sistemas de ecuaciones no lineales · método de newton modificado (i) método de newton modificado...

Matemática Superior aplicada

Sistemas de Ecuaciones No Lineales

Profesor: Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz JTP: Dr. Juan Ignacio Manassaldi Aux. 2da: Sr. Alejandro Jesús Ladreyt Aux. 2da: Sra. Amalia Rueda

Introducción

Volvemos un tiempo atrás: ¿Qué son los Sistemas de Ecuaciones Lineales?

¿Qué son los Sistemas de Ecuaciones No Lineales?

Introducción

Podemos decir que los sistemas de ecuaciones no-lineales son un conjunto de ecuaciones no-lineales que deben satisfacerse en simultaneo.

1 1 2

2 1 2

1 2

, , , 0

, , , 0

, , , 0

n

n

m n

f x x x

f x x x

f x x x

n-m: grados de libertad

Sistema de ecuaciones algebraicas no lineales

1 1 2

2 1 2

1 2

, , , 0

, , , 0

, , , 0

n

n

m n

f x x x

f x x x

f x x x

1,2, ,

: 1, 2, ,

i

n

j

x R i n

f R R j m

Sin perdida de generalidad supondremos m=n

1 1 2

2 1 2

1 2

, , , 0

, , , 0

, , , 0

n

n

n n

f x x x

f x x x

f x x x

:

n

n n

x R

f R R

Sistema de ecuaciones algebraicas no lineales

1 1 2

2 1 2

1 2

, , ,

, , ,

, , ,

n

n

n n

f x x x

f x x xf x

f x x x

Se define la función vectorial f asociada al sistema de ecuaciones original y el vector de incógnitas x:

1

2

n

x

xx

x

0f x

Por lo tanto, la expresión compacta de un sistema de ecuaciones algebraicas no lineal corresponde a:

1

1

k k

k k

rk

x x

x x

x

Aproximaciones sucesivas (multivariable)

El valor de arranque o semilla corresponde a un vector:

0

1

00 0 2

0

n

x

1 0x F x

La primera aproximación se obtiene a partir de la función vectorial F asociada al sistema original.

Finalmente se desarrolla el proceso iterativo hasta satisfacer la tolerancia o alcanzar el máximo de iteraciones:

1k kx F x

max1, 2, ...,k k

Al tratarse de vectores el error corresponde a la norma de la diferencia entre dos aproximaciones sucesivas

Ejemplo Aprox. Sucesivas

05

075.0

2

1122

1

2

12

xxxx

xxx

2

2 1 1

2

2 2 1 1

0.75

5

x x xf x

x x x x

1

2

xx

x

0f x

2

2 1

2

2 1 1

0.75

5

x xF x

x x x

x F x

1

2

xx

x

Sistema equivalente:

0 1

1x

0

1 1.2500000

4.0000000

F x

x

2 130.8829696e x x

1

2 -3.1875000

26.5625000

F x

x


El error de la iteración 5 corresponde a: 159.6510395 10e

¡El sistema no converge!

2

2 1

2

2 1 1

0.75

5

x xF x

x x x

1

2

xx

x

0 1

1x

0

1 0.8660254

0

F x

x

1

2 1.2712299

0.1732051

F x

x


2 1

2

2 1 1

0.75

5

x xF x

x x x

2

2 1 1

2

2 2 1 1

0.75

5

x x xf x

x x x x

9 1.3720650

0.2395017x

9 8 -76.0051938 10e x x

9 1.3720650 1.3720653

0.2395017 0.2395019F x F

-7

9

-6

-8.4719027 10

-1.0625308 10f x

* 1.3720650

0.2395017x

Aproximaciones Sucesivas

si

no

1kx es solución

1k kx F x

0

0; 0x k

1k k

1k k

rk

x x

x

0

0x

1 0x F x

11

ii

i

q i a n

1

11

k k

i i

i k k

i i

F x F xi a n

x x

1ii iQ q i a n

1k k kx Qx I Q F x

Método de Wegstein (multivariable)

Corresponde a una extensión de lo presentado para una variable.

max1,2,3,...,k k

1k k

rk

x x

x

1 1k kx F x

1

2

0 0

0 0

0 0 0

0 0 0 n

q

qQ

q

0 0 1

1x x

0

1 1 1.2500000

4.0000000

F x

x x

1

2 2 -3.1875000

26.5625000

F x

x x

Implementación en el ejemplo

2

2 1

2

2 1 1

0.75

5

x xF x

x x x

1

2

xx

x

2

3 35.9726562

433.5000000

F x

x

2 1

2 11 2

i i

i

i i

F x F xi a

x x

-8.8248239

13.3149284


0.9220646 0

0 0.8744742Q

1 2

1

ii

i

q i a

2 33x Qx I Q x

3 0.9220646 0 -3.1875000 0.1017830 0 35.9726562

0 0.8744742 26.5625000 0 -0.0812022 433.5000000x

3 0.7983380

6.4817440x

3 230.8829696error x x

42 1.3720644

0.2395041x

-75.46739 10error


42 1.3720644 1.3720648

0.2395041 0.2394852F x F

-7

42

-5

1.3720644 3.9569449 10

0.2395041 1.8947044 10f x f

* 1.3720644

0.2395041x

Método de Wegstein

si

no

1kx es solución

1k k

1k

1k k

rk

x x

x

0

0x

1 0x F x

1

11

k k

i i

i k k

i i

F x F xi a n

x x

11

ii

i

q i a n

1ii iQ q i a n

1k k kx Qx I Q F x

1 1k k k kx x J x f x

1 1 1

1 2

2 2 2

1 2

1 2

n

n

n n n

n

f f f

x x x

f f f

x x xJ

f f f

x x x

Método de Newton-Rhapson (multivariable)

La formula recursiva de N-R multivariable corresponde a:

1kf x

1k k

rk

x x

x

max1,2,...,k k

Matriz Jacobiana de la función f

Inversa de la matriz J evaluada en el punto

:

:

n

n n

n n n

x R

f R R

J R R

1

2 1 1

2 1 1

5 2 1 5

xJ x

x x x


0 1

1x

1 1 2 1 3 0.25 2.1666667

1 1 1 3 5 0.4166667x

2 2.1666667 0.2580254 -0.0218050 1.3611111 1.6055926

0.4166667 0.1399152 0.0726832 -9.6250000 0.0924692x

2 1 1.6055926 2.1666667 -0.56107410.7576434

0.0924692 0.4166667 0.5091359e x x e

2

2 1 1

2

2 2 1 1

0.75

5

x x xf x

x x x x

3 1.40370400.2409977

0.224078x e

4 1.37277420.0344382

0.2392220x e

5 41.3720658

7.6168800 100.2395018

x e


* 1.3720654

0.2395019x

-12

*

-12

0.1267875 10

-0.3406164 10f x

Podemos afirmar que es solución del sistema.

El error es del orden de 10-7

Método de Newton

si

no

0

0; 0x k

1k k

rk

x x

x

1kx es solución

1k k

1 1k k k kx x J x f x

Requerimos que: 1) El algoritmo progrese hacia la solución en cada paso:

2) Los pasos no sean demasiado grandes:

donde δ es elegido por el algoritmo.

k 1 kf x f x

k 1 kx x δ

Método de Newton modificado (I)

Método de Newton Modificado (II)

Supongamos que tenemos:

A partir del Método de Newton esperamos que:

pero puede que no satisfaga:

Además, si J es singular, p no existe.

1 k kp J x f x

k 1 kx x p

Corrección

p δ

Método de Newton Modificado (III)

En lugar de evaluar la corrección por el Método de Newton, resolvemos un problema de optimización restringida:

sujeto a la restricción:

Esto funciona aún para J singular!!!!

k k

pmín z J x .p f x

p δ

1 k kp J x f x

Si dispusiésemos de un solver que nos permita resolver el problema de optimización, entonces procederíamos de la siguiente manera:

1) Si, entonces parar.

2) Calcular p vía optimización restringida.

3) Si:

aceptar p e ir a la Etapa (1). Aquí podríamos pensar en aumentar δ.

4) Si no, reducir δ y volver a la Etapa (2)

Este algoritmo permite determinar la solución de manera confiable. El problema es que pueda quedar atrapado en un mínimo local de la función.

La clave: Arrancar cerca de la solución!!!

Método de Newton Modificado (IV)

k kf x p f x

kf x ε

1

2 1 1

2 1 1

5 2 1 5

xJ x

x x x


0 1

1x

2

2 1 1

2

2 2 1 1

0.75

5

x x xf x

x x x x

δ 1

0 0

pmín z J x .p f x

s.t.

p δ

1

2

1 1 0.25

3 6 5

. .

1

p

pmín z

p

s t

p


2 2

1 2 1 2

2 2

1 2

0.25 3 6 5

. .

1

pmín z p p p p

s a

p p

1

2

1 1 0.25

3 6 5

. .

1

p

pmín z

p

s a

p


2 2

1 2 1 2

2 2

1 2

0.25 3 6 5

. .

1

pmín z p p p p

s a

p p

0.287116495751276

-0.957895671703289p

1 1 0.287116495751276 1.287116495751276

1 -0.957895671703289 0.042104328296711x


0 0f x p f x

-0.338343293819521 0.25

-1.343598667872214 5

1.385544501191005 5.006246098625197

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