VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS

Seventh Edition

Ferdinand P. BeerE. Russell Johnston, Jr.

Ders Notu:Hayri ACARİstanbul Teknik Üniveristesi

Tel: 285 31 46 / 116E-mail: acarh@itu.edu.trWeb: http://atlas.cc.itu.edu.tr/~acarh

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

3. Rijit Cisimler:Eşdeğer KuvvetSistemleri

• Bir cisimi maddesel nokta olarak kabul etmek her zaman uygun değildir. Genelde, cisimin boyutları ve kuvvetlerin uygulama noktası önemlidir.

• Mekanikte bir çok cisim rijit olarak kabul edilebilir: kuvvet etkisi altında şekil değişimi çok küçüktür ve denge koşullarını ve cisimin hareketinin etkilemez.

• Bu bölümde, rijit cisime uygulanan kuvvetlerin etkisi ve verilen kuvvet sisteminin daha basit olan eşdeğer kuvvet sistemine dönüştürülmesi incelenecektir

• kuvvetin bir noktaya göre momenti• kuvvetin bir eksene göre momenti• kuvvet çiftinin momenti

• Bir rijit cisime etki eden herhangi bir kuvvet sistemi, bir noktaya etki eden bir kuvvet ve kuvvet çiftinden oluşan eşdeğer bir sisteme dönüştürülebilir.

• Rijit cisimlere etki eden kuvvetler iki gruba ayrılır:

- Dış kuvvetler- İç kuvvetler

• Dış kuvvetler serbest cisim diyagramında gösterilir

• Her kuvvet cisime öteleme hareketi, dönme hareketi veya her ikisini birlikte yaptırabilir.

Dış ve İç Kuvvetler

• Bir kuvvetin tesir çizgisi boyunca kaydırıldığında, cisimin denge veya hareket şartlarında değişiklik olmaz.

• F kuvvetinin uygulama noktasını ön tampondan arka tampona kaydırılması kamyonun hareketini değiştirmez.

• Kaydırılabilme ilkesi iç kuvvetler için ve şekil değiştiren cisimler için kullanılamaz.

Kaydırılabilme İlkesi: Eşdeğer Kuvvetler

İki Vektörün Vektörel Çarpımı• Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti, vektörel

çarpım uygulamaları ile daha iyi anlaşılabilir.

• Vektörel çarpım özellikleri:

( )QPPQ ×−=×

( ) 2121 QPQPQQP ×+×=+×

( ) ( )SQPSQP ××≠××

• P ve Q vektörlerinin vektörel çarpımı şu şekilde tanımlanır: 1. Sonuç vektörü V, P ve Q vektörlerinin

oluşturduğu düzleme diktir.2. V vektörünün şiddeti:

3. V vektörünün yönü sağ el kuralı ile belirlenir.

θsinQPV =

Sağ el kuralı

Vektörel Çarpım: Dik Bileşenler• Kartezyen birim vektörlerin vektörel çarpımı:

00

0

=×=×−=×−=×=×=×

=×−=×=×

kkikjjkiijkjjkji

jikkijii

rrrrvrrr

rrrrrrrr

rrrrrrrr

zyx

zyxQQQPPPkjirrr

=

• P ve Q vektörlerinin vektörel çarpımı:

( ) ( )kQjQiQkPjPiPV zyxzyxrrrrrrr

++×++=

( ) ( )( )kQPQP

jQPQPiQPQP

xyyx

zxxzyzzyr

rr

−+

−+−=

Bir Kuvvetin Bir Noktaya Göre Momenti

• Bir kuvvet vektörü şiddeti ve yönü ile tanımlanır. Bu kuvvetin cisim üzerindeki etkisi uygulama noktasına bağlıdır.

• F kuvvetinin O noktasına göre momenti:

FrMO ×=

• Moment vektörü MO O noktası ve F kuvvetinin oluşturduğu düzleme diktir.

• Aynı şiddetli ve yönlü moment oluşturan her hangi bir kuvvet F’ , F kuvvetinin eşdeğeridir.

• MO momentinin şiddeti cisimin kuvvet etkisi altında dönme eğiliminin ölçüsüdür. Yönü sağ el kuralı ile belirlenir.

FdrFMO == θsin

yer vektörü

• İki-boyutlu yapılarda uzunluk ve genişlik vardır. Derinlik ihmal edilir. Kuvvetler bir düzlem içindedir.

• Yapı düzlemini O noktası ve F kuvveti oluşturur.MO: kuvvetin O noktasına göre momentidir ve düzleme diktir.

• Kuvvet, yapıyı saat ibrelerinin ters yönünde çevirmeye çalışırsa moment yönü düzlemden dışarıya doğrudur. Bu yön pozitif yön olarak seçilir.

• Kuvvet, yapıyı saat ibrelerinin yönünde çevirmeye çalışırsa moment yönü düzlemden içeriye doğrudur. Bu yön negatif yön olarak seçilir.

Varignon Teoremi

• Bir noktaya etkiyen bir çok kuvvetin bileşkesinin bir O noktasına göre momenti, bu kuvvetlerin O noktasına göre momentlerinin toplamına eşittir:

( ) Lrrrr

Lrrr +×+×=++× 2121 FrFrFFr

Momentin Dik Bileşenleri

kMjMiMM zyxO

rrrr++=

F kuvvetinin O noktasına göre momenti:

kFjFiFFkzjyixrFrM

zyx

O rrrr

rrrrrrr

++=++=×= ,

( ) ( ) ( )kyFxFjxFzFizFyF

FFFzyxkji

M

xyzxyz

zyx

O

rrr

rrr

r

−+−+−=

=

F kuvvetinin B noktasına göre momenti:

FrM BAB

rrr×= /

( ) ( ) ( )zyx

BABABAB

FFFzzyyxx

kjiM −−−=

rrr

r

( ) ( ) ( )kFjFiFF

kzzjyyixx

rrr

zyx

BABABA

BABA

rrrr

rrr

rrr

++=

−+−+−=

−=/

İki-boyutlu yapılar için:

( )

xy

ZO

xyO

yFxFMM

kyFxFM

−==

−=rr

( ) ( )[ ]

( ) ( ) xBAyBA

ZO

xBAyBAO

FyyFxxMM

kFyyFxxM

−−−==

−−−=rr

Örnek Problem 3.1

100 N’luk dik kuvvet O noktasından bağlanmış şafta A noktasından etkimektedir.

a) O noktasına göre momenti,

b) aynı momenti oluşturacak, A noktasına uygulanacak yatay kuvveti,

c) aynı momenti oluşturacak, A noktasına uygulanacak en küçük şiddetli kuvveti ,

d) aynı momenti oluşturacak 240 N’luk düşey kuvvetin yerini,

e) b, c, ve d şıkkında elde ettiğiniz kuvvetlerin orjinal kuvvete eşdeğer olup olmadığını,

belirleyiniz.

N24 cm

a) Kuvvetin O noktasına göre oluşturduğu momentin şiddeti, kuvvetin tesir çizgisiyle moment alma noktası arasındaki dik mesafeyle çarpımı ile bulunur. Moment saat ibreleri yönünde olduğuna göre, yönü sayfa düzleminin içine doğrudur.

( )( )( )cm 12N 100

cm. 1260cos24=

=°==

O

O

Mcmd

FdM

cm N 1200 ⋅=OM

N24 cm

b) Aynı momenti oluşturan A noktasına uygulanacak yatay kuvvet:

( )

( )

cm 8.20cm. N 1200

cm. 8.20cm. N 1200

cm 8.2060sincm 24

⋅=

=⋅=

=°=

F

FFdM

d

O

N 7.57=F

24 cm

c) Aynı momenti oluşturan A noktasına uygulanacak en küçük kuvvet: Bunun için tesir çizgisi ile moment alma noktası arasındaki dik mesafenin en büyük değere sahip olması gerekir. F kuvvetinin şaft eksenine dik olduğu durumda gerçekleşir.

( )

cm42cm N 1200

cm 42cm N 1200⋅

=

=⋅=

F

FFdMO

N 50=F

24 cm

d) aynı momenti oluşturacak 240 N’luk dik kuvvetin uygulama noktası:

( )

cm 5cos60

cm 5N 402

cm N 1200N 240cm N 1200

=°

=⋅

=

=⋅=

OB

d

dFdMO

cm 10=OB

N

e) b, c ve d şıklarında elde edilen kuvvetler orjinal kuvvet ile O noktasına göre eşit şiddetli ve yönlü moment oluşturmaktadırlar. Fakat bu kevvetlerin şiddeti, yönü ve tesir çizgileri farklı olduğu için eşdeğer kuvvet değildirler.

24 cm

24 cm

24 cm

N

N

Örnek Problem 3.4

Dikdörtgen plaka A ve B noktalarından duvara sabitlenmiştir ve CD teli ile desteklenmektedir. Teldeki kuvvetin 200 N olduğu biliniyorsa, telin C noktasından plakaya uyguladığı kuvvetin A noktasına göre momentini hesaplayınız.

ÇÖZÜM:

F kuvvetinin A noktasına göre momenti MA vektörel çarpım ile bulunur:

FrM ACA

rrr×=

1289612008.003.0

−−=

kjiM A

rrr

r

( ) ( ) ( )kjiM A

rrrvmN 8.82mN 8.82mN 68.7 ⋅+⋅+⋅−=

( ) ( ) jirrr ACAC

rrrrr m 08.0m 3.0 +=−=

FrM ACA

rrr×=

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )kji

kji

rr

FFDC

DC

rrr

rrr

rrr

N 128N 69N 120m 5.0

m 32.0m 0.24m 3.0N 200

N 200

−+−=

−+−=

== λ

İki Vektörün Skaler Çarpımı

• İki vektör P ve Q nun skaler çarpım tanımı:

θcosPQQP =•rr

• Scaler çarpım özellikleri:

PQQPrrrr

•=•( ) 2121 QPQPQQP

rrrrrrr•+•=+•

( ) tanimsiz=•• SQPrrr

000111 =•=•=•=•=•=• ikkjjikkjjiirrrvrrrrrrrr

( ) ( )kQjQiQkPjPiPQP zyxzyx

rrrrrrrr++•++=•

2222 PPPPPP

QPQPQPQP

zyx

zzyyxx

=++=•

++=•rr

rr

• Kartezyen birim vektörlerin skaler çarpımı:

zzyyxx

OL

PPPPP

θθθλ

coscoscos ++=•=rr

• Birim vektör ile tanımlanmış bir eksen için:

İki Vektörün Skaler Çarpımı: Uygulamalar

• İki vektör arasındaki açı:

PQQPQPQP

QPQPQPPQQP

zzyyxx

zzyyxx

++=

++==•

θ

θ

cos

cosrr

• Vektörün verilen eksendeki izdüşümü:

OL

OL

PPQ

QP

PQQP

PP

==•

=•

=

θ

θ

θ

cos

cos

cos

rr

rrP’nin OL boyunca izdüşümü

Vektörlerin Üçlü Karişık Çarpımı

( ) sonucskaler =ו QPSrrr

• S, P ve Q vektörlerinin 6 değişik çarpımı eşit şiddetlidir fakat işaretleri aynı değildir.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )SPQQSPPQS

PSQSQPQPSrrrrrrrr

rrrrrrrrr

ו−=ו−=ו−=

ו=ו=ו

( ) ( ) ( )( )

zyx

zyx

zyx

xyzxyz

zxxzyyzzyx

QQQPPPSSS

QPQPSQPQPSQPQPSQPS

=

−+

−+−=וrrr

Bir Kuvvetin Verilen Bir Eksene Göre Momenti• A noktasına uygalanan F kuvvetinin O noktasına

göre momenti MO :

FrM O

rrr×=

• OL eksenine göre moment MOL, MO momentinin OL ekseni üzerindeki izdüşümüdür:

( )FrMMCosMCosMM OOL

rrrrrrו=•=•=== λλλθθ 000 1

• Momentin bileşenleri:

xyz

zxy

yzx

yFxFMxFzFMzFyFM

−=

−=

−=

zyx

zyx

OL

FFFzyxMλλλ

=

• Bir kuvvetin keyfi bir eksene göre momenti:

( )BABA

BA

BBL

rrrFr

MM

rrr

rrr

rr

−=

ו=

•=

λ

λ

• Sonuç verilen eksendeki B noktasından bağımsızdır.

a) A noktasına göre,b) AB kenarına göre,c) AG köşegenine göre momentlerini

bulunuz.d) AG ile FC.doğruları arasındaki dik

uzunluğu bulunuz.

P kuvveti A küpüne F köşesinde etkimektedir. P kuvvetinin

Örnek Problem 3.5

• P kuvvetinin A noktasına göre momenti:

( )( ) ( )( ) ( )kjPjiaM

kjPjiPP

jiajaiar

PrM

A

AF

AFA

rrrrr

rrrrr

rrrrr

rrr

−×−=

−=+=

−=−=

×=

)2/(

)2/()2/1()2/1(

( )( )kjiaPM A

rrrr++= 2/

• P kuvvetinin AB eksenine göre momenti:

( )( )kjiaPi

MiM AABrrrr

rr

++•=

•=

2/

2/aPM AB =

• P kuvvetinin AG köşegenine göre momenti:

( )

( )

( ) ( )

( )1116

2312

31

3

−−=

++•−−=

++=

−−=−−

==

•=

aP

kjiaPkjiM

kjiaPM

kjia

kajaiarr

MM

AG

A

GA

GA

AAG

rrrrrr

rrrr

rrrrrrr

r

rr

λ

λ

6aPM AG −=

• AG ile FC doğruları arsındaki dik mesafe:

( ) ( ) ( )

0

11063

12

=

+−=−−•−=•PkjikjPP

rrrrrrrλ

Bu nedenle, P vektörü AG.köşegenine diktir.

PdaPM AG ==6

6ad =

Bir Kuvvet Çiftinin Momenti

• İki kuvvet F ve -F aynı şiddete, paralel tesir çizgisine fakat zıt yönlere sahip ise kuvvet çifti oluştururlar

• Kuvvet çiftinin momenti:

( )( )

FdrFMFr

FrrFrFrM

BA

BA

==×=

×−=

−×+×=

θsin

rr

rrr

rrrrr

• Kuvvet çiftinin moment vektörü seçilen koordinat merkezinin yerinden bağımsızdır: Serbest vektördür ve herhangi bir noktaya uygulandığında aynı etkiyi oluşturu.

İki kuvvet çiftinin momentini aynı olması için:

2211 dFdF =

• Paralel düzlemlere sahip olması gerekir

• Her iki kuvvet çiftinin oluşturduğu momentlerin yönleri aynı olmalıdır.

• Ayrıca

Kuvvet Çiftlerinin Toplanması• Kuvvet çiftleri içeren P1 ve P2 kesişen

düzlemleri için:

222

111

düzlem

düzlem

PFrM

PFrMrrr

rrr

×=

×=

• Vektörlerin bileşkesi de kuvvet çifti oluşturur:

( )21 FFrRrMrrrrrr

+×=×=

• Varignon theoremi kullanılırsa:

21

21

MMFrFrM

rr

rrrrr

+=

×+×=

Kuvvet Çiftleri Vektörlerle Gösterilebilir

• Bir kuvvet çifti, kuvvet çiftinin oluşturduğu momentle aynı şiddete ve yöne sahip vektörle gösterilebilir.

• Kuvvet çifti vektörleri vektörel toplama kurallarına uyarlar.

• Kuvvet çifti vektörleri serbest vektördürler. Uygulama noktası yerinin önemi yoktur.

• Kuvvet çifti nektörleri bileşenlerine ayrılabilir.

Bir Kuvvetin O Noktasında Bir Kuvvet ve Kuvvet Çiftine Çözümlenmesi

• Kuvvet vektörü F, O noktasına kaydırılırken sadece basit taşıma işlemi yapılmaz.

• O noktasında F kuvvetiyle aynı şiddete sahip zıt vektörler yerleştirilirse sistemde değişikliğe neden olmaz.

• Bu üç kuvvet eşdeğer bir kuvvet ve kuvvet çifti ile yer değiştirebilir: Kuvvet-Kuvvet çifti sistemi.

• F kuvvetinin A noktasından O’ noktasına kaydırılması farklı bir kuvvet çiftinin toplamını gerektirir, MO’ :

FrM O

rrr×′='

• F kuvvetinin O’ noktalarına göre momentleri:

( )FsM

FsFrFsrFrM

O

Orrr

rrrrrrrrrr

×+=

×+×=×+=×= ''

• Kuvvet-Kuvvet çifti sisteminin O noktasından O’ noktasına taşınması, Onoktasındaki kuvvetin O’ noktasına göre momentinin toplamını gerektirir.

Şekildeki iki kuvvet çiftinin tek bir kuvvet çifti için bileşenlerini bulunuz.

Çözüm

• Verilen kuvvet çiftlerinin hesabını kolaylaştırmak için A noktasına +x doğrultularında 20 N’luk iki kuvvet ilave edilebilir. Böylece toplamı kolay olan 3 kuvvet çifti oluşur.

• Alternatif olarak, iki kuvvetin uygulama noktası olduğu için (bu kuvvetlerin momenti sıfır olacaktır), D noktasına göre momentler hesaplanabilir.

Örnek Problem 3.612 cm

12 cm

9 cm

9 cm

20 N

20 N

30 N

30 N

• A noktasına 20 N şiddetli +x yönlerinde iki kuvvet ilave edilirse:

• Üç kuvvet çifti:

( )( )( )( )( )( ) cmM

cmNMcmM

z

y

x

⋅+=+=

⋅+=+=⋅−=−=

N 180cm 9N 20

240cm 12N 20N 540cm 18N 30

( ) ( )( )kcm

jcmNicmMr

rrr

⋅+

⋅+⋅−=

N 180

240N 540

12 cm

12 cm

9 cm

9 cm

20 N

20 N

30 N

30 N

20 N

20 N

• Alternatif olarak, kuvvetlerin Dnoktasına göre momenti hesaplanabilir:

• D noktasına göre sadece C ve Enoktalarındaki kuvvetlerin momentleri vardır.

( ) ( )( ) ( )[ ] ( )ikj

kjMM Drrr

rrrr

N 20cm 12cm 9

N 30cm 18

−×−+

−×==

( ) ( )( )kcm

jcmNicmMr

rrr

⋅+

⋅+⋅−=

N 180

240N 540

12 cm

12 cm

9 cm

9 cm

20 N

20 N

30 N

30 N

Kuvvet Sistemlerinin Kuvvet ve Kuvvet Çiftine Çözümlenmesi

• Kuvvetler sistemi O noktasına göre bir kuvvet ve kuvvet çiftine çözümlenebilir.

• Bilşeke kuvvet ve kuvvet çifti vektörleri:

( )∑∑ ×== FrMFR RO

rrrrr

• O noktasındaki kuvvet ve moment çifti O’ noktasına kaydırılırsa:

RsMM RO

RO

rrrr×+='

• İki kuvvetler sistemi aynı kuvvet-kuvvet çiftine çözümlenebiliyorsa eşdeğerdir.

Şekildeki kiriş için, kuvvetler sistemini

(a) A noktasındaki eşdeğer kuvvet-kuvvet çiftine

(b) B noktasındaki eşdeğer kuvvet-kuvvet çiftine ve

(c) tek bir kuvvete indirgeyiniz

Not: Mesnet tepkileri katılmayacağı için verilen kuvvet sistemi etkisi altında kiriş dengede değildir.

Örnek Problem 3.8

a) Kuvvetleri A noktasına taşırsak:

( ) ( ) ( ) ( ) jjjjFR

rrrr

rr

N 250N 100N 600N 150 −+−=

= ∑

( ) jRrr

N600−=

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )jijiji

FrM RA

rr

rrrr

rrr

2508.41008.26006.1

−×+

×+−×=

×= ∑

( )kM RA

rrmN 1880 ⋅−=

b) B noktasındaki eşdeğer kuvvet-kuvvet çiftini bulmak için A noktasındaki kuvvet-kuvvet çiftini kullanabiliriz.

( ) jRrr

N 600−=

( ) ( ) ( )( ) ( )kk

jik

RrMM ABRA

RB

rr

rrr

rrrr

mN 2880mN 1880

N 600m 8.4mN 1880

⋅+⋅−=

−×−+⋅−=

×+=

( )kM RB

rrmN 1000 ⋅+=

Şekildeki dirseğe etki eden 3 kuvvet yerine A noktasına etkiyen eşdeğer bir kuvvet-kuvvet çifti bulunuz.

Örnek Problem 3.10

Kuvvet vektörlerinin A noktasına göre yer vektörleri:

( )( )( )m 100.0100.0

m 050.0075.0

m 050.0075.0

jir

kir

kir

AD

AC

AB

rrr

rrr

rrr

−=

−=

+=

• Kuvvetlerin bileşenleri:

( )

( )N 200600300

289.0857.0429.0

1755015075

N 700

kjiFkji

kjirr

F

B

BE

BE

B

rrrr

rrr

rrrrr

rr

+−=

+−=

+−==

=

λ

λ

( )( )( )N 1039600

30cos60cosN 1200ji

jiFDrr

rrr

+=

+=

( )( )( )N 707707

45cos45cosN 1000ji

jiFCrr

rrr

−=

−=

• Eşdeğer Kuvvet:

( )( )( )k

ji

FR

r

r

r

rr

707200

1039600600707300

−+

+−+

++=

= ∑

( )N 5074391607 kjiRrrrr

−+=

• Kuvvet Çifti:

( )

kkji

Fr

jkji

Fr

kikji

Fr

FrM

DAD

cAC

BAB

RA

r

rrr

rr

r

rrr

rr

rr

rrr

rr

rrv

9.163010396000100.0100.0

68.177070707050.00075.0

4530200600300050.00075.0

=−=×

=−−=×

−=−

=×

×= ∑

kjiM RA

rrrr9.11868.1730 ++=

F

d

M=Fd

dF

Kapı

Menteşe

Duvar Duvar

M=Fd

Civata sıkılması

Kapı açılması