Colegio Centro América “En todo amar y servir”

Matemáticas

Tema: Sistemas de ecuaciones.

Nombre: Zair Enrique Molina Cárcamo.

Grado: Noveno grado.

Sección: “C”

Correo electrónico: zemolinac@gmail.com

¿Qué son los sistemas de ecuaciones?

Es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que

conforman un problema matemático que consiste en encontrar los

valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.

Conjunto solución:

El conjunto solución de un sistema de ecuaciones en un grupo de

valores de las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones del

sistema.

Método de Igualación.

Pasos:

Resolver el sistema {

Despejamos una cualquiera de las dos incógnitas; por ejemplo x, en ambas ecuaciones.

Despejando x en (1) 7x=13-4y .*. x=

Despejamos x en (2) 5x=19+2y .*. x=

Ahora se igualan entre si los dos valores de x que hemos obtenido.

=

Y ya tenemos una sola ecuación con una incógnita; hemos eliminado la x. Resolviendo esta

ecuación:

5(13-4y)=7(19+2y)

65-20y=133+14y

-20y-14y=133-65

-34y=68

Y= -2

Sustituyendo este valor de y en cualquier de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1), se tiene:

7x+4(-2)=13

7x-8=13

7x=21

X= 3

R.{

Verificación:

Sustituyendo x=3, y= -2 en las dos ecuaciones dadas, ambas se convierten en

identidad.

Método de sustitución:

Pasos:

Resolver sistema {

Despejamos una de las incógnitas, por ejemplo x, en una de las ecuaciones. Vamos a

despejar en la ecuación (1). Tendremos:

2x=-24-5y .*. x =

Este valor de x se sustituye en la ecuación (2):

6(

)-3y=19

Y ya tenemos una ecuación con una incógnita; hemos eliminado la x.

Resolvemos esta ecuación, simplificando 8y2, queda:

4(-24-5y)-3y=19

-96-20y-3y=19

-20y-3y=19+96

-23y=115

Y= -5

Sustituyendo Y= -5 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1) se tiene:

2x+5(-5)= -24

2x-25=-24

2x=1

X =

R.{

Verificación:

Haciendo x=

, y= -5 en las dos ecuaciones dadas, ambas se convierten en identidad.

Método de reducción:

Resolver sistema{

En este método se hacen iguales los coeficientes de las incógnitas. Vamos a igualar los

coeficientes de y en ambas ecuaciones, porque es lo más sencillo. El m.c.m de los

coeficientes de y, 6 y 3, es 6. Multiplicamos la segunda ecuación por dos porque 2x3=6,

y tendremos:

5x+6y=20

8x-6y=-46

Como los coeficientes de y que hemos igualado tienen signos distintos, se suman estas

ecuaciones porque con ello se elimina la y:

5x+6y=20

8x-6y=-46

_____________

13x =-26

X=

=-2

Sustituyendo x=-2 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1) se tiene:

5(-2)+6y=20

-10+6y=20

6y=30

Y=5

R.{

Verificación:

Haciendo x=-2 o y=5 en las dos ecuaciones dadas, ambas se convierten en identidad.

Método por determinantes:

1) El valor de x en una fracción cuyo denominador es el determinante

formados con los coeficientes de x y y (determinantes del sistema) y

cuyo numerador es el determínate que se obtiene sustituyendo el

determinante del sistema la columna de los coeficientes de x por la

columna de los términos independientes de las ecuaciones dadas.

2) El valor de y es una fracción cuyo denominador es el determinante del

sistema y cuyo numerador es el determinante que se obtiene

sustituyendo en el determinante del sistema la columna de los

coeficientes de y por la columna de los términos independientes de las

ecuaciones dadas.

Ejemplos propuestos por el profesor:

Por el método de igualación:

{

2x+3y=8

2x+3y=8 2x-6=8

=

2x=8+6

x=

=

5x-8y=51 x=7

5x=51+8y R: (-2,7)

=

=

10(

)=10(

)

40-15y=102+16y

-15y+16y=102-40

=

Y=-2

Por el método de sustitución:

{

4x+y=-29 5x-15=-45

4x=

=

x=

x=-6

5x+3y=-45 comprobación:

5(-29-y/4)+3y=-45 4x+y=-29

+3y=-45 4(-6)+ (-5)=-29

4(

)+4(3y)=4(-45) -24-5=-29

-145-5y+12y=-180 -29=-29

5y+12y=-180+145

=

Y=-5

5x+3y=-45

5x+3(-5)=-45

Método de reducción =

7x+4y= 65 Comprobación

5x-8y=3 7x+4y=65

7x+4y=65 (2) 7(7)+4(4)=65

5x-8y=3 49+16=65

14x+8y=130 65=65 5x-8y=3 19x = 133 19 19 X= 133 19

X=7

5x-8y=3 5(7)-8y=3 35-8y=3 -8y=3-35 -8y=-32 -8 -8

Y = 4

Eliminación por Determinantes

-3x+8y= 13

8x-5y=-12

13 8 -2 -5

x=_________ =-65+16 = -49 =1 15 -64 -49

-3 8 8 -5 -3 13 8 -2

y=_________ =6-104 = -98 =2 15 -64 -49

-3 8 8 -5 R = x = 1 Y = 2 Verificación 8x – 5y = -2 8(1) – 5(2) = -2 8 – 10 = -2 -2 = -2

Ejercicio hecho por determinantes

-9x + 8y = -6 -3x – 5y = 21 -6 8 21 -5 ____________ = 30 – 168 = -138 = -2 -9 8 45 + 24 69 -3 -5 -9 -6 -3 21 ____________ = -189 – 18 = -207 = -3 -9 8 45 + 24 69 -3 -5 R = x = -2 Y =-3 Verificación -3x – 5y = 2 -3(-2) – 5(-3) =21 6 +15= 21 21 = 21