสนใจหรอโดเมนทระบบท ำงำน ซงสำมำรถหำคำ

ขอบเขตบนทเปนคำคงทบวก 1k ท ำใหระบบสอดคลองกบเงอนไข

1 21

( )

( )

a x h xk

g x

แลวกฎกำรควบคมแบบ SMC สำมำรถท ำใหเปนรปอยำงงำย คอ

sgn( )u k s

เมอ k เปนคำเกนทตองออกแบบ เพอท ำให

1( ) | | 0V g x k k s

ดงนน เรำตองเลอกคำเกน 1k k ส ำหรบกำรออกแบบ เพอใหแนววถสถำนะของระบบเคลอนทเขำหำ

Sliding Surface 0s ในเวลำจ ำกด อยำงไรกตำม กำรทแนววถของระบบถกดงดดใหอยบนพนผว 0s

(ในทำงทฤษฎ) ไมไดหมำยควำมวำ สถำนะทกตวของระบบจะมคำเปนศนยดวย (เรำจะศกษำเรองนใน

หวขอ “กำรวเครำะหเสถยรภำพของกำรควบคมแบบ SMC”)

หมำยเหต:

1) กำรใชกฎกำรควบคมในรปแบบ sgn( )u k s จะเหนวำผออกแบบมหนำทเพยงเลอกคำเกน

1k k โดยท

1k คอคำขอบเขตบนซงไดมำจำกสมกำรสถำนะของระบบ อยำงไรกตำม ในกรณทระบบ

ควบคมนนไมทรำบสมกำรสถำนะของระบบ หรอ Model Free เรำอำจเลอกคำเกน k ของตวควบคมแบบ

SMC ใหมคำมำกเพยงพอ เพอชดเชยกบควำมไมแนนอนของระบบได แตกสงผลตอขนำดของสญญำณ

ควบคมทใหญตำมไปดวย

2) ขอควรพจำรณำอยำงหนงเกยวกบกำรใชฟงกชนไมตอเนองในกฎกำรควบคมแบบ SMC คอ

ฟงกชนซกนม (signum function) sgn( )s ไมตอเนองทศนย เปนผลใหในขนตอน Sliding Phase ตวควบคม

แบบ SMC ซงสวตชสลบไปมำดวยควำมถสงมำกระหวำง 0s กบ 0s ท ำใหแนววถสถำนะของ

ระบบกระโดดขำมพนผวอยตลอดเวลำ (ดรปท 3) จงเรยกกำรเคลอนทนวำ “zix-zag motion” ดงนน ปรำกฏ

กำรทเกดขนคอ เกดกำรสน (chattering) ขนในกำรควบคมแบบ SMC ทใชฟงกชนซกนมในตวควบคม และ


ในกรณนเรำเรยกวำ Ideal SMC ซงใหผลลพธทไมด อกทงในทำงปฏบตเรำควรหลกเลยงกำรออกแบบดวย

Ideal SMC (หรอฟงกชนไมตอเนอง) เนองจำกกำรสนสะเทอนดวยควำมถสงดงกลำวสำมำรถท ำใหตวขบ

เรำ (actuator) เกดควำมเสยหำยได

รปท 3 Ideal sliding surface and chattering due to delay in control switching

4. โดเมนของกำรดงดด (Region of Attraction)

ในหวขอทแลวเรำทรำบวำแนววถจรงของระบบจะไมสำมำรถคงอยบน Sliding Surface 0s ได

ตลอดเวลำ แตจะอยภำยในอำณำบรเวณจ ำกดรอบพนผวเทำนน ดงนน สมมตฐำนและกำรวเครำะหใน

ขนตอน Sliding Phase ทวำแนววถของระบบอยบน 0s ไดอยางสมบรณ จงไมสามารถน ามาใชได!!

หวขอนจะพจำรณำถง โดเมนของการดงดด (region of attraction) กลำวคอ…เมอสถำนะของระบบ

อยในบรเวณรอบพนผวดงกลำว โดยไมสญเสยสำระส ำคญของกรณทวไป เรำสมมตให {| | }s c เปน

ยำนใกลเคยง (neighborhood) ของ Sliding Surface 0s ซงแนววถของระบบทก ำลงเคลอนทอยในชวง

Reaching Phase เขำถง

จำกสมกำร

1 2 1 1x x a x s


ในทน เรำตองกำรประมำณคำโดเมนของกำรดงดด (estimate of the region of attraction) ดงนน จงตอง

ก ำหนดใหแนววถของระบบเรมตนไมอยบนพนผว กลำวคอ 0s แลวตรวจสอบเสถยรภำพของแนววถท

อยโดยรอบพนผวนนโดยให 2

1 1(1 / 2)V x จะได

2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1

| | 0, | | , | |c

V x x a x x s a x x c s c xa

ดงนน

1 1

1 1

| (0) | | ( ) | , 0c c

x x t ta a

และเซตไมแปรผนบวก (positively invariant) (ดรปท 4) ก ำหนดโดย

1

1

| | , | |c

x s ca

โดยทระบบตองสอดคลองกบเงอนไข

1 21

( ),

( )

a x h xk x

g x

สรปไดวำ ถำเรำก ำหนดคำ c ใหมขนำดใหญเพยงพอ จะไดวำมเซตกระชบ (compact set) (คอเซตปดและม

ขอบเขต (closed and bounded set)) บนระนำบทเปนเซตยอย (subset) ของ เซตกระชบทเปนเซตยอยของ

นนเรยกวำ โดเมน (หรอขอบเขต) ของการดงดด (Region (or domain) of Attraction) หรอ Basin

นอกจำกนน ถำคำเกน k ของตวควบคมมขนำดมำก ๆ ( 1k k ) แลวกฎกำรควบคมแบบ SMC นจะม

ลกษะของ การควบคมแบบรกษาสถานะกงวงกวาง (Semiglobal Stabilization)

รปท 4 Estimate of the region of attraction


5. กำรก ำจดกำรสน (How can we reduce or Eliminate Chattering?)

เรำทรำบวำปญหำกำรสน (chattering) เกดขนในขนตอน Sliding Phase เนองจำกกำรใชฟงกชนไม

ตอเนองซกนมในกฎกำรควบคมเปนผลใหทำงกำยภำพแลวระบบจะเกดกำรสนดวยควำมถสงมำกจนอำจท ำ

ควำมเสยหำยตอระบบได ดงนน แนวทำงในกำรแกปญหำกำรสนโดยทวไปมสองแนวทำงคอ 1) ลดแอม

ปลจดของฟงกชนไมตอเนอง (Reduce the amplitude of the discontinuous function) โดยแบงกำรควบคม

ออกเปนสองสวนคอ Equivalent Control กบ Switching Control 2) แทนฟงกชนไมตอเนองดวยฟงกชน

ตอเนองทมลกษณะคลำยกน เชน ฟงกชนอมตวทมควำมชนมำก (Replace the discontinuous function by a

high-slope saturation) หรอแทนดวยฟงกชนผกผนเทนเจนท (Inverse tangent function) ซงมรำยละเอยด

ดงตอไปน

แนวทำง 1: Reduce the amplitude of the signum function เนองจำกตวควบคมแบบ SMC ซงโดยปกต

จะมเฉพำะสวน Switching Control ทคอยจดกำรกบควำมไมแนนอนของระบบ จงท ำใหสญญำณควบคมม

ขนำดใหญ ผลทตำมมำคอเกดแอมปลจดของกำรสนทมขนำดใหญ กฎกำรควบคมตำมแนวทำงนอยบน

พนฐำนทสำมำรถหำแบบจ ำลองของระบบไดใกลเคยงกบของจรง สมมตวำ ( )h x และ ( )g x เปน

พำรำมเตอรททรำบคำของระบบ หรอ Nominal models ของระบบจรงซงเรำจะไมทรำบคำ ( )h x และ ( )g x

ไดอยำงสมบรณ วธกำรนจะแบงกำรควบคมออกเปนสองสวนเพอลดกำรท ำงำนของตวควบคมลง โดยสวน

แรกเรยกวำ Equivalent Control คออำศยกำรหกลำงเทอม Nominal models ททรำบคำออกจำกระบบ และอก

สวนเปน Switching Control ซงสำมำรถออกแบบดวย Ideal SMC (หรอดวยวธตำมแนวทำง 2 กได) ดงนน

กฎกำรควบคมแบบ SMC ทงสองสวนจงอยในรป

1 2( )

( )

a x h xu v

g x

เปนผลให

1 1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( )

1 ( ) ( )( )

: ( ) ( )

s a x x a x h x g x u

a x h xa x h x g x g x v

g xg x

a x h x g x vg x

x g x v

สมมตวำ ( )x (เรยกวำ perturbation term) สอดคลองกบอสมกำร


( )

( )

x

g x( )x

จะไดวำ

( ) ( )V ss s x g x sv s ( ) ( ) ( )x g x g x sv ( )(sg x ( ) )x v

เฉพำะในสวน Switching Control v ถำออกแบบดวย Ideal SMC จะได

( )sgn( )v x s

โดยท ( )x 0

( )x เนองจำก เปนคำขอบเขตบนของสวนทพจำรณำมำจำก perturbation term ซงม

คำนอยกวำเทอม 1 1| ( ) |a x h x เดมของระบบ จงเหนไดชดวำกำรควบคมในสวน Switching Control v ม

ขนำดทนอยลงและเปนผลใหลดกำรสนในระบบควบคมดวย อยำงไรกตำม Switching Control v นกยง

สำมำรถสรำงปญหำใหกบระบบได ดงนนในทำงปฏบตเรำอำจใช Equivalent Control รวมกบฟงกชน sat

หรอ arctan ตำมแนวทำงท 2

แนวทำง 2: Replace the signum function by a high-slope saturation or arctangent function นนคอ

เปลยนฟงกชนไมตอเนองซกนม (signum function) ดวยฟงกชนตอเนองอน ๆ ทมลกษณะคลำยกน เชน

ฟงกชนอมตว (saturation function) หรอฟงกชนผกผนแทนเจนท (inverse tangent function) โดยทรปรำง

ของกรำฟฟงกชน sat จะ ขนอยกบค าพาราม เตอร ทออกแบบ ก ลาว คอ เ มอ 0 แลว

sat(s/ ) sgn(s) โดยทฟงกชนอมตว (saturation function, sat ) มนยำมดงน

, if | | 1sat( )

sgn( ), if | | 1

y yy

y y

และ เปนคำคงทบวกนอย ๆ ส ำหรบกำรปรบรปกรำฟใหใกลเคยงกบกรำฟฟงกชนซกนม ( sgn ) หรอ

ฟงกชน arctan กสำมำรถปรบใหใกลเคยงกบฟงกชน sgn ไดเชนเดยวกนคอเมอ 0 แลว

(2/ )arctan(s/ ) sgn( )k k s ดงรปท 5


รปท 5 ฟงกชนซกนม (Signum function), ฟงกชนอมตว (Saturation function)

และฟงกชนผกผนแทนเจนท (Inverse tangent function)

รปท 6 Non-ideal SMC เมอแทนฟงกชนไมตอเนอง sgn ดวยฟงกชนตอเนอง sat(s/ )

6. How can we analyze the system?

ภายนอกชนชดผว (Onside the Boundary Layer)

ในโดเมนของกำรดงดด (Region of attraction) เรำทรำบวำแนววถของระบบจะเขาสเซตกระชบ

(compact set) ซงเปนเซตยอยของเซตไมแปรผนบวก (positively invariant, ) โดยท

1

1

| | , | |c

x s ca

ถาเราก าหนดให c นนคอจะมเซตยอย {| | }s โดยเรยกวา “ชนชดผว (boundary layer)” ท ำให

แนววถของระบบทเรมตนจำกภำยนอกชนชดผว | (0) |s แลว | ( ) |s t จะลดลงอยำงแนนอน (strictly


decreasing) (เนองจำก 0V ) จนเขำสชนชดผว {| | }s ภำยในเวลำจ ำกด และจะอยในเซตนน

ตลอดไป ดงรปท 6 (แมวำไมสำมำรถอยบน 0s ไดตลอดเวลำ) เรำจงสรปไดดงน

รปท 6 Control switching inside a boundary layer

1) 1

1

| | , | |c

x s ca

เซตไมแปรผนบวก (positively invariant)

2) แนววถของระบบจะเคลอนทจำกสถำนะเรมตนเขำไปยงเซตชนชดผว {| | }s ในเวลำจ ำกด

3) ชนชดผว (ซงเปนเซตยอยของ ) จงเปนเซตไมแปรผนบวก (positively invariant) ดวย

ภายในชนชดผว (Inside the Boundary Layer)

พลวตของระบบภำยในชนชดผว {| | }s ก ำหนดโดย 1 1 1x a x s โดยท 0s (กำร

วเครำะหในขนตอนนจงคลำยกบกำรหำโดเมนของกำรดงดด (Region of attraction) ในหวขอทผำนมำ)

พฤตกรรมของระบบภำยในเซตน พจำรณำจำกฟงกชนเลยปนอฟ 2

1 1(1 / 2)V x จะได

2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

| | (1 ) , | |V a x x s a x x a x xa

เมอ 1

0 1 นนคอ เรำสำมำรถสรปไดเพยงวำ แนววถจะเขำสเซตไมแปรผนบวก ในเวลำจ ำกด

โดยท

1 1 1{| | / ( ), | | }x a s


ในทนเพยงพอทจะสรปไดวา การควบคมแบบ SMC ส าหรบระบบไมเชงเสนอนดบสองทยกมาน

ไมใหเสถยรภาพเชงเสนก ากบ (AS) ของจดก าเนด แตให Ultimately Bounded ของแนววถรอบจดก าเนด

ดวยคา Ultimate Bound เทากบ 1 1

/ ( )a ซงสามารถท าใหนอยลงไดโดยลดคา นนเอง ส าหรบระบบไม

เชงเสนในกรณทวไป สมบตเสถยรภาพของจดก าเนดจะขนอยกบการออกแบบ Sliding Surface เปนกรณ

เฉพาะของระบบนน ๆ ซงอาจใหเสถยรภาพเชงเสนก ากบของจดก าเนดกได

7. กำรวเครำะหเสถยรภำพของกำรควบคมแบบ SMC

What happens inside ?

รปท 7 Trajectory of SMC inside the boundary layer

ภำยในชนชดผว {| | }s กฎกำรควบคมแบบ SMC ทงฟงกชนไมตอเนองซกนม, ฟงกชนตอเนองอมตว

และฟงกชนผกผนเทนเจนท จะลดรปเหลอเพยงกำรควบคมเชงเสน (linear control) ( ) /u x s (หรอ

ในรปอยำงงำยคอ ( )x k ) เสถยรภำพของจดก ำเนดของระบบปดสำมำรถพจำรณำโดยแทนคำกฎกำร

ควบคมเชงเสน /u ks ลงในสมกำรสถำนะของระบบ เรมจากหาจดสมดลของระบบทถกลดอนดบ

(Reduced-order model):

1 2 1 1 1 2

2 1 2

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Reduced order model

x x x a x s x definding the sliding surface

x h x g x u s a x h x g x u reduced order model

จะได


1 1 2

1 2

0

0 ( ) ( ) ( )

a x s x

sa x h x g x x

นนคอ 1 1

s a x เมอแทนคาในสมการทสอง จะได

2

11

1 0

( ): ( )

( ) ( )x

x h xx

a g x xและถา (0) 0h แลว

10x

สมมตวา 1 1

( )x x มคารากเพยงคาเดยว กลาวคอมจดสมดลเพยงจดเดยวท 1 1x k เนองจากจด

สมดลของระบบปดไมอยทจดก าเนด ในการวเคราะหเสถยรภาพตามนยของเลยปนอฟ เราจ าเปนตองแปลง

ใหจดสมดลของระบบอยทจดก าเนดกอน โดยการเปลยนตวแปรให 1 1 1z x x และ

2z s s

1 1a x ระบบภายหลงการแปลงนจะมจดสมดลอยทจดก าเนด ก าหนดโดย

1 1 1 1 1 2

2 1 12 1 2 1 2 1 1

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

: ( ) ( ) ( )

z a x s a z z

z a xsz a x h x g x x a z a z h x g x x

zl z g x x

โดยท

11 2 1 1 1

1

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

xh xl z a z a z a g x x

a g x x, (0) 0l

และ

1 1 2 2| ( ) | | | | |l z l z l z

ก าหนดฟงกชนเลยปนอฟ 2 2

1 2 1 2( , ) (1 / 2)( )V z z z z จะได

21 1 1 2 2

2 2 20 01 1 1 1 2 2 2 2

11 12

1 1

0 012 21 22

( ) ( ) ( ) ( )

(1 ) | || |

(1 )| | | |

| | | |(1 )

T

Q

zV z a z z z l z g x x

ga z l z z l z z

a lz z

gz zl l

โดยท


11 12

0 011 22

(1 )

(1 )

a l

Q gl l

ซงม 20 01 2 1

1det( ) (1 )

4

gQ a l l

ในกรณท (0) 0h จะไดวา lim ( ) 0tx t และในกรณท (0) 0h จะไดวา 1lim ( )

0t

xx t

8. OPTIONAL

Mismatched Uncertainties:

พจำรณำระบบอนดบสองทมเทอมของฟงกชนไมแนนอน ก ำหนดโดย

1 2 1 1

2

( ):x x f x

x u

โดยท f 1 เปนฟงกชนไมทรำบคำ เมอพจำรณำระบบ จะพบวำฟงกชนไมแนนอน f ไมไดถก

สญญำณควบคม u ควบคมโดยตรง เนองจำกฟงกชนทงสองไมไดอยในสมกำรพลวตเดยวกน เรำเรยก f

ในลกษณะนวำ Mismatched Uncertainty กลำวคอ f จะถกควบคมผำนตวแปรสถำนะ 2x ระบบ

แตกตำงจำกระบบ ตรงทฟงกชนไมแนนอน f ในระบบ อยในสมกำรพลวตเดยวกบสญญำณ

ควบคม u ในลกษณะนจงเรยกวำ Matched Uncertainty เรำจงสำมำรถออกแบบสญญำณควบคมเพอ

จดกำรกบควำมไมแนนอนของระบบไดโดยตรง โดยทวไปอำจสรปไดวำ กำรออกแบบสญญำณควบคม

ส ำหรบระบบทม Mismatched Uncertainty มควำมซบซอนกวำระบบทม Matched Uncertainty

เมอทดลองใชกำรออกแบบดวยวธ SMC ส ำหรบระบบ ซงมเทอมของฟงกชนไมแนนอนแบบ

Mismatched Uncertainty โดยขนตอนเหมอนกน เรมจำกกำรก ำหนดพนผว 1 1s x x แลวพจำรณำ

1 1 2 1 1 2 1 1

1 12 1 1 2 1 1

1

( ) ( )

( )( ) ( )

ds x x x f x x f x

dtf x

u x f x x f xx

เนองจำก เรำทรำบแตคำขอบเขตบนของ f อยำงไรกตำม 1 1f x ไมสำมำรถค ำนวณได ดงนน

สญญำณควบคม u ซงพจำรณำจำกเงอนไข 0, 0V ss x จงไมสำมำรถหำได ดวยเหตนกำร

ออกแบบตวควบคมดวยวธ SMC จงไมสำมำรถน ำไปใชกบระบบทม Mismatched Uncertainty


9. เปรยบเทยบจดเดนและจดดอยของกำรควบคมแบบ SMC

จดเดนของการควบคมแบบ SMC มดงน

Exact compensation (insensitivity) w.r.t. bounded matched uncertainties

Reduced-order of sliding equations

Finite-time convergence to the sliding surface

จดดอยของการควบคมแบบ SMC มดงน

Chattering

Insensitivity only w.r.t. matched perturbations

The sliding variables converge in finite-time: however, the state variables only converge

asymptotically

Non-ideal closed-loop performance in presence of parasitic dynamics, discretization and noises

The sliding surface design is restricted to have relative degree one with respect to the control, i.e.

higher order derivatives are required for the sliding surface design

sliding mode control (revised march, 2012)

Education

inverse tangent function

reduced order model

mc copyright

mc copyright

order model

sliding mode

sliding surface

ax1 x2