sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas

1. Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas Sentenas abertas A sentena abaixo verdadeira ou falsa? 2x 1 = 5 No possvel atribuir um valor lgico sentena, pois no se conhece o valor da varivel x. Vamos, ento, resolver algebricamente a equao: 2x 1 = 5 2x 1 + 1 = 5 + 1 2x = 6 2x . 1 2 = 6 . 1 2 x = 3 A concluso a de que ao substituirmos a varivel x pelo valor 3, a equa- o torna-se verdadeira e, para qualquer outro valor de x, a sentena ser falsa. Existem expresses contendo variveis denominadas sentenas abertas ou funes proposicionais cujo valor lgico (V ou F) discutvel e depende do valor atribudo a cada varivel componente. Por isso, antes de se atribuir um valor a cada varivel, tais expresses no podem ser consideradas proposies. Importante: Uma sentena aberta no uma proposio, pois no pode ser classificada em verdadeira ou falsa. Observe outros exemplos de sentenas abertas: Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br

2. 84 Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas Exemplo 1: A sentena aberta x 2 = 5 verdadeira se atribuirmos varivel x o valor 7 e falsa para qualquer outro valor atribudo varivel x. Caso no seja atribudo valor varivel x, no faz sentido afirmar se a sentena verdadeira ou falsa. Exemplo 2: A sentena aberta x2 = 9 verdadeira se atribuirmos varivel x os valores 3 ou 3 e falsa para qualquer outro valor de x. Exemplo 3: A sentena aberta x = 10 verdadeira se atribuirmos varivel x o valor 10 e falsa se atribuirmos qualquer outro valor diferente de 10. Exemplo 4: A sentena aberta x = 2y verdadeira se atribuirmos a x um valor que seja o dobro de y e falsa para os demais casos. Logo, x = 1 e y = 2 tornam verdadeira a sentena aberta e x = 1 e y = 3 a tornam falsa, por exemplo. Nesse caso, devemos atribuir valores s duas variveis para encontrar um valor lgico para a sentena. Uma sentena aberta ou funo proposicional pode ser transformada em uma proposio de duas formas principais: atribuindo valor a cada varivel; utilizando quantificadores. Seja p(x) uma sentena aberta dependente de uma varivel x. Assim, p(x) uma sentena aberta em um dado conjunto A se, e somente se, p(x) tem valor lgico (V ou F) sempre que se atribui varivel x um elemento do conjunto A. Dessa forma, considerando Vp o conjunto verdade de uma sentena p(x) em um dado conjunto A, temos: Vp = {x A / p(x) tem valor V} Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 3. Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas 85 Em alguns casos a sentena p(x,y) pode depender de valores atribudos s duas variveis x e y. Sendo Vp o conjunto verdade de uma sentena p(x,y) em um conjunto AxB, temos: Vp = {(x,y) AxB / p(x,y) tem valor V} Observao: Para conjuntos numricos, importante lembrar que: IN = {0; 1; 2; 3; ... } Z = {3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; ...} Observe alguns exemplos de sentenas abertas definidas em determinados conjuntos: Exemplo 1: Qual o conjunto verdade da sentena aberta x5 em IN? Vp = { x IN / x 5 } Vp = { 0; 1; 2; 3; 4} IN Exemplo 2: Qual o conjunto verdade da sentena aberta x2 9 em Z? Vp = { x Z / x2 9 } Vp = { 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3} Z Exemplo 3: Qual o conjunto verdade da sentena aberta 2x 3 = 0 em IN? Vp = { x IN / 2x 3 = 0} Vp = { } = IN O conjunto soluo vazio, pois no existe nmero natural x tal que 2x 3 = 0. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 4. 86 Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas Exemplo 4: Qual o conjunto verdade da sentena aberta x20 em IR? Vp = { x IR / x2 0} Vp = IR IR Qualquer que seja o nmero real x, temos sempre que x2 0. Esses exemplos mostram que encontrar o conjunto verdade consiste apenas em se encontrar os valores das variveis que tornam a sentena verdadeira em certo conjunto. Operaes lgicas em sentenas abertas As operaes lgicas podem tambm ser utilizadas junto a sentenas abertas, definidas em determinados conjuntos. Estudaremos a negao, a conjuno, a disjuno, a condicional e a bicondicional. Negao Considere p(x) uma sentena aberta, dependente de uma varivel x, em um conjunto A. O conjunto verdade de uma sentena da forma ~p(x) em A obtido por meio do complementar do conjunto verdade Vp de p(x) em A. Sim- bolicamente, podemos escrever trs formas equivalentes: V~p = C V A p = A Vp V~p = {x A / ~p(x) tem valor V} V~p = {x A / p(x) tem valor F} Exemplo: Seja p(x): x5 uma sentena aberta em IN. Assim, temos: Vp = {x IN / x5} = { 6, 7, 8, 9, ...} V~p = IN {6, 7, 8, 9, ...} V~p = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 5. Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas 87 Conjuno Considere p(x) e q(x) duas sentenas abertas, ambas dependentes de uma varivel x, em um conjunto A. O conjunto verdade de uma sentena aberta da forma p(x) q(x) em A obtido por meio da interseco dos conjuntos verdade Vp e Vq das sentenas abertas p(x) em q(x) em A, respectivamente. Simbolicamente, podemos escrever: Vp q = Vp Vq Vp q = {x A / p(x) tem valor V} {x A / q(x) tem valor V} Exemplo: Sejam p(x): x 5 e q(x): x3 em IR. Ento: Vp q = Vp Vq Vp q = {x IR / x 5} {x IR / x 3} Vp q = ] , 5[ ]3, [ Vp q = ]3, 5[ = {x IR / 3x5} Disjuno Considere p(x) e q(x) duas sentenas abertas, ambas dependentes de uma varivel x, em um conjunto A. O conjunto verdade de uma sentena aberta da forma p(x) q(x) em A obtido por meio da unio dos conjuntos verdade Vp e Vq das sentenas abertas p(x) em q(x) em A, respectivamente. Simbolicamente, podemos escrever: Vp q = Vp Vq Vp q = {x A / p(x) tem valor V} {x A / q(x) tem valor V} Exemplo: Sejam p(x): x2 = 9 e q(x): x 3 = 0 em Z. Ento: Vp q = Vp Vq Vp q = {x Z / x2 = 9} {x Z / x 3 = 0} Vp q = {3, 3} {3} Vp q = {3, 3} Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 6. 88 Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas Condicional Considere p(x) e q(x) duas sentenas abertas, ambas dependentes de uma varivel x, em um conjunto A. Quando associamos tais sentenas por meio de um smbolo condicional, obtemos p(x) q(x) que equivalente a ~p(x) q(x). Assim, o conjunto verdade de uma sentena aberta p(x) q(x) em A o mesmo que ~p(x) q(x) em A. Simbolicamente, podemos escrever: Vp q = V~p Vq Vp q = {x A / ~p(x) tem valor V} {x A / q(x) tem valor V} Exemplo: Sejam p(x): x7 e q(x): x3 em IN. Ento: Vp q = V~p Vq Vp q = {x IN / x7} {x IN / x3} Vp q = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} {0, 1, 2, 3} Vp q = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Bicondicional Considere p(x) e q(x) duas sentenas abertas, ambas dependentes de uma varivel x, em um conjunto A. Quando associamos tais sentenas por meio de um smbolo bicondicional, obtemos p(x) q(x) que equivalente a [p(x) q(x)] [q(x) p(x)]. Assim, o conjunto verdade de uma sentena aberta p(x) q(x) em A o mesmo que [p(x) q(x)] [q(x) p(x)] em A. Simbolicamente, podemos escrever: Vp q = Vp q Vq p Exemplo: Sejam p(x): x2 e q(x): x1 em IN. Ento: Vp q = Vp q Vq p Vp q = (V~p Vq ) (Vp V~q ) Vp q = [{x IN / x2} {x IN / x1}] [{x IN / x2} {x IN / x1}] Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 7. Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas 89 Vp q = [{0, 1, 2} {0, 1}] [{3, 4, 5, ...} {2, 3, 4, ...}] Vp q = {0, 1, 2} {2, 3, 4, ...} Vp q = {2} Quantificadores Em Lgica Matemtica, existem smbolos, utilizados em expresses, que quantificam determinados elementos de um conjunto qualquer. Esses smbolos, denominados quantificadores, transformam uma sentena aberta em uma proposio. Em geral, um quantificador utilizado antes de uma varivel e fornece significado ao valor que a varivel pode assumir. Essencialmente, os quantificadores podem ser de dois tipos: quantificador universal e quantificador existencial. Quantificador universal O quantificador universal representado pelo smbolo e pode ser lido para todo, qualquer que seja ou para cada. Ao ser utilizado junto a uma sentena aberta, o quantificador universal transforma tal sentena em uma proposio, afirmando que a sentena verdadeira para qualquer valor que a varivel assuma em um determinado conjunto. Observe alguns exemplos do uso do quantificador universal, tendo como conjunto universo o dos nmeros reais. Exemplo 1: A proposio qualquer que seja x, temos x = x verdadeira e pode ser representada por: x, x = x No difcil perceber que x = x para todo x. Exemplo 2: A proposio para todo a, temos a3 falsa e pode ser representada por: a, a3 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 8. 90 Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas A proposio falsa, pois, por exemplo, para a = 2 falso que 23. Assim, embora existam valores de a tal que a3, no para todos os valores de a que a proposio verdadeira. Exemplo 3: A proposiopara cada y, temos y20 verdadeira e pode ser representada por: y, y20 A proposio verdadeira, pois para qualquer valor de y verdadeiro que y20. Ou seja, no existe valor de y para o qual y20. Quantificador existencial O quantificador existencial representado pelo smbolo e pode ser lido existe um, existe pelo menos um, algum ou, simplesmente, existe. Ao ser utilizado junto uma sentena aberta, o quantificador existencial transforma tal sentena aberta em uma proposio, afirmando que a sentena verdadeira pelo menos para algum valor que a varivel assuma. Exemplos do uso do quantificador existencial, tendo como conjunto universo o dos nmeros reais. Exemplo 1: A proposio existe pelo menos um x, tal que x + 2 = 5 verdadeira e pode ser representada por: x, x + 2 = 5 A proposio verdadeira, pois x = 3 torna a sentena verdadeira: x + 2 = 5 x = 3 3 + 2 = 5 5 = 5 (verdadeiro) Logo, existe pelo menos um x, tal que x + 2 = 5. Nesse caso, o valor de x nico. Exemplo 2: A proposioexiste a tal que a20 falsa e pode ser representada por: a, a20 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 9. Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas 91 A proposio falsa, pois no existe a tal que a20. Ou seja, qualquer que seja o valor que se substitua no lugar de a, falso que a20. Exemplo 3: A proposio existe um y, tal que y24 verdadeira e pode ser representada por: y, y24 Substituindo, por exemplo, y = 3 na sentena y24, temos: y24 y = 3 324 94 Logo, a proposio verdadeira, pois existe um y tal que y24. Nesse caso, alm de y = 3, existem infinitos valores de y tal que y24. Como um valor de y (y = 3) foi encontrado, isso j suficiente para que a proposio seja verdadeira. Voc percebeu que uma sentena aberta por si s no tem valor lgico, pois depende do valor que a varivel da sentena assume. Alm disso, ob- servou que, ao se acrescentar um quantificador a uma sentena aberta, tal sentena passa a ter valor lgico, j que a presena de um quantificador fornece significado sentena. A tabela a seguir apresenta alguns exemplos de sentenas abertas sendo transformadas em proposies com os correspon- dentes valores lgicos. Sentena Proposio Valor lgico x 2 = 1 x, x 2 = 1 F 2x0 x, 2x0 V x nmero primo x, x nmero primo V x + 2 = x + 1 x, x + 2 = x + 1 F Negao de proposies quantificadas J estudamos que a negao de uma proposio utilizada para alterar seu valor lgico, dando ideia contrria. Assim, se p uma proposio verdadeira, a correspondente negao, representada por ~p, falsa, e vice-versa. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 10. 92 Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas As proposies que contm quantificadores tambm podem ter valor lgico alterado quando negadas. Por exemplo, qual seria a negao da proposio quantificada x, x nmero primo? A proposio x, x nmero primo tem valor lgico V, pois x = 2, por exemplo, um nmero primo. Para negar a proposio quantificada anterior necessrio negar a sentena x um nmero primo e substituir o quantificador existencial por um quantificador universal : Proposio quantificada: x, x nmero primo (V) Negao: x, x no um nmero primo (F) De um modo geral, a negao de uma proposio quantificada obtida por meio da negao da sentena aberta componente e da troca do quantificador universal pelo existencial ou do quantificador existencial pelo universal, conforme o caso. Proposio quantificada Negao da proposio quantificada x, p(x) x, ~p(x) x, p(x) x, ~p(x) Observe outros exemplos de negaes de proposies quantificadas: Proposio quantificada Negao da proposio quantificada m, m = 3 (F) m, m 3 (V) x, x20 (V) x, x20 (F) y, 2y 3 = 7 (V) y, 2y 3 7 (F) x, x no divisvel por 10 (V) x, x divisvel por 10 (F) Implicaes lgicas Anteriormente, estudamos as proposies condicionais da formap q, as quais poderiam ser lidasse p, ento q. Observamos que uma condicional da forma p q falsa apenas quando p verdadeira e q falsa. Em qualquer outro caso, a condicional verdadeira. Para uma melhor compreenso das implicaes lgicas e da relao exis- tente entre as proposies condicionais, observe a seguinte definio: Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 11. Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas 93 Uma proposio P(p, q, r, ...) implica logicamente uma proposio Q(p, q, r, ...), se Q(p, q, r, ...) verdadeira sempre que P(p, q, r, ...) for verdadeira. A implicao representada por: P(p, q, r, ...) Q(p, q, r, ...) Em outras palavras, pode-se dizer que uma proposio P, que pode ser composta por vrias proposies simples (p, q, r, ...), implica numa proposi- o Q, que tambm pode ser composta por vrias proposies simples (p, q, r, ...), se em qualquer linha da tabela-verdade de P Q, no ocorre de P ser V e Q ser F, simultaneamente. Para esclarecer, existe uma sutil diferena entre os smbolos e . O smbolo utilizado para relacionar duas proposies por meio de uma proposio condicional. Assim, para relacionarmos p e q por meio de uma proposio condicional, escrevemos p q. Nesse caso, no estamos querendo aferir valor lgico proposio composta, mas apenas relacionar condicional- mente p com q. Por outro lado, o smbolo utilizado para representar uma implicao lgica, na qual se deseja aferir valor lgico. Assim, apenas seP verdadeira eQ falsa, a implicao lgicaP Q falsa. Em caso de validade comprovada de uma implicao da formaP Q, tal implicao lgica passa a ser utilizada como recurso lgico para obteno e prova de outros resultados vlidos. Implicaes lgicas entre sentenas abertas Duas sentenas abertas tambm podem estar relacionadas por meio de uma implicao lgica. Para iniciar essa ideia, observe o conceito. Sejam p(x) e q(x) duas sentenas abertas dependentes de uma varivel x em um conjunto qualquer A. Dizemos que p(x) implica em q(x) se, e somente se, o conjunto verdade de p(x) est contido no conjunto verdade de q(x). Em smbolos, escrevemos: p(x) q(x) se, e somente se, Vp Vq Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 12. 94 Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas Caso o conjunto verdade de p(x) no esteja contido no conjunto verdade de q(x), a implicao p(x) q(x) ser falsa. A seguir, podemos observar algumas situaes importantes: Exemplo 1: A implicaox = 5 x2 = 25em IR verdadeira? Considerando p(x):x = 5e q(x):x2 = 25, temos: Vp = { 5 } e Vq = { 5; 5 }. Assim, como Vp Vq , conclui-se que p(x) q(x). Logo, a implicao verdadeira. Exemplo 2: A implicao lgicax24 x2em Z verdadeira? Considerando p(x):x24e q(x):x2, temos: Vp = { ...5; 4; 3; 2; 2; 3; 4; 5; ... } e Vq = { 2; 3; 4; 5; ... }. Logo, como Vp Vq , conclui-se que p(x) q(x). Portanto, a implicao falsa. No difcil perceber que a recproca x2 x24 verdadeira, pois Vq Vp . Tautologias e implicaes lgicas A verificao da veracidade de uma implicao lgica pode ser efetuada por meio de uma proposio tautolgica ou tautologia. Observe o conceito a seguir: A condio necessria e suficiente para que uma implicao lgica da forma P(p, q, r, ...) Q(p, q, r, ...) seja verdadeira que a proposio condicional correspondente P(p, q, r, ...) Q(p, q, r, ...) seja uma tautologia. Vejamos dois exemplos sobre implicaes lgicas e tautologias. Exemplo 1: Verificar se a implicao p q p q verdadeira. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 13. Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas 95 Para efetuar a verificao, basta construir a tabela-verdade da proposio p q p q e observar se essa proposio uma tautologia. uma tautologia p q p q p q p q p q V V V V V V F F V V F V F V V F F F F V Como em nenhuma linha ocorre de a proposio p q ser V e, simultaneamente, a proposio p q ser F, a ltima coluna, referente proposio p q p q, uma tautologia. Dessa forma, a implicao p q p q verdadeira. Exemplo 2: Verificar se a implicao p q p q verdadeira. Vamos construir a tabela-verdade da proposio (p q) (p q) e verificar se essa proposio uma tautologia. No uma tautologia p q p q p q (p q) (p q) V V V V V V F F F V F V V F F F F V V V A terceira linha apresenta valor V para (p q) e valor F para (p q). Dessa forma, a ltima coluna representada pela condicional (p q) (p q) apresenta valor F na terceira linha. Portanto, (p q) (p q) no uma tautologia, pois existe pelo menos um valor lgico na ltima coluna que F. A concluso a de que a implicao (p q) (p q) falsa. Propriedades das implicaes lgicas As implicaes lgicas admitem certas propriedades que podem ser utilizadas na obteno de outros resultados. Nas propriedades a seguir, as proposies P, Q e R podem ser proposies compostas por outras proposies p, q, r, s, ... . Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 14. 96 Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas Implicaes imediatas Propriedade reflexiva Qualquer proposio P implica na prpria proposio P: P P No difcil perceber que, se a primeira proposio P for verdadeira, a segunda proposio P no ser falsa, pois isso seria contraditrio. Logo, a proposio P P uma tautologia e, consequentemente, P P verdadeira. uma tautologia P P P P V V V F F V Propriedade transitiva Se a proposio P implica a proposio Q e a proposio Q implica a proposio R, ento a proposio P implica a proposio R: Se P Q e Q R, ento P R Para verificar a veracidade da implicao, vamos construir a tabela-verdade da condicional correspondente [(P Q) (Q R)] (P R) e constatar que uma tautologia. P Q R P Q Q R (P Q) (Q R) (P R) [(P Q) (Q R)] (P R) V V V V V V V V V V F V F F F V V F V F V F V V V F F F V F F V F V V V V V V V F V F V F F V V F F V V V V V V F F F V V V V V uma tautologia Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 15. Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas 97 Implicaes notveis Como possvel demonstrar que um determinado resultado vlido? Quando deduzimos ou demonstramos algum resultado, utilizamos pre- missas como base lgica para a validao de tal resultado. A sequncia de passos que permitem iniciarmos com uma premissa, e, a partir dela, che- garmos a uma concluso, desenvolvida por meio de implicaes lgicas. Quando uma implicao lgica verdadeira, pode-se concluir que o raciocnio desenvolvido est correto, ou seja, que uma proposio necessaria- mente tem como consequncia a outra. As propriedades a seguir so consideradas propriedades clssicas ou notveis e sero, posteriormente, utilizadas como regras de inferncia, teis na Lgica da Argumentao. Adio A propriedade da adio ocorre junto ao conectivoou: P P Q Q P Q Vamos demonstrar as duas regras de adio por meio da tabela-verdade: P Q P Q P (P Q) Q (P Q) V V V V V V F V V V F V V V V F F F V V Tautologias Exemplos: Penso. Logo, penso ou existo. Existo. Logo, penso ou existo. Simplificao A propriedade da simplificao ocorre junto ao conectivoe: Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 16. 98 Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas P Q P P Q Q Vamos demonstrar as duas regras de simplificao por meio da tabela- -verdade: P Q P Q (P Q) P (P Q) Q V V V V V V F F V V F V F V V F F F V V Tautologias Exemplos: Estudo e veno. Logo, estudo. Estudo e veno. Logo, veno. Simplificao disjuntiva A propriedade da simplificao disjuntiva utilizada nos casos em que uma das proposies ocorre de forma contraditria e com um conectivoou, sendo, portanto, simplificada: (P Q) (P ~Q) P P Q ~Q P Q P ~Q (P Q) (P ~Q) (P Q) (P ~Q) P V V F V V V V V F V V V V V F V F V F F V F F V F V F V Tautologia Exemplo: Sou feliz ou me demito. Sou feliz ou no me demito. Logo, sou feliz. Absoro A propriedade de absoro mostra que, se uma mesma proposio sim- Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 17. Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas 99 ples ocorre numa proposio condicional, sendo condio necessria e suficiente, ento ela pode ser omitida (absorvida) como condio necessria: P Q P (P Q) P Q P Q P Q P (P Q) (P Q) [P (P Q)] V V V V V V V F F F F V F V F V V V F F F V V V Tautologia Exemplo: Se corro, ento pulo. Logo, se corro, ento corro e pulo. Modus Ponens A propriedade Modus Ponens baseia-se em uma proposio condicional: (P Q) P Q Tautologia P Q P Q (P Q) P [(P Q) P] Q V V V F V V F F F V F V V V V F F V F V Exemplo: Se me esforo, ento alcano a vitria. Esforo-me. Logo, alcano a vitria. Modus Tollens A propriedade Modus Tollens baseia-se na proposio contrapositiva de uma proposio condicional: (P Q) ~Q ~P Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 18. 100 Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas P Q ~P ~Q P Q (P Q) ~Q [(P Q) ~Q] ~P V V F F V F V V F F V F F V F V V F V F V F F V V V V V Tautologia Exemplo: Se tenho coragem, ento triunfo. No triunfei. Logo, no tive coragem. Silogismo disjuntivo A propriedade de silogismo disjuntivo ocorre a partir de uma disjuno (conectivo ou) em que uma das proposies simples componentes con- trariada e, a partir disso, conclui-se pela veracidade da outra proposio simples componente: (P Q) ~P Q (P Q) ~Q P Vamos demonstrar a primeira das regras de silogismo disjuntivo por meio da tabela-verdade: P Q ~P P Q (P Q) ~P [(P Q) ~P] Q V V F V F V V F F V F V F V V V V V F F V F F V Tautologia Exemplos: Caso ou compro uma bicicleta. No casei. Logo, comprei uma bicicleta. Caso ou compro uma bicicleta. No comprei uma bicicleta. Logo, casei. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 19. Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas 101 Dilema construtivo O dilema construtivo baseia-se na utilizao de uma disjuno (conectivo ou) relacionada a duas proposies condicionais: [(P Q) (R S) (P R)] (Q S) Tautologia P Q R S P Q R S P R (PQ)(R S)(P R) Q S [(PQ)(RS) (PR)](QS) V V V V V V V V V V V V V F V F V F V V V V F V V V V V V V V V F F V V V V V V V F V V F V V F V V V F V F F F V F F V V F F V F V V F V V V F F F F V V F F V F V V V V V V V V V F V V F V F V F V V F V F V V V F F V V F V F F V V F F V V F F V V V V V V V V F F V F V F V F F V F F F V V V F F V V F F F F V V F F F V Exemplo: Se bebo gua, ento me hidrato. Se tomo cerveja, ento sou feliz. Bebo gua ou tomo cerveja. Logo, me hidrato ou sou feliz. Dilema destrutivo O dilema destrutivo baseia-se na utilizao de uma disjuno (conectivo ou) relacionada a duas proposies condicionais contrapositivas: [(P Q) (R S) (~Q ~S)] (~P ~R) Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 20. 102 Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas P Q R S ~P ~Q ~R ~S P Q R S ~Q ~S (P Q) (R S) (~Q ~S) ~P ~R [(PQ)(RS) (~Q~S)](~P~R) V V V V F F F F V V F F F V V V V F F F F V V F V F F V V V F V F F V F V V F F V V V V F F F F V V V V V V V V V F V V F V F F F V V F F V V F V F F V F V F F V F F V V F F V F V V F F V V F V V V F F F F V V V F V V F V V F V V V V F F F V V F F V V F V V F V F F V V F V F V V F V F V V F V F V V F F V V F V F F V F V V V V V V V V F F V V V V F F V V V V V V F F V F V V F V V F V F V V F F F V V V V F V V V V V V F F F F V V V V V V V V V V Tautologia Exemplo: Se bebo gua, ento me hidrato. Se tomo cerveja, ento sou feliz. No me hidratei ou no fui feliz. Logo, no bebi gua ou no tomei cerveja. No h a necessidade de memorizarmos as implicaes notveis que j foram estudadas. O que realmente importa compreender o mecanismo de verificao da veracidade das implicaes lgicas e observar que, apesar da complexidade de algumas delas, cada uma tem por base as proposies estudadas anteriormente. Observe a seguir outros exemplos de implicaes lgicas. Exemplo 1: Sendo p e q proposies, vamos verificar a veracidade da implicao lgica: p p q Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 21. Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas 103 Sem construir a tabela-verdade possvel perceber que a proposio composta correspondente p (p q) no uma tautologia, pois p pode ter valor V, enquanto p q pode ter valor F. Para que p (p q) no seja uma tautologia, basta que p tenha valorV e q tenha valor F. A tabela-verdade construda abaixo confirma essa anlise. No uma tautologia p q p q p (p q) V V V V V F F F F V F V F F F V Portanto, a implicao lgica p p q falsa. Exemplo 2: A implicao lgica a seguir verdadeira? Se amanh domingo, hoje sbado. Mas hoje no sbado. Logo, amanh no domingo. Podemos considerar algumas proposies simples componentes da implicao lgica: p: amanh domingo q: hoje sbado ~p: amanh no domingo ~q: hoje no sbado Assim, a implicao lgica teria a forma (p q) ~q ~p, sendo, portanto, a regra Modus Tollens. Construindo a tabela-verdade, poderamos constatar que a proposio (p q) ~q ~p uma tautologia. Logo, a implicao (p q) ~q ~p verdadeira. Exemplo 3: Considere a implicao lgica e as proposies a seguir: Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 22. 104 Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas Se vou praia, ento como camaro e, se como camaro, ento tenho alergia. Portanto: Se vou praia, ento tenho alergia. p: vou praia q: como camaro r: tenho alergia A implicao pode ser representada por (p q) (q r) (p r), sendo uma regra de inferncia representada por uma propriedade transitiva. Dessa forma, a implicao (p q) (q r) (p r) verdadeira. Podera- mos constatar a veracidade tambm por meio da tabela-verdade, verifican- do que a proposio correspondente [(p q) (q r)] (p r) uma tautologia. Exemplo 4: Verificar se a proposiop qimplica a proposiop q. Vamos construir a tabela-verdade da proposio (p q) (p q) e verificar se essa proposio uma tautologia. No uma tautologia p q p q p q (p q) (p q) V V V V V V F V F F F V V F F F F F V V A segunda e a terceira linhas apresentam valor V para (p q) e valor F para (p q), respectivamente. Dessa forma, a ltima coluna representada pela proposio composta (p q) (p q) tem valor F na segunda e na terceira linhas e, portanto, no uma tautologia. Assim, a implicao (p q) (p q) falsa. Exemplo 5: Verificar se a proposiop qimplica a proposiop q. Vamos construir a tabela-verdade da proposio (p q) (p q) e verificar se essa proposio uma tautologia. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 23. Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas 105 p q p q p q (p q) (p q) V V V V V V F F F V F V F V V F F F V V uma tautologia A ltima coluna da tabela composta apenas porV. Assim, (p q) (p q) uma tautologia e, portanto, a implicao (p q) (p q) verdadeira. Exemplo 6: Mostre que(x = 5 xy) xyimplicax = 5. Considerando as proposies simples p: x = 5; q: xy e ~q: xy, podemos expressar a implicao lgica da seguinte maneira:(p q) ~qp. No difcil perceber que a implicao uma regra do tipo silogismo disjuntivo sendo, portanto, uma implicao verdadeira. Para comprovar a veracidade da implicao lgica, vamos construir a tabela-verdade da proposio [(p q) ~q] p e verificar que uma tautologia. p q ~q p q (p q) ~q [(p q) ~q] p V V F V F V V F V V V V F V F V F V F F V F F V uma tautologia Logo, como [(p q) ~q] p tautologia, correto dizer que a proposio (p q) ~qimplica a proposiop. Equivalncias lgicas Anteriormente, observamos algumas proposies que so logicamente equivalentes, tais como uma proposio qualquer e a respectiva dupla negao: p equivalente a ~(~p). Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 24. 106 Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas p ~p ~(~p) V F V F V F Equivalentes O que significa dizer que duas proposies so equivalentes? Duas proposies compostas so equivalentes quando ambas apresentam sempre os mesmos valores lgicos, independentemente dos valores l- gicos de cada proposio simples componente. Assim, quando afirmamos que a proposio (p q) equivalente a correspondente contrapositiva (~q ~p), estamos dizendo que, independente do valor de p e q, o valor de (p q) sempre o mesmo de (~q ~p). Observe o prximo conceito: Uma proposio P(p, q, r, ...) logicamente equivalente ou, simplesmente, equivalente a uma proposio Q(p, q, r, ...), se as tabelas-verdade dessas duas proposies so idnticas. A equivalncia representada por: P(p, q, r, ...) Q(p, q, r, ...) ou P(p, q, r, ...) Q(p, q, r, ...) Existe uma pequena e sutil diferena entre os smbolose. O smbolo utilizado para relacionar duas proposies por meio de uma proposio bicondicional. Ou seja, para relacionarmos p e q por meio de uma proposio bicondicional, escrevemos p q. Nesse caso, no estamos querendo aferir valor lgico proposio composta, apenas relacionan- do bicondicionalmente p com q. O smbolo utilizado para representar uma equivalncia lgica, na qual se deseja aferir valor lgico. Assim, apenas se p e q so ambas verdadei- ras ou ambas falsas, a equivalncia p q verdadeira. Certas equivalncias so de grande utilidade, pois simplificam a tarefa de simbolizar apropriadamente as sentenas da linguagem comum. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 25. Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas 107 Equivalncias entre sentenas abertas possvel relacionar duas sentenas abertas por meio de uma equivalncia lgica. Para tanto, necessrio que os conjuntos verdade de ambas as sentenas abertas sejam iguais. Vejamos o prximo conceito: Sejam p(x) e q(x) duas sentenas abertas dependentes de uma varivel x em um conjunto qualquer A. Dizemos que p(x) equivale a q(x) se, e somente se, o conjunto verdade de p(x) igual ao conjunto verdade de q(x). Em smbolos, escrevemos: p(x) q(x) se, e somente se, Vp = Vq Caso o conjunto verdade de p(x) no seja o mesmo do conjunto verdade de q(x), a equivalncia p(x) q(x) ser falsa. Observao: Na Teoria dos Conjuntos, dizemos que um conjunto A igual ao conjunto B quando A B e B A. Em outras palavras, um conjunto A igual ao conjunto B quando todos os elementos de A pertencem a B e todos os elementos de B pertencem a A. Exemplo 1: Verificar se a equivalncia 2x = 6 x 1= 2 verdadeira. Considerando as sentenas abertas p(x):2x = 6e q(x):x 1= 2, temos: Vp = { 3 } e Vq = { 3 }. Assim, comoVp =Vq , poisVp Vq eVq Vp , conclui-se que p(x) equivalente a q(x), isto , p(x) q(x). Exemplo 2: Verificar se x2 = 9equivale ax = 3em Z. Considerando as sentenas abertas p(x):x2 = 9e q(x):x = 3, temos: Vp = {3; 3} e Vq = { 3 }. Apesar deVq Vp , ocorre queVp Vq , assim, conclui-se queVp Vq e, assim, p(x) no implica em q(x). Portanto, a equivalncia falsa. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 26. 108 Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas Tautologias e equivalncias lgicas Para uma equivalncia lgica ser verdadeira preciso que a proposi- o correspondente seja uma tautologia. Observe com ateno o prximo conceito. A condio necessria e suficiente para que uma equivalncia lgica da forma P(p, q, r, ...) Q(p, q, r, ...) seja verdadeira que a proposio bicondicional correspondente P(p, q, r, ...) Q(p, q, r, ...) seja uma tautologia. Exemplo 1: Verifique se as proposiesse x um nmero par, ento x divisvel por 2ex no um nmero par ou x divisvel por 2so equivalentes. Considere as proposies p:x um nmero pare q:x divisvel por 2. Assim, podemos escrever as seguintes proposies compostas: p q:se x um nmero par, ento x divisvel por 2. ~p q:x no um nmero par ou x divisvel por 2. Para verificar a veracidade da equivalncia (p q) (~p q), vamos construir a tabela-verdade da proposio composta (p q) (~p q) e observar se uma tautologia. TautologiaEquivalentes p q ~p p q ~p q (p q) (~p q) V V F V V V V F F F F V F V V V V V F F V V V V A equivalncia comprovada tanto pelas colunas idnticas das proposies (p q) e (~p q) quanto pela proposio tautolgica (p q) (~p q). Portanto, dizerse x um nmero par, ento x divisvel por 2equivale a dizerx no um nmero par ou x divisvel por 2. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 27. Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas 109 Equivalncias imediatas Existem trs propriedades consideradas imediatas em equivalncias lgicas: reflexiva, simtrica e transitiva. Propriedade reflexiva Qualquer proposio P equivale prpria proposio P: P P A verificao dessa propriedade imediata, uma vez que a proposio P P tautolgica. P P P P V V V F F V Tautologia Propriedade simtrica Se a proposio P equivale proposio Q, ento a proposio Q equivale proposio P: se P Q, ento Q P. A propriedade vlida, pois a proposio correspondente (P Q) (Q P) tautolgica. P Q P Q Q P (P Q) (Q P) V V V V V V F F F V F V F F V F F V V V Equivalentes Tautologia Propriedade transitiva Se a proposio P equivale proposio Q e a proposio Q equivale proposio R, ento a proposio P equivale proposio R: se P Q e Q R, ento P R. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 28. 110 Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas A propriedade vlida, pois a bicondicional correspondente [(P Q) (Q R)] (P R) uma tautologia. P Q R P Q Q R (P Q) (Q R) (P R) [(P Q) (Q R)] (P R) V V V V V V V V V V F V F F F V V F V F F F V V V F F F V F F V F V V F V F F V F V F F F F V V F F V V F F F V F F F V V V V V Tautologia Quadro de equivalncias A tabela a seguir apresenta um resumo de algumas importantes equivalncias lgicas j estudadas. Equivalncia Frmula Tautologia p (p p) Dupla negao ~(~p) p Comutao p q q p p q q p Associao p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r Distribuio p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) De Morgan ~(p q) ~p ~q ~(p q) ~p ~q Contraposio (p q) (~q ~p) Implicao material (p q) ~p q Equivalncia material (p q) (p q) (q p) Exportao [(p q) r] [p (q r)] Equivalncia (p q) (p q) (~p ~q) Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 29. Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas 111 Todas essas equivalncias lgicas podem ser comprovadas por meio da tabela-verdade. Exemplo 1: Vamos mostrar que a equivalncia de exportao, [(p q) r][p (q r)], verdadeira por meio de uma tabela-verdade. Equivalentes Tautologia p q r p q (p q) r q r p (q r) [(p q) r] [p (q r)] V V V V V V V V V V F V F F F V V F V F V V V V V F F F V V V V F V V F V V V V F V F F V F V V F F V F V V V V F F F F V V V V Como a proposio [(p q) r] [p (q r)] uma tautologia, conclumos que a equivalncia correspondente [(p q) r] [p (q r)] verdadeira. Exemplo 2: Por meio da tabela-verdade, observe que a equivalncia propriamente dita, (p q) (p q) (~p ~q), verdadeira. Equivalentes Tautologia p q p q p q ~p ~q ~p ~q (pq)(~p~q) (pq) (pq)(~p~q) V V V V F F F V V V F F F F V F F V F V F F V F F F V F F F V V V V V V A proposio (p q) (p q) (~p ~q) uma tautologia. Logo, conclumos que a equivalncia correspondente (p q) (p q) (~p ~q) verdadeira. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 30. 112 Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas Exemplo 3: Vamos provar a validade de uma das propriedades de associao: p (q r) (p q) r Equivalentes Tautologia p q r q r p (q r) p q (p q) r p (q r ) (p q) r V V V V V V V V V V F V V V V V V F V V V V V V V F F F V V V V F V V V V V V V F V F V V V V V F F V V V F V V F F F F F F F V A proposio p (q r ) (p q) r uma tautologia. Dessa forma, conclumos que a equivalncia correspondente p (q r) (p q) r verdadeira. Ampliando seus conhecimentos Texto extrado do livro O Enigma de Sherazade e Outros Incrveis Problemas das Mil e uma Noites Lgica Moderna. (SMULLYAN, 1998, p. 134-136) Agora, vou apresentar-lhe uma verso paradoxal do que ficou conhecido como o dilema do prisioneiro. No normalmente identificado como um paradoxo,masvoumostrarcomopodeserconvertidonumparadoxo.Evoulevar em conta a verso positiva do dilema, em que os participantes so recompen- sados, e no punidos. Vamos supor que eu e voc sejamos os jogadores, e que exista ainda algum encarregado de nos dar a recompensa. Voc e eu temos duas opes: cooperarmos um com o outro, ou trairmos um ao outro. Se ambos cooperarmos, cada um de ns recebe trs dlares de recompensa; se ambos trairmos, cada um recebe um dlar. Mas se um cooperar e outro trair, o traidor recebe cinco dlares e quem cooperar no ganha nada! Qual a melhor estratgia que se pode seguir no caso? Bem, se eu cooperar, voc Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 31. Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas 113 ganha mais me traindo que cooperando (cinco dlares, em vez de trs). E se eu trair, tambm, voc ganhar mais traindo do que cooperando (um dlar, em vez de nada). Assim, seja qual for a minha escolha, para voc sempre ser melhor trair. E, portanto, voc deve trair. E, seguindo o mesmo raciocnio, eu tambm devo trair. E, desse modo, ns dois tramos, recebendo um dlar cada um, embora caso ambos tivssemos decidido cooperar cada um fosse ganhar trs dlares! E, assim, o estranho que seria melhor para os dois se ambos cooperssemos, mas para cada um de ns, individualmente, ser melhor trair! Outra maneira de examinar o problema a seguinte: supondo que eu e voc sejamos criaturas racionais, ento, j que as condies entre ns so perfei- tamente simtricas, faremos sempre a mesma escolha. Sabendo que faremos a mesma escolha, devemos os dois, claro, cooperar (ganhando assim trs dlares cada, em lugar de um). No obstante, luz da argumentao anterior, cada um de ns deveria trair! Vamos supor que faremos a mesma escolha. Nesse caso, confirmam-se as quatro proposies a seguir: Proposio 1: Se ambos cooperarmos, cada um ganha trs dlares. Proposio 2: Se ambos trairmos, cada um ganha um dlar. Proposio 3: Se um de ns cooperar e o outro trair, quem trair ganha cinco dlares e o outro no ganha nada. Proposio 4: Vamos fazer a mesma escolha ou seja, ou ambos coopera- mos ou ambos tramos. Sero consistentes essas quatro proposies? Primeiro provarei que no so, e depois provarei que sim chegando assim a um paradoxo de forma igual do precedente. Bem, para provar que so inconsistentes, decorre apenas das trs primeiras proposies que voc ganhar sempre mais traindo que cooperando, pois faa eu a escolha que fizer voc sempre ganhar mais traindo, como j mostrei. Mas acrescentando a proposio 4, decorre que voc ganhar mais se cooperar (trs dlares, em vez de um). Isso uma inconsistncia clara, de modo que as quatro proposies no podem ser consistentes. Por outro lado, as proposies devem ser consistentes, porque possvel que ns dois faamos a mesma escolha e, se o fizermos (seja ambos cooperando ou ambos traindo), todas as quatro proposies sero validadas. E, portanto, as proposies, no final das contas, so consistentes, embora eu tenha demonstrado que no so! Esse o paradoxo. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 32. 114 Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas Atividades de aplicao 1. A sentena aberta p(x): x23 no pode ser classificada em verdadeira ou falsa. Se atribuirmos valores varivel x, podemos transformar a sentena aberta em uma proposio e, dessa forma, classific-la em verdadeira ou falsa. Nessas condies, classifique as proposies: a) ( )Para x = 1, a sentena p(x) falsa. b) ( )Para x = 2, a sentena p(x) verdadeira. c) ( )Para x = 0, a sentena p(x) falsa. d) ( )Para x = 3 a sentena p(x) verdadeira. e) ( )Para todo valor de x positivo, a sentena p(x) verdadeira. f) ( ) Existe pelo menos um valor de x positivo de modo que a sentena p(x) seja verdadeira. 2. Uma maneira de transformarmos uma sentena aberta em proposio utilizar quantificadores. Sendo assim, dado o conjunto A = {1; 2; 3; 4; 5} e as sentenas abertas p(x): x23 e q(x): x6, atribua um valor lgico a cada uma das seguintes proposies: a) ( ) x A, x23 b) ( ) x A, x23 c) ( ) x A, x6 d) ( ) x A, x6 3. Escreva a negao de cada uma das proposies quantificadas: a) Para todo x, temos que x = 5. b) Existe x, tal que x2. c) Qualquer que seja a medida y, temos y3. d) Para pelo menos um valor de z ocorre que z diferente de 4. e) Todos os homens so mortais. f) Alguns carros so coloridos. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 33. Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas 115 4. Considere as proposies: p: 56 q: 1 = 2 r: 34 s: 7 8 Determine o valor lgico de cada uma das seguintes proposies lgicas. a) p q b) r s c) p q d) r q e) p s f) ~(p q) g) ~(r s) 5. Por meio da tabela-verdade, mostre que as proposies~(x2 x = 5) ex2 x 5so equivalentes. 6. Verifique se so logicamente equivalentes as proposies Quem no tem co, caa com gatoeQuem tem co, no caa com gato. 7. Prove, por meio da tabela-verdade, que vlida a propriedade de distribuio de uma operao condicional em relao a uma conjuno, ou seja, p (q r) (p q) (p r). 8. Por meio da tabela-verdade, mostre que as proposiesSe sou amigo do Rei, no tenho medoeSe tenho medo, no sou amigo do Reiso equivalentes. 9. Sejam as sentenas abertas em A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, p(x): x par e q(x):x primo. Determine: a) os conjuntos verdade de p(x) e q(x), respectivamente. b) o conjunto verdade de p(x) q(x). Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 34. 116 Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas c) o conjunto verdade de p(x) q(x). d) o conjunto verdade de p(x) q(x). e) o conjunto verdade de q(x) p(x). f) o conjunto verdade de p(x) q(x). Referncias ABELARDO, Pedro. Lgica para Principiantes. Petrpolis: Vozes, 1994. ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciao Lgica Matemtica. So Paulo: Nobel, 2003. 203 p. ARISTTELES. Tpicos. So Paulo: Abril Cultural, 1973. (Coleo Os Pensadores). _____. Organon. So Paulo: Nova Cultural, 1999. (Coleo Os Pensadores). BOLL, Marcel; REINHART, Jacques. A Histria da Lgica. Lisboa: Edies 70, 1982. 127 p. CASTRUCCI, Benedito. Introduo Lgica Matemtica. 6. ed. So Paulo: Nobel, 1986. 158 p. DESCARTES, Ren. Discurso do Mtodo. 4. ed. So Paulo: Martins Fontes, 2003. 102 p. KELLER, Vicente; BASTOS, Cleverson L. Aprendendo Lgica. 12. ed. Petrpolis: Vozes, 2000. 179 p. KOPNIN, P. V. A Dialtica como Lgica e Teoria do Conhecimento. Rio de Janei- ro, 1978. 353 p. LAUSCHNER, Roque. Lgica Formal. 4. ed. rev. Porto Alegre: Sulina/ Unisinos, 1984. 207 p. LIARD, L. Lgica. 6. ed. So Paulo: Cia. Editora Nacional, 1965. 211 p. LIPSCHULTZ, Seymour. Teoria dos Conjuntos. So Paulo: McGraw-Hill, 1972. 337 p. MACHADO, Nilson Jos. Matemtica 1 por Assunto lgica, conjuntos e funes. So Paulo: Scipione, 1988. 240 p. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 35. Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas 117 _____. Lgica? Lgico! So Paulo: Scipione, 2000. 49 p. (Coleo Vivendo a Matemtica). MARITAIN, Jacques. Elementos de Filosofia II: a ordem dos conceitos, lgica menor. Rio de Janeiro: Agir, 1980. 318 p. NAHRA, Cnara; WEBER, Ivan Hingo. Atravs da Lgica. 5. ed. Petrpolis: Vozes, 1997. 174 p. OLIVEIRA, Augusto J. Franco de. Lgica Aritmtica. Braslia: UnB, 2004. 241 p. SALMON, Wesley C. Lgica. 4. ed. Rio de Janeiro: Zahar, 1978. 142 p. SRATES, Jonofon. Raciocnio Lgico. 8. ed. Braslia: Jonofon, 1998. 432 p. v. 1. _____. Raciocnio Lgico. 8. ed. Braslia: Jonofon, 1998. 467 p. v. 2. SMULLYAN, Raymond. O Enigma de Sherazade e outros Incrveis Problemas das Mil e uma Noites Lgica Moderna.Traduo de: FLAKSMAN, Srgio. Rio de Janeiro: Jorge Zahar, 1998. Reviso Tcnica: Luiz Carlos Pereira. SOARES, Edvaldo. FundamentosdaLgica elementos da Lgica Formal e Teoria da Argumentao. So Paulo: Atlas, 2003. 187 p. TELLES JR., Goffredo. Curso de Lgica Formal. 3. ed. So Paulo: Edusp, 1973. 367 p. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 36. 118 Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas Gabarito 1. a) ( V ) Para x = 1, a sentena p(x) falsa. b) ( V ) Para x = 2, a sentena p(x) verdadeira. c) ( V ) Para x = 0, a sentena p(x) falsa. d) ( F ) Para x 3= , a sentena p(x) verdadeira. e) ( F ) Para todo valor de x positivo, a sentena p(x) verdadeira. f) ( V ) Existe pelo menos um valor de x positivo de modo que a sentena p(x) seja verdadeira. 2. a) ( F ) b) ( V ) c) ( V ) d) ( V ) 3. Para negar uma proposio quantificada, basta trocar o quantificador e negar a sentena aberta (predicado). Assim, temos: a) Existe x, de modo que x 5. b) Para todo x, x2. c) Para algum y, y3. d) Para todo z, temos z igual a 4. e) Existem homens que no so mortais. f) Todos os carros no so coloridos. 4. Os valores lgicos das proposies simples p, q, r e s so, respectivamente, F, F, V e V. Utilizando as propriedades estudadas, os valores l- gicos das proposies compostas sero: a) p q : F Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 37. Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas 119 b) r s : V c) p q : F d) r q : F e) p s : F f) ~( p q) : F g) ~(r s) : F 5. Considerando as proposies p: x2, ~p: x2, q: x = 5 e ~q: x 5, a proposio ~(x2 x = 5) pode ser representada por ~(p q) e a proposiox2 x 5pode ser representada por~p ~q. Assim, basta mostrar que~(p q)equivale a~p ~q. p q ~p ~q p q ~(p q) ~p ~q V V F F V F F V F F V V F F F V V F V F F F F V V F V V Equivalentes Os valores lgicos das proposies ~(p q) e ~p ~q so idnticos, logo, ~(p q) ~p ~q. O resultado aqui demonstrado uma aplicao de uma equivalncia de De Morgan. 6. Considerando as proposies p: tem co, ~p: no tem co, q: caa com gato e ~q: no caa com gato, a proposioQuem no tem co, caa com gatopode ser representada por ~p qe a proposio Quem tem co, no caa com gatopode ser representada porp ~q. An- teriormente, estudamos que a proposio p ~q e a correspondente inversa ~p q no so equivalentes. Vamos comprovar que a equivalncia no verdadeira por meio da tabela-verdade. p q ~p ~q ~p q p ~q V V F F V F V F F V V V F V V F V V F F V V F V No so equivalentes Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 38. 120 Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas Portanto, as proposiesQuem no tem co, caa com gatoeQuem tem co, no caa com gatono so equivalentes. 7. Basta construir a tabela-verdade e concluir que as proposies p (q r) e (p q) (p r) so logicamente equivalentes. p q r q r p (q r) p q p r (p q) (p r) V V V V V V V V V V F F F V F F V F V F F F V F V F F F F F F F F V V V V V V V F V F F V V V V F F V F V V V V F F F F V V V V Equivalentes 8. Considerandoasproposiesp:souamigodoRei,~p:nosouamigodo Rei, q: tenho medo e ~q: no tenho medo, a proposioSe sou amigo do Rei, no tenho medopode ser representada porp ~qe a propo- sioSe tenho medo, no sou amigo do Reipode ser representada por q~p.Observeatabela-verdadedasproposiesp~qeq~p: p q ~p ~q p ~q q ~p V V F F F F V F F V V V F V V F V V F F V V V V Equivalentes Portanto, as proposies p ~q e a correspondente contrapositiva q ~pso equivalentes. 9. a) Os conjuntos verdade de p(x): x par e q(x): x primo em A, so: Vp = {2, 4, 6} Vq = {2, 3, 5, 7} Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 39. Sentenas abertas, implicaes e equivalncias lgicas 121 b) Vp q = Vp Vq Vp q = {2, 4, 6} {2, 3, 5, 7} Vp q = {2} c) Vp q = Vp Vq Vp q = {2, 4, 6} {2, 3, 5, 7} Vp q = {2, 3, 4, 5, 6, 7} d) Inicialmente, temos que V~p = {1, 3, 5, 7}. Assim: Vp q = V~p Vq Vp q = {1, 3, 5, 7} {2, 3, 5, 7} Vp q = {1, 2, 3, 5, 7} e) Inicialmente, temos que V~q = {1, 4, 6}. Logo: Vq p = V~q Vp Vq p = {1, 4, 6} {2, 4, 6} Vq p = {1, 2, 4, 6} f) Vq p = Vp q Vq p Vq p = ( V~p Vq ) (V~q Vp ) Vq p = {1, 2, 3, 5, 7} {1, 2, 4, 6} Vq p = {1, 2} Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 40. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br

sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas

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