Sistemas de ecuaciones Sistemas de ecuaciones linealeslineales

Profesora Srta. Yanira Castro Lizana

La tercera parte de los ahorros de Juan es $115.

Si x representa los ahorros de Juan, entonces el enunciado anterior se expresa como sigue:

1115

3x =

Esta igualdad es una ecuación l ineal . Las ecuaciones se usan para expresar algebraicamente fenómenos físicos, químicos, biológicos, astronómicos, sociales, económicos etc. Por ejemplo:

12 ,

2v t= +

expresa la relación entre la velocidad (v) y el tiempo (t) de un automóvil

con velocidad inicial de 2 m por segundo, y con una aceleración de m

por segundo cuadrado.

1

2

Una ecuación l ineal es una ecuación de la forma

en donde son variables; son constantes llamadas los coeficiente de las variables y b es una constante llamada el término constante de la ecuación.

1 1 2 2 n na x a x a x b+ + ⋅ ⋅ ⋅ + =

1 2, x , ..., xnx 1 2, , ..., na a a

Ejemplo 1

Solución

Juan tiene 2 canicas más que pedro. Si el doble de las canicas de Juan se junta con las de Pedro, se obtienen 103 canicas. ¿Cuántas tiene cada uno?

Si Pedro tiene x canicas, entonces Juan tiene x + 2 canicas. Por tanto:

( )2 2 103x x+ + =

3 4 103x + =

9933

3x = =

Ejemplo 2 Con la corriente a su favor una lancha navega a 100 km/h, y con la corriente en contra navega a 70 km/h. ¿Cuál es la velocidad de la corriente, y la de la lancha cuando el río está en calma?

Solución Sea x la velocidad de la lancha cuando el río está en calma, y sea y la velocidad del río o de la corriente. Entonces:

es la velocidad de la lancha con la corriente a su favor.

es la velocidad de la lancha con la corriente en contra.

x y+

x y−

Por lo que: { 100 70

x yx y

+ =− =

Se obtuvieron dos ecuaciones lineales con las mismas dos variables cada una, tales ecuaciones forman un sistema 2x2 de ecuaciones l ineales.

Resolviendo el sistema (*) se obtiene:

Un sistema de ecuaciones l ineales es una colección de dos o más ecuaciones lineales

………(*)

km km85 , 15

h hx y= =

• En cuanto a la resolución, los métodos que En cuanto a la resolución, los métodos que veremos en esta Unidad, se dividen en dos veremos en esta Unidad, se dividen en dos grupos: grupos: métodos analít icosmétodos analít icos  y  y método método gráficográfico ..

• Los Los métodos analít icosmétodos analít icos , que iremos viendo , que iremos viendo uno a uno, son tres: uno a uno, son tres: 

• sustituciónsustitución, , igualaciónigualación y  y reducciónreducción. . • Por contra, el Por contra, el método gráficométodo gráfico  (sólo hay uno),  (sólo hay uno),

consiste, como su propio nombre indica) en consiste, como su propio nombre indica) en resolver (y discutir) el sistema mediante la resolver (y discutir) el sistema mediante la representación gráfica de sus ecuaciones.representación gráfica de sus ecuaciones.

Hay diversos métodos de solución de un sistema con dos ecuaciones lineales de dos variables (2x2). Se describirán algunos de ellos resol-viendo el sistema de ecuaciones del ejemplo anterior.

Método por sustitución

Este método se resume así:

Se despeja una de las variables de cualquiera de las ecuaciones.

3.

2.

1.

La variable despejada en el paso 1, se sustituye en la otra ecuación por su correspondiente expresión, y se resuelve la ecuación que resulta.

El valor de la variable obtenido en el paso 2, se sustituye en la ecuación obtenida en el paso 1.

¿Cómo se resuelve un sistema 2x2 de ecuaciones lineales?

• Evidentemente, aún cuando la incógnita Evidentemente, aún cuando la incógnita que se va a despejar en el primer paso que se va a despejar en el primer paso puede ser cualquiera y de cualquier puede ser cualquiera y de cualquier ecuación, es mejor, por la facilidad de los ecuación, es mejor, por la facilidad de los cálculos posteriores, hacer una buena cálculos posteriores, hacer una buena elección de ambas, incógnita y ecuación. elección de ambas, incógnita y ecuación. Queremos decir que será más fácil operar Queremos decir que será más fácil operar después si, por ejemplo, se elige una después si, por ejemplo, se elige una incógnita en una ecuación en la que incógnita en una ecuación en la que "no "no tenga"tenga" coeficiente (es decir, que su coeficiente (es decir, que su coeficiente sea coeficiente sea 11), ya que, en ese caso, ), ya que, en ese caso, podremos podremos evitar el cálculo con fraccionesevitar el cálculo con fracciones..

Ejemplo 3 Resolver por sustitución el sistema { 100 70

x yx y

+ =− =

Solución 1. Despejando a la variable y de la ecuación (*) se tiene:

….(*)….(**)

100y x= −

2. Sustituyendo a la variable y por 100 – x en la ecuación (**) se tiene:

( )100 70x x− − =

2 100 70x − =170

852

x = =

3. Sustituyendo a la variable x por 85 en la ecuación del paso 1 se obtiene el valor de y

100 85 15y = − =

Un ejemplo de un sistema lineal de dos Un ejemplo de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas puede ser:ecuaciones con dos incógnitas puede ser:

• x + y = 10 x + y = 10 • x - y = 2x - y = 2

• Cada una de las ecuaciones que componen el Cada una de las ecuaciones que componen el sistema, sistema, por separado, tendrían infinitas por separado, tendrían infinitas solucionessoluciones, ya que hay infinitas parejas de , ya que hay infinitas parejas de números que sumen 10 y, por otro lado, infinitos números que sumen 10 y, por otro lado, infinitos pares de números cuya resta sea 2. Sin pares de números cuya resta sea 2. Sin embargo, al embargo, al considerar juntas ambas ecuaciones considerar juntas ambas ecuaciones para formar el sistema, estaremos buscando para formar el sistema, estaremos buscando un un par de números par de números (x, y)(x, y)  que cumplan  que cumplan a la veza la vez  las  las dos.dos.

• Los sistemas de ecuaciones responden a Los sistemas de ecuaciones responden a planteamientos de problemáticas muy planteamientos de problemáticas muy diversas. Por ejemplo, el sistema que diversas. Por ejemplo, el sistema que hemos propuesto más arriba, podría ser el hemos propuesto más arriba, podría ser el planteamiento para resolver un problema planteamiento para resolver un problema de este tipo:de este tipo:

• Entre lápices y gomas tengo diez piezas Entre lápices y gomas tengo diez piezas de material escolar. Tengo dos lápices de material escolar. Tengo dos lápices más que gomas. ¿Cuántos lápices y más que gomas. ¿Cuántos lápices y cuántas gomas tengo?cuántas gomas tengo?

Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.¿Cuánto dinero tiene cada uno?.• Llamemos Llamemos xx al número de euros de Ana e  al número de euros de Ana e yy al  al

de Sergio. Vamos a expresar las condiciones de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación ecuación x + y = 600x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de . Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que euros que Ana, tendremos que y = 2xy = 2x. Ambas . Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

• x + y = 600 x + y = 600 • y = 2xy = 2x

Resuelve el sistema de ecuaciones Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución .por el método de sustitución .

a)a)

4x + y = 0-4x + y = -8

b)b)

5x - 2y = -17x + 4y = 53

c) c)

2x + 6y = -16-2x - 13y = 37

2 61)

3 4

x y

x y

+ = − =

Método por igualación

Este método se resume así:

De cada ecuación se despeja la misma variable.

3.

2.

1.

Se igualan las expresiones obtenidas en el paso 1, y se resuelve la ecuación que resulta.

El valor de la variable obtenido en el paso 2, se sustituye en una de las ecuaciones obtenida en el paso 1.

Ejemplo 4 Juan y Jaime salieron del D.F. en sus respectivos autos a Acapulco. Juan condujo a una velocidad constante de 60 km/h. Si Jaime salió 1 hora después que Juan conduciendo a 90 km/h, ¿a qué distancia del D.F. y en cuánto tiempo alcanzó Jaime a Juan?

Solución Sea d la distancia del D.F. en que Jaime alcanza a Juan, y sea t el tiempo transcurrido para Juan cuando es alcanzado. Entonces

t – 1 es el tiempo que transcurrió para Jaime hasta alcanzar a Juan.

Dado que la velocidad se relaciona con el tiempo y la distancia así v = d/t

se tiene que:60

90

1

d

td

t

= =

−

Resolviendo por igualación el sistema anterior se tiene:

O sea: { 60 0 90 90t dt d

− =− =

90 90 60t t− =

30 90t =

903

30t = =

Sustituyendo el valor t = 3 en la ecuación se obtiene que d = 180.

60 0t d− =

Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según su número de soluciones de la siguiente forma:

Sistemas con una solución: Las ecuaciones del sistema son rectas secantes. Se cortan en un punto (x, y) que es la solución del sistemaSistemas sin solución: Las ecuaciones del sistema son rectas paralelas. No tienen ningún punto en común, y por tanto no hay solución

Sistemas con infinitas soluciones: Las ecuaciones del sistema son rectas coincidentes.Tienen todos los puntos en común, y por tanto todos ellos son solución

TIPOS DE SISTEMAS

¿Qué condiciones deben cumplir las ecuaciones para que el sistema tenga una, ninguna o infinitas soluciones? Una solución: Los coeficientes de x e y  de las dos ecuaciones no son proporcionales              Ejemplo:  

Ninguna solución: Los coeficientes de x e y de una ecuación son proporcionales a los de la otra, mientras que los términos independientes no lo son       Ejemplo: 

Infinitas soluciones: Los coeficientes de x e y, y el términoindependiente de una ecuación, son proporcionales a los de la otra              Ejemplo: 

Método por determinantes

Si los coeficientes de las variables t y d del sistema

se arreglan así{ 60 0

90 90t dt d

− =− =

60 190 1

− − se obtiene una matriz.

El determinante de una matriz se denota así:

y se define como sigue:

a bc d

,a b

c d

a b ad bcc d

= −

Y la resolución por determinantes de un sistema se obtiene así:

{ ax by mcx dy n

+ =+ =

,

m bn d

xa bc d

= .

a mc n

ya bc d

=

Ejemplo 5 Resolver por determinantes el sistema { 2 3 3 2 1x yx y

− =+ =

Solución ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

3 23 2 1 21 2 8

11 2 1 2 3 2 83 2

x

−− −

= = = =− − −

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 31 1 3 33 1 8

11 2 1 2 3 2 83 2

y− −= = = = −

− − −

Ejemplo 6 Resolver por determinantes el sistema { 3 1 4 8

x yx y

− =+ =

Solución

1 38 4 28

41 3 71 4

,x

−

= = =−

1 11 8 7

11 3 71 4

y = = =−

Método gráfico

Consiste en representar gráficamente las ecuaciones del sistema para determinar (si la hay) la intersección de las rectas que las representan.

La gráfica de cada ecuación de un sistema 2x2 de ecuaciones lineales, es una recta . Por lo que el método gráfico:

Ejemplo 7 Resolver gráficamente el sistema { 1 2 1x yx y

− = −− =

Solución Se tabulan las ecuaciones despejando a y en cada una de ellas. Observe:

1y x= +

x

y

0 – 1

0

1

2 1y x= −

x

y

0 2

– 1 3

Representando gráficamente las parejas ordenadas (x, y) de cada tabla en el plano cartesiano, se trazan las correspondientes rectas para determinar la solución. Observe:

– 1 0

– 1 2

3

1

x

y

El punto de coordenadas (2, 3) es la intersección de las rectas que son gráficas de las ecuaciones del sistema, entonces la solución es:

2, 3x y= =

(2, 3)

Un sistema que tiene solución única, se llama sistema determinado, compatible, consistente o independiente y se caracteriza en que las rectas que son gráficas de las ecuaciones que lo forman, se intersecan exactamente en un punto cuyas coordenadas corresponden a la solución del sistema.

Ejemplo 8 El sistema tiene solución única. Observe: { 3 1 4 8

x yx y

− =+ =

2

1

0

4

2

x

y

3 1x y− =

4 8x y+ =

(4, 1)

1

Un sistema de ecuaciones lineales que tiene un número infinito de soluciones se llama sistema indeterminado o dependiente , y se caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son la misma recta.

Ejemplo 10

El sistema tiene infinidad de soluciones. Observe: 1

2

2 2

yx

x y

− = − =

- 2

10

y

x

12

yx − =

2 2x y− =

Un sistema que no tiene solución alguna se llama sistema inconsistente o incompatible , y se caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son rectas paralelas y distintas entre sí.

El sistema no tiene solución. Observe: 1

2

2 3

yx

x y

− = − =

- 2

1

0

y

x

12

yx − =

2 3x y− =

- 3

Ejemplo 11

Fin