sjellja oshilatore dhe jooshilatore e zgjidhjeve tË ... · sjellja oshilatore e zgjidhjeve nË...
TRANSCRIPT
UNIVERSITETI I TIRANËS
FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS
DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS
DISERTACION
PËR MARRJEN E GRADËS SHKENCORE
“DOKTOR”
SJELLJA OSHILATORE DHE JOOSHILATORE E
ZGJIDHJEVE TË EKUACIONEVE FUNKSIONALE
DHE ZBATIME
Punoi: Udhëheqës Shkencor:
Elisabeta PETI Prof. Dr. Dhimitraq NIÇKA
Tiranë, 2015
ii
UNIVERSITETI I TIRANËS
FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS
DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS
Disertacion
i
Paraqitur nga
Znj. Elisabeta Peti
Për marrjen e gradës shkencore
“DOKTOR”
Specialiteti: Analizë dhe Algjebër
Tema: SJELLJA OSHILATORE DHE
JOOSHILATORE E ZGJIDHJEVE TË
EKUACIONEVE FUNKSIONALE DHE ZBATIME
Mbrohet më dt. . . para jurisë:
1. Kryetar
2. Anëtar (oponent)
3. Anëtar (oponent)
4. Anëtar
5. Anëtar
6. Anëtar
iii
PËRMBAJTJA
PËRMBAJTJA ....................................................................................................................... iii
PARATHËNIE ........................................................................................................................ v
HYRJE .................................................................................................................................... vi
KAPITULLI I .......................................................................................................................... 1
NJOHURI PARAPRAKE................................................................................................... 1
§ 1. NJOHURI MBI TEORINË E SHTURM-LIUVILIT ................................................. 1
§ 1.1 MATRICAT E KONJUGUARA DHE TË VETË-KONJUGUARA ....................... 2
§ 1.2 OPERATORËT E KONJUGUAR DHE TË VETË-KONJUGUAR ....................... 3
§ 1.3. PROBLEMI KLASIK I SHTURM-LIUVILIT (SL) ............................................... 6
§ 1.4. TEOREMAT E KRAHASIMIT TË EKUACIONEVE DIFERENCIALE SIPAS
SHTURMIT ...................................................................................................................... 9
§ 2. NJOHURI MBI TEORINË E OSHILACIONIT ...................................................... 15
KAPITULLI II ...................................................................................................................... 19
EKUACIONET FUNKSIONALE TË RENDIT TË LARTË ............................................. 19
§ 1. KRITERE OSHILACIONI TË EKUACIONEVE FUNKSIONALE TË RENDIT TË
LARTË ............................................................................................................................ 19
§ 2. KUSHTE OSHILACIONI PËR NJË TRAJTË MË TË PËRGJITHSHME TË
EKUACIONIT FUNKSIONAL TË RENDIT TË LARTË ............................................. 42
KAPITULLI III ..................................................................................................................... 46
EKUACIONET FUNKSIONALE TË RENDIT TË DYTË ............................................... 46
§ 1. DISA KUSHTE TË MJAFTUESHME PËR OSHILACIONIN E ZGJIDHJEVE TË
EKUACIONIT FUNKSIONAL TË RENDIT TË DYTË ............................................... 46
§ 2. KUSHTE TË MJAFTUESHME TË OSHILACIONIT PËR EKUACIONET E
RENDIT TË DYTË SI ZBATIME TË EKUACIONIT TË RENDIT TË LARTË ......... 59
§ 3. PËRMIRËSIMI I DISA KUSHTEVE PËR JOOSHILACIONIN E ZGJIDHJEVE
TË EKUACIONIT FUNKSIONAL TË RENDIT TË DYTË ......................................... 63
KAPITULLI IV ..................................................................................................................... 67
ZBATIME TË KUSHTEVE TË OSHILACIONIT DHE JOOSHILACIONIT NË
EKUACIONET DIFERENCË DHE REKURENCË .......................................................... 67
§ 1. SJELLJA OSHILATORE NË EKUACIONET E DIFERENCËS (DDE) ME
ARGUMENT DISKRET ................................................................................................ 67
§ 2 EKUACIONI DIFERENCË I RENDIT TË DYTË .................................................. 72
§ 3. SJELLJA OSHILATORE E ZGJIDHJEVE NË EKUACIONET E REKURENCËS
(RE) ................................................................................................................................. 74
iv
§ 4. SJELLJA OSHILATORE E ZGJIDHJEVE NË EKUACIONET E DIFERENCËS
(DE) ME ARGUMENT TË VAZHUESHËM ................................................................ 78
KAPITULLI V ....................................................................................................................... 81
DISA KUSHTE OSHILACIONI NË EKUACIONET DIFERENCIALE .......................... 81
§ 1. KUSHTE OSHILACIONI DHE JOOSHILACIONI PËR EKUACIONET
DIFERENCIALE TË ZAKONSHME TË RENDIT TË DYTË ..................................... 82
§ 2. KUSHTE OSHILACIONI DHE JOOSHILACIONI PËR EKUACIONET
DIFERENCIALE JOLINEARE TË RENDIT TË DYTË ME FAKTOR SHUARËS .... 94
§ 3. MODELE MATEMATIKORE ................................................................................ 99
PËRFUNDIME .................................................................................................................... 107
BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................. 108
v
PARATHËNIE
Në vitet 1836 dhe 1837, Jacques Charles François Sturm (1803-1855) dhe
Joseph Liouville (1809-1882) publikuan një seri punimesh mbi ekzistencën e vlerave
vetjake (eigenvalues) dhe funksioneve vetjake (eigenfunctions) koresponduese në
ekuacionet diferenciale të zakonshme të rendit të dytë. Në rrafshin teorik fill pas
publikimit të tyre u vu re menjëherë një intensifikim i paparë idesh të reja që u bënë
vatër i një debati të zjarrtë shkencor. Për më tepër, gjithnjë e më shumë u bë e qartë
mundësia e pasjes në dorë tashmë të një instrumenti bazë që do t’i shërbente zgjidhjes
së shumë problemave praktike në disiplina të tilla ku kërkohej nevoja jo vetëm e
ekzistencës së vlerave vetjake dhe funksioneve koresponduese vetjake të tyre, por edhe
përshkrimi cilësor i tyre. Pikërisht, kjo teori e ideuar dhe e zbatuar duke filluar nga
punimet e Shturm-Liuvilit duke qenë tepër rrënjësore në konceptimin e saj, e shtrirë
tashmë edhe në shumë disiplina shtroi për studim dhe për zgjidhje një problematikë të
re, interesante dhe mjaft komplekse, duke krijuar një kuadër të ri studimi: Teorinë e
Oshilacionit.
Informacioni historik i mësipërm na lejon të pohojmë që me krijimin e teorisë
së Shturm-Liuvilit në shekullin e XIX, nis në parim edhe historia e teorisë së
oshilacionit, pavarësisht se me probleme që lidhen me të matematikanët ishin ndeshur
edhe gjatë një shekulli më parë.
Tashmë, teoria e oshilacionit është një degë e rëndësishme e teorisë së
aplikuar të ekuacioneve funksionale që lidhet me studimin e fenomeneve oshilatore
(luhatëse) në shkencat teknologjike, natyrore dhe shoqërore. Problemet themelore të
teorisë klasike të oshilacionit konsistojnë në provën e ekzistencës ose mos ekzistencës
të zgjidhjeve oshilatore (periodike, pothuajse periodike etj) të një ekuacioni apo
sistemi ekuacionesh.
Shpresoj që ky disertacion të ketë përmbushur qëllimin tonë për të hedhur
dritë mbi Teorinë e Oshilacionit dhe pse jo të ketë zgjuar interesin për bashkëpunim
edhe me disiplina të tjera të interesuara për këto rezultate.
Për të arritur në hartimin e këtij disertacioni përveç punës dhe përpjekjeve personale
një kontribut të rëndësishëm ka dhe udhëheqësi im shkencor Prof. Dr. Dhimitraq
Niçka, të cilit i shpreh mirënjohjen dhe falënderimet e mia.
I shpreh mirënjohjen time Prof. Dr. Ioanis Stavroulakis (Universiteti i Janinës). Jam
ndier e privilegjuar që jo vetëm më ka udhëzuar në përzgjedhjen e literaturës së
nevojshme klasike dhe bashkëkohore por edhe mbështetur në të gjithë rrugëtimin tim.
I shpreh mirënjohjen edhe Prof.Asoc Xhevair Beqiri (Universiteti i Tetovës) për
bashkpunimin, këshillat dhe inkurajimin e tij gjatë gjithë kësaj periudhe.
Një falënderim i veçantë për të gjithë grupin e profesorëve të Departamentit të
Matematikës për kontributin që kanë dhënë në formimin tim akademik.
Së fundi falënderimet e mia do të shkojnë për familjen time. Dashuria, durimi dhe
mbështetja e tyre kanë qenë faktori kryesor në edukimin tim profesional dhe njerëzor.
vi
HYRJE Me termin Ekuacion Funksional nënkuptohet prania në të e një të panjohuri i
cili është funksion i një apo më shumë ndryshoreve. Çdo funksion që e kënaq
ekuacionin funksional për vlera të ndryshores (ndryshoreve) në një zonë të fushës së
tij të përcaktimit, natyrshëm e quajmë zgjidhje të atij ekuacioni në atë zonë. Studimi i
zgjidhjeve si në anën numerike ashtu edhe cilësore është objekt i Teorisë së
Ekuacioneve Funksionale (T.E.F).
Teoria e ekuacioneve funksionale ka qenë dhe mbetet një drejtim i
rëndësishëm në disiplinën e Analizës Teorike por kjo teori, metodat e përdorura për
zgjidhjet dhe për më tepër gjerësia e aplikimeve të tyre kanë përparuar tashmë përtej
fazës fillestare për të zënë një vend qëndror edhe në Analizën Aplikative. Në fakt, këtë
e dëshmojnë artikujt kërkimore të shumtë, monografi të ndryshme, konferenca vjetore
ndërkombëtare, si dhe revista të reja të cilat i kushtohen studimit të zgjidhjeve dhe
aplikimeve të tyre. Në to shpesh vihet re se edhe ata ekspertë që kanë besuar në
universalitetin e ekuacioneve funksionale (sidomos ekuacioneve diferenciale
funksionale) kanë zbuluar në mënyrë të habitshme divergjencën që qëndron ndërmjet
vazhdueshmërisë dhe diskretësisë së tyre, me fjalë të tjera ndërmjet ekuacioneve
funksionale dhe rasteve diskrete të tyre.
Një rast i veçantë diskret i ekuacioneve funksionale janë ekuacionet diferencë
me argument diskret dhe ekuacionet e rekurencës. Në disa raste ekuacionet diferencë
(ekuacionet diferencë me argument të vazhduar) janë analoge të ekuacioneve
diferenciale.
Në vitet 1836 dhe 1837, Jacques Charles François Sturm dhe Joseph Liouville
publikuan një seri punimesh mbi ekzistencën e vlerave vetjake (eigenvalues) dhe
funksioneve vetjake (eigenfunctions) koresponduese në ekuacionet diferenciale të
zakonshme të rendit të dytë. Për më tepër ata hodhën idenë e përdorimit tashmë të një
instrumenti bazë që do t‟i shërbente zgjidhjes së shumë problemave praktike në
disiplina të tilla ku kërkohej nevoja jo vetëm e ekzistencës së vlerave vetjake dhe
funksioneve koresponduese vetjake të tyre, por edhe përshkrimi cilësor i tyre.
Pikërisht, kjo teori e ideuar dhe e zbatuar prej tyre shtroi për studim dhe për zgjidhje
një problematikë të re, interesante dhe mjaft komplekse, duke krijuar një kuadër të ri
studimi: Teorinë e Oshilacionit.
Teoria e oshilacionit është një degë e rëndësishme e teorisë së aplikuar të
ekuacioneve funksionale që lidhet me studimin e fenomeneve oshilatore në shkencat
teknologjike, natyrore dhe shoqërore. Problemet themelore të teorisë klasike të
oshilacionit konsistojnë në provën e ekzistencës ose mos ekzistencës të zgjidhjeve
oshilatore (periodike, pothuajse periodike etj) të një ekuacioni apo sistemi
ekuacionesh. Për më tepër, shpesh herë sidomos bëhet më interesante studimi i sjelljes
së zgjidhjeve të tjera (zgjidhje jooshilatore) kundrejt një zgjidhjeje oshilatore. Qindra
punime mbi aspektet teorike të teorisë së oshilacionit për klasa të ndryshme
ekuacionesh duke përfshirë: ekuacionet funksionale, diferenciale të zakonshme
(ODE), lineare dhe jo lineare, ekuacionet neutrale, ekuacionet diferenciale të
pjesshme (PDE), ekuacionet impulsive si dhe format diskrete të tyre (ekuacionet
vii
diferencë, ekuacionet e rekurencës etj) janë publikuar ndër vite ([1], [2], [3], [17],
[18], [26], [64], etj).
Në ditët e sotme, teoria e oshilacionit është një disiplinë që operon më tepër në
fushën e ekuacioneve funksionale ku ekuacionet diferenciale zënë një vend të
rëndësishëm. Vetë përmbajtja dhe spektri shumë i gjerë i aplikimit të teorisë së
oshilacionit në shumë kërkime shkencore me karakter matematikor ose me një
nuancim të lehtë matematikor, ka rritur ndjeshëm interesin e studiuesve që në mënyrë
sistematike të merren me këtë disiplinë. Studimet e kohëve të fundit kanë sugjeruar,
se shumë popullata të kafshëve apo të bimëve luhaten në sinkron për shkak të
bashkveprimit të faktorëve të tillë si gjuetia apo konkurrenca. Karakteri oshilativ
(zgjidhje oshiluese, të sistemeve që modelojnë ndryshimin e numrit të individëve në
këto popullata në varësi të kohës dhe faktorëve të tjerë) i këtyre popullatave
biologjike mund të shkaktojë efekte potencialisht të rëndësishme për to si
përshembull, të ashtuquajturin “kaosi sinkronizues”. Në neuroshkencë apo inxhinjeri
prania e zgjidhjeve oshilatore karakterizon modelet neurotike me oshilacione tensioni
të kontrolluara.
Për arsyet që u përmendën më sipër na u duk e përligjur që edhe ne të
përfitojmë nga tërë kjo pasuri botimesh në këtë fushë pak të rrahur në vendin tonë, por
edhe të kontribuojmë në këtë drejtim të ri për ne.
Organizimi i materialit: Ky punim është konceptuar në 5 kapituj.
Në kapitullin I të këtij punimi bëhen të njohura disa nocione bazë që
paraprinë lindjen e “Teorisë së Oshilacionit”. Në paragrafin e parë bëhet një paraqitje
e shkurtër e teorisë së Shturm-Liuvilit. Kjo teori në fillimet e saj pati në qendër të
studimit një nga tipet e ekuacioneve diferenciale që haset më shpesh në matematikë
dhe fizikë, ekuacionin diferencial të rendit të dytë të formës
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (E)
ku koefiçientët funksionalë ( ), - janë supozuar të vazhdueshëm dhe me
vlera reale mbi një interval . Në vazhdim të paragrafit të parë të këtij kapitulli
do të paraqesim disa përkufizime dhe koncepte bazë mbi matricat apo operatorët e
vetë-konjuguar dhe jo të vetë-konjuguar. Një vend të rëndësishëm ka zënë në këtë
kapitull edhe prezantimi i Problemit të Shturm-Liuvilit. Për konkretizim të këtij
problemi janë marrë nën studim këto ekuacione
, -
, ( ) ( )- ( ) ( ) (F)
, -
, ( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( ) (G)
Për nocionet kryesore dhe faktet nga teoria e ekuacioneve diferenciale i referohemi
([20], [29], [35], [61]).
Natyrisht do të ishte e pëlqyeshme që zgjidhja e ekuacioneve funksionale (jo
diferenciale dhe diferenciale) të jepej me ndihmën e një “formule” të shprehur në
funksione elementare të fundme. Ekuacione të tilla në fakt janë shumë pak në
krahasim me numrin tepër të madh të atyre ekuacioneve diferenciale që nuk lejojnë
zgjidhje në trajtë të fundme. Çështja nuk është se matematikanët nuk kanë arritur t‟i
zgjidhin në trajtë të fundme këto ekuacione por, në përgjithësi parimisht është e
viii
pamundur. Madje, Liuvil tregoi se edhe ekuacione mjaft të thjeshta në dukje nuk
mund të integrohen në trajtë të fundme, ndaj ai ishte ndër të parët që hodhi idenë e
krahasimit të zgjidhjeve të panjohura të një ekuacioni me zgjidhjet e njohura të një
ekuacioni tjetër. Kjo ide e tij u shoqërua me disa teorema ”fillestare” të krahasimit
dhe të ndarjes, të cilat gjejnë pasqyrim në fund të paragrafit të parë. Në shumë
monografi apo artikuj shkencor gjejmë mënyra të ndryshme vërtetimi të teoremave të
krahasimit apo të ndarjes, por e pamë të udhës që në këtë punim të sjellim mënyra
vërtetimi si tek Hartman [37]. Në dy paragrafet e fundit të këtij kapitulli, pasi njihemi
me përkufizimet e zgjidhjeve oshilatore dhe jooshilatore, paraqesim disa shembuj për
të fiksuar idenë mbi këto zgjidhje. Teknika Rikati si transformim themelor, falë
lehtësisë së përdorimit të tij në vërtetimet e kushteve të cilat garantojnë oshilacionin e
zgjidhjeve, gjen pasqyrim në fund të këtij kapitulli.
Në Kapitullin II do të paraqesim për ekuacionet e rendit të lartë kushte nën të cilat
ato janë ekuacione oshilatore. Duke qenë se me këtë problematikë janë marrë shumë
autorë ([32], [34], [77], [78]), jemi përpjekur që disa prej kritereve të oshilacionit të
përftuara prej tyre ndër vite t‟i paraqesim sipas rendit të tyre kohor. Mbi këto kushte
ekzistuese është punuar për përmirësimin e tyre (Koçi.E [43], [49]). Për përcaktimin e
kushteve oshiluese janë përdorur disa prej teknikave bazë të teorisë së oshilacionit si
metodat e krahasimit dhe të ndarjes së Shturmit, metoda e përgjithsuar Rikati, metoda
e futjes së funksioneve të Philos dhe metoda Kamenev e të mesmes integrale.
Pas vërtetimit të disa kushteve oshilacioni, përmirësuese të rezultateve më të
rëndësishme që qarkullojnë në literaturën ekzistuese për ekuacionet funksionale të
rendit të lartë, në Kapitullin III përftohen kushte oshiluese për ekuacionet
funksionale të rendit të dytë duke i parë këto të fundit si raste të veçanta të
ekuacioneve funksionale të rendit të lartë. Përmirësimi i disa kushteve të mjaftueshme
për oshilacionin e zgjidhjeve të ekuacionit funksional të rendit të dytë, që trajtohet në
paragrafin e dytë, vjen si rrjedhojë e aplikimit në to të disa kushteve oshilative të
ekuacioneve funksionale të rendit të lartë, por pa u futur në detaje vërtetimi si në
kapitullin e dytë. Ky këndvështrim i të parit të problemit na ka ndihmuar edhe në
analizën që i bëjmë një trajtë më të përgjithshme të ekuacionit funksional të rendit të
dytë. Kushti i jooshilacionit i vendosur në fund të këtij kapitulli është një kusht i
mjaftueshëm për ekzistencën e të paktën një zgjidhjeje jooshilatore.
Në kapitullin IV bëhen të njohura disa nga kriteret e oshilacionit dhe jooshilacionit
për ekuacionet diferencë (me argument diskret dhe të vazhdueshëm) dhe ekuacionet
rekurencë. Për më tepër, kemi aplikuar teoremat e kapitullit të dytë dhe të tretë për
këto ekuacione duke i parë ato si raste të veçanta të ekuacioneve funksionale. Ndaj,
shpesh herë, rezultate të njohura të oshilacionit të zgjidhjeve të ekuacionit diferencë
(trajta të ndryshme të tij) vijnë lehtësisht në këtë punim pa u zgjatur në vërtetime të
ndërlikuara.
Në kapitullin V, teoremat e kapitullit të dytë dhe të tretë aplikohen për ekuacionet
diferenciale të rendit të parë dhe të dytë. Për fat të mirë kjo degë e rëndësishme
kërkimi nuk ka vetëm karakter teorik por ka dhe shumë aplikime të rëndësishme. Ndaj
prej studimit të sjelljes oshilatore ose jooshilatore të zgjidhjeve të ekuacioneve
funksionale merren njohuri më të thella mbi dinamikën e zgjidhjeve të ekuacioneve të
cilat modelojnë probleme të ndryshme që dalin në fushat inxhinjerike, teknologjike
apo në shkencat natyrore. Në funksion të kësaj që sapo evidentuam më sipër në këtë
kapitull aplikojmë dy modele matematikore. Modeli i parë prezantohet me një
ix
ekuacion diferencial të rendit të dytë me argument të vazhduar dhe modeli i dytë me
një ekuacion diferencial të rendit të parë me argument të vonuar.
Në mbyllje të kësaj hyrjeje po paraqesim shkurtimisht disa nga synimet që
duam të arrijmë me anë të këtij punimi.
Qëllimi i studimit: Në këtë disertacion përpiqemi fillimisht të bëjmë një paraqitje sa
më sistematike të njohurive bazë që gëlojnë në fushën e teorisë së oshilacionit (për të
cilat ka interpretime të ndryshme nga autorë të ndryshëm në përshtatje me fushat e
tyre të interesit shkencor), natyrisht duke i gërshetuar ato me elementë të njohura nga
fushat e Algjebrës, të Analizës Funksionale apo Ekuacioneve Diferenciale. Madje,
edhe pohime të Analizës Funksionale do të “preken paksa” sepse me ndihmën e disa
teoremave të njohura të saj do të provojmë kriteret e jooshilacionit. Më tej, në këtë
disertacion do të synojmë paraqitjen e një informacioni bashkëkohor, e cila do t‟i
kushtohet Teorisë së Oshilacionit, konkretisht, studimit të zgjidhjeve të ekuacionit
funksional dhe diferencial, që kanë një pafundësi zerosh (zgjidhjeve oshilatore) dhe
zgjidhjeve që nuk janë të tilla (zgjidhjeve jooshilatore). Një tjetër qëllim i yni në këtë
disertacion është sjellja e disa kritereve të reja oshilacioni (shpesh herë të konsultuara
me një prej matematikanëve më të njohur në këtë fushë I.P.Stavroulakis). Për fat të
mirë kjo degë e rëndësishme kërkimi nuk ka vetëm karakter teorik, por ka dhe shumë
aplikime të rëndësishme, ndaj në vijim do të trajtojmë edhe ndërtimin e shembujve
konkretë për analizimin e këtyre rezultateve dhe aplikimet e tyre në Fizikë, Biologji
etj.
Në departamentin tonë Teoria e Oshilacionit është një drejtim i ri kërkimi. Pra,
natyrshëm konsiderojmë si një prej synimeve që kërkohet të arrihet me anë të këtij
punimi, paraqitjen e sistemuar të njohurive të përgjithshme të Teorisë së Oshilacionit
të trajtuara në literaturën ekzistuese që disponojmë, duke u kujdesur që të mbajmë të
njëjtën linjë arsyetimi.
Në këtë punim do të shkojmë përtej çështjes së stabilitetit dhe sjelljes asimptotike
të zgjidhjeve. Interesi ynë do të përqëndrohet në sjelljen e kritereve që tregojnë se nën
çfarë kushtesh një, më shumë se një, apo të gjitha zgjidhjet luhaten rreth një pike
ekuilibri K, pavarësisht nga sjellja asimtotike e saj. Për lehtësi këtë ekuilibër si në
literaturën ekzistuese edhe në këtë punim e marrim
Një tjetër synim që përshkon fund e krye këtë punim (synim që vihet re në
shumicën e punimeve të sotme mbi teorinë e oshilacionit) është: Përmirësimi i disa
kushteve të mjaftueshme oshilative të njohura për disa lloje ekuacionesh funksionale.
Metodologjia e studimit: Metodologjia e punimit mbështet së pari në rezultatet bazë
të cilat janë marrë në konsultim me literaturën e huaj si klasike ashtu edhe atë të
viteve të fundit. Korrespodenca, takimet, konferencat, konsultimet me specialistë të
vendit dhe të huaj janë konkretizuar edhe me disa punime kushtuar natyrës oshiluese
të zgjidhjeve të ekuacioneve nën studim ([7], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [22],
[23],[24]).
Në punim përdoren disa teknika si: Teknika e supozimit nga e kundërta, Teknika
krahasuese e Shturmit, Teknika Rikati, Teknika Kamenev e të mesmes integrale dhe
funksionet e Philos-it.
x
Shpresojmë që ky disertacion të ketë përmbushur qëllimin tonë për të hedhur dritë
mbi Teorinë e Oshilacionit dhe pse jo të ketë zgjuar interesin për bashkëpunim edhe
me disiplina të tjera të interesuara për këto rezultate.
1
KAPITULLI I
NJOHURI PARAPRAKE
Në këtë kapitull do të prezantojmë fillimisht disa njohuri bazë mbi teorinë e
Shturm-Liuvilit, përshkrimin e tipit të ekuacionit dhe problemet që lidhen me këtë
teori. Problemet bazë të Teorisë së Shturm-Liuvilit janë dy: (I) Të studiojë konceptin
e ekzistencës së vlerave vetjake (eigenvalues) dhe të funksioneve vetjakë
korespondues (eigenfunctiones), t‟i përshkruajë ato nga ana cilësore dhe në një farë
mase, nga ana sasiore. (II) Të provojë që një funksion “arbitrar” mund të shprehet si
një seri e pafundme e funksioneve vetjakë. Në vazhdim do të paraqesim disa nga
konceptet bazë vetëm të problemit të parë sepse instrumenti kryesor që përdoret në
zgjidhjen e këtij problemi është Teoria e Oshilacionit. Kjo teori fillimet e saj i ka aty
rreth viteve 30 të shekullit XIX me punimet e Shturmit. Që nga ajo kohë e deri më
sot, një numër i madh punimesh janë shkruajtur e vazhdojnë të shkruhen mbi kushtet
që duhet të plotësojnë zgjidhjet e ekuacioneve funksionale të zakonshme, ekuacioneve
funksionale me argument të devijuar, ekuacioneve funksionale neutrale, ekuacioneve
diferenciale të zakonshme, ekuacioneve me derivate të pjesshme, ekuacioneve
dinamike, ekuacioneve impulsive dhe formave diskrete të tyre për të qenë oshilatore
ose jooshilatore.
Në mënyrë të konsiderueshme këto veti të zgjidhjeve janë zhvilluar mbi një
kuadër të përgjithshëm i cili nuk kërkon zgjidhjen eksplicite të këtyre ekuacioneve,
kur ne nuk mundemi të japim një zgjidhje përfundimtare për to.
§ 1. NJOHURI MBI TEORINË E SHTURM-LIUVILIT
Studimet e hershme të ekuacioneve funksionale në përgjithësi dhe atyre
diferenciale në veçanti janë përqëndruar në manipulime formale të cilat japin zgjidhje
të tyre në terma funksionesh të njohura. Këto studime çuan në lindjen e shumë
koncepteve të dobishme duke përfshirë edhe ato të faktorëve të integrimit dhe të
diferencialeve të plota mbi ekuacionet diferenciale lineare të rendit të parë.
Matematikanët Birkhoff dhe Rota ([37]) i zgjeruan këto koncepte edhe mbi ekuacionet
diferenciale lineare të rendit të dytë dhe si rrjedhojë, përftuan nocione të reja si ato të
ekuacioneve të konjuguar dhe vetë-konjuguar prej tyre.
Në teorinë e ekuacioneve funksionale është i njohur fakti se në më të
shumtën e rasteve nuk mundemi të japim një zgjidhje përfundimtare për ekuacionin.
Çështja nuk është se ne ende nuk kemi arritur të përftojmë të gjitha teknikat e
zgjidhjes në trajtë të fundme të tyre, por për “shumicën” e tyre një gjë e tillë është në
përgjithësi parimisht e pamundur. Ndaj, integrimi në trajtë të fundme shpesh herë
është i pamundur edhe për ekuacionet diferenciale (rast i veçantë i ekuacioneve
funksionale).
Matematikanët, Charles-François Shturm dhe Joseph Liouville ishin ndër të
parët që larguan vëmendjen nga zgjidhja konkrete e këtyre ekuacioneve dhe e
fokusuan atë në cilësitë e përgjithshme që gëzonin këto zgjidhje. Për të realizuar një
studim të tillë në fillim të shekullit të XIX-të ata ideuan një analogji të mbyllur
ndërmjet disa koncepteve algjebrike tepër të njohura për kohën dhe disa koncepteve të
reja të krijuara prej tyre. Funksionet dhe operatorët linearë të teorisë së mirënjohur të
ekuacioneve diferenciale sipas tyre do të luanin përkatësisht rolin e vektorëve dhe
matricave algjebrike. Diagonalizimi i një matrice simetrike reale i korespondonte në
2
këtë teori zgjidhja e një ekuacioni diferencial të zakonshëm i përcaktuar nga një
operator L i vetë konjuguar sipas tyre, në terma të funksioneve vetjakë të tij të cilët në
fakt janë në analogji me vektorët vetjakë në teorinë algjebrike. Pra, siç do të shohim
edhe më tej përveç te tjerash ata futën të parët konceptet e operatorit të vetë
konjuguar, vlerën vetjake dhe funksionin vetjak korespondues.
Paraqesim më poshtë së pari disa nocione për matricat e vetë konjuguara dhe
më pas disa nga përkufizimet bazë të operatorëve diferenciale lineare të vetë
konjuguar dhe ekuacioneve të vetë konjuguara. Për pohimet e paragrafit në vijim i
referohemi ([20], [29], [35], [61]).
§ 1.1 MATRICAT E KONJUGUARA DHE TË VETË-KONJUGUARA
Produkti i brendshëm, i zakonshëm për vektorët (shtyllat) reale dhe është
dhënë si vijon
⟨ ⟩
Për një matricë katrore reale (përfaqësuese e një pasqyrimi linear L) dhe një
produkt të brendshëm, matrica e konjuguar me të, përcaktohet si më poshtë për
çdo dhe
⟨ ⟩ ⟨ ⟩
Nga përcaktimi që i është bërë produktit të brendshëm, kemi
⟨ ⟩ ( ) ( ) ⟨ ⟩ ⟨ ⟩
nga rrjedh që .
Pra, matricat që janë të vetë konjuguara sipas produktit të brendshëm të
zakonshëm janë pikërisht matricat simetrike. Çdo matricë simerike është e
diagonalizueshme.
Ekuacioni | | quhet ekuacion karakteristik i matricës A dhe i pasqyrimit
linear L.
Meqë matrica ( ) është e pakthyeshme rrjedhimisht ekziston një vektor v jo
zero, i tillë që ( ) ( ).
Një vektor i tillë quhet vektor vetjak i -ës, pra vektor vetjak i matricës A ose i
pasqyrimit linear L.
Në qoftë se dhe janë dy vlera vetjake të një matrice simetrike reale atëherë
dhe , vektorët vetjakë korespondues të tyre janë ortogonale pra,
⟨ ⟩ ( ) ( )
( )
dhe
⟨ ⟩ ( )
Meqë rrjedh që
⟨ ⟩
3
§ 1.2 OPERATORËT E KONJUGUAR DHE TË VETË-KONJUGUAR
Metoda e ndarjes së variablave në zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale me
derivate të pjesshme shpesh çon në problema me vlera vetjake të shoqëruara nga
operatorë diferencial linear. Operatorët diferencial linear të vetë-konjuguar, të cilët
përgjithësojnë kuptimin e matricave reale simetrike, janë një klasë e përshtatshme
operatorësh, e cila sidomos në teorinë e problemave me vlera vetjake është
veçanërisht produktive.
E zgjerojmë idenë e nisur në seksionin më sipër tek operatorët diferencial linear dhe
tek produktet e brendshme të funksioneve. Le të ndërtojmë produktin e brendshëm
mbi funksionet dhe si ⟨ ⟩ Operatori linear mbi funksionin dhe i
konjuguari i tij përcaktohen me anë të këtij barazimi
⟨ ⟩ ⟨ ⟩
për çdo funksion dhe . Operatori do të quhet i vetë-konjuguar nëse për
këto funksione.
Le të marrim dy shembuj operatorësh në vijim.
Operatori ( ) nuk është i vetë konjuguar. Marrim si produkt të brendshëm të
funksioneve ( ) dhe ( ) integralin
⟨ ⟩ ∫ ( ) ( )
Duke integruar me pjesë dhe duke ditur që, ( ) ( ) ( ) ( ) marrim
⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ⟨ ⟩
Nga barazimi i mësipërm kemi që ( ) , ndaj ky operator nuk është
i vetë konjuguar.
Operatori ( ). Marrim si produkt të brendshëm të funksioneve ( ) dhe
( ) përsëri integralin e mësipërm. Kushtet për të dy funksionet ngelen po ato ndaj,
duke integruar edhe një herë me pjesë gjejmë që ( ) . Barazimi i fundit
tregon arsyen pse ky operator është i vetë konjuguar.
Operatorët e vetë konjuguar përgjithësojnë matricat reale simetrike (matrica të vetë
konjuguara).
Le të përqëndrohemi në vijin në ekuacionin diferencial linear homogjen të
rendit të dytë me koefiçientë jo konstant
, - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1.1.2.1)
Përkufizim 1.1.2.1. Një ekuacion diferencial linear homogjen i rendit të dytë
, - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
është quajtur ekuacion ekzakt në qoftë se dhe vetëm në qoftë se për ndonjë ( ) ( ) ekuacioni
4
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, ( ) ( ) ( ) ( )-
kënaqet për çdo funksion .
Përkufizim 1.1.2.2. Një funksion është një faktor integrimi për ekuacionin
(1.1.2.1) pra, , - është ekuacion ekzakt, në qoftë se dhe vetëm në qoftë se ai
është një zgjidhje e ekuacionit diferencial linear të rendit të dytë
, - ( ( ) ( ))
( ( ) ( )) ( ) ( ) (1.1.2.2)
Përkufizim 1.1.2.3. Operatori është quajtur i konjuguar (adjoint) i operatorit .
Koncepti i konjugimit të një operatori linear, historikisht ka lindur që në kohën
kur studiuesit e parë u vunë në kërkim të faktorëve integrues. Ky koncept është i një
rëndësie më të madhe sidomos për shkak të rolit tepër të rëndësishëm që ai luan në
teorinë e Oshilacionit. Le të konsiderojmë operatorët dhe Nëse -ja është
shumëzuar me dhe -ja është shumëzuar me , pasi i zbresim ato prodhime
marrim
, - , -
[ ( )( ( ) ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( )] ( )
Ky barazim quhet Identiteti i Langranzhit.
Identiteti i Langranzhit do të aplikohet sidomos në vërtetimet e teoremave të
krahasimit.
Përkufizim 1.1.2.4. Ekuacioni diferencial linear homogjen që përputhet me të
konjuguarin e tij quhet i vetë–konjuguar (self-adjoint).
Kushti për ekuacionin (1.1.2.1) që të jetë i vetë–konjuguar është ( ) ( ) .
Ky kusht nuk është vetëm i nevojshëm por edhe i mjaftueshëm sepse ka vend edhe
barazimi, ( ) ( ) .
Ekuacioni (1.1.2.1) nëse është i vetë-konjuguar transformohet në ekuacionin
[ ( )
] ( ) ( )
Për më tepër, në rastin e vetë–konjugimit meqë kemi të vërtetë barazimin e
mëposhtëm
[ ( )( ( ) ( ) ( ) ( ))] ( ), ( ) ( )- ( ), ( ) ( )-
atëherë identiteti i Langranzhit ka formën
, - , -
0 ( ) . ( ) ( ) ( ) ( )/1 ( )
5
Teoremë 1.1.2.1. Ekuacioni diferencial linear homogjen i rendit të dytë (1.1.2.1)
është i vetë–konjuguar në qoftë se dhe vetëm në qoftë se ka formën e ekuacionit
homogjen të Shturmit
[ ( )
] ( ) ( ) ( )
Teoremë 1.1.2.2. Të gjithë ekuacionet diferenciale lineare homogjene të rendit të dytë
mund të shndërrohen në formën e vetë–konjuguar duke shumëzuar me funksionin
ndihmës
( )
∫ ( )
( )
( )
Teoremë 1.1.2.3. Ekuacioni diferencial linear homogjen i rendit të dytë (1.1.2.1)
është i vetë–konjuguar në qoftë se dhe vetëm në qoftë se ka formën e problemit të
Shturm-Liuvilit
[ ( )
] ( ) ( ) ( )
Vërtetim. Le të jetë dhënë operatori linear diferencial për ndonjë funksion peshë
( ) si në vijim
( )( ( )
)
Ky operator është i vetë konjuguar në lidhje me produktin e brendshëm të përcaktuar
si vijon
⟨ ⟩ ∫ ( ) ( ) ( )
Atëherë, problemi me vlera të veta vijues ku ( ) ( )
( ( )
)
( ) ( )
mund të shkruhet
( )( ( )
)
( ) ( )
Pra, ky rezultat tregon që një problem me vlera të veta shoqërohet me një operator
diferencial linear të vetë-konjuguar.■
Konkluzion 1.1.2.1. Çdo ekuacioni linear homogjen të rendit të dytë i korespondon
një formë e vetë e konjuguar. Pasi ndërtojmë mbi këtë formë, problemin korespondues
me vlera të veta, këtij të fundit i shoqërohet një operator diferencial linear i vetë-
konjuguar. Pra, çdo ekuacioni linear homogjen të rendit të dytë i korespondon një
operator diferencial linear i vetë-konjuguar.
6
Le të rendisim më poshtë disa nga ekuacionet diferenciale më të njohura dhe
format e vetë-konjuguara të tyre koresponduese.
Të gjithë ekuacionet diferenciale të zakonshme lineare të rendit të dytë mund të
ndryshojnë në formë në anën e majtë të tyre duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit
me një faktor integrues të përshtatshëm (edhe pse e njëjta gjë nuk është e vërtetë për
ekuacionet diferenciale të pjesshme të rendit dytë).
Ekuacioni i Beselit
( )
mund të shkruhet në formën e Shturm-Liuvilit
( ) :
⁄ ;
Ekuacioni i Lezhandrit
( ) ( )
mund të shkruhet në formën e Shturm-Liuvilit sepse ( )
,( ) - ( )
Ekuacioni diferencial i Çebishevit (Chebyshev) paraqitet në vijim
( )
Në këtë ekuacion kemi: ( ) , ( ) dhe ( )
Atëherë funksioni ndihmës ( ) ndërtohet si më poshtë
( )
∫ ( )
( )
( )
∫
( )
( )
Nga barazimi i mësipërm marrim formën e vetë–konjuguar të ekuacionit diferencial të
Çebishevit
[( )
] ( )
( )
§ 1.3. PROBLEMI KLASIK I SHTURM-LIUVILIT (SL)
Ekuacioni klasik i Shturm-Liuvilit është një ekuacion diferencial linear i rendit
të dytë i formës
[ ( )
] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ku funksionet ( ) ( ) dhe ( ) . Në rastet më të thjeshta këto
funksione janë të vazhdueshme mbi një interval të fundëm e të mbyllur , - dhe
( ) ka derivat të parë të vazhdueshëm. Funksioni , është quajtur zgjidhje e këtij
7
ekuacioni në qoftë se ai është me derivat të vazhdueshëm mbi ( ) dhe kënaq
ekuacionin ( ) në çdo pikë të intervalit ( ) Në vazhdim funksionit të
panjohur i kërkohet që të kënaq kushtet kufitare mbi dhe përshembull,
( ) ( ) . Funksioni ( ) quhet funksion “peshë“ ose “densitet”. Për vlerën
e -ës nuk ka një “përcaktim” gjë që do të thotë se: të gjesh vlerat e -ës për të cilat
ekuacioni ( ) ka një zgjidhje jo-triviale që kënaq kushtet kufitare është një
pjesë e problemit të quajtur Problem i Shturm–Liuvilit (S.L).
Pasqyrimi
( )(
[ ( )
] ( ) ( ))
mund të shihet si një operator linear që pasqyron funksionin tek funksioni i ri .
Studimi i këtij operatori linear bëhet në kontekstin e Analizës Funksionale. Në fakt
ekuacioni (1.1.2.1) i cili mund të shkruhet si quhet formë e Shturm-Ljuvilit
sepse L është një operator i vetë-konjuguar. Ky fakt mund të tregohet lehtësisht duke
përdorur formalisht integrimin dy herë me pjesë, ku termat kufitare zhduken për
shkak të kushteve kufitare. Ky problem është pikërisht problem i vlerave vetjake.
Teoria e cila merret me studimin e ekzistencës dhe sjelljes asimptotike të
vlerave vetjake dhe teoria korresponduese e cila studion nga ana cilësore funksionet
vetjakë në një hapësirë të përshtatshme funksionale u bë e njohur si Teoria e Shturm-
Ljuvilit.
Kjo teori është tepër e rëndësishme në fushën e Matematikës së aplikuar, ku
problemet (S-L) janë shumë të shpeshta, veçanërisht kur kanë të bëjnë me ekuacionet
diferenciale lineare me derivate të pjesshme të cilat mund të ndahen (si në rastin e
ekuacionit valor). Siç dihet, teoria e Shturm–Liuvilit ndoqi nga afër çfarë pikërisht
ishte zbuluar për ekuacionin valor një dimensional të trajtës
( ) ( )
ku tregon shpejtësinë e përhapjes së valës. Metoda e njohur e ndarjes së
variablave propozuar nga Furie, konsiston në marrjen e zgjidhjeve jo zero të trajtës
( ) ( ) ( ) me ndihmën e sistemit të mëposhtëm të ekuacioneve diferenciale
të rendit të dytë, lineare homogjene dhe me koefiçienta konstante
{
( ) ( )
( )
( )
Me lehtësi arrijmë të tregojmë se zgjidhjet e këtyre ekuacioneve respektivisht janë
( ) ( ) ( ) dhe ( ) .
/ .
/ . Problemi i
lëkundjeve të lira të kordës së fundme (me gjatësi L) me skaje të fiksuara që ngrihet
mbi ekuacionin valor kërkon që funksioni ( ) të kënaqë kushte fillestare dhe
kufitare të cilat ndikojnë në zgjidhjen e problemit. Ekuacioni i dytë (e marrim si
shembull) mund të shkruhet në trajtën
( ) ( )
8
ku .
/
.
/
për ndonjë numër të plotë pozitiv dhe quhet problem
me vlera vetjake (eigenvalue problem). Zgjidhjet koresponduese ( ) .
/
të vlerave vetjake quhen funksione vetjakë (eigenfunctions).
Ekzistenca e vlerave vetjake dhe si rrjedhojë dhe e funksione vetjakë lidhet
ngushtë sipas teorisë së Shturm-Liuvilit me ekzistencën e zgjidhjeve oshilatore.
Në vijim studiojmë ekuacionet e Shturm-Liuvilit, një klasë e ekuacioneve diferenciale
të zakonshme të rendit të dytë, që përmban si nënklasë të veçantë problemin me vlera
vetjake të ngritur mbi ekuacionin (1.1.3.1).
Përkufizim 1.1.3.1. Konsiderojmë një problem me vlera kufitare i cili konsiston:
1. Një ekuacion diferencial linear homogjen i rendit të dytë të forrmës
[ ( )
] , ( ) ( )- ( )
Në këtë ekuacion p, q dhe w janë funksionet reale. Funksioni p është me derivat të
parë të vazhdueshëm dhe ( ) .
Funksionet q dhe w janë të vazhdueshëm ku ( ) për çdo dhe
është një parametër i pavarur nga x.
2. Dy kushte suplementare kufitare
( ) ( )
( ) ( )
Në këto dy barazime , , dhe janë konstante reale të tilla që
dhe
. Ky tip i problemit me vlera kufitare është quajtur një problem
i rregullt i Shturm-Liuvil-it ose sistem i Shturm-Liuvil-it.
Dy rastet speciale më të rëndësishme janë ato me kushte suplementare të formës:
( ) ( )
ose
( ) ( )
Është e qartë që një zgjidhje e çdo problemi të këtij tipi është zgjidhja triviale e
tillë që ( ) për çdo vlerë të -it. Vëmendja jonë do të fokusohet në kërkimin e
zgjidhjeve jotriviale të problemit. Kjo do të thotë se, po kërkojmë funksione jo
identikisht zero të cilët kënaqin si ekuacionin ashtu edhe dy kushtet. Ne do të shohim
që ekzistenca e zgjidhjeve jotriviale varet nga vlera e -ës në ekuacionin (1.1.3.2).
Përkufizim 1.1.3.2. Konsiderojmë problemin e Shturm-Liuvilit. Vlerat e parametrit
në ekuacionin (1.1.3.2) për të cilin ekzistojnë zgjidhje jotriviale të problemit janë
quajtur vlera vetjake të problemit. Zgjidhjet jotriviale koresponduese të tyre janë
quajtur funksionë vetjakë të problemit.
9
Pra, le të jenë dhe dy vlera vetjake të këtij problemi. Le të jetë një
funksion vetjak korespondues i dhe le të të jetë një funksion vetjak
korrespondues i .
Përkufizim 1.1.3.3. Dy funksione f dhe g janë quajtur funksione ortogonale në lidhje
me funksionin peshë w mbi segmentin në qoftë se dhe vetëm në qoftë se
∫ ( )
( ) ( ) ( )
Konkluzion 1.1.3.1
Të gjitha vlerat vetjake të problemit të Shturm-Liuvilit jane reale, si rrjedhojë
edhe zgjidhjet shoqëruese (koresponduese) pra, funksionet vetjakë janë reale.
Të gjitha vlerat vetjake të problemit të Shturm-Liuvilit janë të thjeshta në
kuptimin që çdo vlere vetjake i korespondon një dhe vetëm një zgjidhje
linearisht e pavarur.
Të gjitha vlerat vetjake të problemit të Shturm-Liuvilit janë diskrete, renditen
sipas një vargu rritës që tenton drejt infinitit.
Funksionet vetjakë dhe janë ortogonale në lidhje me funksionin peshë
w mbi Le të jetë * + një bashkësi e pafundme e vlerave vetjake të problemit të
Shturm-Liuvilit (S.L) të sistemuar sipas një vargu rritës monoton . Për çdo le të jetë funksioni
korespondues i vlerës karakteristike (pa marrë parasysh shumëzimin me
konstante) i cili ka saktësisht zero në ( ). Bashkësia e pafundme
* + është një sistem ortogonal në lidhje me funksionin peshë w mbi
§ 1.4. TEOREMAT E KRAHASIMIT TË EKUACIONEVE DIFERENCIALE
SIPAS SHTURMIT
Në këtë paragraf do të përqëndrohemi kryesisht në disa teoerema krahasimi të
ekuacionit diferencial linear të rendit të dytë
( )
[ ( )
] ( ) ( )
të përcaktuar në një zonë të pafundme. Thelbi i këtyre teoremave qëndron në
përpjekjet për të interpretuar cilësisht zgjidhjet e një ekuacioni diferencial linear të
rendit të dytë nën studim me ndihmën e një ekuacioni tjetër për zgjidhjet e të cilit
dimë më shumë. Realizimi i këtij proçesi bëhet nëpërmjet krahasimit të koefiçientëve
të tyre. Për më tepër mund të themi se objekt interesi për ne është cilësia oshilatore e
një zgjidhjeje ( ) që lidhet me ekzistencën e zerove të saj.
Le të jetë një operator diferencial i përcaktuar mbi një interval ( ) si vijon
, -
[ ( )
] ( ) ( ) ( )
ku ( ) dhe ( ) janë funksione me vlera reale mbi ( ). Funksioni ( ) është
i vazhdueshëm dhe funksioni ( ) është me derivat të parë të vazhdueshëm për më
10
tepër ( ) . Le të studiojmë teoremën e krahasimit të problemit të Shturm-
Liuvilit për dy ekuacionet e rendit të dytë të vetë-konjuguar
, -
[ ( )
] ( ) ( ) ( )
, -
[ ( )
] ( ) ( ) ( )
Teoremë 1.1.4.1. Në qoftë se dhe janë dy zero të njëpasnjëshme të një
zgjidhjeje jotriviale ( ) të ekuacionit ( ) dhe në qoftë se
(i) ( ) ( ) për , -, (ii) ( ) ( ) dhe ( ) ( ) për , -,
atëherë çdo zgjidhje ( ) e ekuacionit ( ) ka një zero në , - .
Vërtetim. Le të jenë ( ) dhe ( ) zgjidhje të ekuacionit ( ) dhe ekuacionit
( ) respektivisht. Meqë dhe janë dy zero të njëpasnjëshme të një
zgjidhjeje jotriviale të , - nuk humbasim asgjë në qoftë se supozojmë se
( ) për çdo ( ) . Supozojmë nga e kundërta që ( ) për çdo
( ) dhe përsëri nuk humbasim asgjë po të supozojmë se ( ) për çdo
( ) . Në ekuacionin (1.1.4.2) shumëzojmë me ( ) dhe në ekuacionin
(1.1.4.3) shumëzojmë me ( ) . Pra, kemi ndërtuar të ashtuquajturin Identitet të
Langranzhit si më poshtë
( ) , - ( ) , -
( )
, ( ) - ( ) ( ) ( ) ( )
, ( ) - ( ) ( ) ( )
, ( ) - ( ) , ( ) - ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )
[ ( )( ( ) ( ) ( ) ( ))] ( ( ) ( )) ( ) ( )
Integrojmë në të dyja anët e këtij barazimi nga tek dhe kemi në vijim
∫ [ ( ) , - ( ) , -]
∫ [ ( ( ) ( ) ( ) ( ))]
∫ ( ) ( ) ( )
Por, nga ekuacionet (1.1.4.2) dhe (1.1.4.3) kemi barazimin , - , - , si
rrjedhojë marrim barazimet e njëpasnjëshme
∫ ( ) ( ) ( )
∫ [ ( ( ) ( ) ( ) ( ))]
( ( ) ( ) ( ) ( ))|
( )* ( ) ( ) ( )
( )+ ( )* ( ) ( ) ( )
( )+
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
11
Meqë dhe janë zero të njëpasnjëshme të një zgjidhjeje jotriviale ( ) për
çdo ( ) atëherë, funksioni ( ) është rritës në pikën dhe zbritës në pikën
. Pra, kemi që ( ) dhe ( ) . Meqë nga kushti (ii) i teoremës kemi
( ) ( ) atëherë, ana e majtë e barazimit të mësipërm është pozitive ndërsa
ana e djathtë është negative. Pra, ky rezultat është absurditet. Po të ishin të dyja anët
të barabarta me zero, atëherë patjetër që ( ) ( ), kështu që të dy ekuacionet
(1.1.4.2) dhe (1.1.4.3) janë identike mbi [ ]. Pra, ngelet që ( ) ka një zero në [ ] ■
Në qoftë se kushti krahasues (ii) i teoremës së mësipërme kënaqet atëherë ekuacioni
(1.1.4.3) është quajtur Sturm majorant (mazhorues i sipërm i Shturmit) për ekuacionin
(1.1.4.2).
Por, a është kusht thelbësor, kushti (i) i teoremës sonë? A mund ta zëvendësojmë atë
me një kusht tjetër dhe rezultati i teoremës të ngelet i njëjtë ? Kësaj pyetjeje i japim
përgjigje me anë të teoremës së mëposhtme.
Teoremë 1.1.4.2. Në qoftë se dhe janë dy zero të njëpasnjëshme të një
zgjidhjeje jotriviale, ( ) të ekuacionit ( ) dhe në qoftë se
(i) ( ) ( ) për [ ], (ii) ( ) ( ) dhe ( ) ( ) për [ ],
atëherë çdo zgjidhje ( ) e ekuacionit ( ) ka një zero në[ ].
Vërtetim. Le të jenë ( ) dhe ( ) zgjidhje të ekuacionit ( ) dhe ekuacionit
( ) respektivisht. Meqë dhe janë dy zero të njëpasnjëshme të një
zgjidhjeje jotriviale të ekuacionit [ ] nuk humbasim asgjë në qoftë se
supozojmë se ( ) për çdo ( ). Supozojmë nga e kundërta që ( )
për çdo ( ). Nga ekuacionet ( ) dhe ( ) kemi
[ ]
[ ( )
] ( ) ( )
[ ]
[ ( )
] ( ) ( )
Duke supozuar që në fillim se ( ) ( ) ( ) ( ) dhe ( ) ( ) janë të
diferencueshëm dhe ( ) kryejmë veprimet e mëposhtme
[ ( )
( )(
( )
( ))]
( ) ( )
( )(
( )
( ))
( )
( )(
( )
( ))
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
12
( )
( )4(
)
( )
(
)
( )
5
( ( ))
( ) ( ) ( )
( )
( ( )) ( ( ))
( ( )) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )( ( ) ( )) ( )( ( ))
[( ( ))
( ) ( ) ( )
( )
( ( )) ( ( ))
( ( )) ]
Atëherë, duke integruar nga tek kemi
∫
[ ( )
( )( ( )
( ) ( )
( ))]
( )
( )( ( )
( ) ( )
( )) |
∫ ( )( ( ) ( )) ( ( ) ( )) (
)
( ) 6
( ) ( )
( )7
Meqë ( ) ( ) atëherë kanë vend barazimet e mëposhtme
∫ ( )( ( ) ( )) ( ( ) ( )) (
)
( ) 6
( ) ( )
( )7
∫ ( ) 6 ( ) ( ) ( )
( )7
∫ ( )( ( ) ( ))
∫ ( ( ) ( ))( ( ))
Në barazimin e fundit vëmë re se ana e majtë e tij ose është negative ose është zero
ndërsa ana e djathtë e tij ose është pozitive ose është zero. E vetmja mundësi që ngelet
është që të dyja anët të jenë të barabarta me zero. Por kjo do të thotë që ( ) ( )
dhe ( ) ( ) në të njëjtën kohë e si rrjedhojë ekuacionet (1.1.4.2) dhe (1.1.4.3)
do të jenë ekuivalente ose mundësia tjetër që ngelet është si vijon
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
Meqë ( ) ( ) ( ) ( ) atëherë ( ) ( ) . Pra ( )
ka të paktën një zero në , -.■
Teoremë 1.1.4.3. Le të jetë dhënë ekuacionet (forma normale)
13
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
për ku ( ) ( ). Le të jetë një zgjidhje e ekuacionit (1.1.4.4) dhe
një zgjidhje e ekuacionit (1.1.4.5) atëherë ndërmjet dy zerove të njëpasnjëshme të
-së ka të paktën një zero të -së.
Vërtetim. Le të jenë dhe dy zero të njëpasnjëshme të -së dhe supozojmë se
( ) në ( ). Pranojmë faktin se nuk anullohet në ( ) dhe marrim si në
teoremën më sipër ( ) . Atëherë ( )( ) ( ) ( ) sepse
( ) dhe ( ) . Ndërkaq marrim në ( )
( ( )( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( )-
që nga rrjedh se është funksion monoton rritës në kundërshtim me faktin se
( )( ) dhe ( )( ) .
Po të kishim supozuar se ( ) do të kishim ( )( ) , ( )( ) dhe
Pra, përsëri një kontradiksion në të cilin na sjell supozimi i gabuar se nuk anullohet
në ( ).■
Teoremë 1.1.4.4. Le të jenë dhënë ekuacionet për , -
[ ( )
] ( ) ( )
[ ( )
] ( ) ( )
ku dhe janë respektivisht zgjidhje të ekuacionit (1.1.4.6) dhe ekuacionit
(1.1.4.7). Këto ekuacione nëse plotësojnë kushtet ( ) ( ) dhe ( ) ( ) atëherë zgjidhja ka një zero të vetme ndërmjet dy zerove të njëpasnjëshme
të zgjidhjes në , -.
Le të shohim në vazhdim të këtij paragrafi dy teorema të ndarjes sipas Shturmit.
Le të jetë dhënë ekuacioni diferencial i rendit të dytë si vijon
( ) ( ) ( ) ( )
Teoremë 1.1.4.5. Le të jenë dhe dy zgjidhje linearisht të pavarura të
ekuacionit ( ) atëherë ndërmjet dy zerove të njëpasnjëshme të zgjidhjes ka
një zero të vetme të zgjidhjes .
Vërtetim. Le të jenë dhe dy zero të njëpasnjëshme të zgjidhjes pra,
( ) , ( ) dhe ( ) për . Ndërtojmë përcaktorin e
Wronskit si në vijim
14
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
që nga marrim
( ) dhe ( )
Supozojmë se ( ) për , -, atëherë
është i përcaktuar në , -
dhe bëhet zero në dhe . Nga çfarë u tha më sipër rrjedh se derivati i tij bëhet
zero në një pikë ( ). Ky përfundim është kontradiktor me faktin vijues
(
) ( )
( )( )
( )
Rrjedhimisht, ekziston të paktën një zero e zgjidhjes ndërmjet dhe madje
kjo është e vetme. Nëse do të kishte dy zero, për shembull dhe , duke arsyetuar
në mënyrë të ngjashme me zgjidhjen do të kemi se ndërmjet dhe ka një
zero të zgjidhjes . Pra, absurditet sepse dhe janë dy zero të njëpasnjëshme të
zgjidhjes .■
Për ekuacionin (1.1.4.8) (forma standarte) do të supozojmë se ( ) Ky
ekuacion do të transformohet në ekuacionin (forma normale),
( ) ( ) ( )
me anë të transformimit në vijim
( ) ( ) 6
∫ 4
( )
( )5
7
Për më tepër zerot e zgjidhjes ( ) dhe të zgjidhjes ( ) janë të njëjta.
Ekuacionin (1.1.4.8) është ekuivalent me ekuacionin
[ ( )
] ( )
i cili quhet formë e vetëkonjuguar (self-adjoint) e ekuacionit (1.1.4.8). Për këtë
mjafton të shfrytëzojmë faktin që
( ) ( ) <
∫ :
( ) ( )
⁄ ;
=
është zgjidhje e ekuacionit (1.1.4.8).
Shumëzojmë të dy anët e ekuacionit (1.1.4.8) me
<∫ :
( ) ( )
⁄ ;
=
dhe shënojmë
15
( ) <∫ : ( )
( )⁄ ;
=,
( ) < ( )
( )⁄ = <∫ : ( )
( )⁄ ;
= ( )
( )⁄ ( )
Pas zëvendësimit marrim formën e vetëkonjuguar të ekuacionit (1.1.4.8).
Teoremë 1.1.4.6. Le të jetë dhënë ekuacioni (forma normale)
( ) ( ) ( ) ( )
ku ( ) në intervalin ( ).Atëherë çdo zgjidhje e ndryshme identikisht nga
zeroja e ekuacionit (1.1.4.9) ka të shumtën një zero në këtë interval.
Vërtetim. Le të jetë ( ) një zero e zgjidhjes atëherë ( ) . Pa
humbur gjë le të supozojmë se ( ) . Rrjedhimisht e tillë që për , , kemi ( ) . Mirëpo ( ) ( ) ( ) , që nga marrim ( )
në , ,. Pra, ( ) është funksion monoton rritës, si rrjedhojë i ndryshëm nga zero
në , -. Në mënyrë të ngjashme nëse ( ) është një zero tjetër e zgjidhjes
atëherë ( ) është funksion monoton rritës dhe pozitiv për pra edhe
për . Ky pohim i fundit ose është absurditet ose ( ) duhet të jetë monoton
zvogëlues dhe pra negative për pra edhe për . Absurditeti që marrim
tregon vërtetësinë e teoremës (1.1.4.6), vërtetimi i së cilës na ndihmon në përfundimin
e mëposhtëm.■
Nga teorema e mësipërme është e qartë se në qoftë se ( ) dhe ( ) kënaqin
ekuacionin (1.1.4.9) atëherë ose ( ) për të gjitha -et ose ( ) ka jo më
shumë se një zero. Meqë interesohemi për zgjidhjet oshilatore kushti ( )
(rigorozisht pozitive) është i nevojshëm. Me këto kushte pra
( ) ∫ ( )
zgjidhjet ( ) do të kenë një numër të pafundëm zerosh, por vetëm një numër të
fundëm zerosh mbi një interval të kufizuar (shikoni kushtin e dytë).
§ 2. NJOHURI MBI TEORINË E OSHILACIONIT
Teoria e Oshilacionit mendohet të ketë lindur aty rreth vitit 1836 me disa
punime të Shturmit të përmbledhura ([20]) mbi ekuacionin diferencial linear të rendit
të dytë. Kjo teori u përdor prej tij fillimisht e më pas prej Liuvilit si instrument
kryesor që përdoret në zgjidhjen e problemeve me vlera vetjake. Tashmë
problematika që kjo teori trajton është zgjeruar mjaft duke përfshirë çështje të
rëndësishme si më poshtë:
(i) Gjetja e kushteve për të qenë të gjitha zgjidhjet e ekuacionit
oshilatore.
(ii) Gjetja e kushteve për ekzistencën e zgjidhjeve jooshilatore.
16
(iii) Studimi i klasifikimit të zgjidhjeve jooshilatore.
(iv) Gjetja e kritereve të linearizimit për oshilacionin e zgjidhjeve.
(v) Studimi i sjelljes së zgjidhjeve oshilatore të ekuacionit.
(vi) Studimi i teorisë së qëndrueshmërisë së zgjidhjes në lidhje me teorinë e
oshilacionit.
Le të nisim këtë paragraf me konceptin e oshilacionit për funksionin.
Përkufizim 1.2.1. Një funksion i vazhdueshëm është quajtur se oshilon ose është
oshilator në qoftë se ka një numër të pafundëm zerosh, në kuptimin që për çdo
ekziston një e tillë që ( ) .
Në të kundërt funksioni quhet jo-oshilator, pra marrim përkufizimin në vijim.
Përkufizim 1.2.2. Një funksion i vazhdueshëm është quajtur se nuk oshilon ose
është jooshilator në qoftë se ekziston një e tillë që ( ) për çdo .
Në qoftë se funksioni është i vazhdueshëm dhe nuk është oshilator atëherë ai
funksion duhet të jetë ose rigorozisht negativ ose rigorozisht pozitiv, në kuptimin që
ekziston një i tillë që ( ) për ose ( ) për .
Për konkretizim të dy përkufizimeve (1.2.1.) dhe (1.2.2.) po paraqesim më poshtë dy
shembuj.
Shembull 1.2.1. Ekuacioni diferencial i rendit të dytë i zakonshëm
( ) ( )
ka si zgjidhje të përgjithshme ( )
pra, nuk ka zgjidhje oshilatore.
Ndërsa, ekuacioni diferencial i rendit të dytë me vonesë ,
( ) ( )
me ekuacion karakteristik , i ka të gjitha zgjidhjet oshilatore. Dy prej
zgjidhjeve të tij ( ) dhe ( ) janë zgjidhje periodike (rasti më i
thjeshtë i zgjidhjeve oshilatore).
Pra, në këtë shembull vihet re se futja në ekuacionin e dytë të vonesës
shkakton oshilacione të zgjidhjeve.
Shembull 1.2.2. Ekuacioni diferencial i rendit të dytë me argument të vonuar
( )
(
)
nuk i ka të gjitha zgjidhjet oshilatore sepse të paktën zgjidhja ( ) √ nuk është
e tillë. Ndërsa, ekuacioni diferencial i rendit të dytë i zakonshëm korespondues
( )
( )
17
i ka të gjitha zgjidhjet oshilatore, sepse zgjidhja e përgjithshme e këtij ekuacioni është
( ) √ ( √ ) √ ( √ ).
Pra, në këtë shembull vihet re se heqja në ekuacionin e dytë të vonesës shkakton
oshilacione të zgjidhjeve.
Interesi ynë në këtë punim qëndron në përpjekjet për tu përgjigjur disa
pyetjeve rreth sjelljes së zgjidhjeve të ekuacioneve funksionale, pa i gjetur ato
zgjidhje në të vërtetë Një trajtim i tillë është quajtur analizë cilësore dhe i ka fillimet
me punimet e Simmons (1972). Literatura e sotme për analizën oshilatore që u bëhet
ekuacioneve funksionale është mjaft voluminoze edhe për shkak të tipeve të shumta të
ekuacioneve që përfshihen nën termin ekuacioni funksional.
Ekuacionet funksionale ndahen në dy tipe kryesore.
I) Ekuacione funksionale diferenciale (ekuacione diferenciale).
II) Ekuacione funksionale jo diferenciale (ekuacione thjesht funksionale).
Në vazhdim të punimit do të përdorim emertimet nën kllapa. Secila nga tipet e
sipërpërmendura ka nënndarjet e veta. Në vijim po paraqesim disa nga ekuacionet
kryesore që janë objekt studimi në literaturën e viteve të fundit.
1) Ekuacion funksional me argument të vazhdueshëm.
2) Ekuacion funksional me argument të devijuar.
2/a) Ekuacion funksional me argument të vonuar (delay).
2/ b) Ekuacion funksional me argument të avancuar (advanced).
2/ c) Ekuacion funksional me argument të vonuar dhe të avancuar.
3) Ekuacion funksional neutral.
4) Ekuacion funksional me argument diskret.
Disa nga teknikat më të njohura me të cilat do të ndeshemi sidomos gjatë vërtetimeve
të teoremave në kapitujt pasardhës po i paraqesim në vijim.
Zëvendësimi Rikati (Riccati).
Ekuacioni diferencial i rendit të parë jolinear i trajtës
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
quhet ekuacion Rikati. Teknika Rikati, e cila lidh zerot e zgjidhjes ( ) të një
ekuacioni me zerot e një zgjidhjeje të ekuacionit Rikati shoqërues (siç do e shohim në
vijim) përbën një element bazë në teorinë e Oshilacionit. Kjo teknikë në bazë të saj ka
lemën vijuese.
Lema 1.2.1. Në qoftë se është një zgjidhje e ekuacionit
18
( )
[ ( )
] ( ) ( ) ( )
atëherë
( ) ( ) ( )
( ) ( )
është një zgjidhje e ekuacionit Rikati vijues
( )
( ) ( ) ( ) ( )
Vërtetim. Le të jetë ( ) një zgjidhje jotriviale me vlera reale e ekuacionit ( )
dhe le të jetë ( ) i përcaktuar si në barazimin ( ). Atëherë, duke i përdorur të
dyja si ekuacionin ( ) dhe zëvendësimin ( ) marrim barazimet vijuese
( ) 6 ( )
( )7
, ( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( )
( )
, ( ) ( )-
( )
( ), ( )-
( ) ( )
( ) ( )
Si rrjedhim, ekuacioni shoqërues Rikati i ekuacionit ( ) është dhënë si vijon
( )
( ) ( ) ( ) .■
Dy teknikat e tjera, Teknika e të mesmes integrale (Teknika Kamenev) dhe Teknika
Philos do të trajtohen në kapitujt e tjerë në vazhdim.
19
KAPITULLI II
EKUACIONET FUNKSIONALE TË RENDIT TË LARTË
Ekuacionet funksionale janë ekuacione ku i panjohuri është një funksion i një
apo më shumë ndryshoreve. Ekuacionet funksionale me një ndryshore janë zakonisht
më të lehtë për tu zgjidhur. Nuk ka nje metodë të caktuar për të zgjidhur këto
ekuacione funksionale por transformimi i variablave është një nga metodat më të
zakonshme për t‟i zgjidhur ato. Kur aplikojmë këtë teknikë, zëvendësojmë një
ndryshore (të vjetër) me një tjetër (të re) duke mos harruar se fusha e ndryshores së
vjetër nuk duhet të ndryshojë, në mënyrë që të merret një ekuacion i ri funksional i
cili është më i lehtë për tu zgjidhur (për të gjetur funksionin e panjohur) në krahasim
me ekuacionin fillestar.
Çdo funksion që e kënaq ekuacionin funksional për vlera të ndryshores (ndryshoreve)
në një zonë të fushës së tij (së tyre) të përcaktimit, natyrshëm e quajmë zgjidhje të atij
ekuacioni në atë zonë. Për shembull, pa e zgjidhur analitikisht ekuacionin funksional,
( ) ( ) ( ) vëmë re se funksioni logaritmik ( ) ( ) është
zgjidhje e tij. A eshte e vetmja zgjidhje? Natyra e përgjigjes varet nga fusha e
përcaktimit në të cilën e kërkojmë zgjidhjen.
Një rast i veçantë i ekuacioneve funksionale janë Ekuacionet Diferencë, ekuacionet që
krahasojnë ( ) ( ) për shembull, me ndonjë shprehje që përfshin dhe
( ).
Funksionet, bashkësia e përcaktimit të të cilëve është bashkësia e numrave të plotë,
formojnë vargje. Ndaj, një ekuacion funksional i përcaktuar në këtë bashkësi është në
thelb një problem rekurence i cili modelohet matematikisht si Ekuacion Rekurence.
Funksionet e një ndryshoreje që kënaqin një ekuacion diference sillen si zgjidhje në
Ekuacionet Diferenciale të Zakonshme (O.D.E), natyrisht funksionet e dy ose më
shumë variablave sillen si zgjidhje të Ekuacioneve Diferenciale të Pjesshme (P.D.E).
Në ndryshim me zhvillimin e shpejtë gjatë dekadave të fundit të teorisë së
oshilacionit në ekuacionet funksionale, ekuacionet diferencë me argument diskret dhe
sidomos ato diferencë me argument të vazhduar (të vazhdueshme në kohë për shkak
të pranisë në këto ekuacione të vonesave të vazhdueshme) numri i kriterve të
oshilacionit apo jooshilacionit është ende i papërfillshëm në krahasim me ekuacionet
diferenciale funksionale.
Një nga arsyet kryesore pse i trajtojmë ekuacionet funksionale është edhe fakti që, rast
i veçantë i tyre janë edhe ekuacionet e rekurencës të cilat kanë një numër të madh
aplikimesh. Ato përshkruajnë proçese të shtrira në shumë fusha si Biologji, Ekonomi,
Meteorologji etj.
§ 1. KRITERE OSHILACIONI TË EKUACIONEVE FUNKSIONALE TË
RENDIT TË LARTË
Teoria e oshilacionit ka lindur në vitin 1836 me punimet e Shturmit, i cili e
përdori atë si instrument bazë për futjen e konceptit të ekzistencës së vlerave vetjake
dhe funksioneve vetjakë si dhe për t'i përshkruar ato nga ana cilësore. Problemi i
oshilacionit të zgjidhjeve të ekuacioneve funksionale është studiuar nga shumë autorë
([32], [33], [34], [43], [44]), por tepër pak në krahasim me ekuacionet që rrjedhin prej
20
tyre. Në këtë kapitull do të prezantojmë disa kushte të mjaftueshme nën të cilat
ekuacioni funksional i rendit të lartë ku ,
( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )
ka vetëm zgjidhje oshilarore, në qoftë se një prej koefiçientëve ka shenjë të
kundërt nga të tjerët. Pra pyetjes, se për këtë rast, nën cilat kushte shtesë mbi
koefiçientët çdo zgjidhje e ekuacionit (E) është oshilatore, do t'i japim disa
përgjigje në trajtën e kushteve të mjaftueshme. Disa prej këtyre kushteve, të
shpërndara në shumë artikuj të studiuesve të fushës së oshilacionit, të para prej tyre
edhe në këndvështrime të ndryshme, do të vijnë natyrshëm si raste të veçanta të së
njëjtës teoremë, teoremës (2.1.2.) në këtë paragraf.
Konsiderojmë ekuacionin funksional të rendit të lartë 1,m me koefiçienta
funksione të variablit t të trajtës:
( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )
ku I është një nënbashkësi e pakufizuar e ,0R . Funksionet kQ janë të tillë
që
1.,0,1,...,=ku: mmkRIQk
Ndërsa, IIg : është një funksion i dhënë për të cilin kanë vend përcaktimet
vijuese
0,1,...=,=,= 10 mIttggtgttg mm
Me mg kuptojmë iteracionin e m -të të funksionit g , ndërsa me 1g funksion-in e
anasjelltë të tij. Kudo në këtë artikull do të vlejë supozimi i ekzistencës së funksionit
të anasjelltë dhe kanë vend kushtet e mëposhtme:
ttgtgtg ,1 dhe
tgtlim për It (2.1.2)
Përkufizim 2.1.1.[32] Me zgjidhje të ekuacionit (2.1.1) do të kuptojmë funksionin e
panjohur me vlera reale RIx : të tillë që: për
çdo R0t dhe që kënaq ekuacionin (2.1.1) mbi I .
Përkufizim 2.1.2.[32] Një zgjidhje x për ekuacionin (2.1.1) është quajtur oshilatore
në qoftë se ekziston një varg pikash 1nt , ku Itn , dhe është i tillë që
1,2,....=rep0dhe=lim 1 ntxtxt nnnn
Pra, thjesht në vazhdim të punimit me zgjidhje oshilatore x të ekuacionit do të
kuptojmë ekzistencën e një pafundësie zerosh. Në të kundërt zgjidhja është quajtur jo
oshilatore.
Përkufizim 2.1.3. [32] Në qoftë se për çdo varg pikash ,1
nt ku
=lim nn
t kemi
që 0>)( 1 nn txtx atëherë zgjidhja x e këtij ekuacioni eshtë jo oshilatore.
0,:sup 0 ItIssxot
21
Pra në këtë rast të fundit vihet re që zgjidhjet janë ose pozitive rigorozisht ose
negative rigorozisht.
Vihet re për më tepër nga trajta e ekuacionit (2.1.1) që ekzistenca ose jo e zgjidhjeve
oshilatore në të varet nga shenja e funksioneve kQ ku 10,1,2,...,= mk në I . Për
konkretizim marrim pohimin në vijim.
Pohim 2.1.1. [43] Në rastin kur 0>kQ ose 0<kQ për çdo 10,1,2,...,= mk dhe
për çdo It ekuacioni (2.1.1) përmban vetëm zgjidhje oshilatore.
Vërtetim. Supozojmë nga e kundërta që ekziston një zgjidhje jo oshilatore tx e
ekuacionit (2.1.1). Pra kemi që, për çdo varg pikash ,1
nt ku
=lim nn
t ,
0>)( 1 nn txtx . Për më tepër, supozojmë që kjo zgjidhje është rigorozisht pozitive
pra, ekziston I1t i tillë që 0>)(tx për .1tt Le të jetë 0
nt një term i vargut i
tillë që .10
ttn Kjo do të thotë që 0.>)(0
ntx Shumëzojmë me 0>10ntx në të dy
anët e ekuacionit (2.1.1) dhe marrim barazimin në vijim
...1000
11000
0 nnnnnn txtgxtQtxtxtQ
1ku0=100
1
01
mtxtgxtQ nn
m
nm . (2.1.3)
Pasi ndërtojmë vargun e ri të tillë që,
100
1
200
2
100
=)(,...,=)(,=
mnn
m
nnnn ttgttgttg , (2.1.4)
arrijmë në një kundërshtim sepse ana e majtë e ekuacionit (2.1.3) bëhet rigorozisht
pozitive. ■
Në të njëjtën mënyrë do të vërtetohej edhe rasti kur kjo zgjidhje është rigorozisht
negative. Në qoftë se një prej funksioneve kQ ka shenjë të kundërt me të tjerët pra,
ekziston ms 1,2,..., e tillë që 0<tQs dhe 0tQk për
smk 10,1,2,..., atëherë ekuacioni (2.1.1) mund t'i posedojë të dyja si
zgjidhjet oshilatore dhe ato jo oshilatore, si në rastin e shembujve të mëposhtëm.
Shembull 2.1.1. Le të jetë dhënë ekuacioni
0,ku0=4324 ttxtxtxtxtx .
Ekuacioni ka zgjidhje oshilatore tx 2cos= dhe tx 2sin= , ndërsa zgjidhjen 1=x e
ka zgjidhje jooshilatore.■
Shembull 2.1.2. Le të jetë dhënë ekuacioni
0,ku0=3253 ttxtxtxtx
Ekuacioni ka zgjidhje oshilatore tx 2cos= dhe jooshilatore zgjidhjen 1.= tx ■
22
Ateherë në rastin kur një prej funksioneve kQ ka shenjë të kundërt me të
tjerët konkretizuar në këta dy shembuj, lind pyetja se nën çfarë kushtesh shtesë mbi
koefiçientët ,tQk çdo zgjidhje e ekuacionit (2.1.1) do të jetë oshilatore.
Konsiderojmë në vazhdim që koefiçientët plotësojnë kushtin vijues
11,...,1,0,1,...,=ku0dhe0< mssktQtQ ks .
Për më tepër 0>1 tQs dhe 0>1 tQm për It . Pa humbur gjë supozojmë edhe
që 1= tQs . Atëherë ekuacioni (2.1) merr formën në vijim
tgxtQtgxtQtgx k
k
m
sk
k
k
s
k
s1
1=
1
0=
=
. (2.1.5)
Në vijim të studimit do të na duhet të përdorim edhe këto dy barazime
0==
tQ j
r
kj
dhe
r
kj
j tQ 1 ku kr < .
Teoremë 2.1. [32] Konsiderojmë mosbarazimet funksionale si më poshtë
tgxtQtgxtPtgx mss 11 , (2.1.6)
tgxtQtgxtPtgx mss 11 . (2.1.7)
ku 1m , ms 1,2,..., , RIQP :, dhe funksioni g kënaq kushtin (2.1.2).
Në qoftë se:
21
10= 2
1>liminf
smsm
j
jii
i
sm
t sm
smtgPtgQ
I ,
atëherë mosbarazimet (2.1.6) [(2.1.7)] nuk kanë zgjidhje pozitive [negative] për It, shumë të mëdha, pra nuk kanë zgjidhje rigorozisht pozitive [rigorozisht negative].
Vërtetim. Supozojmë që tx është një zgjidhje jo oshilatore të themi rigorozisht
pozitive e ekuacionit (2.1.6). Ky supozim do të përshkojë të gjithë studimin duke qenë
se edhe tx është zgjidhje jo oshilatore. Pra ekziston 0>1t i tillë që 0>tx për
1tIt . Nga kushti (2.1.2) meqë
tlim =tg , atëherë ekziston
12 tIt i tillë që
0>tgx i për 2
tIt ku 12 tt dhe 1.1,2,...,= mi Nga mosbarazimi (2.1.6)
kemi që, tgxtPtgx ss 1 për 2
tIt dhe si rrjedhojë marrim
tgxtgPtggxtgPtggxtgx ssss == 11
1
0
11 =j
jss tgPtgxtgxtgPtP
23
Me këtë arsyetim do të marrim për 11,...,; mssi
si
j
jsi tgPtgxtgx0
1
1
10
11 =)(si
j
jssi
j
jsi tgPtgxtggPtggxtgx . (2.1.8)
Duke përdorur mosbarazimin (2.1.8) tek mosbarazimi (2.1.6) për mi = kemi
sm
j
jsss tgPtgxtQtgxtPtgx1
1
1.
Në mosbarazimin e fundit duke pjesëtuar me 0>tgx s marrim mosbarazimin
tgx
tgxtPtgPtQ
s
ssm
j
j11
1
1
.
Me metodën e induksionit matematik tregohet lehtë që, për smi 0,1,2...= kemi
tgx
tgxtgPtgPtgQ
si
sii
sm
j
jii
11
1
1 .
Në të dyja anët e mosbarazimit shumojmë nga 0=i në smi =
tgx
tgxtgPsmtgPtgQ
si
sii
i
smsm
j
jii
i
sm
1
0=
1
10=
)(1)())(()( . (2.1.9)
Dimë nga analiza se është i vërtetë mosbarazimi në vijim
kk
i
ii
i
k
aak
11
00=
11
ku 0,ia
atëherë, duke e përdorur atë në studimin tonë marrim barazimet e njëpasnjëshme
=)()(1
1 1
1
1
0
1
0=
sm
si
sism
i
i
si
sii
i
sm
tgx
tgxtgP
tgx
tgxtgP
sm
=)(...)()(=1
11
1
111
10
sm
m
msm
s
s
s
s
tgx
tgxtgP
tgx
tgxtgP
tgx
tgxtgP
1
1
1
0
)(=
sm
m
ssm
i
i
tgx
tgxtgP .
24
Si rrjedhim nga mosbarazimi i mësipërm dhe ai (2.1.9) marrim mosbarazimin
sm
j
jii
i
sm
tgPtgQ1
10=
)(
1
1
0
1
)(11)(
smsm
i
i
m
s
tgPtgx
tgxsm (2.1.10)
Duke u rikthyer tek kushti i Teoremës (2.1.1) ka vend ky mosbarazim
1<=2
1>liminf
21
10=
Asm
smtgPtgQ
smsm
j
jii
i
sm
t
I.
Atëherë do të ekzistoj një konstante ,1AB dhe një pikë 2
3 tIt pra, 23 tt e
tillë që
3
1
10=
rep)(< t
sm
j
jii
i
sm
IttgPtgQBA
. (2.1.11)
Zgjedhim numrin më të parë natyror M që e bën të vërtetë mosbarazimin e
mëposhtëm
B
sm
A
BM
1>
, (2.1.12)
gjë që është e mundur sepse AB > pra, 1>A
B. Nga mosbarazimet (2.1.11) dhe
(2.1.12) rrjedh mosbarazimi
sm
j
jii
i
sm
tgPtgQsmsm
B 1
10=
)(1
1
1
1
1
0
1
1
smsm
i
i
m
s
tgPtgx
tgx.
Nga mosbarazimi i mësipërm kemi
1
0
1
11
smsm
i
i
m
s
sm
BtgP
tgx
tgx
B
A
sm
sm
Bsm
BB
B
smsm
=2
11=
11max
121
, (2.1.13)
ku 1<< BA .
25
Duke qenë se ka vend barazimi në vijim
0=1
11
1=1
1
1
sm
BB
sm
B
sm
BB
sm'
B
sm
,
atëherë maksimumi që kërkohet tek mosbarazimi (2.1.13) arrihet për 2
1=
sm
smB
. Pra, si rrjedhojë marrim këto mosbarazime të njëpasnjëshme
sm
i
ism tgPtgxA
Btgx
0
1
1
10
11 =sm
j
jssm
i
ism tgPtgxA
BtgPtgx
A
Btgx .
Duke përsëritur M -herë veprimet si tek mosbarazimi (2.1.13) marrim
sm
j
js
M
m tgPtgxA
Btgx
1
1
1 ,
ku M është e njëjtë si tek mosbarazimi (2.1.12). Duke zëvendësuar tek kushti
(2.1.6) mosbarazimin e mësipërm marrim mosbarazimet
sm
j
js
M
ss tgPtgxA
BtQtgxtPtgx
1
1
1 )(
sm
j
js
M
tgPtgxA
BtQ
1
1
.
Duke pjesëtuar në këtë mosbarazim me 0>tgx s kemi mosbarazimin
sm
j
j
M
tgPA
BtQ
1
1
1 .
Si rrjedhim për smi 0,1,2,..., marrim mosbarazimin
sm
j
ji
M
i tgPA
BtgQ
1
1
1 .
Duke mbledhur në të dyja anët nga 0=i deri tek smi = kemi rezultatin në vijim
sm
j
jii
i
smM
tgPtgQA
Bsm
1
10=
)(1 .
26
Nga (2.1.11) kemi për 3> tt që BA
Bsm
M
1 , gjë e cila kundërshton
mosbarazimin (2.1.12). Pra teoreema (2.1.1) u vërtetua për mosbarazimin (2.1.6). Në
të njëjtën mënyrë vërtetohet edhe për mosbarazimin (2.1.7).■
Rezultatet e kësaj teoreme i aplikojmë në ekuacionin vijues
msmtgxtQtgxtPtgx mss 1,2,...,,1rep= 11 . (2.1.14)
Teoremë 2.1.2. [32] Në qoftë se është dhënë ekuacioni funksional i trajtës (2.1.14)
ku RI:,QP , funksioni g kënaq kushtin (2.1.2) dhe ka vend mosbarazimi i
mëposhtëm
21
10= 2
1>liminf
smsm
j
jii
i
sm
t sm
smtgPtgQ
I,
atëherë ky ekuacion ka vetëm zgjidhje oshilatore.
Në lemën (2.1.1.) dhe teoremën e mësipërme (2.1.2.) në qoftë se marrim rastin kur
1=s dhe km = atëherë, përftojmë teoremat e mëposhtme.
Teoremë 2.1.3. [43] Në qoftë se është dhënë ekuacioni funksional i trajtës:
,:,,1rep= 1 RIQPktgxtQtxtPtgx k
funksioni g kënaq kushtin (2.1.2) dhe ka vend mosbarazimi i mëposhtëm
1
10=
1
1>liminf
kk
j
jii
i
k
t k
ktgPtgQ
I
atëherë ky ekuacion ka vetëm zgjidhje oshilatore.
Teoremë 2.1.4. [43] Në qoftë se është dhënë ekuacioni funksional i trajtës:
RIQPtgxtQtxtPtgx :,rep= 2
funksioni g kënaq kushtin (2.1.2) dhe ka vend mosbarazimi i mëposhtëm:
4
1=
11
1>liminf
11
tgPtQ
t I
atëherë ky ekuacion ka vetëm zgjidhje oshilatore.
Le t'i rikthehemi ekuacionit tonë fillestar (2.1.5) për të studiuar kushte të cilat janë të
mjaftueshme për oshilacionin e të gjitha zgjidhjeve.
Teoremë 2.1.5.[43] Le të jetë dhënë ekuacioni (2.1.5) në të cilin ka vend mosbarazimi
21
10= 2
1>liminf
smsm
j
jii
i
sm
t sm
smtgAtgB
I
27
ku
tQtgQtQtA s
ks
l
l
sk
k
s
1
2
1
0=
2
=
dhe
tQtgQtQtB m
sk
ksmk
sk
m
11
1=
=
atëherë ekuacioni (2.1.5) ka vetëm zgjidhje oshilatore.
Vërtetim. Supozojmë që ekuacioni (2.1.5) ka të paktën një zgjidhje jo oshilatore dhe le
të jetë 0>tx për 1tIt ku 01 t . Atëherë prej faktit që
tlim =tg rrjedh
ekzistenca e 12 tt i tillë që , 0>tgx i për 11,2,..., mi dhe 2
tIt .
Atëherë nga ekuacioni (2.1.5) kemi këto mosbarazime
12,...,1,=rep mssitgxtQtgx i
i
s . (2.1.15)
Nga ky mosbarazim rrjedh mosbarazimi i mëposhtëm
10,1,...,=rep2
1
1
sktgQtgxtgxks
l
l
s
sk (2.1.16)
sepse pasi zëvendësojmë tek mosbarazimi (2.1.15) për 1= si marrim
tggxtgx sksk = )(=( 1
1
1
1 tgxtgQtggxtgQ ksk
s
skssk
s
.
Pra, kemi mosbarazimin
tgxtgQtgx ksk
s
k 21
1
1(
.
Pas zëvendësimit në hapin e dytë marrim këtë rezultat
tgxtgQtgQtgx ksk
s
sk
s
k 21
11
.
Pas ks 1 hapash (sepse ky është numri i termave në ekuacionin (2.1.5) ndërmjet
tgx k dhe tgx s 1 marrim
...1
11 tgQtgQtgx sk
s
sk
s
k
ks
l
l
s
skskkssk
s tgQtgxtgxtgQ2
1
11)(2)()(
1 = .
Nga mosbarazimi (2.1.15) rrjedh mosbarazimi (2.1.16). Pra si rrjedhojë,
mssktgxtgQtgx msk
ksm
k 2,...,1,=rep1
1
, (2.1.17)
sepse pasi zëvendësojmë tek mosbarazimi (2.1.15) për )(1= ksmi marrim
28
=(= )(1
)(1 tggxtgQtggxtgx skksmsk
ksm
sksk
tgxtgQ msk
ksm
1
)(1=
.
Në ekuacionin (2.1.5) pas zëvendësimit të mosbarazimeve (2.1.16) dhe (2.1.17) në të
kemi relacionet vijuese
BAtgxtQtgxtQtgx k
k
sk
mk
k
k
ss ==
1=
1
0=
1
ks
l
l
sk
k
ss
ks
l
l
s
s
k
k
s
tgQtQtgxtgQtgxtQA2
1
0=
21
2
1
1
0=
1
=
)1(
2
1
1
1
ss
l
l
s
s
s tgQtgxtQ .
Meqë produkti i fundit merr vlerën 1, atëherë tAtgxA s 1 .
Ndërsa per B* marrim relacionet
tgxtQtgxtQtgxtQB m
m
k
k
sk
mk
k
sk
m1
1
1=1=
1
==
tgxtQtgQtQ m
m
sk
ksmk
sk
m1
11
1=
.
Pra ,nga vërtetësia e barazimit të fundit rrjedh që tBtgxB m 1 . Atëherë
marrim mosbarazimin në vijim
tBtgxtAtgxtgx mss 11 , (2.1.18)
ku RIBA :, , 1m , .1,2,...,ms Duke përdorur lemën (2.1.1) në këtë
mosbarazim marrim një kundërshtim me faktin që tx është një zgjidhje pozitive e
tij.■
Le të trajtojmë në vijim ekuacionin
tgxtQtgxtQtxtQtgx m
m
1
1
2
20 ...=
. (2.1.19)
Nga teorema (2.1.4) dhe teorema (2.1.5) rrjedhin dy teoremat e mëposhtme të cilat
gjenden në [32] [W.Golda, J.Werbowski, 1995].
Teoremë 2.1.6. [32] Le të jetë dhënë ekuacioni (2.1.19) ku ka vend mosbarazimi i
mëposhtëm
1
1
0
0=
1
1>liminf
mm
j
jii
i
m
t m
mtgQtgG
I (2.1.20)
ku
29
tQtgQtQtG m
k
kmk
k
m
1
1
2
2=
=
atëherë të gjitha zgjidhjet e ekuacionit (2.1.19) janë oshilatore.
Vërtetim. Kjo teoremë merret prej teoremës (2.5) për 1=s . Pra kushti (2.1.20) ku
tQtQtgQtQtA l
s
k
lk
k
001
1
2=0=
1
==
dhe
tGtQtgQtQtB m
k
kmk
k
m
== 1
1
2
2=
është i mjaftueshëm për oshilacionin e zgjidhjeve të ekuacionit (2.1.19).■
Teoremë 2.1.7. [32] Le të jetë dhënë mosbarazimi i mëposhtëm
4
1>liminf
1
1
0
2=
1
k
j
j
k
k
m
ttgQtQ
I, (2.1.21)
atëherë të gjitha zgjidhjet e ekuacionit (2.1.19) janë oshilatore.
Vërtetim. Supozojmë që ekuacioni (2.1.19) ka të paktën një zgjidhje jo oshilatore dhe
le të jetë 0>tx për 1tIt ku 0.1 t Si më parë supozojmë që 0>tgx i për
.11,2,..., mi Nga ekuacioni (2.1.19) kemi txtQtgx 0 dhe për
13,4,...,= mk me metodën e induksionit matematik marrim këtë mosbarazim vijues
1
2
0
2k
j
jk tgQtgxtgx . (2.1.22)
Për këtë mjafton të ndjekim hapat e mëtejshme. Për 3=n kemi:
tgxtgQtggxtgx 22
0
23 = .
Supozojmë të vërtetë për 1= kn ku 4>k . Atëherë ka vend mosbarazimi
2
2
00
2
2
0
21k
j
jk
j
jk tgQtgQtgxtgQtgxtgx .
Për kn = kemi barazimet në vijim
=)(=2
2
1
0
2
0
21
k
j
jkk tgQtgQtgxtggxtgx
1
2
0
21
3
0
2
0
2 ==k
j
jk
j
j tgQtgxtgQtgQtgx .
30
Duke e përdorur mosbarazimin (2.1.22) tek ekuacioni (2.1.19) kemi
txtQtgxtQtxtQtgx k
k
k
m
0
2=
1
0=
1
2
0
2=
12
k
j
j
k
k
m
tgQtQtgx .
Në teoremën (2.1.4) duke marrë
1
2
0
2=
1
=k
j
j
k
k
m
tgQtQtQ dhe tQtP 0= do
të marrim mosbarazimin
=)(liminf=liminf 0
1
2
0
2=
1
tgQtgQtQtgPtQk
j
j
k
k
m
tt
II
4
1>liminf=
1
1
0
2=
1
k
j
j
k
k
m
ttgQtQ
I.
Kemi përfunduar vërtetimin e kësaj teoreme.■
Kushtet (2.1.20) dhe (2.1.21) janë të pavarur nga njëri tjetri, në kuptimin që mund të
plotësohet kushti (2.1.20) por jo ai (2.1.21) dhe anasjelltas e megjithatë të gjitha
zgjidhjet e ekuacionit (2.1.19) do të jenë oshilatore. Pra këto kushte janë të
mjaftueshme por jo të nevojshme. Pavarësinë e tyre nga njëri tjetri po e tregojmë me
anë të dy shembujve të mëposhtëm.
Shembull 2.1.3. Le të jetë dhënë ekuacioni
Rttxttxttttxtx ku0=32151105 3
.
Kushti (2.1.20) nuk kënaqet sepse ekuacioni për ,0,1,2,3=i 2=m dhe
1= ttg
merr trajtën
32155=110 3 txttxtttxttx
ku
,2
1=
10
15=1,=
10
10=,
2
1=
10
5= 210
t
t
tttQ
t
ttQ
tttQ
,10
=10
=23
3
t
t
ttQ
3)2(
1=)(,
2)2(
1=)(,
1)2(
1=)( 3
0
2
00 t
tgQt
tgQt
tgQ .
Kushti (2.1.20) kënaqet nëse ka vend mosbarazimi i mëposhtëm
31
27
8=
12
2>liminf
12
0
2
1=0=
1
tgQtgG ji
j
i
it I
ku
102
2
2
1=)(=
2
322
ttttQtgQtQtG
10
1)(
2
3
2
2=)()()(=)(
2
3
2
22
ttttgQtgQtgQtgG .
Atëherë, pas zëvendësimit në kushtin (2.1.20) marrim këtë relacion
27
8<
40
7=
2140
1
8
1liminf
22
tt
tt
t I.
Ndërsa, kushti (2.21) kënaqet sepse ka vend mosbarazimi i mëposhtëm
=liminf 0
1
1=2=
3
tgQtQ jk
jk
kt
I
=)()()(liminf= 2
00302 tgQtgQtQtgQtQt
I
4
1>
21404
1liminf=
2
tt
t
t I.■
Shembull 2.1.4. Le të jetë dhënë ekuacioni
Rttxttxttttxtx ku0=36211105 3
Kushti (2.1.20) kënaqet sepse ekuacioni për ,0,1,2,3=i 2=m dhe 1= ttg
merr trajtën
36215=110 3 txttxtttxttx
,5
3=)(,
10
1=)(1,=)(,
2
1=)(
2
3210
ttQ
ttQtQ
ttQ
3)2(
1=)(,
2)2(
1=)(,
1)2(
1=)( 3
0
2
00 t
tgQt
tgQt
tgQ
5
3
10
2
10
1=)(=
2
322
ttttQtgQtQtG
5
1)3(
10
3
10
2=)()()(=)(
2
3
2
22
ttttgQtgQtgQtgG .
Atëherë ka vend mosbarazimi i mëposhtëm
32
5
3
100
21
214
1liminf
2ttt
ttt I
27
8>
200
61=
5
1)3(
100
32
324
1 2
ttt
tt.
Ndërsa kushti (2.1.21) nuk kënaqet sepse kanë vend relacionet në vijim
=liminf1
1
0
2=
3
k
j
j
k
kt
tgQtQI
4
1<
5
1=)()()(liminf= 2
00302 tgQtgQtQtgQtQt
I
.■
Megjithatë në të dy shembujt zgjidhjet janë vetëm oshilatore. Le të sjellim një kusht
tjetër të mjaftueshëm për oshilacionin e zgjidhjeve të ekuacionit (2.1.5) .
Teoremë 2.1.8. [43] Në qoftë se ekuacioni (2.1.5) plotëson kushtin vijues
1>limsup1
10=
1
MtgAtgBsm
j
jii
i
sm
t
I
(2.1.23)
}{1
1
11
1=
))(()((1=ku
sm
l
smlksmk
k
i
tgAtgBM .
Madhësitë A dhe B janë përcaktuar si në teoremën (2.1.5.) . Atëherë të gjitha
zgjidhjet e ekuacionit (2.1.5) janë oshilatore.
Vërtetim. Supozojmë që ekuacioni (2.1.5) ka të paktën një zgjidhje jo oshilatore dhe le
të jetë 0>tx për 1tIt ku 01 t . Atëherë si në teoremën (2.1.5) janë të vërteta
mosbarazimet (2.1.16) dhe (2.1.18), pra
10,1,...,=ku2
1
1
sktgQtgxtgxks
l
l
s
sk
dhe
tBtgxtAtgxtgx mss 11 .
Nga mosbarazimi i fundit për 10,1,..., smi dhe 2
tIt ku 12 tt vërtetohet
lehtë me induksion mosbarazimi
tgBtgxtgAtgxtgx iimiisis 11 . (2.1.24)
33
Në mosbarazimin e fundit shumëzojmë në të dyja anët e tij me 0>1
1
sm
ij
j tgA dhe
marrim mosbarazimin
tgAtgxtgAtgxtgA iissm
ij
jissm
ij
j 11
1
1
1
tgxtgAtgB imsm
ij
ji 11
1
. (2.1.25)
Shumojmë nga 1=i deri në 1= smi në të dyja anët e mosbarazimit të
mësipërm dhe kemi për anën e majtë këtë barazim
tgAtgAtgAtgxtgxtgA smsissm
ij
j
i
sm1321
1
11=
1
...=
1...... 1132 tgxtgAtgAtgx msms
ku
tQtgQtQtA s
ks
l
l
sk
k
s
1
2
1
0=
2
=
)()(=)( 1
1
2
1
1
1
0=
21 tgQtgQtgQtgA sm
s
ks
l
lsm
s
sm
k
k
ssm
,
dhe për anën e djathtë
tgAtgxtgA iissm
ij
j
i
sm1
1
11=
1
BAtgxtgAtgB imsm
ij
ji
i
sm
=)()( 11
11=
1
=)()(=1
1
1
1=
1
sm
ij
jiis
i
sm
tgAtgAtgxA
)(...)()(= 132 tgAtgAtgAtgxtgA sms
1)(...)(...)( 11312 tgxtgAtgAtgAtgxtgA msmsms
)(...)(= 12 tgAtgAtgAtgxA sms
)()(...)( 11321 tgAtgxtgAtgAtgAtgx smmsms .
Atëherë, pas shumimit dhe pas thjeshtimit të kufizave të barabarta në të dyja anët e
mosbarazimit (2.1.25) marrim mosbarazimin në vijim
34
)(...)( 121 tgAtgAtgAtgxtgx smsm
tgxtgAtgB imsm
ij
ji
i
sm1
1
11=
1
)(
tgxtgAtgBtgAtgxtgx imsm
j
ji
i
smsm
j
jsm 11
11=
11
1
1
. (2.1.26)
Duke përdorur përsëri mosbarazimin (2.18) kemi në vazhdim mosbarazimin
tAtgxtgx ss 1 .
Pra, për 3
tIt ku 23 tt dhe për 11,...,, mssk marrim
)(=)()(= 11 tgAtgxtgAtggxtggxtgx ssss
1
0
11 )(=)(l
lss tgAtgxtgAtAtgx
Duke vepruar në të njëjtën mënyrë hap pas hapi kemi relacionin vijues
sk
l
lssksk tgAtgxtggxtgx0
1 )()(= . (2.1.27)
Me ndihmën e mosbarazimit (2.1.27) përftojmë
)(= 22 tggxtgx smkksm
ksm
sml
lmsk
l
smlsms tgAtgxtggAtggx22
2
1
0
221 )(=))(( , (2.1.28)
1}1,...,,{=ku mssk .
Nga relacioni (2.24) për 11,2,..., smi dhe 10,1,..., smj kemi përftuar
tgxtgx ssijmijm )1(1 =
tgxtgBtgxtgA sijmsijmijmsijm 2211
.
Nga (2.1.28) marrim mosbarazimin
1 1m j i m j i s m j ix g t A g t x g t
jism
sml
lmsijm tgAtgxtgB222
2
11 )( . (2.1.29)
Duke përdorur relacionet (2.18) dhe (2.29) për 0=j tek relacioni (2.26) kemi
35
1
1 1 1
1
m sm j s m
j
x g t A g t x g t A t x g t B t
1
11=
1
)()(sm
ij
ji
i
sm
tgAtgB
ism
sml
lmsimimsim tgAtgxtgBtgxtgA222
2
111 )( .
Nga ky mosbarazim i fundit marrim mosbarazimin
1 1
1 1 1
1 0
( ) ( )m s m s
m m j s j
j j
x g t x g t A g t B t x g t A g t
tgxtgAtgAtgB imsimsm
ij
ji
i
sm1
1
12=
1
tgxtgAtgAtgB msmsm
j
j 121
2
ism
sml
lmsimsm
ij
ji
i
sm
tgAtgxtgBtgAtgB222
2
111
11=
1
)()()( .
Pra, kanë vend mosbarazimet
tBtgAtgxtgxsm
j
jmm1
1
11 )(
tgAtgAtgB smsm
j
j 21
2
)(
ism
sml
lsimsm
ij
ji
i
sm
tgAtgBtgAtgB222
2
11
11=
1
)()(
1
0
111
12=
1
)()()(sm
j
jsimsimsm
ij
ji
i
sm
tgAtgxtgxtgAtgAtgB ,
dhe
tgxtgx mm 11 M ,
ku
222
1
1
1=
11
10=
1
)()(()(sm
j
jisimi
i
smsm
j
jii
i
tgAtgBtgBtgAtgBM
36
1
0
11
1
1
2=
1
)(()(sm
j
jsimsm
ij
jsimi
i
sm
tgAtgxtgxtgAtgAtgB .
Nga ky mosbarazim i fundit marrim lehtësisht
1
10=
111 )()(
sm
j
jii
i
mm tgAtgBtgxtgx
222
1
1
1=
1
)()(sm
j
jisimi
i
sm
tgAtgBtgB
tgxtgAtgAtgB imsm
j
jsimi
i
sm
1
1
1
2=
1
)()( .
Duke përdorur këtë mosbarazim dhe mosbarazimin e mëposhtëm që rrjedh nga
(2.1.29) për 1=j marrim në vijim
tgxtgAtgx imsimim 11111
1222
2
111 )(ism
sml
lmsim tgAtgxtgB .
Pra,
tgxtgx mm 11
222
1
1
1=
11
10=
1
)()()()(sm
j
jisimi
i
smsm
j
jii
i
tgAtgBtgBtgAtgB
1
1
1
2=
1
)()(sm
j
jsimi
i
sm
tgAtgAtgB
122
2
11 )(ism
sml
lmsimimsim tgAtgxtgBtgxtgA ,
dhe
1
10=
111 )()(
sm
j
jii
i
mm tgAtgBtgxtgx
122
2
1
1
1
2=
1
)()()(ism
sml
lsm
j
jsimsimi
i
sm
tgAtgAtgAtgBtgB
222
1
1
1=
11 )()(
sm
j
jisimi
i
smm tgAtgBtgBtgx
37
tgxtgAtgAtgB im
k
kismsm
j
ji
i
sm1
1
0
11
12=
1
)()()(
.
Atëherë,
1
10=
111
sm
j
jii
i
mm tgAtgBtgxtgx
2 2 11
1
=2 1
( ) ( ) ( )m sm s
i m i s i j m s i
i j
B g t B g t A g t A g t
+
222
1
1
1=
11 )()(
sm
j
jisimi
i
smm tgAtgBtgBtgx
1 11
1 1
=3 1 0
( ) ( ) ( )m sm s
m i i j m s i k
i j k
x g t B g t A g t A g t
1
0
31
1
21 )()()(k
ksmsm
j
jm tgAtgAtgBtgx .
Si përfundim marrim mosbarazimin
1
10=
211 )()(
sm
j
jii
i
mm tgAtgBtgxtgx
)()()( 1222
12=
1
tgAtgAtgBtgB ismsm
j
jisimi
i
sm
222
1
1
1=
11 )()(
sm
j
jisimi
i
smm tgAtgBtgBtgx
tgxtgAtgAtgB im
k
kismsm
j
ji
i
sm1
1
0
11
13=
1
)()()(
. (2.1.30)
Në mënyrë të ngjashme kemi që,
1
10=
111 )()(
sm
j
jii
i
smmm tgAtgBtgxtgx
MtgAtgBtgBsm
j
jisimi
i
sm
...)()(222
1
1
1=
1
38
1
3
3
1
2
=
1
)()()()(=kusm
k
kism
j
jiii
smi
sm
tgAtgAtgBtgBM
1
2
12
1
121 )()(sm
k
ksmsm
j
jsmsmsm tgAtgAtgBtgB .
Duke pjesëtuar me 0>1 tgx m
në të dyja anët e mosbarazimit të fundit marrim një
kundërthënie të kushtit (2.1.23) të teoremës nën studim (2.1.8).■
Le të supozojmë se për ekuacionin (2.1.5) kushtet e teoremave (2.1.5) dhe (2.1.8) nuk
plotësohen. Atëherë do të tregojmë se kushti i teoremës në vijim i pavarur prej tyre
është i mjaftueshëm për oshilacionin e të gjitha zgjidhjeve të tij.
Teoremë 2.1.9. Supozojmë që
1
10=
sm
j
jii
i
sm
tgAtgB ku
2
2
1=
sm
sm
sm dhe
1
10=
1
limsupsm
j
jii
i
sm
t
tgAtgBI
1>11
1
11
1=
sm
l
smlksmk
k
i
tgAtgB2
sm
.
ku A dhe B janë përcaktuar si në teoremën (2.1.5). Atëherë ekuacioni (2.1.5) ka
vetëm zgjidhje oshilatore.
Vërtetim. Nga teorema (2.1.5) marrim mosbarazimet e mëposhtme nëse 0>tx për
2tIt ku 012 tt ,
10,1,2,...,=rep2
1
1
sktgQtgxtgxks
l
l
s
sk ,
mssktgxtgQtgx msk
ksm
k 2...,1,=rep1
1
.
Gjithashtu, nga teorema (2.1.8) marrim mosbarazimet e mëposhtme të vërteta për t
shumë të mëdha pra, .3
tIt
)()( 11 tgBtgxtgAtgxtgx iimiisis , (2.1.31)
dhe
tBtgxtAtgxtgAtgx mssm
j
jm 111
1
1 )(
39
1
11=
1
)(sm
ij
ji
i
sm
tgAtgB (2.1.32)
ism
sml
lmsimimsim tgAtgxtgBtgxtgA222
2
111 )( .
Si në mënyrën e vërtetimit të teoremës (2.1.8) nga mosbarazimi i fundit marrim
mosbarazimin vijues
1
10=
11
1
0
11 )()()(sm
j
jii
i
smm
sm
j
jsm tgAtgBtgxtgAtgxtgx
...)()()(222
1
1
1=
1 sm
j
jiismi
i
sm
tgAtgBtgB
1
3
3
1
2
=
1
)()()()(sm
k
kism
j
jiii
smi
sm
tgAtgAtgBtgB
1
2
12
1
121 )()()()(sm
k
ksmsm
j
jsmsmsm tgAtgAtgBtgB .
(2.1.33)
Në mosbarazimin (2.1.31) shumëzojmë me
sm
ij
j tgA1
)( dhe më pas mbledhim nga
0=i deri në smi = ,
tgxtgA issm
ij
j
1
)(
)()()( 11
1
tgBtgxtgAtgxtgA iimiissm
ij
j
sm
ij
jis
i
sm
tgAtgxA10=
)(=
BtgAtgBtgxtgAtgxsm
ij
jiim
i
smsm
ij
jis
i
sm
=)()(1
1
0=
1
0=
.
Duke zbërthyer mosbarazimin e fundit kemi mosbarazimin vijues
)(...)()(= 2 tgAtgAtgAtgxA sms
)()(...)(...)( 121 tgAtgxtgAtgAtgx smmsms
)(...)(=)( 1 tgAtgAtAtgxBtgx smsm
40
)()(...)(...)( 1 tgAtgxtgAtgAtgx smmsms
sm
ij
jiim
i
sm
tgAtgBtgx1
1
0=
)()( .
Pas eleminimit të kufizave të njëjta në të dyja anët e këtij mosbarazimi kemi
mosbarazimin
sm
ij
jiim
i
smsm
ij
jsm tgAtgBtgxtgAtgxtgx1
1
0=0
1 )()()()( .
Shumëzojmë tek kjo e fundit me 0.>)(1 tgA sm
sm
j
jsmsm tgAtgxtgxtgA0
11 )()()(
1
1
1
0=
)()(sm
ij
jiim
i
sm
tgAtgBtgx .
Atëherë, ka vend mosbarazimi
1
1
1
0=
1 )()()()(sm
ij
jiim
i
smmsm tgAtgBtgxtgxtgA . (2.1.34)
Nga mosbarazimi (2.1.31) marrim mosbarazimin më poshtë
Duke përsëritur 1i herë mosbarazimin më sipër marrim rezultatin e mëposhtëm
i
j
jsis tgAtgxtgx1
))(())(())(( (2.1.35)
sepse
tgxtgAtggxtgx isiisis 2111 )()(=
tgxtgAtgAtggxtgx isiiisis 211 )()((=
i
ij
jisis tgAtgxtgx1
2 )(
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
j
jsi
iij
jiisis tgAtgxtgAtgxtgx1)1(
)(=)( .
Nga mosbarazimi (2.1.35) marrim mosbarazimin vijues
0,1,2...=rep)(1 itgAtgxtgx iisis
41
=)()(=1
1111
i
j
smjsmssmisim tggAtggxtggxtgx
ism
sm
jmi
j
jsmm tgAtgxtgAtgx1
2
1
1
11 )(=)(= . (2.1.36)
Pas zëvendësimit të mosbarazimit (2.1.36) tek mosbarazimi (2.1.34) kemi përftuar
ism
sml
lmsm
ij
ji
i
smmsm tgAtgxtgAtgBtgxtgA
1
2
11
10=
1 )()()()()(
=)()(= 11
10=
tgxtgAtgB mism
ij
ji
i
sm
tgxtgxtgAtgB mmsm
j
jii
i
sm11
1
10=
)()(=
. (2.1.37)
Atëherë zgjidhja rigorozisht pozitive tx e ekuacionit (2.1.5) kënaq ekuacionin e
mëposhtëm
)(11111 tggxtggxtggA msmmsmmssm .
Pra, marrim
)()()( 1 tgxtgxtA ss (2.1.38)
Nga mosbarazimi (2.1.38) kemi për sm = që .)( 1 tgxtgxtgA ss
Shumëzojmë tek mosbarazimi (2.1.38) me .)(tgA
tgxtgxtgAtgAtgxtgxtgAtA ss
j
jss 121
0
11 )(=
.
Duke e përsëritur këtë veprim sm herë të tjera kemi
tgxtgAtgx msmsm
j
js 121
0
1 )(
.
Në mosbarazimin (2.1.30) përdorim mosbarazimin e mësipërm
1
10=
11121 )()(
sm
j
jii
i
smmmsmm tgAtgBtgxtgxtgx
...)()()(222
1
1
1=
1 sm
j
jiismi
i
sm
tgAtgBtgB
42
1
3
3
1
2
=
1
)()()()(sm
k
kism
j
jiii
smi
sm
tgAtgAtgBtgB
1
2
12
1
121 )()()()(sm
k
ksmsm
j
jsmsmsm tgAtgAtgBtgB
.
Duke pjesëtuar me 0>1 tgx m kemi që
1
10=
12 )()(1
sm
j
jii
i
smsm tgAtgB
1
1
11
1=
)()(1sm
j
smlksmk
k
i
tgAtgB .
Mosbarazimi i fundit kundërshton kushtin e teoremës (2.1.9) ndaj, meqë u nisëm nga
një supozim për ekzistencën e një zgjidhjeje jo oshilatore rezulton që të gjitha
zgjidhjet e ekuacionit (2.1.5) të jenë oshilatore.■
§ 2. KUSHTE OSHILACIONI PËR NJË TRAJTË MË TË PËRGJITHSHME
TË EKUACIONIT FUNKSIONAL TË RENDIT TË LARTË
Le të konsiderojmë një ekuacion funksional të ri i cili e ka ekuacionin funksional të
rendit të dytë si rast të veçantë për .
( ( )) ( ) ( ) ∑ ( ) . ( )/
( )
ku ( ) ( ) është një bashkësi e
pakufizuar ku është një numër natyror. Përcakojmë funksionin , njësoj si më
sipër në studim
( )
( )
( ) ( ) . ( )/
Le të shënojmë
( ( ))
( )
( )
( )
Në vitin 2001 , Zhang.B.G dhe Choi.S.K. (shikoni [83]) paraqitën disa kritere si në
vijim.
Teoremë 2.2.1. [83] Në qoftë se është i vërtetë një nga mosbarazimet e mëposhtëme
∑ .
/
43
ose
∑ [
( )(
( ))
]
atëherë të gjithë zgjidhjet e ekuacionit (2.2.1) janë oshilatore.
Vërtetim .Le të supozojmë nga e kundërta që ekziston një zgjidhje rigorozisht pozitive
( ) e ekuacionit (2.2.1). Duke pjesëtuar të dyja anët e këtij
ekuacioni me ( ) marrim barazimin në vijim
( ( ))
( )
( ) ( )
( ) ∑ ( )
. ( )/
( )
Nga një veti e njohur mbi inferiorin aplikuar mbi këtë barazim marrim mosbarazimin
( ( ))
( )
( ) ( )
( )
∑ ( )
. ( )/
( )
Pra,
∑
Ndryshe mosbarazimin e mësipërm mund ta shkruajmë
∑ .
/
∑ ( )
Tregohet lehtë që ( ) e arrijnë maksimumin e tyre në pikën
( ( ))
(
( ))
Atëherë kemi arritur në një absurditet sepse
( )
( )(
( ))
Teorema u vërtetua. ■
Pra kemi treguar një kriter të ri oshilacioni për ekuacionin (2.39) .
Teoremë 2.2.2. [83] Në qoftë se
∑ ( )
∏ . ( )/
( )
44
atëherë çdo zgjidhje e ekuacionit (2.2.1) është oshilatore.
Teoremë 2.2.3 [83] Në qoftë se ekziston një numër i tillë që
∑ ( )
∏ . ( )/
ku
( ) ( )
∑ ( ) ∏ (
( ))
atëherë çdo zgjidhje e ekuacionit (2.2.1) është oshilatore.
Teoremë 2.2.4. [83] Në qoftë se është e vërtetë që
∑ ( )
∏ . ( )/
ku është rrënja më e madhe pozitive e ekuacionit
(
)
( )
ku
∑ ( )
∏ . ( )/
atëherë çdo zgjidhje e ekuacionit (2.2.1) është oshilatore.
Vëmë re se për ekuacioni ynë (2.2.1) është ekuacioni nën studim (1.2.1), pra
ekuacioni
( ( )) ( ) ( ) ∑ ( ) . ( )/
Meqë nga teorema (2.2.2.) kemi që ekuacioni (1.2.1) është oshilator për
,
problemi i oshilacionit ngelet i hapur për
.
Ekuacioni (2.2.2), i cili për merr trajtën si vijon
( )
ka dy rrënjë nga të cilat më e madhja është rrënja
√
45
Si rrjedhojë e këtij konkluzioni marrim teoremën e mëposhtme.
Teoremë 2.2.[83] Në qoftë se është e vërtetë që
∑ ( )
∏ . ( )/
√
atëherë çdo zgjidhje e ekuacionit (2.19) është oshilatore.
Teoremë 2.2.5. [83] Në qoftë se ekziston një numër i tillë që
< ( ( )) ∑ ( )
∏ . ( )/
∑ ( ( ))
∏ . ( )/
=
atëherë çdo zgjidhje e ekuacionit (2.2.1) është oshilatore.
Në këtë kapitull u fokusuam në ekzistencën e zgjidhjeve oshilatore në ekuacionet
funksionale të rendit të lartë pra, në ato zgjidhje që tentojnë në pambarim dhe që kanë
një pafundësi zerosh. Në rezultatet e këtij kapitulli jemi mbështetur kryesisht në
literaturën e huaj, atë klasike dhe atë të viteve të fundit. Kriteret e marra (përmirësim i
kritereve ekzistuese) ndërtohen mbi kushtet që duhet të plotësojnë koefiçientët
funksionalë të ekuacioneve funksionale të rendit të lartë nën studim. Këta koefiçientë
ndikojnë në natyrën oshiluese ose jooshiluese të këtyre ekuacioneve. Disa nga kriteret
që morëm në këtë kapitull janë ato mbi të cilat do të operojmë në kapitullin
pasaardhës.
46
KAPITULLI III
EKUACIONET FUNKSIONALE TË RENDIT TË DYTË
Në këtë kapitull do të fokusohemi në ekuacionet funksionale të rendit të dytë, të
trajtës
tgxtQtxtPtgx 2= . (L)
Në paragrafin e parë të këtij kapitulli jepen disa rezultate bazë në teorinë e
oshilacionit për ekuacionet funksionale të rendit të dytë, të cilat kryesisht janë
kontribut i disa studiuesve Golda(Nowakowska).W, Werbowski.J ([31], [32], [33],
[34]), Shen.J.H, Stavroulakis.I.P ([77], [78]) dhe Zhang.B.G, Choi.S.K. ([83]).
Kontributi ynë në këtë kapitull qëndron në kriterin (6*), i cili është një përmirërësim i
kushteve të marra nga Golda dhe Werbowski. Në paragrafin e dytë të këtij kapitulli
kemi përftuar dy kritere oshilacioni të paraqitura në dy teorema. Këto dy teorema
gjenden edhe në punimet e Golda dhe Werbowski tek [31] por, në punimin tonë
vërtetimet e tyre janë parë si rrjedhime të teoremës (2.1.8) të kapitullit të dytë. Kjo
mënyrë vërtetimi jo vetëm që shmang artificat e shumta që gjenden në këto vërtetime
(literatura ekzistuese) por na ndihmon dhe për përmirësimin e kushteve të oshilacionit
për ekuacionet funksionale të rendit të dytë, duke marre disa kushte të reja të cilat do
t‟i paraqesim në vazhdim në paragrafin e dytë të këtij kapitulli. Në mbyllje të këtij
kapitulli paraqesim disa kritere jooshilacioni.
§ 1. DISA KUSHTE TË MJAFTUESHME PËR OSHILACIONIN E
ZGJIDHJEVE TË EKUACIONIT FUNKSIONAL TË RENDIT TË DYTË
Konsiderojmë ekuacionin linear funksional të rendit të dytë të formës:
tgxtQtxtPtgx 2= (3.1.1)
ku , : 0,P Q I R
dhe :g I I janë funksione me vlera reale. Supozojmë
0 2= , =g t t g t g g t
dhe për më tepër që g t t dhe
tg
tlim për t I
. Me simbolin x, do të kuptojmë një funksion të panjohur me vlera reale dhe me g2
iteracionin e dytë të funksionit g. Në këtë paragraf do të prezantojmë disa kushte të
mjaftueshme në rendin përmirësues nën të cilat ky ekuacion ka vetëm zgjidhje
oshilatore nën kushtin
1
0 = liminf4
m Q t P g tt I
.
Me zgjidhje të ekuacionit (3.1.1) do të kuptojmë funksionin e panjohur me vlera reale
:x I R të tillë që: për çdo 0
t R
dhe që kënaq
ekuacionin (3.1.1) mbi I . Një zgjidhje x për ekuacionin (3.1.1) është quajtur
oshilatore në qoftë se ekziston një varg pikash 1n
t
ku n
t I i tillë që
1lim = dhe 0 = 1, 2,per ....
n n nn
t x t x t n
Në të kundërt zgjidhja është quajtur jo
oshilatore.
Le të bëjmë një prezantim të shkurtër pa hyrë në detaje për shkak të natyrës së
studimit në kriteret më klasike të teorisë së oshilacionit për ekuacionet funksionale të
rendit të dytë. Këto kritere të mjaftueshme oshilacioni janë pa dyshim kontribut i dy
0,:sup 0 ItIssxot
47
studiuesve të njohur (të cilëve i referohemi shpesh në kapitullin e dytë dhe të tretë)
Golda (Nowakowska).W dhe Werbowski.J.
Në vitin 1994 Golda (Nowakowska) dhe Werbowski ([31]) treguan që ky
ekuacion është oshilativ në qoftë se dy koefiçientët funksionalë P(t) dhe Q(t)
plotësojnë këto kushte në lidhje me njëra-tjetrën.
1 4
1>liminf= tgPtQm
t I
2 1>limsup= tgPtQMt I
3 1>)()(limsup 2
0
1
0=
tgPtgQtgPtQ j
i
j
j
i
n
t I
ku 0n (jo për çdo n , mjafton të plotësohet vetëm për një të tillë).
Madje, ndër këto kushte të mjaftueshme të pavarura nga njëra tjetra kushti i parë nuk
ka përmirësim të mëtejshëm në kuptimin që si kufi i poshtëm nuk mund të merret
ndonjë numër tjetër më i vogël se 4
1, [Kujtojmë që po këta autorë e kanë treguar këtë
me anë të një shembulli, shikoni [31]].
Përdorim më tej në studimin tonë këto barazime
qtQptPrtx
tgx
ttt=liminf=liminf=liminf
III .
Kriteri 1 dhe barazimet e mësipërme i përdorim për teoremën në vijim.
Teoremë 3.1.1.[31] Në qoftë se në ekuacionin (3.1.1) kemi të vërtetë mosbarazimin
4
1>pq ku p dhe q janë të përcaktuara si më sipër atëherë çdo zgjidhje e tij është
oshilatore.
Vërtetim. Le të supozojmë që ekuacioni (3.1.1) ka të paktën një zgjidhje jo oshilatore
dhe le të jetë 0>tx për 1tIt ku 01 t . Duke pjesëtuar me 0>tx në të dyja
anët e tij kemi
tx
tgxtQtP
tx
tgx 2
=
,
ndaj marrim relacionin
tx
tgx
tgx
tgxqp
tx
tgxqpr
tt
22
liminf=liminfII
.
48
Pra, 2qrpr . Ndërtojmë funksionin f të tillë që, .= 2qrrrf Maksimumin ky
funksion e arrin në pikënq
r2
1= . Tregohet lehtë që ky funksion vlerën maksimale e
ka, max q
rf4
1= . Gjë që na çon në përfundimin që p
q
4
1 pra pq
4
1.
Marrim një absurditet (kundërshtohet kushti i teoremës nën studim).■
Në qoftë se tgPtQt lim do të ekzistonte atëherë do të kemi që
MtgPtQmtgPtQtgPtQttt
=limsup==liminf=lim
dhe kushti 4
1>= Mm do të ishte i mjaftueshëm për oshilacionin e ekuacionit
(3.1.1).
Në qoftë se tgPtQt lim nuk do të ekzistonte atëherë ndërmjet kushteve 1 dhe
2 ka një hendek (ndërmjet 4
1 dhe 1) të cilin kushti 3 përpiqet ta mbush. Pra,
me fjalë të tjera ndërsa kufiri i poshtëm 4
1 nuk mund të zvogëlohet më, a mund të
thuhet e njëjta gjë për kufirin e sipërm, mund të bëhet ai më i vogël se 1 , që
ekuacioni (3.1.1) t'i ketë të gjitha zgjidhjet oshilatore me kushtin që 4
10 m .
Teoremat vijuese njëra pas tjetrës ([83]) do ta përmirësojnë gjithnjë e më shumë
kushtin .2
Teoremë 3.1.2. [83] Në qoftë se 4
10 m dhe
m
mM
1
21> 4 atëherë të gjitha
zgjidhjet e ekuacionit (3.1.1) janë oshilatore.
Vërtetim. Për 0=m është e vërtetë që të gjitha zgjidhjet e ekuacionit (3.1.1) janë
oshilatore sepse merret kushti 2 . Pra teorema do të vërtetohet për .4
1<0 m
Meqë t
liminf mtgPtQ = atëherë .mtgPtQ Si rrjedhojë do të ekzistonte
0> ku m0, i tillë që mtgPtQ > për 2tt . Meqë,
4
1<<0 mm atëherë duke zëvendësuar në kushtin e teoremës (3.1.2) do të kemi
të vërtetë që
)(11>ose
)(1
)2(1>
m
mM
m
mM
.
Meqë 0=limk
km
atëherë ekziston Nn e tillë që, ka vend mosbarazimi vijues
49
k
k
mmmm
mmM )(...)(1)(1=
)(1
])[1(1>
1
.
Pra, marrim në vijim mosbarazimin
1>)(...)()(1)( 2 kmmmmM . (3.1.1)
Nëse i rikthehemi kushtit 3 i cili zbërthehet si më poshtë për 0,n numër i
plotë, duke kujtuar që ky kusht nuk është i nevojshëm të plotësohet për çdo 0n
por për të paktën një numër të tillë
)()(limsup 2
0
1
0=
tgPtgQtgPtQ ji
j
j
i
n
t I
tgPtgQMtgPtgQM ji
j
j
i
n22
0
1
0=
)(=)()(
tgPtgQtgQtgPtgQ nn 21232 )(...)(...)(1
1>)(...)()(1)( 2 nmmmmM
Pra teorema u vërtetua.■
Meqë plotësimi i kushtit 3 mjafton për oshilacionin e të gjitha zgjidhjeve atëherë
kushti i ri 4 është një përmirësim i kushtit të mjaftueshëm .2 A mund të
përmisohet më tej? Përgjigja pozitive e cila gjendet përsëri tek [83] shprehet nga
teorema vijuese, vërtetimin e së cilës do e shohim pas vërtetimit të kësaj leme
ndihmëse. Së pari përcaktojmë funksionet ndihmëse duke mbetur në kushtin
.4
10 m
tgPtgx
tgxtw
21 = dhe
tQtgx
tgxtw
2
2 =
.
Lemë 3.1.1. [83] Supozojmë që ekuacioni (3.1.1) ka një zgjidhje rigorozisht pozitive
tx , atëherë për 1,2=i do të kemi
2
411limsup
mtwi
t
. (3.1.2)
Vërtetim. Së pari le të tregojmë që është i vërtetë mosbarazimi
t
limsup 2
4111
mtw
.
1rep
)(1
)(1>
2
nkm
mmM
k
50
Dimë nga ekuacioni (3.1) që txtPtgx . Meqë
=lim tgt
atëherë ka vend
mosbarazimi
)()(= 2 tgxtgPtgxtggx . (3.1.3)
Atëherë meqë nga mosbarazimi (3.1.3) kemi
1limsup=limsup21
tgPtgx
tgxtw
tt
mosbarazimi ynë është i vërtetë për 0.=m Ngelet rasti kur 4
1<0 m .
Meqë t
liminf ,= mtgPtQ atëherë nga kuptimi i inferiorit do të ekzistonte 0>
dhe 01 t i tillë që m0, ku mtgPtQ për 1tt dhe si rrjedhojë
marrim
tgPdtgx
tgxdtgP
tgx
tgxtw 1
1
2
121 =ose1==
.
Në ekuacionin (3.1.1) pjesëtojmë të dyja anët me .tgx
tQtgPdtgx
txtP
tgx
tgxtQ
tgx
txtP 1
1
2
==1
.
Tek ky mosbarazim i fundit pas zëvendësimit mtgPtQ > do të marrim
mosbarazimet
1
1
1
1 1<pra>1 dmtgx
txtPmd
tgx
txtP
.
Pra, kemi mosbarazimin në vijim
1<==1< 2
1
11
11 dd
mddmtw
.
Në mënyrë iterative kemi për 1,2,...=n
1<==1< 1
1
1
n
n
nn d
d
mddmtw
(3.1.4)
Le të studiojmë tani monotoninë e këtij vargu të krijuar, ku 1<0 nd
22
1 == nn
n
nnnn dmdSgn
d
dmdSgnddSgn
.
51
Pa vështirësi tregohet që për
2
411,
2
411 mmdn kemi të
vërtetë mosbarazimin 0.>2
nn dmd Ky përfundim do të thotë që vargu është
monoton rritës dhe si i tillë duke qenë edhe i kufizuar nga sipër është konvergjent, të
themi tek d -ja. Atëherë është e qartë nga veprimet e mësipërme që
2
411=
md . Pra
2
411=limsup 1
mdtw
t
. Meqë m0, kur
tenton t'i afrohet zeros marrim mosbarazimin (3.1.2) për 1=i . Në të njëjtën
mënyrë vërtetohet mosbarazimi (3.1.2) për 2=i . Nga ekuacioni (3.1.1) kemi
mosbarazimin
tgxtQtgx 2 ,
atëherë mosbarazimi (3.1.2) për 0=m vërtetohet sepse ka vend relacioni i
mëposhtëm
1== 1
2
2 dtQtgx
tgxtw . (3.1.5)
Ekuacioni (3.1.1) merr trajtën e mëposhtme
))(()()()(=)(= 22 tggxtgQtgxtgPtggxtgx ,
ndaj duke pjesëtuar me tgx 2 në të dyja anët e barazimit të fundit marrim këtë
barazim
tgx
tgxtgQ
tgx
tgxtgP
2
3
2
))(()(
)()(=1
Nga (3.1.5) kemi
tgx
tgxtgQdm
tgx
tgxtgQdtQtgP
2
31
12
31
1 >)(
)(=1
.
Pra, përftojmë
1<==1<=)(=)( 2
1
11
112
3
2 dd
mddmdtgQ
tgx
tgxtgw
.
Si në vërtetimin e pjesës së parë të lemës kemi që për 1,2,...=n
12 =)(
n
n
n dd
mdtgw
.
Prej faktit që
=lim tgt
marrim relacionin
52
2
411=limsup=limsup 22
mdtgwtw
tt .
Meqë m0, kur tenton t'i afrohet zeros marrim mosbarazimin (3.1.2) për
2=i .■
Teoremë 3.1.3. [83] Le të jetë 4
10 m dhe për ndonjë 0n kemi kushtin vijues
1>limsup 2
0
1
0=
tgPtgQmtgPtQm j
i
j
jin
it
(5*)
ku
1
2
411=
mm .Atëherë të gjitha zgjidhjet e ekuacionit (3.1.1) janë oshilatore.
Vërtetim. Supozojmë që ekuacioni (3.1.1) ka të paktën një zgjidhje jo oshilatore tx
rigorozisht pozitive. Nga lema (3.1.1) ekziston 0> dhe 01 t që do të thotë se
për 1tt kemi të vërtetë mosbarazimin
2
411=limsupku 12
mmtwtgP
tgx
tgxm
t.
Meqë
=lim tgt
atëherë ka vend mosbarazimi i mëposhtëm
m
txtPtgxtP
tgx
txmtP
tgx
txm >>
.
Atëherë ka vend relacioni
txtPmtxtPmtgx =)(> 1 (3.1.6)
ku
1
1
2
411)(=
mmm
.
Në të njëjtën mënyrë si më sipër marrim këtë mosbarazim
)(> 2 tgxtQmtgx . (3.1.7)
Me metodën e induksionit matematik tek mosbarazimi (3.1.6) kemi për
=)()(>)()(>2 txtgPtPmmtgxtgPmtgx
53
1
0
2
=j
j tgPtxm
.
Për 1= in supozojmë të vërtetë mosbarazimin në vijim
2
0
11 >
i
j
ji
i tgPtxmtgx
.
Për in = do të kemi akoma që
=)()(>)(=2
0
11
i
j
ji
ii tggPtgxmtggxtgx
=)()(
=)()(1
0
12
0
11
i
j
jii
j
ji
tgPtP
tgxmtgPtgxm
1
0
1
0
1
)(>)()(
=i
j
jii
j
ji
tgPtxmtgPtxtP
txtgxm . (3.1.8)
Në mosbarazimin e fundit kemi shfrytëzuar mosbarazimin (3.1.6) pra, faktin që
mtxtP
tgx>
)(
. Nga ekuacioni (3.1.1) marrim lehtësisht barazimin
tgxtgQtgxtgPtgx 32 = .
Me induksion tregohet lehtë që për 2,3,...=i kemi
tgxtgQtgxtgPtgx iiiii 21 = . (3.1.9)
Duke përdorur barazimin (3.1.9) për 2=i dhe për 3=i si më sipër marrim për
0n
)()()()(= 22
0=
2 tgxtgPtgxtgPtgx ii
i
n
1
0
14
0
1 )()(n
j
jni
j
j tgQtgxtgQ
.
Në këtë të fundit duke zëvendesuar në relacionin (3.1.7) dhe më pas në atë (3.1.8)
kemi
))(()()()( 22
0=
22 tggxtgPtgxtQmtgPtgx ii
i
n
54
1
0
14
0
1 )()(n
j
jni
j
j tgQtgxtgQ
i
i
i
n
mtgPtgxtgxtgPtQmtgx )(2
0=
222
1
0
14
0
11
0
2 )()()))(((n
j
jni
j
ji
j
j tgQtgxtgQtggP
.
Meqë 0)(1
0
14
n
j
jn tgQtgx atëherë ka vend mosbarazimi i mëposhtëm
)()( 22 tgxtgPtQmtgx
i
j
ji
j
ji
i
i
n
tgQtgPmtgPtgx0
11
0
22
0=
2 )()(
,
Pra,
tgPtgQmtgxtgxtgPtQmtgx ji
j
ji
i
n2
0
1
0=
222
.
Duke pjesëtuar me tgx 2 në të dyja anët dhe duke kaluar në limit kur t
marrim në vijim mosbarazimin
tgPtgQmtgPtQm j
i
j
jin
it
2
0
1
0=
limsup1
ku
11
2
411=dhe
2
411
mm
mm
Meqë për 0 kemi mm atëherë kemi arritur në një kundërshtim të kushtit
të teoremës. Pra supozimi nga u nisëm bie.■
Për dy teoremat vijuese (Koçi.E [44], [50]) kemi përdorur të njëjtën teknikë ndërtimi
të kritereve oshiluese si në (Shen, Stavroulakis, [83]), por vërtetimet e tyre i
përmbahen të njëjtës linjë arsyetimi që po përdorim në këtë punim.
Teoremë 3.1.4. Në qoftë se 4
10 m dhe
2
2
411>
mM atëherë të gjitha
zgjidhjet e ekuacionit (3.1.1) janë oshilatore.
Vërtetim. Për 0=m kemi 1>M (rezultat i njohur).
55
Për 4
1<0 m vlerësojmë anën e majtë të kushtit të dhënë nga teorema (3.1.3). Pra
si në teoremën (3.1.3) kemi:
MmtgPtgQmtgPtQm j
i
j
jin
it
2
0
1
0=
limsup
tgPtgQtgPtgQm
tgPtgQtgPtgQmtgPtgQnnn
t212
3222
...
...limsup
=... 1322 nn
MmMmMmMMm
=...1=2
MmMmMmMmMn
Mm
Mm
MmM
n
1
1=
1
(3.1.10)
ku 22
411=<1
1
mm dhe 0n .
Rasti I.
Në qoftë se për ekuacionin funksional nën studim ka vend barazimi në vijim
0=Mm atëherë nga ky barazim kemi që, 0.=M Por, meqë 0=<0 Mm është
një absurditet atëherë ky rast nuk është i mundur. Pra, mbetet që 0>Mm .
Rasti II.
1= AMm . Nëse n do të marrim që
,1
11
MmMm
MmM
n
pra sido
që të jetë M -ja zgjidhjet e ekuacionit do të jenë oshilatore. Meqë ky rast nuk sjell
ndonjë përmirësim të kushteve të oshilacionit të marra nga teoremat paraardhëse
ngelet studimi vetëm i rastit të mëposhtëm.
Rasti III.
1.<<0 Mm Kalojmë në limit në anën e djathtë të mosbarazimit (3.1.10) kur
n . Meqë kushti i kësaj teoreme shprehet me termat e teoremës paraardhëse në
trajtën 2
2 1=>
mmM
kemi rezultatin vijues
56
11
1=
1
11=
1
11
1
>1
2
2
2
mmm
m
mm
mm
mMm
Mm
M
sepse 2.<1 m Pra, përfundimisht marrim një përfundim të njohur
1>limsup 2
0
1
0=
tgPtgQmtgPtQm j
i
j
jin
it
që është kushti i teoremës (3.1.3) pra zgjidhjet e ekuacionit (3.1.1) janë oshilatore.■
Në të njëjtën mënyrë vërtetohet edhe teorema e mëposhtme.
Teoremë 3.1.5. [44] Në qoftë se kanë vend kushtet 4
10 m dhe
√
atëherë të gjitha zgjidhjet e ekuacionit (3.1.1) janë oshilatore.
Le të shohim se si konkretizohet me një shembull teorema (3.1.4) .
Shembull 3.1.1. Jepet ekuacioni funksional
ttttxttxttx 22222 sin2(sin2sin2cos4
1=sin2
Vihet re që kanë kuptim zëvendësimet
0>kut,cos4
1=,1=,sin2= 22 tQtPtttg
Atëherë marrim dy barazimet në vijim
4
1=tcos
4
1liminf= 2
tm
4
1>
4
1=tcos
4
1limsup= 2
t
M
Pra kushti 1 nuk kënaqet për asnjë 0> ndërsa kushti 2 (që të dy kushtet
janë
parë në fillim të këtij paragrafi) nuk kënaqet për çdo , por vetëm për ato që
plotësojnë kushtin M4
3>1>
4
1= . Për të tilla zgjidhjet janë oshilatore
57
por a mund ta zvogëlojmë këtë kufi të poshtëm? Pra a mund të ketë zgjidhje
oshilatore ky ekuacion nëse 4
3<<0 sepse për
4
3= kushti 3 kënaqet.
Le të shkruajmë më poshtë kushtin 3 për .4
3<<0
=tcos4
1limsup
0
1
0=
2
i
j
j
i
n
t
tgQ
=)(...)(...)()()(limsup4
1 12 tgQtgQtgQtgQtgQ n
t
...tgcos4
1limsup
4
1= 2
t
=...tgcostgcos4
1limsup 222
t
=...)sin2(cos4
1limsup
4
1= 22
ttt
12
4
1...
4
1
4
1
4
1=
n
=
4
3
4
1
4
1
4
11
4
11
4
1
4
1
1
n
n
1>
4
32
3
16
7
=
2
.
Zgjidhja e mosbarazimit 0<16
5
2
52 , që rrjedh prej mosbarazimit paraardhës
me lehtësi na jepet në trajtën e intervalit
4
525,
4
525
.
Pra kufiri i poshtëm u përmisua nga ky kusht sepse .4
3<
4
525
Kushti i teoremës (3.1.2.) zbatuar për këtë shembull do të jetë si më poshtë
58
12
5>pra
3
2=
4
11
4
121
>4
1=
M
Pra edhe ky kufi i poshtëm për ën është përmirësim i kufirit 4
3 sepse .
4
3<
12
5
Meqë 4
1=m shohim nëse plotësohet kushti që na jep teorema (3.1.4.) .
4
1=
2
4
1411
>
2
M
.
Plotësimi i këtij kushti tregon se ky ekuacion i ka të gjitha zgjidhjet oshilatore për çdo
0.> Pra ky shembull është një tregues i qartë i përmirësimit të kushteve të
mjaftueshme të oshilacionit të zgjidhjeve të ekuacionit (3.1.1).■
Nga teorema (3.1.3.) vihet re lehtë që për 0m kemi 1m dhe si rrjedhojë
kushti i teoremës (3.1.3.) nuk është gjë tjetër veçse kushti .3 Po për 0m
kushti i teoremës (3.1.2.), (3.1.4.) dhe i teoremës (3.1.5.) nuk është gjë tjetër veçse
kushti 2 . Po çfarë ndodh me përfundimet tona në rastin kur .4
1
m Kushti i
teoremës (3.1.2.) do të jetë ,3
2>M kushti i teoremës (3.1.3.) meqë
2m do të
jetë për ndonjë 0k
MM
M
Mk
21>21
211
Kushti i teoremës (3.1.4.) do të jetë .4
1>M Ndërsa, kushti i teoremës (3.1.5.) do të
jetë
. Pra në fakt kushti i teoremës (3.1.4.) është përmirësimi më i madh që
mund t‟u bëjmë rezultateve të njohura deri tani.
Për më tepër ky kusht pra
është i "mprehtë" sepse kufi më të vogël se
4
1
nuk mund të marrim për M -në. Kjo, sepse është treguar ([31]) që përmirësim të
kushtit të mjaftueshëm për oshilacionin 14
1>m nuk mund të ketë sepse
Mm <4
1. Pra hendeku për të cilin folëm në fillim të këtij paragrafi “gati mbushet”
me plotësimin e kushtit (3.1.4). Në vijim po paraqesim kushtet e mjaftueshme të
oshilacionit të zgjidhjeve të ekuacionit (3.1.1).
59
1 4
1>l imin f= tgPtQm
t I
2 1>l ims u p= tgPtQMt I
3 Ekziston 0n e tillë që:
1>limsup 2
0
1
0=
tgPtgQtgPtQ j
i
j
jn
it
4 Në qoftë se 4
10 m dhe
m
mtgPtQM
t
1
21>limsup=
I
5 Në qoftë se 4
10 m dhe ekziston 0n e tillë që:
1>limsup 2
0
1
0=
tgPtgQmtgPtQm j
i
j
jin
it
(6*) Në qoftë se 4
10 m dhe
( ) ( ( )) √
(7*) Në qoftë se 4
10 m dhe
( ) ( ( )) 4 √
5
§ 2. KUSHTE TË MJAFTUESHME TË OSHILACIONIT PËR EKUACIONET
E RENDIT TË DYTË SI ZBATIME TË EKUACIONIT TË RENDIT TË
LARTË
Nga teorema (2.1.8.) e kapitullit të kaluar më poshtë do të marrim dy teorema
të rëndësishme për ekuacionet funksionale të rendit të dytë.
Teoremë 3.2.1. Le të jetë dhënë përsëri ekuacioni (3.1.1)
tgxtQtxtPtgx 2= .
Në qoftë se ka vend mosbarazimi
1>)()(limsup 2
0
1
0=
1
tgPtgQtgPtQ j
i
j
j
it I,
60
atëherë të gjitha zgjidhjet e tij janë oshilatore.
Vërtetim. Shohim ekuacionin (3.1.1) si rast të veçantë të ekuacionit (2.1.5) të
kapitullit paraardhës, ku 1== sm , tPtQ =0 dhe .=2 tQtQ Atëherë nga
teorema (2.1.8) kemi që
1>1limsup1
1
11
1=
1
10=
1
sm
j
lkk
k
i
j
jii
it
tgAtgBtgAtgBI
1>)(1)(limsup 322 tgAtgBtgAtgBtgAtBt
I ,
ku
tPtQtQtgQtQtAl
l
sk
k
==)(= 00
0
2
1
0=
1
tQtQtgQtQtB k
kk
k
=)(= 2
1
3
2=
1
.
Tregohet lehtë (si në vijim) se kushti i kësaj teoreme kënaqet
=)()()(limsup 3222 tgAtgBtgAtgBtgAtgBtgAtBt
I
1>)()(limsup= 2
0
1
0=
1
tgPtgQtgPtQ j
i
j
j
it I.
atëherë nxjerrim përfundimin e menjëhershëm që zgjidhjet e ekuacionit (3.1.1) janë
veçse oshilatore.■
Teoremë 3.2.2. Le të jetë dhënë ekuacioni (3.1.1). Në qoftë se për ndonjë numër të
plotë 0n plotësohet kushti:
1>)()(limsup 2
0
1
0=
tgPtgQtgPtQ j
i
j
j
i
n
t I
(3.2.1)
atëherë çdo zgjidhje e tij është oshilatore.
Vërtetim. Supozojmë nga e kundërta që ekziston një zgjidhje e ekuacionit (3.1.1)
rigorozisht pozitive, pra 0>tgx i për ),(= 22
tIIt t . Atëherë nga
ekuacioni (3.1.1) kemi në vijim
txtPtgx (3.2.2)
tgxtQtgx 2 . (3.2.3)
Lehtë nga mosbarazimi i parë me induksion tregohet që është i vërtetë ky mosbarazim
61
1ku1
0
itgPtxtgxi
j
ji . (3.2.4)
Nga ekuacioni (3.1.1) marrim barazimin vijues
tgxtgQtgxtgPtggxtgx 32 )()()(=(= (3.2.5)
tgxtgQtgxtgPtggxtgx iiiiii 2121 )()()(=)((= . (3.2.6)
Në barazimin (3.2.5) kemi zëvendësuar tgx 3 për 2=i dhe tgx 4 për 3=i ,
të marrë nga barazimi (3.2.6) ndaj, marrim barazimet vijuese
=)()()()()()(= 42222 tgxtgQtgxtgPtgQtgxtgPtgx
)()()()()()()(= 222 tgQtgQtgxtgPtgQtgxtgP
=)()( 5333 tgxtgQtgxtgP
2
0
15
0
122
0=
1
)()()()()()(=j
ji
j
jii
i
tgQtgxtgQtgxtgPtgxtgP
.
Atëherë lehtë me induksion tregohet që për 1n kemi barazimin vijues
1
0
122
0=
2 )()()()()(=j
jii
i
n
tgQtgxtgPtgxtgPtgx
1
0
14 )(n
j
jn tgQtgx
.
Meqë 0>tgx i për 2
tIt atëherë për të njëjtat ,t do të ekzistoj 1n e tillë
që 0>4 tgx n . Pra, kemi të vërtetë mosbarazimin
i
j
jii
i
n
tgQtgxtgPtgxtgPtgx0
122
0=
2 )()()()()(
.
Nga mosbarazimi (3.2.3) zbatuar në këtë të fundit marrim mosbarazimin në vijim
i
j
jii
i
n
tgQtgxtgPtgxtQtgPtgx0
122
0=
22 )()()()(
.
Nga mosbarazimi (3.2.4) zbatuar në mosbarazimin paraardhës kemi mosbarazimin në
vijim
tgxtQtgPtgx 22 )(
62
i
j
ji
j
ji
i
n
tgQtgPtgxtgP0
11
0
222
0=
)()()()(
.
Pra, marrim në vijim mosbarazimin
)()()()( 2
0
12
0=
22 tgPtgQtgxtgxtQtgPtgx ji
j
j
i
n
,
sepse ka vend barazimi i mëposhtëm
i
j
ji
j
ji tgPtgPtgP0
21
0
22 )(=)()(
.
Pjesëtojmë në të dyja anët me 0,>2 tgx marrim në këtë mënyrë një kundërshtim
të kushtit (3.2.1) të teoremës (3.2.2).■
Teorema (3.2.1.) mund të shihet edhe si një rrjedhim i menjëhershëm i teoremës
(3.2.2.) për 1=n . A mund të përmisohet më tepër kushti i teoremës (3.2.2.)
[kujtojmë që 0n ]? Pra, a mundet që teorema të ngelet e vërtetë për çdo numër të
plotë? Përgjigja është pozitive, gjë që shprehet në teoremën pasardhëse, (shikoni [31])
sepse për 0<n dihet që ka vend barazimi vijues
0=)()( 2
0
1
0=
tgPtgQ ji
j
j
i
n
.
Teorema e mëposhtme paraqet një rezultat të Golda(Nowakowska) dhe Werbowski
por, këtu në këtë punim është sjellë si rast i veçantë i teoremës (2.1.8) të kapitullit
paraardhës.
Teoremë 3.2.3. Le të jetë dhënë ekuacioni (3.1.1). Në qoftë se vendosim kushtin në
vijim
1>limsup tgPtQt I ,
atëherë çdo zgjidhje e ekuacioni (3.1.1) është oshilatore.
Vërtetim Supozojmë si në teoremën (3.2.2) që ekuacioni (3.1.1) ka një zgjidhje
rigorozisht pozitive tx . Pra, 0>tx për1tIt . Atëherë ekziston
),(= 22
tIIt t ku 12 tt , i tillë që 0>tgx i . Si në teoremën paraardhëse
kemi nga mosbarazimi (3.2.2) që tgxtgPtgx )(2 . Për 2
tIt kemi
mosbarazimet
tgxtQtxtPtgx 2=
tgxtgPtQtgxtgPtQtxtP )()( .
63
Pjesëtojmë me 0>tgx në të dyja anët e mosbarazimit më sipër dhe kemi
)(1 tgPtQ për çdo 2
tIt . Kundërshtimi me kushtin e teoremës (3.2.3.) tregon
vërtetësinë e saj.■
Teorema (2.2.6) e kapitullit të dytë aplikuar për ekuacionin (3.1.1) është si më poshtë.
Teoremë 3.2.4. [83] Në qoftë se ekziston një numër i tillë që
[ ( ( )) ( ) ( ( )) ( ( ))]
atëherë çdo zgjidhje e ekuacionit (3.1.1) është oshilatore.■
§ 3. PËRMIRËSIMI I DISA KUSHTEVE PËR JOOSHILACIONIN E
ZGJIDHJEVE TË EKUACIONIT FUNKSIONAL TË RENDIT TË DYTË
Në vitin 1994 Golda dhe Werbowski ([31]) paraqitën një kriter oshilacioni
(Teorema (3.1.1.) në këtë kapitull) për ekuacionin (3.1.1) kur nëse
( )
( )
dhe kemi këtë lidhje ndërmjet tyre, 4
1>pq ku p dhe q janë të përcaktuara si më
sipër atëherë çdo zgjidhje e tij është oshilatore. Po këta autorë treguan me anë të një
shembulli se ky kriter nuk ka përmirësim ([31]).
Në vitin 2001 Shen dhe Stavroulakis ([77]) e emërtuan me termin kusht “i mprehtë”
kushtin 4
1>pq , në kuptimin që kur 0>ptp , 0>qtq dhe ttg =
,0> atëherë kushti është edhe i mjaftueshëm edhe i nevojshëm për oshilacionin e
ekuacionit .2)(=)( tqxtpxtx
Pikërisht kushtet e jooshilacionit, pra egzistenca e zgjidhjeve jooshilatore (rigorozisht pozitive
ose rigorozisht negative) kërkohen ndër këto kushte të mprehta, pra që nuk lejojnë
përmirësime.
Në vazhdim të idesë, pyetja e natyrshme që lind është se nën çfarë kushtesh të tjera shtesë
mbi koefiçientët funksionalë ( ) ( ) dhe funksionin ( ), kushti vijues
( ( )) ( )
siguron egzistencën e një zgjidhjeve jooshilatore për ekuacionin (3.1.1).
Paraqesim disa hipoteza si në vijim
A) ( ) ( ( )) ( ) ( ) funksioni ( ) është rritës
rigorozisht;
B) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
C) ( ) ( ( )) ( ) ( )
Teoremë 3.3.1. [78] Le të jetë dhënë ekuacioni funksional jolinear i rendit të parë
64
( )
( ) ( ) ( )
ku është dhënë funksioni ( ) ( ) i tillë që, për t shumë të mëdha kemi
( )
( )
Atëherë ekuacioni (3.3.1) ka një zgjidhje jooshilatore.
Teoremë 3.3.2. [78] Le të jetë dhënë ekuacioni funksional jolinear i rendit të parë
( )
( ) ( ( )) ( )
ku është dhënë funksioni ( ) ( ) dhe ( ) kënaq kushtin (B). Atëherë
egziston një transformim variablash që transformon ekuacionin (3.3.3) në ekuacionin
(3.3.1). Ky transformim realizohet në këtë mënyrë, për
8 ( ) ( ( ))
( ) ( ( ))
ku ( ) është përcaktuar nga barazimi
( ) ( ( )) ( )
dhe , - , , është një funksion i vazhdueshëm rritës i cili kënaq kushtin
( ( )) ( )
Si rrjedhim, kemi që funksioni ( ) i përcaktuar nga barazimi ( ) ( ( )) ,
oshilon atëherë dhe vetëm atëherë në qoftë se ( ) oshilon.
Teoremë 3.3.3. [78] Supozojmë se kanë vend hipotezat (A) dhe (B). Atëherë
ekuacioni (3.1.1) ka një zgjidhje rigorozisht pozitive në qoftë se dhe vetëm në qoftë se
ekuacioni funksional jolinear i rendit të parë
( )
( ) ( ( )) ( ( )) ( )
ka një zgjidhje rigorozisht pozitive të vazhdueshme.
Teoremë 3.3.4. Supozojmë se ka vend hipoteza (A) dhe hipoteza (B). Në qoftë se për
t shumë të mëdha ka vend mosbarazimi i mëposhtëm
( ( )) ( )
atëherë ekuacioni (3.1.1) ka një zgjidhje jooshilatore.
Për vërtetimin e kësaj teoreme nevojiten teoremat më sipër.
65
Vërtetim. Nga teorema (3.3.3.) duket qartë se është e mjaftueshme të provojmë që
ekuacioni (3.3.5) ka një zgjidhje rigorozisht positive të vazhdueshme. Përcaktojmë
funksionin ( ) si në vijim
( ) ( ( )) ( )
Le të jetë funksioni ( ) si në (3.3.4) tek teorema (3.3.2.). Përcaktojmë për t shumë
të mëdha
( ) ( ( )) ( ( )) . ( ( ))/
Nga teorema (3.3.1.) ekuacioni (3.3.1) ka një zgjidhje rigorozisht pozitive të
vazhdueshme ( ) Nga teorema (3.3.2.) edhe ekuacioni (3.3.3) ka një zgjidhje
rigorozisht pozitive të vazhdueshme ( ) Atëherë ekuacioni (3.1.1) ka një zgjidhje
rigorozisht pozitive. Vërtetimi përfundoi.■
Teoremë 3.3.5. Supozojmë se ka vend hipoteza (A) dhe hipteza (C) .Në qoftë se për t
shumë të mëdha ka vend mosbarazimi i mëposhtëm
( ( )) ( )
( )
atëherë ekuacioni (3.1.1) ka një zgjidhje jooshilatore.
Vërtetim. Meqë funksioni ( ) kënaq kushtin (C), atëherë rrjedh që ( ) kënaq
kushtin (B), me përjashtimin që ( ) Nga ekuacioni (3.1.1)
marrim
( ( )) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ( )) ( )
Kushti ( ) për t shumë të mëdha zbatohet mbi ( ), ndaj marrim
( ( )) . ( ( ))/ ( ( )) ( ( ))
Duket qartë se ekuacioni ( ) ka një zgjidhje rigorozisht pozitive si në vërtetimin
e teoremës së mësipërme. Atëherë ekuacioni (3.1.1) ka një zgjidhje rigorozisht
pozitive. Vërtetimi përfundoi.■
Shembull 3.3.1. Konsiderojmë ekuacionin
(
) ( )
(
)
Duket qartë se
( ( )) ( )
Nga teorema (3.3.4.) ka një zgjidhje jooshilatore. Në fakt një zgjidhje e tillë është
( )
66
Në fund të këtij kapitulli vlen të theksohet se teoremat të cilat vërtetohen
në këtë punim në kushte që mendojmë se dallojnë nga ato të autorëve të ndryshëm (që
u jemi referuar në këtë studim) mbulojnë një numër të madh të rezultateve të
paraqitura prej tyre në dekadën e fundit. Por, në punimin tonë na u duk më e udhës të
bëjmë një trajtim tjetër të vërtetimit të tyre. Me këtë mënyrë trajtimi u arrit edhe
marrja e rezultateve të reja siç është edhe rezultati (6*) për oshilacionin e ekuacioneve
funksionale të rendit të dytë.
67
KAPITULLI IV
ZBATIME TË KUSHTEVE TË OSHILACIONIT DHE
JOOSHILACIONIT NË EKUACIONET DIFERENCË DHE
REKURENCË
Duke u njohur me lidhjen ndërmjet ekuacioneve funksionale, dhe ekuacioneve
diferencë e kemi më të lehtë të përshtasim për to kushtet tashmë të njohura në
literaturën ekzistuese. Eshtë i njohur fakti se ekuacionet diferencë janë analoge
diskrete të ekuacioneve diferenciale ([1], [3], [50]. [51]).
Ekuacioni i Beselit i cili ka trajtën
është një nga shembujt më të njohur ku duket qartë lidhja që ekziston ndërmjet
ekuacionit diferencial të rendit të dytë dhe ekuacioneve diferencë apo rekurencë.
Dihet se ky ekuacion i ka zgjidhjet në trajtën e serive fuqi, pra
( ) ∑
ku pas zëvendësimit të kësaj zgjidhjeje në ekuacionin e Beselit marrim një ekuacion
diferencë si më poshtë
∑, ( ) -
Koefiçientët e këtij ekuacioni të fundit plotësojnë kushtin për
. Ky kusht quhet ekuacion rekurencë, sepse koefiçienti llogaritet me
ndihmën e koefiefiçientit . Siç edhe do ta shohim në vijim për rastin e
përgjithshëm ekuacioni rekurencë që i korespondon ekuacionit të Beselit ka si
ekuacion karakteristik ekuacionin
i cili ka dy rrënjë komplekse të konjuguara të njëra tjetrës pra,
. Ekzistenca e
këtyre rrënjëve komplekse siç do të shikohet në vijim lidhet me karakterin oshilativ të
ekuacionit diferencë dhe për rrjedhojë edhe me karakterin oshilativ të ekuacionit
diferencial të Beselit.
§ 1. SJELLJA OSHILATORE NË EKUACIONET E DIFERENCËS (DDE) ME
ARGUMENT DISKRET
Ekuacionet diferencë (DDE) janë ekuacione ku funksioni i panjohur ndryshon
në mënyrë diskrete, pra ato janë forma diskrete të ekuacioneve diferenciale. Ato
modelojnë matematikisht situata ku ndryshorja operon mbi një bashkësi diskrete
vlerash.
Konsiderojmë ekuacionin e zakonshëm diferencë të rendit të formës
68
( ) ( )
ku është një funksion i dhënë, është numër i plotë pozitiv dhe .
Një zgjidhje e këtij ekuacioni është një varg ( ) i cili kënaq ekuacionin (4.1.1)
për . Një rast i veçantë i këtij ekuacioni është edhe ekuacioni diferencë
i rendit me koeficientë konstantë i cili paraqitet në formën
( )
ku koefiçientët janë konstante reale dhe
Ekuacioni karakteristik i tij është
( )
Struktura e sistemit bazë të zgjidhjeve të ekuacionit ( ) varet nga vlerat vetjake
të ekuacionit ( ) .
Dallojmë rastet si më poshtë:
Rasti 1. Të gjithë numrat karakteristikë janë realë dhe të ndryshëm nga njëri–tjetri;
ku . Atëherë zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit (4.1.3)
është:
Rasti 2. Të gjithë numrat karakteristikë janë të ndryshëm nga njëri–tjetri, por
ndërmjet tyre ka edhe kompleksë; ku janë numrat
karakteristikë realë ndërsa janë numrat karakteristikë kompleksë (dy e nga dy
të konjuguar, ) . Atëherë zgjidhja e përgjithshme është për këtë rast si në vijim
∑
∑
∑
ku dhe përcaktohen nga formulat
√
,
,
Rasti 3. Ndër numrat karakteristikë të ekuacionit (4.1.3) ka rrënjë të cilat janë të
shumëfishta; supozojmë se vetëm është rrënjë e -fishtë, atëherë marrim
Në vijim po paraqesim disa përkufizime të teorisë së oshilacionit për ekuacionet
diferencë.
Përkufizim 4.1.1. Një zgjidhje jotriviale ( ) është quajtur oshilatore (rreth zeros)
në qoftë se për çdo numër pozitiv ekziston e tillë që ( ) ( ) .
Përndryshe, zgjidhja quhet jooshilatore. Me fjalë të tjera një zgjidhje ( ) është
oshilatore nëse ajo nuk është as rigorozisht pozitive as rigorozisht negative.
69
Përkufizim 4.1.2. Zgjidhja ( ) quhet oshilatore rreth një “pike ekuilibri” në
qoftë se ( ) , është zgjidhje oshilatore rreth zeros.
Përkufizim 4.1.3. Ekuacioni diferencë që i ka të gjitha zgjidhjet oshilatore quhet
ekuacion oshilator.
Teoremë bazë 4.1.1. Të gjitha zgjidhjet e ekuacionit diferencë janë oshilatore në
qoftë se dhe vetëm në qoftë se ekuacioni korespondues karakteristik nuk ka rrënjë
reale pozitive.
Ekuacionet karakteristike në të shumtën e rasteve janë tepër të ndërlikuar
(problem më vete). Ndaj, studiuesit që merren me teorinë e oshilacionit janë fokusuar
në vitet e fundit në përcaktimin e kritereve (sidomos të mjaftueshme) të cilat
verifikojnë ekzistencën ose jo të zgjidhjeve oshilatore, kuptohet pa e zgjidhur
analitikisht as ekuacionin nën studim dhe as ekuacionin korespondues karakteristik.
Në vazhdim të kësaj ideje po paraqesim më poshtë disa zbatime të kritereve të
oshilacionit për ekuacionet funksionale, të marra në kapitujt II dhe III, për ekuacionet
diferencë.
Rasti në vijim është një kombinim i dy ekuacioneve diferencë, njëra me argument
diskret të vonuar (delayed) dhe tjetra me argument diskret të avancuar (advanced).
Le të konsiderojmë një ekuacion diferencë me argument diskret të vonuar dhe
argument diskret të avancuar.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ku * + për janë
funksione të dhënë dhe operatori diferencë është përcaktuar si më poshtë
( ) ( ) ( )
Teoremat vijuese i kemi paraqitur pa vërtetim duke qenë se do e marrim vërtetësinë e
tyre nga aplikimi i teoremave të vërtetuara në kapitujt paraardhës.
Duke zbatuar teoremën (2.1.6.) të kapitullit të dytë marrim teoremën si në vijim.
Teoremë 4.1.2. Le të ketë vend mosbarazimi
∑ ( ) ∏ ( ) .
/
ku
( ) ∑ ( ) ∏ ( )
dhe
70
( ) ∑ ( )
( ) ( )
Atëherë ekuacioni diferencë (4.1.4) ka vetëm zgjidhje oshilatore.
Duke zbatuar teoremën (2.1.8.) të kapitullit të dytë marrim këtë teoremë vijuese.
Teoremë 4.1.3. Le të jetë i vërtetë mosbarazimi
∑ ( ) ∏ ( )
> ∑ ( ) ∏ ( )
?
Atëherë ekuacioni diferencë (4.1.4) ka vetëm zgjidhje oshilatore.
Për konkretizim në vijim po sjellim një rast të veçantë të ekuacionit ( ) ,
ekuacioni karakteristik i të cilit nuk zgjidhet aq thjeshtë.
Le të konsiderojmë një ekuacion diferencë me tre terma të rendit
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ku dhe ( ( ))
një varg i përcaktuar për
Për dhe ( ) marrim si rast të veçantë të tij ekuacionin e
mëposhtëm
( ) ( ) ( )
ndryshe,
( ) ( ) ( ) ( )
Ekuacioni karakteristik i këtij të fundit është , me rrënjë
√
Nga teorema bazë (4.1.1.) e oshilacionit, të gjitha zgjidhjet e ekuacionit karakteristik
të ekuacionit (4.1.6) janë oshilatore nëse dhe nuk janë numra realë pozitivë.
Atëherë ngelet që, pra
Ky rezultat rrjedh menjëherë edhe nga
zbatimi i teoremës (2.1.3) të kapitullit të dytë.
Le të rikthehemi tek ekuacioni ( ) problemi i të cilit qëndron tek koefiçienti
funksional ( ) pranë ( ) Ky ekuacion është rasti diskret i ekuacionit
diferencial të rendit të parë me argument të vonuar (delay) si vijon
( ) ( ) ( )
71
Sjellja oshilatore e këtij ekuacioni është e ngjashme me atë të rastit diskret ku
përjashtim bën vetëm rasti kur Në këtë rast të veçantë ekuacioni kthehet në
ekuacion me variabla të ndashëm si në vijim
( ) ( ) ( ) ( ) Zgjidhja e njohur e tij
( ) ( ) 6 ∫ ( )
7
nuk është asnjëherë oshilatore. A mund të themi të njëjtën gjë për rastin korespondues
diskret të tij?
Rasti diskret i ekuacionit (4.1.7) është si më poshtë
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ose
( ) ( ( )) ( )
Ekuacioni (4.1.8) ka si zgjidhje (shikoni ngjashmërinë me rastin e vazhdueshëm më
sipër), funksionin
( ) ∏( ( )) ( ) ( )
∏( ( ))
Vëmë në dukje për korrektësi se kudo në këtë studim ka vend barazimi në vijim
∏( ( ))
Teoremë 4.1.4. Ekuacioni diferencë (4.1.8) i ka të gjitha zgjidhjet oshilatore nëse
mosbarazimi, ( ) ose ndryshe ( ) është i vërtetë për çdo .
Vërtetim. Le të vlerësojmë prodhimin e dy zgjidhjeve të njëpasnjëshme të ekuacionit
(4.1.8)
( ) ( ) :∏( ( )) ( )
; :∏( ( )) ( )
;
( ( )) :∏( ( ))
;
( ( ))
Pra teorema u vërtetua me ndihmën e përkufizimit (4.1.1) për oshilacionin e
zgjidhjeve.■
Ekuacionet funksionale diferenciale kanë shumë ngjashmëri në kriteret e oshilacionit
me ato të rasteve diskrete të tyre por ka edhe përjashtime (shembulli i mësipërm). Ky
është shkaku i kujdesit për t‟i marrë me rezervë disa prej kritereve të tyre oshilative
sepse analogjia ndërmjet formave të vazhdueshme dhe atyre diskrete koresponduese
me to nuk vlen gjithmonë.
72
Aplikojmë përsëri teoremën (2.1.3) në ekuacionin (4.1.5) dhe marrim në vijim
teoremën.
Teoremë 4.1.5. Nëse është e vërtetë që
( )
( )
atëherë ekuacioni (4.1.5) është oshilator.
Kushti i kësaj teoreme është i mprehtë (nuk ka vend barazimi). Mprehtësia e kushtit
vihet re nga shembulli i mëposhtëm.
Shembull 4.1.1. Le të jetë e vërtetë për ekuacionin (4.1.5) që
( )
( )
atëherë për marrim zgjidhjen e mëposhtme të ekuacionit pra,
( ) (
)
Ndërtimi i zgjidhjes tregon se ajo është zgjidhje jooshilatore e ekuacionit.
§ 2 EKUACIONI DIFERENCË I RENDIT TË DYTË
Gjatë rrugëtimit tonë në paragrafin paraardhës shpesh jemi ndalur në ekuacione
diferencë të rendit të parë. Në këtë paragraf të ri do të trajtojmë ekuacionin diferencë
të rendit të dytë të formës
, ( ) ( )- ( ) ( ) ( )
ku ( ) dhe Ekuacioni (4.2.1) është quajtur i vetë konjuguar si edhe ekuacioni diferencial i rendit
të dytë korespondues i tij
, ( ) ( )- ( ) ( )
Ekuacioni ( ) mund të shkruhet më thjeshtë si vijon
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ku
( ) ( ) ( ) ( )
Hartman [37] futi kuptimin e zeros së “përgjithësuar” në ekuacionet diferencë për të
marrë një përkufizim analog me përkufizimin e Shturmit për ekuacionet diferenciale.
Përkufizimi 4.2.1. [37] Një zgjidhje jotriviale ( ) për e ekuacionit
( ) ka një zero të përgjithësuar për në qoftë se ose ( ) ose
( ) ( )
73
Përkufizimi 4.2.2. [37] Një zgjidhje jotriviale ( ) e ekuacionit ( ) ka një zero
të përgjithësuar, me fjalë të tjera, nëse është një zgjidhje zero (aktuale) ose kur ajo
ndryshon shenjën e saj.
Për ekuacionin diferencë paraqesim në vijim teoremën analoge të ndarjes sipas
Shturmit.
Teoremë 4.2.1.[37] Le të jenë ( ) dhe ( ) dy zgjidhje linearisht të pavarura të
ekuacionit ( ) atëherë kanë vend pohimet e mëposhtme:
a) ( ) dhe ( ) nuk mund të kenë një zero të përbashkët d.m.th në qoftë se
( ) , atëherë ( ) b) Në qoftë se ( ) ka një zero tek dhe një zero të përgjithësuar për
, atëherë ( ) duhet të ketë një zero të përgjithësuar tek - - c) Në qoftë se ( ) ka një zero të përgjithësuar tek ku , atëherë
( ) duhet të ketë një zero të përgjithësuar tek , -
Bazuar mbi kuptimin e zerove të përgjithsuara, jepet një tjetër përkufizim mbi
oshilacionin.
Përkufizim 4.2.3. [37] Një zgjidhje e një ekuacioni diferencë është quajtur
oshilatore mbi , , në qoftë se ka një numër të pafundëm zerosh të përgjithsuara
mbi, ,.
Përkufizim 4.2.4. [37] Zgjidhja ( ) e ekuacionit ( ) quhet jooshilatore nëse
ajo nuk është zgjidhje oshilatore.
Në vijim duke u mbështetur në përkufizimin (4.2.3.) marrim një rrjedhim të
menjëhershëm të teoremës së mësipërme (4.2.1.) të Shturmit.
Rrjedhim 4.2.1.[37] Nëse ekuacioni ( ) ka një zgjidhje oshilatore, atëherë të
gjitha zgjidhjet e tij janë oshilatore.
Por, ky rrjedhim nuk është gjithmonë i vërtetë për ekuacionet diferencë të rendit të
dytë. Ekuacioni në vijim nuk është i vetëkonjuguar
( ) ( )
dhe vihet re lehtë se ai ka edhe zgjidhje jooshilatore për shembull, ( ) dhe
zgjidhje oshilatore për shembull, ( ) ( ) . Pra, rrjedhimi në këtë rast nuk
ngelet i vërtetë.
Teoremë 4.2.2. Në qoftë se ekziston një nënvarg ( ) ku
atëherë çdo zgjidhje e ekuacionit ( ) është oshilatore.
Vërtetim. Supozojmë nga e kundërta që ekzison të paktën një zgjidhje e ekuacionit
( ) e cila nuk është oshilatore. Le të jetë ( ) për , atëherë marrim
mosbarazimin
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i cili është një absurditet. Pra teorema u vërtetua.■
74
§ 3. SJELLJA OSHILATORE E ZGJIDHJEVE NË EKUACIONET E
REKURENCËS (RE)
Konsiderojmë një ekuacion rekurencë si vijon
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
ku * + për * +
Përkufizim 4.3.1. Një zgjidhje e ekuacionit ( ) është një funksion e
tillë që plotëson kushtin *| ( )| + për ndonjë dhe y kënaq
ekuacionin ( ) mbi .
Përkufizim 4.3.2. Një zgjidhje e ekuacionit ( ) është quajtur oshilatore nëse
për çdo ekziston e tillë që ( ) ( ) . Përndryshe zgjidhja
quhet jooshilatore.
Si në kapitullin e mëparshëm edhe në rastin e ekuacioneve të rekurrencës ekzistenca e
zgjidhjeve oshilatore varet nga shenja e koefiçientëve funksionalë , për
* +. Në qoftë se ato janë të gjitha pozitive (negative) ekuacioni
( ) përmban vetëm zgjidhje oshilatore (vërtetimi njësoj si në kapitullin e dytë).
Në qoftë se kjo nuk është e vërtetë atëherë ekuacioni ( ) mund të ketë edhe
zgjidhje oshilatore dhe jooshilatore.
Shembull 4.3.1 Le të jetë dhënë ekuacioni rekurencë si më poshtë
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
Tregohet lehtë se ekuacioni rekurencë ka zgjidhje oshilatore ( ) ( ) dhe
jooshilatore zgjidhjen ( ) .
Pra, për ekuacionin ( ) konsiderojmë për më tej në punim që koefiçientët
funksionalë nuk kanë të njëjtën shenjë. Supozojmë që për ndonjë * + ( ) dhe ( ) , ku dhe Supozojmë për lehtësi që ( ) , ndaj ekuacioni ( ) merr trajën e
mëposhtme
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Për , ndërtojmë ekuacionin si vijon:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Në këtë paragraf aplikojmë teoremat e kapitullit të dytë dhe të tretë në ekuacionet e
rekurencës duke pasur si ide marrjen e kushteve të mjaftueshme për oshilacionin e të
gjitha zgjidhjeve të ekuacioneve ( ) , ( ) apo ( ) . Theksojmë se në
vërtetimet tona kemi përdorur këto barazime të njohura në literaturën e teorisë së
oshilacionit për .
75
∑
∏
Disa nga kushtet e mëposhtme gjenden në artikuj të ndryshëm por, në këtë paragraf
ato do të vijnë si aplikime të teoremave të dy kapitujve paraardhës, duke shmangur
vërtetimet e gjata, duke i vendosur sipas një rregullsie dhe për më tepër duke marrë
disa kushte të reja oshilacioni .
Duke zbatuar teoremën (2.1.3.) të kapitullit të dytë marrim teoremën në vijim.
Teoremë 4.3.1. Le të plotësohet kushti për
∑ ( )
∏ ( ) (
)
ku
( ) ∑ ( )
∏ ( ) ( )
dhe
( ) ∑ ( ) ( )
( )
atëherë ekuacioni rekurencë (4.3.2) ka vetëm zgjidhje oshilatore.
Duke zbatuar teoremën (2.1.8) të kapitullit të dytë marrim teoremën e mëposhtme .
Teoremë 4.3.2. Le të plotësohet kushti
> ∑ ( ) ( )
∏ ( ) (
) ∑ ( )
∏ ( )
?
ku ( ) dhe ( ) janë si më sipër, atëherë ekuacioni rekurencë (4.3.2) ka vetëm
zgjidhje oshilatore.
Duke zbatuar teoremën (2.1.6) të kapitullit të dytë marrim teoremën vijuese .
Teoremë 4.3.3. Le të jetë dhënë kushti për
∑ ( )
∏ ( ) .
/
ku
76
( ) ( ) ∑ ( ) ( )
dhe
( ) ( ) ∑ ( )∏ ( )
atëherë ekuacioni rekurencë (4.3.2) ka vetëm zgjidhje oshilatore.
Nga teorema e mësipërme (4.3.2) rrjedh teorema e mëposhtëme.
Teoremë 4.3.4. Le të jetë dhënë kushti
>∑ ( ) ( )
∏ ( ) ( )
∑ ( )
∏ ( )
?
ku ( ) dhe ( ) janë si në teoremën më sipër, atëherë ekuacioni rekurencë (4.3.2)
ka vetëm zgjidhje oshilatore.
Duke zbatuar teoremën (2.1.7.) të kapitullit të dytë tek ekuacioni ( ) ku
marrim teoremën vijuese.
Teoremë 4.3.5. Le të jetë dhënë kushti
∑ ( ) ∏ ( )
atëherë ekuacioni rekurencë (4.3.3) ka vetëm zgjidhje oshilatore.
Teoremë 4.3.6. Le të jetë dhënë kushti
* ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )+
ku ( ) dhe ( ) janë si në teoremat më sipër (4.3.1.) dhe (4.3.3.), atëherë
ekuacioni rekurencë (4.3.3) ka vetëm zgjidhje oshilatore.
Duke zbatuar teoremën (2.1.6.) të kapitullit të dytë marrim në vijim teoremën.
Teoremë 4.3.7. Le të jetë dhënë kushti
∑ ∏ ( )
.
/
77
ku
∑ ( )
( ) ( )
atëherë ekuacioni rekurencë (4.3.3) ka vetëm zgjidhje oshilatore.
Duke zbatuar teoremën (2.1.7) të kapitullit të dytë tek ekuacioni ( ) marrim
teoremën.
Teoremë 4.3.8. Le të jetë dhënë kushti
( ) ( )
ku ( ) dhe ( ) janë si në teoremat më sipër (4.3.1.) dhe (4.3.3.), atëherë
ekuacioni rekurencë (4.3.3) ka vetëm zgjidhje oshilatore.
Si edhe në kapitullin e dytë vlen të përmendet që kushtet e teoremave të mësipërme
janë kushte të mjaftueshme dhe jo të nevojshme, si rrjedhojë ato janë të pavarura nga
njëra tjetra. Le ta konkretizojmë këtë me disa shembuj.
Shembull 4.3.1. Le të jetë dhënë ekuacioni në vijim për
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Tregohet lehtë që për kushtet e teoremave (4.3.2.) dhe (4.3.4.) nuk
plotësohen por është i vërtetë kushti i teoremës (4.3.1.), si rrjedhojë ky ekuacion është
oshilator.■
Shembull 4.3.2. Le të jetë dhënë ekuacioni në vijim për
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Tregohet lehtë që për kushtet e teoremave (4.3.1.) dhe (4.3.4.) nuk plotësohen
por është i vërtetë kushti i teoremës (4.3.2.) si rrjedhojë ky ekuacion është oshilator.■
Shembull 4.3.3. Le të jetë dhënë ekuacioni në vijim për
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Tregohet lehtë që kushtet e teoremave (4.3.1.) dhe (4.3.3.) nuk plotësohen por është i
vërtetë kushti i teoremës (4.3.5.), si rrjedhojë ky ekuacion është oshilator.■
Le të konsiderojmë një ekuacion tjetër rekurrencë të rendit të dytë si në vijim
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ku për * +
Aplikojmë nga kapitulli i dytë teoremën (2.1.7.) dhe nga kapitulli i tretë teoremën
(3.2.1.) duke marrë teoremat e mëposhtme respektivisht.
Teorema 4.3.9. Të gjitha zgjidhjet janë oshilatore për ekuacionin ( ) në qoftë se
dhe vetëm në qoftë se plotësohet kushti i mëposhtëm
78
( ) ( )
( ) ( )
Teoremë 4.3.10. Të gjitha zgjidhjet janë oshilatore për ekuacionin ( ) në qoftë
se dhe vetëm në qoftë se plotësohet kushti i mëposhtëm për ndonjë
> ( ) ( )
( ) ( ) ∑ ∏
( ) ( )
( ) ( )
?
§ 4. SJELLJA OSHILATORE E ZGJIDHJEVE NË EKUACIONET E
DIFERENCËS (DE) ME ARGUMENT TË VAZHUESHËM
Në ekuacionin (2.1.5) të kapitullit të dytë duke marrë ( ) dhe ndërtojmë ekuacionin diferencë me argument të vazhdueshëm të trajtës
( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ( ( ) )
( )
Teoremë 4.4.1. Supozojmë që ( ) dhe ( ) për . Nëse ka
vend mosbarazimi i mëposhtëm
∑ ( )
∏ ( )
( )
atëherë çdo zgjidhje e ekuacionit (4.4.1) është oshilatore.
Teoremë 4.4.2. Supozimi i teoremës (4.4.1.) ngelet përsëri i vërtetë. Nëse ka vend
mosbarazimi i mëposhtëm
∑ ( )
∏ ( ( ))
ku është rrënja më e madhe pozitive e ekuacionit
(
)
dhe ku
∑ ( )
∏ ( ( ))
atëherë çdo zgjidhje e ekuacionit (4.4.1) është oshilatore.
Në ekuacionin (2.1.5) të kapitullit të dytë duke marrë ( ) dhe ndërtojmë ekuacionin diferencë me argument të vazhdueshëm të trajtës
79
( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ( )
( )
Teoremë 4.4.3. Supozojmë që ( ) dhe ( ) për . Nëse ka
vend mosbarazimi i mëposhtëm
∑ ( )
∏ ( )
( )
atëherë çdo zgjidhje e ekuacionit ( ) është oshilatore.
Teoremë 4.4.4. Supozimi i teoremës (4.4.1.) ngelet përsëri i vërtetë. Nëse ka vend
mosbarazimi i mëposhtëm
∑ ( )
∏ ( )
ku është rrënja më e madhe pozitive e ekuacionit
(
)
dhe ku
∑ ( )
∏ ( )
atëherë çdo zgjidhje e ekuacionit ( ) është oshilatore.
Le të konsiderojmë një tjetër ekuacion diferencë me argument të vazhduar të formës
( ) ( ) ( ) ( )
ku ( ) ( ) ( ) , tregon diferencën e funksionit me span dhe është funksion i vazhdueshëm.
Nga kapitulli i dytë, teorema (2.1.7.) dhe kapitulli i tretë teorema (3.2.1.) marrim
teoremat e mëposhtme.
Teoremë 4.4.5. Të gjitha zgjidhjet janë oshilatore për ekuacionin ( ) në qoftë se
dhe vetëm në qoftë se plotësohet kushti i mëposhtëm
( )
Teoremë 4.4.6. Të gjitha zgjidhjet janë oshilatore për ekuacionin ( ) në qoftë se
dhe vetëm në qoftë se plotësohet kushti i mëposhtëm për ndonjë
80
> ( ) ∑ ∏ ( ( ) )
?
Përfundime
Dy rastet e veçanta diskrete të ekuacioneve funksionale janë ekuacionet
diferencë me argument diskret dhe ekuacionet e rekurencës. Në disa raste ekuacionet
diferencë (me argument të vazhduar) janë analoge të ekuacioneve diferenciale.
Artikuj kërkimore të shumtë, monografi të ndryshme, konferenca vjetore
ndërkombëtare, si dhe revista të reja i kushtohen studimit të zgjidhjeve dhe
aplikimeve të tyre. Shpesh është vënë re prej tyre, se edhe ata ekspertë, që kanë besuar
në universalitetin e ekuacioneve funksionale (sidomos ekuacioneve diferenciale
funksionale) kanë zbuluar në mënyrë të habitshme divergjencën që qëndron ndërmjet
vazhdueshmërisë dhe diskretësisë së ekuacioneve funksionale (rasteve diskrete të
tyre). Pra, ekuacionet funksionale diferenciale kanë vërtetë shumë ngjashmëri në
kriteret e oshilacionit me ato të rasteve diskrete të tyre por ka edhe përjashtime. Ky
është edhe shkaku i kujdesit për t‟i marrë me rezervë disa prej kritereve të tyre
oshilative sepse analogjia ndërmjet formave të vazhdueshme dhe atyre diskrete
koresponduese me to nuk vlen gjithmonë.
Në studim në këtë kapitull ishin vetëm disa trajta ekuacionesh diferencë dhe
rekurencë për të cilat teoremat e marra në kapitullin e dytë dhe të tretë për rastet e
veçanta të ekuacioneve funksionale të rendit të dytë apo të rendit të lartë aplikohen
gjerësisht. Kjo është edhe arsyeja pse në pergjithësi keto teorema i kemi paraqitur pa
vërtetim.
81
KAPITULLI V
DISA KUSHTE OSHILACIONI NË EKUACIONET
DIFERENCIALE
Që nga koha kur Shturmi (1836) problemin fizik të përçueshmërisë termike e
lidhi ngushtë me problemin e oshilacionit të zgjidhjeve të ekuacionit diferencial të
zakonshëm linear të rendit të dytë, ( ) ( ) ( ) , teoria e oshilacionit për
ekuacionet diferenciale ka patur një zhvillim të madh si në ekuacionet e rendit të parë
dhe në ato të rendeve të larta. Problemi i zgjidhjes së ekuacioneve diferenciale të
zakonshme, ekuacioneve me argument të devijuar (ekuacionet me vonesa (delay) dhe
ekuacionet me argument të avancuar (advanced)) apo ekuacioneve neutrale është i
lidhur ngushtë me problemin e gjetjes së rrënjëve të një ekuacioni karakteristik që u
shoqërohet ndaj, teoremat bazë të teorisë së oshilacionit të tyre lidhen me natyrën e
këtyre rrënjëve ([4], [20]). Por shpesh problemi i gjetjes së rrënjëve është tepër i
vështirë, ndaj kriteret e oshilacionit dhe jooshilacionit që gjenden në artikujt apo
monografitë e viteve të fundit ([1], [2], [3]) nuk kanë në përbërje të tyre kushte mbi
rrënjët. Në ditët e sotme kriteret e oshilacionit (sidomos kushtet e mjaftueshme të
oshilacionit) përcaktohen (shumicën e rasteve përmirësojnë kriteret ekzistuese) me
anë të disa teknikave, përveç të tjerave përmendim:
Teknika Rikati ([9], [10], [11], [12], [13]) e cila konsiston në futjen e një
funksioni ndihmës në përbërje të të cilit janë koefiçientët e ekuacionit nën studim. Ky
funksion përdoret si instrument verifikimi për vërtetësinë e një relacioni nën kushte të
caktuara .
Teknika Kamenev ([39]), teknika e të mesmes integrale që përdoret në
krahasimin e relacioneve që përmbajnë integrale.
Teknika Philos ([48],[65]) e cila konsiston në futjen e dy funksioneve
ndihmëse pozitive të Philos, ( ) dhe ( ).
Këto metoda do t‟i përdorim edhe në vazhdim të punimit. Për më tepër në këtë
kapitull do të paraqesim shkurtimisht disa kritere për oshilacionin dhe për ekzistencën
e zgjidhjeve jooshilatore në ekuacionet diferenciale të zakonshme lineare dhe jo
lineare të rendit të dytë (duke u zgjeruar në ekuacionet diferenciale me faktor shuarës)
, ekuacioneve të rendit të parë dhe të rendit të dytë me vonesa (delay) dhe me
argument të avancuar (advanced), ekuacioneve neutrale të rendit të parë. Vlen të
theksojmë që shumë matematicienë të njohur nga vende të ndryshme të botës punojnë
në këto tipe ekuacionesh, gjë që e tregon edhe literatura e paraqitur në këtë punim.
Vihet re tjetër edhe bashkëpunimi i tyre me specialistë të fushave të tjera. Kontributi i
këtyre specialistëve në sjelljen e problemave ku kërkohen njohuri nga fusha e
oshilacionit është rritur shumë dekadat e fundit duke e bërë këtë teori një fushë
tërheqëse për shumë matematicienë. Kjo është edhe një nga arsyet që në këtë kapitull
do të trajtojmë dy probleme nga fusha e Fizikës dhe e Biologjisë. Pas modelimit
matematikor të tyre, bëjmë studimin oshilativ të zgjidhjeve të dy ekuacioneve: i pari
ekuacion diferencial i zakonshëm i rendit të dytë linear dhe i dyti ekuacion diferencial
i rendit të parë me vonesa .
Teoria e Oshilacionit për ekuacionet diferenciale, studion veç tё tjerash edhe
kushte të nevojshme apo të mjaftueshme për ekzistencёn ose jo të zgjidhjeve
82
jooshilatore, klasifikimin e kёtyre zgjidhjeve, studimin e sjelljes së zgjidhjeve
oshilatore përkundrejt një zgjidhjeje jooshilatore dhe lidhjen e Teorisë së Oshilacionit
me Teorinë e Qëndrueshmërisë së zgjidhjeve ([3], [15], [26], [35], [69], [71]). Disa
nga rezultatet më të njohura të këtyre dy teorive do të aplikohen edhe në këtë kapitull
për zgjidhjet e ekuacionit diferencial të rendit të parë me vonesa, konkretisht
ekuacionit logjistik Hutchinson. Por, studimi i lidhjes së këtyre dy teorive edhe me
teorinë e kaosit do të jenë në qendër të punës sime në të ardhmen.
§ 1. KUSHTE OSHILACIONI DHE JOOSHILACIONI PËR EKUACIONET
DIFERENCIALE TË ZAKONSHME TË RENDIT TË DYTË
Problemi i jolinearitetit është dukshëm problemi më i studiuar në çdo fushë të
shkencës. Përjashtim nga kjo nuk bën as teoria e Oshilacionit. Nuk janë të pakta rastet
që kriteret e oshilacionit për rastin jolinear janë konkretizuar edhe për rastin linear të
ekuacioneve duke i parë këto të fundit si raste të veçanta të tyre.
Konsiderojmë ekuacionin diferencial të rendit të dytë jolinear:
. ( ) ( )/
( ) ( ( )) ( )
ku ( ) (, , ) , ( ) (, , ) dhe ( ) . Funksioni
është me derivat të parë të vazhdueshëm përveç ndoshta pikës zero dhe kënaq kushtin
e mëposhtëm (kushtin e rritjes monotone të tij)
( ) ( ) për . ( )
Interesi ynë në këtë paragraf shtrihet mbi ato zgjidhje të ekuacionit ( ) që
ekzistojnë mbi ndonjë gjysëmsegment , , dhe që kënaqin mosbarazimin
* | ( ) + për .
Përkufizim 5.1.1. Një zgjidhje e ekuacionit ( ) do të quhet oshilatore në qoftë se
ka një numër të pafundëm zerosh për , që do të thotë se për funksionin zgjidhje
y, ekziston një varg ( ) , i tillë që ku ( ) 0.
Përkufizim 5.1.2. Zgjidhja y është quajtur jooshilatore nëse nuk është oshilatore, pra
ekziston e tillë që ( ) për .
Pra, në këtë rast zgjidhja y ose është rigorozisht negative ose rigorozisht pozitive.
Përkufizim 5.1.3. Një ekuacion quhet oshilator në qoftë se të gjitha zgjidhjet e tij janë
oshilatore.
Sidomos në këto dy dekadat e fundit, sjellja oshilatore dhe jooshilatore e zgjidhjeve
për klasa të ndryshme të ekuacioneve diferenciale të rendit të dytë ka qenë objekt
studimi për shumë autorë. Një numër tepër i madh punimesh kanë pasur si objekt
studimi raste të veçanta të ekuacionit ( ) ([4], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12],
[16], [18], [21], [25]).
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )| ( )| ( ) ( )
83
. ( ) ( )/
( )| ( )| ( ) ( )
Ekuacionet ( ) dhe ( ) të ashtuquajtura ekuacione të Emden-Fowler,
konsiderohen si prototipe të ekuacioneve respektive ( ) dhe ( ).
Ekuacionet (5.1.4) dhe (5.1.5) quhen lineare nqs . Ekuacionet (5.1.1) dhe
[( ) ( )- quhen superlineare nqs ato kënaqin edhe kushtet e superlinearitetit
respektivisht
∫
( )
dhe ∫
( )
për , -
Ekuacionet (5.1.1) dhe [( ) ( )- quhen sublineare nqs ato kënaqin edhe
kushtet e sublinearitetit respektivisht
∫
( )
dhe ∫
( )
për , -
Një nga instrumentetmë të përdorura në këto punime është teknika e të
mesmes integrale, e cila përdoret në krahasimet e relacioneve integrale. Duke
përdorur këtë teknikë janë gjetur shumë kritere oshilacioni të cilat përfshijnë edhe
sjelljen e integraleve të koefiçienteve të ekuacionit që po studiohet (në rastin tonë të
p-së dhe të q-së). Në rastin linear ( ) disa nga kriteret më të rëndësishme të
vendosura sipas rendit kohor të përftimit të tyre, janë:
∫ ∫ ( )
(Wintner 1949, [87] )
(K1)
∫ ( )
(Leighton 1950, [56])
(K2)
> )
∫ ∫ ( )
)
∫ ∫ ( )
(Hartman 1952,[37])
(K3)
∫ ( ) ( )
për ndonjë * + (Kamenev 1978,[39])
(K4)
{
)
∫ ( ) ( )
* +
)
∫ ( ) ( ) ( )
) ∫ ( )
( ) * ( ) +
(Wan 1986, [85]) (K5)
84
{
( )∫ 6 ( ) ( )
, ( )-
7
*( ) +
( ) ( )
( ) ( )√ ( ) ( ) ( )
(Philos 1989,[65] ) (K6)
Për ekuacionin ( ) Butler (1980, [70]) provoi që kushti (K1) dhe kushti (K3) janë
të mjaftueshëm për rastin superlinear ( ) ndërsa në rastin sublinear ( ) Kamenev (1971, [38]) provoi se mjaftonte vetëm pjesa e dytë, pra ii) e kushtit
(K3) për ekzistencën e zgjidhjeve oshilatore duke mos vendosur asnjë lloj kushti tjetër
për limitin vijues
∫ ∫ ( )
Pyetjes nëse mund të bënim të njëjtën gjë edhe për rastin superlinear i dha përgjigje
mohuese Willett (1969, [88]). Pra, sipas tij vetëm nënkushti ii) i kushtit (K3) nuk
është i mjaftueshëm për të qenë të gjitha zgjidhjet oshilatore në rastin kur .
Po Butler, provoi se duke bërë krahasimin rigoroz të dy kushteve të (K3 ) (ku kushti
ii) është më i gjerë) përftoi një tjetër kusht të mjafueshëm për rastin sublinear.
∫ ∫ ( )
∫ ∫ ( )
.
(K7)
Edhe Wong (1990, [89]) dha gjithashtu një tjetër kusht të mjafueshëm për rastin
sublinear
∫ 0∫ ( )
1
(K8)
Li dhe Yan (1997, [57]) për rastin superlinear provuan këtë kusht të mjafueshëm,
>
∫ ( ) ( )
∫ ( ) ( )
(K9)
Rasti kur janë numra realë pozitiv ka ngelur ende një problem i
hapur studimi.
Në studimin e ekuacionit diferencial (5.1.1) shumica e kritereve të oshilacionit që
ekzistojnë mbështeten tek sjellja e integralit të ( )-së dhe ( )-së. Por shumica e
85
këtyre kritereve nuk mund të aplikohen kur ( ) ka një sjellje të “keqe” mbi një pjesë
të madhe të , ,, pra kur
∫ ( )
Kujtojmë disa nga kriteret më të njohura të oshilacionit për ekuacionin (5.1.1) jo
vetëm me dy kushtet e mundshme
) ∫
( )
) ∫
( )
por edhe në rastin kur oshilacioni i zgjidhjeve nuk varet nga asnjë prej kushteve të
mësipërme.
Teoremë 5.1.1. [2] Në qoftë se plotësohet kushti (5.1.2) dhe kushtet e mëposhtme
∫
( )
∫ ( )
atëherë ekuacioni ynë (5.1.1) është oshilator.
Teoremë 5.1.2. [2] Supozojmë ekzistencën e kushtit ( ). Në qoftë se kanë vend
edhe kushtet e mëposhtme
∫
( )
∫ ( )
∫ ( )
atëherë ekuacioni ynë (5.1.1) është oshilator.
Teoremë 5.1.3. [74] Në qoftë se plotësohen kushtet e mëposhtme
∫
( )
( ) ( ) 6∫
( )
7
dhe nëse ekziston një ku
e tillë që
| |
( )
( | |)
[
( | |) ]
atëherë ekuacioni ynë (5.1.1) është oshilator.
Teoremë 5.1.4. [3] Le të jenë
86
( )
∫
( )
dhe
( ) ∫ ( )
atëherë të gjithë zgjidhjet e ekuacionit tonë (5.1.1) janë oshilatore.
Në fakt pjesa më e madhe e kritereve të oshilacionit që njihen deri tani është tepër e
limituar në zbatime, kjo është dhe arsyeja pse vazhdohet të punohet për “nxjerrjen” e
kritereve të reja. Kriteret duke qenë kushte të mjaftueshme, në qoftë se plotësohen
nuk ka dyshim për oshilacionin e zgjidhjeve por kur nuk plotësohen atëherë nuk mund
të thuhet me siguri që zgjidhjet nuk janë oshilatore.
Nga teoremat krahasuese të Shturmit dihet që oshilacioni është vetëm një veti
intervalore në kuptimin që: Në qoftë se ekziston një varg nënintervalesh
, - , , i tillë që, për çdo ekziston një zgjidhje e ekuacionit
tonë që ka të paktën dy zero në këtë interval atëherë, çdo zgjidhje e ekuacionit tonë në
, , është oshilatore. Vëmë në dukje se nuk ka rëndësi sa „„i keq‟‟ është ekuacioni
në pjesët e mbetura të , ,.
Motivuar nga idetë e El- Sayed [27], Kong [42], Li [58], Agarwal dhe Feng [[1], [2],
[3], [66]], Philos [65] për përdorimin e metodës së të mesmes integrale që përdoret
në krahasimin e relacioneve që përmbajnë integrale, të teknikës së përgjithshme Rikati
, e cila konsiston në futjen e një funksioni ndihmës në përbërje të të cilit janë
koefiçientët e ekuacionit nën studim dhe të funksioneve Philos, në vijim po paraqesim
disa kritere përmirësuese oshilacioni për ekuacionin nën studim (5.1.1), objekt
studimi edhe në disa nga artikujt tanë ([8], [10], [11], [45], [48]).
Kritere Oshilacioni në rastin kur f është funksionin rritës
Teoremë 5.1.5. [48] Supozojmë që ( ) për
Le të jenë *( ) + , *( ) + dhe funksioni
( ) i cili kënaq tre kushtet e mëposhtme:
i) ( ) për , ( ) për .
ii) Funksioni H ka derivate të pjesëshme të vazhdueshme mbi në lidhje me të
dy variablat t dhe s.
iii)
( ) ( )√ ( ) dhe
( ) ( )√ ( )
ku dhe janë funksione të vazhdueshëm dhe jonegativë mbi
Në qoftë se ekziston një funksion ( ) (, , ) i tillë që
( )∫ ( ) ( ) ( )
( )∫ ( ) ( ) ( )
87
( )∫ ( ) ( )
, ( )-
( )∫ ( ) ( )
, ( )-
(5.1.6)
ku
( ) ( ) ( )
( )√ ( )
( ) ( ) ( )
( )√ ( )
atëherë të gjithë zgjidhjet e ekuacionit tonë (5.1.1) janë oshilatore.
Vërtetim. Supozojmë nga e kundërta, që ekuacioni ynë ka të paktën një zgjidhje
jooshilatore ( ) dhe për më tepër ( ) mbi , - për ndonjë .
Ndërtojmë funksionin ndihmës (teknika Rikati) si më poshtë:
( ) ( ) ( ) { ( )
( ( ))} për .
Duke derivuar të dyja anët e barazimit të mësipërm marrim barazimet vijuese
( ) [ ( ) ( ) { ( )
( ( ))}]
[ ( ) ( ) { ( )
( ( ))}]
, ( ) ( )- { ( )
( ( ))}
( ) ( ) [ ( )
( ( ))]
( ) ( ( )) { ( )
( ( ))} ( ) ( ) [
( )
( ( ))]
=
( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( )
( ( ))] =
= ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Si rrjedhim, marrim mosbarazimin e mëposhtëm
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Duke shumëzuar në mosbarazimin e mësipërm me funksionin e Philos, ( ) dhe
duke integruar më pas mbi , - për , -, marrim për , -
∫ ( ) ( ) ( )
∫ ( ) ( )
∫ ( ) 6 ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )7
Pasi integrojmë me pjesë në integralin e parë të anës së djathtë marrim
( ) ( ) ∫ ( ) ( )√ ( )
88
∫ ( ) 6 ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )7
( ) ( ) ∫ >6 ( )
( ) ( )7
( )
6 ( ) ( )
7
( )?
∫ ( ) ( )
( )
( ) ( ) ∫ ( ) ( )
( )
Pra, kemi
∫ ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ∫ ( ) ( )
( )
Kalojmë në limit në të dyja anët e tij për dhe pjesëtojmë gjithashtu me
( ) .
∫ ( ) ( ) ( )
( )
0
( ) ( )
∫ ( ) ( )
( )
1
( )
Si rrjedhojë, marrim përfundimisht mosbarazimin në vijim,
( )∫ ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )∫
( ) ( )
( )
( )
Nga ana tjetër, duke shumëzuar me funksionin ( ) tek mosbarazimi (5.1.7) dhe
duke integruar më pas mbi , - për , - marrim për , -
∫ ( ) ( ) ( )
∫ ( ) ( )
∫ ( ) 6 ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )7
Pra,
∫ ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ∫ ( ) ( )√ ( )
∫ ( ) 6 ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )7
89
( ) ( ) ∫ >6 ( )
( ) ( )7
( )
6 ( ) ( )
7
( )?
∫ ( ) ( )
( )
( ) ( ) ∫ ( ) ( )
( )
Përfundimisht kemi mosbarazimin,
∫ ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ∫ ( ) ( )
( )
Kalojmë në limit në të dyja anët e tij për dhe pjesëtojmë gjithashtu me
( )
∫ ( ) ( ) ( )
( )
0
( ) ( )
∫ ( ) ( )
( )
1
( )
Si rrjedhojë marrim mosbarazimin në vijim
( )∫ ( ) ( ) ( )
( )
( )∫
( ) ( )
( )
( )
Duke i mbledhur të dy mosbarazimet (5.1.8) dhe (5.1.9) kemi
( )∫ ( ) ( ) ( )
( )∫ ( ) ( ) ( )
( )∫
( ) ( )
( )
( )∫
( ) ( )
( )
Pra mosbarazimi i fundit kundërshton kushtin (5.1.6) gjë që tregon edhe vërtetimin e
teoremës.■
Vërejtje 5.1.1. Në shumë artikuj të tjerë vihet re prania e kushtit ( ) .
Teorema e vërtetuar më sipër nuk e përjashton rastin kur ( ) .
Vërejtje 5.1.2. Një ndër paraqitjet më të njohura të funksionit Philos, ( ) është
( ) ( ) ku dhe është një konstante.
Teorema vijuese (kontribut i këtij punimi) operon me funksionin e Philos të trajtës
( ) ( ) .
Teoremë 5.1.6 [48] Supozojmë që kënaqen përsëri kushtet e teoremës (5.1.5.). Në
qoftë se ekziston një funksion (, , ), i cili është jozvogëlues. Në qoftë
se për kanë vend dy mosbarazimet e mëposhtme njëkohësisht
90
[∫ ( )
( ) ( )
∫( )
( ) ( ) 6
( )( )
( )7
]
( )
[∫ ( )
( ) ( )
∫( )
( ) ( ) 6
( )( )
( )7
]
( )
atëherë të gjitha zgjidhjet e ekuacionit (5.1.1) janë oshilatore.
Vërtetim. Sipas teoremës paraardhëse (5.1.5) bëjmë zëvendësimet e nevojshme
, ( )- 6
( ) √ ( )⁄
( )
( )√ ( )7
6 ( )
( )
( )( )
7
[( )
2 ( )
( )( )3]
=( ) 2 ( )
( )( )3
dhe
, ( )- 6
( ) √ ( )⁄
( )
( )√ ( )7
6 ( )
( )
( )( )
7
[( )
2 ( )
( )( )3]
= ( ) 2 ( )
( )( )3
Le të zëvendësojmë tek mosbarazimi (5.10), . Atëherë ekziston një
konstante e tillë që ka vend mosbarazimin vijues
[∫ ( )
( ) ( )
∫( )
( ) ( ) 4
( )( )
( )5
]
Le të zëvendësojmë tek mosbarazimi (5.1.10) . Atëherë ekziston
nga marrim edhe këtë mosbarazim
91
[∫ ( )
( ) ( )
∫( )
( ) ( ) 6
( )( )
( )7
]
Nga kombinimi i dy mosbarazimeve të mësipërme marrim kushtin (5.1.6) të teoremës
paraardhëse, pra kemi vërtetuar teoremën (5.1.6).■
Teoremë 5.1.7. [48], Supozojmë që kënaqen kushtet e teoremës (5.1.5), duke shtuar
edhe kushtin ( ) për ndonjë . Në qoftë se ekzistojnë dy funksione
(, , ) dhe , -. Funksioni w kënaq kushtin ( ) , - ku, ( ) ( ) Në qoftë se kemi edhe kushtin vijues
∫ { ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
6 ( )
( )
( ) ( )7
}
atëherë ekuacioni ynë (5.1.1) është oshilator.
Vërtetim. Supozojmë nga e kundërta, që ekuacioni ynë ka të paktën një zgjidhje
jooshilatore ( ) dhe për më tepër ( ) mbi , - për ndonë . Si në
teoremën (5.1.5.), në mosbarazimin (5.1.7) shumëzojmë me ( ) dhe marrim
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
Integrojmë në të dyja anët e këtij mosbarazimi në lidhje me s-në nga a-ja tek b-ja
duke përdorur edhe kushtin ( ) ( ) . Atëherë marrim mosbarazimet
∫ ( ) ( ) ( )
∫ ( ) ( )
∫ ( )
8 ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )9
∫ ( ) ( ) ( )
∫ ( )
8 ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )9
( )
Përdorim simbolet e mëposhtme për lehtësi të veprimeve
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) √ ( ) ( )
6 ( )
( )
( ) ( )7 √ ( ) [ ( )
( ) ( )]
92
( ) √
( ) ( ) ( ) ( ) √
( ) ( )
6 ( )
( )
( ) ( )7
( ) ( )
√ ( ) √ ( ) { ( )
( ) ( )}
( ) ( )
√ ( ) ( )
( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( )
√ ( )7 6
( ) ( )
√ ( )7
( ) ( ) ( )
√ ( ) 6
( ) ( )
√ ( )7
( ) ( ) [ ( )
( ) ( )] 6
( ) ( )
√ ( )7
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
Nga mosbarazimi (5.13) rrjedhin këto mosbarazime të njëpasnjëshme
∫ ( ) ( ) ( )
∫ , ( ) ( )-
∫ ( )
∫ >√ ( ) ( )
6 ( )
( )
( ) ( )7 ?
∫ ( ) ( )
6 ( )
( )
( ) ( )7
Mosbarazimi i fundit bie në kundërshtim me kushtin tonë të teoremës ndaj teorema
është vërtetuar.■
Kriteret e oshilacionit të rrjedhura nga teoremat (5.1.4.) dhe (5.1.7.) do të aplikohen
në vazhdim në dy ekuacione jolineare të rendit të dytë.
Shembull 5.1.1. Le të jetë dhënë ekuacioni
( )
( ) ( )
Atëherë për të dhënat nga ekuacioni përdorim simbolikën e teoremave në studim si
më poshtë
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ∫
( )
∫
( ) , ( ) ( )- (
)
93
( ) ∫ ( )
∫
( )
Pra, për
ekuacioni ynë është oshilator nga zbatimi në të i kushtit të
mjaftueshëm të oshilacionit (teorema (5.1.4.)).■
Shembull 5.1.2. Le të jetë dhënë ekuacioni
( )
Atëherë kemi
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ∫
( ) , ( ) ( )- ( )
( ) ∫ ( )
∫
Pra për ekuacioni ynë është oshilator nga kushti i teoremës (5.1.4.)
Ndërsa, po për të njëjtin ekuacion nga teorema (5.1.7.) kemi rezultatin në vijim. Për
( ) ( ) dhe ( ) marrim rezultatin vijues,
∫
( ) ( ) (
)
Ky mosbarazim tregon dukshëm se për
ekuacioni ynë është oshilator. Të
dyja teoremat japin kritere të mjaftueshme oshilacioni.■
Në këtë shembull vihet re se teorema (5.1.4.) jep rezultat më të mirë se
teorema (5.1.7.), por kjo nuk do të thotë aspak që teorema (5.1.4.) na ka dhënë një
kusht të mjaftueshëm oshilacioni “më të mirë” se teorema (5.1.7.) për çdo ekuacion
diferencial të rendit të dytë jolinear.
Po paraqesim së fundmi një teoremë të Agarwall, [2] mbi të cilën kemi
ndërtuar një kriter jooshilacioni për zgjidhjet e trajtës lineare të ekuacionit (5.1.1),
. ( ) ( )/
( ) ( ) ( )
Teoremë 5.1.8. [2] Ekuacioni (5.1.14) është jooshilues në qoftë dhe vetëm në qoftë se
ekziston një indeks dhe funksioni ( ) (, , ) , i cili vërteton
mosbarazimin
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( )
Teoremë 5.1.9. [7] Në qoftë se ( ) , ( ) për ( ) për
dhe ka vend mosbarazimi në vijim
94
( ) ( )
( )
( )
atëherë ekuacioni (5.1.14) është jooshilues.
Vërtetim. Nga kushti (5.1.16) rrjedh ekzistenca e dy numrave dhe të tillë që
dhe
, ku
( ) ( )
( )
Prej nga kemi që
( ) ( )
( )
Le të marrim ( )
, atëherë
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) (
) ( ) ( )
Vërtetimi përfundoi.■
§ 2. KUSHTE OSHILACIONI DHE JOOSHILACIONI PËR EKUACIONET
DIFERENCIALE JOLINEARE TË RENDIT TË DYTË ME FAKTOR
SHUARËS
Në këtë seksion prezantohen kritere për përcaktimin e intervaleve të
oshilacionit për ekuacionin diferencial jolinear të rendit të dytë me faktor shuarës
(damping) dhe me vonesa të tipit
( ( ) ( )) ( ) ( ( )) ( ) . ( ( ))/ ( )
ku koefiçienti funksional ( ) është funksioni i vazhdueshëm me vlera pozitive dhe
funksionet dhe janë funksione të vazhdueshme dhe plotësojnë kushte të
caktuara. Duke qenë se teknika e linearizimit për përcaktimin e këtyre kritereve nuk e
është e mundur do të përdorim metodën e përgjithsuar të Rikatit, metodën e të
mesmes integrale si dhe funksionet pozitive të Philos. Kriteret e fituara zgjerojnë dhe
përmirësojnë një numër rezultatesh ekzistuese. Si gjithmonë vëmendja përqëndrohet
në zgjidhjet jotriviale të ekuacionit nën studim (5.2.1).
Në dekadat e fundit objekt studimi për shumë autorë, i referohemi ([7], [8], [21], [27],
[68], [85]) ka qenë studimi oshilativ për ekuacionin me faktor shuarës por pa vonesa
të tipit
( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( )
ku (, , , ,), (, , ), ( ) i tillë që ( )
dhe ( ) për ku është një konstante pozitive .
95
Sigurisht, ekzistenca e vonesave (delay) në ekuacionin (5.2.1) e vështirëson më shumë
problemin, ndaj kërkon futjen e kushteve të reja për funksionet vonesë ( ) dhe
( ).
Rendisim më poshtë disa prej kritereve të oshilacionit të marra vitet e fundit për
ekuacionin (5.2.2).
Çakmak (2008, [21]) supozoi ezistencën e një funksioni ( ) (, , , ,)
dhe me ndihmën e transformimit Rikati provoi këto kushte të mjafueshme për
oshilacionin e ekuacionit (5.2.2),
{
∫
( ) ( )
∫ [ ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ))
( ) ( )]
( ) ( ) ( ) ( )
dhe
{
∫ 4∫ ( ) ( )
5
∫ [∫ [ ( ) ( )
( ( ) ( ) ( ) ( ))
( ) ( )]
( ) ( ) ( ) ( )
]
E reja e sjellë nga këto kritere konsiston në faktin që nuk ka shtrëngim në shenjë për
funksionet dhe , pra ato janë funksione me vlera reale.
Kushti i monotonisë ( ) mund të zëvendësohet në të dyja kriteret me
kushtin ( )
për , por në këtë rast funksioni duhet të jetë jonegativ.
Për fat të keq kushti i monotonisë ( ) nuk është i aplikueshëm gjithmonë
në ekuacionet e tipit (5.2.2), konkretisht për funksionin në vijim, funksioni derivat i tij
ndryshon shenjë katër herë në drejtëzën reale,
( ) (
)
ku
( ) ( )( )
( )
Teorema vijuese jep një kriter të mjaftueshëm për oshilacionin e ekuacionit (5.2.1)
duke mos përdorur kushtin e monotonisë.
Teorema 5.2.1 [2] Le të jenë (, , ). Në qoftë se eksiston një
funksion ( ) (, , , ,) i tillë që
( ) dhe ( ) ( )
( ) dhe . ( ) ( )
( )/
( )
96
∫ ( ) ( )
( )
∫ ( )
( ( ))
( )
( )
∫
( ) ( )4∫ ( ) ( )
5
( )
atëherë ose ekuacioni ynë (5.17) është oshilator ose zgjidhja ( ) kur .
Prania e numrit të madh të kushteve në teoremën e mësipërme për oshilacionin e
ekuacionit (5.2.1) kushtëzohet nga disa arsye: fakti që ekuacioni është jolinear, prania
e faktorit shuarës, prania e dy funksioneve vonesë në të por dhe shmangia e detyruar
nga kushti i monotonisë. Për kritere të tjera oshilacioni mbi këtë ekuacion u
referohemi ([7], [8], [21], [68], [85]). Për kriteret në vijim gjatë vërtetimit do të na
duhet të tregojmë oshilacionin ose jo të zgjidhjeve të një ekuacioni të rendit të parë
me një vonesë. Në literaturën tepër të pasur përzgjodhëm lemën vijuese të Li [57].
Lema 5.2.1. [57] Le të jenë (, , ) dhe ( ) . Supozojmë të
vërtetë një prej kushteve në vijim:
{
∫
( )
( ( ))
( )
∫ ( )
( ( ))
4 ∫ ( )
( ( ))
( )
5
( )
{
∫
( )
( ( ))
( )
∫ ( )
( ( ))
( )
8 4∫ ( )
( ( ))
( )
5 9
( )
ose
{
( )
( )
( )
ku
97
( ) ∫ ( )
( ( ))
( )
( )
( ) ∫ ( )
( ( ))
( )
( ) ( )
( ) ∫ ( )
( ( ))
( )
( ) ∫ ( )
( ( ))
( )
( )
atëherë çdo zgjidhje e ekuacionit diferencial me një vonesë
( ) ( )
( ( )) ( ( )) ( )
është oshilatore.
Teorema vijuese nuk mund të quhet përmisuese e teoremës (5.2.1.), por në
klasën e ekuacioneve të tipit (5.2.1) u jep “shansin“ atyre që nuk plotësojnë kushtin
(5.2.6) të teoremës (5.2.1), të testohen edhe njëherë duke e zëvendësuar këtë kusht me
një nga kushtet e mësipërme të lemës.
Teorema 5.2.2. Le të jenë (, , ) ku eksiston një funksion
( ) (, , , ,) i tillë që plotëson kushtet (5.2.4), (5.2.5), (5.2.7) si dhe
kushtet
( ) ( ) dhe ( ) ( )
( ) ( ) për ( )
Në qoftë se këtyre kushteve i shtojmë një nga kushtet (5.2.8), (5.2.9) ose (5.2.10) të
lemës (5.2.1), atëherë çdo zgjidhje e ekuacionit diferencial të rendit të dytë me faktor
shuarës dhe me dy vonesa është oshilatore.
Vërejtje 5.2.1. Kjo teoremë nuk na kushtëzon tek vonesa e dytë ( ), gjë që na lejon
zbatimin e teoremës dhe në rastet kur ( ) [tipi i prapambetur], ( ) [tipi i
avancuar] ose ( ) [pa vonesë].
Vërejtje 5.2.2. Kjo teoremë nuk duhet parë si përgjithsim i rastit kur ekuacioni nuk ka
faktor shuarës [ ( ) ], apo nuk është me vonesën e parë ose e ka por është i tipit
të avancuar [ ( ) ]. Pra, faktori shuarës ( )dhe faktori vonesë ( ) luajnë rol
kritik në oshilacionin e zgjidhjeve.
Shembulli i mëposhtëm tregon pikërisht se faktori vonesë ( ) luan rol kritik në
oshilacionin e zgjidhjeve për këtë ekuacion me faktor shuarës [ ( ) ].
Shembull 5.2.1. Le të jetë dhënë ekuacioni
( ( )) ( )
(
) ( )
98
ku
( ) ( ) ( )
(
) ( )
ka të paktën një zgjidhje jooshilatore ( ) për .■
Teorema e mëposhtëme na jep një tjetër kusht të mjaftueshëm por kur të dyja
vonesat janë të tipit të prapambetura.
Teoremë 5.2.3.[21] Le të jenë (, , ). Në qoftë se eksiston një
funksion ( ) (, , , ,) i tillë që plotëson kushtet (5.2.4), (5.2.5), (5.2.7),
(5.2.13) si dhe kushtet
( ) ( ) ( ) dhe ( ) ( )
( )
( )
∫ ( ( ) ( ) ( ( ))
( ( ))
( ) ( ))
( )
atëherë të gjitha zgjidhjet e këtij ekuacioni janë oshilatore ose ( ) kur .
Shembull 5.2.2. Në shembullin e mëposhtëm, zgjedhim ( ) dhe shohim se
plotësohen kushtet e teoremës (5.2.3.) për .
4
( )5
( )
( )
( ) ( ) (
( ))
Pra, zgjidhjet e këtij ekuacioni janë të gjitha oshilatore.■
Në teoremën e mëposhtme ndryshojmë vetëm kushtin (5.2.16) të teoremës (5.2.3), me
një kusht të ri me anë të teknikës së të mesmes integrale (teknika Kamenev).
Teoremë 5.2.4. Si në teoremën (5.2.3), përveç kushtit (5.2.16) që e zëvendësojmë me
kushtin vijues
∫ ( ) ( ( ) ( )
( ( )) ( ( ))
( ) ( ))
( )
atëherë të gjitha zgjidhjet e këtij ekuacioni janë oshilatore ose ( ) kur .
Në teoremën në vazhdim ndryshojmë vetëm kushtin (5.2.16) të teoremës (5.2.3) me
një kusht të ri me anë të futjes së dy funksioneve të reja (teknika Philos).
Supozojmë fillimisht ekzistencën e funksioneve të Philos :
*( ) +
i tillë që
( )
99
( ) ( )
Funksioni ka derivat të pjesshëm të rendit të parë të vazhdueshëm dhe jopozitiv
mbi në lidhje me variablin e dytë dhe kënaq barazimin
( )
( )√ ( )
Ndërtojmë funksionin si vijon
( ) ( ) ( )
( )√ ( )
Teoremë 5.2.5. Si në teoremën (5.2.3), përveç kushtit (5.2.16) që e zëvendësojmë me
kushtin vijues
( )∫ 4 ( ) ( ) ( )
( ) ( ( )) ( )
( )5
( )
atëherë të gjitha zgjidhjet e këtij ekuacioni janë oshilatore ose ( ) kur .
§ 3. MODELE MATEMATIKORE
Shembulli vijues ilustron se si aplikohen disa nga teoremat e marra më sipër në një
problem konkret nga fusha e Fizikës.
Shembull 5.3.1. Konsiderojmë ekuacionin diferencial të rendit të dytë jolinear me
argument të vazhduar *i (rast special: lëvizja e lirë me koefiçient shuarës
0 , 0 , 0m k për çdo 0t ). Ekuacioni diferencial *i shndërrohet në
ekuacionin *ii dhe *iii si vijon
*) 0k
i x x xm m
,
2
2
1*) 0
4
tm
kii u e u
m m
*) 0iii p t x t q t x t
ku, 1
2, , ,t t t
m m mk
p t e q t e f x x u t e x tm
dhe 1xf x .
0 0
,s
mds m
e dsp s
Nga kushti (K2, Leighton), ekuacioni *ii është oshilator për 2
2
10
4
k
m m
24 0km dhe 0m
100
2 2
2 2
0 0
1 1lim lim lim 1
4 4
t ts t
m m
t t t
k k mq s ds e ds e
m m m m
Ndërsa nga Teorema (5.1.5.), kemi për *iii
1
21 1 2 2, , , , , , , 1
t s t sm mH t s e Q t s h t s Q t s h t s e g s
m
2 2
2 2
1 1, , , ,
4 4
c b c bs s s s
m m m m
a c a c
k kH s a e ds H b s e ds H s a e ds H b s e ds
m m m m
,
2
2
1
4
c b c bs a s b s s s a s b s s
m m m m m m m m
a c a c
ke e ds e e ds e e ds e e ds
m m
2
2
2
10
4
c bs a b s s
m m m
a c
ke ds e e ds
m m
.
Atëherë për 24 0km dhe 0m
, ekuacioni *)iii është oshilator nga teorema
(5.1.5.).
Teorema (5.1.7.), kur aplikohet tek *iii , jep rezultatin vijues
sin sin 2 sin 2 0 , 1w s s k k g s ose s
mg s e
Atëherë ekuacioni *)iii është oshilator kur 2 22 2km m ose2 24 4km m .
Përfundime
Shumë prej kritereve të oshilacionit të marra për ekuacionin (5.1.1) në paragrafin e
parë kërkojnë informacion për q t dhe p t mbi 0 ,t . Por pjesa më e madhe
prej tyre janë shumë të limituara në aplikime. Për ekuacionin nën studim të mësipërm
karakteri oshilativ i zgjidhjeve nuk mund të provohej nga rezultatet e shumë prej
kritereve të tjera të njohura (literatura ekzistuese) dhe të renditura në paragrafin e
parë. Krahasimi ndërmjet rezultateve tona dhe rezultateve të njohura tashmë paraqitur
edhe për shembullin tonë të mësipërm, (vini re se 0
ds
p s
) tregon se të treja
teoremat (K2), (5.1.5) dhe (5.1.7) japin kritere të mjaftueshme oshilacioni por,
teorema (5.1.7) jep rezultat më të mirë se teorema (5.1.5), të paktën në këtë shembull.
Problemi në vijim nga fusha e Demografisë ndërtohet mbi një ekuacion diferencial të
rendit të parë me argumet të vonuar (delay). Këto ekuacione paraqesin modele
matematikore për sisteme në të cilat shpejtësia e ndryshimit varet jo vetëm nga
gjendja aktuale në të cilën ndodhet sistemi por gjithashtu dhe nga të dhëna që lidhen
101
me gjendjen e sistemit në të kaluarën e tij. Minorsky ([61],[62]) ishte një nga
studiuesit e parë të ekuacioneve delay (DDE) dhe efekteve të tyre mbi sistemet me
kontroll prapa veprues, në të cilat koha e komunikimit nuk mund të neglizhohet. Këto
ekuacione i gjejmë shpesh si modele popullatash apo epidemish, modele ekonomike,
reaktor nuklear apo probleme në elektrodinamikë.
Konsiderojmë ekuacionin diferencial linear të rendit të parë me vonesa të ndryshme të
formës
( ) ∑
( ) ( )
ku , , i=1, 2, 3…..,n janë konstante positive.
Le të jetë * + dhe një funksion (, - ) Me
zgjidhje të ekuacionit (5.3.1) në lidhje me funksionin fillestar në , kuptojmë një
funksion (, - ) të tillë që ( ) ( ) për ku
funksioni është me derivat të parë të vazhdueshëm dhe kënaq ekuacionin (5.3.1)
për .
Ekuacioni karakteristik shoqërues i tij i cili paraqitet si vijon
∑
( )
është një problem shpesh herë tepër i ndërlikuar. Po paraqesim në vijim vetëm disa
rezultate kryesore të teorisë së oshilacionit dhe të qëndrueshmërisë së zgjidhjeve për
ekuacionin e rendit të parë me vonesa, sepse këtu do të konsistojë edhe vazhdimi i
punës sonë në të ardhmen.
Përkufizim 5.3.1.[75] Zgjidhje Ekuilibër do të quajmë një zgjidhje të
ekuacionit (5.3.1), të tillë që:
Në qoftë se për çdo ekziston një e tillë që të plotësojë kushtin | ( )
| mbi [ ] atëherë të gjitha zgjidhjet ( ) të ekuacionit (5.3.1) me vlerë
fillestare mbi [ ], kënaqin kushtin | ( ) | për çdo .
Përkufizim 5.3.2. [75] Në qoftë se ekziston një e tillë që të plotësojë kushtin
| ( ) | mbi [ ] dhe për më tepër, ( ) atëherë do të
kemi që është zgjidhje stabël asimptotik.
Përkufizim 5.3.3. [75] Një zgjidhje ( ), , të ekuacionit (5.3.1) do ta quajmë
zgjidhje oshilatore në qoftë se ekziston një varg kur e tillë që
( ) që do të thotë se ka një numër të pafundëm zerosh.
Përkufizim 5.3.4. [75] Një ekuacion diferencial është oshilator nëse të gjitha zgjidhjet
e tij janë oshilatore.
Përkufizim 5.3.5. [75] Një zgjidhje ( ), , të ekuacionit (5.3.1) do ta quajmë
zgjidhje jooshilatore në qoftë se ekziston një e tillë që | ( )| për që do të thotë se ka zgjidhje ose rigorozisht pozitive ose rigorozisht negative.
102
Nga teoria mbi qëndrueshmërinë e zgjidhjeve kemi shkëputur teoremën e mëposhtme
e cila na shërben në vërtetimin e teoremës bazë të teorisë së oshilacionit, teoremës
(5.3.2.).
Teoremë 5.3.1. [75] Zgjidhja, është asimptotikisht stabël në qoftë se të
gjitha vlerat vetjake të ekuacionit karakteristik janë komplekse dhe me pjesë reale
negative.
Teoremë 5.3.2. Pohimet e mëposhtme janë ekuivalente për oshilacionin e ekuacionit
me vonesa (5.3.1).
(i) Të gjitha zgjidhjet e ekuacionit janë oshilatore.
(ii) Ekuacioni karakteristik i tij nuk ka rrënjë reale.
(iii)
Vërtetim. Nga teorema (5.3.1.), mjafton të tregojmë se (ii) dhe (iii) janë ekuivalente.
Le të ndërtojmë funksionin e ri ( ) , ku ana e djathtë e tij është ana e
majtë e ekuacionit karakteristik (5.3.2) të ekuacionit (5.3.1). Vëmë re se ( ) ( ) , pra ( ) . Për më tepër, gjejmë se sa është vlera më e vogël e
këtij funksioni. Pas një proçesi matematikor të njohur kemi :
( ) ( )
.
Ky barazim është i vërtetë për , e cila është edhe vlera ku funksioni në
shqyrtim merr vlerën më të vogël. Atëherë meqë ( ) për çdo , marrim
rezultatin e pritshëm pas zëvendësimit të .
( )
Pra teorema u vërtetua.■
Rast i veçantë i ekuacionit (5.3.1) është ekuacioni me një vonesë
( ) ( ) ( )
që i shoqërohet ekuacioni karakteristik
( )
Shembull 5.3.2. Ekuacioni diferencial i rendit të parë i zakonshëm
( ) ( )
ka si zgjidhje të përgjithshme ( ) pra, nuk ka zgjidhje oshilatore. Ndërsa,
ekuacioni diferencial i rendit të parë me vonesë
,
( ) .
/
103
me ekuacion karakteristik
, i ka të gjitha zgjidhjet oshilatore [vini re
se,
], të tilla janë për shembull, ( ) dhe ( ) . Pra, në
këtë shembull vihet re se futja në ekuacionin e dytë të vonesës
shkakton
oshilacione (luhatje) të zgjidhjeve. Por sigurisht, ka edhe shembuj që tregojnë të
kundërtën ku ekuacioni pa vonesa i ka të gjitha zgjidhjet oshilatore dhe jooshilacioni
është shkaktuar nga futja e madhësisë vonesë.
Një numër i madh problemash në natyrë modelohen matematikisht me
ndihmën ose të disa madhësive diskrete ose të disa madhësive që ndryshojnë
vazhdimisht në lidhje me kohën. Në qoftë se e konsiderojmë popullatën (njerëz, bimë,
kafshë, viruse etj) si një madhësi që varet në mënyrë diskrete nga koha, atëherë norma
e rritjes së popullatës mund të përcaktohet me ndihmën e një ekuacioni diferencë. Por
megjithatë ekologjistët, biologët apo demografët shtrojnë për zgjidhje probleme ku
numri i individëve të një popullate është tepër i madh ndaj dhe shpesh modelimi
matematikor i tyre realizohet me terma që tregojnë vazhdueshmëri në kohë. Derivatet
e si rrjedhojë ekuacionet diferenciale operojnë me madhësi që ndryshojnë vazhdimisht
në lidhje me kohën ndaj dhe ato shpesh janë përdorur si mjete tepër efikase për të
analizuar situata ku kërkohet projektimi i popullatës në kohë të ndryshme.
Modele të projektimit të popullatës si modeli linear, eksponencial apo logjistik
standart operojnë me ekuacione diferenciale të zakonshme të tipit ( ( )) ku
( ) , të cilat japin parashikime për të ardhmen vetëm me informacionin që
kanë për numrin e individëve të momentit (present time). Modele të tilla, si modeli
linear, eksponencial apo logjistik standart që veprojnë mbi popullata të përbëra vetëm
nga një lloj (specie) janë përdorur nga shumë studiues tё fushave tё ndryshme ([30],
[55]). Këto modele mund të japin rezultate të mira për sa kohë që shtrirja e studimit
është e shkurtër në kohë po jo më tej. Rezultatet mbi popullatën për perioda të gjata
studimi i largohen tepër realitetit sepse në fakt, norma e rritjes së popullatës shpesh
varet jo vetëm nga numri i individëve të momentit por edhe nga numri në të shkuarën
e individëve (past time). Për këtë arsye por edhe sepse ekuacioni që e modelon atë
matematikisht është një ekuacion diferencial i rendit të parë me vonesa ky model
quhet ekuacion logjistik me vonesa (delay logistic model).
Modeli i ri logjistik ka përmirësuar modelin ekzistues logjistik dhe në këtë
mënyrë është përftuar një model më i mire, që i përafrohet më shumë realitetit duke
shfrytëzuar edhe informacionin që ne marrim nga e shkuara. Problemi i projektimit të
popullatës fillimisht u modelua matematikisht nga Hutchinson (1948), si ekuacion
diferencial me vonesa (D.D.E) i tipit ( ( ) ( )).
Në vijim po paraqesim grafikisht disa modele pa vonesa në kohë (modeli
linear, modeli eksponencial dhe modeli logjistik standart) të cilat edhe analitikisht
janë studiuar në disa punime në bashkëpunim edhe me specialistë të fushës së
Statistikës, për të parë ndryshimin me modelin Hutchinson ([22], [23], [24], [46]).
104
Figura 1
Figura 2
Modeli logjistik me vonesa
Të tilla modele kanë aplikime të shumta në Demografi, Ekologji, Epidemiologji, Inxhinjeri dhe Biologji. Le të paraqesim me N(t) numrin e popullsisë së planktoneve (popullatat e planktoneve 0,2-5 mm, Daphnia) të rritura në kohën e momentit t.
Modeli logjistik
Viti
Nu
mri
i p
op
ulls
ise
2000 2500 3000 3500
99
96
00
09
99
70
00
99
98
00
09
99
90
00
10
00
00
00
Modelet: Linear (blu) dhe Eksponencial (kuqe)
Viti
Numri
i popullsise
2000
2010
2020
2030
2040
2050
3100000
3300000
3500000
3700000
105
Norma e rritjes së këtij numri individësh varet sidomos nga numri i individëve femra,
koha e zhvillimit nga veza tek i sapolinduri. Pra në këtë popullatë me sa duket numri i
individëve përcaktohet jo nga sasia e ushqimit në dispozicion kur çelin vezët por kur
vezët formohen, pra disa kohë para se të kalojnë në fazën e çeljes. Ndërmjet kohës së
formimit të vezëve dhe çeljes së tyre, le të themi njësi kohe, mund të kenë lindur të
tjerë individë Daphnia, pra popullata rritet. Hutchinson (1948) propozoi këtë model
për situata të këtij lloji duke përfshirë dhe atë njerëzore :
>
( )
( ) 4
( )
5
( ) ( )
( )
ku dhe K janë konstante positive të përcaktuara si në modelin logjistik standart,
ndërsa tregon njësi kohe vonesë, pra koha që i duhet një veze për të çelur, në
rastin e popullatës njerëzore 9 muaj. Problemit (5.3.5) që shtrohet për zgjidhje i
shtojmë edhe kushtin fillestar, ( ) ( ) ku , - dhe , - është funksion i vazhdueshëm
Konsideratat biologjike, demografike apo inxhinjerike mbi parashikimet për rritjen e
popullatës për një situatë të tillë mbështetur në eksperimente laboratorike gjenden në
shumë artikuj ([15], [30]). Interesi ynë në këtë punim është përqëndruar në studimin
matematikor të problemit me vonesa (5.3.5). Për këtë, le ta transformojmë më parë
ekuacionin tonë në një ekuacion të ri i cili ngelet përsëri diferencial jolinear me
vonesa (delay) D.D.E por më i lehtë për tu studiuar.
Ndërtojmë funksionin e ri
( ) ( )
ku marrim pas derivimit në lidhje me t-në barazimin si vijon
( ) ( )
Nga ekuacioni ynë me vonesa marrim barazimet e mëposhtme :
( ) ( ) 4 ( ( ))
5
( )
, ( ) - 6
( ( ) )
7
( ) ( ( ) )y( ) (5.3.6)
Le të konsiderojmë tani ekuacionin e linearizuar me vonesa të ekuacionit (5.3.6)
( ) ( ) (5.3.7)
Ekuacioni karakteristik për ekuacionin (5.3.7) është . Për më lehtë
ekuacioni karakteristik shkruhet në trajtën e një ekuacioni transhendet, i cili ka zakonisht një numër të pafundëm rrënjësh. Zgjidhjet e tij jepen me ndihmën e
një funksioni të ashtuquajtur “Product -Log” ose “Plog“, i cili është funksioni i
106
diferenciale për shembull, mathematica. Le të rendisim më poshtë disa nga pohimet
më të rëndësishme që do të na ndihmojnë për përcaktimin e situatës në rastin kur
popullata i afrohet kapacitetit mbajtës K.
Aplikojmë tani studimin linear të bërë më sipër për ekuacionin (D.D.E)
jolinear tek modeli logjistik me vonesa (5.3.5) që është një nga modelet më të njohura
për projektimin e popullatës duke marrë këto rezultate.
Rezultate
Në qoftë se,
norma e rritjes është si ajo e modelit
standart logjistik dhe të gjitha zgjidhjet janë jooshilatore .
Në qoftë se,
të gjitha zgjidhjet janë oshilatore.
Kjo analizë matematike siguron kufijtë ekologjistik për madhësinë vonesë , për
shkak të së cilës kemi dhe fenomenin oshilacion, si në figurë.
Figura 3
107
PËRFUNDIME
1. Ky disertacion përbën një kontribut të rëndësishëm për teorinë e oshilacionit si një
drejtim i ri kërkimi në departamentin tonë.
2. Pra, natyrshëm konsiderojmë si një prej synimeve që kërkohet të arrihet me anë të
këtij punimi, paraqitjen e sistemuar të njohurive bazë të teorisë së oshilacionit të
trajtuara në literaturën ekzistuese që disponojmë, duke u kujdesur që të mbajmë të
njëjtën linjë arsyetimi.
3. Në këtë disertacion kemi synuar paraqitjen e informacioneve sa më bashkëkohore,
që gëlojnë në fushën e teorisë së oshilacionit për të cilat ka interpretime të
ndryshme nga autorë të ndryshëm në përshtatje me fushat e tyre të interesit
shkencor.
4. Në pjesën kryesore të këtij disertacioni u fokusuam në ekzistencën e zgjidhjeve
oshilatore në ekuacionet funksionale (klasa të ndryshme) dhe në format diskrete të
tyre pra, në ato zgjidhje që tentojnë në pambarim dhe që kanë një pafundësi
zerosh.
5. Kriteret e marra (përmirësim i kritereve ekzistuese) ndërtohen kryesisht mbi
kushtet që duhet të plotësojnë koefiçientët funksionalë të ekuacioneve funksionale
nën studim. Këta koefiçientë ndikojnë në natyrën oshiluese (luhatëse) ose
jooshiluese të këtyre ekuacioneve.
6. Teoremat të cilat vërtetohen në këtë disertacion (jemi perpjekur që të plotësojnë
kushte të cilat dallojnë nga ato të autorëve të ndryshëm të këtyre dekadave të
fundit) në pergjithësi ngrihen mbi kushte që përmbajnë integrale.
7. Disa nga metodat kryesore të cilat përdoren në ndërtimin dhe më pas vërtetimin e
saktësise së këtyre kritereve oshiluese ose jooshiluese janë: metoda krahasuese e
Shturmit, metoda Rikati, metoda Kamenev (metoda e të mesmes integrale),
metoda Philos etj.
8. Disa nga kriteret ekzistuese të oshilacionit të marra nën studim janë shumë të
limituara në aplikime. Kjo është treguar në disertacion me anë të shembujve të
ndërtuar sipas kritereve të teoremave ekzistuese. Ndaj, mbi to jemi përpjekur të
bëjmë përmirësime, duke marrë kritere të reja oshilacioni (kushte që ekuacioni të
jetë oshilator).
9. Për fat të mirë kjo fushë e rëndësishme kërkimi nuk ka vetëm karakter teorik, por
ka dhe shumë aplikime të rëndësishme, ndaj në kapitullin e fundit trajtojmë edhe
ndërtimin e modeleve konkrete për analizimin e rezultateve të marra.
10. Studimi i problemave që interpretohen matematikisht me ekuacione funksionale
dhe që kërkojnë verifikim të sjelljes oshilatore të zgjidhjeve na nxitën në punim
për krijimin e “paketave me rregulla verifikuese” dhe sigurisht me pasurimin e
tyre në të ardhmen.
108
BIBLIOGRAFIA
[1] Agarwal, R. P., Grace, S. R., Oregon ,D., (2000), Oscillation Theory for
Difference and Functional Differential Equations , Kluwer Academic Publishers.
[2] Agarwal, R. P., Grace, S. R. , O‟Regan ,D., (2002), Oscillation Theory for
Second Order Linear, Half-Linear, Superlinear and Sublinear Dynamic Equations ,
Kluwer Academic Publishers.
[3] Agarwal, R. P., Bohner, M.,Li, W. T.,(2004), Nonoscillation andOscillation
Theory for Functional Differential Equations , Marcel Dekker .
[4] Bahatia, N. B.,(1966),SomeOscillation Theorems for Second Order Nonlinear
Equations, J. Math. Anal. Appl.,Vol.15, 442-446.
[5] Baculikova, Blanka.,Oscillation criteria for second order nonlinear
differential equations,(2006), Archivum Matematicum (Brno) .Vol, 42:141-149.
[6] Beqiri,Xh.,Interval oscillation of nonlinear diferential equations second
order.(2011),The Heritage., Nr.4 :122-128.
[7] Beqiri,Xh.,Koçi.E., Oscillation Criteria for second order nonlinear perturbed
differential Equations,(2011),The Heritage, Nr.6, :83-90.
[8] Beqiri,Xh.,Koçi.E., Interval oscillation criteria for second order nonlinear
differential equations with damping term,(2011), International Journal of Science,
Innovation and New Technology , IJSINT, Nr.2, Vol 3 :85-91.
[9] Beqiri,Xh.,Koçi,E., Oscillation Criteria for second order nonlinear
differential Equations,(2012),British Journal of Science, Vol6(2) :73-80.
[10] Beqiri,Xh.,Koçi,E., Oscillation theorems for second order Differential
Equations and their Applications,(2013), Journal of Mathematics and System Science
.Vol 3: 83-88.
[11] Beqiri.Xh.,Koçi,E., New oscillation and nonoscillation criteria for second
order nonlinear differential equations,(2014), International Journal of Pure and
Applied Mathematics.Nr. 2,Vol 93 : 155-163.
[12] Beqiri,Xh.,Koçi,E., Oscillation theorems for second order Differential
Equations and their Applications.Internacional Conference , Information Systems and
Technology Innovation: their application in Economy.8-9 June 2012,Tiranë,
ALBANIA.
[13] Beqiri,Xh.,Koçi,E.,Oscillation Criteria for second order non linear
differential equations. I.E.C.M.S.A ,1-st Internacional Eurasian Conference on
Mathematical Sciences and Applications .3-7 Shtator 2012, Prishtine, KOSOVA.
[14] Beqiri,Xh.,Koçi,E.,New oscillation and nonoscillation criteria for second
order non linear differential equations.1st International Western Balkans Conference
of Mathematical Sciences.May 30 - June 1, 2013 Elbasan,ALBANIA .
[15] Berezansky, L., Braverman ,E., Oscillation of a Logistic Difference Equation
with several delays,Advances in Difference Equations,(2006),V:ID 82143: 1-12.
109
[16] Bin, Zh., Interval Oscillation Criteria Related to interval Averaging
Technique for Certain Nonlinear Delay Differential Equations,(2008),Int. Journal of
Math Analysis, Vol.2, No .4 , 149 – 157.
[17] Bohner, M. ,Saker, S. H., Oscillation of Damped Second Order Nonlinear
Delay Differential Equations of Emden-Fowler Type ,(2006) ,Advances in
Dynamic Sys. Appl,Vol.1, No. 2, 163-182.
[18] Budinčević ,Mirko.,Oscillation of second order neutral nonlinear differential
equations ,(1997), Novi Sad. J Math. Vol. 27, No. 2: 49-56.
[19] Butler,G,J., Integral averages and the oscillation of second order ordinary
differential equations , (1980) , SIAM J. Math.Anal. No.11, 190-200.
[20] Byrne Charles .,Notes on Sturm-Liouville Differential Equations,(2009),
University of Massachusetts at Lowell,Lowell, MA 01854, USA.
[21] akmak, D., Oscillation for Second Order Nonlinear Differential Equations
with Damping,(2008), Dynamic Sys. Appl,Vol.17, 139-148.
[22] Dhamo,E .,Koçi,E.,Xhaja,B.,Asimi, A.,Defects of fixed –line network :
modeling and prediction using Arima ,Garch models, (2012), International Journal of
Science, Innovation and New Technology , IJSINT, Nr.3, Vol 1 :33-38.
[23] Dhamo,E.,Koçi,E.,Xhaja,B.Shevroja,M., Implemention of some mathematical
models on the Albanian population projection (Prediction until year, 2300),
(2011),B.Sh.N (UT), Nr.12 :15-25.
[24] Dhamo, E.,Xhaja,B ., Koçi, E .,Modele Matematikore mbi Projeksionin e
Popullsisё Shqipёtare (parashikimi deri ne vitin 2300).Konferenca Kombëtare, FIMIF
28 Tetor 2011,Tiranë, ALBANIA.
[25] Elabbasy, E. M.,Elzeiny,Sh. R. , Oscillation Theorems concerning Non-Linear
Differential Equations of the Second Order , (2011) ,Opuscula Mathematica,
Vol.31,No. 3,373-389.
[26] Elmetwally , M. Elabbasy., Taher, S. Hassan ., Samir ,H. Saker.,Oscillation
and Nonoscillation of Nonlinear Neutral Delay Differential Equations with Several
Positive and Negative Coefficients, (2007) , Kyungpook. Math. J. 47 : 1-20.
[27] El-Sayed,M.A.,An oscillation criterion for a forced second order linear
differential equations, (1993) Proc. Am. Math. Soc,Vol.118, 813-817.
[28] Erbe,L.,Hasan,T. S., Peterson, A. , Oscillation of Second Order Neutral
Delay Differential Equations ,(2008), Advances in Dynamic Sys. Appl,Vol. 3, No. 1,
53-71.
[29] Felix,R.Braun-Munzinger., Brian,I.Carlsen.,Oscillation criteria for Sturm-
Liouville operator coefficients in the limit circle case .(2010),Summer School
supported by the National Science Foundation, Grant DMS-0963728.
[30] Getto ,Philipp .,Delay Equations a nd Structured Population models,(2010),
(B.C.A.M).
110
[31] Golda (Nowakowska),W.,Werbowski, J.,Oscillation of linear functional
equations of the second order, (1994), Funkcial.ekvac., 37: 221-227.
[32] Golda (Nowakowska),W.,Werbowski, J.,Oscillation of linear functional
equations of higher order,(1995), Arch.Math., 31: 251-258.
[33] Golda (Nowakowska),W.,Werbowski, J.,The Oscillatorybehavior of linear
recurrence equations,(1995),Fas.Math., 25: 105-111.
[34] Golda (Nowakowska),W.,Werbowski, J.,Oscillatory behavior of solutions of
functional equations, (2001), Nonlinear Analysis., 44: 767-775.
[35] Gyori,I., Ladas ,G.,Oscillation theory of delay differential equations,(1991),
Osford Univ. Press, New York, MR93m: 34109.
[36] Hamedani, G. G.,Oscillation of a Class of Higher Order Forced Functional
Differential Equations,(2005) , Journal of Applied Mathematics, Statistics Informatics
(JAMSI).1. No. 2.
[37] Hartman, P., Non oscillatory linear differential equationsof second
order,(1952), Amer.J.Math, No.74, 389-400.
[38] Kamenev, I, V., Certain specifically nonlinear oscillation theorems.(1971),
Mat.Zametki, No.10, 129-134. In Russian.
[39] Kamenev, I, V., An integral criterion for oscillation of lineardifferential
equations of second order.(1978), Mat.Zametki, No.23, 249-251. In Russian.
[40] Karpuz ,B.,Rath, R.N., Padhy ,L.N., Oscillation and Asymptotic Behaviour of
a Higher Order Neutral Differential Equation with Positive and Negative
Coefficients, (2008), Electronic Journal of Differential Equations, Vol, No. 113 : 1-
15.
[41] Kiguradze, I.T.,On the oscillation of solutions of the equation
0)( signuutadt
ud n
m
m
, (1964),Mat.Sb. 65 :172-187 (Russian).
[42] Kong,Q.,Interval criteria for oscillation of second order linear ordinary
differential equations, (1999), J. Math. Anal. Appl,Vol.229, 258-270.
[43] Koçi,E., Oscillatory behavior of solutions of functional equations . Some
sufficient conditions for their oscillation,(2008),B.Sh.N (UT), Nr.5 :53-65.
[44] Koçi,E., Improvement of some sufficient conditions of oscillation of solutions
to functional equations of second order,(2009), B.Sh.N (UT), Nr.7 :58-68.
[45] Koçi,E., Oscillation of solutions to second order nonlinear neutral delay
differential equations,(2010) ,A,J.N.T.S ,Vol .16, Nr.2(28) :115-128.
[46] Koçi,E.,Beqiri,Xh.,Dhamo,E., On the Use of differential equation with delay
in the mathematical model population Projection,(2011), Albanian Socio Ekonomic
Review, Nr.5(69) :147-154.
111
[47] Koçi,E.,Beqiri,Xh.,Dhamo,E., Oscillation Criteria of Nonlinear Dynamic
Equations with a Single Dely, (2012),International Journal of Science, Innovation and
New Technology , IJSINT, Nr.3, Vol 2 :1-10.
[48] Koçi,E. ,Oscillation of the solutions to second order nonlinear differential
equations ,(2012),AKTET , Nr.3, Vol 5 :315-325.
[49] Koçi,E., Oscillatory behavior of solutions of functional
equations.Internacional Conference on Algjebra and Functional Analysis II.1 Korrik
2008, Elbasan, ALBANIA.
[50] Koçi,E., TheImprovement of some sufficient conditions for the oscillation of
solutions of second orderfunctional equation.Internacional Conference on Algjebra
and Functional Analysis III.15-16 Maj 2009, Elbasan, ALBANIA.
[51] Koçi,E., Oscillation of solutions to second order nonlinear neutral
delaydifferential equations.Internacional Conference on Algjebra and Functional
Analysis IV. 14-15 Maj 2010, Elbasan, ALBANIA.
[52] Koçi,E., Oscillation of solutions to second order nonlinear differential
equations.Takimi i VI vjetor ndërkombëtar i institutit Alb-Shkenca, IASH.1-4 Shtator
2011,Prishtinë,KOSOVA.
[53] Koçi,E., Beqiri,Xh.,Oscillationproblems for first order delay differential
equations.Takimi i VII vjetor ndërkombëtar i institutit Alb-Shkenca, IASH. 29 Gusht-
1 Shtator 2012,Shkup,MAQEDONI.
[54] Koçi,E., Beqiri,Xh.,Oscillation of solutions to second order non linear
differential equations.Konferenca shkencore ,Fakulteti i Shkencave Natyrore ne 100-
vjetorin e pavaresise. 22-23 Nentor 2012, Tiranë, ALBANIA .
[55] Kyrychko,Y.N.,Hogan,S.J.,On the Use of Delay Equations in Engineering,
Applications, (2010) , Journal of Vibration and Control. 16 (7-8):493-960.
[56] Leighton, W., The dedection of the oscillations of solutions of a second order
linear differential equation , (1950) , Duke Math.J., No.17, 57-62.
[57] Li ,W. T.,Interval oscillation of second-order half-linear function differential
equations , (2004), Applied Mathematics and Computation,Vol.155 , 451-468.
[58] Li, W. T. ,Huo, H. F. , Interval Oscillation Criteria for Nonlinear Second
Order Differential Equations ,( 2001), Indian J.pure appl.Math,Vol.32,No.7, 1003-
1014.
[59] Li ,W. T.,Yan, J., Oscillation Criteria for Second Order Superlinear
Differential Equations ,(1997), Indian J.Pure.Appl.Math,Vol.28 ,735-740.
[60] Lomotidze ,A.,Oscillation and nonoscillation criteria for second order linear
differential equations,(1997), Georgian Mathematical Jurnal. Vol.4,No.2:129-138.
[61] Minorsky, N., Oninteraction of non-linear oscillations, (August 1953).
J.Franklin Inst.256(2): 147–165.
112
[62] Minorsky, N., Nonlinear Oscillations,(1962). Von Nostrand co., Inc.,
Princeton.
[63] Ming, Shu Peng .,Agarwal ,R.P.,Oscillation Theorems of Second Order
Nonlinear Neutral Delay Differential Equations Under Impulsive
Perturbations,(2002), Indian J. 33(7): 1017-1029.
[64] Niri ,Khadija ., Stavroulakis, Ioannis. P., On the oscillation of the solutions to
delay and difference equations,(2009),Tatra Mt. Math. Publ. No.43, 173–187.
[65] Philos,Ch,G., Oscillation theorems for linear differential equations of second
order, (1989), Arch.Math.No.53, 482-492.
[66] Qinghua, Feng .,Interval Oscillation Criteria for Second Order Delay
Differential Equations,(2009),World Congress on Engineering , July 1-3 ,. Vol .2,
London, U.K.
[67] Tiryaki ,Aydin.,Oscillation criteria for a certain second order nonlinear
differential equations with deviating arguments,(2009), N. 61:1-11.
[68] Saker,S. H., Pang,P. Y. H.,Agarwal,R. P., Oscillation Theorems for Second
Order Nonlinear Functional Differential Equations with Damping ,(2003), Dynamic
Sys. Appl, Vol. 12, 307-322.
[69] Staikos, V. A.,Basic results on Oscillations for Differential Equations, (1980),
Hiroshima Math. J . 10: 495-516.
[70] Stavroulakis,I.P.,Oscillation criteria for functional differential equations
Electronic Journal of Differential Equations,(2005) ,Conference 12 : 171-180.
[71] Sung Kyu Choi., Nam Jip Koo .,Oscillation theory for delay and neutral
differential equations, (1999), Trends in Mathematics (I.C.M.S.) (2) : 170-176.
[72] Seman ,J., Oscillation of solutions to Second Order linear Differential
Equations , (2004 ), Electronic Journal of Differential Equations, Vol. 2004, No.28 ,
1-9.
[73] Seman ,J., Oscillation Theorems for Second Order Nonlinear Delay
Inequalities(1989), Math. Slovaca,Vol. 39, No. 3, 313-322.
[74] Sugie, J.,Kita, K.,Yamaoka, N., Oscillation constant of second-order non-
linear self- adjoint differential equations , (2002), Ann.Mat. Pura Appl ,Vol.4,
No.181, 309-337.
[75] Syamsuddin Toaha .,Stability Analysis of some population models with time
delay and harvesting, (2006), Universiteti Putra, Malaysia.
[76] Shang ,Nina., Youmin ,Lu & Fuyi ,Xu., Oscillating Criteria on Second Order
Non-linear Differential Equations with distributed Deviating Arguments and Delay
Terms,(2009), Int. Journal of Math . Analysis, Vol. 3, No.9: 431-441.
[77] Shen ,J.H.,Stavroulakis, I.P.,Sharp conditions for oscillation of functional
equations, (2002), Acta Math.Scientia 22B (1): 56-62.
113
[78] Shen ,J.H.,Stavroulakis, I.P.,Sharp conditions for non-oscillation of functional
equations,(2002), Indian J.Pure Appl.Math .33(4): 543-554.
[79] Shoukaku,Y.,Oscillation of solutions of second order neutral
differentialequations with positive and negative coefficients,(2009), Journal of
Applied Analysis Vol.15,No.2,281-298.
[80] Yamaoka,N.,Oscillation and NonoscillationTheorems for Second Order
Nonlinear Differential Equations with p- Laplacian,(2005),Mathematical Science
Vol.38, 17-30 .
[81] Yildiz, M.K ., Öcalan, Ö ., Karpuz, B.,Oscillation of nonlinear neutral delay
differential equations of second-order with positive and negative coefficients,(2009),
Turk J Math 33: 341-350.
[82] Zaki, M. S., On asymptotic behavior of a second order delay differential
equation,(2007), Intern. J of Physical Sciences ,Vol.2 , No. 7, 185-187.
[83] Zhang ,B.G., Choi,S.K.,Oscillation and NonOscillation of a Class of Functional
Equations,(2001), Math.Nachr., 227: 159-169.
[84] Wang, Tong.Li.,Interval oscillation criteria for nonlinear second order
differential equations,(2001), Indian J. pure appl. Math .,32(7) 1 1003-1014.
[85] Wan,J., Oscillation Theorems for Second Order linear Differential Equations
with Damping Term, (1986) , Proc.Amer.Math.Soc. No.98, 276-282.
[86] Wang, X.,Song ,G., Oscillation Criteria for a Second -Order Nonlinear
Damped Differential Equation , (2011), Intern J of ISC ,Vol.7, No. 1, 73-82.
[87] Wintner, A. A criterion of oscillatory stability.(1949), Quart.Appl.Math.,
No.7, 115-117.
[88] Willet,D,W., Onthe oscillatory behavior of the solutions of second order
linear differential equations,(1969) , Ann.Polon.Math, No.21, 175-191.
[89] Wong.J.S.W., An oscillation theorem for second order sublinear differential
equations ,(1990), Proc.Amer.Math.Soc, No.110, 633-637.