Similitude en Mécanique

Sabine Ortiz

UME, ENSTA Paris Tech

Werlé, ONERA

Une alternative à la résolution des équations

•Difficulté de résolution des équations

•Stabilité des solutions

Calcul de la trainée:

Equations de Navier Stokes

APPROCHE EXPERIMENTALE

Quels sont les paramètres adimensionnels à considérer

expérimentalement?

Comment garantir que les résultats obtenus sur une maquette

soient représentatifs de l’objet réel?

Calcul de la trainée:

Erosion d’un barrage (CNR) Prise d’eau centrale de Chinon (EDF)

MODELES REDUITS

Maquette de l’A380 (ONERA)

Maquette de sous marin (ONERA)

PLAN

1. INTRODUCTION

2. INVARIANCE DES EQUATIONS DE NAVIER STOKES

2.1 – Ecoulements semblables

2.2 – Similitude partielle

3. THEOREME DE VASCHY-BUCKINGHAM

3.1 – Matrice des exposants aux dimensions

3.2 – Exemples

INVARIANCE DES EQUATIONS

Fonction dimension:

Dimension de et en fonction de

Equations invariantes par changement d’échelle:

Composante selon z des équations de Navier-Stokes :

INVARIANCE DES EQUATIONS

Invariance pour tout choix des unités fondamentales

ECOULEMENTS SEMBLABLES?

Nombre de Reynolds:

Nombre de Froude:

ECOULEMENTS SEMBLABLES

Les équations sont invariantes par changement d’échelle:

Les solutions sont invariantes par changement d’échelle:

ECOULEMENTS SEMBLABLES

Choix des unités fondamentales:

ECOULEMENTS DYNAMIQUEMENT SEMBLABLES

Les deux écoulements sont dynamiquement semblables:

•Géométriquement semblables

•Tous les nombres sans dimensions identiques

ECOULEMENTS SEMBLABLES

Egalité des nombres de Reynolds Egalité des nombres de Froude

Hypothèse de Froude:

La résistance de vagues ne dépend pas du frottement, donc du Reynolds et la

résistance visqueuse ne dépend pas du champ de vagues, donc du Froude

SIMILITUDE PARTIELLE

Conserver le nombre de Reynolds et de Froude impossible

ECOULEMENTS SEMBLABLES

Maquette

Prototype

A ces vitesses, les effets compressibles ne sont plus négligeables!

SIMILITUDE MACH ET REYNOLDS

Conserver à haute vitesse le nombre de Reynolds sur la maquette

Loi d’état des gaz parfaits:

Conserver le nombre de Reynolds sur la maquette:

SIMILITUDE MACH ET REYNOLDS

problèmes de tenue mécanique,

risques de déformation!

Conserver à haute vitesse le nombre de Reynolds sur la maquette

Augmenter la pression, soufflerie pressurisée

Soufflerie cryogénique Grille d’injection d’azote liquide

SIMILITUDE MACH ET REYNOLDS

Diminuer la température, soufflerie cryogénique

CONCLUSION

• Invariance des équations permet de mettre en évidence les paramètres de similitude

•Conditions de similitude entre un prototype et une maquette

•Similitude partielle les effets visqueux sont en compétition avec les effets

de gravité ou effets de compressibilité

Problème: la modélisation et la mise en équation

Difficulté de Modélisation

b

a

Vol des insectes (Berkeley)

z

Barrage anti-pollution (EDF)

Essais en soufflerie (ONERA) Impact de la foudre sur Ariane (ONERA)

PLAN

1. INTRODUCTION

2. INVARIANCE DES EQUATIONS DE NAVIER STOKES

2.1 – Ecoulements semblables

2.2 – Similitude partielle

3. THEOREME DE VASCHY-BUCKINGHAM

3.1 – Matrice des exposants aux dimensions

3.2 – Exemples

MATRICE DES EXPOSANTS

Fonction de dimension, q unités fondamentales

Dimension indépendante de:

MATRICE DES EXPOSANTS

Rang de la matrice des exposants:

Dimensions indépendantes

Dimensions dépendantes

PARAMETRES DE SIMILITUDE

Dimensions dépendantes

Construction de paramètres de similitude (adimensionnels)

THEOREME DE VASCHY-BUCKINGHAM

Dimensions indépendantes

Dimensions dépendantes

THEOREME DE VASCHY-BUCKINGHAM (1914)

THEOREME DE VASCHY-BUCKINGHAM

(Phys. Rev. letter, 1914, Vol. 4, p.315)

Soit une relation entre N+1 grandeurs physiques

dimensionnelles. Si r désigne le rang de la matrice

des exposants aux dimensions, il est possible de

réduire la relation physique initiale à une relation

adimensionnelle entre (N-r+1) paramètres

adimensionnels.

PLAN

1. INTRODUCTION

2. INVARIANCE DES EQUATIONS DE NAVIER STOKES

2.1 – Ecoulements semblables

2.2 – Similitude partielle

3. THEOREME DE VASCHY-BUCKINGHAM

3.1 – Matrice des exposants aux dimensions

3.2 – Exemples

THEOREME DE VASCHY-BUCKINGHAM

(En pratique)

1. Choix des grandeurs physiques

2. Construction de la matrice des exposants

3. Détermination du rang et donc du nombre (N-r+1) de paramètres

sans dimensions

4. Construction des paramètres sans dimension. Il en résulte une

relation adimensionnelle

5. Arguments physiques complémentaires pour diminuer le nombre de

paramètres

CELERITE DU SON DANS UN GAZ

CELERITE DU SON DANS UN GAZ

Dépendance fonctionnelle explicite entre les grandeurs physiques!

TRAINEE D’UNE SPHERE

EXEMPLES: EXPLOSION NUCLEAIRE GI Taylor en 1950

PUISSANCE DE LA 1ère BOMBE ATOMIQUE!

GI Taylor en 1950

SECRET DEFENSE Estimation de l’énergie dégagée par l’explosion de la bombe atomique dans le

Nouveau Mexique en 1945 alors que cette donnée était secret défense!

De l’importance de l’analyse dimensionnelle

•Etape préalable à la modélisation: •Paramètres adimensionnels pertinents

•Réduction du nombre de paramètres pour l’étude expérimentale

•Dépendance fonctionnelle explicite

•Conditions de similitude entre un prototype et une maquette

•Choix des grandeurs physiques

•Pas de choix unique de paramètres adimensionnels

•Similitude partielle

QUELQUES REFERENCES

« Dimensional Analysis » G. I Barenblatt, Harwood Academic

« Fluid mechanics », Third Edition, P.K. Kundu, I.M. Cohen,

Elsevier , chapitre 8

« Mécanique des Fluides » S. Candel, Dunod, Chapitre 15