seventh edition vector mechanics for engineers: staticskurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1....
TRANSCRIPT
![Page 1: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/1.jpg)
VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS
Seventh Edition
Ferdinand P. BeerE. Russell Johnston, Jr.
Ders Notu:Hayri ACARİstanbul Teknik Üniveristesi
Tel: 285 31 46 / 116E-mail: [email protected]: http://atlas.cc.itu.edu.tr/~acarh
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
5. Yayılı Kuvvetler:Sentroid ve Ağırlık Merkezi
![Page 2: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/2.jpg)
• Giriş• 2 Boyutlu Cisimin Ağırlık Merkezi• Alan ve Eğrilerin Sentroidi ve Birinci Momentleri• Belirli Şekil Alanlarının Sentroidi• Belirli Şekil Eğrilerinin Sentroidi• Bileşik Levhalar ve Alanları • İntegral ile Sentroidin Belirlenmesi • Pappus-Guldinus Teoremleri • Kirişlerde Yayılı Yükler • Üç Boyutlu Cisimlerin Ağırlık Merkezi: Hacimin Sentroidi • Belirli Şekillerin Sentroidi • Üç Boyutlu Bileşik Cisimler
![Page 3: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/3.jpg)
• Dünya, cisimi oluşturan her parçacığa yerçekimi kuvveti uygular. Bu kuvvetler tek bir bileşke kuvvete dönüştürülebilir. Bu kuvvet cisimin ağırlığıdır ve cisimin ağırlık merkezine etkir.
• Bir alanın sentroidi bir cisimin ağırlık merkezinin benzeridir. Sentroidin yeri alanın birinci momenti kavramı ile belirlenir.
• Üç boyutlu dönel simetrik cisimlerin yüzey alanlarının ve hacimlerinin hesaplanmasında Pappus-Guldinus teoremi kullanılır.
Giriş
![Page 4: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/4.jpg)
• Bir levhanın ağırlık merkezi
∫∑∑
=
∆=
dWx
WxWxM y ;
• Bir telin ağırlık merkezi
İki Boyutlu Cisimlerin Ağırlık Merkezi
∫∑∑
=
∆=
dWy
WyWyMx;y eksenine göre moment x eksenine göre moment
![Page 5: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/5.jpg)
( ) ( )
moment birinci göre ekseniney =
==
=
=
∫∫∫
yQdAxAx
dAtxAtx
dWxWx
γγ
• Bir alanın sentroidi
Alanların ve Eğrilerin Sentroidi ve Birinci Momentleri
)(AtW γ=
t: kalınlık
( ) ( )
moment birinci göre eksenine x =
==
=
=
∫∫∫
xQdAyAy
dAtyAty
dWyWy
γγ
Yandan görünüş
hacimyoğunluk
)(tdAdW γ=
![Page 6: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/6.jpg)
( ) ( )
∫∫∫
=
=
=
dLxLx
dLaxLax
dWxWx
γγ
• Bir eğrinin sentroidi
( ) ( )
∫∫∫
=
=
=
dLyLy
dLayLay
dWyWy
γγ
Telin kesit alanı
a
)(LaW γ=hacimyoğunluk
)(adLdW γ=
![Page 7: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/7.jpg)
• Alanın bu simetri eksenine göre birinci momenti sıfırdır.
• Eğer bir alan simetri çizgisi içeriyorsa, alanın sentroidi bu eksen üzerindedir.
• Eğer bir alan iki simetri çizgisi içeriyorsa, alanın sentroidi bu çizgilerin kesişme noktasındadır.
• Bir alanın sentroidi ile simetri merkezi aynıdır.
Alanların ve Eğrilerin Birinci Momenti• Bir alan düşünelim ve bu alan için ekseni
çizilsin. Eğer her P noktası için bir noktası varsa ve ekseni doğrusunu dik olarak kesip iki eşit parçaya ayırıyorsa bu alan eksenine göre simetriktir denir
BB ′P′
BB ′ PP ′BB ′
• Alan içinde seçilen (x,y) koordinatındaki elemanı için (-x,-y) koordinatında eş alanlı elemanı varsa bu alan eksen merkezine göre simetriktir denir.
dAAd ′
![Page 8: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/8.jpg)
Belirli Şekil Alanlarının Sentroidi
Şekil
Üçgen alanı
Çeyrek daire alanı
Yarım daire alanı
Yarım elips alanı
Yarım parabol alanı
Parabol alanı
Çeyrek elips alanı
Alan
![Page 9: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/9.jpg)
Daire dilimi
Parabol parçası
Parabol parçası(genel)
![Page 10: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/10.jpg)
Belirli Şekil Eğrilerinin Sentroidi
Şekil
Çeyrek daire yayı
Yarım daire yayı
Daire yayı
Uzunluk
![Page 11: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/11.jpg)
• Bileşik plakalar
∑∑∑∑
=
=
WyWYWxWX
• Bileşik alanlar
∑∑∑∑
=
=
AyAYAxAX
Bileşik Plakalar ve Alanlar
![Page 12: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/12.jpg)
Şekilde gösterilen düzlemsel alanın x ve y eksenlerine göre birinci momentlerini hesaplayınız. Sentroidinin yerini bulunuz.
Çözüm:
• Alanı üçgen, dikdörtgen, yarım daire ve dairesel boşluk olmak üzere parçalara ayırın.
• Birinci momentleri toplam alana bölerek sentroidin koordinatlarını hesaplayınız.
• Toplam alanı ve üçgen, dikdörtgen ve yarım daire elemanların birinci momentlerini bulun. Dairesel boşluğun alanını toplam alandan ve momentini toplam momentten çıkarın.
• Belirlenen eksenlere göre alanların birinci momentlerini hesaplayın.
Örnek 5.1
![Page 13: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/13.jpg)
33
33
mm107.757
mm102.506
×+=
×+=
y
x
Q
Q
Eleman
DikdörtgenÜçgenYarım daireDaire
• Toplam alanı ve üçgen, dikdörtgen ve yarım daire elemanların birinci momentlerini bulun. Dairesel boşluğun alanını toplam alandan ve momentini toplam momentten çıkarın.
![Page 14: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/14.jpg)
23
33
mm1013.828mm107.757
×
×+==
∑∑AAxX
mm8.54=X
23
33
mm1013.828mm102.506
×
×+==
∑∑AAyY
mm6.36=Y
• Birinci momentleri toplam alana bölerek sentroidin koordinatlarını hesaplayınız.
![Page 15: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/15.jpg)
( )
( )ydxydAyAy
ydxx
dAxAx
el
el
∫
∫∫∫
=
=
=
=
2
( )[ ]
( )[ ]dxxay
dAyAy
dxxaxadAxAx
el
el
−=
=
−+
=
=
∫∫
∫
∫
2
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫
θθ
θθ
drr
dAyAy
drr
dAxAx
el
el
2
2
21sin
32
21cos
32
∫∫∫∫∫∫∫∫
===
===
dAydydxydAyAy
dAxdydxxdAxAx
el
el • dA elemanı ince bir dikdörtgen veya şerit olarak kabul edilirse tek integral ile çözüm yapılabilir.
İntegral ile Sentroidin Belirlenmesi
![Page 16: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/16.jpg)
Şekildeki parabolic sentroidini direk integral ile hesaplayınız.
Çözüm:
• k sabitini belirleyiniz.
• Toplam alanı bulunuz.
• Düşey ve yatay şeritleri kullanarak tek integral ile birinci momentleri bulunuz.
• Sentroidin koordinatlarını hesaplayınız.
Örnek 5.4
![Page 17: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/17.jpg)
• k katsayısının belirlenmesi:
2121
22
22
2
ybaxorx
aby
abkakb
xky
==
=⇒=
=
• Toplam alanın bulunması:
3
30
3
20
22
ab
xabdxx
abdxy
dAAaa
=
===
=
∫∫
∫
![Page 18: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/18.jpg)
1052
21
2
44
2
0
5
4
2
0
22
2
2
0
4
2
0
22
abxab
dxxabdxyydAyQ
baxab
dxxabxdxxydAxQ
a
aelx
a
aely
=
=
===
=
=
===
∫∫∫
∫∫∫
• Düşey şerit kullanarak tek integral ile birinci momentlerinin bulunması:
![Page 19: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/19.jpg)
( )
( )
10
421
22
2
0
2321
2121
2
0
22
0
22
abdyybaay
dyybaaydyxaydAyQ
badyybaa
dyxadyxaxadAxQ
b
elx
b
bely
=
−=
−=−==
=
−=
−=−
+==
∫
∫∫∫
∫
∫∫∫
• Yatay şerit kullanarak tek integral ile birinci momentlerinin bulunması:
![Page 20: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/20.jpg)
• Sentroid koordinatların belirlenmesi:
43
2baabx
QAx y
=
=
ax43
=
103
2ababy
QAy x
=
=
by103
=
![Page 21: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/21.jpg)
• Düzlemsel bir eğrinin sabit bir eksen etrafında döndürülmesi ile dönel yüzey elde edilir.
• Dönel yüzeyin alanı, eğrinin uzunluğu ile döndürülme sırasında eğrinin sentroidinin katettiği mesafenin çarpımına eşittir.
Pappus-Guldinus Teoremleri
Küre yüzeyi Koni yüzeyi Halka yüzeyi
(Ι)
LyA
ydLydLA
ydLdA
π
ππ
π
2
22
2
=⇒
==⇒
=
∫ ∫
![Page 22: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/22.jpg)
AyV
ydAV
ydAdV
π
π
π
2
2
2
=⇒
=⇒
=
∫
• Düzlemsel bir alanın sabit bir eksen etrafında döndürülmesi ile dönel hacim elde edilir.
• Dönel yüzeyin hacmi, düzlemsel alan ile döndürülme sırasında alanın sentroidinin katettiği mesafenin çarpımına eşittir.
Dolu küre Dolu koni Dolu halka
(ΙΙ)
![Page 23: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/23.jpg)
Kasnağın dış çapı 0.8 m dir ve kesit alanı şekildeki gibidir. Kasnak çelikten yapılmıştır. Kasnağın kütlesini ve ağırlığını bulunuz.
33 mkg 1085.7 ×=çelikρ
Çözüm:
• Pappus-Guldinus teoremini uygulayarak kesit alanından hacim bulunur.
• Yoğunluk ve yerçekimi ivmesi ile çarparak kütle ve ağırlık bulunur.
Örnek 5.7
Vm ρ=mgW =
0.8 m
![Page 24: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/24.jpg)
( )( )
××== − 3393633 mmm10mm1065.7mkg1085.7Vm ρ kg0.60=m
( )( )2sm 81.9kg 0.60== mgW N589=W
• Pappus-Guldinus teoremini uygulayarak kesit alanından hacim bulunur.
• Yoğunluk ve yerçekimi ivmesi ile çarparak kütle ve ağırlık bulunur.
Alan, mm2 Sentroidin katettiği mesafe, mm Hacim, mm3
Kasnak hacmi, mm3 =
400 mm
350 mm
![Page 25: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/25.jpg)
Kirişlerde Yayılı Yükler
Yük = 1000 N/m
• Yayılı yük birim uzunluk başına düşen yükün çizimi ile gösterilir, w (N/m) .
![Page 26: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/26.jpg)
• Toplam yük, yük eğrisinin altında kalan alana eşittir.
∫∫ === AdAdxwWL
0
( )
( ) AxdAxAOP
dWxWOPL
==
=
∫
∫
0
• Yayılı yük, şiddeti yükleme eğrisi altında kalan alana eşit ve alanın sentroidine etkiyen bileşke kuvvet ile gösterilebilir.
dAwdxdW
==
![Page 27: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/27.jpg)
Bir kiriş şekildeki gibi bir yayılı yükün etkisi altındadır. Eşdeğer bileşke kuvveti ve mesnet noktalarındaki tepki kuvvetlerini bulunuz.
Çözüm:
• Bileşke kuvvetin şiddeti, yük eğrisinin altında kalan alana eşittir.
• Bileşke kuvvetin tesir çizgisi yük eğrisi altında kalan alanın sentroidinden geçer.
• Tepki kuvvetleri kenarlara göre moment dengesinden hesaplanır.
Örnek 5.9
![Page 28: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/28.jpg)
kN0.18=F
Eleman
Üçgen I Üçgen II
kN18mkN 63 ⋅
=X m5.3=X
• Bileşke kuvvetin şiddeti, yük eğrisinin altında kalan alana eşittir.
• Bileşke kuvvetin tesir çizgisi yük eğrisi altında kalan alanın sentroidinden geçer.
∑∑ = AxAX∑= AF
![Page 29: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/29.jpg)
( )
A
B
A
B
1500 N/m4500 N/m 1500 N/m 3000 N/m
x 3 m2x 6 m 4 m3
ww
== − ==
= =
Eleman Alan(kN) x (m) x*Alan (kN-m)Dikdörtgen 9 3 27
Üçgen 9 4 36
Toplam 18.00 63.00
sentroid (x) 3.50 m
Alternatif çözüm:
A
B
![Page 30: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/30.jpg)
( ) ( )( ) 0m .53kN 18m 6:0 =−=∑ yA BM
kN 5.10=yB
( ) ( )( ) 0m .53m 6kN 18m 6:0 =−+−=∑ yB AM
kN 5.7=yA
• Tepki kuvvetleri kenarlara göre moment dengesinden hesaplanır.
Ay By
Bx=0
![Page 31: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/31.jpg)
• Ağırlık merkezi: G( )∑ ∆−=− jWjW
rr
( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )jWrjWr
jWrjWr
G
Grrrr
rrrr
−×∆=−×
∆−×=−×
∑∑
∫= dWrWrGrr
• Kartezyen eksenlere göre momentler:
∫∫∫ === zdWWzydWWyxdWWx
∫∫∫ === zdVVzydVVyxdVVx
dVdWVW γγ == ve• Homojen cisimler için:
Üç Boyutlu Cisimlerin Ağırlık Merkezi:Hacimin Sentroidi
∫= dWW
![Page 32: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/32.jpg)
Belirli Üç Boyutlu Şekillerin SentroidiŞekil
Yarım küre
Dönel yarım elipsoid
Dönelparaboloid
Hacim
Koni
Piramit
![Page 33: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/33.jpg)
• Ağırlık merkezine etkiyen bileşke ağırlık kuvvetinin eksenlere göre momenti, her elemanın ağırlığının eksenlere göre momentlerinin toplamına eşittir.
∑∑ = WxWX
• Homojen cisimler için,
∑∑ = VxVX
Üç Boyutlu Bileşik Cisimler
∑∑ = WyWY
∑∑ = WzWZ
∑∑ = VyVY
∑∑ = VzVZ
4.5 cm2 cm
2 cm
1 cm çaplı
4.5 cm
0.5 cm
0.5 cm
2.5 cm
1 cm2 cm
1 cm
2 cm
1 cm
dVdWVW γγ == ve
![Page 34: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/34.jpg)
Örnek 5.12
Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her deliğin çapı 1 cm dir.
Çözüm:
• Makine elemanını, bir dikdörtgen, bir çeyrek daire ve 1 cm çaplı iki delik olarak oluşturabiliriz.
4.5 cm
0.5 cm
0.5 cm
2.5 cm
1 cm2 cm
1 cm
2 cm
1 cm
4.5 cm2 cm
2 cm
1 cm çaplı
![Page 35: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/35.jpg)
cm3 cm cm cm cm4 cm4 cm4
4.5 cm
0.5 cm
0.5 cm
2.5 cm
1 cm2 cm
1 cm
2 cm
1 cm
ΙΙΙ
Ι
ΙΙΙV
2 cm
cm
1 cm
0.5 cm
0.25 cm
1 cm
2.25 cm0.25 cm
cm
1.5 cm
2 cm
0.5 cm
∑∑ = VxVX
∑∑ = VyVY
∑∑ = VzVZ
![Page 36: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/36.jpg)
( ) ( )34 cm .2865cm 08.3== ∑∑ VVxX
( ) ( )34 cm .2865cm 5.047−== ∑∑ VVyY
( ) ( )34 cm .2865cm .6181== ∑∑ VVzZ
cm. 577.0=X
cm. 577.0=Y
cm. 577.0=Z
4.5 cm
0.5 cm
0.5 cm
2.5 cm
1 cm2 cm
1 cm
2 cm
1 cm
ΙΙΙ
Ι
ΙΙΙV
cm3 cm cm cm cm4 cm4 cm4
![Page 37: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/37.jpg)
γd
R
w
Sıvı Altındaki Yüzeylere Gelen KuvvetlerSıvı Altındaki Yüzeylere Gelen Kuvvetler
Durağan bir sıvı içinde yer alan bir cisim üzerinde sıvının ağırlığı nedeniyle basınç oluşur. Bu basınç hidrostatik basınç olarak tanımlanır.
PA: mutlak basınçP0: referans basınçγ : sıvının özgül ağırlığıh : sıvı içindeki derinlik
Basınç derinliğin bir fonksiyonudur ve derinlikle lineer olarak değişir.
Kuvvet hesaplanırken dikdörtgen alan için düşünülür.
Bileşke kuvvet:
[ ]NAPyF .)( =
[ ]hwhR .)..(21 γ=
+= 20 ).(mNhPPA γ
P0
h.γGenişlik için kuvvet
![Page 38: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/38.jpg)
Örnek
3mx4m en ve boyundaki kapak şekildeki gibi su duvarının altına yerleştirilmiştir. Su tarafından kapağa uygulanan kuvvetin şiddetini ve uygulama noktasını bulunuz. (γ =1000 kg/m3)
3 md=5 m
![Page 39: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/39.jpg)
Su tarafından duvara uygulanan kuvvet
Su tarafından kapağa uygulanan kuvvet
3 md=5 m
d=5 m
3 m
d=5 m
3 m
2 m
2232 /9.203/2000)2)(/1000( mNmkgmmkgdP m ==== γ
235 /7.509)5)(/1000( mNmmkgdP m === γ
mNmmNPwF m /6.815)4)(/9.203( 22 ===
mNmmNPwF m /8.2038)4)(/7.509( 25 ===
4 m
![Page 40: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/40.jpg)
Bileşke kuvvet
1 2
d=5 m
3 m
NmmNF 8.2446)3)(/6.815(1 ==
N
mmNF
8.1834
)3)(/]6.8158.2038([21
2
=
−=
mmy 5.1)3(21
1 ==
x
y
mmy 1)3(31
2 ==
Toplam kuvvet 4281.6 N’dur ve tabandan 1.29 m yukarıdadır.
ALAN KUVVET x x.KUVVETDikdörtgen 2446.8 1.5 3670.2
Üçgen 1834.8 1 1834.8
Toplam 4281.60 5505.00
sentroid (x) 1.29 m
815.6 N/m
2038.8 N/m
∑∑ = FxFX
![Page 41: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/41.jpg)
Yüzey belirli bir açıya sahipse kuvvetin bulunması:
SCD
Basıncın oluşturduğu kuvvete ilave olaraküstte kalan sıvı ağırlığı da düşünülmelidir.
![Page 42: Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICSkurtcebece/sta201-bolum5.pdf · 2006. 1. 3. · Örnek 5.12 Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062610/611a4d3e53ae4c23b94b38ef/html5/thumbnails/42.jpg)
Kullanılan yüzey lineer olmayan bir yüzeyse:
Su kütlesi içinSCD
Sıvı ağırlığı dışındaki kuvvet dağılımı şu şekildedir: