Sistema de Ecuaciones

Sistemas de Ecuaciones

Un sistema de ecuaciones es unconjunto de una o más ecuaciones enuna o más incógnitas, éstas puedenser lineales, cuadráticas o mixtas.

Ejemplos:

ฬ𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟖

ቤ𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟔

อ𝒓 + 𝒔 − 𝟐𝒕 = 𝟖𝟐𝒓 − 𝒔 + 𝒕 = 𝟒𝒓 + 𝟐𝒔 − 𝟑𝒕 = 𝟏

Resolver un sistema de ecuaciones, consisteen determinar los valores de las incógnitasque satisfacen todas las ecuacionessimultáneamente, éstas pueden ser únicas oinfinitas. Si no existen dichos valores, se diceque el sistema es inconsistente oincompatible.

Resolver Sistemas de Ecuaciones

Interpetación geométrica de las solucionesde un sistema de ecuaciones lineales de2 × 2

Resolución de Sistemas de Ecuaciones

Para resolver un sistema de ecuaciones,existen diversos métodos, según sea el tipode ecuaciones que la componen. Losmétodos por eliminación son: Sustitución,Reducción e Igualación. También está elmétodo por determinantes para el caso deecuaciones lineales de 2x2 y 3x3. Tambiénse pueden verificar gráficamente.

Métodos para resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales

- Método de Eliminación por Sustitución.- Método de Eliminación por Igualación.- Método de Eliminación por Reducción.

1. Se despeja una variable de una de las ecuaciones.2. Se sustituye la variable despejada, en la otra ecuación.3. Se resuelve la ecuación de primer grado que se obtuvo.4. Al obtener el valor de una de las incógnitas, se obtiene el valor de la otra incógnita.5. Se reemplazan ambos valores en las ecuaciones originales, para verificar su solución.

Método Eliminación por Sustitución

1. Se despeja la misma incógnita de ambas ecuaciones.2. Se igualan las ecuaciones.3. Se resuelve la ecuación de primer grado obtenida.4. El valor obtenido, se reemplaza en una de las ecuaciones originales para determinar el valor de otra incógnita.5. Se reemplazan ambos valores en las ecuaciones originales, para verificar su solución.

Método Eliminación por Igualación

1. Se igualan los coeficientes de una de las incógnitas, pero con signos contrarios.2. Se suman los términos semejantes, de manera que se elimina una de las incógnitas.3. Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.4. El valor obtenido, se reemplaza en una de las ecuaciones originales, para determinar el valor de otra incógnita.5. Se reemplazan ambos valores en las ecuaciones originales, para verificar su solución.

Método Eliminación por Reducción

Casos especiales de Sistemas de Ecuaciones Lineales de dos incógnitas

1° Si las incógnitas se encuentran en el denominador.

2° Si las incógnitas son cantidades subradicales.

3° Si una de las ecuaciones lineales está dada en forma de proporción.

Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales de tres incógnitas

1. Se debe eliminar una de las incógnitas, tomandodos de las ecuaciones dadas. Se obtiene unaecuación con dos incógnitas.

2. Se toma cualquiera de las dos ecuaciones anteriores más la tercera y se procede a eliminar la misma incógnita suprimida anteriormente.

3. Tomando ambas ecuaciones, que tienen las mismasincógnitas, se resuelve utilizando los métodos yaestudiados.

4. Finalmente, los valores obtenidos de las incógnitas se reemplazan en cualquiera de las tres ecuaciones dadas originalmente, obteniendo el valor de la tercera incógnita.

Dado un problema con enunciado, podemos reducirlo a un sistema de ecuaciones y resolverlo.

Ejemplo:

Una persona compra 10 libros y 6 cuadernos por $21.200. Si hubiese comprado 6 libros y 10 cuadernos, habría gastado $14.000. ¿Cuántos vale cada libro y cada cuaderno?

Aplicaciones

Un sistema de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas, se dice que es cuadrática o de segundo grado si al menos una de las ecuaciones es de segundo grado.

Ejemplos:

Sistema de Ecuaciones Cuadráticas

ቤ𝒙𝟐−𝒙 = 𝒚 + 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟒

ቤ𝒙𝟐−𝒚𝟐 = 𝒚 + 𝟓

𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 = 𝟒𝒚 + 𝟓

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